Mecânica dos Sólidos - Unidade 01

1. Mecânica dos Sólidos I – MAC-005 Unidade 01 Luis Paulo S. Barra Leonardo Goliatt Departamento de Mecânica Aplicada e Computacional Universidade Federal de Juiz de Fora v. 14.09 Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecânica dos Sólidos I v. 14.09 1 / 46

2. Livro Texto Livro texto: I Introduction to Continuum Mechanics I W. Michael Lai , David Rubin , Erhard Krempl Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.09 2 / 46

3. Programa 1 Notaç ão Indicial 2 Revisaõ de Ca´lculo e A´ lgebra Linear para Mecaˆnica dos So´lidos Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecânica dos Sólidos I v. 14.09 3 / 46

4. Programa 1 Notaç ão Indicial Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecânica dos Sólidos I v. 14.09 4 / 46

5. Notaç ão indicial Eixos Coordenados Os eixos coordenados x; y e z, sao representados respectivamente por x1 ,x2 e x3 e tem como unitários e1,e2 e e3 Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecânica dos Sólidos I v. 14.09 4 / 46

6. Notaç ão indicial Eixos Coordenados Os eixos coordenados x; y e z, sao representados respectivamente por x1 ,x2 e x3 e tem como unitários e1,e2 e e3 Regra da Soma, Índices Mudos A soma s = a1x1 + a2x2 + a3x3 + +anxn = Xn i=1 aixi Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecânica dos Sólidos I v. 14.09 4 / 46

7. Notaç ão indicial Eixos Coordenados Os eixos coordenados x; y e z, sao representados respectivamente por x1 ,x2 e x3 e tem como unitários e1,e2 e e3 Regra da Soma, Índices Mudos A soma s = a1x1 + a2x2 + a3x3 + +anxn = Xn i=1 aixi é representada por s = aixi = amxm onde i é conhecido como ´ındice mudo. Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecânica dos Sólidos I v. 14.09 4 / 46

8. Notaç ão indicial Eixos Coordenados Os eixos coordenados x; y e z, sao representados respectivamente por x1 ,x2 e x3 e tem como unitários e1,e2 e e3 Regra da Soma, Índices Mudos A soma s = a1x1 + a2x2 + a3x3 + +anxn = Xn i=1 aixi é representada por s = aixi = amxm onde i é conhecido como ´ındice mudo. Em problemas tridimensionais é assumido n = 3. Um vetor n pode ser representado como: n = niei Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecânica dos Sólidos I v. 14.09 4 / 46

9. Notaç ão indicial Índices Mudos (cont.) Somatórios duplos: aijxixj = X3 i=1 X3 j=1 aijxixj = a11x1x1 + a12x1x2 + a13x1x3 a21x2x1 + a22x2x2 + a23x2x3 a31x3x1 + a32x3x2 + a33x3x3 Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecânica dos Sólidos I v. 14.09 5 / 46

10. Notaç ão indicial Índices Mudos (cont.) Somatórios duplos: aijxixj = X3 i=1 X3 j=1 aijxixj = a11x1x1 + a12x1x2 + a13x1x3 a21x2x1 + a22x2x2 + a23x2x3 a31x3x1 + a32x3x2 + a33x3x3 O somatório: X3 i=1 aibixi deve manter o s´ımbolo de somatório, uma vez que: o produto aibixi não é definido nesta notaç ão. Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecânica dos Sólidos I v. 14.09 5 / 46

11. Notaç ão indicial Índices Livres Considere o sistema de equaç ões: b1 = a11x1 + a12x2 + a13x3 b2 = a21x1 + a22x2 + a23x3 b3 = a31x1 + a32x2 + a33x3 Usando a regra da soma, podem ser escritas como: b1 = a1mxm b2 = a2mxm b3 = a3mxm Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecânica dos Sólidos I v. 14.09 6 / 46

