1. TRẦN ÍCH THỊNH – NGÔ NHƯ KHOA
PHƯƠNG PHÁP
PHẦN TỬ HỮU HẠN
§ Lý thuyết
§ Bài tập
§ Chương trình MATLAB
HÀ NỘI 2007
i

2. TRẦN ÍCH THỊNH
NGÔ NHƯ KHOA
PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
p P
§ Lý thuyết
§ Bài tập
§ Chương trình MATLAB
HÀ NỘI 2007

3. GS, TS Trần Ích Thịnh
TS. Ngô Như Khoa
PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
Lý thuyết
Bài tập
Chương trình MATLAB
HÀ NỘI 2007

4. MỞ ĐẦU
Giáo trình Phương pháp Phần tử hữu hạn (PP PTHH) được biên soạn
dựa trên nội dung các bài giảng và kinh nghiệm giảng dạy môn học cùng tên
trong những năm gần đây cho sinh viên khoa Cơ khí, trường Đại học Bách
khoa Hà Nội và học viên cao học ngành Cơ học Kỹ thuật, trường Đại học Kỹ
thuật Công nghiệp - Đại học Thái Nguyên. Nội dung giáo trình có mục đích
trang bị cho sinh viên các ngành kỹ thuật: Công nghệ chế tạo máy, Cơ tin kỹ
thuật, Kỹ thuật hàng không, Kỹ thuật tàu thuỷ, Máy thuỷ khí, Ô tô, Động cơ,
Tạo hình biến dạng, Công nghệ chất dẻo & composite, Công nghệ & kết cấu
hàn v.v.:
- Những kiến thức cơ bản nhất của PP PTHH ứng dụng,
- Áp dụng phương pháp để giải quyết một số bài toán kỹ thuật khác
nhau,
- Nâng cao kỹ năng lập trình Matlab trên cơ sở thuật toán PTHH.
Giáo trình biên soạn gồm 13 chương.
Sau phần giới thiệu phương pháp PTHH, một số loại phần tử thực và phần
tử qui chiếu hay gặp (Chương 1), giáo trình đề cập đến một số phép tính ma
trận, phương pháp khử Gauss (Chương 2) và thuật toán xây dựng ma trận độ
cứng và véctơ lực nút chung cho kết cấu (Chương 3). Phương pháp Phần tử
hữu hạn trong bài toán một chiều chịu kéo (nén) được giới thiệu trong Chương
4 và ứng dụng vào tính toán hệ thanh phẳng (Chương 5). Tiếp theo, giáo trình
tập trung vào mô tả phần tử hữu hạn tam giác biến dạng hằng số trong bài toán
phẳng của lý thuyết đàn hồi (Chương 6) và ứng dụng vào tính toán kết cấu đối
xứng trục (Chương 7). Chương 8 giới thiệu phần tử tứ giác kèm theo khái niệm
tích phân số. Chương 9 mô tả phần tử Hermite trong bài toán tính dầm và
khung. Chương 10 trình bày phần tử hữu hạn trong bài toán dẫn nhiệt một và
hai chiều. Chương 11 xây dựng thuật toán PTHH tính tấm-vỏ chịu uốn. Phần
áp dụng phần tử hữu hạn trong tính toán vật liệu và kết cấu composite được
giới thiệu trong chương 12. Chương 13 mô tả phần tử hữu hạn trong tính toán
động lực học một số kết cấu.
i

5. Cuối mỗi chương (từ chương 4 đến chương 13) đều có chương trình
Matlab kèm theo và một lượng bài tập thích đáng để người đọc tự kiểm tra kiến
thức của mình.
Giáo trình được biên soạn bởi:
- GS. TS Trần Ích Thịnh (chủ biên): Chương 1, 3, 4, 5, 6, 8 và 9.
- TS Ngô Như Khoa: Chương 2, 7, 10, 11, 12, 13 và các chương trình
Matlab.
Giáo trình được trình bày một cách hệ thống và nhất quán từ đầu đến cuối
nhờ Nguyên lý cực tiểu hoá thế năng toàn phần. Các quan hệ được xây dựng
trong "không gian qui chiếu", do đó rất thuận lợi trong tính toán và lập trình.
Có thể dùng giáo trình này làm tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên
Cao học và nghiên cứu sinh các ngành kỹ thuật liên quan.
Rất mong nhận được những góp ý xây dựng của bạn đọc.
Tập thể tác giả
ii

6. MỤC LỤC
Chương 1
GIỚI THIỆU PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
1. Giới thiệu chung ................................................................................... 1
2. Xấp xỉ bằng phần tử hữu hạn ............................................................... 1
3. Định nghĩa hình học các phần tử hữu hạn............................................ 1
3.1. Nút hình học .................................................................................................. 1
3.2. Qui tắc chia miền thành các phần tử .............................................................. 1
4. Các dạng phần tử hữu hạn .................................................................... 2
5. Phần tử quy chiếu, phần tử thực........................................................... 3
6. Một số dạng phần tử quy chiếu ............................................................ 3
7. Lực, chuyển vị, biến dạng và ứng suất................................................. 5
8. Nguyên lý cực tiểu hoá thế năng toàn phần ......................................... 6
9. Sơ đồ tính toán bằng phương pháp phần tử hữu hạn ........................... 6
Chương 2
ĐẠI SỐ MA TRẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP KHỬ GAUSSIAN
1. Đại số ma trận ...................................................................................... 9
1.1. Véctơ.............................................................................................................. 9
1.2. Ma trận đơn vị ............................................................................................... 9
1.3. Phép cộng và phép trừ ma trận. ................................................................... 10
1.4. Nhân ma trận với hằng số ............................................................................ 10
1.5. Nhân hai ma trận.......................................................................................... 11
1.6. Chuyển vị ma trận ........................................................................................ 11
1.7. Đạo hàm và tích phân ma trận ..................................................................... 11
1.8. Định thức của ma trận.................................................................................. 12
1.9. Nghịch đảo ma trận ...................................................................................... 12
1.10. Ma trận đường chéo ................................................................................. 14
1.11. Ma trận đối xứng ..................................................................................... 14
1.12. Ma trận tam giác ...................................................................................... 14
2. Phép khử Gauss .................................................................................. 15
2.1. Mô tả ............................................................................................................ 15
2.2. Giải thuật khử Gauss tổng quát.................................................................... 16
Chương 3
THUẬT TOÁN XÂY DỰNG MA TRẬN ĐỘ CỨNG
VÀ VÉCTƠ LỰC NÚT CHUNG
1. Các ví dụ ............................................................................................ 18
1.1. Ví dụ 1 ......................................................................................................... 18
1.2. Ví dụ 2 ......................................................................................................... 20
2. Thuật toán ghép K và F ...................................................................... 22
iii

7. 2.1. Nguyên tắc chung ........................................................................................ 22
2.2. Thuật toán ghép nối phần tử: ....................................................................... 23
Chương 4
PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN MỘT CHIỀU
1. Mở đầu ............................................................................................... 25
2. Mô hình phần tử hữu hạn ................................................................... 25
3. Các hệ trục toạ độ và hàm dạng ......................................................... 26
4. Thế năng toàn phần ............................................................................ 28
5. Ma trận độ cứng phần tử .................................................................... 29
6. Qui đổi lực về nút............................................................................... 29
7. Điều kiện biên, hệ phương trình phần tử hữu hạn.............................. 31
8. Ví dụ ................................................................................................... 33
9. Chương trình tính kết cấu một chiều – 1D ......................................... 38
10. Bài tập ................................................................................................ 42
Chương 5
PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG TÍNH TOÁN HỆ THANH PHẲNG
1. Mở đầu ............................................................................................... 44
2. Hệ toạ độ địa phương, hệ toạ độ chung.............................................. 44
3. Ma trận độ cứng phần tử .................................................................... 45
4. Ứng suất ............................................................................................. 46
5. Ví dụ ................................................................................................... 46
6. Chương trình tính hệ thanh phẳng...................................................... 48
7. Bài tập ................................................................................................ 56
Chương 6
PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN HAI CHIỀU
1. Mở đầu ............................................................................................... 58
1.1. Trường hợp ứng suất phẳng ......................................................................... 59
1.2. Trường hợp biến dạng phẳng ....................................................................... 60
2. Rời rạc hoá kết cấu bằng phần tử tam giác ........................................ 60
3. Biểu diễn đẳng tham số ...................................................................... 62
4. Thế năng ............................................................................................. 65
5. Ma trận độ cứng của phần tử tam giác ............................................... 65
6. Qui đổi lực về nút............................................................................... 66
7. Ví dụ ................................................................................................... 68
8. Chương trình tính tấm chịu trạng thái ứng suất phẳng ...................... 72
9. Bài tập ................................................................................................ 82
iv

