Teoria y Ejercicios

1. Trabajo Investigativo
 Nombre: Lider Eduardo Pilligua Menéndez.
 Curso: NBU.
 Paralelo: C.
 Tema: Todas las identidades y funciones
trigonométricas .
Nº de lista: 30.

3. Funciones trigonométricas
 Función Seno
Función cosecante
 Función coseno
Función secante
 Función tangente
Función cotangente

4. Función Seno
 El seno de un ángulo es la relación entre la
longitud del cateto opuesto y la longitud de la
hipotenusa:

5. Función Seno

7. Función coseno
 El coseno de un ángulo es la relación entre la
longitud del cateto adyacente y la longitud de
la hipotenusa:

10. Función tangente
 La tangente de un ángulo es la relación entre la
longitud del cateto opuesto y la del adyacente:

13. Función cotangente
 La cotangente de un ángulo es la relación entre
la longitud del cateto adyacente y la del
opuesto:

16. Función secante
 La secante de un ángulo es la relación entre la
longitud de la hipotenusa y la longitud del
cateto adyacente:

19. Función cosecante
 La cosecante de un ángulo es la relación entre
la longitud de la hipotenusa y la longitud del
cateto opuesto:

22. Funciones trigonométricas
inversas
 Función seno inverso
 Función coseno inverso
 Función tangente inversa
 Función cotangente inversa
 Función secante inversa
 Función cosecante inversa

29. Identidades trigonométrica

31. Identidades Pitagóricas

32. 


1 – Sen² x = Cos² x
Sen² x = 1 – Cos² x

33. a
c
a
a
=
b
a
a
+
Csc² x = Ctg² + 1
Csc² x - Ctg² = 1
Ctg² x = Csc² - 1

34. b
b
b
_
c
( _ )²= 1+ ( a )²
bb
b b
Sec² x =1+T x
ag²
Sec² x - Tag² x = 1
T x =Sec² x - 1
ag²

35. Identidades Reciprocas
 Se llama así todo debido a que por
definición, al intercambiar los términos del
cociente de la relación trigonométrica se
obtiene estas.

36. Procedimiento de la Identidades Recíprocas
=1
=1
=1

37. Identidades Recíprocas

38. Identidades por cociente
 Las identidades trigonométricas por
cociente que se utiliza en la resolución de
problemas de trigonometría son :

41. Identidad Par
 Propiedad Nº1
 Para todo función F(x) , la función de G(x) defina por :
 G(x) = F(x) +F(-x)
 Una función es par si :

f (x) = f (-x)
Esta es la función que se debe comprobar
Demostración
 Cos(+-x)+Cos(--x)=Cos(++x)+Cos(+-x)
 Cos(-x)+Cos(x)=Cos(x)+Cos(-x)
Es Par
Sec(+-x)+Sec(--x)=Sec(++x)+Sec(+-x)
Sec(-x)+Sec(x)=Sec(x)+Sec(-x)
Es Par

42. Identidad Impar
 Para toda función F(x), la función de H(x) definida por :
 H (x) = F(x) – F (-x)
 Una función es impar si :
 F (x) = - F (-x)
Esta es la función que se debe comprobar
 Demostración


Sen(-+x) – Sen(--x) = -( Sen(x) – Sen(-x))
Sen(-x) – Sen(x) = - Sen(x) + Sen(-x)
Tan(-+x) – Tan(--x) = -( Tan(x) – Tan(-x))
Tan(-x) – Tan(x) = - Tan (x) + Tan(-x)
Csc(-+x) – Csc(--x) = -( Csc(x) – Csc(-x))
Csc(-x) – Csc(x) = - Csc(x) + Csc(-x)
Cot(-+x) – Cot(--x) = -( Cot(x) – Cot(-x))
Cot(-x) – Cot(x) = - Cot (x) + Cot(-x)
Todos son Impar

43. Identidades pares e impares
 El seno, la cosecante, la tangente y la cotangente son
funciones impares, el coseno y la secante son funciones
pares.
Se cumple f(x)=f(-x)
Se cumple f(-x) = - f(x)

