O documento discute o movimento de um pêndulo matemático e introduz as funções elípticas. Apresenta as equações do movimento do pêndulo e define três tipos: oscilação, movimento assintótico e rotação. Introduz conceitos básicos de funções elípticas e mostra como estas funções podem ser usadas para descrever explicitamente o ângulo do pêndulo em termos do tempo.

1. O PÊNDULO MATEMÁTICO E AS FUNÇÕES ELÍPTICAS
Lossian B. B. Miranda
IFPI – Coordenação de Licenciatura em Matemática / lossian@oi.com.br
Introdução
Considere um pêndulo matemático de haste de comprimento fixo ˬ com centro
de massa girando ou oscilando sobre a circunferência conforme figura 1. Para cada
instante de tempo ˮ a haste faz um ângulo {ˮ{ com a reta vertical, com {ˮ{ sendo
positivo no sentido anti-horário e negativo em sentido horário.
Figura 1
Pela segunda lei da mecânica clássica temos:
(1.1) – ˭˧J˥J {ˮ{ ˭ˬ ӕ.
O sinal negativo em (1.1) significa que quando J˥J {ˮ{ 2 Ŵ a aceleração angular é
negativa e reciprocamente.
EXERCÍCIO 1. Prove a afirmação imediatamente acima [Sugestão: faça inspeção caso
a caso para todos os quadrantes do ciclo trigonométrico nas duas orientações. São oito
situações, pois para cada um dos quadrantes temos dois sentidos, a saber, horário e anti-
horário].
Como a massa ˭ é não nula, podemos cancelar ˭ na equação (1) e isto significa que a
equação resultante
(1.2) ӕ . J˥J {ˮ{
independe da massa, e o movimento pendular não se modifica caso a massa varie.

2. Os três movimentos e os dois equilíbrios
Para melhor fixar as idéias, iniciemos nossa contagem temporal quando a massa
˭ passa pelo ponto mais baixo, ou seja, consideremos {Ŵ{ Ŵ e ˢ{Ŵ{ ˢ", com ˢ{ˮ{
sendo o módulo da velocidade tangencial no instante de tempo ˮ. Pela lei de
conservação da energia temos:
(1.3) $
ˢ"
$
$
ˢ{ˮ{$
- ˭˧ˬ{ŵ . IJJ {ˮ{{.
Substituindo IJJ {ˮ{ por ŵ . ŶJ˥J$
$
em (1.3), temos:
(1.4) ˢ${ˮ{ ˢ"
$
. Ÿ˧ˬJ˥J$
$
.
Usando-se a notação $
e observando que ˢ{ˮ{ ˬ Ӕ, temos
(1.5) Ӕ$
Ÿ $
{
&
. J˥J$ { {
$
{.
Como posteriormente usaremos funções elípticas e esta teoria já tem uma
notação tradicional desde 1823, façamos a notação
(1.6) ˫ &
.
Notemos que ˫ ŵ 7 $
ˢ"
$
Ŷ˭˧ˬ, ˫ ŵ 7 $
ˢ"
$
Ŷ˭˧ˬ e ˫ 2 ŵ 7 $
ˢ"
$
2
Ŷ˭˧ˬ. Ou seja, se ˫ ŵ temos oscilação, ˫ ŵ movimento assintótico (homoclínico) e
˫ 2 ŵ rotação. Assim, têm-se três tipos de movimentos para serem estudados.
OSCILAÇÃO (˫ ŵ. Energia cinética máxima menor que a energia potencial
máxima).
Quando o ângulo máximo relativo a uma oscilação é atingido a velocidade
tangencial se anula. Denotemos por {Ŵ { este ângulo. A substituição de ˢ{ˮ{ Ŵ
e {ˮ{ em (1.4) nos dá
(1.7) J˥J$
$
˫$
.
Por outro lado, (1.5) nos fornece
ˤˮ /
$
,
Que com a mudança de coordenada IJIJ˥J{
#
J˥J
$
{ fornece
ˤˮ /
#
,
e esta última, integrada de Ŵ a ˮ, nos dá