8. Chương 7
PHẦN TỬ HỮU HẠN
TRONG BÀI TOÁN ĐỐI XỨNG TRỤC CHỊU TẢI TRỌNG ĐỐI XỨNG
1. Mở đầu ............................................................................................... 85
2. Mô tả đối xứng trục ............................................................................ 85
3. Phần tử tam giác ................................................................................. 86
4. Chương trình tính kết cấu đối xứng trục ............................................ 94
5. Bài tập .............................................................................................. 101
Chương 8
PHẦN TỬ TỨ GIÁC
1. Mở đầu ............................................................................................. 104
2. Phần tử tứ giác ................................................................................. 104
3. Hàm dạng ......................................................................................... 104
4. Ma trận độ cứng của phần tử............................................................ 106
5. Qui đổi lực về nút............................................................................. 108
6. Tích phân số ..................................................................................... 108
7. Tính ứng suất.................................................................................... 112
8. Ví dụ ................................................................................................. 112
9. Chương trình .................................................................................... 114
10. Bài tập .............................................................................................. 125
Chương 9
PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG TÍNH TOÁN KẾT CẤU DẦM VÀ KHUNG
1. Giới thiệu ......................................................................................... 127
2. Thế năng ........................................................................................... 127
3. Hàm dạng Hermite ........................................................................... 128
4. Ma trận độ cứng của phần tử dầm .................................................... 129
5. Quy đổi lực nút ................................................................................ 130
6. Tính mômen uốn và lực cắt.............................................................. 132
7. Khung phẳng .................................................................................... 132
8. Ví dụ ................................................................................................. 134
9. Chương trình tính dầm chịu uốn ...................................................... 138
10. Bài tập .............................................................................................. 145
Chương 10
PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN DẪN NHIỆT
1. Giới thiệu ......................................................................................... 148
2. Bài toán dẫn nhiệt một chiều............................................................ 148
2.1. Mô tả bài toán ............................................................................................ 148
v

9. 2.2. Phần tử một chiều ...................................................................................... 148
2.3. Ví dụ .......................................................................................................... 149
3. Bài toán dẫn nhiệt hai chiều ............................................................. 151
3.1. Phương trình vi phân quá trình dẫn nhiệt hai chiều ................................... 151
3.2. Điều kiện biên ............................................................................................ 151
3.3. Phần tử tam giác ........................................................................................ 152
3.4. Xây dựng phiếm hàm................................................................................. 153
3.5. Ví dụ .......................................................................................................... 156
4. Các chương trình tính bài toán dẫn nhiệt ......................................... 158
4.1. Ví dụ 10.1 .................................................................................................. 158
4.2. Ví dụ 10.2 .................................................................................................. 162
5. Bài tập .............................................................................................. 167
Chương 11
PHẦN TỬ HỮU HẠN
TRONG TÍNH TOÁN KẾT CẤU TẤM - VỎ CHỊU UỐN
1. Giới thiệu ......................................................................................... 170
2. Lý thuyết tấm Kirchhof .................................................................... 170
3. Phần tử tấm Kirchhof chịu uốn ........................................................ 172
4. Phần tử tấm Mindlin chịu uốn.......................................................... 177
5. Phần tử vỏ ........................................................................................ 180
6. Chương trình tính tấm chịu uốn ....................................................... 182
7. Bài tập .............................................................................................. 189
Chương 12
PHẦN TỬ HỮU HẠN
TRONG TÍNH TOÁN VẬT LIỆU, KẾT CẤU COMPOSITE
1. Giới thiệu ......................................................................................... 192
2. Phân loại vật liệu Composite ........................................................... 192
3. Mô tả PTHH bài toán trong trạng thái ứng suất phẳng ................... 193
3.1. Ma trận D đối với trạng thái ứng suất phẳng ............................................. 193
3.2. Ví dụ .......................................................................................................... 195
4. Bài toán uốn tấm Composite lớp theo lý thuyết Mindlin ................. 197
4.1. Mô hình hóa vật liệu composite nhiều lớp theo lý thuyết Mindlin ............ 197
4.2. Mô hình hóa PTHH bài toán tấm composite lớp chịu uốn ........................ 201
5. Chương trình tính tấm Composite lớp chịu uốn............................... 206
6. Bài tập .............................................................................................. 220
Chương 13
PHẦN TỬ HỮU HẠN
TRONG BÀI TOÁN ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU
1. Giới thiệu ......................................................................................... 221
vi

10. 2. Mô tả bài toán .................................................................................. 221
3. Vật rắn có khối lượng phân bố ......................................................... 223
4. Ma trận khối lượng của phần tử có khối lượng phân bố .................. 224
4.1. Phần tử một chiều ...................................................................................... 224
4.2. Phần tử trong hệ thanh phẳng .................................................................... 224
4.3. Phần tử tam giác ........................................................................................ 225
4.4. Phần tử tam giác đối xứng trục .................................................................. 226
4.5. Phần tử tứ giác ........................................................................................... 227
4.6. Phần tử dầm ............................................................................................... 227
4.7. Phần tử khung ............................................................................................ 228
5. Ví dụ ................................................................................................. 228
6. Chương trình tính tần số dao động tự do của dầm và khung................... 229
6.1. Chương trình tính tần số dao động tự do của dầm ..................................... 229
6.2. Chương trình tính tần số dao động tự do của khung .................................. 233
7. Bài tập .............................................................................................. 238
TÀI LIỆU THAM KHẢO
vii

11. Chương 1
GIỚI THIỆU PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
1. GIỚI THIỆU CHUNG
Sự tiến bộ của khoa học, kỹ thuật đòi hỏi người kỹ sư thực hiện những đề án ngày càng phức tạp,
đắt tiền và đòi hỏi độ chính xác, an toàn cao.
Phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) là một phương pháp rất tổng quát và hữu hiệu cho lời giải
số nhiều lớp bài toán kỹ thuật khác nhau. Từ việc phân tích trạng thái ứng suất, biến dạng trong các kết
cấu cơ khí, các chi tiết trong ô tô, máy bay, tàu thuỷ, khung nhà cao tầng, dầm cầu, v.v, đến những bài
toán của lý thuyết trường như: lý thuyết truyền nhiệt, cơ học chất lỏng, thuỷ đàn hồi, khí đàn hồi, điện-
từ trường v.v. Với sự trợ giúp của ngành Công nghệ thông tin và hệ thống CAD, nhiều kết cấu phức
tạp cũng đã được tính toán và thiết kế chi tiết một cách dễ dàng.
Trên thế giới có nhiều phần mềm PTHH nổi tiếng như: NASTRAN, ANSYS, TITUS,
MODULEF, SAP 2000, CASTEM 2000, SAMCEF v.v.
Để có thể khai thác hiệu quả những phần mềm PTHH hiện có hoặc tự xây dựng lấy một chương
trình tính toán bằng PTHH, ta cần phải nắm được cơ sở lý thuyết, kỹ thuật mô hình hoá cũng như các
bước tính cơ bản của phương pháp.
2. XẤP XỈ BẰNG PHẦN TỬ HỮU HẠN
Giả sử V là miền xác định của một đại lượng cần khảo sát nào đó (chuyển vị, ứng suất, biến dạng,
nhiệt độ, v.v.). Ta chia V ra nhiều miền con ve có kích thước và bậc tự do hữu hạn. Đại lượng xấp xỉ
của đại lượng trên sẽ được tính trong tập hợp các miền ve.
Phương pháp xấp xỉ nhờ các miền con ve được gọi là phương pháp xấp xỉ bằng các phần tử hữu
hạn, nó có một số đặc điểm sau:
- Xấp xỉ nút trên mỗi miền con ve chỉ liên quan đến những biến nút gắn vào nút của ve và biên
của nó,
- Các hàm xấp xỉ trong mỗi miền con ve được xây dựng sao cho chúng liên tục trên ve và phải
thoả mãn các điều kiện liên tục giữa các miền con khác nhau.
- Các miền con ve được gọi là các phần tử.
3. ĐỊNH NGHĨA HÌNH HỌC CÁC PHẦN TỬ HỮU HẠN
3.1. Nút hình học
Nút hình học là tập hợp n điểm trên miền V để xác định hình học các PTHH. Chia miền V theo các
nút trên, rồi thay miền V bằng một tập hợp các phần tử ve có dạng đơn giản hơn. Mỗi phần tử ve cần
chọn sao cho nó được xác định giải tích duy nhất theo các toạ độ nút hình học của phần tử đó, có nghĩa
là các toạ độ nằm trong ve hoặc trên biên của nó.
3.2. Qui tắc chia miền thành các phần tử
Việc chia miền V thành các phần tử ve phải thoả mãn hai qui tắc sau:
1