12. Notaç ão indicial Índices Livres Podem ser ainda mais compactadas: bi = aimxm; i = 1; 2; 3 Na notaç ão indicial são escritas simplesmente como: bi = aimxm Um ´ındice livre aparece uma vez em cada termo de uma expressão. As expressões abaixo não são definidas: ai = bj Tij = Tik Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecânica dos Sólidos I v. 14.09 7 / 46

13. Notaç ão indicial Delta de Kronecker O delta de Kronecker, denotado por ij, é definido por ij = ( 1 se i = j 0 se i , j ou seja 11 = 22 = 33 = 1 12 = 13 = 21 = 23 = 31 = 31 = 0 Ainda observamos que: ii = 1 + 1 + 1 = 3 1mam = 11a1 + 12a2 + 13a3 imTmj = Tij Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecânica dos Sólidos I v. 14.09 8 / 46

14. Notaç ão indicial S´ımbolo de Permutaç ão O s´ımbolo de permutaç ão, denotado por ijk, é definido por ijk = 8: +1 1 0 9=; se i; j; k 8: formam um permutaç ão par formam um permutaç ão ´ımpar não formam permutaç ão 9=; de 1, 2, 3, ou seja 123 = 231 = 312 = 1 132 = 321 = 213 = 1 111 = 112 = = 333 = 0 Observe que ei ej = ijkek Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecânica dos Sólidos I v. 14.09 9 / 46

15. Notaç ão indicial 123 = 231 = 312 = 1 132 = 321 = 213 = 1 111 = 112 = = 333 = 0 ei ej = ijkek Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecânica dos Sólidos I v. 14.09 10 / 46

16. Programa 2 Revisaõ de Ca´lculo e A´ lgebra Linear para Mecaˆnica dos So´lidos Tensor: uma Transformaç ão Linear Transposta de um Tensor Produto Diádico e Traço de um Tensor Tensor Identidade e Tensor Inverso Tensor Ortogonal Tensores Simétricos e Antissimétricos Vetor Dual de um Tensor Antissimétrico Autovalores e Autovetores Valores Principais, Direç ões Principais e Invariantes Escalares Derivada da Funç ão Tensorial de um Escalar Gradiente de Campo Escalar Gradiente de Campo Vetorial Divergência de um Campo Vetorial Divergência de um Campo Tensorial Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecânica dos Sólidos I v. 14.09 11 / 46

18. Tensor: uma Transformaç ão Linear Transformaç ão Linear Seja T uma transformaç ão que transfoma um vetor em outro vetor. Se T transforma a em b e c em d Ta = b Tc = d Se T tem as seguintes propriedades de linearidade T(a+b) = Ta + Tb T(a) = (Ta) onde a e b são vetores arbitrários e é um escalar, então T é chamado de transformaç ão linear ou tensor de segunda ordem ou simplesmente tensora b. Em particular: T(a +

19. b) = Ta +

20. Tb aUm tensor de ordem n em um espaço com três dimensões possui 3n componentes. Um tensor de ordem 2 possui nove componentes. Um vetor e um escalar são casos particulares de tensores, respectivamente de ordem um e zero. bMais sobre tensores: http://goo.gl/EW0KwM e também http://goo.gl/XQ3lwa Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecânica dos Sólidos I v. 14.09 11 / 46

21. Tensor: uma Transformaç ão Linear As componente sde um vetor dependem da base usada para descrever seus componentes. o mesmo vale para tensores. Te1 = T11e1 + T21e2 + T31e3 Te2 = T12e1 + T22e2 + T32e3 Te3 = T13e1 + T23e2 + T33e3 ou Tei = Tjiej As componentes podem ser arranjadas em uma matriz da forma [T] = 2666666664 T11 T12 T13 T21 T22 T23 T31 T32 T33 3777777775 Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecânica dos Sólidos I v. 14.09 12 / 46

