1. EL CUENTO DE LAS TRANSFORMACIONES
GEOMÉTRICAS EN EL ARTE.
Una experiencia con el uso de software educativo.
Por: Nora Benítez Manjarrés
Docente Normal Superior de Pasca y
Universidad de Cundinamarca (Colombia)
e-mail: norax23@hotmail.com

2. RESUMEN
Se presenta el mundo de los teselados, fractales y construcciones imposibles como medio
para abordar una visualización más amplia de los conceptos básicos de la geometría,
desarrollando el razonamiento y estimulando el análisis de las propiedades de las figuras y
sus transformaciones. Como invitado se tiene a Maurits Cornelius Escher, un artista como
muy pocos, admirado por virtuosos, matemáticos e intelectuales de todo el mundo. La
razón principal por la cual Escher es elegido tiene que ver con su interesante obra en la que
se destacó por crear juegos visuales a partir de la observación y el estudio de las formas en
la realidad, trasladándolas al papel de una manera sorprendente. El propósito de este
proyecto es motivar la exploración y representación de diseños artísticos en el plano a
través de la utilización del Software de Geometría Dinámica CABRI II plus. En este proyecto
participan estudiantes de décimo grado y del Programa de Formación complementaria de
la Normal Superior de Pasca, y de II semestre de Licenciatura en Matemáticas de la
Universidad de Cundinamarca.
ABSTRACT
“Recreating the art with Dynamic Geometry: tilings, fractals and imposible spaces”: It
presents the “tessellation” or “tiling”, fractals and “impossible spaces” world in a way of
approaching a wider visualization of the basic concepts of geometry by stimulating the
development and interpretation of figures, its properties and its transformations. As our
guest artist, I want to introduce Mr. Maurits Cornelius Escher; an extraordinary proficient
like very few, who is admired by virtuosos, mathematicians and intellectuals worldwide.
The main reason why Mr. Cornelis was chosen to represent this project, is due to his very
interesting and prominent masterwork; the creation of visual games. These games arose
from the study and observation of tangible figures, their shapes and their structures, to
later on, in a surprising way, transferring them to paper as an art painting. The purpose of
this project is to motivate the creation and the representation of artistic designs in a flat
surface with the aid of the software: “The Dynamic Geometry CABRI II bonus”. Students
from the tenth grade, whom are also affiliated to the Program of Formation
complementary and are as well Mathematics Majors, are the participants in this project.

3. CONTEXTUALIZACIÓN DE LA EXPERIENCIA
Para comprender qué es una teselación conviene imaginar una gran tienda de
rompecabezas donde cada juego está compuesto por piezas de igual forma y tamaño. Se
dice que estas piezas son teselantes cuando es posible acoplarlas entre sí, sin dejar
huecos, hasta recubrir por completo el plano. La variedad de formas que pueden tener
estas piezas es infinita.
Las teselaciones han estado presentes en la vida del hombre desde la antigüedad,
encontrándose importantes manifestaciones en diversas culturas, especialmente en los
diseños de pisos, paredes y ornamentos de palacios, iglesias y en diversas construcciones.
Los moros fueron maestros en este arte y prueba de su creatividad se encuentra en la
Alhambra de Granada (España). Ellos no podían conocer el teorema de clasificación de
Fedorov (1891) sobre los “Grupos cristalográficos planos”, y por lo tanto no conocían
cuántos grupos de simetrías podían usarse para rellenar el plano con losetas, por eso
resulta sorprendente que conocieran y usaran en sus diseños todos y cada uno de los 17
existentes.
De otra parte, es importante mencionar a Maurist Cornelis Escher teniendo en
consideración que es uno de los pocos artistas contemporáneos que ha logrado cautivar e
inspirar a los matemáticos. Muchas de sus obras se refieren a teselados, estructuras
matemáticas y juegos visuales que realizó a partir de la observación y el estudio de las
formas en la realidad. El trabajo con la simetría y la repetición lo obsesionó
constantemente y, precisamente, esto hizo que algunas de sus obras sean clasificadas en
algo que él nombró como “partición regular del plano”.