12. - Hai phần tử khác nhau chỉ có thể có những điểm chung nằm trên biên của chúng. Điều này loại
trừ khả năng giao nhau giữa hai phần tử. Biên giới giữa các phần tử có thể là các điểm, đường
hay mặt (Hình 1.1).
- Tập hợp tất cả các phần tử ve phải tạo thành một miền càng gần với miền V cho trước càng tốt.
Tránh không được tạo lỗ hổng giữa các phần tử.
v1 v2 v2
v1 v1 v2
biên giới biên giới biên giới
Hình 1.1. Các dạng biên chung giữa các phần tử
4. CÁC DẠNG PHẦN TỬ HỮU HẠN
Có nhiều dạng phần tử hữu hạn: phần tử một chiều, hai chiều và ba chiều. Trong mỗi dạng đó, đại
lượng khảo sát có thể biến thiên bậc nhất (gọi là phần tử bậc nhất), bậc hai hoặc bậc ba v.v. Dưới đây,
chúng ta làm quen với một số dạng phần tử hữu hạn hay gặp.
Phần tử một chiều
Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba
Phần tử hai chiều
Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba
Phần tử ba chiều
Phần tử tứ diện
Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba
Phần tử lăng trụ
2

13. Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba
5. PHẦN TỬ QUY CHIẾU, PHẦN TỬ THỰC
Với mục đích đơn giản hoá việc xác định giải tích các phần tử có dạng phức tạp, chúng ta đưa vào
khái niệm phần tử qui chiếu, hay phần tử chuẩn hoá, ký hiệu là vr. Phần tử qui chiếu thường là phần
tử đơn giản, được xác định trong không gian qui chiếu mà từ đó, ta có thể biến đổi nó thành từng phần
tử thực ve nhờ một phép biến đổi hình học re. Ví dụ trong trường hợp phần tử tam giác (Hình 1.2).
y (5)
(4) v3
h
r3
v2 (3)
0,1 r2 (1)
v1
r1
vr (2)
0,0 1,0 x x
Hình 1.2. Phần tử quy chiếu và các phần tử thực tam giác
Các phép biến đổi hình học phải sinh ra các phần tử thực và phải thoả mãn các qui tắc chia phần tử
đã trình bày ở trên. Muốn vậy, mỗi phép biến đổi hình học phải được chọn sao cho có các tính chất
sau:
a. Phép biến đổi phải có tính hai chiều (song ánh) đối với mọi điểm x trong phần tử qui chiếu hoặc
trên biên; mỗi điểm của vr ứng với một và chỉ một điểm của ve và ngược lại.
b. Mỗi phần biên của phần tử qui chiếu được xác định bởi các nút hình học của biên đó ứng với phần biên của
phần tử thực được xác định bởi các nút tương ứng.
Chú ý:
- Một phần tử qui chiếu vr được biến đổi thành tất cả các phần tử thực ve cùng loại nhờ các phép
biến đổi khác nhau. Vì vậy, phần tử qui chiếu còn được gọi là phần tử bố-mẹ.
- Có thể coi phép biến đổi hình học nói trên như một phép đổi biến đơn giản.
- z (x, h) được xem như hệ toạ độ địa phương gắn với mỗi phần tử.
6. MỘT SỐ DẠNG PHẦN TỬ QUI CHIẾU
Phần tử qui chiếu một chiều
3

14. -1 0 1 x -1 0 1 x -1 -1
/2 0
1
/2 1 x
Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba
Phần tử qui chiếu hai chiều
h h h
1 1 1
1 ,2
2 /3 /3
1 ,1 /3
1 /2 /2 2 ,1
/2
v r vr 1
/3 vr /3 /3
0,0 1 x 0,0 1
/2 1 x 0,0 1
/3
2
/3 1 x
Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba
Phần tử qui chiếu ba chiều
Phần tử tứ diện
z z z
0,0,1 0,0,1 0,0,1
h vr h vr h
vr
0,0,0 0,1,0 0,1,0 0,1,0
1,0,0 1,0,0 1,0,0
x x x
Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba
Phần tử sáu mặt
4

15. z z z
0,1,1 0,1,1 0,1,1
vr vr vr
h h h
1,1,0
x x
1,1,0 1,1,0
x
Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba
7. LỰC, CHUYỂN VỊ, BIẾN DẠNG VÀ ỨNG SUẤT
Có thể chia lực tác dụng ra ba loại và ta biểu diễn chúng dưới dạng véctơ cột:
- Lực thể tích f : f = f[ fx, fy , fz]T
- Lực diện tích T : T = T[ Tx, Ty , Tz]T
- Lực tập trung Pi: Pi= Pi [ Px, Py , Pz]T
Chuyển vị của một điểm thuộc vật được ký hiệu bởi:
u = [u, v, w] T (1.1)
Các thành phần của tenxơ biến dạng được ký hiệu bởi ma trận cột:
e = [ex , ey, ez, gyz, gxz, gxy] T (1.2)
Trường hợp biến dạng bé:
T
ì ¶u ¶v ¶w ¶v ¶w ¶u ¶w ¶u ¶v ü
e =í + + + ý (1.3)
î ¶x ¶y ¶z ¶z ¶y ¶z ¶x ¶y ¶x þ
Các thành phần của tenxơ ứng suất được ký hiệu bởi ma trận cột:
s = [sx , s y, sz, s yz, s xz, s xy] T (1.4)
Với vật liệu đàn hồi tuyến tính và đẳng hướng, ta có quan hệ giữa ứng suất với biến dạng:
s=De (1.5)
Trong đó:
é1 -n n n 0 0 0 ù
ê n 1 -n n 0 0 0 ú
ê ú
E ê n n 1 -n 0 0 0 ú
D= ê ú
(1 +n )(1 - 2n ) ê 0 0 0 0 ,5 -n 0 0 ú
ê 0 0 0 0 0 ,5 -n 0 ú
ê ú
ê 0
ë 0 0 0 0 0 ,5 -n ú
û
E là môđun đàn hồi, n là hệ số Poisson của vật liệu.
5

