απαλοιφή, γενική λύση, ύπαρξη λύσης

1. Γραμμική ΄Αλγεβρα
Απαλοιφή m × n πίνακα
Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας
20 Νοεμβρίου 2013

2. Απαλοιφή m × n πίνακα
Εάν τόσο το οδηγό στοιχείο όσο και όλα τα στοιχεία κάτω
από αυτό είναι 0 τότε πήγαινε στην επόμενη στήλη
Κάτω από κάθε οδηγό έχουμε μηδέν
Κάθε οδηγός βρίσκεται στα δεξιά του οδηγού της από
πάνω γραμμής
Οι μη-μηδενικές γραμμές έρχονται πριν τις μηδενικές

3. Παράδειγμα


1 3 3 2
 2 6 9 5
−1 −3 3 0

4. Παράδειγμα




1 3 3 2
1 3 3 2
 2 6 9 5 →0 0 3 1
−1 −3 3 0
0 0 6 2

5. Παράδειγμα






1 3 3 2
1 3 3 2
1 3 3 2
 2 6 9 5 →0 0 3 1 →0 0 3 1
−1 −3 3 0
0 0 6 2
0 0 0 0

6. Ανάλυση LU m × n πίνακα
Σε κάθε m × n πίνακα A αντιστοιχεί ένας πίνακας
μετάθεσης P, ένας κάτω τριγωνικός πίνακας L με 1
στην διαγώνιο και ένας m × n κλιμακωτός πίνακας
U έτσι ώστε PA = LU.

1 3 3 2
 2 6 9 5=
−1 −3 3 0


7. Ανάλυση LU m × n πίνακα
Σε κάθε m × n πίνακα A αντιστοιχεί ένας πίνακας
μετάθεσης P, ένας κάτω τριγωνικός πίνακας L με 1
στην διαγώνιο και ένας m × n κλιμακωτός πίνακας
U έτσι ώστε PA = LU.

 
1 0 0
1 3 3 2
 2 6 9 5=  2 1 0
−1 2 1
−1 −3 3 0


8. Ανάλυση LU m × n πίνακα
Σε κάθε m × n πίνακα A αντιστοιχεί ένας πίνακας
μετάθεσης P, ένας κάτω τριγωνικός πίνακας L με 1
στην διαγώνιο και ένας m × n κλιμακωτός πίνακας
U έτσι ώστε PA = LU.


 
1 0 0
1 3 3 2
1 3 3 2
 2 6 9 5=  2 1 00 0 3 1
−1 2 1
0 0 0 0
−1 −3 3 0


9. Επίλυση ομογενούς m × n
Ax = 0 ⇒ LUx = 0 ⇒ Ux = L−1 0 ⇒ Ux = 0

10. Επίλυση ομογενούς m × n
Ax = 0 ⇒ LUx = 0 ⇒ Ux = L−1 0 ⇒ Ux = 0
 
 u
 
1 3 3 2  
0
 0 0 3 1   v  = 0
w 
0 0 0 0
0
y


11. Επίλυση ομογενούς m × n
Ax = 0 ⇒ LUx = 0 ⇒ Ux = L−1 0 ⇒ Ux = 0
 
 u
 
1 3 3 2  
0
 0 0 3 1   v  = 0
w 
0 0 0 0
0
y



−3v − y

v

x =
1 

−3y
y

12. Επίλυση ομογενούς m × n
Ax = 0 ⇒ LUx = 0 ⇒ Ux = L−1 0 ⇒ Ux = 0
 
 u
 
1 3 3 2  
0
 0 0 3 1   v  = 0
w 
0 0 0 0
0
y



 
 
−3v − y
−1
−3

 1
 0
v
 = v   + y  1
x =
1

 0
− 
−3y
3
0
y
1

13. N (A) = N (U)
Θεώρημα
Ο μηδενόχωρος ενός πίνακα A ισούται με τον μηδενόχωρο του
άνω-κλιμακωτού πίνακα U που προκύπτει απο την διαδικασία
της απαλοιφής στον A.

14. N (A) = N (U)
Θεώρημα
Ο μηδενόχωρος ενός πίνακα A ισούται με τον μηδενόχωρο του
άνω-κλιμακωτού πίνακα U που προκύπτει απο την διαδικασία
της απαλοιφής στον A.
Απόδειξη.
x ∈ N (A) ⇒ Ax = 0 ⇒ LUx = 0

15. N (A) = N (U)
Θεώρημα
Ο μηδενόχωρος ενός πίνακα A ισούται με τον μηδενόχωρο του
άνω-κλιμακωτού πίνακα U που προκύπτει απο την διαδικασία
της απαλοιφής στον A.
Απόδειξη.
x ∈ N (A) ⇒ Ax = 0 ⇒ LUx = 0 ⇒ Ux = L−1 0 ⇒ Ux = 0

16. N (A) = N (U)
Θεώρημα
Ο μηδενόχωρος ενός πίνακα A ισούται με τον μηδενόχωρο του
άνω-κλιμακωτού πίνακα U που προκύπτει απο την διαδικασία
της απαλοιφής στον A.
Απόδειξη.
x ∈ N (A) ⇒ Ax = 0 ⇒ LUx = 0 ⇒ Ux = L−1 0 ⇒ Ux = 0
⇒ x ∈ N (U).

