7η και 8η διάλεξη - Διανύσματα, Πίνακες, Πράξεις, Ομογενή Συστήματα
1. Διανύσματα & Ευθείες
΄Αλλες πράξεις
Γραμμική ΄Αλγεβρα
Διανύσματα, Πίνακες και Πράξεις
Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας
30 Οκτωβρίου 2013
2. Διανύσματα & Ευθείες
΄Αλλες πράξεις
Διαδικαστικά
Αντί του σημερινού φροντιστηρίου θα πραγματοποιηθεί
αναπλήρωση διάλεξης.
Απο σήμερα οι (σωστές) απαντήσεις των ερωτήσεων θα
μετράνε θετικά στον τελικό βαθμό.
3. Διανύσματα & Ευθείες
΄Αλλες πράξεις
΄Ασκηση
΄Εχει το παρακάτω σύστημα λύση;
2 sin α − cos β + 3 tan γ = 3
4 sin α + 2 cos β − 2 tan γ = 10
6 sin α − 3 cos β + tan γ = 9
8. Διανύσματα & Ευθείες
΄Αλλες πράξεις
Διανύσματα
Ορισμός - Διάνυσμα είναι ένα σύνολο αριθμών
διατεταγμένων σε μια σειρά.
Συμβολισμός
x1
x
x ∈ Rn ⇒ x = 2 , xi ∈ R, i = 1, . . . , n
...
xn
Στοιχεία διανύσματος - xi είναι η i-στη
συνιστώσα του διανύσματος x.
19. Διανύσματα & Ευθείες
΄Αλλες πράξεις
Περιγραφή ευθείας
Μια ποιό βολική θεώρηση της ευθείας.
Η εξίσωση μιας γραμμής που περνά απο το σημείο p, και έχει
κατεύθυνση d, είναι
x = p + t · d,
t∈R
Πράγματι:
x
2
p
d
x1
20. Διανύσματα & Ευθείες
΄Αλλες πράξεις
Η εξίσωση μιας γραμμής που περνά απο το σημείο p, και έχει
κατεύθυνση d, είναι
x = p + 1 · d,
t=1
Πράγματι:
x
2
p+d
p
d
x1
21. Διανύσματα & Ευθείες
΄Αλλες πράξεις
Η εξίσωση μιας γραμμής που περνά απο το σημείο p, και έχει
κατεύθυνση d, είναι
x = p + −1 · d,
t = −1
Πράγματι:
x
2
p
p-d
d
x1
22. Διανύσματα & Ευθείες
΄Αλλες πράξεις
Η εξίσωση μιας γραμμής που περνά απο το σημείο p, και έχει
κατεύθυνση d, είναι
x = p + t · d,
t∈R
Πράγματι:
x
2
p
p + td
d
x1
31. Διανύσματα & Ευθείες
Ιδιότητες
∀w , x, y ∈ Rn και s, t ∈ R, έχουμε.
x +y =y +x
(x + y ) + w = x + (y + w )
z +0=0+z =z
΄Αλλες πράξεις
32. Διανύσματα & Ευθείες
Ιδιότητες
∀w , x, y ∈ Rn και s, t ∈ R, έχουμε.
x +y =y +x
(x + y ) + w = x + (y + w )
z +0=0+z =z
x + (−x) = −x + x = 0
΄Αλλες πράξεις
33. Διανύσματα & Ευθείες
Ιδιότητες
∀w , x, y ∈ Rn και s, t ∈ R, έχουμε.
x +y =y +x
(x + y ) + w = x + (y + w )
z +0=0+z =z
x + (−x) = −x + x = 0
t(x + y ) = tx + ty
΄Αλλες πράξεις
34. Διανύσματα & Ευθείες
Ιδιότητες
∀w , x, y ∈ Rn και s, t ∈ R, έχουμε.
x +y =y +x
(x + y ) + w = x + (y + w )
z +0=0+z =z
x + (−x) = −x + x = 0
t(x + y ) = tx + ty
(s + t)x = sx + tx
΄Αλλες πράξεις
35. Διανύσματα & Ευθείες
Ιδιότητες
∀w , x, y ∈ Rn και s, t ∈ R, έχουμε.
x +y =y +x
(x + y ) + w = x + (y + w )
z +0=0+z =z
x + (−x) = −x + x = 0
t(x + y ) = tx + ty
(s + t)x = sx + tx
s(tx) = (st)x
΄Αλλες πράξεις
36. Διανύσματα & Ευθείες
Ιδιότητες
∀w , x, y ∈ Rn και s, t ∈ R, έχουμε.