22. Tensor: uma Transformaç ão Linear Também, considerando que e1 e2 = e1 e3 = e2 e3 = 0, pode ser verificado que T11 = e1 Te1 T21 = e2 Te1 T31 = e3 Te1 T21 = e2 Te1 T22 = e2 Te2 T23 = e2 Te3 T31 = e3 Te1 T32 = e3 Te2 T33 = e3 Te3 ou Tij = ei Tej Basta verificar que e1 Te1 = e1 (T11e1 + T21e2 + T31e3) e1 Te2 = e1 (T12e1 + T22e2 + T32e3) ::: ::: ::: e3 Te3 = e3 (T13e1 + T23e2 + T33e3) Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecânica dos Sólidos I v. 14.09 13 / 46

23. Tensor: uma Transformaç ão Linear Se houver uma mudança para a base fe0i g T0 ij = e0i Te0j Dependência entre componentes e a base Os tensores e vetores são independentes do sistema de coordenadas, mas suas componentes são dependentes do sistema usado. Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecânica dos Sólidos I v. 14.09 14 / 46

24. Tensor: uma Transformaç ão Linear Em termos matriciais, consideranndo a = aiei a transformaç ão Ta = b fica 2666666664 b1 b2 b3 3777777775 = 2666666664 T11 T12 T13 T21 T22 T23 T31 T32 T33 3777777775 2666666664 a1 a2 a3 3777777775 ou [b] = [T][a ] o que indicialmente fica bm = aiTmi = Tmiai Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecânica dos Sólidos I v. 14.09 15 / 46

26. Transposta de um Tensor Transposta de um Tensor A transposta de um tensor T, denotada por TT , é definido como o tensor que satisfaz a seguinte identidade para quaisquer a e b a Tb = b TTa Da definiç ão anterior, com a = ei e b = ej, e também Tij = ei Tej ei Tej = ej TTei lembrando que [T] = 2666666664 T11 T12 T13 T21 T22 T23 T31 T32 T33 3777777775 e TT = 2666666664 T11 T21 T31 T12 T22 T32 T13 T23 T33 3777777775 temos portanto Tji = TT ij ou [T]T = [TT ] Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecânica dos Sólidos I v. 14.09 16 / 46

28. Produto Diádico de dois Vetores Produto Diádico de dois Vetores O produto diádico ab de dois vetores a e b, denotado por ab, é definido pela tranformaç ão que tranforma c segundo a regra (ab)c = a(b c) O produto diádico ab é uma transformaç ão linear. SejaW = ab, então em termos de componentes Wij = ei Wej = ei (ab)ej = ei a(b ej) = aibj ou seja Wij = aibj ou [W] = 2666666664 a1b1 a1b2 a1b3 a2b1 a2b2 a2b3 a3b1 a3b2 a3b3 3777777775 = 2666666664 a1 a2 a3 3777777775 h b1 b2 b3 i Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecânica dos Sólidos I v. 14.09 17 / 46

29. Traço de um Tensor Definiç ão: trab = a b E satisfaz a condiç ão de linearidade: tr(ab +

30. cd) = trab +

31. trcd Além disso: trT = tr(Tijeiej) = Tijtr(eiej) = Tijei ej = Tijij = Tii Isto é: trT = T11 + T22 + T33 (soma dos termos da diagonal) Logo: trT = trTT Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecânica dos Sólidos I v. 14.09 18 / 46

33. Tensor Identidade Definiç ão: Ia = a Em particular: Ie1 = e1 Ie2 = e2 Ie3 = e3 Componentes: Iij = ei Iej = ei ej = ij Isto é: [I] = 2666666664 1 0 0 0 1 0 0 0 1 3777777775 Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecânica dos Sólidos I v. 14.09 19 / 46

34. Tensor Inverso Se existe S tal que ST = I então S é o inverso de T, representado por S = T1. Potência de ordem zero é o tensor identidade: T1T = T1+1 = T0 = I Componentes da inversa determinados pela inversão da matriz [T] de T. Logo: T1T = TT1 = I Com isso, 9 T1 , det [T] , 0 e pode-se provar que: TT 1 = T1 T (ST)1 = T1S1 Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecânica dos Sólidos I v. 14.09 20 / 46

