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Algèbre de Boole
Taha Zerrouki
Taha.zerrouki@gmail.com
Module: Codage et représentation de
l'information
1ère
MI S1
2
Plan
• Algèbre de Boole
3
Algèbre de Boole
‫البولياني‬ ‫الجبر‬
4
L'algèbre de Boole
• L'algèbre de Boole, est la partie des mathématiques, de
la logique et de l'électronique qui s'intér...
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Boole
• Elle fut initiée en 1854 par le
mathématicien britannique George Boole
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Applications ‫تطبيقات‬
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Applications ‫تطبيقات‬
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Applications ‫تطبيقات‬
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Applications ‫تطبيقات‬
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Définition
Soit B l'ensemble des valeurs de vérité {VRAI,
FAUX}.
Noté B = {1, 0}
On définit deux lois ET et OU
et le co...
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Conjonction ‫الوصل‬
a ET b est VRAI <==> a est VRAI et b est
VRAI.
Cette loi est aussi note '.'
‫أ‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ ‫وفقط‬ ...
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Conjonction ‫الوصل‬
Table de vérité
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Conjonction ‫الوصل‬
Représentation électrique
a b
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Conjonction ‫الوصل‬
Symbole
Disjonction ‫الفصل‬
a ou b est VRAI <==> a est VRAI ou b est
VRAI.
Cette loi est aussi note '+'
‫أ‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ ‫وفقط‬ ‫إذ...
Disjonction ‫ا‬‫لفصل‬
Table de vérité
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Disjonction ‫ا‬‫لفصل‬
Représentation électrique
a
b
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Disjonction ‫ا‬‫لفصل‬
Symbole
Complémentaire ‫ا‬‫لمتمم‬
Non a est VRAI <==> a est Faux.
Cette loi est aussi note ' '
‫أ‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ ‫وفقط‬ ‫إذا‬ ‫صحيحة...
Complémentaire ‫ا‬‫لمتمم‬
Représentation électrique
a
Complémentaire ‫ا‬‫لمتمم‬
Symbole
Exercice
Tracer la table de vérité pour l'expression
A+B.C
Exercice
A B C B'C A+B'C
0 0 0 0 0
0 0 1 1 1
0 1 0 0 0
0 1 1 0 0
1 0 0 0 1
1 0 1 1 1
1 1 0 0 1
1 1 1 0 1
‫للعوامل‬ ‫الجبرية‬ ‫الخواص‬
Les propriétés algébriques
Priorité des opérateurs
• Pour évaluer une expression logique :
()
NON
ET
OU
‫العوامل‬ ‫أولوية‬
Element neutre ‫الحيادي‬ ‫العنصر‬
A + 0 = A
A .1 = A
Element absorbant
2‫الماص‬ ‫العنصر‬
A + 1 = 1
A .0 = 0
Complémentarité ‫ا‬‫لمتمم‬
0.
1



AA
AA
AA
Idempotence ‫التماثل‬
A + A +A + …. +A = A
A .A.....A = A
Commutativité ‫التبديل‬
A + B = B + A
A .B = B.A
Associativité ‫التجميع‬
(A + B)+C = A + (B+C)
(A .B).C = A.(B.C)
Distributivité ‫التوزيع‬
A . (B+C) = A .B+ A.C
(distribution de ET sur OU)
A+(B.C) = (A +B).(A+C)
(distribution de OU sur ...
Simplification ‫تبسيط‬
Démontrer que A+AB = A
Simplification ‫تبسيط‬
A+AB = A.1+ A.B (idempotence)
= A.(1+B) (distribution)
= A.1 (absorption)
= A (el. neutre)
Simplification ‫تبسيط‬
Démontrer que A+AB = A+B
Simplification ‫تبسيط‬
A+AB = (A+A).(A+B) (distribution)
= 1.(A+B) (complément)
= A+B (el. neutre)
Redondance ‫ت‬‫كرار‬
Démontrer que
AB + AC + BC = AB +AC
Redondance ‫ت‬‫كرار‬
AB + AC + BC =
=AB +AC +BC.(A+A) ( complément)
=AB +AC +ABC+ ABC (distribution)
=(AB +ABC) +( AC + AB...