16. 8. NGUYÊN LÝ CỰC TIỂU HOÁ THẾ NĂNG TOÀN PHẦN
Thế năng toàn phần P của một vật thể đàn hồi là tổng của năng lượng biến dạng U và công của
ngoại lực tác dụng W:
P =U+W (1.6)
Với vật thể đàn hồi tuyến tính thì năng lượng biến dạng trên một đơn vị thể tích được xác định
1
bởi: s T e
2
Do đó năng lượng biến dạng toàn phần:
1
U = òs edv
T
(1.7)
2 V
Công của ngoại lực được xác định bởi:
n
W = - ò u T FdV - ò u T TdS - å ui Pi
T
(1.8)
V S i =1
Thế năng toàn phần của vật thể đàn hồi sẽ là:
n
1
ò s T e dV - ò u T f dV - ò u T TdS - å ui Pi
T
Õ= (1.9)
2V V S i =1
Trong đó: u là véctơ chuyển vị và Pi là lực tập trung tại nút i có chuyển vị là ui
Áp dụng nguyên lý cực tiểu thế năng: Đối với một hệ bảo toàn, trong tất cả các di chuyển khả dĩ,
di chuyển thực ứng với trạng thái cân bằng sẽ làm cho thế năng đạt cực trị. Khi thế năng đạt giá trị
cực tiểu thì vật (hệ) ở trạng thái cân bằng ổn định.
9. SƠ ĐỒ TÍNH TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
Một chương trình tính bằng PTHH thường gồm các khối chính sau:
Khối 1: Đọc các dữ liệu đầu vào: Các dữ liệu này bao gồm các thông tin mô tả nút và phần tử (lưới
phần tử), các thông số cơ học của vật liệu (môđun đàn hồi, hệ số dẫn nhiệt...), các thông tin
về tải trọng tác dụng và thông tin về liên kết của kết cấu (điều kiện biên);
Khối 2: Tính toán ma trận độ cứng phần tử k và véctơ lực nút phần tử f của mỗi phần tử;
Khối 3: Xây dựng ma trận độ cứng tổng thể K và véctơ lực nút F chung cho cả hệ (ghép nối phần tử);
Khối 4: Áp đặt các điều kiện liên kết trên biên kết cấu, bằng cách biến đổi ma trận độ cứng K và vec
tơ lực nút tổng thể F;
Khối 5: Giải phương trình PTHH, xác định nghiệm của hệ là véctơ chuyển vị chung Q;
Khối 6: Tính toán các đại lượng khác (ứng suất, biến dạng, gradiên nhiệt độ, v.v.) ;
Khối 7: Tổ chức lưu trữ kết quả và in kết quả, vẽ các biểu đồ, đồ thị của các đại lượng theo yêu cầu.
Sơ đồ tính toán với các khối trên được biểu diễn như hình sau (Hình 1.3);
6

17. Đọc dữ liệu đầu vào
- Các thông số cơ học của vật liệu
- Các thông số hình học của kết cấu
- Các thông số điều khiển lưới
- Tải trọng tác dụng
- Thông tin ghép nối các phần tử
- Điều kiện biên
Tính toán ma trận độ cứng phần tử k
Tính toán véctơ lực nút phần tử f
Xây dựng ma trận độ cứng K và véctơ lực chung F
Áp đặt điều kiện biên
(Biến đổi các ma trận K và vec tơ F)
Giải hệ phương trình KQ = F
(Xác định véctơ chuyển vị nút tổng thể Q)
Tính toán các đại lượng khác
(Tính toán ứng suất, biến dạng, kiểm tra bền, v.v)
In kết quả
- In các kết quả mong muốn
- Vẽ các biểu đồ, đồ thị
Hình 1.3. Sơ đồ khối của chương trình PTHH
7

18. 8

19. Chương 2
ĐẠI SỐ MA TRẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP KHỬ GAUSSIAN
Áp dụng phương pháp PTHH trong các bài toán kỹ thuật thường liên quan đến một loạt các phép
toán trên ma trận. Vì vậy, các phép toán cơ bản trên ma trận và phương pháp khử Gaussian (Gauss) để
giải hệ phương trình tuyến tính sẽ là 2 nội dung chính được đề cập trong chương này.
1. ĐẠI SỐ MA TRẬN
Các công cụ toán học về ma trận được đề cập trong phần này là các công cụ cơ bản để giải bài
toán tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính, có dạng như sau:
a11 x1 + a12 x2 + L a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + L a2 n xn = b2
(2.1)
LLLLLLLLLLL
an1 x1 + an 2 x2 + L ann xn = bn
trong đó, x1, x2, …, xn là các nghiệm cần tìm. Hệ phương trình (2.1) có thể được biểu diễn ở dạng thu
gọn:
Ax = b (2.2)
trong đó, A là ma trận vuông có kích thước (n´ n), và x và b là các véctơ (n´1), được biển diễn như
sau:
é a11 a12 L a1n ù ì x1 ü ìb1 ü
êa a 22 L a 2n ú ïx ï ïb ï
A = ê 21 ú ï ï ï ï
êL L L Lú x = í 2ý b = í 2ý
ê ú ïMï ïMï
ë a n1 an2 L a nn û ï xn ï ïbn ï
î þ î þ
1.1. Véctơ
Một ma trận có kích thước (1 ´ n) được gọi là véctơ hàng, ma trận có kích thước (n ´ 1) được gọi
là véctơ cột. Ví dụ một véctơ hàng (1 ´ 4):
r = {2 - 2 12 6}
và véctơ cột (3 ´ 1):
ì11ü
ï ï
c=í2ý
ï34ï
î þ
1.2. Ma trận đơn vị
Ma trận đơn vị là ma trận đường chéo với các phần tử trên đường chéo chính bằng 1, ví dụ:
ì1 0 0ü
ï ï
I = í0 1 0ý
ï0 0 1ï
î þ
9

20. 1.3. Phép cộng và phép trừ ma trận.
Cho 2 ma trận A và B, cùng có kích thước là (m´ n). Tổng của chúng là 1 ma trận C = A + B và
được định nghĩa như sau:
cij = aij + bij (2.3)
Ví dụ:
é3 2 ù é - 8 5 ù é - 5 7 ù
ê5 - 1ú + ê - 1 - 2ú = ê 4 - 3ú
ë û ë û ë û
phép trừ được định nghĩa tương tự.
1.4. Nhân ma trận với hằng số
Nhân 1 ma trận A với hằng số c được định nghĩa như sau:
cA=[caij] (2.4)
Ví dụ:
é3 2 ù é300 200 ù
10 2 ê ú=ê ú
ë5 - 1û ë500 - 100û
10

21. 1.5. Nhân hai ma trận
Tích của ma trận A kích thước (m´ n) với ma trận B kích thước (n´ p) là 1 ma trận C kích thước
(m´ p), được định nghĩa như sau:
A ´ B = C (2.5)
(m´ n) (n´ p) (m´ p)
trong đó, phần tử thứ (ij) của C là (cij) được tính theo biểu thức:
n
cij = å aik bkj (2.6)
k =1
Ví dụ:
é4 5ù
é 2 8 5ù ê ú é54 70ù
ê3 1 4ú ´ ê2 5ú = ê38 36ú
ë û ê6 4ú ë û
ë û
Chú ý:
- Điều kiện để tồn tại phép nhân 2 ma trận A´B là số cột của ma trận A phải bằng số hàng của
ma trận B.
- Trong phần lớn các trường hợp, nếu tồn tại tích 2 ma trận A´B và B´A, thì tích 2 ma trận
không có tính chất giao hoán, có nghĩa là A´B ¹ B´A.
1.6. Chuyển vị ma trận
Chuyển vị của ma trận A = [aij] kích thước (m´ n) là 1 ma trận, ký hiệu là AT có kích thước là (n´
m), được tạo từ ma trận A bằng cách chuyển hàng của ma trận A thành cột của ma trận AT. Khi đó,
(AT)T = A.
Ví dụ:
é4 5ù
é4 2 6ù
A = ê2 5ú
ê ú thì: AT = ê ú
ê6 4 ú ë 5 5 4û
ë û
Chuyển vị của một tích các ma trận là tích các chuyển vị của ma trận thành phần theo thứ tự đảo
ngược, có nghĩa là:
(A´B´C)T=CT´BT´ AT. (2.7)
1.7. Đạo hàm và tích phân ma trận
Trong nhiều bài toán kỹ thuật, các phần tử của ma trận không phải là 1 hằng số, chúng là các hàm
số 1 biến hay nhiều biến. Ví dụ:
é x + 2 y 5 x 2 - xy ù
ê ú
A = ê 2+ x y ú
ê 6x x + 4y ú
ë û
Trong các trường hợp đó, các ma trận có thể được đạo hàm hay tích phân. Phép đạo hàm (hay
phép tích phân) của 1 ma trận, đơn giản là lấy đạo hàm (hay lấy tích phân) đối với mỗi phần tử của ma
trận:
11

