1. Clase del día 17 de Noviembre del 2010
Matriz de transformación
x
y
- 7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 7
- 4
- 3
- 2
- 1
0
1
2
3
4
Se aplico la matriz identidad y sucede que es la reflexión del ventor V con coordenadas (x, y)
1 0 x x
0 1 y = y
Matriz de transformación se aplica sobre el vector
1 0 x x
0 0 y = 0
Proyecta al vector V en x
0 0 x 0
0 1 y = y
Proyecta al vector V en y
-1 0 x -x
0 -1 y = -y
V
2. Reflejo del vector sobre la recta con pendiente m=-1
1 0 x x
0 -1 y = -y
Reflejo sobre el eje x
-1 0 x -x
0 1 y = y
Reflejo sobre el eje y
0 1 x y
1 0 y = x
Reflejo del vector sobre la recta con pendiente m=1
0 -1 x -y
1 0 y = x
Rotación de 90º en dirección a las manecillas del reloj
0 1 x y
-1 0 y = -x
Rotación de 90º en dirección contraria a las manecillas del reloj
α 0 x α y
0 α y = α x
Extensión de α (hace grande o chico al vector)
α 0 x αx
0 1 y = y
Extensión en x
1 0 x x
0 α y = αy
3. Extensión en y
Nota: Si se da una matriz de 3x3 y un vector de 3 coordenadas entonces el vector se
encuentra en un plano de R3
Cálculo de los valores característicos por medio de la descomposición QR
2 3 7
A= 6 4 -1 Obtener Q R Matriz A1= RQ Descomponer
-2 -1 5 A1 en QR
A1 = Q1 R1
Obtener Descomponer A2 en QR Obtener ...
A2 = R1 Q1 A2 = Q2 R2 A3 = R2 Q2
Llega un momento en que va a aparecer la matriz triangular superior; es decir
Aj= U
λ1 - -
= 0 λ2 - Valores Característicos
0 0 λ3
Ejemplo:
2 3 7
A= 6 4 -1
-2 -1 5
0.3015 0.9358 -0,1826
Q= 0.9045 -0.2202 0.3651
-0.3015 0.2751 0.9129
6. 7.5638 3.4672 -2.1697
A7= -2.9472 4.1970 -6.6462
0.0000 0.0000 -0.7623
0.9318 0.3631 0.0000
Q7= -0.3631 0.9318 0.0000
0.0000 0.0000 -1.0000
8.1177 1.7069 0.3913
R7= 0.0000 5.1694 -6.9804
0.0000 0.0000 0.7623
6.9443 4.5380 -0.3913
A8= -1.8770 4.8168 6.9804
0.0000 0.0000 -0.7623
0.9654 0.2609 0.0000
Q8= -0.2609 0.9654 0.0000
0.0000 0.0000 -1.0000
7.1935 3.1239 -2.1991
R8= 0.0000 5.8340 6.6365
0.0000 0.0000 0.7623
Se puede notar que los valores de la matriz A se empiezan a repetir por lo que nos lleva a concluir que están
apareciendo los valores característicos.
También se puede simplificar todas estas operaciones sacando el polinomio y los valores característicos de la
matriz original.
2 3 7
A= 6 4 -1
-2 -1 5
2-λ 3 7
A= 6 4- λ -1
-2 -1 5- λ