17. N (A) = N (U)
Θεώρημα
Ο μηδενόχωρος ενός πίνακα A ισούται με τον μηδενόχωρο του
άνω-κλιμακωτού πίνακα U που προκύπτει απο την διαδικασία
της απαλοιφής στον A.
Απόδειξη.
x ∈ N (A) ⇒ Ax = 0 ⇒ LUx = 0 ⇒ Ux = L−1 0 ⇒ Ux = 0
⇒ x ∈ N (U). ΄Αρα N (A) ⊂ N (U)

18. N (A) = N (U)
Θεώρημα
Ο μηδενόχωρος ενός πίνακα A ισούται με τον μηδενόχωρο του
άνω-κλιμακωτού πίνακα U που προκύπτει απο την διαδικασία
της απαλοιφής στον A.
Απόδειξη.
x ∈ N (A) ⇒ Ax = 0 ⇒ LUx = 0 ⇒ Ux = L−1 0 ⇒ Ux = 0
⇒ x ∈ N (U). ΄Αρα N (A) ⊂ N (U)
x ∈ N (U) ⇒ Ux = 0 ⇒ LUx = 0

19. N (A) = N (U)
Θεώρημα
Ο μηδενόχωρος ενός πίνακα A ισούται με τον μηδενόχωρο του
άνω-κλιμακωτού πίνακα U που προκύπτει απο την διαδικασία
της απαλοιφής στον A.
Απόδειξη.
x ∈ N (A) ⇒ Ax = 0 ⇒ LUx = 0 ⇒ Ux = L−1 0 ⇒ Ux = 0
⇒ x ∈ N (U). ΄Αρα N (A) ⊂ N (U)
x ∈ N (U) ⇒ Ux = 0 ⇒ LUx = 0 ⇒ Ax = 0

20. N (A) = N (U)
Θεώρημα
Ο μηδενόχωρος ενός πίνακα A ισούται με τον μηδενόχωρο του
άνω-κλιμακωτού πίνακα U που προκύπτει απο την διαδικασία
της απαλοιφής στον A.
Απόδειξη.
x ∈ N (A) ⇒ Ax = 0 ⇒ LUx = 0 ⇒ Ux = L−1 0 ⇒ Ux = 0
⇒ x ∈ N (U). ΄Αρα N (A) ⊂ N (U)
x ∈ N (U) ⇒ Ux = 0 ⇒ LUx = 0 ⇒ Ax = 0
⇒ x ∈ N (A).

21. N (A) = N (U)
Θεώρημα
Ο μηδενόχωρος ενός πίνακα A ισούται με τον μηδενόχωρο του
άνω-κλιμακωτού πίνακα U που προκύπτει απο την διαδικασία
της απαλοιφής στον A.
Απόδειξη.
x ∈ N (A) ⇒ Ax = 0 ⇒ LUx = 0 ⇒ Ux = L−1 0 ⇒ Ux = 0
⇒ x ∈ N (U). ΄Αρα N (A) ⊂ N (U)
x ∈ N (U) ⇒ Ux = 0 ⇒ LUx = 0 ⇒ Ax = 0
⇒ x ∈ N (A). ΄Αρα N (U) ⊂ N (A)

22. N (A) = N (U)
Θεώρημα
Ο μηδενόχωρος ενός πίνακα A ισούται με τον μηδενόχωρο του
άνω-κλιμακωτού πίνακα U που προκύπτει απο την διαδικασία
της απαλοιφής στον A.
Απόδειξη.
x ∈ N (A) ⇒ Ax = 0 ⇒ LUx = 0 ⇒ Ux = L−1 0 ⇒ Ux = 0
⇒ x ∈ N (U). ΄Αρα N (A) ⊂ N (U)
x ∈ N (U) ⇒ Ux = 0 ⇒ LUx = 0 ⇒ Ax = 0
⇒ x ∈ N (A). ΄Αρα N (U) ⊂ N (A)

23. ΄Υπαρξη λύσης ομογενούς
Θεώρημα
Εάν το Ax = 0 έχει περισσότερους αγνώστους από εξισώσεις
(n > m) τότε έχει μια τουλάχιστον μη-τετριμμένη λύση.