Unidade 02 - Fundamentos de Mecânica das Estruturas

Unidade 02
Modelos de Estruturas Reticuladas
Fundamentos de Mecânica das Estruturas

Leonardo Goliatt
Departamento de Mecânica Aplicada e Computacional
Universidade Federal de Juiz de Fora

versão 13.05

Leonardo Goliatt (MAC-UFJF)

Unidade 02

versão 13.05

1 / 51

Introdução

Programa
1

Introdução
Estruturas Reticuladas
Ações Externas – Cargas
Princípios Gerais de Mecânica das Estruturas


Unidade 02

versão 13.05

2 / 51

Introdução


Programa
1

Introdução


Unidade 02

versão 13.05

2 / 51

Introdução


Introdução

Estrutura Reticulada
é aquela constituída por elementos resistentes nos quais uma dimensão se sobressai
sobre as outras duas. A interseção de uma ou mais elementos é chamada de nó.


Unidade 02

versão 13.05

2 / 51

Introdução


Programa
1

Introdução


Unidade 02

versão 13.05

3 / 51

Introdução


Introdução

As ações externas aplicadas a estruturas são os agentes causadores de tensões e
deformações internas aos componentes da estrutura.
As cargas podem ser divididas em dois grupos
1
2

Cargas Permanentes
Cargas Acidentais


Unidade 02

versão 13.05

3 / 51

Introdução


Introdução

1

Cargas Permanentes
Peso próprio
Qualquer outro tipo de carregamento com magnitude ou permanência constantes
que atuam sobre a estrutura
Empuxo do solo: ocorre em estruturas de contenção, reservatórios subterrâneos,
piscinas, galerias e túneis

2

Cargas Acidentais
Cargas móveis: cargas que se movem gradualmente de uma posição para outra sem
causar impacto na estrutura
Sobrecarga: cargas que não mudam de posição e podem atuar ou não sobre a extrutura em um determinado intervalo de tempo (móveis em um apartamento de um
edifício residencial).
Impacto: considerado quando cargas em movimento atuam sobre a estrutura.
Denomina-se o coeﬁciente de impacto a magnitude que irá majorar o valor dessas
cargas em movimento. Este tipo de coeﬁciente está sendo substituído por resultados
de análises dinâmicas dos modelos estruturais


Unidade 02

versão 13.05

4 / 51

Introdução


Programa
1

Introdução


Unidade 02

versão 13.05

5 / 51

Introdução


Introdução

Quatro níveis de abstração
Estrutura Real
↓
Modelo Estrutural
↓
Modelo discreto
↓
Modelo Computacional


Unidade 02

versão 13.05

5 / 51

Introdução


Introdução

Modelo estrutural
Na concepção do modelo estrutural é feita uma idealização do comportamento da
estrutura real.
Hipóteses simpliﬁcadoras:
hipóteses sobre a geometria do modelo;
hipóteses sobre as condições de suporte (ligação com o meio externo, por exemplo, com o solo);
hipóteses sobre o comportamento dos materiais;
hipóteses sobre as solicitações que agem sobre a estrutura (cargas de ocupação
ou pressão de vento, por exemplo).


Unidade 02

versão 13.05

6 / 51

Condições Básicas de Análise Estrutural

Programa
2

Condições de equilíbirio
Condições de compatibilidade
Leis constitutivas dos materiais
Solução Numérica
Simpliﬁcação do modelo
Comparação entre P1 e P2
Superposição de Efeitos


Unidade 02

versão 13.05

7 / 51


As condições matemáticas que o modelo estrutural tem que satisfazer para representar
adequadamente o comportamento da estrutura real:
condições de equilíbrio;
condições de compatibilidade entre deslocamentos e deformações;
condições sobre o comportamento dos materiais que compõem a estrutura (leis
constitutivas dos materiais).


Unidade 02

versão 13.05

7 / 51


Problema P1
Determine os esforços nas barras da estrutura. Considere que as barras são feitas do
mesmo material elástico-linear e a área A da seção transversal é constante.