35. Tensor Inverso Se não existe T1 : Exemplo: T = ab Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecânica dos Sólidos I v. 14.09 21 / 46

37. Tensor Ortogonal Tensor Ortogonal Um tensor ortogonal, Q é uma transformaç ão que preserva os comprimentos e os ângulos dos vetores, isto é, preserva o produto escalar: Qa Qb = a b Logo, da definiç ão de transposta, onde a Tb = b TTa, temos: Qa Qb = b QT (Qa) = b QTQ a Da definiç ão: b QTQ a = a b = b a = b Ia Portanto QTQ = I, o que significa que: QT = Q1 =) QTQ = QQT = I Em notaç ão indicial: QimQjm = QmiQmj = ij Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecânica dos Sólidos I v. 14.09 22 / 46

39. Tensores Simétricos e Antissimétricos Um tensor é dito simétrico se T = TT . Logo Tij = Tji ) T12 = T21; T23 = T32; T13 = T31 Um tensor é dito antissimétrico se T = TT . Então Tij = Tji Com isso, temos T11 = T22 = T33 = 0; T12 = T21; T23 = T32; T13 = T31 Qualquer tensor T pode ser decomposto unicamente na soma de um tensor simétrico TS e um tensor antissimétrico TA T = TS + TA onde TS = T + TT 2 ; TA = T TT 2 Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecânica dos Sólidos I v. 14.09 23 / 46

41. Vetor Dual de um Tensor Antissimétrico Os elementos de um tensor antissimétrico Wsão sempre nulos, e dos seis elementos fora da diagonal somente três são independentes, pois W12 = W21; W23 = W32; W13 = W31 Logo,Wpode ser representado por somente três componentes. Além disso, ele se comporta como um vetor. Especificamente, Vetor dual Para cada tensor antissimétricoWexiste um vetor correspodente tA, tal que para cada vetor a, a aplicaç ão de Wem a, Wa, pode ser obtid a pelo produto vetorial Wa = tA a Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecânica dos Sólidos I v. 14.09 24 / 46

42. Vetor Dual de um Tensor Antissimétrico Podemos verificar que W12 = e1 We2 = e1 tA e2 = tA e2 e1 = tA e3 = tA 3 W31 = e3 We1 = e3 tA e1 = tA e1 e3 = tA e2 = tA 2 W23 = e2 We3 = e2 tA e3 = tA e3 e2 = tA e1 = tA 1 o que resulta em W21 = tA 3 ; W23 = tA 1 ; W13 = tA 2 ; W11 = W22 = W33 = 0 Usando a representaç ão matricial do tensor [W] = 2666666664 0 W12 W13 W21 0 W23 W31 W32 0 3777777775 = 2666666664 0 W21 W31 W21 0 W32 W31 W32 0 3777777775 = 2666666664 0 tA 3 tA 2 tA 3 0 tA 1 tA 2 tA 1 0 3777777775 7! 2666666664 tA 1 tA 2 tA 3 3777777775 Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecânica dos Sólidos I v. 14.09 25 / 46

43. Vetor Dual de um Tensor Antissimétrico Assim [W] = 2666666664 0 W12 W13 W21 0 W23 W31 W32 0 3777777775 = 2666666664 0 W21 W31 W21 0 W32 W31 W32 0 3777777775 = 2666666664 3 tA 2 0 tA tA 3 0 tA 1 tA 2 tA 1 0 3777777775 7! 2666666664 tA 1 tA 2 tA 3 3777777775 que pode ser escrito como tA = (W23e1 + W31e2 + W12e3) = W32e1 + W13e2 + W21e3 ou em notaç ão indicial 2tA = ijkWjkei O vetor dual possui vários usos: Permite determinar facilmente o eixo de rotaç ão de um tensor de rotaç ão finita. Em realidade, o eixo de rotaç ão é paralelo ao vetor dual da parte antissimétrica do tensor de rotaç ão. Permite determinar os ângulos infinitesimais de rotaç ão de elementos materiais que sogrem uma deformaç ão infinitesimal. Permite obter a velocidade angular de elementos materiais em um movimento. Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecânica dos Sólidos I v. 14.09 26 / 46

