Unidade 04 - Fundamentos de Mecânica das Estruturas

Unidade 04
Tensões Normais em Barras Curvas
Fundamentos de Mecânica das Estruturas

Leonardo Goliatt
Departamento de Mecânica Aplicada e Computacional
Universidade Federal de Juiz de Fora

versão 13.04

Leonardo Goliatt (MAC-UFJF)

Unidade 04

versão 13.04

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Esforços em Barras Curvas

Programa
1

Equações de Equilíbrio
Tensões Radiais em Barras Curvas (Flexão Pura)


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Programa
1



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Vamos começar o estudo com uma barra curva coplanar com seção constante.
py (s)

Mz

Vz

z

My
pz (s)

Ns

Vy

s

R
y

z

y


x

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R é o raio de curvatura de um ponto qualquer
Dois sistemas de coordenadas ortogonais: ( x, y , z) e ( s, y, z)
( x, y , z) localizado em alguma seção conveniente
( s, y, z) é um sistema curvilíneo onde s mede o comprimento de arco ao longo do
eixo geométrico
y é uma coordenada radial que aponta para o centro de curvatura
z é normal ao plano da barra
py (s)

Mz

Vz

z

My
pz (s)

Ns

Vy

s

R
y

z

y


x

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py ( s) e pz ( s) são forças externas por unidade de comprimento
Assumimos que a torção de cada seção é desprezível (a resultante passa pelo
centro de cisalhamento)
Tensões resultantes: N s , Vy , Vz , My , Mz
Forças positivas agem nas direções de crescimento de s, y e z
Momentos positivos produzem tração nos quadrantes positivos y e z da seção.
Assumimos que σ s , τ sy e τ sz são funções conhecidas de s
py (s)

Mz

Vz

z

My
pz (s)

Ns

Vy

s

R
y

z

y


x

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Barra curva coplanar
py (s)

Mz

Vz

z

My
pz (s)

Ns

Vy

s

R
y

z

y


x

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Vamos considerar um ponto P localizado no eixo da barra, a uma distância s do
plano xy
Vamos analisar a porção da barra entre os pontos P e P , localizado em s + ∆s
P

P

z

τsz

s

σs
τsy

y

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A vista lateral (e) e superior (d) são mostradas abaixo
Os esforços recebem incrementos ∆N s , ∆Vy , ∆Vz , ∆My , ∆Mz
Os incrementos ∆py , ∆pz e ∆R são desprezados à medida que ∆s → 0
py

2R sin ∆ψ
2

Vy

∆s

Vz + ∆Vz
My cos ∆ψ
2

Mz
P

P

∆ψ
2

Ns + ∆Ns

Ns

P

P
Mz + ∆Mz

Vy + ∆y

R

(My + ∆My ) cos ∆ψ
2

Vz

∆ψ

pz


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Equilíbrio no plano xy
∆ψ é o ângulo entre as seções e P e P
py

Vy

∆s

Mz
P

P

∆ψ
2

Ns + ∆Ns

Ns

Mz + ∆Mz
Vy + ∆y

R
∆ψ


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py

Vy

∆s

Mz
P

P

∆ψ
2

Ns + ∆Ns

Ns

Mz + ∆Mz
Vy + ∆y

R
∆ψ

Vy cos ∆ψ − (Vy + ∆Vy ) cos ∆ψ − py ∆s − N s sin ∆ψ − ( N s + ∆N s ) sin ∆ψ
2
2
2
2
( N s + ∆N s − N s ) cos ∆ψ + (Vy + ∆Vy − Vy ) sin ∆ψ
2
2
Mz + ∆Mz − Mz + py ∆sR sin ∆ψ − Vy cos ∆ψ 2R sin ∆ψ + N s sin ∆ψ 2R sin ∆ψ
2
2
2
2
2

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= 0
= 0
= 0

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Denotando ∆ψ = ∆s/R e somando as forças verticais
Vy cos

∆ψ
∆ψ
∆ψ
∆ψ
− (Vy + ∆Vy ) cos
− py ∆s − N s sin
− ( N s + ∆N s ) sin
=0
2
2
2
2

À medida que ∆s → 0, temos que cos ∆ψ → 1 e sin ∆ψ → ∆ψ/2 = ∆s/2R
2
2
Dividindo a equação por ∆s
∂Vy
Ns
= −py −
∂s
R
Similarmente, somando as forças horizontais

( N s + ∆N s − N s ) cos
e no limite


∆ψ
∆ψ
+ (Vy + ∆Vy − Vy ) sin
=0
2
2
Vy
∂N s
=
∂s
R
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Somando os momentos em torno de P
Mz + ∆Mz − Mz + py ∆sR sin ∆ψ − Vy cos ∆ψ 2R sin ∆ψ +
2
2
2
+ N s sin ∆ψ 2R sin ∆ψ
2
2

= 0

Dividindo a equação por ∆s e tomando o limite ∆s → 0
∂Mz
= Vy
∂s


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Chegamos ﬁnalmente em:
∂Vy
∂s
∂N s
∂s

=

Vy
R

∂Mz
∂s


= −py −

=

Vy

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Ns
R

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As mesmas considerações podem ser feitas no plano xz,
2R sin ∆ψ
2
Vz + ∆Vz
My cos ∆ψ
2

P

P

(My + ∆My ) cos ∆ψ
2

Vz

pz

chegando-se em

= −pz

∂My
∂s

∂Vz
∂s

=

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Vz
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Relações entre os esforços:
∂Vy
∂s
∂N s
∂s

=

Vy
R

∂Mz
∂s

=

Vy

∂Vz
∂s

=

−pz

∂My
∂s


= −py −

=

Vz

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Ns
R

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Se o eixo da barra pode ser parametrizada por uma curva
f (t ) = ( x(t ), y(t ))
então podemos determinar o raio de curvatura em cada ponto com
R(t ) =
onde
k (t ) =

1
k (t )

x (t )y (t ) − y (t ) x (t )
3

( x (t )2 + y (t )2 ) 2

Se a curva pode ser representada explicitamente como y = f ( x), então
k=


y
3

(1 + y 2 ) 2

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Programa
1



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Quando as distribuições de tensões são integradas na seção ransversal, temos
σ s dA,

Vy =

τ sy dA,

Vz =

τ sz dA,

(τ sz y − τ sy z)dA,

My =

σ s zdA,

Mz =

σ s ydA

Ns =
Ms =

Vamos nos concentrar em avaliar σ s
Sabemos que σ s é estaticamente equivalente a N s , My e Mz
P

P

z

τsz

s

σs
τsy


y

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De acordo com as equações
Ns =

σ s dA,

My =

σ s zdA,

Mz =

σ s ydA

a distribuição de tensões normais σ s depende de N s , My e Mz
Porém, não podemos avaliar as integrais acima sem conhecer σ s como função de
de y e z
Com as equações da estática exauridas, temos que nos voltar para considerações
de deformação como informação adicional
O que nos leva a conclusão que o simples problema de ﬂexão de uma barra é
estaticamente indeterminado
Para evitar complicações desnecessárias, vamos introduzir a hipótese de Navier


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Hipótese de Navier
Seções planas normais ao eixo geométrico da barra antes da deformação permanecem
planas e normais a esse eixo após a deformação a
a Essa hipótese foi originalmente usada por James Bernoulli (1654–1705), embora Louis
Navier (1785–1836) a tenha usado para desenvolver a primeira teoria completa sobre tensões em
vigas. A teoria para barras com pequenas curvaturas foi primeiramente introduzidas em 1858
por E. Winkler (1935–1888) e é por vezes chamada de Teoria de barras curvas de Winkler

z
y


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u(s, y, z)

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Se tal condição prevalece, temos que o deslocamento na direção normal ao eixo
geométrico, para um dado valor de s pode ser escrito
u = α + βy + γz
onde α = α( s), β = β( s) e γ = γ( s) z são funções de s, e podem ser consideradas constantes ao logo da seção.
z
y

u(s, y, z)

Vamos agora examinar a geometria de um elemento posicionado entre as seções
em s e s + ∆s

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Seja ∆s o incremento no comprimento de arco.
Fibras a uma distância y têm um comprimento ∆sy .
Da geometria
y

∆s
∆sy

∆ψ =
e no limite

∆ψ


R

∆sy
∆s
R
∆s
=
⇒
=
R
R−y
∆sy
R−y
ds
1
=
y
dsy
1− R

A deformação longitudinal de uma ﬁbra qualquer
ﬁca
∂u
∂
=
(α + βy + γz)
s=
∂sy
∂sy

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y

∆s
∆sy

s

∂s
∂s
∂s
+b
y+c
z
∂sy
∂sy
∂sy
∂s
(a + by + cz)
∂sy

= a
=

onde
a=
Substituindo
∆ψ


R

ds
dsy

s

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dα
,
ds

=

=

b=

dβ
,
ds

a=

dγ
ds

1
y
1− R

1
y (a + by + cz)
1− R

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O problema se reduz a determinar a, b e c. Usando as equações da estática,
Ns