5. Dualité de l’algèbre de Boole
• Toute expression logique reste vrais si on remplace le ET
par le OU , le OU par le ET ,...
Théorème de DE-MORGANE
6. Théorème de DE-MORGANE
• Le produit logique complémenté de deux variables est
égale au somme logique des compléments de...
6.1 Généralisation du Théorème DE-
MORGANE à N variables
A.B.C......=A+B+C+..........
A+B+C+...........=A.B.C......
‫المتم...
Exercice
Calculer le complément de
AB+AB
exercice
ab+ab=ab.ab
a+b.a+b
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Algebre de boole intro -v3

  1. 1. 1 Algèbre de Boole Taha Zerrouki Taha.zerrouki@gmail.com Module: Codage et représentation de l'information 1ère MI S1
  2. 2. 2 Plan • Algèbre de Boole
  3. 3. 3 Algèbre de Boole ‫البولياني‬ ‫الجبر‬
  4. 4. 4 L'algèbre de Boole • L'algèbre de Boole, est la partie des mathématiques, de la logique et de l'électronique qui s'intéresse aux opérations et aux fonctions sur les variables logiques. •‫بالدوال‬ ‫تهتم‬ ‫واللكترونيك‬ ‫والمنطق‬ ‫الرياضيات‬ ‫من‬ ‫م‬‫قس‬ ‫المنطقية‬ ‫المتغيرات‬ ‫ذات‬
  5. 5. 5 Boole • Elle fut initiée en 1854 par le mathématicien britannique George Boole
  6. 6. 6 Applications ‫تطبيقات‬
  7. 7. 7 Applications ‫تطبيقات‬
  8. 8. 8 Applications ‫تطبيقات‬
  9. 9. 9 Applications ‫تطبيقات‬
  10. 10. 10 Définition Soit B l'ensemble des valeurs de vérité {VRAI, FAUX}. Noté B = {1, 0} On définit deux lois ET et OU et le complémentaire NON. ‫نعرف‬B‫ب‬ ‫لها‬ ‫نرمز‬ {‫خطأ‬ ،‫}صح‬ ‫الحقيقة‬ ‫قيم‬ ‫مجموعة‬ B = {1, 0} ‫ل‬ ‫والمتمم‬ ،‫و‬ ،‫أو‬ ‫قانونين‬ ‫ف‬‫نعرف‬
  11. 11. 11 Conjonction ‫الوصل‬ a ET b est VRAI <==> a est VRAI et b est VRAI. Cette loi est aussi note '.' ‫أ‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ ‫وفقط‬ ‫إذا‬ ‫صحيحة‬ "‫ب‬ ‫و‬ ‫"أ‬ ‫القضية‬ ‫بأن‬ ‫الوصل‬ ‫نعرف‬ ‫طة‬ ‫بالنقطة‬ ‫له‬ ‫ونرمز‬ ،‫صحيحا‬ ‫وب‬ ‫صحيحا‬
  12. 12. 12 Conjonction ‫الوصل‬ Table de vérité
  13. 13. 13 Conjonction ‫الوصل‬ Représentation électrique a b
  14. 14. 14 Conjonction ‫الوصل‬ Symbole
  15. 15. Disjonction ‫الفصل‬ a ou b est VRAI <==> a est VRAI ou b est VRAI. Cette loi est aussi note '+' ‫أ‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ ‫وفقط‬ ‫إذا‬ ‫صحيحة‬ "‫ب‬ ‫أو‬ ‫"أ‬ ‫القضية‬ ‫بأن‬ ‫الوصل‬ ‫نعرف‬ ‫طـ‬ ‫بـ‬ ‫له‬ ‫ونرمز‬ ،‫صحيحا‬ ‫أوب‬ ‫صحيحا‬
  16. 16. Disjonction ‫ا‬‫لفصل‬ Table de vérité
  17. 17. 17 Disjonction ‫ا‬‫لفصل‬ Représentation électrique a b
  18. 18. 18 Disjonction ‫ا‬‫لفصل‬ Symbole
  19. 19. Complémentaire ‫ا‬‫لمتمم‬ Non a est VRAI <==> a est Faux. Cette loi est aussi note ' ' ‫أ‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ ‫وفقط‬ ‫إذا‬ ‫صحيحة‬ " ‫أ‬ ‫"ل‬ ‫القضية‬ ‫بأن‬ ‫الوصل‬ ‫نعرف‬ ‫بـ‬ ‫له‬ ‫ونرمز‬ ،‫خاطئا‬''