22. d é da ( x) ù
A( x) = ê ij ú (2.8)
dx ë dx û
ò Adxdy = [ò a dxdy]
ij
(2.9)
Chúng ta sẽ sử dụng thường xuyên biểu thức (2.8) để xây dựng hệ phương trình PTHH trong các
chương sau. Xét ma trận vuông A, kích thước (n´ n) với các hệ số hằng, véctơ cột x = {x1 x2 ... xn}T
chứa các biến. Khi đó, đạo hàm của Ax theo 1 biến xp sẽ là:
d
( Ax) = a p
dx p
(2.10)
p
trong đó, a là véctơ cột và chính là cột thứ p của ma trận A.
1.8. Định thức của ma trận
Cho ma trận vuông A = [aij], kích thước (n´ n). Định thức của ma trận A được định nghĩa như sau:
det( A) = a11 det( A11 ) - a12 det( A12 ) + L (- 1) a1n det( A1n )
n +1
n (2.11)
= å (- 1) aij det( Aij )
i+ j
j =1
trong đó, Aij là ma trận kích thước (n-1´ n-1) thu được bằng cách loại đi hàng i cột j của ma trận A.
Ví dụ:
é a11 a12 L a1n ù é a22 a23 L a2 n ù
êa a22 L a2 n ú êa a33 L a3n ú
A = ê 21 ú Þ A11 = ê 32 ú
êL L L Lú êL L L Lú
ê ú ê ú
ëan1 an 2 L ann û ëan 2 an 3 L ann û
Công thức (2.11) là công thức tổng quát. Theo công thức này, định thức của ma trận vuông có kích
thước (n´ n) được xác định theo phương pháp truy hồi từ định thức các ma trận có kích thước (n-1´ n-
1). Trong đó, ma trận chỉ có 1 phần tử (1´ 1) có:
det(apq) = apq (2.12)
1.9. Nghịch đảo ma trận
Cho ma trận vuông A, nếu det(A) ¹ 0, thì A có ma trận nghịch đảo và ký hiệu là A-1. Ma trận
nghịch đảo thỏa mãn quan hệ sau:
A-1´A = A´A-1 = I (2.13)
Nếu det(A) = 0, A là ma trận suy biến và không tồn tại ma trận nghịch đảo. Nếu det(A) ¹ 0 ta gọi A
là ma trận không suy biến. Khi đó, nghịch đảo của A được xác định như sau:
adjA
A-1 =
det A
(2.14)
Trong đó, adjA là ma trận bù của A, có các phần tử a ij = (- 1) det( A ji ) và Aji là ma trận thu được từ A
i+ j
bằng cách loại đi hàng thứ j và cột thứ i.
12

23. Ví dụ:
Nghịch đảo của ma trận A kích thước (2´ 2) là:
-1
-1éa a12 ù 1 é a 22 - a12 ù
A = ê 11 =
ëa 21 a 22 ú
û det A ê- a 21
ë a11 úû
13

24. 1.10. Ma trận đường chéo
Một ma trận vuông có các phần tử bằng không ngoại trừ các phần tử trên đường chéo chính được
gọi là ma trận đường chéo. Ví dụ:
ì2 0 0 ü
ï ï
D = í0 3 0ý
ï0 0 5ï
î þ
1.11. Ma trận đối xứng
Ma trận đối xứng là một ma trận vuông có các phần tử thoả mãn điều kiện:
aij = aji (2.15a)
hay:
A = AT (2.15b)
Như vậy, ma trận đối xứng là ma trận có các phần tử đối xứng qua đường chéo chính.
Ví dụ, ma trận A sau đây là ma trận đối xứng:
é 2 - 3 11 ù
A = ê- 3 4
ê 0úú
ê 11 0 - 9ú
ë û
1.12. Ma trận tam giác
Ma trận được gọi là ma trận tam giác trên hay ma trận tam giác dưới, tương ứng là các ma trận có
tất cả các phần tử nằm dưới hay nằm trên đường chéo chính bằng không.
Ví dụ, các ma trận được minh hoạ dưới đây tương ứng là ma trận tam giác trên A và ma trận tam
giác dưới B:
é2 - 3 11 ù é2 0 0ù
A = ê0 4
ê 0úú B = ê- 3 4 0 ú
ê ú
ê0 0 - 9ú
ë û ê 11 0 - 9ú
ë û
14

25. 2. PHÉP KHỬ GAUSS
Xét hệ phương trình tuyến tính được biểu diễn ở dạng ma trận như sau:
Ax = b
trong đó, A là ma trận vuông kích thước (n´ n). Nếu detA ¹ 0, thì ta có thể thực hiện phép biến đổi
phương trình trên bằng cách nhân 2 vế với A-1 và nhận được nghiệm: x = A-1b. Tuy nhiên, trong hầu
hết các bài toán kỹ thuật, kích thước của ma trận A là rất lớn và các phần tử của A thường là số thực
với miền xác định rất rộng; do đó, việc tính toán ma trận nghịch đảo của A là rất phức tạp và dễ gặp
phải sai số do việc làm tròn trong các phép tính. Vì vậy, phương pháp khử Gauss là một công cụ rất
hữu ích cho việc giải hệ phương trình đại số tuyến tính.
2.1. Mô tả
Chúng ta sẽ bắt đầu mô tả phương pháp khử Gauss thông qua một ví dụ minh hoạ sau đây; sau đó tìm
hiểu giải thuật khử Gauss tổng quát.
Xét hệ phương trình:
x1 + 2 x 2 + 5 x3 = 1 (1)
2 x1 + 5 x2 + 3 x3 = -2 (2)
- x1 - x2 + 15 x3 = 4 (3)
Bước 1: bằng các phép biến đổi tương đương để khử x1 trong các phương trình (2) và (3), ta được hệ:
x1 + 2 x2 + 5 x3 = 1 (1)
0 x1 - x2 + 7 x3 = 4 (21)
0 x1 + x2 + 20 x3 = 5 (31)
Bước 2: khử x2 trong phương trình (31), ta được hệ:
x1 + 2 x2 + 5 x3 = 1 (1)
0 x1 - x2 + 7 x3 = 4 (21)
0 x1 + 0 x2 + 27 x3 = 9 (32)
Ở đây, ta nhận được hệ phương trình mà ma trận các hệ số lập thành ma trận tam giác trên. Từ
phương trình cuối cùng (32), ta tìm được nghiệm x3, lần lượt thế các nghiệm tìm được vào phương
1 5 8
trình trên nó, (21) và (1). Sẽ nhận được các ẩn số cần tìm như sau: x3 = ; x2 = - ; x1 = .
3 3 3
Phương pháp tìm nghiệm khi ma trận các hệ số là ma trận tam giác trên này được gọi là phương pháp
thế ngược.
Các thao tác trên có thể được biểu diễn dưới dạng ngắn gọn như sau:
é1 2 5 1 ù é1 2 5 1 ù é1 2 5 1 ù
ê2 5 3 - 2úú Þ ê0 - 1 7 4 ú Þ ê0 - 1 7 4 ú
ê ê ú ê ú
ê- 1 - 1 15 4 ú
ë û ê0 1 20 5ú
ë û ê0 0 27 9 ú
ë û
bằng phương pháp thế ngược, cuối cùng ta nhận được các nghiệm:
1 5 8
x3 = ; x2 = - ; x1 =
3 3 3
15