Tomando como referente el contexto anteriormente descrito, se realizan algunas
actividades con los estudiantes de la Escuela Normal Superior de Pasca y de la Universidad
de Cundinamarca. Estas van evolucionando hasta convertirse en un proyecto de Aula que
año tras año va creciendo gracias a las posibilidades que brinda su práctica en diversos
ámbitos académicos: artístico, geométrico, lógico y cultural.
¿Qué importancia tiene el arte en el ámbito educativo?
Por una parte debe considerarse que el arte potencia el desarrollo de los sentidos, la
sensibilidad, la expresión de las emociones, la inteligencia… Los seres humanos forman
una perspectiva del mundo muy propia pero totalmente influenciada por el entorno, ven y
definen su intelecto, basados en símbolos y signos de un mundo manifiesto, partiendo de
conceptos y formas establecidas. La creatividad representa una persistente lucha interior
por sensibilizarse corporalmente ante los estímulos del medio, buscando siempre ver más
allá de lo visible.

4. El arte demanda el uso de ambos hemisferios cerebrales en los cuales se alojan las
acciones lógicas, matemáticas, analíticas y conscientes, al igual que las inconscientes,
sintéticas e intuitivas. El sentido de lo artístico es permanente, por tanto debe fomentarse
constantemente, es decir, en todo momento y en todo nivel del sistema educativo.
¿Qué condiciones favorece la experiencia para el desarrollo de competencias?
Para entender hasta qué punto esta experiencia logra un impacto real y pertinente con
respecto al desarrollo de competencias, es necesario considerar algunas precisiones
extraídas textualmente del Documento No 3 del Ministerio de Educación Nacional, en el
capítulo de Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas:
“Desarrollar las competencias matemáticas supone organizar procesos de
enseñanza y aprendizaje basados en estructuras curriculares dinámicas que se
orienten hacia el desarrollo de competencias. Esto obliga al desarrollo de procesos,
situaciones y actividades contextualizadas en situaciones que portan una visión
integral del conocimiento matemático…” pág. 74
El pensamiento espacial es entendido como “el conjunto de los procesos
cognitivos mediante los cuales se construyen y se manipulan las representaciones
mentales de los objetos del espacio, las relaciones entre ellos, sus
transformaciones, y sus diversas traducciones o representaciones materiales” pág.
61
El estudio de las propiedades espaciales implica entre otros“…relacionar el estudio
de la geometría con el arte y la decoración; con el diseño y la construcción de
objetos artesanales y tecnológicos…”pág. 61
Se propone al maestro “Diseñar procesos de aprendizaje mediados por escenarios
culturales y sociales. El aprendizaje se propone como un proceso activo que
emerge de las interacciones entre estudiantes y contextos…”pág. 73
Los recursos didácticos pueden ser materiales estructurados con fines educativos o
tomados de otras disciplinas y contextos para ser adaptados a los fines que
requiera la tarea. Entre estos recursos, pueden destacarse aquellos configurados
desde ambientes informáticos… pág. 75
La diversidad de formas de las piezas teselantes es infinita, sin embargo es viable trabajar
con estudiantes algunas técnicas que permitan lograr gran variedad de resultados
mientras se fortalecen diferentes competencias. Es esta posibilidad la que ha motivado la
realización de este proyecto de aula que tiene como uno de sus propósitos explorar el
encantador mundo de los teselados, fractales y construcciones imposibles como medio
para fomentar el desarrollo del pensamiento geométrico y espacial.

5. En el caso particular de las teselaciones, además de su importancia desde el punto de vista
estético, creativo y sensitivo se agrega el gran interés didáctico para la geometría. Uno de
los aspectos más importantes en la clasificación de teselados es la simetría. Usando este
concepto, los patrones pueden ser catalogados en siete tipos diferentes, por tanto, su
aplicación requiere abordar el estudio de las transformaciones en el plano.
