Este documento discute o cálculo da área de uma coroa circular e de uma região delimitada pelo movimento de um ponto médio de uma corda em uma circunferência. Apresenta um problema sobre um dono de cachorro treinando seu cão em uma pista circular e calcula a área da região percorrida pelo cão.

1. UAB – Universidade Aberta do Brasil
UFF - Universidade Federal Fluminense (UFF)
NTEM - Especialização em Novas Tecnologias no Ensino da Matemática (2.012)
Lante - Laboratório de Novas Tecnologias de Ensino
Sem raio ...
Sem área ...
Disciplina: Informática Educativa II
Aluno: Luiz Francisco Batista Sampaio
Tutora: Mary Jane Fernandes Sant Anna

2. Objetivos
 Conhecer as diferentes figuras derivadas de um círculo:
setor circular e segmento circular e o cálculo da área;
 Conhecer a construção de uma cora circular e o cálculo
de sua área;

3. Introdução
Quando construímos duas circunferências de raios
diferentes e que compartilham o mesmo centro, a diferença
entre as áreas denominou de coroa circular.
Para o cálculo da área de uma coroa circular de raio R e r
onde R > r, utilizamos a seguinte relação:

5. Vemos que a diferença entre o quadrados dos raios
influenciam na área da coroa circular.
Pesquise as fórmulas para o calculo da área do setor
circular e do segmento circular e note a dependência do
conhecimento do raio para o calculo da área.

6. Neste ponto temos algo para pensar: sempre que temos
um problema envolvendo o calculo da área de um
círculo, ou parte dele temos que, necessariamente,
conhecer a o raio do círculo?
Vamos resolver um problema onde utilizaremos uma
construção no software Régua e Compasso (R. e C.) para
entender oque está ocorrendo.

7. Situação Problema
O João resolve fazer uma corrida para treinar o seu cão,
numa pista circular de raio R. O cão está preso por uma
guia AB que está sempre esticada.
(a) Que tipo de curva descreve o ponto médio M da guia?
(b) Qual a área da região de cor vermelha, representada na
figura quando traçamos a curva descrita pelo ponto M?

8. Solução
(a) Que tipo de curva descreve o ponto médio M da guia?
Para auxiliar a visualização abra o software Regua e
Compasso.
 Construa um circunferência de raio qualquer. Denomine
o ponto do centro de O e o outro ponto de A. Edite esta
circunferência de forma que ela tenha a cor vermelha e
que seja preenchida.

9.  Construa um circunferência de raio qualquer. Denomine
o ponto do centro de O e o outro ponto de A. Edite esta
circunferência de forma que ela tenha a cor vermelha e
que seja preenchida;
 Crie um ponto nesta circunferência e chame de B. Crie
um segmento AB, movimente o ponto A ou o ponto B de
forma que o segmento AB seja uma corda desta
circunferência e diferente do diâmetro. Edite o segmento
AB de forma que tenha uma espessura mais grossa e que
seja na cor azul.

10.  Encontre o ponto médio M do segmento AB. Crie dois
segmentos OA, OM e OB, que é o raio R da pista, edite
estes segmentos para uma linha pontilhada.

11. Note pelo desenho que conforme João no ponto A se
movimenta o seu cão no ponto B se movimenta na mesma
velocidade para manter a guia esticada conforme a condição
do problema. Então a distância OM permanece a mesma,
descrevendo portanto uma circunferência concêntrica a
circunferência da pista.

12. (b) Qual a área da região de cor vermelha, representada na
figura quando traçamos a curva descrita pelo ponto M?
Partindo da construção realizada no item (a)
 Construa uma circunferência de centro em O e raio OM,
edite esta circunferência para que tenha preenchimento.
Observe que construímos uma coroa circular e temos que
calcular a área.

13. Do que foi descrito acima temos então dois triângulos
retângulos iguais, quando traçamos o segmento OM, o
triângulo AMO e o triângulo BMO.

17. Movimente o ponto A ou o ponto B na construção sobre a
circunferência e note o que ocorre: quanto menor a guia,
maior é a área em vermelho. Quanto maior a guia, menor é a
área em vermelho desde que AB < R, se AB = R a área é nula.
Portanto não importa se a medida da guia seja: 2m, 4m ou
1000m, segundo as condições do problema o cálculo é o
mesmo.

18. Se a constelação de Órion treinar com a constelação de Cães
de Caça numa pista circular cujo raio R seja a distância da
Terra com o centro da galáxia seguindo as condições deste
problema, ainda sim a área dependeria do comprimento da
guia.

19. Referência
DOLCE, Osvaldo. POMPEO, José Nicolau. Fundamentos
de Matemática Elementar 9 – Geometria Plana. 7º ed. São
Paulo: Editora Atual, 1.997.
PROJECTO POLYA. Probelma: Treinar o cão. Disponível
em: <
http://cmup.fc.up.pt/cmup/polya/Problema%20geometrico
%201/index.html >. Acessado em: 09 de maio de 2.012.