Σημειώσεις Β΄ Γυμνασίου σε word

Ανοικτό αρχείο lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Mαρία Kατιμερτζόγλου
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Αρχική επιμέλεια: Μαρία Κατιμερτζόγλου
Διορθώσεις – μορφοποιήσεις (27/12/2016): Μάκης Χατζόπουλος
2016 - 17

Α’ ΜΕΡΟΣ-ΑΛΓΕΒΡΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο
: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ
1.1 Η έννοια της μεταβλητής-Αλγεβρικές παραστάσεις
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ
1. Τι καλείται αριθμητική παράσταση και τι καλείται αλγεβρική παράσταση;
2. Τι ονομάζουμε μεταβλητή;
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Να χρησιμοποιήσετε μία μεταβλητή για να εκφράσετε με μια αλγεβρική
παράσταση τις παρακάτω φράσεις:
i. Το συνολικό ποσό που θα πληρώσουμε για να στείλουμε 10
μηνύματα από το κινητό μας αν ξέρουμε ότι το κάθε μήνυμα
κοστίζει 0.20 ευρώ.
ii. Την τελική τιμή ενός laptop αν γνωρίζουμε ότι αυτή είναι η
αναγραφόμενη συν23% Φ.Π.Α.
2. Να απλοποιήσεις τις παραστάσεις:
i. 3 2 5 7x y x y  
ii. 8 3 5 2x z x x   
iii. 7 15 26 12x y x y  
3. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις Α και Β και να υπολογίσετε την τιμή
τους όταν x=1 και y=-2:
   3 2 2 2x y x y    
2 3 4x y x y    

1.2 Εξισώσεις α βαθμού
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ
1. Τι ονομάζεται εξίσωση;
2. Πότε μία εξίσωση ονομάζεται αδύνατη και πότε ταυτότητα;
3. Ποια από τις παρακάτω εξισώσεις είναι αδύνατη, ποια είναι
ταυτότητα και ποια έχει μία λύση;
i. 2 5 2 7x x  
ii. 3 2 1 2 1x x x    
iii. 2 1 5x  
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις:
1) 8 2x x
2) 3 21 5 8x x   
3) 7 6 3 6 4y y y    
4) 3( 1) 3 2      
5) 6 3(2 1) 2 2(2 1) 1t t t t     
6) 6(2 ) 3 3 2( 4)x x    
7)
3 5 1
3
5 10
x x  
 
8)
4 3 3 10 5 1
5
2 3 5
x x x  
  
9)
1 3 2
3(2 ) 3 2
2 4
x x
x x
 
    
10)
7 1 3
2
4 2
x x
x
 
  
7 1 3 5
2
4 2 4
x x x
x
  
  
2. Να διαπιστώσετε αν η λύση της εξίσωσης
3 5 2 1 5 19
2
6 9 18
x x x  
   είναι
ταυτόχρονα λύση της εξίσωσης      2 3 3 4 3 2x x x     

3. Αν ο αριθμός 10 είναι λύση της παρακάτω εξίσωσης να βρεθεί το μ.
2 2 3( 2) ( 12)y y y     
4. Δίνεται η εξίσωση 2μx = 7 + 10x , όπου x είναι ο άγνωστος και μ
κάποιος πραγματικός αριθμός. Βρείτε το μ έτσι ώστε η εξίσωση να είναι
αδύνατη.
5. Να βρείτε τον αριθμό λ ώστε η εξίσωση
1 1 1
2 3 3
x
x
  
   να είναι
αόριστη.
1.3 Επίλυση τύπων
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Να λύσετε τους παρακάτω τύπους ως προς τη μεταβλητή που
ζητείται:
i. Εξίσωση ευθείας αx+βy=γ, ως προς y.
ii. 1 1 2 2P V P V   , ως προς 2V
iii. 2
0
1
2
S u t gt  , ως προς 0u
iv.
s
u
t
 , ως προς s.
v. P p g h   , ως προς h.
1.4 Επίλυση προβλημάτων με τη χρήση εξισώσεων
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ
1. Ποια βήματα ακολουθούμε για να λύσουμε ένα πρόβλημα με τη
βοήθεια εξισώσεων;
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Να βρείτε 3 διαδοχικούς αριθμούς που έχουν άθροισμα 12.