3. (1.8) ˤˮ /
#
ˮ.
COMENTÁRIO: Neste momento faremos uma pausa para desenvolver os rudimentos
da teoria das funções elípticas de Legendre-Jacobi necessários para, a partir da
identidade (1.10), encontrarmos {ˮ{
Como uma função explícita do tempo ˮ. Historicamente, as funções elípticas surgiram,
quase que simultameamente, a partir de três grandes problemas científicos, a saber: i)
cálculo de integrais indefinidas de funções racionais; ii) cálculo do comprimentos de
uma elipse com qualquer excentricidade; iii) cálculo da solução da equação do pêndulo
matemático. Posteriormente estas três visões inicialmente distintas se fundiram numa
teoria única e daí, generalizou-se para o domínio dos números complexos. Hoje se tem
uma vasta e importante teoria matemática com fortes aplicações em vários ramos da
física.

4. Funções elípticas (conceitos básicos)
Consideremos a integral definida
(A1.1) ˯
#
.
Note que ˯ ˯{˲{ é a integral do inverso da área do círculo trigonométrico da figura
abaixo (figura 2).
1
x
x 1
-1
-1
Figura 2
Neste caso, imediatamente vê-se que ˯{˲{ é função inversível para ˲ {Ŵ ŵ{. Isto nos
permite colocar x em função de ˯. De fato, do cálculo integral sabemos que ˯
IJIJ˥J˲ e daí temos ˲ J˥J˯. Por volta de 1823, Niels Abel, tentando encontrar a
solução da equação do pêndulo matemático, foi levado à equação (1.10). Ele foi levado
a fazer o estudo da função dada por ˯
#
. Visto que ˯ ˯{ { é função
crescente, Abel foi induzido a investigar como seria a inversa de ˯ ˯{ {, ou seja,
como deveria ser a variação de {˯{ como função de ˯. Mais precisamente, tendo
em conta que a mudança de coordenada ˲ J˥J , através da integração por mudança
de variáveis, nos leva à identidade
(A1.2) ˯
# {# {{# {
, com ˲ J˥J ,
Abel levantou o questionamento de como deveriam ser as funções ˲ ˲{˯{ e
{˯{. Jacobi usou a notação I˭{˯{ e denominou tal função por amplitude de ˯.
Como ˲ J˥J , ˲ ˲{˯{ foi denotada por Jacobi como ˲ J˥J{I˭{˯{{. Jacobi
também definiu:
IJJ …‘• {I˭{˯{{;
{ { I˭{˯{ ŵ . ˫$J˥J$ = ŵ . ˫$J˥J${I˭{˯{{ .
Gudermann, professor de Karl Weierstrass, propôs a notação atual:

5. (A1.3) Ӣ
˲ J˥J JJ˯
ŵ . ˲$ IJJ IJ˯
ŵ . ˫$˲$ ˤJ˯
A função JJ{˯{ JJ˯ chama-se seno elíptico, a função IJ˯, cosseno elíptico e a
função ˤJ˯ não tem nome.
TEOREMA 1 (Características analíticas das funções elípticas). Para as três funções
elípticas básicas acima definidas vale as identidades JJ$
˯ - IJ$
˯ ŵ e ˤJ$
˯ -
˫$
JJ$
˯ ŵ. Além disso, temos:
i) {I˭{˯{{ ˤJ˯;
ii) {JJ˯{ IJ˯;
iii) {IJ˯{ .JJ˯ˤJ˯;
iv) {ˤJ˯{ .˫$
JJ˯IJ˯.
(A1.4).
Demonstração: (i) {I˭˯{ {˯{
#
{ # ${
#
%
ŵ . ˫$J˥J$
ŵ . ˫$˲$ ˤJ˯;
(ii) {JJ˯{ {J˥J { IJJ IJ˯ˤJ˯
(iii) {IJ˯{ {IJJ { . J˥J .JJ˯ˤJ˯
(iv) {ˤJ˯{ { { Ӛ{ŵ . ˫$
J˥J$ { ӛ
#
$
{ŵ .
˫$
J˥J$ { ӘŴ . ˫$
ŶJ˥J IJJ ә
#
$
#
{.Ŷ˫$
JJ˯IJ˯ˤJ˯{ .˫$
JJ˯IJ˯.
As demonstrações de JJ$
˯ - IJ$
˯ ŵ e ˤJ$
˯ - ˫$
JJ$
˯ ŵ são óbvias, decorrendo
diretamente de (A1.3).
PROPOSIÇÃO 1 (Características numéricas das funções elípticas). Para s funções
elípticas valem as igualdades:
(i) JJŴ Ŵ;
(ii) IJŴ ŵ;
(iii) ˤJŴ ŵ;
(iv) I˭{.˯{ .I˭˯;
(v) JJ{.˯{ .JJ˯;
(vi) IJ{.˯{ IJ˯;
(vii) ˤJ{−u)=dnu.
Demonstração: (i) Se ˯ Ŵ então Ŵ
#
, e como o integrando é positivo,
Ŵ. Deste modo, JJŴ Ŵ.
(ii) Analogamente ao caso (i), Ŵ, e daí, IJŴ IJJŴ ŵ.
(iii) Analogamente, ˤJŴ ŵ . ˫$J˥J$Ŵ ŵ.