Unidade 02

versão 13.05

8 / 51



Programa
2

Solução Numérica


Unidade 02

versão 13.05

9 / 51




Considerando o equilíbirio do nó inferior na conﬁguração deformada, temos
Fx = 0
Fy = 0

⇒
⇒

N2 = N3
N1 + 2N2 cos φ = P

onde N1 é o esforço na barra vertical e N2 é o esforço na barras inclinadas.
Análise de segunda ordem
A análise feita com o equilíbrio na conﬁguração deformada denomina-se análise de
segunda ordem (deslocamentos não desprezíveis na imposição das condições de equilíbrio).


Unidade 02

versão 13.05

9 / 51



Programa
2

Solução Numérica


Unidade 02

versão 13.05

10 / 51




As condições de compatibilidade podem ser divididas em dois grupos:
Condições de compatibilidade externa: referem-se aos vínculos externos da estrutura
e garantem que os deslocamentos e deformações sejam compatíveis
com as hipóteses adotadas com respeito aos suportes ou ligações com
outras estruturas.
Condições de compatibilidade interna: garantem que a estrutura permaneça, ao se
deformar, contínua no interior dos elementos estruturais (barras) e
nas fronteiras entres os elementos estruturais, isto é, que as barras
permaneçam ligadas pelos nós que as conectam (incluindo ligação por
rotação no caso de não haver articulação entre barras).


Unidade 02

versão 13.05

10 / 51




Relação de compatibilidade:
cos φ

= √

d1

= u

d2

=

l+u
( l + u ) 2 + a2

(l + u)2 + a2 − l2 + a2

onde u é o deslocamento vertical no nó inferior, d1 é o alongamento na barra vertical e
d2 é o alongamento na barras inclinadas.


Unidade 02

versão 13.05

11 / 51


Programa
2

Solução Numérica


Unidade 02

versão 13.05

12 / 51



O modelo matemático do comportamento dos materiais, em um nível
macroscópico, é expresso por um conjunto de relações matemáticas entre tensões e deformações.
A lei constitutiva que relaciona tensões normais e deformações normais é a conhecida Lei de Hooke e é dada por
σ = Eε
onde E é o módulo de elasticidade do material, σ são as tensões normais na direção axial da barra e ε indicam as deformações normais na direção axial da
barra.


Unidade 02

versão 13.05

12 / 51



Assim, para a barra vertical
d1
u
N1
= E ⇒ N1 = EA
A
l
l
e para as barras inclinadas

(l + u)2 + a2 − l2 + a2
N2
d2
=E
⇒ N2 = EA
A
l2 + a2
l2 + a2


Unidade 02

versão 13.05

13 / 51



Substituindo os cos φ, N1 e N2 na equação de equilíbrio,

(l + u)2 + a2 − l2 + a2
u
EA + 2EA
l
l2 + a2
e após algumas simpliﬁcações temos:




u 
u
1


+2 1+ 


l
l 
 1+

a 2
l

l+u

1

−
1+

=P

( l + u ) 2 + a2

u 2
l

+

a
l






P


=

 EA
2


!
Vê-se que só foi possível resolver a estrutura hiperestática desse exemplo usando todos os três tipos de condições: equilíbrio, compatibilidade e leis constitutivas.

Unidade 02

versão 13.05

14 / 51



Há casos em que o material é também solicitado ao efeito de cisalhamento. Para
materiais trabalhando em regime elástico-linear, a lei constitutiva que relaciona
tensões cisalhantes com distorções de cisalhamento é dada por:
τ = Gγ
onde G é módulo de cisalhamento (propriedade do material), τ é a tensão de
cisalhamento γ a distorção de cisalhamento.


Unidade 02

versão 13.05

15 / 51


Solução Numérica

Programa
2

Solução Numérica


Unidade 02

versão 13.05

16 / 51


Solução Numérica


Solução Numérica
Para derivar um procedimento de solução vamos usar a relação
u2 + 2 ul + l2 + a2 −

EA
EAu
P=
+2
l

l2 + a2 (u + l)

l2 + a2 u2 + 2 ul + l2 + a2

e empregar o método de Newton, onde
uk+1 = uk+1 −
com

∂P(u )
∂u

=

EA
l

∂P(uk )
P(uk )
∂u

EA(2 u+2 l)(u+l)
√
+
+ 2
(u +2 ul+l2 +a2 )√ l2 +a2
√

2EA

u2 +2 ul+l2 +a2 −

l 2 + a2

√
√
2
2
2
l2 2
√l +a u +2 ul+√+a

EA

u2 +2 ul+l2 +a2 −

√

−

l2 +a2 (u+l)(2 u+2 l)

l2 +a2 (u2 +2 ul+l2 +a2 )