26. 2.2. Giải thuật khử Gauss tổng quát
Giải thuật khử Gauss tổng quát sẽ được biểu diễn thông qua các bước thực hiện đối với một hệ
phương trình tuyến tính tổng quát như sau:
é a11 a12 a13 L a1 j L a1n ù ì x1 ü ì b1 ü
êa a22 a23 L a2 j L a2 n ú ï x2 ï ïb2 ï
ê 21 úï ï ï ï
ê a31 a32 a33 L a3 j L a3n ú ï x3 ï ïb3 ï
ê úï ï ï ï
ê M M M L M L M úí M ý = í M ý (2.16)
ê ai1 ai 2 ai 3 L aij L ain ú ï xi ï ï bi ï
ê úï ï ï ï
ê M M M L M M M úï M ï ï M ï
êa
ë n1 an 2 an 3 L anj L ann ú ï xn ï ïbn ï
ûî þ î þ
Để thực hiện phương pháp khử Gauss, ta xét các thủ tục tác động đến các ma trận hệ số A và ma
trận các số hạng tự do b như sau:
é a11 a12 a13 L a1 j L a1n ù ì b1 ü
êa a22 a 23 L a2 j L a2 n ú ïb ï
ê 21 ú ï 2ï
ê a31 a32 a33 L a3 j L a3 n ú ïb3 ï
ê ú ï ï
ê M M M L M L M ú íMý (2.17)
ê ai1 ai 2 ai 3 L aij L ain ú ïb ï
ê ú ï iï
ê M M M L M M M ú ïMï
êa an 2 an3 L anj L ann ú ï ï
ë n1 û îbn þ
Bước 1. Sử dụng phương trình thứ nhất (hàng 1) để loại x1 ra khỏi các phương trình còn lại. Bước này
sẽ tác động đến các phần tử nằm trong vùng đã đánh dấu và làm cho các phần tử từ hàng 2 đến hàng
thứ n của cột 1 bằng không nhờ phép biến đổi (2.18) sau:
ì (1) ai1
ïaij = aij - a a1 j
ï 11
í (2.18)
ïb (1) = b - ai1 b ; i, j = 2,..., n
ï i
î
i
a11
1
Bước 2. Sử dụng phương trình thứ hai (hàng 2) để loại x2 ra khỏi các phương trình còn lại. Bước này
sẽ tác động đến các phần tử nằm trong vùng đã đánh dấu dưới đây và làm cho các phần tử từ hàng 3
đến hàng thứ n của cột 2 bằng không.
éa11 a12 a13 L a1 j L a1n ù ì b1 ü
ê0 a22)
(1
a23)
(1
L a21j) L a21n) ú
( ( ïb (1) ï
ê ú ï 2 ï
ê0 a32)
(1
a33)
(1
L a31j) L a31n) ú
( (
ïb31) ï
(
ê ú ï ï
ê M M M L M L M ú í M ý (2.19)
ê0 ai(1) ai(3)
1
L aij1) L ain ) ú
( (1 ïb (1) ï
ê
2
ú ï i ï
ê M M M L M M M ú ï M ï
ê0 an12)
(
an13)
(
L anj ) L ann) ú
(1 (1 ï (1) ï
ë û îbn þ
Các bước như trên sẽ được lặp lại đến khi trong vùng đánh dấu chỉ còn 1 phần tử. Một cách tổng quát,
tại bước thứ k ta có:
16

27. éa11 a12 a13 L L L a1 j L a1n ù ì b1 ü
ê0 a22)
(1
a23) L
(1
L L a21j)
(
L a21n) ú ï b21) ï
( (
ê ú ï ï
ê0 0 (2 )
a33 L L L a32j )
(
L a32 ) ú ï b33) ï
(
n
(
ê ú ï ï
ê M M M M M M M M M ú ï M ï
ï ( ï
ê0 0 ( k -1)
0 L ak +1,k +1 (k -1)
L ak +1, j L akk+-1n) ú íbkk -1) ý
(
1, +1 (2.20)
ê ú
ê M M M M M M M M M ú ï M ï
ï ï
ê0 0 (k -1)
0 L ai ,k +1 (k -1)
L ai , j L ai(,kn-1) ú ïbi(k -1) ï
ê ú
ê M M M M M M M M M ú ï M ï
ï ï
ê0 0 ( k -1)
0 L an ,k +1 (k -1)
L an, j L ank,n-1) ú ïbnk -1) ï
( (
ë û î þ
Ở bước này, các phần tử trong miền đánh dấu được tác động nhờ phép biến đổi
ì (k ) (k -1)
(k -1) - aik a (k -1) ; i, j = k + 1,..., n
ïaij = aij
a kk -1)
(k kj
ï
ï
í (2.21)
ï (k ) (k -1) - aik -1) (k -1)
(k
ïbi = bi (k bk ; i, j = k + 1,..., n
ï
î a kk -1)
Cuối cùng, sau n-1 bước như trên, chúng ta nhận được hệ (2.16) dưới dạng:
éa11 a12 a13 a14 L a1n ù ì x1 ü ì b1 ü
ê a (1)
a(1)
a(1)
L a 21n) ú ï x2 ï ï b21) ï
( (
ê 22 23 24 úï ï ï ï
ê a( 2)
a( 2)
L a32 ) ú ï x3 ï ï b3( 2) ï
(
ï ï ï ï
ê
33 34 n
( 3) ú í ý = í ( 3) ý (2.22)
ê a( 3)
44 L a 4 n ú ï x4 ï ï b4 ï
ê 0 M úï ï ï ï
ê ú ï ï ï ( n -1) ï
ê
ë ann-1) ú ï xn ï ïbn ï
(n
ûî þ î þ
Từ hệ (2.22) này, bằng phương pháp thế ngược từ dưới lên ta nhận được các nghiệm của hệ
phương trình (2.16) như sau (ở đây, để tiện theo dõi, chúng ta bỏ qua ký hiệu chỉ số trên trong các hệ
số của ma trận A và b):
n
b
bi - åa ij xj
x n = n ;K , x i = i = n - 1, n - 2 ,K ,1
j = i +1
; (2.23)
a nn a ii
17

28. Chương 3
THUẬT TOÁN XÂY DỰNG MA TRẬN ĐỘ CỨNG CHUNG
VÀ VÉCTƠ LỰC NÚT CHUNG
Việc ghép các ma trận độ cứng k và các véctơ lực f của các phần tử để tạo ra ma trận độ cứng K và
véctơ lực nút F chung cho cả hệ, từ đó thiết lập hệ phương trình PTHH là một vấn đề quan trọng.
Ta sẽ cộng các số hạng của ma trận độ cứng của mỗi phần tử vào các vị trí tương ứng của ma trận
độ cứng chung và cộng các số hạng của véctơ lực vào véctơ lực chung.
Cách dễ nhất để ghép các phần tử là gán số cho mỗi dòng và cột của ma trận độ cứng phần tử
đúng với bậc tự do của phần tử ấy, sau đó chúng ta sẽ làm việc qua các số hạng của ma trận phần tử;
tức là cộng các số hạng này vào ma trận chung mà mỗi dòng, mỗi cột cũng được gán đúng những số
trên.
Dưới đây ta sẽ xét hai ví dụ.
1. CÁC VÍ DỤ
1.1. Ví dụ 1
Một kết cấu được chia ra 8 phần tử tam giác như Hình 3.1. Mỗi phần tử có 3 nút; mỗi nút có 1 bậc
tự do (ví dụ nhiệt độ).
7 8 9
6 8 3
5 7
4 5 6
e
2 4
1 3 1 2
1 2 3
Hình 3.1
Mô tả quá trình ghép nối ma trận độ cứng chung K với giả sử chỉ xét 3 phần tử đầu tiên: 1, 2 và 3 với
các ma trận độ cứng đã biết như sau:
é7 3 1 ù é8 1 2 ù é9 4 1 ù
k 1 = ê 3 6 2 ú ; k 2 = ê1 7 3 ú ; k 3 = ê 4 6 0 ú
ê ú ê ú ê ú
ê1 2 5 ú
ë û ê2 3 4ú
ë û ê1 0 5 ú
ë û
Lời giải
1. Xây dựng bảng ghép nối phần tử (đường đến các nút ngược chiều kim đồng hồ)
Bậc tự do 1 2 3
Phần tử
1 1 2 4
2 4 2 5
3 2 3 5
18

