Foro 1 Procesos Estocásticoa

1. PROCESOS ESTOCÁSTICOS
Actividad1 Unidad1 Lizeth Vargas Vera

2. Probabilidad III
Unidad 1. Procesos estocásticos y movimiento browniano
EducaciónAbiertaya Distancia* CienciasExactas,IngenieríasyTecnologías
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Actividad 1. Procesos estocásticos
Instrucciones: lee detenidamente cada uno de los siguientes casos y responde la pregunta
que se realiza justificando tu respuesta. Usa el foro como se indica para discutir tus soluciones.
1) Dos jugadores A y B se reúnen para llevar a cabo un juego que se compone de varias
partidas sucesivas e independientes, según se describen a continuación.
a) Una partida consiste en el lanzamiento de una moneda por parte de cada jugador.
b) Gana la partida aquel jugador que obtenga un águila, considerando que si ambos lo
lograran, sería un empate. Asimismo, es un empate si ambos obtienen sol.
c) Gana el juego aquel jugador que gane tres partidas continuas.
La probabilidad de que gane el jugador A es p, y por tanto la probabilidad de que gane B es:
1 – p. ¿El resultado del juego descrito es un proceso estocástico?
𝑋𝑡 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑑𝑎 ℎ𝑒𝑐ℎ𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑗𝑢𝑔𝑎𝑑𝑜𝑟, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑇 ∈
ℝ+ 𝑦 𝑋( 𝑡) 𝜖{ 𝑎, 𝑠}
𝐵𝑢𝑠𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝜔 = (Ω, A, P)
.
𝐸𝑙 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 Ω = { 𝑎, 𝑠}
𝐸𝑙 𝜎 − á𝑙𝑔𝑒𝑏𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑢𝑏𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 Ω es A
𝐸𝑠 𝑢𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑎𝑙𝑒𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑠,𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑢𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑗𝑢𝑔𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑟 á𝑔𝑢𝑖𝑙𝑎 𝑜 𝑠𝑜𝑙.
𝐿𝑎𝑠 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑒𝑠𝑡á𝑛 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑐𝑟𝑜𝑛𝑜𝑙ó𝑔𝑖𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑢𝑛𝑖𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒.
𝐴 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑙𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑡, 𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑒 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝑞𝑢𝑒
𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑙𝑎𝑛𝑧𝑎𝑑𝑎 𝑛𝑜 𝑜𝑐𝑢𝑝𝑎 𝑒𝑙 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑜 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜.

3. Probabilidad III
Unidad 1. Procesos estocásticos y movimiento browniano
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2) Cinco bolas azules y cinco rojas se distribuyen de manera aleatoria en dos urnas, de tal
forma que cada una de ellas contenga cinco bolas. El número de bolas azules que tiene la
primera urna es igual al estado de ésta, es decir, si la urna presenta tres bolas azules,
entonces diremos que se encuentra en el estado 3. En virtud de lo anterior, debe ser claro
que si k representa al estado que puede mostrar la primera urna, entonces k puede ser igual
a 0, 1, 2, 3, 4 o 5. En cada ocasión se extrae una bola al azar de la primera urna y se pasa a
la segunda, y de igual manera se extrae una bola de la segunda para insertarla en la
primera urna (recuerda que siempre deben contener cinco bolas cada una). ¿El estado que
puede presentar la primera urna es un proceso aleatorio? Si, puesto que es un espacio de
probabilidad.
𝑆= {0, 1, 2, 3, 4, 5}
La variable aleatoria es k la cual toma los valores de S
El espacio paramétrico queda como 𝑇= {1, 2, 3,…}
Al observar podemos definir el estado de la primera urna en cada intercambio como un proceso aleatorio,
definiéndolo como un proceso discreto a tiempo discreto
3) ¿El tiempo de vida de una televisión es un proceso estocástico?
𝑆𝑖 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑣𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑒𝑙𝑒𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟 𝑠𝑒𝑔ú𝑛 𝑠𝑢 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑜, 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑟𝑙𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑜:
𝑆 = [0,1] → 0 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑡𝑒𝑙𝑒𝑣𝑖𝑠𝑖ó𝑛 𝑒𝑠 𝑛𝑢𝑒𝑣𝑎 𝑦 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎 𝑠𝑖𝑛 𝑓𝑎𝑙𝑙𝑎𝑠
→ 1 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 é𝑠𝑡𝑎 𝑑𝑒𝑗𝑎 𝑑𝑒 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑟.
𝑃𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑢𝑛 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜:
𝑇 = [0, ∞)
𝐴𝑠í 𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑒𝑙𝑒𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑜𝑐á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜.
4) En un determinado hospital se realiza un conteo del número de niños (o niñas) que nacen
antes o al tiempo t. ¿El número de nacimiento de los bebés es un proceso estocástico?
No es un proceso estocástico, es un conteo de la cantidad de bebés que nacen en cierto
tiempo, sería una variable aleatoria.

4. Probabilidad III
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𝑇𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑇 = (0, 𝑡]
𝐸𝑙 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑠𝑒𝑟í𝑎 𝑆 = {0,1,2,3,…}
𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝑒𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑛𝑎𝑐𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑜 𝑎𝑙 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡 𝑡𝑒𝑛𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑎𝑠í 𝑢𝑛 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜 𝑎 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜
𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑜.