Estatística para os cursos de : economia, administração e ciênicas contábeis : volume 2 / Ermes Medeiros da Silva

Estatística
2
Economia
Administração
Ciências Contábeis
Para os cursos de:
SOLUÇÃO DE PROBLEMAS COM O USO DO EXCEL
Terceira Edição
Medeiros•Medeiros
Gonçalves•MuroloEstatística
Os a
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Ciênc
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ria de
Ermes Medeiros da Silva
Elio Medeiros da Silva
Valter Gonçalves
Afrânio Carlos Murolo

Ermes Medeiros
Elio Medeiros
Valter Gonçalves
Afrânio Murolo
Estatística 2
Solução dos Exercícios Propostos
São Paulo
Editora Atlas S.A. – 2011
Material de Consulta do Professor
Terceira Edição
Portal Atlas

Índice dos Exercícios
Item 1.3 Exercícios propostos
Exercício 8......................... 6
Exercício 9......................... 7
Exercício 10....................... 8
Exercício 4......................... 9
Exercício 4....................... 10
Exercício 5....................... 11
Exercício 6....................... 12
Exercício 7....................... 13
Exercício 7....................... 14
Exercício 9....................... 15
Exercício 4....................... 16
Exercício 5....................... 17
Exercício 5....................... 18
Exercício 3....................... 19
Exercício 4....................... 20
Exercício 5....................... 21
Exercício 7....................... 22
Exercício 8....................... 23
Exercício 9....................... 24
Exercício 10..................... 25
Exercício 12..................... 26
Exercício 13..................... 27
Exercício 14..................... 28
Exercício 15..................... 29
Exercício 1....................... 30
Exercício 9....................... 31
Exercício 10..................... 32
Exercício 10..................... 33
Exercício 2....................... 34
Exercício 3....................... 35
Exercício 4....................... 36
Exercício 5....................... 37
Exercício 4....................... 38
Exercício 1 – Listão.......... 39
Exercício 10 – Listão........ 46

Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 4
Exercício 5....................... 56
Exercício 6....................... 57
Exercício 8....................... 58
Exercício 10..................... 59
Exercício 4....................... 60
Exercício 5....................... 61
Exercício 6....................... 62
Exercício 8....................... 63
Exercício 9....................... 64
Exercício 5....................... 65
Exercício 8....................... 66
Exercício 9....................... 67
Exercício 9....................... 68
Exercício 10..................... 69
Exercício 3....................... 70
Exercício 10..................... 71
Exercício 6....................... 72
Exercício 8....................... 73
Exercício 9....................... 74
Exercício 3....................... 75
Exercício 4....................... 76
Exercício 7....................... 77
Exercício 8....................... 78
Exercício 5....................... 79
Exercício 6....................... 80
Exercício 8....................... 81
Exercício 9....................... 82
Exercício 3....................... 83
Exercício 6....................... 84
Exercício 9....................... 85
Exercício 1....................... 86
Exercício 2....................... 87
Exercício 3....................... 88
Exercício 5....................... 89
Exercício 6....................... 90
Exercício 1....................... 91
Exercício 3....................... 92
Exercício 4....................... 93
Exercício 6....................... 94
Exercício 8....................... 95
Exercício 9....................... 96
Exercício 1....................... 97
Exercício 2....................... 98
Exercício 3....................... 99
Exercício 4..................... 100

Exercício 5..................... 101
Exercício 6..................... 102
Exercício 7..................... 103
Exercício 8..................... 104
Exercício 9..................... 105
Exercício 10................... 106
Exercício 1..................... 107
Exercício 3..................... 108
Exercício 4..................... 109
Exercício 5..................... 110
Exercício 6..................... 111
Exercício 7..................... 112
Exercício 8..................... 113
Exercício 9..................... 114
Exercício 10................... 115
Exercício 2..................... 116
Exercício 2..................... 117
Exercício 3..................... 118
Exercício 4..................... 119
Exercício 5..................... 120
Exercício 1..................... 121
Exercício 2..................... 122
Exercício 3..................... 123
Exercício 4..................... 124
Exercício 5..................... 125
Exercício 6..................... 126
Exercício 7..................... 127
Exercício 8..................... 128
Exercício 9..................... 129
Exercício 10................... 130
Exercício 1..................... 131
Exercício 2..................... 132
Exercício 3..................... 133
Exercício 4..................... 134
Exercício 5..................... 135
Exercício 6..................... 136
Exercício 7..................... 137
Exercício 8..................... 138
Exercício 9..................... 139
Exercício 10................... 140

Exercício 8
Estatística 2 Terceira Edição
Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 1.3 – Ex. 8
Dados b = bola branca p = bola preta
Urna A contém 3b e 2p Urna B contém 5b e 1p
Solução
Espaço amostral: S ={( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2, , , , , , ,b b b p p p p b }
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2
1 2 1
1
2
1 2 1
1
2
1 2 1
1
2
1 2 1
1
5 3 1
6 5 2
1 3 1
6 5 10
1 2 1
6 5 15
5 2 1
6 5 3
b
P b b P P b
b
b
P b p P P p
p
p
P p p P P p
p
b
P p b P P p
p
 ∩ = = × = 
 
 ∩ = = × = 
 
 ∩ = = × = 
 
 ∩ = = × = 
 
Função de probabilidade
( )
0 1 2
3 13 1
20 30 2
x
P x
21

Exercício 9
Item 1.3 – Ex. 9
Dados: b = bola branca A = urna A BA = bola branca da urna A
PA = bola preta da urna A B = urna B BB = bola branca da urna B
vB = bola vermelha da urna B.
Solução
Retirar uma bola da urna A. Espaço amostral: bA, pA, com ( )
3
7
P bA = e ( )
4
7
P pA = .
Retirar uma bola da urna B, após a transferência: Espaço amostral: bB, pB, vB.
a) A bola retirada da Urna A é branca: b) A bola retirada da urna A é preta
( )
3
6
P bB = ( )
2
6
P bB =
A probabilidade de ocorrer bola branca é então: ( )
3 3 2 4 17
6 7 6 7 42
P bB = × + × =
Função de probabilidade:
( )
0 1
25 17
x
42 42
x
P
10

Exercício 10
Item 1.3 – Ex. 10
Dados: B = peça boa D = peça defeituosa
Na urna: 3 peças boas e duas peças defeituosas
Solução
O experimento encerra quando retiramos a segunda peça com defeito ou quando retiramos a
terceira peça boa, o que ocorrer primeiro. A árvore de decisão pode ser a seguinte:
D BBDD ( )
3 2 2 1 1
5 4 3 2 10
P BBDD = × × × =
D B BBDB ( )
3 2 2 1 1
5 4 3 2 10
P BBDB = × × × =
B B BBB ( )
3 2 1 1
5 4 3 10
P BBB = × × =
B D B B BDBB ( )
3 2 2 1 1
5 4 3 2 10
P BDBB = × × × =
D BDBD etc
D BDD
B D DBBD
B DBBB
D B D DBD
D DD
O espaço amostral é equiprovável. A função de probabilidade será, então:
( )
2 3 4
0,1 0,3 0,6
x
P x

Exercício 4
Item 1.4 – Ex. 4
Dados: L = lucro por unidade vendida P(V) = expectativa de venda
La = lucro por unidade reaproveitada = Lucro −custo adicional
P(R) = expectativa de reaproveitamento
K = proporção na produção
A, B, C, D = modelos de fralda descartáveis
Solução
A B C D
L 0,04 0,08 0,02 0,10
P(V) 0,70 0,80 0,60 0,60
La 0,02 0,03 0,01 0,06
P(R) 0,30 0,20 0,40 0,40
L . P(V) + La . P(R) 0,034 0,07 0,016 0,084
K 0,50 0,30 0,10 0,10
( ) ( )( ). .K L P V La P R+ 0,017 0,021 0,0016 0,0084
( ) ( ) ( )( ). . 0,048 por unidade vendidaretorno K L P V La P Rµ = + =∑

Exercício 4
Item 1.4 – Ex. 4
Dados x = número de bolos vendidos no dia
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
0 0,01 1 0,05 x=2 0,20 3 0,30
4 0,29 x=5 0,15
P x P x P P x
P x P
= = = = = = =
= = =
Solução
X 0 1 2 3 4 5
P(x) 0,01 0,05 0,20 0,30 0,29 0,15
Custo 50 50 50 50 50 50
Receita 0 20 40 60 80 100
Lucro 50− 30− 10− 10 30 50
L.P(L) 0,5− 1,5− 2− 3 8,7 7,5
L2
2500 900 100 100 900 2500
L2
.P(L) 25 45 20 30 261 375
( ) ( )2
15,2 L 756LP L P LΣ = Σ =
( ) ( ) ( ) ( )
22 2 2
= 15,2 L 756 15,2 524,96L LP L L E E Lµ σΣ = = − = − =  
( ) 22,91Lσ =

Exercício 5
Item 1.4 – Ex. 5
Dados: L = lucro na venda do automóvel
Solução
Dia 2ª. 3ª. 4ª. 5ª. 6ª.
Lucro 3.000 1.800 1.080 648 388,80
P(L) 0,5 0,3 0,1 0,05 0,05
L.P(L) 1.500 540 108 32,40 19,44
L2
9.000.000 3.240.000 1.666.400 419.904 151.165,44
L2
.P(L) 4.500.000 72.000 166.640 20.995,20 7.558,27
( ) ( ). 2.199,84L L P Lµ= =∑
( ) ( ) ( )
22 2 2
5.617.193,45 2.199,84 777.897,43L E L E Lσ = − = − =  
( ) 881,98Lσ =

Exercício 6
Item 1.4 – Ex. 6
Dados: L = lucro no lançamento do produto
Solução
L 100.000 50.000− ∑
P(L) 0,8 0,2
L . P(L) 80.000 10.000− 70.000
L2
10.000.000.000 2.500.000.000
L2
. P(L) 8.000.000.000 500.000.000 8.500.000.000
( ) . ( ) 70.000L L P Lµ= =∑
( ) ( ) ( )
22 2 2
. 8.500.000.000 70.000 3.600.000.000L L P L L P Lσ = − = − =  
( ) 60.000Lσ =

Exercício 7
Item 1.4 – Ex. 7
Dados: t = tempo de reparo do trem
Solução
t 5 15 ∑
P(t) 0,4 0,6
t . P(t) 2 9 11
( ) ( ). 11t t P tµ= =∑ minutos

Exercício 7
Item 1.4 – Ex. 7
Dados: v = vendas por visita
Solução
v 1.000 1.000 1.000 1.000 ∑
P(v) 0,8 0,8 0,8 0,8
v . P(v) 800 800 800 800 3.200
( ) ( ). 3.200v v P vµ= =∑

Exercício 9
Item 1.4 – Ex. 9
Dados: D = número de defeitos v = preço de venda
Solução
D 0 1 2 3 4 ∑
v 10 5 2,5 1,25 0,625
P(D) 0,9 0,05 0,03 0,01 0,01
v . P(v) 9 0,25 0,075 0,0125 0,00625 9,34
( ) ( ). 9,34v v P vµ= =∑

Exercício 4
Item 1.6 – Ex. 4
Dados: x = peso da caixa de papelão ( ) 200 gramasP x = ( ) 10 gramasxσ =
peso da unidade do produtoiy = ( ) ( )1.000 gramas 5 gramasy yµ σ= =
peso total da caixa cheiaz = i = 1,2,.....6
Solução
( ) ( ) ( ) ( )6 6 6 1.000 200 6.200 gramasi iz y x y xµ µ µ µ= + = + = × + =
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
6 36 36 25 100 1.000 gramasi iz y x y xσ σ σ σ= + = + = × + =
( ) 31,62 gramaszσ =

