Aula de Geometria Espacial

1. EEEFM “Alice Holzmeister”
3º ano do Ensino Médio
Profª Lidiane Lahass
Introdução
GEOMETRIA ESPACIAL

2. Sólidos Platônicos
É como são conhecidos os poliedros regulares.
Platão, filósofo grego (400 a. C.) associou os
poliedros regulares ao Universo. Entendia o
mundo como sendo constituído por quatro
elementos básicos: a Terra, o Fogo, o Ar e a Água.

3. Sólidos Platônicos

4. Sólidos Platônicos
Tetraedro
Este poliedro é formado por quatro triângulos
equiláteros. Em cada um dos vértices encontra-se o
mesmo número de arestas. O prefixo tetraderiva do
grego e significa quatro (quatro faces).
Hexaedro
O cubo é o único poliedro regular com faces
quadrangulares. Cada vértice une três quadrados. O cubo
tem seis faces, pelo que também se pode chamar por
hexaedro (hexa significa seis em grego).

5. Sólidos Platônicos
Octaedro
As faces deste poliedro são triângulos equiláteros, e em
cada vértice reúnem-se quatro triângulos. Assim, o total
das faces é oito, daqui o facto deste poliedro se chamar
octaedro (octa significa oito em grego).
Icosaedro
Neste poliedro são cinco os triângulos equiláteros que se
encontram em cada vértice, perfazendo vinte faces. Por
isso, o poliedro se chama icosaedro (icosa significa vinte
em grego).

6. Sólidos Platônicos
Dodecaedro
O dodecaedro é o único poliedro regular cujas faces
são pentágonos regulares. Em cada vértice
encontram-se três pentágonos. Assim este poliedro
é formado por doze faces e daí toma o nome de
dodecaedro (dodeca significa doze em grego).

7. Resumindo
Tetraedro é constituído por quatro triângulos equiláteros;
possui 4 vértices, 6 arestas e 4 faces triangulares.
Cubo é constituído por seis quadrados; possui 8 vértices, 12
arestas e 6 faces quadrangulares.
Octaedro é constituído por oito triângulos equiláteros;
possui 6 vértices, 12 arestas e 8 faces triangulares.
Icosaedro é constituído por vinte triângulos equiláteros;
possui 12 vértices, 30 arestas e 20 faces triangulares.
Dodecaedro é constituído por doze pentágonos; possui 30
arestas, 20 vértices e 12 faces pentagonais

8. Séculos mais tarde, os poliedros regulares
inspiraram Kepler, astrônomo alemão do séc. XVII
no estudo do movimento dos seis planetas até então
conhecidos: Saturno, Júpiter, Marte, Terra, Vênus e
Mercúrio. Kepler imaginou um modelo do Sistema
Solar composto por esferas concêntricas separadas
umas das outras por um cubo, um tetraedro, um
dodecaedro, um octaedro e um icosaedro.

9. Introdução a Poliedros
Poliedro é um sólido geométrico cuja superfície é
composta por um número finito de faces, em que
cada uma das faces é um polígono. Os seus
elementos mais importantes são as faces, as arestas
e os vértices, ou seja, toda figura geométrica de três
dimensões, formada por polígonos é chamada
de poliedro.

10. Relembrando
Polígonos são figuras fechadas formadas por
segmentos de reta, sendo caracterizados pelos
seguintes elementos: ângulos, vértices, diagonais e
lados. De acordo com o número de lados a figura é
nomeada.
Ex.: Lados/Nomes
3: Triângulo
4: Quadrilátero
5: Pentágono

11. Cubo
Eis um exemplo, o cubo:

12. Cubo
O cubo possui comprimento, largura e altura (3
dimensões), e é formado por 6 quadrados (figuras
planas). Tais quadrados estão unidos, dois a
dois, pelas arestas. São 12 arestas e 8 vértices
Outro exemplo, a pirâmide de base quadrangular:

13. Pirâmide
Essa pirâmide tem por base um retângulo. Por isso, é
chamada de pirâmide de base quadrangular, ou apenas de
pirâmide quadrangular. Ela possui 5 vértices, 4 faces
triangulares e 8 arestas.
Veja:
Polígono = figura plana
Poliedro = sólido, em 3 dimensões, no espaço, formado por
polígonos
Arestas = lados dos polígonos que formam o poliedro
Vértices = os pontos onde as arestas se interceptam
Faces = cada um dos polígonos que formam o poliedro

14. Atenção
Mas atenção: não são poliedros os sólidos que
possuem formas arredondadas, como o cilindro e o
cone:

15. Convexos e Côncavos
Convexos
Um poliedro diz-se convexo, como o cubo, quando
um segmento de reta, unindo quaisquer dois
pontos do poliedro, está totalmente dentro do
poliedro.

16. Convexos e Côncavos
Côncavos
Um poliedro diz-se côncavo, quando um
segmento de reta, unindo dois pontos do
poliedro, sai fora do poliedro.

17. Regulares e Não regulares
Os poliedros podem ser regulares ou não. Diz-se que um
poliedro é regular quando suas faces são polígonos
regulares e congruentes, e de todos os vértices parte um
mesmo número de arestas.

18. Uma relação válida para todos os poliedros é
a Relação de Euler, descoberta pelo
matemático suíço Euler:
nº faces + nº vértices = nº arestas + 2