44. Identidades de suma y diferencia de ángulos
Este tipo de identidades muestra una suma o
una adición para un ángulo; la idea es poder
expresar un ángulo cualquiera en función de
un suma o una resta ; además este tipo de
identidades generaliza la teoría de las
identidades trigonométricas de la siguiente
forma:

45. Tabla para determinar los
ángulos notables

47. Fórmulas de suma y diferencia de
ángulos

50. Identidades de ángulo doble
 Cuando en la suma o diferencia de
ángulo, si a=b entonces se obtienen los
que llamamos ángulos doble que son
herramienta en el análisis del
movimiento curvilínea.

52. Formula de ángulo doble

53. Formula de ángulo Triple

55. Formula de ángulo medio

59. Identidades de producto a suma
 Puede probarse usando el teorema de la suma para
expandir los segundos miembros.

60. Demostración:
 A partir de :

61. Identidades de suma a producto
 Reemplazando x por (a + b) / 2 e y por (a – b) / 2 en las
identidades de producto a suma, se tiene:

62. Demostración:

63. Eliminar seno y coseno
 A veces es necesario transformar funciones de seno y
coseno para poderlas sumar libremente, en estos casos
es posible eliminar senos y cosenos en tangentes.

64. Ejercicios de identidades
trigonométricas

65.  1º)

66.  2º)

67.  3º)

68. 4º)

69.  5º)

70.  6º)

71.  7º)

72.  8º)

73.  9º)

74.  10º)

75.  11º)

76.  12º)

77.  13º) Ctg x –Sen x = Cos x
Cos x/Sen x * Sen x = Cos x
Cos x = Cos x
14º) Tang z * Cos z * Csc z = 1
Sen z/Cos z * Cos z * 1/Sen z = 1
1=1
15º) Tang x * Cot x = 1
Sen x/Cos x * Cos x/Sen x = 1
1=1

78.  16º)Cos x * Cosc x = Cotg x
Cos x * 1/Sen = Cotg x
Cos/Sen = Cotg x
Cotg = Cotg
17º) 1+tang x/1+Cot x = Sen x/Cos x
1+Sen x /Cos x /1+Cos x/Sen x = Sen x/Cos x
Cos x + Sen x /Cos x /Sen x + Cos x /Cos x = Sen x/Cos
18º) Tang x + Cotg x = Sec x Cosec x
Sen x / Cos x + Cos x / Sen x = Sec x * Cosec x
Sen² x + Cos² x / Cos x * Sec x = Sec * Cosec x
1/Cos x * Sec x = Sec x * Cosec x
Sec x * Cosec x = Sec x * Cosec x

79.  19º) Cos²x – Sen² x = 1 - 2 Sen² x
1 – Sen² x – Sen² x = 1 – 2 Sen x
1 – 2 Sen² x = 1 – 2 Sen x
 20º) Cos² x – Sen² x = 2Cos²x – 1
Cos² x –(1 – Cos² x ) = 2 Cos² x – 1
Cos² x – 1 + Cos² x = 2 Cos² x – 1
2 Cos² x – 1 = 2 Cos² x – 1
21º) ( 1 + Cotg² x ) * Sen² x = 1
Cosc² x * Sen² x = 1
1/Sen² x * Sen² x = 1
1=1

80.  22º) ( Cosc² x – 1 ) Sen² x = Cos²x
Cotg² x * Sen² x = Cos² x
Cos² x/ Sen² x * Sen² x = Cos² x
Cos²x = Cos² x
23º) Sec² x + Cosc² x = Sec² x * Cosc² x
1/Cos² x + 1/Sen² x = Sec² x * Cosc² x
Sen²x+ Cos² x/Cos² x + Sen² x = Sec² x * Cosc² x
1/Cos² x * Sen² x = Sec² x * Cosc² x
Sec² x * Cosc² x = Sec² x * Cosc² x