Unidade 02

3/2

versão 13.05

16 / 51


Solução Numérica


Solução Numérica
Para simpliﬁcação, vamos assumir que
∂P(uk )
= Kk;
∂u

P(uk ) = Pk

e então o método de Newton ﬁca
uk+1 = uk+1 − K k Pk
com

∂P(uk )
∂u


=
u=0

EA
2EAl2
+ 2
l
(l + a2 )3/2

Unidade 02

versão 13.05

17 / 51



Programa
2

Solução Numérica


Unidade 02

versão 13.05

18 / 51




No problema anterior, a condição de equilíbrio na direção vertical do nó inferior
da estrutura foi escrita considerando a geometria deformada da estrutura.
Em alguns casos, os deslocamentos que a estrutura vai sofrer são muito pequenos em relação às suas dimensões.
Essa hipótese, denominada de hipótese de pequenos deslocamentos, será adotada
como simpliﬁcação.
A análise de estruturas com essa consideração denomina-se análise de primeira
ordem.


Unidade 02

versão 13.05

18 / 51




Problema P2
Seja o problema P1. Considere agora uma condição de pequenos deslocamentos, de
modo que as equações de equilíbrio sejam escritas na conﬁguração indeformada.


Unidade 02

versão 13.05

19 / 51




Mantendo-se a hipótese de pequenos deslocamentos, pode-se considerar que o
ângulo entre as barras após a deformação da estrutura não se altera,
Nesse exemplo os deslocamentos são considerados pequenos
A equação de equilíbrio que relaciona a força aplicada P com o esforço normal
nas barras é escrita na conﬁguração indeformada da estrutura
Fx = 0
Fy = 0

⇒
⇒

N2 = N3
N1 + 2N2 cos θ = P

onde N1 é o esforço na barra vertical e N2 é o esforço na barras inclinadas.


Unidade 02

versão 13.05

20 / 51




Pode-se então estabelecer relações de compatibilidade entre os alongamentos das
barras e o deslocamento vertical do nó inferior:
cos θ = √ l
l 2 + a2

d1
d2

= u
= u cos θ = u√ 2 l

l + a2

onde u é o deslocamento vertical no nó inferior, d1 é o alongamento na barra vertical e
d2 é o alongamento na barras inclinadas.


Unidade 02

versão 13.05

21 / 51




Das equações constitutivas temos para a barra vertical
N1
d1
u
= E ⇒ N1 = EA
A
l
l
e para as barras inclinadas
ul
d2
N2
=E
⇒ N2 = EA 2
A
l + a2
l 2 + a2


Unidade 02

versão 13.05

22 / 51




Voltando na equação de equilíbrio temos
u
ul
EA + 2EA 2
l
l + a2

l
l2

+ a2

=P

o que após algumas simpliﬁcações resulta em





u
2l3



= P
1 +


3 
l
EA
2 + a2 ) 2 
(l

(1)

!
Ao comparar a resposta não linear com a resposta linear da estrutura para pequenos
deslocamentos, podemos observar que o coeﬁciente angular da resposta linear é igual
à derivada da curva carga-deslocamento não linear para u = 0.