2. Μία βρύση μπορεί να γεμίσει μία δεξαμενή σε 8 ώρες, ενώ μία άλλη μα
γεμίσει την ίδια δεξαμενή σε 6 ώρες. Σε πόσες ώρες θα γεμίσει η δεξαμενή
αν είναι άδεια και ανοίξουμε συγχρόνως και τις 2 βρύσες;
3. Σε ένα ορθογώνιο η βάση είναι τριπλάσια από το ύψος. Αν η περίμετρος
του ορθογωνίου είναι 160m να βρείτε τις διαστάσεις του.
4. Ο Νίκος ξόδεψε το
1
3
των χρημάτων του για παντελόνι και το
1
4
των
χρημάτων του για να αγοράσει πουκάμισο. Αν ξόδεψε 30 ευρώ να βρείτε
όσα χρήματα είχε αρχικά.
1.5 Ανισώσεις α’ βαθμού
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ
1. Να γράψετε τις ιδιότητες των ανισώσεων
2. Τι ονομάζεται ανίσωση με έναν άγνωστο;
3. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ) αν είναι σωστές ή
με (Λ) αν είναι λανθασμένες.
i. Ο αριθμός -3 είναι λύση της ανίσωσης 3 1x   .
ii. Η ανίσωση 0 5x   αληθεύει για κάθε τιμή του x .
iii. Η ανίσωση 0 0x  είναι αδύνατη.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Να λυθούν οι ανισώσεις:
i.  2 4 3 4 18x x x   
ii.
3 2 4 5
6 4 3
x x 
 
iii.      3 3 2 7 4 1x x x x     
iv.
2 1 1
3 2 3
x x x
x
 
  
2. Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων:

i.
4 5 7 3
3
2 6
x x 
  και
3
3
4 2
x x
 
ii. 2 9 5 6x x   και
2 1 4 3
3 2 2 4
x x x x  
  
iii.    7 2 1 3 4x x x    και
2 10 2 3
3 6 2
x x x  
 
iv.    2 3 10 1 3 5x x     και
2 1 5 3 2
3 4 6
x x x  
 
v. 2 1
2 5
x x
   και
 3 1 3
1
4 3 2
x x
  
vi.    3 2 2 1x x x    και
3 7 3 7
5 2 2
x x x  
 
3. Να λυθεί η εξίσωση:  5 2 18x x   . Στη συνέχεια να λυθεί η ανίσωση
20
4
5 2
x x 
  και να παρασταθούν γραφικά οι λύσεις της.
Ποιοι από τους αριθμούς -2 και 20 αποτελούν λύση της ανίσωσης ή
λύση της εξίσωσης;
4. Να λυθεί η εξίσωση:
3 1 7 1
2 4
x x 
 (1).
Να λυθεί η ανίσωση
1 3 2 2 5
2 6 3
x x x  
  και να παρασταθούν γραφικά οι
λύσεις της. Η λύση της εξίσωσης (1) είναι και λύση της ανίσωσης;
5. Να βρείτε τη μικρότερη ακέραια λύση της ανίσωσης:
2
2
3
x
x

 
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1
1. Να λυθούν οι εξισώσεις.
i.
5
1
2
1

x
ii.
3
1
2


xx
iii. x
x
5
2
42



iv.
4
3
x
x 
v. )2(1)3()2(
2
1
 xxx
vi.
2
3
6
1
)3(
2
1
3
1
 xxx
vii.
7
46
2
13 

 x
x
x
2. Να βρεθούν αν υπάρχουν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων:
i.
2 1
1
3
x
x

  και
1 1 1
2 3 6
x x 
  
ii. 9 4(3 1) 10 ( 1)x x x x     και
1 2 1 1 2
5
3 2 2 6
   
     
 
x x x
x
iii. 3 6 0x   και 2 1 5 4x x  
iv.
3( 1) 5 2
1
2 2 3
x x
x
 
    και
 
 
1 2 1 2
1
2 3
x x
x
      
3. Να βρείτε τις λύσεις της παρακάτω ανίσωσης:
3 1 9
3 1
2 3
x x
x
 
  
4. Για ποιες τιμές του θετικού αριθμού α, έχουμε ότι ο αριθμός
Β=2(α-1)+8 είναι αρνητικός;
5. Αν ο αριθμός -2 είναι ρίζα της εξίσωσης 1
2
x
ax   ,να αποδείξετε ότι
α=0. Στη συνέχεια για α=0 να λύσετε την εξίσωση
2 3 1
1
3 6
x x
ax x
 
    .
6. Μία ομάδα κυνηγών μαζί με τα σκυλιά τους είναι 12. Τα πόδια τους
είναι 38. Πόσοι είναι οι κυνηγοί και πόσα τα σκυλιά;