Exercício 5
Item 1.6 – Ex. 5
Dados: x = custo unitário ( ) 5 ( ) 0,20x xµ σ= =
P = preço unitário ( ) 20 ( ) 1,5p pµ σ= =
Cf = custo fixo = 10.000
Solução
a) Custo 1.000 10.000 (Custo) 1.000 ( ) 10.000 15.000x xµ µ= + = + =
2 2 2
(Custo) 1.000 ( ) 40.000xσ σ= =
(Custo) 200σ =
b) Receita 1.000 (Receita) 1.000 ( ) 20.000p pµ µ= = =
2 2 2
(Receita) 1.000 ( ) 225.000pµ σ= =
(Receita) 1.500σ =
C)
( )
Lucro 1.000 1.000 10.000
(Lucro) 1.000 ( ) ( ) 10000 5.000
p x
p xµ µ µ
= − −
= − − =
2 2
(Lucro) (Receita Custo) 225.000 40.000 265.000
(Lucro) 1.513,27
σ σ
σ
= − = + =
=

Exercício 5
Item 2.2 – Ex. 5
Dados: x = variável com distribuição de Bernoulli
2
( ) 0,24xσ = ( ) 0,5xµ >
Solução
2
( ) 0,24 1 1x p q p q q pσ = × = + = ⇒ = −
Substituindo: ( ) 2
1 0,24 ou 0,24 0 0,4 ou 0,6p p p p p p− = − + − = ⇒ = =
Como ( ) 0,5 , a solução é ( ) 0,6x p xµ µ= > =

Exercício 3
Item 2.3 – Ex. 3
Dados: x = variável com distribuição binomial
S = valorizar ( ) 0,4P S =
F = desvalorizar ou ficar estável ( ) 0,6P F =
Solução
a) ( )10 0,0001 (Tabela ou função da tabela Excel com 10 e 0,4)P x n p= = = =
b) ( ) ( ) ( ) ( )8 8 9 10 0,123 (Tabela ou função da tabela Excel)P x P P P≥ = + + =
c) ( )0 0,06 (Tabela ou função da tabela Excel)P x= =

Exercício 4
Item 2.3 – Ex. 4
S = com defeito ( ) 0,30P S =
F = sem defeito ( ) 0,70 4P F n= =
Solução
a) ( ) ( ) ( )2 1 0 1 0,3483 (Tabela ou função Excel)P x P x P x≥ =− =− ==
b) ( ) ( )1 2 0,3483P x P x> = ≥ =

Exercício 5
Item 2.3 – Ex. 5
S = defeito ( ) 0,02P S =
F = sem defeito ( ) 0,98 25P F n= =
Solução
( ) 2 2325
2 0,02 0,98 0,0754
2
P x
 
= = × × = 
 

Exercício 7
Item 2.3 – Ex. 7
S = não comparecer ( ) 0,1P S =
F = comparecer ( ) 0,9 22P F n= =
Solução
a) ( )1 0,3392P x ≤ =
b) ( )3 0,2080P x= = (Tabela ou função Excel)

Exercício 8
Item 2.3 – Ex. 8
S = candidato experiente
F = candidato não experiente
Solução
Expectativa de não ocorrer candidato experiente: ( ) ( )
10010
0 1 0,9
0
P x p p
 
= = − = 
 
⇒ ( )
10
1 0,9 0,0105p p− = ⇒ = .
Neste caso, ( ) 1 0,0105 0,9505P F q==− = .

Exercício 9
Item 2.3 – Ex. 9
Dados: x = variável com distribuição normal
S = um acidente por dia ( ) 0,25P S =
F = nenhum acidente por dia ( ) 0,75P F =
Lucro por atendimento = 350
Tempo parado para retificar = 6 dias Tempo parado para trocar = 1 dia
Solução
Expectativa de ganho em cinco dias = 0,25 350 5 437,50× × =
Diferença de custo caso use a retífica = 500,00
Portanto ele deve usar a retífica, pois a expectativa de ganho em cinco dias de trabalho
(usando a troca), não compensa a diferença de custo.

Exercício 10
Item 2.3 – Ex. 10
S = ser recebido ( ) 0,80 6P S n= =
Solução
a)
( ) ( ) ( ) ( )4 4 5 6
0,24576 0,393216 0,262144 0,9011
P x P x P x P x≥ = = + = + = =
= + + =
b) ( )6 0,2621P x= =
c) ( )0 0,0001P x= =
(Use Tabela ou DISTRIBINOM do programa Excel)

Exercício 12
Item 2.3 – Ex. 12
S = cheque com problema ( ) 0,12P S =
F = cheque bom ( ) 0,88 10P F n= =
C = custo da mercadoria L = Lucro na venda
Solução
a) ( ) 0 1010
0 0,12 0,88 0,2785
0
P x
 
= = × × = 
 
b) ( ) 5 05
5 5 0,12 0,88 0,000025
5
n P x
 
= = = × × = 
 
c) 0,5 pago 0,3L C=
com problema
Cheque 0,12 0,5 não pago L C= −
0,88
bom 0,3L C=
dinheiro 0,3L C=
c1) aceitando pagamento com cheque
( ) ( )
( )
0,3 0,2 0,8 0,12 0,3 0,5 0,5 00 0,88 0,3
0,2376
E L C C C C
E L C
= × + × − + ×  
=
C2) não aceitando cheque para pagamento
( ) 0,75 0,3 0,225E L C C= × =
Conclusão: A esperança de lucro no caso de aceitar pagamento com cheque é maior do que
ocorre quando o cheque não é aceito. O pagamento com cheque deve ser mantido.

Exercício 13
Item 2.3 – Ex. 13
Dados : x = variável com distribuição binomial
S = cliente com depósito na fila
n = 9
Solução
P(S) = probabilidade de um cliente ter depósito a fazer e de não ter hábito de usar o caixa
automático para depósitos.
Portanto, ( ) 0,2 0,7 0,14P S = × =
( ) ( ) 0 99
1 1 0 1 0,14 0,86 0,7427
0
P x P x
 
≥ = − = = − × × = 
 

Exercício 14
Item 2.3 – Ex. 14
S = fazer pergunta ( ) 0,20P S =
30 minutos = tempo destinado a respostas
5 minutos = tempo para cada resposta
Solução
a) Ocorrer no máximo duas perguntas sem resposta, significa ocorrer no máximo oito
perguntas, pois a capacidade de respostas é de seis em 30 minutos.
( ) ( ) ( ) ( )8 0 1 ... 8 0,9532P x P x P x P x≤ = = + = + = =
b) ( )
6
0
6 0,2 0,8 0,9i n i
i
n
P x
i
−
=
 
≤ = × × = 
 
∑
O número máximo é de 20 pessoas (Acompanhe na tabela ou simule na função
DISTRIBINOM do Excel, com Núm_s = 6, Tentativas = simular, Probabilidade_s=0,20,
cumulativo =verdadeiro ).

Exercício 15
Item 2.3 – Exercícios propostos Ex. 15
S = completar a ligação ( ) 0,70P S = n = 3
Solução
10 1: vai telefonar
3 5 0,5 2: não vai telefonar
1 0,973 6 0,5 20 3: completa a ligação
4 0,027 4: não completa
2 5 15 5: ônibus espera
0,5 6: não espera
6 0,5
25
Obs. A probabilidade de o ônibus esperar é 0,50, pois não temos nenhuma informação a
respeito deste fato.
A probabilidade de a garota completar a ligação é:
( ) ( )1 1 0 1 0,027 0,973P x P x≥ = − = = − = (veja Tabela ou DISTRIBINOM do Excel)
Calculando-se com auxílio da árvore de decisão a expectativa de custo caso ela vá telefonar,
obtemos:
( ) ( )10 20 0,5 0,973 15 25 0,5 0,027 15,135+ × × + + × × =
Caso ela não vá telefonar, o custo é 15, menor que no caso anterior.
Conclusão: não deve ir telefonar

Exercício 1
S = carro roubado ( ) 0,035 100P S n= =
Solução
a) ( ) ( ) ( ) ( )2 0 1 2P x P x P x P x≤ = = + =+ = .
Como 30 e 0,05n p> < , usaremos a aproximação de Poisson.
3,5λ = roubos para 100 carros
( )
3,5 0
3,5
0 0,0302
0!
e
P x
−
×
= = =
( )
3,5 1
3,5
1 0,105
1!
e
P x
−
×
= = =
( )
3,5 2
3,5
2 0,0,1850
2!
e
P x
−
×
= = =
Portanto, ( )2 0,3209P x ≤ =
b) Prejuízo equivale a mais de 10 carros roubados.
( )10 0,001P x > = ( Tabela ou DISTRBINOM do Excel)

Exercício 9
Dados: ( )Cov , 0,02x y = −
x y 2 3
4 a 0,2
5 0,3 b
Solução
x y 2 3 ( )iP x n=
4 a 0,2 0,2 a+
5 0,3 b 0,3 b+
( )jP y y= 0,3 a+ 0,2 b+
1) 0,2 0,3 1 0,5 ou 0,5a b a b b a+ + + = ⇒ + = = −
( ) ( ) ( )4 0,2 5 0,3E x a b= × + + × + . Como ( )0,5 então, E 4,8b a x a=− =−
( ) ( ) ( )2 0,3 3 0,2E y a b= × + + × + . Como ( )0,5 então, E 2,7b a y a=− =−
2) ( ) 8 15 5,4E x y a b= + + . Como ( )0,5 então, E 12,9 7b a x y a= − =−
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ), 7 15 5,4 4,8 2,7 0,02Cov x y E x y E x E y a b a a= − = + + − − − =−
Então,
2
0,5 0,06 0,02 0,1 0,4 ou 0,4 0,1a a a e b a e b+ − =− ⇒ = = = =
.x y 8 10 12 15
( )P x y a 0,3 0,2 b
( )x y P x y⋅ 8 a 3 2,4 15 b

Exercício 10
Dados: ( , ) 0,344x yσ = −
Solução
x
y
1 3 5 ( )iP x x=
2 0,1 a 0,3 0,4 a+
4 0,2 b 0,1 0,3 b+
( )jP y y= 0,3 a b+ 0,4
Do quadro, 0,7 1 0,3a b b a+ + = ⇒ = − . Mas ( )
( ),
, 0,344
( ) ( )
Cov x y
x y
x y
ρ
σ σ
= = −
x y⋅ 2 4 6 12 10 20 ∑
( )x yσ ⋅ 0,1 0,2 a b 0,3 0,1
x y⋅ ( )x yσ⋅ ⋅ 0,2 0,8 6a 12b 3 2 6 12 6a b+ +
( )6 12 6 6 12 0,3 6 9,6 6a b a a a+ + = + − + = −
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
2 0,4 4 0,3 0,3 3,2 2
0,3 3 0,3 5 0,4 3,2
, 9,6 6 3,2 2 3,2 0,4 0,64
E x a a a
E y
Cov x y a a a
= × + + × + − = −
= + × + × =
= − − − × = −
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
22 2
2 2
2
22
2
( ) 4 0,4 16 0,6 3,2 2 4 0,8 0,96
( ) 0,3 9 0,3 2,5 0,4 3,2 2,76
0,4 0,64
( , ) 0,344
0,4 0,8 0,96 2,76
x a a a a a
y
a
x y
a a
σ
σ
σ
=× + + × − − − =− + +
= + × + × − =
−
= = −
− + + ×
Assim, 2
0,4664282 0,7732858 0,096578 0 0,32 ou 0,20a a a a− + = ⇒ = =
Como 0,3b a= − , a solução é 0,20 e 0,10a b= =
x
y
1 3 5
2 0,1 a 0,3
4 0,2 b 0,1

