Explicación de la regla de Cramer o método por detrminantes para resolver un sitema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Explicación paso por paso

1. Regla de Cramer o método por determinantes
G. Edgar Mata Ortiz

2. Sistemas de ecuaciones lineales
•Una ecuación lineal se caracteriza porque sus incógnitas están elevadas a una potencia unitaria.
•No contiene funciones trascendentes como logaritmo, seno o coseno, entre otras.
•Un sistema de ecuaciones lineales consta de dos o más ecuaciones, generalmente con el mismo número de incógnitas.

3. Solución de un Sistemas de ecuaciones lineales
•La solución de un sistema de ecuaciones lineales está formada por los valores de las incógnitas que, al mismo tiempo, hacen verdaderas a todas las ecuaciones que forman el sistema.
•Se puede comprobar si la solución obtenida es correcta sustituyendo los valores obtenidos en todas las ecuaciones: Si se obtienen identidades, la solución es correcta.

4. Solución de un Sistemas de ecuaciones lineales
•No todos los sistemas de ecuaciones tiene solución, y cuando la tienen, no siempre es solución única.
•Existen diferentes métodos de solución de sistemas de ecuaciones lineales:
–Método gráfico
–Métodos algebraicos
–Métodos lineales

5. Solución de un Sistemas de ecuaciones lineales
•A veces es preferible un método de solución, en otras ocasiones no es posible emplear algún método en particular, por ello, es necesario conocer diferentes métodos y elegir el que mejor responde a las necesidades específicas de cada problema.
•En este material estudiaremos el método de Cramer o método por determinantes. 333412422  

6. Método de Cramer
• El método de Cramer puede resultar
laborioso, pero tiene la ventaja de que es
mecánico y repetitivo, por lo que es
relativamente fácil de aprender y de
automatizar con la ayuda de una
computadora.
3
3
3
4
1 2
4
2
 2
 

3
3
3
4
1 2
4
2
 2
 


7. Método de Cramer
• Un ejemplo de resolución de un sistema de
dos ecuaciones con dos incógnitas por el
método de Cramer, automatizado con Excel
se encuentra en el siguiente enlace:
http://licmata-math.blogspot.mx/2012/10/metodo-de-cramer-determinantes-en-excel.html
- 3 + 2 x = + 2.00
- 2 + 5
y = + 1.00
Ecuación 1: - 3 x + 2 y = - 4 Dx = - 4 + 2 = - 20 - 2 = - 22
Ecuación 2: - 2 x + 5 y = + 1 + 1 + 5
Dy = - 3 - 4 = - 3 - 8 = - 11
- 2 + 1
Método de Cramer.
- 11
Sisyema de dos ecuaciones con
dos incógnitas.
DP = = - 15 + 4 =

8. Método de Cramer
•La mejor forma de aprender estos métodos es a partir de ejemplos.
•En las siguientes diapositivas se irá desarrollando el procedimiento, paso a paso, para resolver un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas por el método de Cramer o por determinantes.

9. Ejemplo:
Resolver el sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas
+ 3 x1 - 6 x2 + 9 x3 = + 18
+ 2 x1 - 4 x2 + 5 x3 = + 11
- 3 x1 - 4 x2 + 6 x3 = + 17

10. • Los coeficientes de las incógnitas se
convierten en el determinante principal
del sistema.
Ejemplo:
Resolver el sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas
+ 3 x1 - 6 x2 + 9 x3 = + 18
+ 2 x1 - 4 x2 + 5 x3 = + 11
- 3 x1 - 4 x2 + 6 x3 = + 17
+ 3 - 6 + 9
DP = + 2 - 4 + 5
- 3 - 4 + 6

11. 2. Calcular el valor del DP
• Existen varias formas de calcular el
determinante principal, una de ellas consiste
en agregar, a la derecha, las dos primeras
columnas del mismo determinante.
+ 3 - 6 + 9 + 3 - 6
DP = + 2 - 4 + 5 + 2 - 4
- 3 - 4 + 6 - 3 - 4

12. 2. Calcular el valor del DP
+ 3 - 6 + 9 + 3 - 6
DP = + 2 - 4 + 5 + 2 - 4
- 3 - 4 + 6 - 3 - 4
- 72 + 90 - 72
• Ahora se multiplica, en diagonal, como se
muestra en la figura.