x +y =y +x
(x + y ) + w = x + (y + w )
z +0=0+z =z
x + (−x) = −x + x = 0
t(x + y ) = tx + ty
(s + t)x = sx + tx
s(tx) = (st)x
1x = x
΄Αλλες πράξεις
37. Διανύσματα & Ευθείες
΄Αλλες πράξεις
Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων
x, y ∈ Rn
x · y = x1y1 + x2y2 + . . . + xn yn
Προσοχή x · y ∈ R
39. Διανύσματα & Ευθείες
΄Αλλες πράξεις
Πίνακας επί διάνυσμα
Ορισμός - Γινόμενο ενός πίνακα με ένα διάνυσμα
είναι ένα άλλο διάνυσμα τα στοιχεία του οποίου
είναι το εσωτερικό γινόμενο της αντίστοιχης
γραμμής του πίνακα με το διάνυσμα.
40. Διανύσματα & Ευθείες
΄Αλλες πράξεις
Πίνακας επί διάνυσμα
Ορισμός - Γινόμενο ενός πίνακα με ένα διάνυσμα
είναι ένα άλλο διάνυσμα τα στοιχεία του οποίου
είναι το εσωτερικό γινόμενο της αντίστοιχης
γραμμής του πίνακα με το διάνυσμα. Συμβολισμός
- A ∈ Rm×n , b ∈ Rn
⇒
41. Διανύσματα & Ευθείες
΄Αλλες πράξεις
Πίνακας επί διάνυσμα
Ορισμός - Γινόμενο ενός πίνακα με ένα διάνυσμα
είναι ένα άλλο διάνυσμα τα στοιχεία του οποίου
είναι το εσωτερικό γινόμενο της αντίστοιχης
γραμμής του πίνακα με το διάνυσμα. Συμβολισμός
- A ∈ Rm×n , b ∈ Rn
a1,1 a1,2
a2,1 a2,2
⇒ Ab =
ai,1 ai,2
am,1 am,2
. . . a1,j
. . . a2,j
.
.
.
. . . ai,j
.
.
.
. . . am,j
. . . a1,n
b1
. . . a2,n b2
.
.
.
. . . ai,n bj
.
.
.
. . . am,n
bn
=
43. Διανύσματα & Ευθείες
΄Αλλες πράξεις
Πίνακας επί πίνακα
Ορισμός - Αν A ∈ Rm×n και B ∈ Rn×k τότε το γινόμενο AB
είναι ένας νέος πίνακας C ∈ Rm×k το στοιχείο ci,j του
οποίου είναι το εσωτερικό γινόμενο της i γραμμής του A με
την j στήλη του B.
44. Διανύσματα & Ευθείες
΄Αλλες πράξεις
Πίνακας επί πίνακα
Ορισμός - Αν A ∈ Rm×n και B ∈ Rn×k τότε το γινόμενο AB
είναι ένας νέος πίνακας C ∈ Rm×k το στοιχείο ci,j του
οποίου είναι το εσωτερικό γινόμενο της i γραμμής του A με
την j στήλη του B.
45. Διανύσματα & Ευθείες
΄Αλλες πράξεις
Πίνακας επί πίνακα
Ορισμός - Αν A ∈ Rm×n και B ∈ Rn×k τότε το γινόμενο AB
είναι ένας νέος πίνακας C ∈ Rm×k το στοιχείο ci,j του
οποίου είναι το εσωτερικό γινόμενο της i γραμμής του A με
την j στήλη του B.
47. Διανύσματα & Ευθείες
΄Αλλες πράξεις
Παρατηρήσεις
1
2
΄Ενα γραμμικό σύστημα μπορεί να εκφραστεί
σαν Ax = b
Εν γένει AB = BA
48. Διανύσματα & Ευθείες
΄Αλλες πράξεις
Παρατηρήσεις
1
2
3
΄Ενα γραμμικό σύστημα μπορεί να εκφραστεί
σαν Ax = b
Εν γένει AB = BA
Για να μπορέσω να πολλαπλασιάσω δύο
πίνακες πρέπει το πλήθος των στηλών του
πρώτου να είναι ίσο με το πλήθος των γραμμών
του δεύτερου.