81.  24º) Cos4 x – Sen4 x + 1 = 2 Cos² x
(Cos² x + Sen² x ) ( Cos² x – Sen² x ) + 1 = 2 Cos² x
Cos² x – Sen² x + 1 = 2 Cos² x
Cos²x – ( 1 – Cos² x ) + 1 = 2 Cos² x
Cos² x –1 + Cos² x + 1 = 2 Cos²x
2 Cos² x = 2 Cos² x
25º)( Sen x + Cos x )² + ( Sen x – Cos x)² = 2
Sen² x +2Sen x * Cos x + Cos² x + Sen² x – 2Sen x * Cos² x + Cos² x = 2
1+1=2
2=2

82.  26º) Cosc² x / 1 + Tang² x = Cotg² x
Cosc² x/Sec² = Cotg² x
1/Sen² x / 1/Cos² x = Cotg² x
Cos² x/Sen² x = Cotg² x
Cotg² x = Cotg² x
27º) Tang² x – Sen² x = Tang² x * Sen² x
Sen² x/Cos² x – Sen² x = Sen² x – Sen² x/Cos² x
Sen² x/Cos² x – Sen² x = Tang² x – Sen² x
Sen² x/Cos² x – Sen² x = Sen² x/Cos² x – Sen² x

83.  28º) Sen x + Cos x/ Sen x = 1 + 1/Tang x
Sen x + Cos x/ Sen x = 1 + Cotg x
Sen x + Cos x/ Sen x = 1 + Cos x/Sen x
Sen x + Cos x/ Sen x = Sen x + Cos x/ Sen x
29º) 1-Sen x/Cos x = Cos x/1 + Sen x
( 1 – Sen x) ( 1 + Sen x ) = Cos x * Sen x
1 – Sen² x = Cos² x
Cos² x = Cos² x

84.  30º) Sec x ( 1 – Sen² x ) = Cos x
1/Cos x (Cos² x ) = Cos x
Cos x = Cos x
31º) Sen² x ( 1 + Cot² x) = 1
Sen² x ( Csc² x ) = 1
Sen² x (1/Sen² x ) = 1
1=1
32º) ( Sen x – 1 ) ( Sec x + 1 ) = Tang² x
Sec² x – 1² = Tang² x
1 + Tang² x – 1 = Tang² x
Tang² x = Tang² x

85.  33º) Tan x/Cot x = 1/Cos² x - 1
Sen x/Cos x/Cos x/ Sen x = 1/Cos² x - 1
Sen² x/Cos² x = 1/Cos² x - 1
1 – Cos² x/ Cos² x = 1/Cos² x - 1
1/Cos² x – Cos² x/ Cos² x = 1/Cos² x - 1
1/Cos² x - 1 = 1/Cos² x - 1
34º) Sen x( Cos x- Sen x) = Cos² x
Sen x( 1/Sen x – Sen x) = Cos² x
Sen x( 1 – Sen² x / Sen x) = Cos² x
Sen x * Cos x/ Sen x = Cos² x
Cos² x = Cos² x

86.  35º) Sen x/Csc x + Cos x/Sec x = 1
Sen x/1/Sen x + Cos x/1/Cos x = 1
Sen² x+ Cos² x = 1
1
=
1

87. Referencias de consulta

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http://www.scribd.com/doc/95037/Trigonometria
http://www.vitutor.com/fun/2/c_15.html
http://www.vitutor.com/al/trigo/trigo_3.html
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9trica
http://www.google.com.ec/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=8&ved=0CGkQFjAH&url=htt
p%3A%2F%2Fdcb.fi-c.unam.mx%2Fusers%2Fgustavorb%2FCalculoDiferencial%2FCDA2.p
http://es.scribd.com/doc/91815/TRIGONOMETRIA
http://www.youtube.com/watch?v=zuAQgCmo8vs
http://www.fic.umich.mx/~lcastro/identidades%20trigonometricas.pdf
http://www.luiszegarra.cl/moodle/pluginfile.php/143/mod_resource/content/1/cap3.pdf
http://es.wikipedia.org/wiki/Identidades_trigonom%C3%A9tricas