7. Να βρείτε τις τιμές του α έτσι ώστε η ρίζα της εξίσωσης 3 2x a x   ,
να είναι μεγαλύτερη του 5.
8. Έστω η εξίσωση 1
2
x
x



  
i. Να λύσετε την εξίσωση.
ii. Αν x<1 να βρείτε τις τιμές του λ.
9. Αν 1 5( 2) 3x x     και 3 2( 5) 1x x      να λύσετε τις εξισώσεις:
i.   
ii. 2 0 
iii. 3 1  
10. Να λύσετε τις εξισώσεις:
i.
2 1
6
4 3 2
   
  
ii.
3 4 2
2 2
x x
x
 
 
iii.
2 4
3 12 4
x x x 
 

–ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
2.1 Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ
1. Τι ονομάζεται τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού;
2. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ) αν είναι σωστές ή με
(Λ) αν είναι λανθασμένες.
1. 25 5 Σ Λ
2. 4 2  Σ Λ
3. 81 9   Σ Λ
4. 16 8 Σ Λ
5.  
2
4 4 Σ Λ
6.  
2
5 5  
Σ Λ
7. 2
  , για οποιαδήποτε τιμή του α Σ Λ
8. 0 0 Σ Λ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων:
i. 7 4  
ii. 26 81  
iii. 70 31 25   
iv. 17 4 3 1   
v. 2 2
121 5 ( 13)    
2. Να υπολογίσετε τις επόμενες τετραγωνικές ρίζες:

i. 2 2
15 6
ii. 25 81
iii.
2
2
3
 
 
 
iv.
121
225
2.2 Άρρητοι αριθμοί-Πραγματικοί αριθμοί
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ
1. Πότε ένας αριθμός ονομάζεται άρρητος;
2. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται πραγματικοί;
3. Τι ονομάζουμε ευθεία των πραγματικών αριθμών;
4. Ποιοι από τους παρακάτω αριθμούς είναι ρητοί και ποιοί είναι άρρητοι;
5,2822882
5,2822882822...
9
2
16
25
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Να λύσετε τις εξισώσεις:
i. 2
3x 
ii. 2
5x  
iii. 2
17x 

iv.
2
6
3
x

v. 2
49x 
2. Να τοποθετήσετε πάνω στον άξονα των πραγματικών αριθμών τους
παρακάτω αριθμούς:
-12, -3,-0.1, 12 , 16 , 5 ,  
2
2
2.3 Προβλήματα
1. Να βρείτε την πλευρά α του ισόπλευρου τριγώνου του παρακάτω
σχήματος αν γνωρίζετε ότι 2 3  :
2. α. Να δείξετε ότι το ύψος ενός ισόπλευρου τριγώνου με πλευρά α
είναι:
3
2

  .
β. Να βρείτε το εμβαδόν του ισόπλευρου τριγώνου με πλευρά
α=4cm.

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
3.1 Η έννοια της συνάρτησης
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ
1. Τι ονομάζεται συνάρτηση;
2.Τι ονομάζεται πίνακας τιμών συνάρτησης;
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Δίνεται η συνάρτηση 3 2y x  . Να συμπληρώσετε τους πίνακες τιμών.
x 5
y 4 -14
x -3 -1 0
y
2. Να εξετάσετε αν οι παρακάτω πίνακες είναι πίνακες τιμών της
συνάρτησης 2
1y x  .
x 0 3
y -1 8
x -2 1
y 3 2
3. Ο παρακάτω πίνακας είναι πίνακας τιμών της συνάρτησης y ax   . Να
βρείτε τη συνάρτηση.
x 0 1
y 2 5

3.2 Καρτεσιανές συντεταγμένες-Γραφική παράσταση συνάρτησης
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ
1. Τι ονομάζεται ορθοκανονικό σύστημα αξόνων;
2. Ποιος τύπος δίνει την απόσταση δύο σημείων;
3. τι ονομάζουμε γραφική παράσταση μιας συνάρτησης;
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Να βρεις τις συντεταγμένες των παρακάτω σημείων αφού πρώτα τα
ονομάσεις:
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
2. Να αριθμήσετε το παρακάτω σύστημα συντεταγμένων και να
σημειώσετε τα παρακάτω σημεία:
i. Α(0,1)
ii. Β(-2,0)
iii. Γ(0,-3)
iv. Δ(5,0)
v. Ε(2,5)
vi. ΣΤ(4,-6)
vii. Ζ(-2,1)
viii. Η(-3,-7)
x
y