49. Διανύσματα & Ευθείες
΄Αλλες πράξεις
Παρατηρήσεις
1
2
3
4
΄Ενα γραμμικό σύστημα μπορεί να εκφραστεί
σαν Ax = b
Εν γένει AB = BA
Για να μπορέσω να πολλαπλασιάσω δύο
πίνακες πρέπει το πλήθος των στηλών του
πρώτου να είναι ίσο με το πλήθος των γραμμών
του δεύτερου.
AI = IA = A όπου με I συμβολίζουμε τον
ταυτοτικό πίνακα.
50. Διανύσματα & Ευθείες
΄Αλλες πράξεις
Θεώρημα
Αν v είναι λύση ενός συστήματος Ax = 0 τότε και
το αv είναι λύση του ίδιου συστήματος όπου α
είναι ένας οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός.
51. Διανύσματα & Ευθείες
΄Αλλες πράξεις
Θεώρημα
Αν v είναι λύση ενός συστήματος Ax = 0 τότε και
το αv είναι λύση του ίδιου συστήματος όπου α
είναι ένας οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός.
Απόδειξη u λύση του Ax = 0
52. Διανύσματα & Ευθείες
΄Αλλες πράξεις
Θεώρημα
Αν v είναι λύση ενός συστήματος Ax = 0 τότε και
το αv είναι λύση του ίδιου συστήματος όπου α
είναι ένας οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός.
Απόδειξη u λύση του Ax = 0 ⇒ Au = 0
53. Διανύσματα & Ευθείες
΄Αλλες πράξεις
Θεώρημα
Αν v είναι λύση ενός συστήματος Ax = 0 τότε και
το αv είναι λύση του ίδιου συστήματος όπου α
είναι ένας οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός.
Απόδειξη u λύση του Ax = 0 ⇒ Au = 0 ⇒
αAu = 0
54. Διανύσματα & Ευθείες
΄Αλλες πράξεις
Θεώρημα
Αν v είναι λύση ενός συστήματος Ax = 0 τότε και
το αv είναι λύση του ίδιου συστήματος όπου α
είναι ένας οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός.
Απόδειξη u λύση του Ax = 0 ⇒ Au = 0 ⇒
αAu = 0 ⇒ Aαu = 0
55. Διανύσματα & Ευθείες
΄Αλλες πράξεις
Θεώρημα
Αν v είναι λύση ενός συστήματος Ax = 0 τότε και
το αv είναι λύση του ίδιου συστήματος όπου α
είναι ένας οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός.
Απόδειξη u λύση του Ax = 0 ⇒ Au = 0 ⇒
αAu = 0 ⇒ Aαu = 0 ⇒ A(αu) = 0
56. Διανύσματα & Ευθείες
΄Αλλες πράξεις
Θεώρημα
Αν v είναι λύση ενός συστήματος Ax = 0 τότε και
το αv είναι λύση του ίδιου συστήματος όπου α
είναι ένας οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός.
Απόδειξη u λύση του Ax = 0 ⇒ Au = 0 ⇒
αAu = 0 ⇒ Aαu = 0 ⇒ A(αu) = 0 ⇒ αu είναι
λύση του Ax = 0.
57. Διανύσματα & Ευθείες
΄Αλλες πράξεις
Ομογενή Συστήματα
΄Ενα σύστημα λέγεται ομογενές αν όλοι οι
σταθεροί όροι του (δηλαδή οι όροι του δεξιού
μέλους) είναι μηδέν.
Ορισμός
58. Διανύσματα & Ευθείες
΄Αλλες πράξεις
Ομογενή Συστήματα
΄Ενα σύστημα λέγεται ομογενές αν όλοι οι
σταθεροί όροι του (δηλαδή οι όροι του δεξιού
μέλους) είναι μηδέν.
Ορισμός
Αν ένα σύνολο διανυσμάτων είναι λύση ενός
ομογενούς συστήματος τότε και κάθε γραμμικός
συνδοιασμός τους είναι λύση του.
59. Διανύσματα & Ευθείες
΄Αλλες πράξεις
΄Ασκηση
Το γινόμενο δύο άνω τριγωνικών πινάκων είναι άνω
τριγωνικός πίνακας.
60. Διανύσματα & Ευθείες
΄Αλλες πράξεις
΄Ασκηση
Το γινόμενο δύο άνω τριγωνικών πινάκων είναι άνω
τριγωνικός πίνακας.