Αποκλειστικά από το lisari.blogspot.gr

1. Διαγώνισμα εξοικείωσης Ιανουάριος 2017 Άλγεβρα Α΄ Λυκείου Σελίδα 1 από 2
Σχολικό έτος 2016-2017
Τάξη : Α΄ Λυκείου
Μάθημα : Άλγεβρα
Διαγώνισμα εξοικείωσης περιόδου Ιανουαρίου
ΘΕΜΑ A Μονάδες 15+10=25
A1. Δίνεται η εξίσωση      2
α x β x γ 0 1 με α, β, γ και α 0 .
Αν 1 2x , x οι ρίζες της (1), να αποδείξετε ότι ισχύουν οι ισότητες :
   1 2
β
S x x
α
και   1 2
γ
P x x
α
A2. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην
κόλλα σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στον αριθμό που αντιστοιχεί
σε κάθε πρόταση
1. Αν α γ 0  τότε η εξίσωση     2
α x β x γ 0 με α, β, γ έχει δύο
ρίζες πραγματικές και άνισες.
2. Αν α 0 και θ>0 ισχύει η ισοδυναμία :     x α θ d(x, α) θ .
3. Αν  x y 0 τότε  x y 0 .
4. Για οποιουσδήποτε , , ,    με α β και γ δ ισχύει:
  α γ β δ .
5. Ισχύει 2
α α για κάθε α .
ΘΕΜΑ B Μονάδες 8+9+8=25
Στο οικόπεδο του σχήματος για την απόσταση α
σε m γνωρίζουμε ότι ισχύει: d(α,30) 5
Β1. Να αποδείξετε ότι το α έχει μήκος μεταξύ 25 και
35 μέτρων.
Β2. Διαθέτουμε συρματόπλεγμα μήκους 100 m. Μπορούμε με το
συρματόπλεγμα αυτό να περιφράξουμε το οικόπεδο;
Αιτιολογείστε την απάντησή σας .
Β3. Να γράψετε χωρίς απόλυτα την παράσταση Κ α 50 15 α    .
lisari.blogspot.gr

2. Διαγώνισμα εξοικείωσης Ιανουάριος 2017 Άλγεβρα Α΄ Λυκείου Σελίδα 2 από 2
ΘΕΜΑ Γ Μονάδες 5+5+7+8=25
Δίνεται η παράσταση : f(x) (x x 1) (x x 1)      με x 1 
Γ1. Να αποδείξετε ότι: 2
f (x) x x 1   με x 1  .
Γ2. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) 0 έχει δύο ρίζες 1 2
x , x τέτοιες ώστε
1 2
1 x 0 x    .
Γ3. Αν 2
x είναι η θετική ρίζα της εξίσωσης, να αποδείξετε ότι οι αριθμοί 2
x
και 2
x 1 είναι αντίστροφοι.
Γ4. Να γράψετε μια εξίσωση 2ου
βαθμού με ρίζες τις 1 1 2
2 x 2 x     και
2 1 2
2 x x 3     .
ΘΕΜΑ Δ Μονάδες 9+8+8=25
Δίνεται η εξίσωση
2
( α 1) x (α 1)    (1) ως προς x με παράμετρο
τον πραγματικό αριθμό α.
Δ1. Για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου α να λύσετε την εξίσωση (1).
Δ2. Να βρείτε για ποιες τιμές της παραμέτρου α η εξίσωση έχει
μοναδική λύση την x 1  .
Δ3. Να εξετάσετε αν υπάρχουν τιμές της παραμέτρου α ώστε η
εξίσωση να έχει λύση την x 1 .
Μαρούσι 16 - 01 - 2017
Οι καθηγητές Ο Διευθυντής
lisari.blogspot.gr

3. 1
ΘΕΜΑΤΑ 1ΟΥ
ΤΕΤΡΑΜΗΝΟΥ
Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΑΛΓΕΒΡΑ
ΙΔΙΩΤΙΚΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΔΟΥΚΑ
ΘΕΜΑ A Μονάδες 15+10=25
Α1. Να αποδείξετε ότι : 2 2
ημ ω συν ω 1  , ωR
Α2. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο φύλλο
απαντήσεών σας τη λέξη «Σωστό» ή «Λάθος» δίπλα στον αριθμό που αντιστοιχεί
σε κάθε πρόταση.
1. Οι αντίθετες γωνίες έχουν το ίδιο ημίτονο και αντίθετους τους άλλους
τριγωνομετρικούς αριθμούς .
2. Υπάρχει αR με
π
ημα
2