Geométricamente hablando es importante resaltar que las todas las figuras cumplen un
papel fundamental en la solución de problemas pues éstas permiten la “Abducción”, es
decir, encontrar los caminos que permiten dar solución a una situación problemática
planteada. A pesar de esto, a veces no se presta suficiente atención a las mismas e incluso
terminan asumiéndose como elementos decorativos. Esto aparentemente es debido a que
no todos los maestros reconocen la importancia de desarrollar en los estudiantes su
capacidad de visualización, la cual es indispensable para explorar y analizar la potencia de
una figura.
Las posibilidades de aprehensión heurística que permiten las figuras se encuentran
relacionadas con los tipos de modificaciones sobre la figura así:
 Modificaciones Mereológicas: Relaciones entre las partes y el todo:
Reconfiguración. Configuración.
 Modificaciones Ópticas: Superponibilidad. Anamorfosis.
 Modificaciones Posicionales: cuando hay traslación o rotación de la figura o de las
partes que la componen.
Lo anterior, permite ratificar la importancia del trabajo con transformaciones geométricas
en el plano lo cual indiscutiblemente puede contribuir en el desarrollo de la “capacidad de
visualización” de los estudiantes. Además, es importante considerar lo que afirma
Cordero, J (2011) al respecto:
 “Sólo muy recientemente, y tal vez por la enorme profusión de imágenes que
fabrica y consume el hombre actual, se está cayendo en la cuenta de lo
incompleta que es la educación escolar para enfrentarse con discernimiento
racional y preparación técnica - a la continua información, y también manipulación
visual, de nuestra época. El desprecio o abandono para abordar con rigor este
campo, está produciendo retrasos irrecuperables en la utilización beneficiosa de
los logros técnicos conseguidos en la confección y propagación de imágenes
visuales”
Con respecto a la herramienta de trabajo, es primordial destacar que la geometría está
experimentando un emocionante renacimiento en el mundo gracias al desarrollo de
software de geometría dinámica como Cabri. El uso de este programa tecnológico permite
realizar en muy corto tiempo construcciones de polígonos y sus isometrías que podrían
tomar horas usando elementos convencionales de dibujo geométrico (lápiz, regla, compás

6. y transportador). Afortunadamente la Normal Superior de Pasca cuenta con un aula móvil
de tecnología (con 20 equipos portátiles), donde ha sido posible trabajar por parejas o
individualmente dependiendo del número de estudiantes de cada grupo.
Las actividades desarrolladas en el aula contemplan varias posibilidades:
1. Teselados geométricos (regulares, demi-regulares, semi-regulares e irregulares).
En este caso se requiere la construcción de Macros y el análisis de las propiedades
de las figuras, lo cual permite identificar las características de las piezas teselantes
respecto a sus ángulos.
2. Teselados animados (con formas de personas, animales y objetos personificados).
Para lograr este propósito se trabaja con triángulos equiláteros, cuadrados y
hexágonos sobre los que se trazan polígonos irregulares auxiliares que son
manejados convenientemente con transformaciones isométricas, permitiendo
obtener piezas no regulares que teselan. También se toman como base algunos
polígonos irregulares.
3. Análisis de algunas de las obras de Escher para lograr su reproducción aplicando
isometrías.
¿Cuál ha sido la trayectoria y qué resultados se han obtenido institucionalmente?
En la Escuela Normal Superior de Pasca “Nuestra Señora de la Encarnación” el proyecto
“Transformaciones Geométricas en el Arte” comienza en el año 2006. Las primeras
elaboraciones permitieron la realización de una Unidad didáctica que se tituló “Once
Estrategias para divertirse y aprender con triángulos Equiláteros”, con la cual, un grupo de
4 estudiantes y la investigadora principal, participan en un concurso organizado para el
evento Iberocabri Argentina 2008, resultando clasificados como finalistas.
