Este documento presenta la resolución de un examen de trigonometría para 4o de ESO. El examen contiene 7 problemas que involucran hallar razones trigonométricas, aplicar teoremas trigonométricos como el seno, coseno y teorema del coseno para resolver triángulos. El documento muestra de manera detallada los pasos para resolver cada problema trigonométrico.

1. MATEMÁTICAS 4º ESO
Juan Jesús Pascual
EXAMEN DE TRIGONOMETRÍA RESUELTO
EXAMEN RESUELTO
1. Halla las razones trigonométricas de los siguientes ángulos:
a) 1740º
Solución:
Como el ángulo es mayor que 360º lo tratamos del siguiente modo:
1740
300
360 

 ⇒ 4 vueltas ⋅ 360º + 300º


4


El ángulo de 300º está en el 4º cuadrante y es equivalente a un ángulo de 60º para el que el
seno es negativo y el coseno es positivo, tal como indica la figura adjunta:
Entonces:
300º
cos 60
60º
sen ( 1750 ) = sen ( 300 ) = −sen ( 60 ) = −
-sen 60
cos ( 1750 ) = cos ( 300 ) = cos ( 60 ) =
tg ( 1750 ) =
−sen ( 60 )
=− 3
cos ( 60 )
3
2
1
2
1
2
=−
−sen ( 60 )
3
1
s ec ( 1750 ) =
=2
cos ( 60 )
1
1
cot g ( 1750 ) =
=−
−tg ( 60 )
3
cos ec ( 1750 ) =
b) -840º
Solución:
Como el ángulo es mayor que 360º lo tratamos del siguiente modo:
−840
360
−120 − 2


 ⇒ −2 vueltas ⋅ 360º − 120º




El ángulo de -120º está en el tercer cuadrante y es equivalente a un ángulo de 60º para el
que el seno y el coseno son negativos, tal como indica la figura adjunta:
1/4

2. Matemáticas 4º ESO
Examen resuelto de trigonometría
Entonces:
60º
-sen 60
3
2
sen ( −840 ) = sen ( −120 ) = −sen ( 60 ) = −
- cos 60
cos ( −840 ) = cos ( −120 ) = − cos ( 60 ) = −
-120º
tg ( −840 ) =
−sen ( 60 )
= 3
− cos ( 60 )
1
2
1
2
=−
−sen ( 60 )
3
1
s ec ( 1750 ) =
= −2
− cos ( 60 )
1
1
cot g ( 1750 ) =
=
tg ( 60 )
3
cos ec ( 1750 ) =
2. Sabiendo que cos α =
1
2
y que α está en el 4º cuadrante, halla las demás razones
trigonométricas.
Solución:
Si α está en el 4º cuadrante entonces cosα es positivo y senα es negativo.
El
senα
lo
deducimos
usando
la
relación
fundamental
de
la
trigonometría:
sen 2 α + cos 2 α = 1
2
1


Así: sen 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ sen 2 α +   = 1 ⇒ senα = −
 
2

1
3



1 −  = −


4
2
El resto de razones trigonométricas se obtiene de forma inmediata:
senα
tgα =
=
cos α
sec α =
−
3
2 = − 3 ; cotgα = 1 = − 1 ;
1
tgα
3
2
1
1
2
= 2 ; co sec α =
=−
cos α
senα
3
3. Deduce las dos igualdades siguientes utilizando la fórmula fundamental de la trigonometría.
a)
1 + tg 2 x = sec 2 x
Solución:
sen 2 x + cos 2 x = 1 ⇒
b)
sen 2 x cos 2 x
1
+
=
⇒ tg 2 x + 1 = sec 2 x
2
2
cos x cos x cos 2 x
1 + cotg 2 x = cos ec 2 x
Solución:
sen 2 x + cos 2 x = 1 ⇒
sen 2 x cos 2 x
1
+
=
⇒ 1 + co tg 2 x = cos ec 2 x
sen 2 x sen 2 x sen 2 x
2/4