6. (iv) I˭{˯{ . Como ˯
#
, se trocarmos o sinal de u,
deveremos trocar o sinal de para que haja identidade. Assim, I˭{.˯{ .
.I˭˯
(v) JJ{.˯{ J˥J{. { .J˥J .JJ˯.
(vi) IJ{.˯{ …‘•{. { IJJ IJ˯.
(vii) ˤJ{.˯{ {. { ŵ . ˫$J˥J${. { ŵ . ˫$J˥J$
ˤJ˯.
COMENTÁRIO. Por jogar um importante papel na teoria das funções elípticas, a
integral definida
(A1.5) H{˫{
#
È$
Merece destaque especial. Notemos que se na identidade (1.10) tomarmos ˮ para ser a
quarta parte do período ˠ{˫{ da oscilação, teremos que o ângulo máximo
correspondente será . Da igualdade J˥J J˥J{
#
J˥J
$
{, vê-se que quando ,
então ÈŶ. Assim, quando
Varia de – a , varia de – ÈŶ a ÈŶ. Conseqüentemente, de (1.10) teremos
#
È$
{ {
. Logo, o período da oscilação do pêndulo é dado por
(A1.6) ˠ{˫{
#
È$
{ {
Notemos que ˠ{Ŵ{
$
e ˠ{ŵ{ - , como era de se esperar.

7. Agora, retornemos à identidade (1.10). Da teoria das funções elípticas acima esboçada
temos
(1.9) J˥J {ˮ{ JJ{ ˮ ˫{
­
sn( ˮ{.
De J˥J {ˮ{ J˥J{
#
J˥J
$
{ e de (1.11) resulta
(1.10) {ˮ{ ŶIJIJ˥J{˫JJ{ ˮ ˫{{.
Esta última expressão derivada em relação ao tempo ˮ dá-nos
(1.11) Ӕ Ŷ˫ IJ{ ˮ ˫{.
Portanto, as duas curvas-solução / ț 7 ț$
(nos dois sentidos, anti-horário e horário)
de condição inicial, em módulo, { {Ŵ{ Ӕ{Ŵ{ {Ŵ {, são dadas por
(1.12) / {ˮ{ /{ŶIJIJ˥J ˫JJ{ ˮ ˫{ Ŷ˫ IJ{ ˮ ˫{{, com ˫
.
EXERCÍCIO 2. Faça a expansão da função T(k) em série de Taylor até a ordem 3.
Usando o programa graphmath, ou outro, faça o gráfico do correspondente polinômio
de grau 3. Qual o valor que este polinômio dá para o período quando ˧ % % ˭ÈJ$
,
ˢ ŵ Ŵ ˭ÈJ e ˬ ŵ Ŵ ˭? Calcule, também, T(0) e T(1), neste caso.
MOVIMENTO HOMOCLÍNICO (˫ ŵ. Energia cinética máxima igual à energia
potencial máxima).
Fazendo-se ˫ ŵ em (1.8) temos /Ŷ ˤˮ J˥I $
ˤ , cuja integração de Ŵ a ˮ nos dá
/Ŷ ˮ J˥I
$
ˤ . Do cálculo integral sabemos que J˥I
$
ˤ {ŶŽ {J˥I
$
-
ˮ˧
$
{{ . Disto segue / ˮ Ž {
#
{ e pela definição de logaritmo,
#
#
˥/
. Quadrando esta última obtemos uma equação do segundo grau na variável
independente J˥J
$
, cujas soluções são:
i) J˥J $
.ŵ J , J ímpar;
ii) J˥J $
/ #
/ #
/
/
­
ˮ˧˨{/ ˮ{.
A primeira refere-se ao ponto fixo instável e a segunda nos dá, devido à imparidade das
funções envolvidas,
(1.13) {ˮ{ /ŶIJIJ˥J{ˮ˧˨{ ˮ{{ .
Derivando-se esta última pela regra da cadeia temos
(1.14) Ӕ /Ŷ•‡…Š { ˮ{.

