1. ESPECULAÇÕES SOBRE O CENTRO DE
MASSA E CAMPOS DE CORPOS ILIMITADOS
EM R3
Lossian B. Bacelar Miranda – lossian@oi.com.br
Coordenação de Matemática e Física - IFPI1
Resumo. Fazemos uma síntese histórica extrema sobre o pensamento
cosmológico clássico e algumas especulações acerca de campos e centros de
massa associados a corpos ilimitados no espaço euclidiano tridimensional.
O Universo clássico e seus paradoxos
1. Newton inicialmente pensou que o Universo fosse infinito e eterno,
com uma finita quantidade de massa.
2. Tendo em conta que haveria uma tendência de aglomeração para o
centro de massa deste Universo, Newton abandonou esta idéia e
assumiu que a massa era infinita e que, portanto, não poderia haver
nenhuma tendência para a aglomeração de toda a matéria do
Universo, e sim para aglomerações parciais que tenderiam a
construir centros enormes de massas bastante afastados uns dos
outros.
3. Paradoxo gravitacional (Seeliger e Carl Neumann 1894-1896):
Como a força gravitacional exercida por uma casca esférica em
seus pontos interiores é nula, então a força gravitacional exercida
por toda a matéria do Universo sobre uma partícula de massa m
localizada no ponto M se restringe à força exercida pela matéria
contida na bola maciça de raio PM (fig. 01, abaixo), a qual depende
da distância PM. Portanto, se o Universo é infinito com distribuição
uniforme de matéria, a força exercida por toda a matéria sobre uma
partícula de prova irá depender do referencial, isto é, do ponto P
escolhido.
1
Palestra apresentada em 1 de dezembro de 2009 no IFPI por ocasião da realização da VI
Semana de matemática e Física do IFPI. Lossian Barbosa Bacelar Miranda é professor do Instituto
Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Piauí.

2. Raio PM da esfera de centro P
M
P
Figura 01. Paradoxo gravitacional
4. Propostas de soluções conhecidas para o paradoxo gravitacional:
a) Quantidade finita de matéria: os cálculos mostram que não surge
nenhum paradoxo nesta situação. Mas cai-se na hipótese do
colapso;
b) Correção de Seeliger-Neumann para a lei da gravitação (1895-
1896). Eles propuseram que o potencial gravitacional deve ser
Gm Gm r
mudado de para
e . Com esta
r r
correção os cálculos indicam que a força exercida por uma
casca esférica sobre um ponto que não seja o centro da esfera
não é obrigatoriamente nulo.
c) No Universo existem massas negativas, as quais repelem as
positivas (tomadas como as usuais, por nós “conhecidas”) e
atraem as negativas. Os cálculos feitos para este modelo evitam
o paradoxo gravitacional, mesmo com um Universo infinito com
quantidade infinita de matéria. Tal modelo foi inicialmente
proposto por Föppl em 1897.
Campo elétrico de uma distribuição infinita de
cargas

3. Considere o conjunto N {( m , n , s ) / m , n , s Z } dos nós de uma
malha tridimensional infinita contida em R 3 . Colocando-se uma
partícula carregada com carga de intensidade q em cada um dos nós
e usando-se diretamente a lei de Coulomb, teremos que o campo
3 3
E:R R será dado pelo somatório
 x m y n
E ( x, y, z ) 0
q( 2 2 2 3/2
, 2 2 2 3/2
,
m ,n ,s Z [( x m) (y n) (z s) ] m ,n ,s Z [( x m) (y n) (z s) ]
z s
2 2 2 3/2
).
m ,n ,s Z [( x m) (y n) (z s) ]
Os casos bidimensional e unidimensional (respectivamente,
z s 0 e z s y n 0 ) se restringem às expressões:
 x m y n
E ( x, y ) 0
q( 2 2 3/2
, 2 2 3/2
)
m ,n Z [( x m) (y n) ] m ,n Z [( x m) (y n) ]
.
 x m
E ( x) 0
q 2 3/ 2
m Z [( x m) ]
.
Corpos ilimitados com centros de massa
determinados
DEFINIÇÃO (Centro de massa): O centro de massa de um corpo de
massa m é a posição média das massas infinitesimais que compõem o
corpo. Matematicamente, temos:
a) Para um sistema de partículas de posições dadas em um

sistema cartesiano tridimensional por ri e massas m i , o

4. centro de massa de é definido por

m i ri
cm ( ) .
mi
b) Para uma distribuição contínua M
 , de massa total e
função de densidade (r ), o centro de massa é
 