45. Autovalores e Autovetores Autovalores e Autovetores Considere um tensor T. Se a é um vetor que é transformado por T em um vetor paralelo a ele mesmo, ou seja Ta = a então é autovalor e a é autovetor de T. Indeterminaç ão do módulo: T(a) = Ta = a = (a) Seja n é um autovetor unitário: Tn = n = In Logo: (T I) n = 0 Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecânica dos Sólidos I v. 14.09 27 / 46

46. Autovalores e Autovetores Soluç ão não trivial: jT Ij = 0 Explicitando a expressão anterior:

54. T11 T12 T13 T21 T22 T23 T31 T32 T33

62. = 0 Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.09 28 / 46

63. Autovalores de Tensores Simétricos Seja o autovalor complexo de um tensor real simétrico T . Logo: [T] fng = fng E tomando os complexos cojugados de ambos os membros: [T] f ¯ng = ¯ f ¯ng Pode-se então escrever: f ¯ n¯gT [T] fng = f n¯gT fng fngT [T] f n¯g = fngT f n¯g Uma vez que T é simétrico: fngT [T] f ¯ng = f ¯ngT [T] fng Logo: ( ¯) f ¯ngT fng = 0 Uma vez que n é não nulo, = ¯ . Portanto: Os autovalores de um tensor simétrico são reais. Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecânica dos Sólidos I v. 14.09 29 / 46

65. Valores e Direç ões Principais Sejam n1 e n2 dois autovetores correspondendo a dois autovalores distintos 1 e 2 de um tensor simétrico T: Tn1 = 1n1 Tn2 = 2n2 Logo: 1n1 n2 = n2 Tn1 2n2 n1 = n1 Tn2 = n2 TTn1 = n2 Tn1 (pela simetria.) Subtraindo membro a membro: (1 2) (n1 n2) = 0 Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecânica dos Sólidos I v. 14.09 30 / 46

66. Valores e Direç ões Principais 1 , 2 , 3 Se 1 , 2 então: (n1 n2) = 0 ! n1?n2 . 1 = 2 = , 3 Se n1 , n2 com 1 = 2 = , então: T(n1 +

67. n2) = Tn1 +

68. Tn2 = n1 +

69. n2 = (n1 +

70. n2) Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.09 31 / 46

71. Valores e Direç ões Principais 1 = 2 = , 3 Isto é n1 +

72. n2 (um vetor qualquer do plano) também é autovetor de T. Logo pode-se escolher n1?n2. 1 = 2 = 3 = Se 1 = 2 = 3 = qualquer vetor vetor é autovetor. Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecânica dos Sólidos I v. 14.09 32 / 46

73. Valores e Direç ões Principais 1 = 2 = , 3 Isto é n1 +

74. n2 (um vetor qualquer do plano) também é autovetor de T. Logo pode-se escolher n1?n2. 1 = 2 = 3 = Se 1 = 2 = 3 = qualquer vetor vetor é autovetor. Conclusão Para um tensor real e simétrico é sempre poss´ıvel determinar três direç ões principais mutuamente ortogonais. Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecânica dos Sólidos I v. 14.09 32 / 46

75. [T] em relaç ão às Direç ões Principais Usando os autovetores n1, n2 e n3 como base do sistema de coordenadas: T11 = n1 Tn1 = n1 (1n1) = 1 T22 = n2 Tn2 = n2 (2n2) = 2 T33 = n3 Tn3 = n3 (3n3) = 3 Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecânica dos Sólidos I v. 14.09 33 / 46

76. [T] em relaç ão às Direç ões Principais Usando os autovetores n1, n2 e n3 como base do sistema de coordenadas: T11 = n1 Tn1 = n1 (1n1) = 1 T22 = n2 Tn2 = n2 (2n2) = 2 T33 = n3 Tn3 = n3 (3n3) = 3 T12 = n1 Tn2 = n1 (2n2) = 0 T13 = n1 Tn3 = n1 (3n3) = 0 T23 = n2 Tn3 = n2 (3n3) = 0 Logo: [T]n1;n2;n3 = 2666666664 1 0 0 0 2 0 0 0 3 3777777775 Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecânica dos Sólidos I v. 14.09 33 / 46