Exercício 10
( ) ( )60 0,05 45 0,15P x P x> = < =
Solução
1) ( ) ( ) ( )60 0,5 60 0,05 60 0,45P x P x P xµ µ> = − < < = ⇒ < < =
Desta forma,
60
1,64
µ
σ
−
= (veja Tabela)
2) ( ) ( ) ( )45 0,5 45 =0,15 45 0,35P x P x P xµ µ< = − < < ⇒ < < =
Assim também,
45
1,04
µ
σ
−
= − (veja Tabela)
De 1 e 2 vem: 1,64 60 e 1,04 45σ µ σ µ+= − +=
2,68 15 =5,597σ σ= ⇒ e 50,82µ =
Portanto ( ): 50,82 ; 31,33x N

Exercício 2
Dados: ( ) ( )1 2500 ; 4 5 ; 0,25x N x N= =
Solução
a) 1 2x x x= + 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) 500 5 505x x x x xµ µ µ µ= + = + = + =
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
1 2 1 2 4 0,25 4,25x x x x xσ σ σ σ= + = + =+ = , visto que x1 e x2 são
independentes.
Assim, ( ) 2,06xσ = e ( ): 505 ; 4,25x N
b) ( ) ( )501 0,5 501 505P x P x< = − < <
501 505
1,94
2,06
z
−
= = − de onde, ( )501 0,5 0,4738 0,0262P x < = − =

Exercício 3
Dados: ( ) ( )1 2230 ; 9 30 ; 25x N x N= =
Solução
1 220x x x= +
( ) ( ) ( )
1 2 1 2
2 2 2
1 2 1 2
( ) (20 ) 20 ( ) ( ) 20 230 30 4.630
20 400 400 9 25 3.625
x x x x x
x x x x
µ µ µ µ
σ σ σ
= + = + = × + =
+ = + = × + =
Portanto, ( ) ( )60,21 e : 4.630 ; 3.625x x Nσ = .
( ) ( )4.660 0,5 4.630 4.660 0,5 0,1915 0,3085P x P x> = − < < = − = (veja Tabela)

Exercício 4
Dados: ( )1 : 70 ; 225x N
Solução
Carga: 110x x=
( ) ( ) ( ) ( )
1 1
2 2 2
1 1
( ) (10 ) 10 ( ) 10 70 700
10 100 100 225 22.500 x 150
x x x
x x x
µ µ µ
σ σ σ σ
= = = ×=
= = = × = ⇒ =
Assim, ( ): 700 ; 22.500x N
a) ( ) ( )
880 700
880 0,5 700 880 1,20
150
P x P x z
−
> = − < < = =
( )880 0,5 0,3849 0,1151P x > = − = (veja Tabela)
b) ( )
700
0,0002 (veja bela) 3,48 ou 1.222 Kg
150
a
P x a a
−
> = ⇒ = =

Exercício 5
Dados: ( ) ( )1 2: 60 ; 25 : 26 ;16x N x N
Solução
Lucro ( )1 21.000L x x= = −
( )1 2 1 2( ) (1.000 1.000 ) 1.000 ( ) 1.000 ( ) 1000 60 26 34.000L x x x xµ µ µ µ= − = − = − =
( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2
1 2 1 21.000 1.000 1.000 41.000.000L x x x xσ σ σ σ= − = + =
( ) 6.403,12Lσ =
a) 25,5% ( ) 0,255 60.000 15.300de vendasµ = × =
( ) ( ) ( )15.300 0,5 15.300 34.000 0,5 0 3,28 0,9982P L P L P z> = + < < = + < < =
b) 50% do custo = 0,5 26.000 13.000× =
( ) ( ) ( )13.000 0,5 13.000 34.000 0,5 0 3,28 0,9995P L P L P z> = + < < = + < < =
c) ( ) ( ) ( )0 0,5 0 34.000 0,5 0 5,31 0P L P L P z< = − < < = − < < =

Exercício 4
Dados: S = completar a ligação na primeira tentativa
( ) 0,6P S = 42n =
Solução
Cálculo do número mínimo de sucessos: ( )1,5 3 42 90 24x x x+ − = ⇒ =
Portanto 24 ligações do tipo S e 18 ligações do tipo F completam 90 minutos.
a) ( ) ( ) ( )90min 24 24,5 , para usar a normal para aproximarP t P x P x≥ = ≤ ≅ < .
No caso, ( ) ( ): 0,6 42 ; 0,6 0,4 42 : 25,2 ;10,08N N× × × =
24,5 25,2
0,22
10,08
z
−
= = −
( )90min 0.5 0,0851 0,4149P t ≥ =− = (veja Tabela)
b) ( ) ( ) ( )120min 4 pois 1,5 3 42 120 4P t P x x x x= = = + − = ⇒ =
( ) 4 3842
4 0,6 0,4 0 ou pela normal
4
P x
 
= = × × = 
 
( ) ( ) ( )4 3,5 4,5 6,8 6,5 0P x P x P z= = < < = − < < − =

Exercício 1 – Listão
Item 5.6 – Listão Ex. 1
Dados: x = variável com distribuição binomial, conta o número de faróis fechados
S = encontrar farol fechado n = 4 ( ) 0,75P S =
Solução
Av 1 Av 2 Av 3 Av 4 Av 5
Posição às 9:50
Solução:
a) Para que o tempo empregado seja no máximo 10 minutos, ele deverá
encontrar, no máximo, dois faróis fechados.
( ) ( )10min 2 0,2617 (ver Tabela binomial ou
DISTRBINOM do Excel)
P t P x≤ = ≤ =
b) ( ) ( ) ( ) ( )10 13 2 2 3 0,4219 idemP t P x P x P x< < = > − ≤ = = =

S = ser imediatamente atendido
( ) 0,20 80P S n= =
Solução
a) ( ) 0,2 80 16xµ = × =
( )2
0,20 0,80 80 12,8xσ × × = ( ) 3,58xσ =
b)
( )0,25 80 16
0,20
80
× −
=

Dados:
x =número de carros que chegam em 4 horas ( variável com distribuição Poisson)
8 clientes 4 horasλ =
Solução
a) 3 carros na fila requer 11 chegadas ( )11 0,184P x ≥ = (Tabela ou função
Poisson no Excel)
b) ( )
8
. 8
, 0,85 0,85
!
x
e
P x
x
λ
−
= ⇒ =∑
c) Na tabela ou na Poisson do Excel
( )
( )
10 0,8159
11 0,8892
P x
P x
≤ =
≤ =
Para garantir o atendimento, tenho que pensar em 11 carros. Serão 10 carros
atendidos e um carro na fila de espera.
Portanto,
4 60 minutos
24 minutos por carro
10 carros
t
×
= =

Dados: x = variável com distribuição de Poisson
1 defeito 80 metrosλ =
Solução
a) x = mede o número de defeitos em 520 metros da bobina.
520
6,5 defeitos para 520 m do plástico
80
λ= =
( )5 =0,3691P x ≤ (Tabela ou Poisson do Excel)
b) ( ) ( )
0
.
0 0,99 0,99 ln 0,99
0!
e
P x e
λ
λλ
λ
−
−
== = ⇒ = ⇒ =−
0,01λ = defeitos para cada 500 m, ou seja, 1 defeito para cada 50.000 m.

Dados: x = quantidade de nutriente na mistura
x i = quantidade de nutriente nos ingredientes, i = 1, 2, 3.
Solução
a) Ingredientes na mesma proporção: 1 2 3
1 1 1
3 3 3
x x x x= + + .
1 2 3
1 1 1 200 150 100
( ) ( ) 150 por Kg
3 3 3 3
x x x x gµ µ
+ +
= + + = =
( ) ( )2 2 2 2 2
1 2 3
1 1 1 1
12 6 10 31,11
3 3 3 9
x x x xσ σ
 
= + + = + + = 
 
( ) 5,58 g por Kgxσ =
b) Ingredientes na proporção de 2:3:5: 1 2 32 3 5
10
x x x
x
+ +
=
1 2 32 3 5 2 200 3 150 5 100
( ) ( ) 135 g por Kg
10 10
x x x
xµ µ
+ + × + × + ×
= = =
( )2 2 1 2 32 3 5 4 144 9 36 25 100
34
10 100
x x x
xσ σ
+ + × + × + × 
= = = 
 
( ) 5,83 g por Kgxσ =

Dados: x = quantidade de nutriente na mistura
x i = quantidade de nutriente nos ingredientes, i = 1, 2, 3.
Solução
X i 200 150 100
( )iP x P1 0,5 –P1 0,5
( ) ( ) ( )1 1200 150 0,5 50 140i ii
E x x P x P P= ⋅ = + − + =∑
1 150 15 P 0,30P = ⇒ = e 2 0,20P =
As proporções são: 3:2:5.

Dados: x1= número de defeitos da primeira máquina
( )
1
1
( ) 2 defeitos para 1.000 m
x 0,4
xµ
s
=
=
X2= número de defeitos da segunda máquina
( )
2
2
x 0,5
xµ
s
=
=
Solução
Número de defeitos para rolo de 400 m (200 m cada máquina): 1 20,2 0,2x x x= +
1 2( ) (0,2 0,2 ) 0,2 2 0,2 3 1 defeito por rolo de 400 mx x xµ µ= + = × + × =
( )2 2 2
1 20,2 0,2 0,04 0,4 0,04 0,5 0,0164x xs + = × + × =
( ) 0,128 defeitos por rolo de 400 mxs =

Dados: x1= número de defeitos da primeira máquina ( )
1
1
x 0,4
xµ
σ
=
=
X2= número de defeitos da segunda máquina ( )
2
2
x 0,5
xµ
σ
=
=
Solução
a) Pior especificação: x = 0,4x2
2( ) (0,4 ) 0,4 3 1,2 defeitos por rolo de 400 mx xµ µ= = × =
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
2 2 2 2
2
1 2
1 2
2 2 2 2
1 2
0,4 0,4 0,5 0,04 x 0,2 def rolo de 400m
) Especificação: 0,7 0,4 0,3 0,4
( ) (0,7 0,4 0,3 0,4 ) 0,28 2 0,12 3 0,92 def rolo de 400 m
0,7 0,4 0,3 0,4 0,28 0,16 0,12 0,25
x x
b x x x
x x x
x x x
σ σ σ
µ µ
σ σ
= = × = =
= +
= + = × + ×=
= + = × + × =
( )
0,016
def0,13
rolo de 400 m
xσ =

Dados: x =número de peixes fisgados em um dia (variável com distribuição de Poisson).
( ) 7 peixes por diaxµ λ= =
Solução
( ) ( ) ( )não cumprir 12 1 12 1 0,0532 0,9468P P x P x= < =− ≥ =− = (Tabela ou Excel)

Dados: x = número de crianças com mais de 5 cáries
X = variável com distribuição de Poisson com
( ) 10xµ λ= = crianças com mais de 5 cáries cada 100 crianças
Solução
( )5 0,067P x ≤ = (Tabela ou função Poisson do Excel)

Dados: D = depósito efetuado
D: N (8.000 ; 1.0002
)
Solução
a) ( ) ( )
10.000 8.000
10.000 2
1.000
P saldo positivo P D z
−
=≥ = =
( ) ( )10.000 2 0,0228P D P z≥ = > = (veja Tabela ou DIST.NORM do Excel)
b) ( ) ( )
5.000 8.000
débito máximo de 5.000 5.000 3
1.000
P P D z
−
=≥ = =−
( ) ( )5.000 3 0,9986P D P z≥ = > −=

Dados: x = mede o número de chamadas recebidas pela empresa
X = variável com distribuição de Poisson
50
( ) 12 10 ligações por 12 minutos
60
xµ λ= = × =
Solução
( )12 0,3033P x ≥ = (veja Tabela ou função POISSON no Excel)

Dados: ( ): 25 ;12x N mede a valorização do terreno em %.
( ): 20 ; 4y N mede a valorização do investimento no mercado financeiro em %.
Solução
( ) ( )16 0 2,60 0,5 0,4953 0,5 0,9953P x P z≥ = < < + = + =
( ) ( )16 0 2 0,5 0,4772 0,5 0,9772P y P z≥ = < < + = + =
Nas condições apresentadas, o investimento em terreno é o preferido.