Unidade 02

versão 13.05

23 / 51



Programa
2

Solução Numérica


Unidade 02

versão 13.05

24 / 51




Modelos Estruturais
P1:
u
l

+2 1+









u
l

1
1+ ( a )
l

2

1

−

N1 = EA u
l
√
√
( l + u ) 2 + a2 − l 2 + a2
√
N2 = EA
2
2

2

(1+ u ) + ( a )
l
l

2




=




P
EA

l +a

P2:
u
l

1+

2l3
3
2 +a2 ) 2
(l

=

P
EA

N1 = EA u
l
ul
N2 = EA l2 +a2


Unidade 02

versão 13.05

24 / 51




Modelos Discretos / Modelos Computacionais
from pylab import *
E=70 e9 ; d =0.005 ; A=pi*d**2/4 ; l=1 ;a=1
u= linspace (0 ,0.5 ,100)
# P1 - equilibrio na posição deformada
def P1(u,E,A,l,a):
cosphi =(l+u)/ sqrt ((l+u)**2+ a**2)
N1=E*A/l*u
N2=E*A/sqrt(l**2+a**2) * (sqrt ((l+u )**2+ a**2) - sqrt(l**2+a **2))
p=N1 +2* N2* cosphi
return (p)
# P2 - simplifica ção do modelo
def P2(u,E,A,l,a):
cost =(l)/ sqrt(l**2+a**2)
N1=E*A/l*u
N2=E*A/sqrt(l**2+a**2) * u*cost
p=N1 +2* N2*cost
return (p)
# Obtem as curvas
y1 = P1(u,E,A,l,a); y2 = P2(u,E,A,l,a)
# Gráficos para compara ção
plot(u/l, y1 /(E*A), label=’P1 ’); plot(u/l, y2 /(E*A), label =’P2 ’)
legend (loc =0); grid ()
xlabel (’u/l’); ylabel (’P/EA’)
show ()

Unidade 02

versão 13.05

25 / 51




Comparação das relações força-deslocamento


Unidade 02

versão 13.05

26 / 51




Pontos para discussão
É possível obter a mesma solução do problema P2 (não linear) resolvendo uma
sequência de problemas do tipo P1 (linear)
Por exemplo, considerando as cargas aplicadas em pequenos incrementos


Unidade 02

versão 13.05

27 / 51



Programa
2

Solução Numérica


Unidade 02

versão 13.05

28 / 51




Considere uma estrutura onde atual n solicitações s1 , s2 , . . . , sn . Um efeito elástico
qualquer E, pode ser obtido pela superposição deste efeito calculado para cada
solicitação separadamente.
E ( s1 + s2 + · · · + sn ) = E ( s1 ) + E ( s2 ) + · · · + E ( sn )


Unidade 02

versão 13.05

28 / 51




O princípio da superposição é válido desde que a estrutura tenha comportamento
linear, ou seja satisfaça:
O material deve se comportar segundo a Lei de Hooke (comportamento elásticolinear)
As deformações e os deslocamentos devem ser pequenos de forma que possa ser
considerada a posição indeformada como posição de equilíbrio
Se a estrutura não satisfaz a primeira condição acima, diz-se que ela apresenta
não-linearidade física
Se a estrutura não satisfaz a segunda condição, diz-se que ela apresenta nãolinearidade geométrica


Unidade 02

versão 13.05

29 / 51




Condições para o comportamento linear
Para se ter comportamento linear uma estrutura exige-se necessariamente o comportamento linear do material (linearidade física), e linearidade geométrica da
estrutura.
Para a linearidade geométrica deve-se ter um arranjo adequado das barras e dos
vínculos de forma que seja possível estabelecer as condições de equilíbrio estrutural na posição inicial da estrutura indeformada.
Para tanto a estrutura deve funcionar em regime de pequenos deslocamentos e
pequenas deformações.
Não é possível uma estrutura apresentar comportamento linear se o material tiver
comportamento não-linear, bem como não há possibilidade da estrutura apresentar comportamento linear se apresentar alguma não-linearidade geométrica.


Unidade 02

versão 13.05

30 / 51




Para estrutura abaixo, não se consegue o equilíbrio no ponto C sem considerar a
deformação das barras AC e BC e os conseqüentes deslocamentos
Assim, para formular o equilíbrio do nó C, é necessário levar em conta o ângulo
α formado entre as barras na posição deformada e na posição inicial
Esta estrutura apresenta comportamento não-linear para qualquer valor de P e
qualquer tipo de material

Abaixo apresenta-se uma estrutura derivada da estrutura acima, mas cuja disposição de barras e vínculos permite a ocorrência de linearidade geométrica


