1. ¿Qué es una función medible? | Tio Petros http://tiopetrus.blogia.com/2005/112301--que-es-una-funcion-medible-.php
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Tio Petros
Este blog es una invitación a dar un paseo por la matemática. Intentaré
comentar los aspectos más bellos y si es posible menos tópicos de la
misma. En todo caso, es tan sólo un paseo que debe darse como se hace
en una soleada tarde de verano: con placer.
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Diciembre 2009 Viene de aquí.
Diciembre 2006
Noviembre 2006 Vamos a fijar un poco la nomenclatura para entendernos. Hemos afirmado que la
Septiembre 2006 integral de Lebesgue es aplicable a un mayor número de funciones que la de
Agosto 2006 Riemann. Este conjunto de funciones es el de las funciones medibles. Una
Julio 2006 función medible está definida en un espacio de medida, en el que "todos" los
Mayo 2006 subconjuntos tienen asociado un número, que es la medida del mismo. La
Abril 2006 palabra todos aparece entrecomillada porque en realidad no son todos , sino un
Marzo 2006 número muy grande de ellos, que forman una estructura denominada sigma-
Febrero 2006 algebra de los conjuntos medibles del espacio dado. Una sigma-algebra no es sino
Enero 2006 una colección de subconjuntos tales que toda unión, intersección o paso al
Diciembre 2005 complementario así como uniones numerables de subconjuntos es un nuevo
Noviembre 2005 subconjunto que también de la misma pertenece a ella, .
Octubre 2005
Cuando estuvimos hablando de variables aleatorias mencionamos el concepto,
Septiembre 2005
que no vendrá mal recordar aquí. Allí venía a cuento porque los espacios
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2. ¿Qué es una función medible? | Tio Petros http://tiopetrus.blogia.com/2005/112301--que-es-una-funcion-medible-.php
Agosto 2005 probabilísticos son espacios medibles, y las variables aleatorias son precisamente
Julio 2005 funciones medibles en dichos espacios. Ahora hablaremos con toda generalidad,
Junio 2005 sin mencionar qué tipo de espacio medible es en el que estamos trabajando.
Mayo 2005
Abril 2005 Un espacio de medida, recordamos, es una tríada (X,A,M), donde X es un
Marzo 2005 conjunto cualquiera, A es una sigma-álgebra (la de los subconjuntos medibles)
Febrero 2005 subre X y M es una medida definida en A.
Enero 2005
Diciembre 2004 Supongamos que tenemos dos espacios de medida: (X,A,MX) y (Y,B,MY); y una
Noviembre 2004 aplicación f de X a Y. Diremos que f es una función medible cuando la
Octubre 2004 antiimagen de todo subconjunto de Y que sea elemento de B es un subconjunto
Septiembre 2004 de X que es a su vez elemento de A.
Agosto 2004
Julio 2004 De esta forma, la función “es respetuosa” con las sigma-álgebras de partida y de
Junio 2004 llegada.
Mayo 2004
Abril 2004 Este aparente galimatías esconde una idea extremadamente sencilla: los
Marzo 2004 elementos de las respectivas sigma-álgebras son simplemente aquellos
Febrero 2004 subconjuntos para los cuales tiene sentido aplicar el concepto de medida, y por
Enero 2004 ello se denominan conjuntos medibles . La propiedad pedida a las funciones
Diciembre 2003 medibles exige que cada medible del conjunto de llegada tenga un alter ego
Noviembre 2003 medible en el conjunto de partida del cual es imagen por dicha aplicación.
Octubre 2003
Fijémonos en la figura: un punto p del espacio de partida tiene su imagen por la
Septiembre 2003
función f en el punto f(p) del espacio imagen. Dado un sunconjunto medible
Agosto 2003
(con la medible definida en la imagen), existe otro medible en el origen (ahora
con la medida definida en el espacio de origen) tal que es la contraimagen por la
función f del primero.
Enlaces
Es fácil comprender que este tipo de funciones son las interesantes entre
Matemáticas espacios medibles. Nuestra meta será definir una integral que sirva para todas
las funciones medibles que se puedan construir en un espacio de medida.
Enciclopedia matemática.
El tipo más sencillo de funciones medibles es el de las funciones indicatrices.
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Una función indicatriz de un subconjunto no es sino una función que vale uno
para todos los puntos de un subconjunto dado, valiendo cero para el resto. Es
indicatriz de este subconjunto dado. Es importante señalar que la función no está
definida sólo en dicho conjunto, sino en todo el espacio de partida.