Para dar continuidad al mismo, se inicia la elaboración de un Manual que es construido a
partir de los trabajos realizados en aula por diferentes grupos de maestros en formación
(estudiantes del Programa de Formación complementaria de la Normal Superior de Pasca
(ENSP) y de Licenciatura en matemáticas de la Universidad de Cundinamarca). Este
tutorial lleva por nombre “Recreando el Arte con Geometría Dinámica: Teselados,
fractales y construcciones imposibles”.
En el año 2011 se han vinculado al proceso los estudiantes de educación media, más
específicamente a los jóvenes del curso 10.1 de la ENSP, teniendo en cuenta que uno de
los estándares básicos de competencias en Matemáticas para este nivel indica
textualmente “Uso argumentos geométricos para resolver y formular problemas en
contextos matemáticos y otras ciencias”. No se ha podido extender la experiencia a los
otros cuatro grupos de décimo por cuanto no se puede disponer del aula móvil
únicamente para las necesidades del área de matemáticas, sin embargo, con estos
estudiantes se desarrolla un proyecto institucional para el desarrollo del pensamiento
lógico.

7. ¿Qué transformaciones se han evidenciado en la práctica de la docencia y en la
formación de los estudiantes a partir de la implementación de la experiencia?
Son varios los aspectos que se pueden mencionar para dar respuesta a este interrogante:
El primer resultado importante es que los estudiantes requieren entender y aplicar las
propiedades fundamentales de las figuras geométricas, especialmente aquellas que se
refieren a sus ángulos, pues, por ejemplo, para la construcción de macros deben señalar
un número que corresponde al ángulo central de la figura que se quiere construir, y, por
otra parte, al teselar utilizando como herramienta la rotación alrededor de un punto, debe
indicarse el valor del ángulo interno de la misma, ya que este es el que permitirá que los
bordes de dichos polígonos coincidan.
Otro avance significativo consiste en tener la necesidad de aplicar conceptos geométricos
y manejar su terminología (lenguaje técnico) de manera fluida. En geometría dinámica la
diferencia entre hacer un dibujo y una construcción radica en la correcta utilización de las
opciones que ofrece el software. La herramienta arrastre y las de verificación permitirán
constatar la consistencia de las elaboraciones realizadas por los estudiantes.
La creatividad de los jóvenes ha sido una constante en este proyecto, esto ha dado lugar a
un sinnúmero de teselaciones a partir de una sola pieza teselante o de la combinación de
dos figuras complementarias que también logran recubrir el plano. Los mejores trabajos
se han venido incorporando en el Manual de Teselaciones.
Para los estudiantes de los Programas de Formación Complementaria y de Licenciatura en
Matemáticas que optaron por analizar la producción artística de Escher, ha resultado muy
motivador saber que pueden llegar a recrear algunos de sus diseños, aún cuando no se
consideren “buenos para el dibujo”. Esta tarea ha implicado demostrar avances
importantes en la visualización de las figuras y sus propiedades. Realizar la reproducción
de construcciones imposibles refleja además habilidades de pensamiento espacial (en tres
dimensiones).
Algunos estudiantes sorprendentemente logran superar a su maestra. Incluso llegan a
resolver situaciones que se presentan a sus compañeros de maneras que no se habrían
considerado por su profesora, lo cual resulta favorable pues el proceso educativo se da en
tres direcciones: (maestra – estudiantes, estudiantes – estudiantes y estudiantes –
maestra)
Cuando se han presentado problemas técnicos siempre se ha contado con uno o más
estudiantes adelantados al respecto, lo cual permite optimizar el uso de los equipos,
teniendo en cuenta que los virus generan bastantes problemas y el mantenimiento de los
equipos se programa de manera no tan frecuente.

8. Desde la perspectiva de la docente también se han generado cambios importantes pues
ha sido necesario profundizar en aspectos conceptuales, tecnológicos y metodológicos,
para poder dar respuesta a muchos de interrogantes que puedan presentarse en el
proceso.