77. [T] em relaç ão às Direç ões Principais Valores Extremos dos Coeficientes da Diagonal Seja um vetor unitário e0 1 = n1 +

78. n2 + n3 Logo: T0 11 = e0 1 Te0 1 = ;

79. ; 2666666664 1 0 0 0 2 0 0 0 3 3777777775 2666666664

80. 3777777775 11 = 12 + 2

81. 2 + 3 2 Logo: T0 Seja 1 2 3, notando que 2 +

82. 2 + 2 = 1 tem-se 1 = 1(2 +

83. 2 + 2) 12 + 2

84. 2 + 3 2 Logo: 1 T0 11 Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.09 34 / 46

85. Invariantes Escalares Equac¸ ˜ao caracter´ıstica: 3 I12 + I2 I3 = 0 onde: I1 = T11 + T22 + T33 I2 =

91. T11 T12 T21 T22

103. T22 T23 T32 T33

109. +

115. T11 T13 T31 T33

121. = TiiTjj TijTij 2 I3 =

129. T11 T12 T13 T21 T22 T23 T31 T32 T33

137. Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.09 35 / 46

138. Invariantes Escalares Em relaç ão aos autovalores I1 = 1 + 2 + 3 I2 = 12 + 23 + 13 I3 = 123 Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecânica dos Sólidos I v. 14.09 36 / 46

140. Funç ões Tensoriais de um Escalar Definiç ão de Derivada dT dt = lim t!0 T(t + t) T(t) t Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecânica dos Sólidos I v. 14.09 37 / 46

141. Funç ões Tensoriais de um Escalar Definiç ão de Derivada dT dt = lim t!0 T(t + t) T(t) t Propriedades d dt (T + S) = dT dt + dS dt Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecânica dos Sólidos I v. 14.09 37 / 46

142. Funç ões Tensoriais de um Escalar Definiç ão de Derivada dT dt = lim t!0 T(t + t) T(t) t Propriedades d dt (T + S) = dT dt + dS dt d dt ((t)T) = d dt T + dT dt Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecânica dos Sólidos I v. 14.09 37 / 46

143. Funç ões Tensoriais de um Escalar Definiç ão de Derivada dT dt = lim t!0 T(t + t) T(t) t Propriedades d dt (T + S) = dT dt + dS dt d dt ((t)T) = d dt T + dT dt d dt (TS) = dT dt S + T dS dt Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecânica dos Sólidos I v. 14.09 37 / 46

144. Funç ões Tensoriais de um Escalar Definiç ão de Derivada dT dt = lim t!0 T(t + t) T(t) t Propriedades d dt (T + S) = dT dt + dS dt d dt ((t)T) = d dt T + dT dt d dt (TS) = dT dt S + T dS dt d dt (Ta) = dT dt a + T da dt Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecânica dos Sólidos I v. 14.09 37 / 46

145. Funç ões Tensoriais de um Escalar Definiç ão de Derivada dT dt = lim t!0 T(t + t) T(t) t Propriedades d dt (T + S) = dT dt + dS dt d dt ((t)T) = d dt T + dT dt d dt (TS) = dT dt S + T dS dt d dt (Ta) = dT dt a + T da dt d dt TT = dT dt !T Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecânica dos Sólidos I v. 14.09 37 / 46

146. Derivada Derivada de Ta d dt (Ta) = lim t!0 T(t + t)a(t + t) T(t)a(t) t Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.09 38 / 46

147. Derivada Derivada de Ta d dt (Ta) = lim t!0 T(t + t)a(t + t) T(t)a(t) t = lim t!0 T(t + t)a(t + t) T(t)a(t + t) t + lim t!0 T(t)a(t + t) T(t)a(t) t Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.09 38 / 46