13. 2. Calcular el valor del DP
+ 3 - 6 + 9 + 3 - 6
DP = + 2 - 4 + 5 + 2 - 4
- 3 - 4 + 6 - 3 - 4
- 108 + 60 + 72
• Nuevamente se multiplica en diagonal, y
se cambia el signo a los resultados.

14. 2. Calcular el valor del DP
+ 3 - 6 + 9 + 3 - 6
DP = + 2 - 4 + 5 + 2 - 4
- 3 - 4 + 6 - 3 - 4
- 108 + 60 + 72 - 72 + 90 - 72
DP = -30
• Finalmente se suman algebraicamente los
seis resultados de las multiplicaciones.

15. 3. Determinante para x1 (Dx1)
+ 18 - 6 + 9
Dx1 = + 11 - 4 + 5
+ 17 - 4 + 6
• El determinante para x1 es como el
determinante principal, pero se cambia la
primera columna, anotando en lugar de los
coeficientes, los términos independientes.
+ 3 x1 - 6 x2 + 9 x3 = + 18
+ 2 x1 - 4 x2 + 5 x3 = + 11
- 3 x1 - 4 x2 + 6 x3 = + 17

16. + 18 - 6 + 9 + 18 - 6
Dx1 = + 11 - 4 + 5 + 11 - 4
+ 17 - 4 + 6 + 17 - 4
4. Calcular el valor del Dx1
• Se multiplican las 6 diagonales (no olvides cambiar los signos en tres
de ellas) y se suman los seis resultados anteriores
Dx1 =

17. 5. Determinante para x2 (Dx2)
•Es como el determinante principal, pero se cambia la segunda columna, anotando en lugar de los coeficientes, los términos independientes.
+ 3+ 18+ 9Dx2 =+ 2+ 11+ 5- 3+ 17+ 6

18. + 3 + 18 + 9 + 3 + 18
Dx2 = + 2 + 11 + 5 + 2 + 11
- 3 + 17 + 6 - 3 + 17
6. Calcular el valor del Dx2
• Se multiplican las 6 diagonales (no olvides cambiar los signos en tres
de ellas) y se suman los seis resultados anteriores
Dx2 =

19. 7. Determinante para x3 (Dx3)
•Es como el determinante principal, pero se cambia la tercera columna, anotando en lugar de los coeficientes, los términos independientes.
+ 3- 6+ 18Dx3 =+ 2- 4+ 11- 3- 4+ 17

20. + 3 - 6 + 18 + 3 - 6
Dx3 = + 2 - 4 + 11 + 2 - 4
- 3 - 4 + 17 - 3 - 4
8. Calcular el valor del Dx3
• Se multiplican las 6 diagonales (no olvides cambiar los signos en tres
de ellas) y se suman los seis resultados anteriores
Dx3 =

21. Resultados de los determinantes
DP= -30
Dx1= +30
Dx2= +60
Dx3= -30
+ 3 - 6 + 9
DP = + 2 - 4 + 5
- 3 - 4 + 6
+ 18 - 6 + 9
Dx1 = + 11 - 4 + 5
+ 17 - 4 + 6
+ 3 + 18 + 9
Dx2 = + 2 + 11 + 5
- 3 + 17 + 6
+ 3 - 6 + 18
Dx3 = + 2 - 4 + 11
- 3 - 4 + 17

22. Valores de las incógnitas
Se obtienen dividiendo cada determinante de x1, x2 y x3 entre el determinante principal:
112233xPxPxPDxDDxDDxD   

23. Valores de las incógnitas
1
1
2
2
3
3
x
P
x
P
x
P
D
x
D
D
x
D
D
x
D



1 1
2 2
3 3
30
1
30
60
2
30
30
1
30
x x
x x
x x
   

   


   


24. GRACIAS POR SU ATENCIÓNhttp://licmata-math.blogspot.mx/ http://www.scoop.it/t/mathematics-learning/
http://www.slideshare.net/licmata/
http://www.spundge.com/@licmata
https://www.facebook.com/licemata
Twitter: @licemata
Email: licmata@hotmail.com