Dados: x = variável normal, representa as vendas por número do calçado, com ( ) 39xµ = .
Solução
Cálculo de ( )xσ para as condições do problema. Para 95% da área sob a curva normal,
devemos ter 1,96z = . Como x assume valores inteiros, devemos ter:
( )
( )
42,5 39
1,96 1,785x
x
σ
σ
−
= ⇒ = . Então, ( )2
: 39 ;1,785x N .
Considerando uma área de 70% sob a curva normal, teremos:
35% 1,04z⇒ = . Desta forma, 2
2
39
1,04 o que acarreta 40,85
1,785
x
x
−
= =
35% 1,04z⇒ =− . Desta forma, 1
1
39
1,04 o que acarreta 37,15
1,785
x
x
−
= − =.
Hipóteses para 70% de área, preservando os calçados com números mais vendidos:
1) De 36,5 a 40,5. Área 71,87%. Abandonar calçados de números 36, 41, 42.
2) De 37,5 a 40,5. Área 60%. Inviável
3) De 37,5 a 41,5. Área de 71,87%. Abandonar calçados de números 36, 37, 42.
As hipóteses 1 e 3 são soluções para o problema.

Dados: x = representa a medida do molde.
( )2
( ) ; 0,2x N xµ=
Solução
Devemos procurar a média do molde para que 10% das peças moldadas fique acima de
30,5 Cm.
30,5 ( )
10% 1,28 ou 1,28 ( ) 30,244
0,2
x
z x
µ
µ
−
⇒ = = ⇒ =
Assim, o número de peças fundidas deve ser dado por:
30,244 30
61 peças
0,004
n
−
= = .

Dados: vr = velocidade real do carro.
Vl = velocidade mostrada no velocímetro
Solução
Como o velocímetro marca velocidade ( vv) 5% a menos que a velocidade real vr,devemos ter:
0,95vl vr= ou
0,95
vl
vr = . Na marca de 98 km/h no velocímetro teremos
98
0,95
vr = .
Assim,
2
; 2
0,95
vl
vr N
 
=  
 
e no caso, 298
; 2
0,95
vr N
 
=  
 
98
100
0,95
1,58
2
z
−
= =
( ) ( )100 0,5 0 1,58 0,5 0,3413 0,9429P v P z> = + < < = + =

Dados: A primeira opção é formada por 3 trechos com tempos de percurso normais:
( ) ( ) ( )1: 1,5 ; 0,25 2 : 2,0 ; 0,16 3: 0,5 ; 0,01T N T N T N
A segunda opção é formada por 4 trechos com tempos de percurso normais:
( ) ( ) ( ) ( )1: 1,0 ; 0,09 2 : 1,0 ; 0,04 3: 1,0 ; 0,16 4 : 1,0 ; 0,10T N T N T N T N
Solução
A soma das normais que formam o primeiro trecho ( )1 2 3: 4 ; 0,42T T T N+ +
A soma das normais que formam o segundo trecho ( )1 2 3 4 : 4 ; 0,39T T T T N+ + +
As opções apresentam a mesma média de 4 horas. Como a segunda opção apresenta menor
variabilidade, é a mais confiável.

Exercício 5
Item 6.6 – Ex. 5
Solução
Consultando a Tabela para n = 8 graus de liberdade, encontramos o valor 17,53
associado à probabilidade 0,025.
Portanto, ( )2
17,53 1 0,025 0,975P χ ≤ =− =
No Excel a função DIST.QU com os parâmetros X: 17,53 e GRAUS_LIBERDADE: 8,
fornece ( )2
17,53 0,025P χ ≥ =

Exercício 6
Item 6.6 – Ex. 6
Solução
Consultando a Tabela para n = 25 graus de liberdade, obtemos na coluna 0,975 o valor
1 13,12K = e na coluna 0,025 o valor 2 40,65K =
No Excel a função INV.QUI fornece os valores com Probabilidade: 0,975 e 0,025 e
GRAUS_LIBERDADE: 25

Exercício 8
Item 6.6 – Ex. 8
Solução
Consultando a Tabela para n = 10 graus de liberdade o valor 3,94, obtemos 0,950.
Portanto ( )2
,94 0,95P χ = . Consultando o valor 20,48 obtemos 0,025. Portanto
( )2
20,48 0,025P χ > =.
Assim, ( )2
3,94 20,48 0,95 0,025 0,925P χ< < = − =

Exercício 10
Item 6.6 – Ex. 10
Solução
Consultando a Tabela da variável normal padrão o valor ( ) 0,40,P z k< = obtemos o
valor 1,28z = . Portanto, ( )1,28 . 0,10P z > =.
Substituindo na fórmula de
2
χ , obtém-se:
( )
2
2
1,28 2 40 1
51,696
2
χ
+ × −
= = .

Exercício 4
Item 7.2 – Ex. 4
Dados: x tem distribuição de Poisson com média ( ) 5xµ =
Amostra com 100n = elementos.
Solução
Como ( ) ( )2
( ) 5 5 ou seja, 5x x xµ σ σ=⇒ = =
Assim,
( ) 5x xµ = =
e
( )
5
100
xσ =
Fazendo a aproximação da distribuição de Poisson pela distribuição normal:
5,5 5
2,24
5
100
z
−
= = .
Procurando na distribuição normal padrão o valor 2,24z = obtém-se 0,4875.
Portanto, ( ) ( )6 0,5 6 0,5 0,4875 0,0125P x P x≥ = − ≤ = − =

Exercício 5
Item 7.2 – Ex. 5
Dados: x = variável com distribuição normal, mede o rendimento dos títulos em uma
carteira
de investimentos.
( )( ) 0,10 0,02x xµ σ= = Retirada amostra de 40 elementos (n = 40)
Solução
A distribuição amostral das médias de 40 elementos tem:
( ) ( ) 0,10x xµ µ= = e ( )
( ) 0,02
0,00316
40 40
x
x
σ
σ= = =
Queremos avaliar ( )0,09P x > . Neste caso
0,09 0,10
3,16
0,02
40
z
−
= = −
Consultado a Tabela obtemos ( )0,09 0,4992 0,5 0,9992P x > = + =
(na função DIST.NORMAL do Excel com os parâmetros X: 0,09; Média: 0,10;
Desv_Padrão:0,0316 e Cumulativo: Verdadeiro, obtemos ( )0,09 0,0008P x < = )

Exercício 6
Item 7.3 – Ex. 6
Amostra com ( ) 2xσ = :
Classes Int classe fi
1 5 7 3
2 7 9 7
3 9 11 10
4 11 13 8
5 13 15 7
6 15 17 5
Solução
448
11,20
40
i i
i
x f
x
f
= = =
∑
∑
( ) ( )
2 2
( ) 1
x x
P x z x x z
n n
α α
σ σ
µ α
 
− < < + = − 
 
2 2
11,20 2,05 ( ) 11,20 2,05 0,96
40 40
P xµ
 
− < < − = 
 
( )10,55 ( ) 11,85 0,96P xµ< < =

Exercício 8
Item 7.3 – Ex. 8
Dados: Amostra: n = 100; 2,40x = ; ( ) ( )2
0,16; 0,4x xσ σ= = ; 1 0,90α− =
Solução
1 0,90 1,64zα−= ⇒ =
( ) ( )
2 2
( ) 1
x x
P x z x x z
n n
α α
σ σ
µ α
 
− < < + = − 
 
0,4 0,4
2,40 1,64 ( ) 2,40 1,64 0,90
100 100
P xµ
 
− < < + = 
 
( ) ( )2,33 ( ) 2,47 0,90P x P xµ< < = =

Exercício 9
Item 7.3 – Ex. 9
Dados: Amostra: n = 100; 2,40x = ; ( ) ( )2
0,16; 0,4x xσ σ= = ; 1 0,80α− =
Solução
( ) ( )
2 2
( ) 0,80
x x
P x z x x z
n n
α α
σ σ
µ
 
− < < + = 
 
1 0,80 1,28zα−= ⇒ =
0,4 0,4
2,40 1,28 ( ) 2,40 1,28 0,80
100 100
P xµ
 
− < < + = 
 
( )2,35 ( ) 2,45 0,80P xµ< < =
Conclusão: O preço máximo deve ser menor que 2,35 um/Kg

Exercício 5
Item 7.4 – Ex. 5
Dados: População: N=40 máquinas. Amostra: n=5 máquinas
( )4 0,15 4 0,6x xσ= = × = 1 0,98α− =
Solução
Como a amostra representa mais de 5% da população, devemos usar o fator de
correção
( ) ( )
2 2
( ) 1
1 1
x xN n N n
P x z x x z
N Nn n
α α
σ σ
µ α
 − −
− < < + = −  − − 
1 0,98 2,33zα−= ⇒ =
0,6 40 5 0,6 40 5
4 2,33 ( ) 4 2,33 0,98
40 1 40 15 5
P xµ
 − −
− < < + =  − − 
( )3,41 ( ) 4,59 0,98P xµ< < =
a) A previsão mínima para o tempo de concerto é de 3,41 h e a previsão máxima é
de 4,59 h.
b) Estimativa pontual: 4 40 160× = h

Exercício 8
Item 7.4 – Ex. 8
Dados: População: 80 unidades Amostra: 10 unidades
120 .x u m= 1 0,95α− =
( ) 20 . .x u mσ =
Solução
Como a amostra representa mais de 5% da população devemos usar o fator de
correção.
Erro padrão de estimativa:
( )
2
1
x N n
e z
Nn
α
σ −
=
−
1 0,95α− = 1,96z =
20 80 10
1,96 11,67
80 110
e
−
= =
−
( )120 11,67 ( ) 120 11,67 0,95P xµ− < < + =
( )108,33 ( ) 131,67 0,95P xµ< < =
Se ele pode pagar no máximo 3% do valor dos títulos, com 95% de confiança ele pode
pagar entre 3% de 108,33 = 3,25 e 3% de 131,67=3,95
a) Sim, pode pagar 3,00
b) Não, pois não pode pagar mais que 3,95

Exercício 9
Item 7.4 – Ex. 9
Dados: x = variável normal, mede o tempo de emissão da nota fiscal
População: 100 NF Amostra: 40 NF com 20 minx =
Vamos considerar ( ) 0,30 20 6 minxσ = × ≅ .
Solução
Como a amostra representa mais de 5% da população, devemos aplicar o fator de
correção. Dado 1 0,95α− = , temos
2
1,96zα = . Neste caso, o erro padrão de
estimativa é:
( )
2
6 100 40
1,96 1,45
1 100 140
x N n
e z
Nn
α
σ − −
= = =
− −
( ) ( )20 1,45 ( ) 20 1,45 18,55 ( ) 21,45 0,95P x P xµ µ− < < + = < < =
O tempo médio mínimo para preenchimento manual é de 18,55 min, contra o tempo
do computador de 12 min.
O ganho será, portanto
18,55 12
0,3531
18,55
t
G
t
∆ −
= = = ou 35,31%.