3. Η γραφική παράσταση μίας άρτιας συνάρτησης έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα
y'y
4. Aν για μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το R ισχύει, f (2) f (3) τότε η f είναι
γνησίως αύξουσα
5. Αν για μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α , υπάρχει ox A , ώστε
ox A  , τότε η f δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή .
ΘΕΜΑ Β Μονάδες 6+7+12=25
Δίνεται η συνάρτηση f(x) 8 x 8 x   
Β1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της.
Β2. Να εξετάσετε αν η συνάρτηση είναι άρτια ή περιττή.
Β3. Η γραφική παράσταση της f είναι ένα από τα παρακάτω γραφήματα.
Να επιλέξετε το σωστό, δικαιολογώντας τις σκέψεις σας και με τη βοήθειά του
να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατά της.
A B
lisari.blogspot.gr

4. 2
ΘΕΜΑ Γ Μονάδες 4+(6+9+6)=25
Έστω η συνάρτηση f(x) α β ημ(αx) ,α 0, β 0     η οποία έχει περίοδο Τ=π και
μέγιστη τιμή το 3.
Γ1. Να βρείτε τα α , β
Γ2. Για α=2 και β=1
A. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f στο διάστημα [0,π]
Β. Η ευθεία
5
y
2
 τέμνει τη γραφική παράσταση της f στο διάστημα [0,π] στα
σημεία Α , Β . Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ ( όπου Ο η αρχή των
αξόνων).
Γ. Να βρείτε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης f(x) k στο διάστημα
[0,π] για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου kR.
ΘΕΜΑ Δ Μονάδες 5+7+6+7=25
Δίνεται συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το
π
Δ 0,
2
 
   
για την οποία ισχύει
3
f(x) ημ x συνx (συνx ημx 5)      για κάθε x Δ .
Δ1.Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ
Δ2. Να δείξετε ότι f(x) 5 για κάθε x Δ
Δ3. Να υπολογίσετε τους πραγματικούς αριθμούς α,β Δ αν γνωρίζουμε ότι:
ημα ημβ
συνα συνβ 2
5

  
Γ Δ
lisari.blogspot.gr

5. Γ.ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ – Π.ΣΤΑΥΡΟΠΟΥΛΟΣ 1
Μία άσκηση – πολλοί διαφορετικοί τρόποι επίλυσης
Με αφορμή μία άσκηση του σχολικού ξεκίνησε μία συζήτηση στις τάξεις αλλά και στο
γραφείο των καθηγητών. Ο σκοπός ήταν να λύσουμε μία εξίσωση με όσους περισσότερους
τρόπους μπορούμε. Εξαντλήσαμε τις δυνατότητες της ύλης της Β’ Λυκείου, αλλά και
επεκταθήκαμε σε ύλη Γ’ Λυκείου.
Η επίλυση της εξίσωσης με διάφορες μεθόδους, αλγεβρικές αλλά και ανάλυσης βοηθά τον
μαθητή να συστηματοποιήσει τις γνώσεις του αλλά και να του επισημανθούν «λεπτά»
σημεία της μεθοδολογίας που συναντάμε σε ασκήσεις άλγεβρας και ανάλυσης Β και Γ
Λυκείου. Για αυτόν το λόγο στη συζήτηση συμμετείχαν μαθητές και των δύο τάξεων του
Λυκείου.
Το αποτέλεσμα είναι η καταγραφή δώδεκα διαφορετικών τρόπων επίλυσης της ζητούμενης
εξίσωσης. Τους τρόπους αυτούς με χαρά τους μοιραζόμαστε μαζί σας …
Γιώργος Λαγουδάκος – Παύλος Σταυρόπουλος.
Να λυθεί η εξίσωση : 1 συνx ημx ,x [0,2π)
1ος τρόπος
Έστω x 0,2π μία λύση της παραπάνω εξίσωσης . Τότε έχουμε:
2 2
2 2
2 2 2 2 2
1 συνx ημx (1 συνx) ημ x
1 συν x 2συνx ημ x
συν x ημ x συν x 2συνx ημ x 2συν x 2συνx 0
2συνx (συνx 1) 0
συνx 0 ή
x [0,2π)
συνx 1
π 3π
x ή x ή x π
2 2
Εξετάζω ποιες από αυτές τις λύσεις επαληθεύουν
την αρχική εξίσωση και τελικά καταλήγουμε στο δεχθούμε
ως λύσεις της αρχικής εξίσωσης τις
π
x , x π
2
.
Οι εξισώσεις και δεν είναι ισοδύναμες.
Αν επιλέξω να υψώσω στο τετράγωνο και τα δύο μέλη της αρχικής εξίσωσης
η νέα εξίσωση μπορεί να έχει και άλλες λύσεις .
Επομένως αφού επιλύσω την νέα εξίσωση θα πρέπει να εξετάσω ποιες
λύσεις από αυτές επαληθεύουν την αρχική εξίσωση και να απορρίψω τις
υπόλοιπες.
lisari.blogspot.gr