3. Examen resuelto de trigonometría
Matemáticas 4º ESO
4. Demuestra que se cumple la siguiente igualdad:
tg (α ) ⋅ cot g (α ) −
 1

1


=  cos (α ) + sen (α ) ⋅ 

−


2

 sec (α ) cos ec (α ) 

1 + cot g (α )
2sen (α )
Solución:
Vamos a manipular primeramente el miembro de la izquierda, que llamaremos A:
2 ⋅ sen (α )
A = tg (α )⋅ cot g (α ) −
= 1−
2
1 + cot g (α )
2 ⋅ sen (α )
2
2
sen (α ) + cos (α )
sen 2 (α )
= 1−
= tg (α )⋅
2 ⋅ sen (α )
1
sen 2 (α )
2 ⋅ sen (α )
2 ⋅ sen (α )
1
−
= 1−
=
tg (α )
1
cos 2 (α )
1+ 2
1+
t g (α )
sen 2 (α )
= 1 − 2 ⋅ sen 2 (α )
Manipulamos el miembro de la derecha, que llamaremos B:
 1

1



B =  cos (α ) + sen (α ) ⋅ 
−
 =  cos (α ) + sen (α ) ⋅  cos (α ) − sen (α ) =

 sec (α ) cos ec (α ) 


= cos 2 (α ) − sen 2 (α ) = 1 − sen 2 (α ) − sen 2 (α ) = 1 − 2 ⋅ sen 2 (α )
Observamos que A=B, luego la identidad es cierta.
5. Calcula x e y
Solución:
30º
60º
100 cm
Tenemos dos triángulos rectángulos.
De cada uno de ellos obtendremos
una ecuación trigonométrica.
tg30 =
x
y
100
y
30º
100 m
y
tg60 =
x+y
100
x+y
Resolvemos el sistema:
3/4
60º
100 m

4. Matemáticas 4º ESO
Examen resuelto de trigonometría


y 
100
1

100


m=y
=
x+


3
3 100 
3 ⇒ x = 200 m
⇒ 3 =
⇒




x + y
100
3
x+y 
3=


3=

100 



100 
6. Calcula el valor de y de este triángulo no rectángulo (las longitudes están expresadas en cm)
Solución:
12
Aplicamos el teorema del coseno:
y 2 = x 2 + z 2 − 2 ⋅ x ⋅ z ⋅ cos A , en donde hemos
denotado por x al lado de 10 cm y por z al
lado de 12 cm.
y
45º
Entonces:
y 2 = 10 2 + 12 2 − 2 ⋅ 10 ⋅ 12 ⋅ cos 45 ⇒
10
⇒ y = 100 + 124 − 240 ⋅
1
= 224 − 120 ⋅ 2 = 7,4 m
2
∧
∧
7. Resuelve el siguiente triángulo: A = 80º ; B = 30º ; a = 26 cm
Solución:
Dibujamos un triángulo auxiliar para la resolución del problema.
∧
A
Valor del lado b:
Aplicamos el teorema del seno para
c
b
obtenerlo:
∧
∧
B
a
C
a
b
26
b
=
⇒
=
⇒
senA senB
sen80 sen30
⇒ b = 26 ⋅
1
= 13, 2 cm
1, 97
∧
Valor de C :
∧
∧
∧
C = 180 −  A + B  = 180 − ( 80 + 30 ) = 70




Valor del lado c:
Aplicamos el teorema del coseno de forma conveniente para hallar el lado que nos interesa,
∧
la cuál es la siguiente: c 2 = a 2 + b2 − 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ cos C .
Despejamos c y sustituimos datos:
∧
c = a 2 + b 2 − 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ cos C = 26 2 + 13, 2 2 − 2 ⋅ 26 ⋅ 13, 2 ⋅ cos 70 = 24,8 cm
*****
4/4