Exercício 9
Item 7.6 – Ex. 9
Dados: x = variável normal, mede o preço de venda do produto.
Amostra: 40 elementos com 26x = e ( ) 2s x = .
Solução
Para 1 0,90α− = , 0,10; 39 1,68t = . O erro padrão de estimativa é:
( )
0,10; 39
2
1,68 0,53
40
s x
e t
n
= = = .
Portanto, ( ) ( )26 0,53 ( ) 26 0,53 25,47 ( ) 26,53 0,90P x P xµ µ− < < + = < < = .
Como 50% de 25,47 é 12,73, o custo máximo para garantir certamente a viabilidade é
de 12,73 u.m.

Exercício 10
Item 7.6 – Ex. 10
Dados: x = variável normal, mede o tempo gasto na visita ao cliente
Y = variável normal, mede a venda por cliente visitado
Amostra com 10 elementos de uma população com 65 elementos fornece:
90 s( ) 13x x= = ( )650 100y s y= =
Solução
Intervalo de confiança de 80% para o tempo médio de visita:
0,1:9 0,1:9
13 65 10 13 65 10
90 ( ) 90 0,80
65 1 65 110 10
P t x tµ
 − −
− < < + =  − − 
( )84,74 ( ) 95,26 0,80P xµ< < =
Intervalo de confiança de 80% para a Vanda média por cliente:
0,1:9 0,1:9
100 65 10 100 65 10
650 ( ) 650 0,80
65 1 65 110 10
P t x tµ
 − −
− < < + =  − − 
( )609,55 ( ) 690,45 0,80P yµ< < =
Número de clientes visitados por mês na previsão otimista:
80 60
57
84,74
×
=
Receita no mês com a previsão otimista: 57 690,45 39.355,65× =
Comissão no mês neste caso: 4% 39.355,65 1.574,23de =

Exercício 3
Item 7.7 – Ex. 3
Dados: x = variável normal População: N = 100 elementos ( ) 4xσ =
Erro padrão de estimativa máximo admitido: 2e =
Nível de confiança: 1 0,98α− =
Solução
( )
( ) ( ) ( )
2
2 2
2
2 2 2 2 2 2
2
2,33 4 100
18
1 2 100 1 2,33 4
z x N
n
e N z x
α
α
σ
σ
× ×
= = =
− + − + ×

Exercício 10
Item 7.7 – Ex. 10
Dados: x = variável normal, mede o rentabilidade de empresas de uma indústria
Amostra de n = 10 elementos fornece: ( )0,05 0,016x s x= =
Erro máximo permitido: 0,01e = Nível de confiança: 1 0,95α− =
Solução
( )
2
2
2 2,26 0,016
13,075 ou 14 elementos
0,01
t s x
n
e
α × 
×  
= = =  
   

Exercício 6
Item 7.8 – Ex. 6
Dados: x = variável binomial. S = mulher. Amostra de n = 100 elementos forneceu:
ˆ 0,40p = .
Nível de confiança 1 0,98α− = .
Solução
Para
2
1 0,98 devemos ter 2,33zαα− = = .
a)
2 2
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ 1
pq pq
P p z p p z
n n
α α α
 
− < < − = −  
 
0,4 0,6 0,4 0,6
0,4 2,33 0,4 2,33 0,98
100 100
P p
 × ×
− < < + =  
 
( )0,2859 0,5141 0,98P p< < =
b) Não. A proporção pode ser maior que 50%.

Exercício 8
Item 7.8 – Ex. 8
Dados: x = variável binomial. S = bóia com defeito
Amostra de n = 50 bóias de população de N = 2.000 bóias:
Nível de significância: 0,04α =
Solução
Como a proporção de elementos da amostra
50
0,025 0,05
2.000
n
N
= = < , não
usaremos o fator de correção.
2
ˆ 0,04
50
p= = e 0,02
2
2,05z zα= =
2 2
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ 1
pq pq
P p z p p z
n n
α α α
 
− < < + = −  
 
0,04 0,96 0,04 0,96
0,04 2,05 0,04 2,05 0,96
50 50
P p
 × ×
− < < + =  
 
( ) ( )0,0168 0,0968 0,96 ou 0 0,0968 0,96P p P p− < < = < < =

Exercício 9
Item 7.8 – Ex. 9
Dados: x = variável binomial
Intervalo de confiança para a proporção de bóias defeituosas ao nível de
confiança de 96%: ( )0 0,0968 0,96P p< < =
Lucro por bóia vendida: 5 u.m.
Prejuízo por bóia vendida com defeito: 3.u.m
Solução
Valor esperado do lucro por bóia na pior hipótese, isto é, assumindo a proporção de
defeituosas de 0,0968.
3−
0,0968 3 0,0968 5 0,9032 4,2256− × + × =
0,9032
5
Portanto, o lucro esperado para o lote na visão pessimista é:
2.000 4,2256 8.451,20× = u.m. o que supera a meta de 8.000 u.m.

Exercício 3
Item 7.9 – Ex. 3
Dados: x = variável binomial. S = escolha da embalagem E2.
Amostra de n = 100 elementos forneceu ˆ 0,42p = .
Erro máximo admitido: e = 0,06.
Solução
0,02
2
1 0,96 2,05z zαα− = ⇒ = =
2
2
2
2 2
ˆ ˆ
2,05 0,42 0,58
284,37
0,06
z pq
n
e
α
 
 
× × = = = ou n = 285 elementos
.

Exercício 4
Item 7.9 – Ex. 4
Dados: x = variável binomial. S = escolha da embalagem E2.
Solução
Para o nível de confiança 1 0,96α− = , 0,02
2
2,05z zα= = .
Se não há confiança no resultado do levantamento feito, devemos usar a proporção ˆ 0,50p =
(o que significa sem informação a respeito da proporção de sucessos e, em consequência a
maior amostra para o nível de significância adotado).
2
2
2
2 2
ˆ ˆ
2,05 0,50 0,50
291,84
0,06
z pq
n
e
α
 
 
× × = = = ou n = 292 elementos.
.

Exercício 7
Item 7.9 – Ex. 7
Dados: x = variável binomial. S = indivíduo com sangue tipo O+
.
Solução
Para o nível de confiança de 0,96 teremos 0,02
2
2,05z zα= = .
Como a amostra representa
50
0,083 0,05
600
= > dos elementos da população,
devemos usar o fator de correção.
( ) ( )
2
2
2
2 2 2
2
ˆ ˆ
2,05 0,32 0,38 600
377,47
ˆ ˆ1 0,03 600 1 2,05 0,32 0,68
z pqN
n
e N z pq
α
α
 
 
× × × = = =
− + − + × ×
, ou seja 378
elementos.
.

Exercício 8
Item 7.9 – Ex. 8
Dados: x = variável Binomial. S = sair face 5 no lançamento do dado
Amostra de n = 10 elementos forneceu a proporção de sucessos :
2
ˆ 0,20
10
p= = . Nível de confiança: 1 0,90α− = .
Erro máximo permitido 0,02e = .
Solução
Para 1 0,90α− = devemos ter 0,05
2
1,64z zα= = .
2
2
2
2 2
ˆ ˆ
1,64 0,2 0,8
1075,84
0,02
z pq
n
e
α
 
 
× × = = = ou seja n = 1.076 elementos.

Exercício 5
Item 7.10 – Ex. 5
Dados:
x1 = variável normal. Amostra de n1 = 30 elementos forneceu:
( )1 140 2,3x s x= =
x2 = variável normal. Amostra de n2 = 30 elementos forneceu:
( )2 250 4,2x s x= =
Nível de confiança: 0,05
2
1 0,90 t 1,68tαα− = ⇒ = = .
Solução
Temos que calcular o número de graus de liberdade
2 22 2 2 2
1 2
1 2
2 2 2 22 2 2 2
1 2
1 2
1 2
2,3 4,2
30 30
2 2 46,06
2,3 4,2
30 30
30 1 30 11 1
s s
n n
GL
s s
n n
n n
   
+ +   
   = − = − =
       
       
       ++
+ ++ +
ou GL = 46
Erro padrão:
2 2
1 2
1 22
s s
e z
n n
α= + =
2 2
2,3 4,2
1,68 1,47
30 30
+ =
( ) ( )( )
( )
1 2
1 2
50 40 1,47 ( ) ( ) 50 40 1,47 0,90
8,53 ( ) ( ) 11,47 0,90
P x x
P x x
µ µ
µ µ
− − < − < − + =
< − < =

Exercício 6
Item 7.10 – Ex. 6
Dados:
x1 = variável normal. Amostra de n1 = 20 elementos forneceu: ( )1 11.000 5x s x= =
x2 = variável normal. Amostra de n2 = 20 elementos forneceu: ( )2 2120 3x s x= =
Nível de confiança: 1 0,95α− = .
Solução
Temos que calcular o número de graus de liberdade da distribuição t:
2 22 2 2 2
1 2
1 2
2 2 2 22 2 2 2
1 2
1 2
1 2
5 3
20 20
2 2 32,39
5 3
20 20
20 1 20 11 1
s s
n n
GL
s s
n n
n n
   
+ +   
   = − = − =
       
       
       ++
+ ++ +
ou GL = 32
0,05
2
t 2,04tα⇒ = =
Erro padrão:
2 2
1 2
1 22
s s
e z
n n
α= + =
2 2
5 3
2,04 1,82
20 20
+ =
( ) ( )( )
( )
1 2
1 2
1.000 120 2,66 ( ) ( ) 1.000 120 2,66 0,90
117,34 ( ) ( ) 1.122,66 0,90
P x x
P x x
µ µ
µ µ
+ − < − < + + =
< + < =

Exercício 8
Item 7.10 – Ex. 8
Dados: Q x1 = quantidade de pó de café usada x1 = custo correspondeste do café
Q x2 = quantidade de açúcar usado x2 = custo correspondente do açúcar
Após amostra de 30 elementos foram anotados
Insumos custos
( )
( )
1 1
2 2
10 1,2
13 3
Qx s Qx
Qx s Qx
= =
= =
( )
( )
1 1
2 2
0,05 0,006
0,0117 s 0,0027
x s x
x x
= =
= =
Solução
Cálculo do número de graus de liberdade da distribuição t;
2 22 2 2 2
1 2
1 2
2 2 2 22 2 2 2
1 2
1 2
1 2
0,006 0,0027
30 30
2 2 41,06 41
0,006 0,0027
30 30
30 1 30 11 1
s s
n n
GL GL
s s
n n
n n
   
+ +   
   ≅ − = −= ⇒ =
       
       
       ++
+ ++ +
Portanto, 0,0025 ; 41 2,02t = .
Erro padrão: e =
( ) ( )2 2 2 2
1 2
1 22
0,006 0,0027
2,02 0,00243
30 30
s x s x
t
n n
α + = + =
( )1 2 1 2 1 2( ) ( ) 0,95P x x e x x x x eµ µ+ − < + < + + =
( )
( )
1 2
1 2
0,05 0,0117 0,00243 ( ) ( ) 0,05 0,0117 0,00243 0,95
0,059 ( ) ( ) 0,064 0,95
P x x
P x x
µ µ
µ µ
+ − < + < + + =
< + < =
, é o intervalo de confiança de 95% para o custo do cafezinho.