6. Γ.ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ – Π.ΣΤΑΥΡΟΠΟΥΛΟΣ 2
2ος
τρόπος
Επειδή 1 συνx 0 για κάθε x 0,2π ,
θα πρέπει να θέσουμε ως περιορισμό ότι και ημx 0
οπότε η λύση είναι αυτή που περιγράφεται παρακάτω :
2 2
2 2
2 2
2
1 συνx ημ x
1 συνx ημx
ημx 0
1 2συνx συν x ημ x
x 0,π
1 2συνx συν x 1 συν x
x 0,π
2συνx 2συν x 0
x 0,π
2συνx 1 συνx 0
x 0,π
συνx 0 ή συνx=-1
x 0,π
π 3π
x= ή x ή x=π ή
2 2
x 0,π
π
x ή x=π
2
Για θετικούς αριθμούς
α , β και θετικό ακέραιο ν ισχύει η ισοδυναμία :
lisari.blogspot.gr

7. Γ.ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ – Π.ΣΤΑΥΡΟΠΟΥΛΟΣ 3
3ος
τρόπος
2
2 2
1 συνx ημx 1 συνx ημx 0
(1 συνχ ημx) 0
1 συν x ημ x 2συνx 2ημx 2συνxημx 0
2 2συνx 2ημx 2συνxημx 0
1 συνx ημ
x [0,2π)
x συνxημx 0
συνx(1 ημx) (1 ημx) 0
(1 ημx) (συνx 1) 0
ημx 1 ή συνx 1
π
x ή x π
2
4ος
τρόπος
2 2
22
2 2
συν x ημ x 1
1 συνx ημx
1 συνx ημx
συν x 1 συνx 1
1 συνx ημx
συν x 1 2 συνx συν x 1
1 συνx ημx
2συνx (συνx 1) 0
1 συνx ημx
x 0,2π
συνx 0 ή συνx 1
1 συνx ημx
π
x ή x π
2
Οι εξισώσεις και είναι ισοδύναμες.
Άρα στην περίπτωση αυτή οι λύσεις που θα βρω θα είναι και οι λύσεις της
αρχικής εξίσωσης.
Αν έχουμε μία ταυτότητα που αληθεύει σε όλο το R τότε η
εξίσωση είναι ισοδύναμη με το σύστημα
lisari.blogspot.gr

8. Γ.ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ – Π.ΣΤΑΥΡΟΠΟΥΛΟΣ 4
5ος τρόπος
Αν στο προηγούμενο σύστημα θέσουμε συνx X και ημx Y τότε έχουμε ισοδύναμα
2 2 2 2
1 συνx ημx 1 X Y
ημ x συν x 1 Y X 1
H δεύτερη εξίσωση παριστάνει τον γνωστό
μας τριγωνομετρικό κύκλο και η πρώτη μία
ευθεία. Σχεδιάζουμε στο ίδιο σύστημα ευθεία
και κύκλο. Οι συντεταγμένες των σημείων
τομής ευθείας και κύκλου αποτελούν και τη
λύση του συστήματος.
Παρατηρήστε ότι τα σημεία αυτά
αντιστοιχούν στις τιμές
π
x
2
και x π
6ος τρόπος
Σχεδιάζουμε στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων τις
γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων
f(x) ημx και g(x) συνx 1 .
Οι λύσεις της εξίσωσης 1 συνx ημx ,x [0,2π)
θα αναζητηθούν ως τα κοινά σημεία των δύο γραφικών
παραστάσεων στο διάστημα [0,2π)
lisari.blogspot.gr