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3. ¿Qué es una función medible? | Tio Petros http://tiopetrus.blogia.com/2005/112301--que-es-una-funcion-medible-.php
Dado un subconjunto medible A de un conjunto medible X, la función indicatriz
de A es:
IA(x)= 1 si x pertenece a A
IA(x)= 0 si x no pertenece a A
Ataraxia
Demostremos que toda función indicatriz es medible:
Bitácoras amigas
La función indicatriz sólo toma dos valores, uno o cero. Dado un subconjunto B
El Paleofreak medible de R , que es el espacio de llegada, sólo pueden darse tres casos:
La divina comedia
1.- que B contenga al uno y no al cero,
Bitácora matemática
enre2 2.- que contenga al cero y no al uno,
Creer / Saber
Loco mundo 3.- que contenga a ambos y
Incursiones
4.- que no contenga a ninguno.
Potsdam 1747
El lobo rayado En el primer caso, la contraimagen de B es precisamente A, porque por
El beso de la luna definición la contraimagen de B será el conjunto de todos aquellos puntos que
Hijos de Eva toman valores en B, y de todos los posibles valores de B, sólo el uno tiene
posibilidad de ser el valor asignado a puntos del origen. Como por definicion de
Divulgación
la función indicatriz, los puntos que tienen asociado el valor unidad son los
Divulc@t pertenecientes a A, tenemos el resultado. Razonando de la misma manera
Ciencia15 llegaremos a la conclusión de que en el segundo caso, la contraimagen de B es el
complementario de A, en el tercero es el conjunto de origen entero y en el
Estadísticas cuarto es el conjunto vacío. Todos ellos son conjuntos medibles por ser medible
A, por lo que ya tenemos demostrado el resultado.
Continuaremos construyendo funciones más complicadas a partir de las
indicatrices manteniendo la medibilidad de las mismas y definiendo la integral
Otros de Lebesgue enseguida.
Seguimos en breve.
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23/11/2005 12:10 #. sin tema
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Autor: Luisca
Enhorabuena por el blog, llevo un par de semanas suscrito y los temas son muy
interesantes y están explicados cuidadosamente. No sé si me ha quedado claro el
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4. ¿Qué es una función medible? | Tio Petros http://tiopetrus.blogia.com/2005/112301--que-es-una-funcion-medible-.php
concepto de función medible, ¿podrías poner algún ejemplo de función no
medible?
Fecha: 23/11/2005 18:51.
Autor: Tio Petros
Hola Luisca.
Estamos hablando de un tipo de funciones muy general, de modo que es normal
que al principio no quede claro del todo el concepto. Buscar funciones no
medibles no es sencillo, precisamente porque queremos que bajo el concepto
queden englobadas todas las funciones que puedan ser interesantes de algún
modo, y poder integrarlas.
El ejemplo más claro de una función no medible es el de una función indicatriz
de un subconjunto A no medible (¿ves porqué?). Es la existencia de conjuntos no
medibles la que hace que existan funciones que no lo sean. Ahora la pregunta se
traslada poner algún ejemplo de conjunto no medible. Hablaremos de ello en
breve,te lo prometo.
Fecha: 24/11/2005 07:58.
Autor: Magda
Jesús te felicito por la iniciativa, estoy conociendo tu blog por estos días y me
anima tu coraje de explicar las funciones medibles en este tipo de espacio, pero
me resulta formidable como los jóvenes se enganchan con tu propuesta.
Es interesante lograr que los estudiantes tengan curiosidad por la matemática.
Soy profesora universitaria en carreras de Economía y me cuesta enganchar a
mis alumnos con el saber matemático
Felicitaciones, te visitaré a menudo.
Fecha: 25/11/2005 15:50.
Autor: Jose Brox
En el primer párrafo del artículo hay un anacoluto y por su causa no se entiende
la definición de medida.
Fecha: 04/01/2006 01:39.
Autor: Jose Brox
Quería decir la definición de sigma-álgebra.
Aparte cuando consideras los distintos casos para la función indicatriz dices "hay
tres casos" y luego describes cuatro xD
Fecha: 04/01/2006 01:45.
Autor: jose
Me gustaria saber por que tanto misterio respecto a la medida e integracion. Lo
que quiero decir que con algunos ejemplos todo se entenderia mejor. Me podrian
dar algunos ejemplos de lo que sucede con esta teoria.
Fecha: 06/04/2008 01:16.
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5. ¿Qué es una función medible? | Tio Petros http://tiopetrus.blogia.com/2005/112301--que-es-una-funcion-medible-.php
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