Unidade 02

versão 13.05

31 / 51




O princípio da superposição dos efeitos pode ser aplicado quando o comportamento
da estrutura é elástico-linear, isto é:
O material segue a Lei de Hooke (comportamento elástico-linear)
Deslocamentos e deformações nos pontos da estrutura são pequenos (linearidade
geométrica)
Não existe interação entre efeitos de força axial e momento ﬂetor nas barras (linearidade geométrica)
A disposição das barras e de vínculos é tal que se pode formular o equilíbrio na
posição inicial da estrutura indeformada


Unidade 02

versão 13.05

32 / 51

Modelos Constitutivos – Comportamento do Material

Programa
3

Análise 1ª Ordem × Análise 2ª Ordem
Material Elástico Linear
Material Elástico Não-Linear
Material Perfeitamente Plástico
Relação Ramberg-Osgood


Unidade 02

versão 13.05

33 / 51



Programa
3



Unidade 02

versão 13.05

33 / 51

Análise de Segunda Ordem

Análise de Primeira Ordem

F x = 0 ⇒ N2 = N3

F x = 0 ⇒ N2 = N3

Fy = 0 ⇒ N1 + 2N2 cos φ = P

Fy = 0 ⇒ N1 + 2N2 cos θ = P

Condições de Compatibilidade
cos φ =

Condições de Compatibilidade

l+u
cos θ =

( l + u ) 2 + a2

+ a2

d1 = u;

d1 = u;
d2 =

l
l2

(l + u)2 + a2 −

l2 + a2 ;

d2 = u cos θ = ul l2 + a2 −1 ;

Equação Constitutiva
σ = Eε ⇒

N
∆l
=E
A
l

Dados
E = 210GPa, σP = 420MPa;
πd2 2
m , d = 0.005m;
4
l = 1m, a = 1m;
A=

Material Elástico Linear: σ = Eε
Material Elástico Não-Linear: σ = Eε1/2
Material Perfeitamente Plástico:

σ = Eε se ε ≤ 0.002



σ = σ

P

Relação Ramberg-Osgood:

m

ε = σ + α σP σ





E
E σP


 σP


α

= 0.002, m = 5
E



Programa
3



Unidade 02

versão 13.05

35 / 51



Um material pode comportar-se de diversas formas.

Utilizando um material elástico linear: σ = Eε ;
Conﬁguração Deformada (P1) × Hipótese dos Pequenos Deslocamentos (P2)1
Dados!

1 Contribuiram

para essa seção os alunos Anna Claudia Resende, Joventino Campos e Weslley Pereira


Unidade 02

versão 13.05

35 / 51



Programa
3



Unidade 02

versão 13.05

36 / 51



O que muda no modelo?

σ = Eε1/2 ⇒

N
∆l
=E
A
l

1/2

Para a conﬁguração deformada (P1):
d1
l

1/2

d2
N2 = EA
l

1/2

N1 = EA

⇒ N1 = EA







⇒ N2 = EA 






u
l

1/2

(l + u)2 + a2 −
l 2 + a2

Unidade 02

1/2

l 2 + a2 










versão 13.05

36 / 51




σ = Eε1/2 ⇒

∆l
N
=E
A
l

1/2

Para a simpliﬁcação do modelo (P2):
d1
l

1/2

d2
N2 = EA
l

1/2

N1 = EA

⇒ N1 = EA

u
l

1/2



 u cos θ 1/2






⇒ N2 = EA 

 2

2
l +a


Unidade 02

versão 13.05

37 / 51



Conﬁguração Deformada (P1) × Hipótese dos Pequenos Deslocamentos (P2)
Dados!


Unidade 02

versão 13.05

38 / 51



Programa
3



Unidade 02

versão 13.05

39 / 51





Eε


σ=
σ
 P

se ε 0.002
se ε > 0.002

Para facilitar os cálculos escreverei as deformações ε em função de θ e de ε11 2
(deformação na barra 1). Para os dois modelos a deformação na barra 1 é dada por:

ε11 =

2 εi j :

d1
u
=
l
l

deformação na barra i do problema P j


Unidade 02

versão 13.05

39 / 51





Eε


σ=
σ
 P

se ε 0.002
se ε > 0.002

Já para a barra 2, a deformação no caso (P1) é dada por3 :
ε21 =

( l + u ) 2 + a2 −
l2 + a2
⇒ ε21 =

3 εi j :

l2 + a2

=

(l + u)2 + a2
−1=
l2 + a2

(1 + ε11 )2 + tan2 θ
−1=
1 + tan2 θ

(1 + u )2 + ( a )2
l
l
−1
1 + ( a )2
l

(1 + ε11 )2 + tan2 θ
sec θ

−1



Unidade 02

versão 13.05

40 / 51





Eε


σ=
σ
 P

se ε 0.002
se ε > 0.002

No caso (P2), temos4 :
ε22 =

u cos θ
l2 + a2

=

u cos θ
l 1 + ( a )2
l

=

u cos θ
l 1 + tan2 θ

=

u cos θ
u
= cos2 θ
l sec θ
l

⇒ ε22 = ε11 cos2 θ

4 εi j :



Unidade 02

versão 13.05

41 / 51





Eε


σ=
σ
 P

se ε 0.002
se ε > 0.002

Para o caso (P1), as equações de equilíbrio ﬁcam:
l+u

N1 + 2N2 cos φ = P ⇒ Aσ(ε11 ) + 2Aσ(ε21 )

=P

( l + u ) 2 + a2
⇒

P
= σ(ε11 ) + 2σ(ε21 )
A





P
1


⇒
= σ(ε11 ) + 2σ(ε21 )


EA
E


Unidade 02

1+

u
l

(1 + u )2 + ( a )2
l
l
1 + ε11

(1 + ε11 )2 + tan2 θ













versão 13.05

42 / 51





Eε


σ=
σ
 P

se ε 0.002
se ε > 0.002

Para o caso (P2), as equações de equilíbrio ﬁcam:
N1 + 2N2 cos θ = P ⇒ Aσ(ε11 ) + 2Aσ(ε22 ) cos θ = P
⇒


P
1
=
σ(ε11 ) + 2σ(ε22 ) cos θ
EA
E

Unidade 02

versão 13.05

43 / 51



Dados!


Unidade 02

versão 13.05

44 / 51



Dados!


Unidade 02

versão 13.05

45 / 51



Dados!


Unidade 02

versão 13.05

46 / 51



Dados!


Unidade 02

versão 13.05

47 / 51



Programa
3



Unidade 02

versão 13.05

48 / 51



σ
σP σ
ε= +α
E
E σP

m

⇒

σ
σP σ
∆l
= +α
l
E
E σP

m

Como σ está implícito, é necessário um método iterativo para descobrir seu valor.
Para a simulação foi utilizada a função fsolve() do pacote scipy 5
Parâmetros:

m

ε = σ + α σ P σ





E
E σP


 σP


α

= 0.002, m = 5
E

5 http://www.scipy.org/

Unidade 02

versão 13.05

48 / 51



Para a conﬁguração deformada (P1) a :
a resolvem-se

as equações implicitamente para σ

d1
u
σ
σP σ
⇒ = +α
l
l
E
E σP
d2
⇒
l

(l + u)2 + a2 −
l2 + a2

m

⇒ N1 = Aσ
l2 + a2

=

σ
σP σ
+α
E
E σP

m

⇒ N2 = Aσ

Para a conﬁguração deformada (P2) a :
a resolvem-se

as equações implicitamente para σ

d1
u
σ
σP σ m
⇒ = +α
⇒ N1 = Aσ
l
l
E
E σP
d2
u cos θ
σ
σP σ m
⇒
= +α
⇒ N2 = Aσ
l
E
E σP
l2 + a2

Unidade 02

versão 13.05

49 / 51



Dados!


Unidade 02

versão 13.05

50 / 51




Pontos para discussão
No problema P2, considere o caso onde há variação de temperatura
A variação de temperatura implica em modiﬁcações (expansão/contração) na
estrutura
Isso pode inﬂuenciar os resultados?
a Modelagem

a

termo-mecânica


Unidade 02

versão 13.05

51 / 51

Unidade 02 - Fundamentos de Mecânica das Estruturas

Recomendados

Recomendados

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Mais procurados (20)

Destaque

Destaque (20)

Mais de Leonardo Goliatt

Mais de Leonardo Goliatt (10)

Último

Último (20)

Unidade 02 - Fundamentos de Mecânica das Estruturas