=

σ s dA = aE

Mz

=

σ s ydA = aE

My

=

σ s zdA = aE

dA
+ bE
1 − y/R
ydA
+ bE
1 − y/R
zdA
+ bE
1 − y/R

ydA
+ cE
1 − y/R
y2 dA
+ cE
1 − y/R
yzdA
+ cE
1 − y/R

zdA
1 − y/R
zydA
1 − y/R
z2 dA
1 − y/R

onde os coeﬁcientes da integrais dependem unicamente da geometria da seção
transversal
Por simplicidade, fazemos
Jy =

z2
dA,
1 − y/R


Jyz =

yz
dA,
1 − y/R

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Jz =

y2
dA
1 − y/R
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Após algumas manipulações simbólicas, podemos reescrever os termos
1
dA
1 − y/R
z
dA
1 − y/R
y
dA
1 − y/R

=
=
=

1
1
1
y2
ydA + 2
dA = A +
R
1 − y/R
R
R
1
1
zdA +
yzdA = zdA + Jyz
R
R
1
1
ydA +
y2 dA = ydA + Jz
R
R
dA +

ydA +

1
Jz
R2

E, considerando a origem do sistema de coordenadas no centroide da seção,
yda = yA = 0
zda = zA = 0


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E com isso, o sistema se reduz a
Ns
E
Mz
E
Mz
E

=
=
=

A+

Jyz
Jz
Jz
a+ b+
c
R
R
R

Jz
a + Jz b + Jyz c
R
Jyz
a + Jyz b + Jy c
R

Resolvendo
Ea
Eb

=

Ec

=

=

N s Mz
−
A
AR
Mz Jy − My Jyz
2
Jyz

Jy Jz −
My Jz − Mz Jyz

−

Ns
Mz
+
AR AR2

2
Jy Jz − Jyz
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Finalmente,
σs =

Mz Jy − My Jyz
My Jz − Mz Jyz
N s Mz
y
z
−
+
+
2
2
A
AR
1 − y/R
1 − y/R
Jy Jz − Jyz
Jy Jz − Jyz

Os dois primeiros termos representam a tensão normal uniforme na seção
Mesmo em caso de ﬂexão pura (N s = 0) a curvatura causa tensão normal desen−M
volvida no centroide, com magnitude RAz
Os termos restantes representam uma distribuição não uniforme deviso à curvatura inicial


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A linha neutra é o lugar geométrico da seção transversal onde σ s = 0
Usando essa condição na equação anterior


RN s − Mz  Mz Jy − My Jyz RN s − Mz 



 y + My Jz − Mz Jyz z = 0


+
−



2
2
2A
RA
R
Jy Jz − Jyz
Jy Jz − Jyz
A linha neutra passa pelo centroide somente se N s =

Mz
R

No caso de ﬂexão pura (N s = 0) somente se R é inﬁnitamente grande, ou seja, a
barra é reta


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Programa
1



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Vamos considerar uma barra curva submetida à flexão pura
Devido à curvatura de uma barra submetida a flexão pura, tensões radiais significantes podem se desenvolver na seção transversal 1
Considere o segmento de uma barra curva abaixo submetida à flexão pura

1 Efeitos

de do cisalhamento nas tensões radiais serão estudadas na Unidade 5.


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Isolando a porção A , a força desenvolvida nessa área é
σ s dA

F=
A


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Assumindo que N s é zero (ﬂexão pura), e usando
σs =

Mz Jy − My Jyz
My Jz − Mz Jyz
N s Mz
y
z
−
+
+
2
2
A
AR
Jy Jz − Jyz 1 − y/R
Jy Jz − Jyz 1 − y/R

temos que
σ s dA = −

F=
A

onde
Qz =
A


Mz Jy − My Jyz
My Jz − Mz Jyz
Mz A
+
Qz +
Qy
2
2
RA
Jy Jz − Jyz
Jy Jz − Jyz

y
dA,
1 − y/R

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Qy =
A

z
dA
1 − y/R

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Se σy é a tensão radial média e b é a dimensão indicada na ﬁgura, a força de
magnitude
σy (R − y)∆ψb, ∆ψ = ∆s/R
deve ser desenvolvida ara balancear a componente vertical de F
Somando as forças na direção vertical, temos
2F sin

∆ψ
= σy b(R − y)∆ψ
2

Observando que sin ∆ψ → ∆ψ/2 = ∆s/2R, tomando o limite encontramos
2
σy =


F
b(R − y)

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E por ﬁm temos


 Mz A
My Jz − Mz Jyz 
Mz Jy − My Jyz
1


−


σy =
Qz +
Qy 



 RA +
2
2
b(R − y)
Jy Jz − Jyz
Jy Jz − Jyz
À medida que R cresce, σy descresce, e, portanto, é geralmente desprezado comparado com σ s
Este não é o caso de ganchos,correntes e outras partes de máquinas e estruturas
onde a razão h/R é relativamente grande


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