8. Em síntese, para este movimento, temos as duas curvas-solução / ț 7 ț$
dadas por
(1.15) / {ˮ{ Ә {ˮ{ Ӕ{ˮ{ә /Ŷ{IJIJ˥J{ˮ˧˨{ ˮ{{ •‡…Š { ˮ{{,
com ˧Èˬ e ˫ ŵ ˢ
$
ÈŸ˧ˬ.
EXERCÍCIO 3. Use o teorema 1 e a proposição 1 para provar que para as funções
elípticas valem as seguintes expansões em série de Taylor:
a) JJ{˯ ˫{ ˯ .
#
{ŵ - ˫${˯%
-
#
#$
{ŵ - ŵŸ˫$
- ˫{˯'
-
b) IJ{˯ ˫{ ŵ .
#
$
˯$
+
#
$
{ŵ - Ÿ˫${˯
.
#
$
{ŵ - ŸŸ˫$
- ŵź˫{˯ -
c) ˤJ{˯ ˫{ ŵ .
#
$
˫$
˯$
-
#
$
{Ÿ˫$
- ˫{˯
.
#
$
{ŵź˫$
- ŸŸ˫
- ˫ {˯ -
Use estes desenvolvimentos em série de Taylor para desenvolver também em série de
Taylor as curvas-solução / {ˮ{ /{ŶIJIJ˥J ˫JJ{ ˮ ˫{ Ŷ˫ IJ{ ˮ ˫{{ e / {ˮ{
Ә {ˮ{ Ӕ{ˮ{ә /Ŷ{IJIJ˥J{ˮ˧˨{ ˮ{{ •‡…Š { ˮ{{ dos movimentos oscilatórios e
homoclínico.
ROTAÇÃO (H 2 ŵ. Energia cinética máxima maior que a energia potencial máxima).
Como ˫ -
2 ŵ, consideremos ˫
#
1 De Ӕ Ÿ $
Ә
. J˥J$
$
ә
Ÿ $
{ {
#
{ $
. J˥J$
$
{ - note que esta é a equação (1.5) – segue
(1.16) /
#
.
Fazendo-se a mudança de coordenadas
$
1 teremos /
=
#
#
·, resultando
(1.17) J˥J J˥J $
JJ Ә/
ˮ ˫ә /JJ{˫ ˮ
#
{
e daí
(1.18) {ˮ{ ŶIJIJ˥J{/JJ{˫ ˮ
#
{{.
Por outro lado, derivando (1.19) em relação ao tempo teremos ӔIJJ {ˮ{
˫IJ Ә˫ ˮ
#
ә ˤJ{˫ ˮ
#
{ e, por (A1.3), desta última resulta ӔIJ Ә˫ ˮ
#
ә
˫IJ Ә ˫ˮ
#
ә ˤJ{ ˫ˮ
#
{. E daí segue Ӕ
ӔӔ
$
˫ˤJ{˫ ˮ
#
{, ou seja:

9. (1.19) Ӕ{ˮ{ Ŷ ˫ˤJ{ ˫ˮ
#
{.
Em síntese, as curvas-solução da rotação são / ț 7 ț$
dadas por:
(1.20) / {ˮ{ Ә {ˮ{ Ӕ{ˮ{ә /Ŷ{IJIJ˥J JJ Ә˫ ˮ
#
әF ˫ ˤJ{˫ ˮ
#
{{.