Exercício 9
Item 7.10 – Ex. 9
Dados: Amostra da demanda d: 160, 140, 138, 157, 169, 150
Amostra da produção p: 160, 140, 120, 100, 150, 130
Solução
Demanda:
904
150,67
6
id
d
n
= = =∑ ( )
( )
2
2 651,33
130,27
1 5
id d
s d
n
−
= = =
−
∑
800
133,33
6
ip
p
n
= = =
∑ ( )
( )
2
2 2.333,33
466,67
1 5
ip p
s p
n
−
= = =
−
∑
( ) ( )11,41 21,60s d s p= =
Cálculo dos graus de liberdade:
2 22 2 2 2
1 2
1 2
2 2 2 22 2 2 2
1 2
1 2
1 2
11,41 21,60
6 6
2 2 8,62 8
11,41 21,60
6 6
6 1 6 11 1
s s
n n
GL GL
s s
n n
n n
   
+ +   
   ≅ − = −= ⇒ =
       
       
       ++
+ ++ +
0,05
2
1,86t tα= = . Erro padrão e =
( ) ( )2 2 2 2
1 22
11,41 21,6
1,86 18,55
6 6
s d s p
t
n n
α + = + =
( ) ( )( ) ( ) 1P d p e d p d p eµ µ α − − < − < − + =− 
( )150,67 133,33 18,55 ( ) ( ) 150,67 133,33 18,55 0,90P d pµ µ− − < − < − + =
( )1,21 ( ) ( ) 35,89 0,90P d pµ µ− < − < =
O intervalo mostra que não podemos afirmar que a demanda excede a produção em
pelo menos 10 unidades.

Exercício 3
Item 7.11 – Ex. 3
Dados: x1 = variável binomial S = escolha da marca A de yogurte
X2 = variável binomial S = escolha da marca A de margarina
Amostra de n = 50 elementos mostrou: 1 2
ˆ ˆ0,26 0,30p p= =
Solução
0,05
2
1,64z zα= =
Erro padrão: 1 1 2 2
1 22
ˆ ˆ ˆ ˆ 0,26 0,74 0,30 0,70
1,64 0,147
50 50
p q p q
e z
n n
α
× ×
= + = + =
( )2 1 2 1 2 1
ˆ ˆ ˆ ˆ 1P p p e p p p p e α− − < − < − + < −
( )1 20,30 0,26 0,147 0,30 0,26 0,147 0,90P p p− − < − < − + =
( )2 10,107 0,187 0,90P p p− < − < =

Exercício 6
Item 7.11 – Ex. 6
Dados: x1 = variável binomial S = usar carro próprio
Amostra 1 de n = 36 elementos fornece: 1
8
ˆ 0,222
36
p= =
X2 = variável binomial S = usar carro próprio
8
ˆ 0,20
40
p= =
Solução
0,02
2
1 0,96 2,05z zαα− = ⇒ = =
1 22
ˆ ˆ ˆ ˆ 0,22 0,78 0,20 0,80
2,05 0,0939
36 400
p q p q
e z
n n
α
× ×
= + = + =
( )2 1 2 1 2 1
ˆ ˆ ˆ ˆ 1P p p e p p p p e α− − < − < − + < −
( )1 20,22 0,20 0,0939 0,22 0,20 0,0939 0,96P p p− − < − < − + =
( )2 10,170 0,214 0,96P p p− < − < =

Exercício 9
Item 7.11 – Ex. 9
Dados: x1 = variável binomial S = cliente da empresa A
26
ˆ 0,325
80
p= =
X2 = variável binomial S = cliente da empresa A
35
ˆ 0,50
70
p= =
Solução
0,05
2
1 0,90 1,64z zαα− = ⇒ = =
1 22
ˆ ˆ ˆ ˆ 0,325 0,675 0,50 0,50
1,64 0,13031
80 70
p q p q
e z
n n
α
× ×
= + = + =
( )2 1 2 1 2 1
ˆ ˆ ˆ ˆ 1P p p e p p p p e α− − < − < − + < −
( )1 20,50 0,325 0,13031 0,50 0,325 0,13031 0,90P p p− − < − < − + =
( )2 10,045 0,305 0,90P p p< − < =
Nesse nível de confiança, fica claro que a proporção certamente melhorou.

Exercício 1
Item 7.12 – Ex. 1
Dados: x = variável normal, mede o número de peças defeituosas com ( )2
16xσ = .
Amostra de n = 51 elementos fornece: ( )2
14s x =
Solução
Para o nível 1 0,98α− = com n = 51 e Graus de liberdade 1 50n − = teremos (Tabela
ou função INV.QUI do Excel) Probabilidade: 0,98 e GL: 50 2
1 29,71χ⇒ =
Probabilidade: 0,02 e GL = 50 2
2 76,15χ⇒ =
( )( )
( )
( )( )2 2
2
2 2
2 1
1 1
1
s x n s x n
P xσ α
χ χ
 − −
< < =−  
 
( )214 50 14 50
0,98
76,15 29,71
P xσ
× × 
< < = 
 
( )( )2
9,19 23,56 0,98P xσ< < =

Exercício 2
Item 7.12 – Ex. 2
Dados: x1 = variável normal, mede a TIR do projeto
Amostra de n = 81 elementos fornece: ( ) 4s x =
Solução
1 60,39χ⇒ =
2 101,89χ⇒ =
( )( )
( )
( )( )2 2
2
2 2
2 1
1 1
1
s x n s x n
P xσ α
χ χ
 − −
< < =−  
 
( )216 80 16 80
0,95
101,89 60,39
P xσ
× × 
< < = 
 
( )( )2
12,56 21,20 0,95P xσ< < =

Exercício 3
Item 7.12 – Ex. 3
Dados: x = variável normal, mede a receita das vendas
Amostra de n = 12 elementos fornece:
45 62 ... 60
52
12
ix
x
n
+ + +
= = =
∑
e ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
45 52 ... 60 52
59,45
1 11
ix x
s x
n
− − + + −
= = =
−
∑
Solução
Para o nível 1 0,95α− = com n =12 e Graus de liberdade 1 11n − = teremos (Tabela
1 3,82χ⇒ =
2 21,92χ⇒ =
( )( )
( )
( )( )2 2
2
2 2
2 1
1 1
1
s x n s x n
P xσ α
χ χ
 − −
< < =−  
 
( )259,45 11 59,45 11
0,95
21,92 3,82
P xσ
× × 
< < = 
 
( )( )2
29,84 171,20 0,95P xσ< < =

Exercício 5
Item 7.12 – Ex. 5
Dados: x1 = variável normal, mede o peso das aves
Amostra de n = 30 aves fornece: ( )1,8 e s 0,2x Kg x Kg= =
Solução
1 17,71χ⇒ =
2 42,56χ⇒ =
( )( )
( )
( )( )2 2
2
2 2
2 1
1 1
1
s x n s x n
P xσ α
χ χ
 − −
< < =−  
 
( )20,04 29 0,04 29
0,90
42,56 17,71
P xσ
× × 
< < = 
 
( )( )2
0,027 0,065 0,90P xσ< < =

Exercício 6
Item 7.12 – Ex. 6
Dados: x1 = variável normal, mede a TIR do projeto
Amostra de n = 81 elementos fornece: ( ) 0,2s x Kg=
Solução
1 14,26χ⇒ =
2 49,59χ⇒ =
( )( )
( )
( )( )2 2
2 2
2 1
1 1
1
s x n s x n
P xσ α
χ χ
 − −
 < < =−
 
 
( )
0,04 29 0,04 29
0,98
49,59 14,26
P xσ
 × ×
< < =  
 
( )( )0,153 0,285 0,98P xσ< < =

Exercício 1
Item 8.3 – Ex. 1
Dados: x = variável normal com ( )2
3xσ =
Amostra de n = 20 elementos fornece: 50x =
Solução
Teste 0 : ( ) 53
: ( ) 53a
H x
H x
µ
µ
=

≠
Para o nível 0,10α = (Tabela ou função INV.NORMP do Excel) retorna 1,64tz = −
( )
( ) 50 53
7,75
3
20
c
x x
z
x
n
µ
σ
− −
= = = −
Como c tz z< , rejeitamos 0H ao nível de significância 10%α = .

Exercício 3
Item 8.3 – Ex. 3
Dados: x1 = variável normal com ( )( ) 6 e 0,5x xµ σ= =
Amostra de n = 15 elementos fornece: 4x = ( ) 1s x =
Solução
Teste 0 : ( ) 6
: ( ) 6a
H x
H x
µ
µ
=

<
Para o nível 0,05α = (Tabela ou função INV.NORMP do Excel) retorna 1,64tz = −
( )
( ) 4 6
15,49
0,5
15
c
x x
z
x
n
µ
σ
− −
= = = −
Como c tz z< , rejeitamos 0H ao nível de significância 5%α = .

Exercício 4
Item 8.3 – Ex. 4
Dados: x = variável normal com ( ) 18xµ =
Amostra: 12 elementos, forneceu 17x = e ( ) 3s x = . Nível de
significância: 0,10α =
Solução
Teste 0 : ( ) 18
: ( ) 18a
H x
H x
µ
µ
=

≠
Para o nível 0,10α = (Tabela ou função INVT do Excel) com Probabilidade: 0,10 e
Graus_liberdade: 11 retorna o valor 1,80tt = −
( )
( ) 17 18
1,15
3
12
c
x x
t
s x
n
µ− −
= = = −
Como c tt t> , aceitamos 0H ao nível de significância 10%α = .

Exercício 6
Item 8.3 – Ex. 6
Dados: x1 = variável normal
Amostra: 12, 16, 15, 14, 17, 10, 9, 15, 13, 16.
Solução
137
13,7
10
ix
x
n
= = =
∑ ( )
( )
2
2 64,10
7,122
1 9
ix x
s x
n
−
= = =
−
∑ ( ) 2,67s x =
Teste
0 : ( ) 15
: ( ) 15a
H x
H x
µ
µ
=

<
Graus_liberdade: 9 retorna o valor 1,83tt = −
( )
( ) 13,7 15
1,54
2,67
10
c
x x
t
s x
n
µ− −
= = = −

Exercício 8
Item 8.3 – Ex. 8
Dados: x = variável normal com ( ) 4xµ =
Amostra: 25 elementos, forneceu 5x = e ( ) 1,2s x = . Nível de
significância: 0,05α =
Solução
Teste
0 : ( ) 4
: ( ) 4a
H x
H x
µ
µ
=

>
Graus_liberdade: 24 retorna o valor 1,71tt =
( )
( ) 5 4
4,17
1,2
25
c
x x
t
s x
n
µ− −
= = =
Como c tt t> , rejeitamos 0H ao nível de significância 5%α = .