9. Γ.ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ – Π.ΣΤΑΥΡΟΠΟΥΛΟΣ 5
7ος τρόπος
Ισχύει ότι :
1 συνx ημx ημx συνx 1
π
ημx εφ συνx 1
4
π
ημ
4ημx συνx 1
π
συν
4
π π π
ημx συν συνx ημ συν
4 4 4
π 2
ημ(x )
4 2
x [0,2π)
π π
ημ(x ) ημ
4 4
π π π π
x 2κπ ή x 2κπ π
4 4 4 4
π
x 2κπ ή x 2κπ π
2
π
x ή x π
2
8ος τρόπος
Εκτελώντας τον προηγούμενο μετασχηματισμό
θεωρούμε την συνάρτηση :
π π π
ημ ημx συν ημ συνx
π4 4 4f (x) ημx συνx ημx συνx 2 ημ(x )
π π 4συν συν
4 4
Οι λύσεις της ζητούμενης εξίσωσης
θα προκύψουν ως σημεία τομής της
γραφικής παράστασης της f με την
ευθεία y=1.
Ισχύει ο τύπος :
lisari.blogspot.gr

10. Γ.ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ – Π.ΣΤΑΥΡΟΠΟΥΛΟΣ 6
9ος τρόπος
Γνωρίζουμε ότι 1 ημx 1 και 1 συνx 1 ή 0 1 συνx 2
Επομένως αν υπάρχει λύση x 0,2π της εξίσωσης 1 συνx ημx για αυτήν θα
πρέπει να ισχύει:
0 1 συνx ημx 1 άρα :
x [0,2π)
π 3π
x ,0 1 συνx 1 1 συνx 0 π
2 2 x ,π
0 ημx 1 0 ημx 1 2
x 0,π
Έστω
π
x ,π
2
με τελική πλευρά ΟΑ
Τότε για τα σημεία Ο , Α , Β έχουμε :
ΟΒ ΟΑ ΑΒ με την ισότητα να ισχύει
αν και μόνο αν τα σημεία Ο , Α , Β είναι συνευθειακά
Άρα : ΟΒ ΟΑ ΑΒ ημx 1 συνx
Για να ισχύει η ισότητα στην παραπάνω σχέση , πρέπει το
σημείο Α να έχει τετμημέν
π
x π ή x
2
10ος τρόπος
Όπως πριν διαπιστώνουμε ότι πρέπει
π
x ,π
2
Θεωρούμε την συνάρτηση
π
f(x) 1 συνx ημx , x ,π
2
Έχουμε διαδοχικά :
f '(x) ημx συνx και f "(x) συνx ημx 0 για κάθε
π
x ,π
2
Άρα η f ' είναι γνησίως αύξουσα με προφανή ρίζα την
3π
x
4
,οπότε
x π
2
3π
4
π
f x - +
f(x)
Η f παρουσιάζει max στα σημεία
π
x
2
και x π με
π
f f(π) 0
2
, άρα η
εξίσωση 1 συνx ημx f(x) 0 έχει μοναδικές λύσεις τις
π
x
2
και x π .
lisari.blogspot.gr

11. Γ.ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ – Π.ΣΤΑΥΡΟΠΟΥΛΟΣ 7
11ος τρόπος
Θεωρούμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης s(x) f(x) g(x) ημx συνx .
Οι λύσεις της ζητούμενης εξίσωσης προκύπτουν ως τετμημένες των σημείων τιμής
της γραφικής παράστασης της συνάρτησης y=s(x) και της ευθείας y=1, δηλαδή :
12ος τρόπος
Όπως και σε προηγούμενους τρόπους παρατηρούμε ότι η εξίσωση 1 συνx ημx ,
αν έχει λύση στο διάστημα 0,2π , αυτή θα πρέπει να περιέχεται στο
διάστημα
π
,π
2
Θεωρούμε τη συνάρτηση f x 1 συνx ημx ,
π
x ,π
2
Παρατηρούμε ότι
π
f f π 0
2
Έστω ότι η συνάρτηση f , έχει ρίζα
π
α ,π
2
Τότε από διαδοχικές εφαρμογές του θεωρήματος Rolle θα υπάρχει τουλάχιστον ένα
π
ξ ,π
2
ώστε f ξ 0
Αυτό όμως είναι άτοπο αφού f x ημx συνx 0 για κάθε
π
x ,π
2
Άρα οι μοναδικές ρίζες της εξίσωσης f(x) =0 στο διάστημα
π
,π
2
είναι οι
π
x ,x π
2
Αθήνα - Δεκέμβριος 2016
lisari.blogspot.gr