148. Derivada Derivada de Ta d dt (Ta) = lim t!0 T(t + t)a(t + t) T(t)a(t) t = lim t!0 T(t + t)a(t + t) T(t)a(t + t) t + lim t!0 T(t)a(t + t) T(t)a(t) t = lim t!0 T(t + t) T(t) t a(t + t) +T(t) lim t!0 a(t + t) a(t) t Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.09 38 / 46

149. Derivada Derivada de Ta d dt (Ta) = lim t!0 T(t + t)a(t + t) T(t)a(t) t = lim t!0 T(t + t)a(t + t) T(t)a(t + t) t + lim t!0 T(t)a(t + t) T(t)a(t) t = lim t!0 T(t + t) T(t) t a(t + t) +T(t) lim t!0 a(t + t) a(t) t = dT dt a + T da dt Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.09 38 / 46

150. Componentes da Derivada Partindo de: Tij = ei Tej Como os vetores base são fixos: dei dt . Logo: dTij dt = ei d dt Tej Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecânica dos Sólidos I v. 14.09 39 / 46

151. Componentes da Derivada Partindo de: Tij = ei Tej Como os vetores base são fixos: dei dt . Logo: dTij dt = ei d dt Tej = ei dT dt ej Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecânica dos Sólidos I v. 14.09 39 / 46

152. Componentes da Derivada Partindo de: Tij = ei Tej Como os vetores base são fixos: dei dt . Logo: dTij dt = ei d dt Tej = ei dT dt ej = dT dt ! ij Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecânica dos Sólidos I v. 14.09 39 / 46

154. Gradiente de Campo Escalar Definiç ão Seja o campo escalr (r), isto é, uma funç ão escalar do vetor posiç ão, r. Define-se o gradiente de , representado por r pela relaç ão: d = (r + dr) (r) r dr Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecânica dos Sólidos I v. 14.09 40 / 46

155. Gradiente de Campo Escalar Definiç ão Seja o campo escalr (r), isto é, uma funç ão escalar do vetor posiç ão, r. Define-se o gradiente de , representado por r pela relaç ão: d = (r + dr) (r) r dr Componentes Seja e o unitário na direç ão de dr, isto é: dr = edr, logo pode-se escrever a derivada na direç ão de dr como: d dr = r e Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecânica dos Sólidos I v. 14.09 40 / 46

156. Gradiente de Campo Escalar Definiç ão Seja o campo escalr (r), isto é, uma funç ão escalar do vetor posiç ão, r. Define-se o gradiente de , representado por r pela relaç ão: d = (r + dr) (r) r dr Componentes Seja e o unitário na direç ão de dr, isto é: dr = edr, logo pode-se escrever a derivada na direç ão de dr como: d dr = r e Desta forma: d dr ! na direç ão i = @ @xi = r ei = (r)i Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecânica dos Sólidos I v. 14.09 40 / 46

157. Gradiente de Campo Escalar Componentes E portanto: r = @ @x1 e1 + @ @x2 e2 + @ @x3 e3 = @ @xi ei = ;iei Interpretaç ão Geométrica Sejam r e r + dr vetores posiç ão em uma superf´ıcie com constante, logo: d = r dr = 0 Logo r é perpendicular à superf´ıcie de constante. Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecânica dos Sólidos I v. 14.09 41 / 46

158. Gradiente de Campo Escalar Componentes E portanto: r = @ @x1 e1 + @ @x2 e2 + @ @x3 e3 = @ @xi ei = ;iei Interpretaç ão Geométrica Sejam r e r + dr vetores posiç ão em uma superf´ıcie com constante, logo: d = r dr = 0 Logo r é perpendicular à superf´ıcie de constante. Por outro lado r dr é máximo quando dr tem a mesma direç ão de r, logo: A máxima derivada direcional em um ponto é o gradiente do campo escalar, sendo perpendicular a superf´ıcie de constante. Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecânica dos Sólidos I v. 14.09 41 / 46