Exercício 9
Item 8.3 – Ex. 9
Dados: x = variável normal, mede o IRR do projeto em %.
Amostra de 40 elementos
Solução
( ) ( ) 20,70i ix E x P x= =
( ) ( ) ( )
22 2
432,20 428,49 3,71is x E x E x= − = − =   ( ) 1,93s x =
No caso, o pior erro é a taxa ser menor que 21%.
Teste
0 : ( ) 21
: ( ) 21a
H x
H x
µ
µ
=

<
Graus_liberdade: 39 retorna o valor e 1,68tt = −
( )
( ) 20,70 21
0,98
1,93
40
c
x x
t
s x
n
µ− −
= = = −
x 18 20 22 24 Soma
p(x) 0,2 0,4 0,25 0,15
x.p(x) 3,6 8 5,5 3,6 20,7
x*2.p(x) 64,8 160 121 86,4 432,2

Exercício 1
Item 8.4 – Ex. 1
Dados: x = variável binomial S = mulher em cargo administrativo p = 0,15
Amostra de n = 200 elementos obteve:
40
ˆ 0,20
200
p= =
Nível de significância: 0,05.
Solução
Teste 0` : 0,15
: 0,15a
H p
H p
=

>
Ao nível 0,05α = , 1,64tz = (Tabela ou INV.NORMP com PROBABILIDADE: 0,95)
ˆ 0,20 0,15
1,98
ˆ ˆ 0,15 0,85
200
c
p p
z
pq
n
− −
= = =
×
Como c tz z> , rejeitamos a hipótese nula. Ao nível de 5%, a proporção de mulheres
aumentou.

Exercício 2
Item 8.4 – Ex. 2
Dados: x1 = variável binomial S = peça defeituosa p = 0,03
8
ˆ 0,04
200
p= =
Solução
Teste 0` : 0,03
: 0,03a
H p
H p
=

>
ˆ 0,04 0,03
0,83
ˆ ˆ 0,03 0,97
200
c
p p
z
pq
n
− −
= = =
×
Como c tz z< , aceitamos a afirmação do vendedor.

Exercício 3
Item 8.4 – Ex. 3
Dados: x = variável binomial S = indivíduo com renda inferior a dois salários mínimos
Amostra de n =60 elementos obteve: ˆ 0,41p =
Nível de significância: 0,05
Solução
Teste 0` : 0,40
: 0,40a
H p
H p
=

>
ˆ 0,41 0,40
0,16
ˆ ˆ 0,40 0,60
60
c
p p
z
pq
n
− −
= = =
×
Como c tz z< , aceitamos a hipótese nula. Ao nível de 5%, a porcentagem é ainda de
40%.

Exercício 4
Item 8.4 – Ex. 4
Dados: x1 = variável binomial S = animal morto p = 0,10
Amostra de n = 100 animais forneceu:
4
ˆ 0,04
100
p= =
Solução
Teste
0` : 0,10
: 0,10a
H p
H p
=

<
Ao nível 0,05α = , 1,64tz = − (Tabela ou INV.NORMP com PROBABILIDADE: 0,05)
ˆ 0,04 0,10
2
ˆ ˆ 0,10 0,90
100
c
p p
z
pq
n
− −
= = = −
×
Como c tz z< , rejeitamos a hipótese nula. O índice de mortalidade diminuiu.

Exercício 5
Item 8.4 – Ex. 5
Dados: x = variável binomial S = resposta positiva ao plano de férias p = 0,20
15
ˆ 0,30
50
p= =
Solução
Teste 0` : 0,20
: 0,20a
H p
H p
=

>
ˆ 0,30 0,20
1,77
ˆ ˆ 0,20 0,80
50
c
p p
z
pq
n
− −
= = =
×
Como c tz z> , rejeitamos a hipótese nula. Ao nível de 6% podemos afirmar que o
número de respostas favoráveis aumentou.

Exercício 6
Item 8.4 – Ex. 6
Dados: x1 = variável binomial S = projeto viável p = 0,50
Amostra de n = 31 elementos forneceu: ˆ 0,60p =
Solução
Teste
0` : 0,50
: 0,50a
H p
H p
=

>
ˆ 0,60 0,50
1,11
ˆ ˆ 0,50 0,50
31
c
p p
z
pq
n
− −
= = =
×
Como c tz z< , aceitamos a hipótese nula. Ao nível de significância de 0,10, a proporção
é ainda de 50%, o que contradiz a expansão da economia.

Exercício 7
Item 8.4 – Ex. 7
Dados: x = variável binomial S = financiamento a pequena empresa p = 0,20
12
ˆ 0,30
40
p= =
Solução
Teste 0` : 0,20
: 0,20a
H p
H p
=

>
ˆ 0,30 0,20
1,58
ˆ ˆ 0,20 0,80
40
c
p p
z
pq
n
− −
= = =
×
Como c tz z> , rejeitamos a hipótese nula. Ao nível de 10%, podemos afirmar que a
política foi bem sucedida.

Exercício 8
Item 8.4 – Ex. 8
Dados: x1 = variável binomial S = inseticida eficiente p = 0,70
32
ˆ ˆ0,27 0,73
120
q p= = =
Solução
Teste
0` : 0,70
: 0,70a
H p
H p
=

>
ˆ 0,73 0,70
0,72
ˆ ˆ 0,70 0,30
120
c
p p
z
pq
n
− −
= = =
×
Como c tz z< , aceitamos a hipótese nula. A toxicidade está controlada ao nível de 70%.

Exercício 9
Item 8.4 – Ex. 9
Dados: x1 = variável binomial S = pagamento à vista p = 0,76
40
ˆ 0,778
180
p= =
Solução
Teste 0` : 0,76
: 0,76a
H p
H p
=

>
ˆ 0,778 0,76
0,57
ˆ ˆ 0,76 0,24
180
c
p p
z
pq
n
− −
= = =
×
Como c tz z< , aceitamos a hipótese nula. Ao nível de 5%, podemos afirmar que a
política foi bem sucedida.

Exercício 10
Item 8.4 – Ex. 10
Dados: x1 = variável binomial S = favorável à pena de morte p = 0,52
280
ˆ 0,56
500
p= =
Solução
Teste
0` : 0,52
: 0,52a
H p
H p
=

>
ˆ 0,56 0,52
1,79
ˆ ˆ 0,52 0,48
500
c
p p
z
pq
n
− −
= = =
×
Como c tz z> , rejeitamos a hipótese nula. A proporção de favoráveis aumentou após a
divulgação do crime.

Exercício 1
Item 8.5 – Ex. 1
Dados: x1 = variável normal com ( )2
1 5xσ =
Amostra de n = 20 elementos forneceu 1 32x =
X2 = variável normal com ( )2
2 5xσ =
Amostra de n = 20 elementos forneceu: 2 33,5x =
Nível de significância: 0,03α = .
Solução
Teste 0 1 2
1 2
: ( ) ( ) 0
: ( ) ( ) 0a
H x x
H x x
µ µ
µ µ
− =

− ≠
Cálculo de tt :
Cálculo de zt . Tabela com 0,015
2
2,17z zα= =
(ou INV.NORMP, com Probabilidade
0,985)
Cálculo de ct : 1 2
2 2
1 2
1 2
32 33,5
2,12
5 5
20 20
c
x x
t
s s
n n
− −
= = = −
++
Como c tt t> , aceitamos a hipótese nula. Ao nível de 3%, podemos afirmar que as
populações apresentam a mesma média.

Exercício 3
Item 8.5 – Ex. 3
Dados: x1 = variável normal
Amostra de n = 25 elementos forneceu: ( )1 150 4x s x= =
X2 = variável normal
Amostra de n = 30 elementos forneceu: ( )2 248 3x s x= =
Solução
Teste 0 1 2
1 2
: ( ) ( ) 0
: ( ) ( ) 0a
H x x
H x x
µ µ
µ µ
− =

− ≠
Cálculo de tt :
2 22 2 2 2
1 2
1 2
2 2 2 22 2 2 2
1 2
1 2
1 2
4 3
25 30
: 2 2 45,36
4 3
25 30
25 1 30 11 1
s s
n n
Gl
s s
n n
n n
   
+ +   
   − = − =
       
       
       ++
+ ++ +
GL = 45
0,05; 45 2,01t =
2 2 2 2
1 2
1 2
50 48
2,06
4 3
25 30
c
x x
t
s s
n n
− −
= = =
++
Como c tt t> , rejeitamos a hipótese nula. As médias populacionais são diferentes.

Exercício 4
Item 8.5 – Ex. 4
Dados: x1 = variável normal, mede a vida útil de pneus em uso urbano
Amostra de n = 40 pneus forneceu: ( )1 150.000 4.000x Km s x Km= =
X2 = variável normal, mede a vida útil de pneus em uso interurbano
Amostra de n = 40 pneus forneceu: ( )2 253.000 5.000x Km s x Km= =
Solução
Teste 0 1 2
1 2
: ( ) ( ) 0
: ( ) ( ) 0a
H x x
H x x
µ µ
µ µ
− =

− <
Cálculo de tt :
2 22 2 2 2
1 2
1 2
2 2 2 22 2 2 2
1 2
1 2
1 2
4.000 5.000
40 40
: 2 2 76,23
4.000 5.000
40 40
41 411 1
s s
n n
Gl
s s
n n
n n
   
+ +   
   − = − =
       
       
       ++
+ +
GL = 76
0,05; 76 1,67t = −
2 2 2 2
1 2
1 2
50.000 53.000
2,96
4.000 5.000
40 40
c
x x
t
s s
n n
− −
= = = −
++
Como c tt t< , rejeitamos a hipótese nula. Os pneus usados em ônibus urbanos
desgastam mais rapidamente.

Exercício 5
Item 8.5 – Ex. 5
Dados: x1 = variável normal, mede a vida útil de pneus em uso urbano
Amostra de n = 10 alunos forneceu: ( )1 1166min 23minx s x= =
X2 = variável normal, mede a vida útil de pneus em uso interurbano
Amostra de n = 10 alunos forneceu: ( )2 2151min 16minx s x= =
Solução
Teste 0 1 2
1 2
: ( ) ( ) 0
: ( ) ( ) 0a
H x x
H x x
µ µ
µ µ
− =

− >
Cálculo de tt :
2 22 2 2 2
1 2
1 2
2 2 2 22 2 2 2
1 2
1 2
1 2
23 16
10 10
: 2 2 17,6
23 16
10 10
10 1 10 11 1
s s
n n
Gl
s s
n n
n n
   
+ +   
   − = − =
       
       
       ++
+ ++ +
GL = 17
0,05;17 1,74t =
(Tabela com p = 10 e GL = 17 ou INVT com Probabilidade 0,10 e
Graus_Liberdade 17)
2 2 2 2
1 2
1 2
166 151
1,69
23 16
10 10
c
x x
t
s s
n n
− −
= = =
++
Como c tt t< , aceitamos a hipótese nula. Ao nível de 5% podemos afirmar que os
métodos apresentam a mesma eficiência.