29. 2. Xét từng phần tử
Với phần tử 1, các dòng và cột được nhận dạng như sau:
1 2 4
é7 3 1 ù 1
k = ê 3 6 2ú
1
ê ú 2
ê1 2 5 ú
ë û 4
Ma trận này được cộng vào ma trận độ cứng chung và ta sẽ được:
1 2 3 4 5 L
é7 3 0 1 0 Lù 1
ê3 6 0 2 0 Lú 2
ê ú
ê0 0 0 0 0 Lú 3
K =ê ú
ê1 2 0 5 0 Lú 4
ê0 0 0 0 0 Lú 5
ê ú
êM M M M M Mú M
Ma trận độ cứng của phần tử 2 được gán số bởi:
4 2 5
é8 1 2 ù 4
k = ê1 7 3 ú
2
ê ú 2
ê 2 3 4ú
ë û 5
Các số hạng của ma trận k2 được cộng thêm vào ma trận chung, cho ta
1 2 3 4 5 L
é7 3 0 1 0 Lù 1
ê3 6 + 7 0 2 + 1 3 Lú 2
ê ú
ê0 0 0 0 0 Lú 3
K =ê ú
ê1 2 + 1 0 5 + 8 2 Lú 4
ê0 3 0 2 4 Lú 5
ê ú
êM M M M M Mú M
Với phần tử 3:
2 3 5
é9 4 1 ù 2
k = ê4 6 0ú
3
ê ú 3
ê1 0 5 ú
ë û 5
Các số hạng của ma trận k3 được cộng tiếp vào ma trận chung ở trên, cho ta
19

30. 1 2 3 4 5 L
é7 3 0 1 0 Lù 1
ê3 13 + 9 4 3 3 +1 Lú 2
ê ú
ê0 4 6 0 0+0 Lú 3
K =ê ú
ê1 3 0 13 2 Lú 4
ê0 3 + 1 0 + 0 2 4 + 5 Lú 5
ê ú
êM M M M M Mú M
Việc cộng các véctơ lực phần tử vào véctơ lực chung được tiến hành hoàn toàn tương tự.
1.2. Ví dụ 2
Giả sử có hai phần tử 1 và 4 trong bài toán hai chiều; mỗi phần tử có 3 nút, mỗi nút có 2 bậc tự do
(Hình 3.2). Hãy mô tả quá trình ghép nối ma trận độ cứng chung K và véctơ lực nút chung, theo các
ma trận độ cứng phần tử và véctơ lực nút phần tử k1, k4, f1 và f4 cho trước như sau:
é 22 -3 -7 -4 -6 - 2ù ì3 ü
ê- 3 29 -9 -9 -1 - 7ú ï6ï
ê ú ï ï
ê- 7 -9 30 -6 -3 - 5ú ï ï
ï4 ï
k1 = ê ú; f1 =í ý
ê- 4 -9 -6 31 -4 - 8ú ï1 ï
ê- 6 -1 -3 -4 16 - 2ú ï7 ï
ê ú ï ï
ê- 2
ë -7 -5 -8 -2 24 ú
û ï5ï
î þ
é 23 -1 -6 -8 -3 - 5ù ì9 ü
ê -1 19 -2 -4 -7 - 5ú ï7 ï
ê ú ï ï
ê- 6 -2 30 -7 -8 - 7ú ï ï
ï6ï
k4 = ê ú; f4 =í ý
ê- 8 -6 -7 25 -2 - 4ú ï2 ï
ê- 3 -7 -8 -2 27 - 7ú ï4 ï
ê ú ï ï
ê- 5
ë -5 -7 -4 -7 28 ú
û ï5ï
î þ
5 6
3
4
1 2 i
2
1 2 1
Hình 3.2
Các nút của phần tử 1 là: (1, 2, 5). Bậc tự do tương ứng của phần tử là:
{q 2 i -1 q2i -1 q2 j -1 q2 j q2 k -1 q2 k } = {q1
T
q2 q3 q4 q9 q10 }
T
Các hàng và cột của ma trận độ cứng phần tử 1 được gán các số ứng với bậc tự do tương ứng của nó và
các số hạng của ma trận được cộng vào các vị trí tương ứng của ma trận độ cứng chung.
20

31. 1 2 3 4 9 10
é 22 - 3 - 7 - 4 - 6 - 2ù 1
ê- 3 29 - 9 - 9 - 1 - 7 ú 2
ê ú
ê- 7 - 9 30 - 6 - 3 - 5ú 3
k =ê
1
ú
ê- 4 - 9 - 6 31 - 4 - 8 ú 4
ê- 6 - 1 - 3 - 4 16 - 2ú 9
ê ú
ê- 2
ë - 7 - 5 - 8 - 2 24 ú 10
û
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 L
é 22 - 3 - 7 - 4 0 0 0 0 - 6 - 2 00 0 Lù 1
ê- 3 29 - 9 - 9 0 0 0 0 - 1 - 7 0 0 Lú 2
ê ú
ê- 7 - 9 30 - 6 0 0 0 0 - 3 - 5 0 0 Lú 3
ê ú
ê- 4 - 9 - 6 31 0 0 0 0 - 4 - 8 0 0 Lú 4
ê0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Lú 5
ê ú
ê0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Lú 6
K =ê 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Lú 7
ê ú
ê0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Lú 8
ê- 6 - 1 - 3 - 4 0 0 0 0 16 - 2 0 0 Lú 9
ê ú
ê- 2 - 7 - 5 - 8 0 0 0 0 - 2 24 0 0 Lú 10
ê ú
ê0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Lú 11
ê0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Lú 12
ê ú
ê M M M M M M M M M M M M Mú M
Tiến hành tương tự đối với ma trận độ cứng của phần tử 4. Các nút của phần tử 4 là: (5, 2, 6). Bậc tự
do tương ứng của phần tử là:
{q 2 i -1 q2i -1 q2 j -1 q2 j q2 k -1 q2 k } = {q9
T
q10 q3 q4 q11 q12 }
T
9 10 3 4 11 12
é 23 -1 -6 -8 -3 - 5ù 9
ê-1 19 -2 -4 -7 - 5ú 10
ê ú
ê- 6 -2 30 -7 -8 - 7ú 3
k4 = ê ú
ê- 8 -6 -7 25 -2 - 4ú 4
ê- 3 -7 -8 -2 27 - 7 ú 11
ê ú
ê- 5
ë -5 -7 -4 -7 28 ú 12
û
Các số hạng của ma trận được cộng vào các vị trí tương ứng của ma trận độ cứng chung, ta nhận được
kết quả như sau:
21

32. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 L
é 22 -3 -7 -4 0 0 0 0 -6 -2 0 0 Lù 1
ê- 3 29 -9 -9 0 0 0 0 -1 -7 0 0 Lú 2
ê ú
ê- 7 - 9 60 - 16 0 0 0 0 - 9 - 7 - 8 - 7 Lú 3
ê ú
ê- 4 - 9 - 13 56 0 0 0 0 - 12 - 14 - 2 - 4 Lú 4
ê0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Lú 5
ê ú
ê0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Lú 6
K =ê 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Lú 7
ê ú
ê0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Lú 8
ê- 6 -1 -9 - 12 0 0 0 0 39 -3 -3 -5 Lú 9
ê ú
ê- 2 -7 -7 - 12 0 0 0 0 -3 43 -7 -5 Lú 10
ê ú
ê0 0 -8 -2 0 0 0 0 -3 -7 27 - 7 Lú 11
ê0 0 -7 -4 0 0 0 0 -5 -5 - 7 28 Lú 12
ê ú
ê M M M M M M M M M M M M Mú M
Véctơ lực nút của các phần tử 1 và 4 cũng được cộng vào véctơ lực nút chung theo cách tương tự:
ì3 ü 1 ì3ü 1
ï6ï 2 ï6ï 2
ï ï ï ï
ï4 ï 3 ï10ï 3
ï ï ï ï
ì3 ü 1 ï1 ï 4 ì9 ü 9 ï3ï 4
ï6ï 2 ï0ï 5 ï7 ï 10 ï0ï 5
ï ï ï ï ï ï ï ï
ï4 ï
ï ï 3 ï0ï 6 ï6ï
ï ï 3 ï0ï 6
f1 =í ý Þ F = ï0ï 7 ; f4 =í ý Þ F =ï0ï 7
í ý í ý
ï1 ï 4
ï0ï 8 ï2 ï 4
ï0ï 8
ï7 ï 9 ï ï ï4 ï 11 ï ï
ï ï ï7 ï 9 ï ï ï16ï 9
ï5ï
î þ 10 ï ï
ï5ï
î þ 12 ï ï
ï5ï 10 ï12ï 10
ï0ï 11 ï 4 ï 11
ï ï ï ï
ï0ï 12 ï 5 ï 12
ïM ï M
î þ ïMï M
î þ
2. THUẬT TOÁN GHÉP K VÀ F
2.1. Nguyên tắc chung
Qua hai ví dụ trên ta thấy ma trận độ cứng chung K chính là tổng của các ma trận mở rộng [ke] của
các phần tử. Véctơ lực chung F cũng chính là tổng của các véctơ lực mở rộng {fe} của các phần tử:
[ ]
K = å k e ; F = å {f e } (3.1)
e e
Để chuẩn hoá các bước ghép nối, ta xây dựng bảng định vị index cho mỗi phần tử. Bảng index sẽ cho
biết vị trí của mỗi số hạng của {qn} trong {Qn}. Kích thước của bảng index là (noe ´ edof ), với edof là
ký hiệu cho số bậc tự do của phần tử và noe là ký hiệu cho tổng số phần tử.
Mỗi nút có một bậc tự do
Trở lại ví dụ 3.1, bảng index chính là bảng ghép nối phần tử ở trên.
22

33. Khi ấy: Q = {Q1 Q2 Q5 L}
T
Q3 Q4
- Với phần tử 1 (e =1)
= {Q1 Q2 Q4 }
T
q
index(1, :) = (1 2 4)
- Với phần tử 2 (e =2)
= {Q4 Q5 }
T
q Q2
index(2, :) = (4 2 5)
- Với phần tử 3 (e =3)
= {Q2 Q5 }
T
q Q3
index(3, :) = (2 3 5)
Chú ý: ký hiệu (:) trong index(e,:) chỉ các phần tử thuộc hàng e của index.
Mỗi nút có hai bậc tự do
Trở lại ví dụ 3.2 đã xét ở trên, bảng index là:
Bậc tự do 1 2 3 4 5 6
Phần tử
1 1 2 3 4 9 10
... ... ... ...
4 9 10 3 4 11 12
Khi ấy:
Q = {Q1 Q2 Q11 Q12 L}
T
Q3 Q4 Q5 Q6 Q7 Q8 Q9 Q10
- Với phần tử số 1
= {Q1 Q2 Q10 }
T
q Q3 Q4 Q9
index(1, :) = (1 2 3 4 9 10 )
- Với phần tử số 4
= {Q9 Q11 Q12 }
T
q Q10 Q3 Q4
index(4, :) = (9 10 3 4 11 12)
Với sự giúp đỡ của bảng index, mỗi số hạng kij của ma trận ke được cộng vào K IJ của [K] sao cho:
I = index(e,i), với i = 1.. sdof
J = index(e,j), với j = 1.. sdof
hoặc:
K IJ = K index ( e ,i ) index ( e , j ) + k e i j (3.2)
Tương tự, mỗi số hạng fi của {fe}được chuyển sang FI của {F} sao cho:
K I = Findex ( e ,i ) + f e i (3.3)
2.2. Thuật toán ghép nối phần tử:
Bước 1: Khởi tạo ma trận vuông [K] có kích thước (sdof ´ sdof) và véctơ cột {F} có kích thước (sdof ´
1), với các số hạng bằng không. Trong đó, sdof là ký hiệu cho tổng số bậc tự do của các nút trong toàn
hệ.
23

34. Bước 2: Với mỗi phần tử e (e = 1:noe), cộng đúng vị trí mỗi số hạng kij của của ma trận phần tử ke
vào số hạng K IJ của ma trận [K]:
K IJ = K IJ + k e i j ; i, j = 1 : edof ; I = index(e, i ), J = index(e, j ) (3.4)
Bước 3: Với mỗi phần tử e (e = 1:noe), cộng đúng vị trí mỗi số hạng fi của của véctơ lực phần tử f
vào số hạng FI của véctơ lực chung F:
FI = FI + f e i ; i = 1 : edof ; I = index(e, i ) (3.5)
Sơ đồ thuật toán được mô tả như Hình 3.3 sau:
...
K=zero(sdof,sodf);
F=zero(sdof,1);
e =1; i = 1; j = 1;
K (index (e, i ), index (e, i ) ) = K (index (e, i ), index (e, i ) ) + k e (i, j )
j = j + 1;
T
j £ edof
F
F (index(e, i ) ) = F (index(e, i ) ) + f e (i )
i = i+1;
T
i £ edof
F
e = e +1;
T
e £ noe
F
...
Hình 3.3. Sơ đồ thuật toán ghép nối phần tử
24

35. Chương 4
PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN MỘT CHIỀU
1. MỞ ĐẦU
Để giải bài toán một chiều (1D) bằng phương pháp phần tử hữu hạn, chúng ta sẽ sử dụng nguyên
lý cực tiểu hoá thế năng toàn phần và các quan hệ: quan hệ ứng suất-biến dạng, quan hệ biến dạng-
chuyển vị. Với bài toán hai chiều (2D) và ba chiều (3D), cách tiếp cận cũng tương tự.
Trong bài toán một chiều, các đại lượng: chuyển vị, biến dạng, ứng suất chỉ phụ thuộc vào biến x.
Ta biểu diễn chúng như sau:
u = u (x ); e = e ( x ); s = s (x ) (4.1)
Quan hệ giữa ứng suất với biến dạng, biến dạng với chuyển vị:
du
s = Ee ; e = (4.2)
dx
Với bài toán một chiều, vi phân thể tích dv được viết dưới dạng:
dv=Adx (4.2)
trong đó, A là diện tích mặt cắt ngang.
2. MÔ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN
Có thể chia thanh ra nhiều phần tử, mỗi phần tử có tiết diện ngang không đổi (hoặc thay đổi).
Chẳng hạn, ta chia thanh ra 5 phần tử với các nút được đánh số từ 1 đến 6, các chỉ số nút này là chỉ số
nút toàn cục (Hình 4.1a); mỗi phần tử có hai nút 1 và 2, các chỉ số nút này là chỉ số nút cục bộ (Hình
4.1b).
Trong bài toán một chiều, mỗi nút chỉ có một chuyển vị theo phương x . Vì vậy mỗi nút chỉ có một
bậc tự do, n nút có n bậc tự do.
Chuyển vị tổng thể được kí hiệu là Qi ; i = 1, n; chuyển vị địa phương của mỗi phần tử được ký
hiệu là qj; j = 1, 2
Véctơ cột Q = Qi [ ] T
được gọi là véctơ chuyển vị chung (tổng thể).
Lực nút được kí hiệu là Fi ; i = 1, n.
Véctơ cột F = Fi [ ] T
được gọi là véctơ lực nút chung (tổng thể).
1 2 3 4 5 e
1 2
x
1 2 3 4 5 6
q1 q2
Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6
Hình 4.1a. Chỉ số toàn cục Hình 4.1b. Chỉ số cục bộ
Để ghép nối các phần tử với nhau, ta sử dụng bảng ghép nối các phần tử như sau:
Bảng 3.1. Bảng ghép nối các phần tử
Phần tử Nút
Chỉ số địa phương
25