Para evidenciar los alcances de los estudiantes en sus propias palabras, a continuación se
presentan las respuestas (o fragmentos de ellas) dadas a las siguientes preguntas: Con
respecto al proyecto ¿Qué tipo de competencias creen que pueden desarrollarse? y ¿Qué
aportó para su vida personal y académica participar en esta experiencia?
 “Esta experiencia es muy productiva pues gracias a ella aprendí a encontrarle
diferentes formas a los objetos, además, es importante ver cómo ponemos a volar
nuestra imaginación cuando tenemos que crear cosas nuevas. En cuanto a lo
académico, considero que estos métodos nos permiten enseñar de manera fácil
temas que aparentemente son difíciles” Natalia
 “… se pueden desarrollar las competencias espaciales a partir de esta experiencia,
para lograr utilizar y trasladar el conocimiento de un campo a otro muy distinto,
consiguiendo su aplicación a la perfección. Esta experiencia aporta para mi vida un
alto conocimiento en un tema que era desconocido para mí y que ahora manejo
holgadamente” Rayid
 “Para que algo se lleve a cabo de forma correcta y óptima, hay que utilizar todas
las herramientas posibles y hacer de lo inalcanzable, lo más cercano” Tania
 “Esta experiencia permite desarrollar la habilidad artística y creativa aunque uno
no sepa dibujar” Yury
 “Me permitió conocer algunas dificultades que tengo, pero aprendí de ello que
todos contamos con una gran imaginación e ingenio” Alejandra
 “Fue una forma muy bonita de dibujar para los que no somos expertos…” Mayra
 “Uno puede desarrollar la parte artística por medio de este programa, y muchas
veces uno no tiene ni idea de lo que puede llegar a hacer” Karen
 “… me ayudó a desarrollar mi imaginación, la creatividad y unas habilidades que no
sabía que tenía…” Andrea
 “… logré desarrollar aún más la capacidad imaginativa y de creatividad, al igual que
esforzarme en lo que es la perfección, un elemento clave para la vida…” Paula
 “Conocer una nueva forma de expresión por medio de un software donde puedes
plasmar tus estados de ánimo, pensamientos y demás sentimientos… Podría
convertirme en un Pintor sin Pincel” Elvis
 “Al principio vi todo muy difícil pero al manejar las herramientas y al ponerme a
construir no se me dificultó. Creí que el trabajo que yo realizaba era feo, no me
gustaba como quedaba y lo borraba hasta que decidí dejar uno, pero eso es bueno
porque cuando uno practica, aprende y creo que lo que uno aprende bien, jamás
en la vida se olvida” Yised
 “Elaborando teselados se expresan otros factores importantes como la
imaginación, dedicación, creatividad y arte. Creo además que es muy útil pues no

9. es algo de momento, es algo que permite desarrollar el pensamiento más allá de lo
que se vive o se ve…” Lorena
 “… presentaba dificultad en algunos conceptos de geometría que clarifiqué por
medio de Cabri y las explicaciones en clase. Ahora me gusta más la geometría y la
entiendo mucho mejor” Danna
 “Esta experiencia me pareció muy buena ya que pude experimentar muchas cosas
y aprender sobre geometría…”Estiven
 “Creo que se pueden desarrollar competencias de pensamiento lógico
matemáticas. Durante el proceso se facilita la capacidad de captación, la
perspectiva de una figura y sus posibles análisis” Milton
 “Este software es una herramienta muy interesante y retadora… Para mi aportó
este proyecto muchos conocimientos para mi vida ya que facilita muchas
actividades y forma en una nueva metodología” Daniel
 “… uno debe ser muy recursivo y dinámico, uno a veces no tiene muchas
capacidades para el dibujo pero debe practicar y practicar hasta mejorar y mostrar
algo muy bueno. …debemos ser muy pulidos y limpios a la hora de hacer un
trabajo. …estas herramientas son muy buenas a la hora de dar a conocer un tema,
que se puede practicar, que son muy interesantes y sobre todo, que con ellas se
pueden lograr muchas cosas” Leidy.