Exercício 6
Item 8.5 – Ex. 6
Dados: x1 = variável normal, mede o consumo dos homens
Amostra de n = 20 homens forneceu: ( )1 1650 60x g s x g= =
X2 = variável normal, mede o consumo das mulheres
Amostra de n = 10 mulheres forneceu: ( )2 235 50x g s x g= =
Solução
Teste
0 1 2
1 2
1
: ( ) ( ) 0
2
1
: ( ) ( ) 0
2
a
H x x
H x x
µ µ
µ µ

− =

 − <

Cálculo de tt :
2 22 2 2 2
1 2
1 2
2 2 2 22 2 2 2
1 2
1 2
1 2
60 50
20 10
: 2 2 23,59
60 50
20 10
21 111 1
s s
n n
Gl
s s
n n
n n
   
+ +   
   − = − =
       
       
       ++
+ +
GL = 23
0,10; 23 1,32t = −
2 2 2 2
1 2
1 2
50.000 53.000
2,96
4.000 5.000
40 40
c
x x
t
s s
n n
− −
= = = −
++
Como c tt t< , rejeitamos a hipótese nula. As mulheres consomem mais que a metade
do consumo dos homens.

Exercício 7
Item 8.5 – Ex. 7
Dados: x1 = variável normal, mede o número de cáries dos alunos do grupo tratado
com flúor. Amostra de n = 30 alunos forneceu: ( )1 11,8 0,5x s x= =
X2 = variável normal, mede o número de cáries do grupo sem o tratamento.
Amostra de n = 500 pneus forneceu: ( )2 22,2 0,6x s x= =
Solução
Teste 0 1 2
1 2
: ( ) ( ) 0
: ( ) ( ) 0a
H x x
H x x
µ µ
µ µ
− =

− <
Cálculo de tt :
2 22 2 2 2
1 2
1 2
2 2 2 22 2 2 2
1 2
1 2
1 2
0,5 0,6
30 50
: 2 2 72,09
0,5 0,6
30 50
30 1 50 11 1
s s
n n
Gl
s s
n n
n n
   
+ +   
   − = − =
       
       
       ++
+ ++ +
GL = 72
0,05; 72 1,67t = −
2 2 2 2
1 2
1 2
50.000 53.000
2,96
4.000 5.000
40 40
c
x x
t
s s
n n
− −
= = = −
++
Como c tt t< , rejeitamos a hipótese nula. Ao nível de 5% podemos afirmar que o
tratamento com cloro diminuiu a incidência de cáries.

Exercício 8
Item 8.5 – Ex. 8
Dados: x1 = variável normal, mede o tempo de embalagem manual
Amostra de n = 60 embalagens forneceu: ( )1 14,2 min 0,5 minx s x= =
X2 = variável normal, mede o tempo de embalagem automático
Amostra de n = 60 pneus forneceu: ( )2 24 min 1,2 minx s x= =
Solução
Teste
0 1 2
1 2
: ( ) ( ) 0
: ( ) ( ) 0a
H x x
H x x
µ µ
µ µ
− =

− >
Cálculo de tt :
2 22 2 2 2
1 2
1 2
2 2 2 22 2 2 2
1 2
1 2
1 2
0,5 1,2
60 60
: 2 2 79,56
0,5 1,2
60 60
61 611 1
s s
n n
Gl
s s
n n
n n
   
+ +   
   − = − =
       
       
       ++
+ +
GL = 79
0,025; 79 1,99t =
2 2 2 2
1 2
1 2
4,2 4
1,19
0,5 1,2
60 60
c
x x
t
s s
n n
− −
= = =
++
Como c tt t< , aceitamos a hipótese nula. Automatizar a embalagem não melhora o
tempo deste serviço.

Exercício 9
Item 8.5 – Ex. 9
Dados: x1 = variável normal, mede o nível de vendas da região com desconto
Amostra de n = 30 pontos de vendas forneceu: ( )1 1180 30x s x= =
X2 = variável normal, mede o nível de vendas da região sem desconto
Amostra de n = 30 pontos de vendas forneceu: ( )2 2170 30x s x= =
Solução
Teste 0 1 2
1 2
: ( ) ( ) 0
: ( ) ( ) 0a
H x x
H x x
µ µ
µ µ
− =

− >
Cálculo de tt :
2 22 2 2 2
1 2
1 2
2 2 2 22 2 2 2
1 2
1 2
1 2
30 30
30 30
: 2 2 60
30 30
30 30
30 1 30 11 1
s s
n n
Gl
s s
n n
n n
   
+ +   
   − = − =
       
       
       ++
+ ++ +
GL = 60
0,025; 60 2,00t =
(Tabela com p = 0,05 e GL = 60 ou INVT com Probabilidade 0,05 e
Graus_liberdade 60)
2 2 2 2
1 2
1 2
180 170
1,29
30 30
30 30
c
x x
t
s s
n n
− −
= = =
++
Como c tt t< , aceitamos a hipótese nula. Ao nível de 2,5% podemos afirmar que o
desconto não aumentou as vendas

Exercício 10
Item 8.5 – Ex. 10
Dados: x1 = variável normal, mede o volume de vendas do produto sem desconto
Amostra de n = 30 pontos de vendas forneceu: ( )1 1170 30x un s x un= =
X2 = variável normal, mede o volume de vendas após desconto
Amostra de n = 30 pneus forneceu: ( )2 2230 10x un s x un= =
Solução
Teste
0 1 2
1 2
: ( ) ( ) 0
: ( ) ( ) 0a
H x x
H x x
µ µ
µ µ
− =

− <
Cálculo de tt :
2 22 2 2 2
1 2
1 2
2 2 2 22 2 2 2
1 2
1 2
1 2
30 10
30 30
: 2 2 35,80
30 10
30 30
31 311 1
s s
n n
Gl
s s
n n
n n
   
+ +   
   − = − =
       
       
       ++
+ +
GL = 35
0,025 ; 35 2,03t = −
2 2 2 2
1 2
1 2
170 230
10,39
30 10
30 30
c
x x
t
s s
n n
− −
= = = −
++
Como c tt t< , rejeitamos a hipótese nula. As vendas aumentaram com o desconto
concedido.

Exercício 2
Item 8.6 – Ex. 2
Dados: x1 = variável binomial, mede a quantidade de homens que compram o
produto. Amostra de n = 80 homens forneceu:
28
ˆ =0,35
80
p =
X2 = variável binomial mede a quantidade de mulheres que compram o
produto. Amostra de n = 100 mulheres forneceu:
40
ˆ 0,40
100
p= =
Solução
Teste 0 1 2
1 2
: 0
: 0a
H p p
H p p
− =

− ≠
Para 0,050,10 1,64zα = = − .
1 2
1 2
ˆ ˆ
1 1
c
p p
z
pq
n n
−
=
 
+ 
 
onde 1 1 2 2
1 2
ˆ ˆ 80 0,35 100 0,40
0,38
80 100
n p n p
p
n n
+ × + ×
= = =
+ +
0,35 0,40
0,69
1 1
0,38 0,62
80 100
cz
−
= = −
 
× + 
 
Como 1,69 1,69cz− < < , aceitamos a hipótese nula. Não há diferença significativa
entre as proporções dois grupos ao nível de 10%.

Exercício 2
Item 8.6 – Ex. 2
Dados: x1 = variável binomial, mede a quantidade de deprimidos entre motoristas de
taxi. S = motorista de taxi com depressão.
Amostra de n = 20 motoristas forneceu:
10
ˆ =0,25
40
p =
X2 = variável binomial mede a quantidade de deprimidos entre pessoas pouco
expostas ao trânsito. S = pessoa com depressão
Amostra de n = 10 pessoas forneceu:
8
ˆ 0,20
40
p= =
Solução
Teste 0 1 2
1 2
: 0
: 0a
H p p
H p p
− =

− >
Para 0,030,03 1,88zα = = .
1 2
1 2
ˆ ˆ
1 1
c
p p
z
pq
n n
−
=
 
+ 
 
onde 1 1 2 2
1 2
ˆ ˆ 40 0,25 40 0,20
0,225
40 40
n p n p
p
n n
+ × + ×
= = =
+ +
0,25 0,20
0,54
1 1
0,225 0,775
40 40
cz
−
= =
 
× + 
 
Como c tz z< , aceitamos a hipótese nula. Não há diferença significativa entre as
proporções de deprimidos dos dois grupos.

Exercício 3
Item 8.6 – Ex. 3
Dados: x1 = variável binomial, mede a quantidade de indivíduos com doença pulmonar
entre fumantes. Amostra de n1 = 50 motoristas forneceu: 1
8
ˆ =0,16
50
p =
X2 = variável binomial mede a quantidade de indivíduos com doença pulmonar
entre não fumantes. Amostra de n2 = 80 pessoas forneceu: 2
6
ˆ 0,075
80
p= =
Solução
Teste 0 1 2
1 2
: 0
: 0a
H p p
H p p
− =

− >
Para 0,100,10 1,28zα = = .
1 2
1 2
ˆ ˆ
1 1
c
p p
z
pq
n n
−
=
 
+ 
 
onde 1 1 2 2
1 2
ˆ ˆ 50 0,16 80 0,075
0,11
50 80
n p n p
p
n n
+ × + ×
= = =
+ +
0,16 0,075
1,51
1 1
0,11 0,89
50 80
cz
−
= =
 
× + 
 
Como c tz z> , rejeitamos a hipótese nula. Ao nível de 10% podemos afirmar que o uso
do cigarro aumenta a incidência de doenças pulmonares.

Exercício 4
Item 8.6 – Ex. 4
Dados: x1 = variável binomial, mede a quantidade de votos no interior
S = voto favorável ao candidato
Amostra de n = 200 eleitores forneceu:
90
ˆ =0,45
200
p =
X2 = variável binomial mede a quantidade de votos na capital.
S = pessoa com depressão.
Amostra de n = 100 eleitores forneceu:
40
ˆ 0,40
100
p= =
Solução
Teste
0 1 2
1 2
: ( ) ( ) 0
: ( ) ( ) 0a
H x x
H x x
µ µ
µ µ
− =

− >
Para 0,040,04 1,75zα = = .
1 2
1 2
ˆ ˆ
1 1
c
p p
z
pq
n n
−
=
 
+ 
 
onde 1 1 2 2
1 2
ˆ ˆ 200 0,45 100 0,40
0,4333
200 100
n p n p
p
n n
+ × + ×
= = =
+ +
0,45 0,40
0,824
1 1
0,4333 0,5667
200 100
cz
−
= =
 
× + 
 
Como c tz z< , aceitamos a hipótese nula. Não há diferença significativa entre as
proporções de eleitores favoráveis ao candidato na capital e no interior.

Exercício 5
Item 8.6 – Ex. 5
Dados: x1 = variável binomial, mede a venda de apartamentos entre casados.
S = venda efetiva.
Amostra de n = 200 motoristas forneceu:
25
ˆ =0,125
200
p =
X2 = variável binomial mede a venda de apartamentos entre solteiros.
S = venda efetiva
Amostra de n = 120 pessoas forneceu:
30
ˆ 0,25
120
p= =
Solução
Teste
0 1 2
1 2
: ( ) ( ) 0
: ( ) ( ) 0a
H x x
H x x
µ µ
µ µ
− =

− <
Para 0,050,05 1,64zα = = − .
1 2
1 2
ˆ ˆ
1 1
c
p p
z
pq
n n
−
=
 
+ 
 
onde 1 1 2 2
1 2
ˆ ˆ 200 0,125 120 0,25
0,172
100 120
n p n p
p
n n
+ × + ×
= = =
+ +
0,125 0,25
2,87
1 1
0,172 0,828
200 120
cz
−
= = −
 
× + 
 
Como c tz z< ,rejeitamos a hipótese nula. A proporção de descasados que efetiva a
compra é maior.

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