  20. 20. Complémentaire ‫ا‬‫لمتمم‬ Représentation électrique a
  21. 21. Complémentaire ‫ا‬‫لمتمم‬ Symbole
  22. 22. Exercice Tracer la table de vérité pour l'expression A+B.C
  23. 23. Exercice A B C B'C A+B'C 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1
  24. 24. ‫للعوامل‬ ‫الجبرية‬ ‫الخواص‬ Les propriétés algébriques
  25. 25. Priorité des opérateurs • Pour évaluer une expression logique : () NON ET OU ‫العوامل‬ ‫أولوية‬
  26. 26. Element neutre ‫الحيادي‬ ‫العنصر‬ A + 0 = A A .1 = A
  27. 27. Element absorbant 2‫الماص‬ ‫العنصر‬ A + 1 = 1 A .0 = 0
  28. 28. Complémentarité ‫ا‬‫لمتمم‬ 0. 1    AA AA AA
  29. 29. Idempotence ‫التماثل‬ A + A +A + …. +A = A A .A.....A = A
  30. 30. Commutativité ‫التبديل‬ A + B = B + A A .B = B.A
  31. 31. Associativité ‫التجميع‬ (A + B)+C = A + (B+C) (A .B).C = A.(B.C)
  32. 32. Distributivité ‫التوزيع‬ A . (B+C) = A .B+ A.C (distribution de ET sur OU) A+(B.C) = (A +B).(A+C) (distribution de OU sur ET)
  33. 33. Simplification ‫تبسيط‬ Démontrer que A+AB = A
  34. 34. Simplification ‫تبسيط‬ A+AB = A.1+ A.B (idempotence) = A.(1+B) (distribution) = A.1 (absorption) = A (el. neutre)
  35. 35. Simplification ‫تبسيط‬ Démontrer que A+AB = A+B
  36. 36. Simplification ‫تبسيط‬ A+AB = (A+A).(A+B) (distribution) = 1.(A+B) (complément) = A+B (el. neutre)
  37. 37. Redondance ‫ت‬‫كرار‬ Démontrer que AB + AC + BC = AB +AC
  38. 38. Redondance ‫ت‬‫كرار‬ AB + AC + BC = =AB +AC +BC.(A+A) ( complément) =AB +AC +ABC+ ABC (distribution) =(AB +ABC) +( AC + ABC) (commutativité) =AB(1+C) + AC(1+B) (facteur commun) = AB.1 + AC.1 = AB + AC
  39. 39. 5. Dualité de l’algèbre de Boole • Toute expression logique reste vrais si on remplace le ET par le OU , le OU par le ET , le 1 par 0 , le 0 par 1. • Exemple : 0A.A1AA 00.A11A   ‫التقابل‬
  40. 40. Théorème de DE-MORGANE
  41. 41. 6. Théorème de DE-MORGANE • Le produit logique complémenté de deux variables est égale au somme logique des compléments des deux variables. •La somme logique complémentée de deux variables est égale au produit des compléments des deux variables. B.ABA  BAB.A 
  42. 42. 6.1 Généralisation du Théorème DE- MORGANE à N variables A.B.C......=A+B+C+.......... A+B+C+...........=A.B.C...... ‫المتممات‬ ‫جداء‬ = ‫المجموع‬ ‫متمم‬ ‫المتممات‬ ‫مجموع‬ = ‫الجداء‬ ‫متمم‬
  43. 43. Exercice Calculer le complément de AB+AB
  44. 44. exercice ab+ab=ab.ab a+b.a+b a+b.a+b

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