 “El proyecto de teselados permite analizar mejor el tema de transformaciones
geométricas, además, ayuda a que el estudiante analice mejor las figuras
geométricas, lo que permite solucionar problemas del día a día” Deiby
 “ …también se desarrollan las competencias comunicativas, pues teníamos en
cuenta las opiniones de los compañeros para perfeccionar nuestras teselas…
Respecto a mi vida personal me deja una gran idea de enseñar un día las figuras o
algún tema con el programa Cabri y así mismo, al hacer mis prácticas y necesitar
algún dibujo, yo podría tener una gran ayuda para llevarlo a cabo” Yuly
 “Con el proyecto de teselados se pueden desarrollar variedad de competencias
como la creatividad, en el momento de animar las teselas; lectura de contexto, ya
que gracias a una tesela podemos observar en qué ambiente se desarrolla la
persona que la realiza; transmitir sentimientos, ya que dependiendo de lo que se
realiza, las demás personas lo van a interpretar”, “Esta experiencia aportó en mi
vida personal que se pueden realizar cosas bonitas, lo único que se debe hacer es
elevar la imaginación e ir manejando al mismo tiempo la creatividad; en cuanto a
lo académico, que hay nuevas formas de dinamizar una clase…” Francy
 “Es bueno y recomendable no dejar este tema a un lado sino promover su práctica,
incluso como recurso para explicar otros temas y hasta otras áreas de
conocimiento” Tania
Sobre lo que logra con esta experiencia pueden citarse las siguientes palabras claves
usadas por los estudiantes:
Capacidades analíticas, espacialidad, lógica, comprensión de las figuras, conocimientos
geométricos, captación, perspectiva y posibilidades de análisis de una figura, exploración,
solución de problemas, creatividad, imaginación, motricidad, estética, dedicación,

10. competencias para la vida, lectura e interpretación de contextos, competencias
comunicativas, expresión de sentimientos, motivación por aprender, interés,
conocimientos en uso de las TIC´s, programas y metodologías.
Por un lado, se ha propuesto que la visualización en educación matemática está en su
renacimiento (Zimmerman & Cunningham, [12]). Pero, por otro lado, parece que se han
hecho muy pocos esfuerzos pedagógicos para realizarlo (ver Berthelot & Salin en la
Sección V). Pudiera ser que la comunidad esté haciendo la suposición cándida de que los
humanos nacemos con las habilidades de pensamiento visual y que éstas son aplicadas
cuando se necesitan, y consecuentemente no se requiere hacer nada para alimentarla o
desarrollarla. (Para más sobre educación visual y su estatus, ver Herskowitz, Parzysz & van
Dormolen, [6].)
En lo siguiente, hemos visitado de nuevo algunas visiones ampliamente difundidas sobre
el razonamiento visual, y retado algunas de sus suposiciones subyacentes e incluso
explícitas.
Duval (Sección II) distingue entre procesos visuales y procesos de razonamiento, y parece
sugerir que son categorías diferentes de pensamiento. Él propone que una función
principal de los procesos visuales es el de la verificación subjetiva. Incluso si estamos de
acuerdo con esta visión de la visualización (y levantamos algunos cuestionamientos sobre
ello más abajo), muchos educadores matemáticos incluyen la verificación subjetiva como
una parte integral del razonamiento en general.

11. BIBLIOGRAFIA
AGUERRONDO, I. (1990): El planeamiento educativo como instrumento de cambio. Buenos
Aires, Troquel.
ALSINA, C. - BURGUÉS, C. - FORTUNY, J. (1991): Materiales para construir la geometría.
Madrid, Ed. Síntesis.
ANTUNEZ, S - GAIRÍN, J. (1996): La organización escolar. Barcelona, Graó.
BAROODY, A. (1997): El pensamiento matemático de los niños. Madrid, Aprendizaje Visor.
CASTELNUOVO, E. (1970): Didáctica de la matemática moderna. México, Ed. Trillas. GEGA,
P. (1980): La enseñanza de las ciencias en la escuela primaria
http://www.taringa.net