160. Gradiente de Campo Vetorial Definiç ão É o tensor de segunda ordem definido pela expressão: dv = v(r + dr) v(r) (rv)dr Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecânica dos Sólidos I v. 14.09 42 / 46

161. Gradiente de Campo Vetorial Definiç ão É o tensor de segunda ordem definido pela expressão: dv = v(r + dr) v(r) (rv)dr Novamente, seja dr = edr, logo: dv dr ! na direç ão de e = (rv)e Logo o tensor de segunda ordem (rv) transforma o vetor e na taxa de variaç ão de v naquela direç ão. Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecânica dos Sólidos I v. 14.09 42 / 46

162. Gradiente de Campo Vetorial Componentes Da expressão acima: dv dr ! na direç ão de e1 @v @x1 = (rv)e1 Logo: (rv)11 = e1 (rv)e1 Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecânica dos Sólidos I v. 14.09 43 / 46

163. Gradiente de Campo Vetorial Componentes Da expressão acima: dv dr ! na direç ão de e1 @v @x1 = (rv)e1 Logo: (rv)11 = e1 (rv)e1 = e1 @v @x1 Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecânica dos Sólidos I v. 14.09 43 / 46

164. Gradiente de Campo Vetorial Componentes Da expressão acima: dv dr ! na direç ão de e1 @v @x1 = (rv)e1 Logo: (rv)11 = e1 (rv)e1 = e1 @v @x1 = @ @x1 (e1 v) Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecânica dos Sólidos I v. 14.09 43 / 46

165. Gradiente de Campo Vetorial Componentes Da expressão acima: dv dr ! na direç ão de e1 @v @x1 = (rv)e1 Logo: (rv)11 = e1 (rv)e1 = e1 @v @x1 = @ @x1 (e1 v) = @v1 @x1 Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecânica dos Sólidos I v. 14.09 43 / 46

166. Gradiente de Campo Vetorial Componentes De maneira geral: (rv)ij = @vi @xj = vi;j E desta forma: [rv] = 266666666666666666666666666666664 @v1 @x1 @v1 @x2 @v1 @x3 @v2 @x1 @v2 @x2 @v2 @x3 @v3 @x1 @v3 @x2 @v3 @x3 377777777777777777777777777777775 Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.09 44 / 46

168. Divergência de um Campo Vetorial Definiç ão A divergência de um campo vetorial é definida como: divv trrv Em um sistema de coordenadas Cartesianas: divv = @v1 @x1 + @v2 @x2 + @v3 @x3 = @vi @xi Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecânica dos Sólidos I v. 14.09 45 / 46

170. Divergência de um Campo Tensorial Definiç ão divT a div TTa tr TT (ra) Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecânica dos Sólidos I v. 14.09 46 / 46

171. Divergência de um Campo Tensorial Definiç ão divT a div TTa tr TT (ra) Componentes (divT)i = divT ei Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecânica dos Sólidos I v. 14.09 46 / 46

172. Divergência de um Campo Tensorial Definiç ão divT a div TTa tr TT (ra) Componentes (divT)i = divT ei = div TTei tr TT (rei) Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecânica dos Sólidos I v. 14.09 46 / 46

173. Divergência de um Campo Tensorial Definiç ão divT a div TTa tr TT (ra) Componentes (divT)i = divT ei = div TTei tr TT (rei) = div (Timem) 0 Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecânica dos Sólidos I v. 14.09 46 / 46

174. Divergência de um Campo Tensorial Definiç ão divT a div TTa tr TT (ra) Componentes (divT)i = divT ei = div TTei tr TT (rei) = div (Timem) 0 = @Tim @xm Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecânica dos Sólidos I v. 14.09 46 / 46

175. Divergência de um Campo Tensorial Definiç ão divT a div TTa tr TT (ra) Componentes (divT)i = divT ei = div TTei tr TT (rei) = div (Timem) 0 = @Tim @xm De outra forma: divT = @Tim @xm ei Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecânica dos Sólidos I v. 14.09 46 / 46

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