( r ) r dV

r
cm ( ) 
( r ) dV .

r
PROPRIEDADES DO CENTRO DE MASSA
A coleção das forças internas não pode alterar o movimento do
centro de massa, tão somente, pode fazer com que o corpo possa
girar. É o que ocorre com o gato em queda livre ao girar para cair com
as patas no chão. O centro de massa de um corpo de massa m, e
submetido a certo campo de forças, se move como se fosse uma
partícula de massa m situada naquele mesmo campo.
A explicação da afirmação acima é fruto da própria definição do
centro de massa, conforme segue:
PROPOSIÇÃO FUNDAMENTAL: Sejam n partículas 1, 2 ,..., n

com posições dadas pelos raios vetores ri (t )
em função do tempo
(as partículas estão em movimento, talvez!), cada uma com massa
constante mi . Denotemos F ik (t ) a força que a partícula i
exerce sobre a partícula k no instante t . Então

d n
d ri ( t ) n  
( mi ) R i (t ) R i (t )
dt dt , onde é a força
i 1 i 1
resultante externa que atua sobre a partícula i.

5. DEFINIÇÕES: devido ao seu constante uso, denomina-se o somatório

n
d ri ( t ) 
mi P de momento linear total das n
i 1 dt

 d ri ( t )
pi mi
partículas, e dt , momento linear da partícula
i .
A partir do resultado acima podemos, facilmente, colher o
seguinte resultado, o qual é talvez o mais importante resultado que se
refere a movimento de corpos quaisquer, sejam rígidos ou
deformáveis.
n

ri ( t ) m i

def
  def
d rcm ( t )
i 1
n
rcm ( t ) v cm
mi dt
i 1
n

m i v i (t )  
not
P dP   
i 1
M a cm F ext M a cm
M M dt
.
Isto significa que não importam as energias e possibilidades de
movimentação do corpo humano e vontade de se flexibilizar, é
impossível uma pessoa mudar a posição de seu centro de massa, um
milímetro sequer, caso esteja em queda livre.

6. Figura 02. Estrelas duplas girando em torno do centro de massa
CENTROS DE MASSA DE CORPOS ILIMITADOS
Dentro de um Universo clássico, pelo menos no plano teórico, é
possível a existência de corpos ilimitados (que não cabem dentro de
uma bola de R3) com volumes finitos ou infinitos. O senso comum nos
indica que corpos limitados devem ter massa finita, a menos que haja
uma concentração infinita de densidade em pelo menos um ponto do
corpo. Espera-se, portanto, que corpos limitados, além de terem
volumes finitos tenham, também, massa finita. Por outro lado, corpos
ilimitados podem ter volumes e massas finitas. Até corpos de volumes
infinitos, os quais são sempre ilimitados, podem ter massas finitas se
supusermos para eles uma diminuição conveniente de densidade. A
seguir, apresentamos o resultado de um estudo teórico vindo dos
cursos de cálculo integral.
10
8
6
4
2
1 2 3 4 5
1 1
Figura 03. Gráfico da função f ( x ) , com ( ,1)
x 2

7. 0 ½ 1
Área 1
x0
Em 1, infinito
Em ½, 1
infinito
Volume
1 2
x0 1 2
1 2 x0
Em ½, Em 1,
infinito x0
1 2
Centro de
massa 1 2
Em 1, infinito x0
Em 0, 2 2
infinito.
Figura 04. Valores relativos ao sólido de revolução gerado pela
1
f ( x)
função , para diversos números
x
Aqui cabem algumas indagações suscitadas pela análise da
tabela acima:
i) Se um corpo possui subcorpo de modo que o centro de
massa do subcorpo seja indeterminado, então o centro de
massa do próprio corpo será indeterminado?
ii) Qualquer conjunto de corpos cuja união das massas seja
finita possui centro de massa determinado?
iii) Corpos de volumes infinitos têm, sempre, centros de
massa indeterminados?
iv) CONJECTURA: Sólido de revolução gerado por uma figura
de área finita possui centro de massa determinado, e sólido
de revolução gerado por figura de área infinita não possui
centro de massa determinado.
v) CONJECTURA: Sendo finito o volume do corpo, seu centro
de massa será determinado.

8. Referência Bibliográfica
1. ASSIS, A. K. T. Mecânica Relacional. CLE, UNICAMP, 1998.