3. Να βρείτε τις τιμές του x ώστε το σημείο  3 5,1 2  x x να βρίσκεται:
i. Στον άξονα x’x.
ii. Στον άξονα y’y.
iii. Πάνω από τον άξονα x’x.
iv. Πάνω από τον άξονα y’y.
4. Να βρείτε τις τιμές των x και y ώστε τα σημεία Α και Β να έχουν την ίδια
τετμημένη και το σημείο  ,2 x x y να βρίσκεται πάνω από το σημείο
 2 1, x y .
5. Σε τετραγωνισμένο χαρτί να βρείτε το συμμετρικό του σημείου  3,2  ως
προς:
i. Τον άξονα x’x.
ii. Τον άξονα y’y.
iii. Την αρχή των αξόνων
6. Να βρείτε τις αποστάσεις των παρακάτω σημείων:
i.    5,7 2,3 
ii.    7,3 5, 2   
iii.    5, 7 0, 5   
7. Αν το σημείο  3,15  βρίσκεται στη γραφική παράσταση της
συνάρτησης 2
3 y ax να βρείτε την τιμή του .
8. Να βρείτε την τιμή του  έτσι ώστε το σημείο  3 2, 1    να
βρίσκεται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης 5 3 y x .
9. Αν τα σημεία  0,3 και  2,1  βρίσκονται στη γραφική παράσταση της
συνάρτησης  y ax  να βρείτε τα  και .
10. Να βρείτε την περιοχή του επιπέδου ενός συστήματος αξόνων η οποία
αποτελείται από τα σημεία  ,   που έχουν:

i. 0
ii. 0
iii. 0
iv. 0
v. 0
vi. 0
vii. 0
viii. 2
11. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές      2,3 , 5, 1 2,6     . Να εξετάσετε
αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές.
3.3 Η συνάρτηση y=αx
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ
1. Τι ονομάζεται γραφική παράσταση της συνάρτησης y=αx;
2. Τι ονομάζεται κλίση της ευθείας y=αx;
3. Πότε δύο ποσά λέγονται ανάλογα ; Με ποια συνάρτηση εκφράζονται
δύο ανάλογα ποσά και ποια είναι τα χαρακτηριστικά γνωρίσματα
αυτής της συνάρτησης;
4. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιμών της 3y x :
x 1 3 0
y 6
5. Να εξετάσετε σε ποιόν από τους παρακάτω πίνακες τα ποσά x και y
είναι ανάλογα

ΠΙΝΑΚΑΣ Α
x 3 5 7,5
y 5 3 2
ΠΙΝΑΚΑΣ Β
x 9 15 27
y 3 5 9
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Δίνεται ο παρακάτω πίνακας τιμών δύο ποσών x,y.
i. Να αποδείξετε ότι τα ποσά είναι ανάλογα
ii. Να εκφράσετε το y συναρτήσει του x.
x 1 1,3 2,4 3,7
y 3 3,9 7,2 11,1
2. Nα παραστήσετε γραφικά τις ευθείες:
i. 2y x
ii.
3
5
y x 
iii. 3y x 
3. Μία ευθεία διέρχεται από την αρχή των αξόνων και από το σημείο
 3,3 .
i. Να βρείτε τη συνάρτηση που έχει ως γραφική παράσταση την ευθεία
αυτή.
ii. Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει η παραπάνω ευθεία με τον άξονα
x’x

4. Ένα κατάστημα ρούχων κάνει έκπτωση 40% σε όλα του τα είδη.
i. Αν ονομάσουμε x την κανονική τιμή ενός είδους πριν την έκπτωση και
y την μειωμένη τιμή του είδους αυτού μετά την έκπτωση να
συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα με τις τιμές διαφόρων ειδών.
παντελόνι πουκάμισο Φουστάνι μπλούζα παπούτσια παλτό
x παλιά
τιμή
50€ 30€ 70€ 20€ 40€ 100€
y
έκπτωση
ii. Να εκφράσετε το y συναρτήσει του x.
iii. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης που βρήκατε
στο προηγούμενο ερώτημα.
5. Στο παρακάτω σχήμα δίνονται οι ευθείες 1 2 3, 4, ,    . Να αντιστοιχίσετε σε
καθεμία την εξίσωσή της.
1 3y x
2 2y x 
3 0,4y x
4 1
2
y x 
1,3y x 

3.4 Η συνάρτηση y ax  
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ
1. Τι γνωρίζετε για τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y ax   με
0  .
2. Τι ονομάζεται κλίση της ευθείας y ax   ;
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της ευθείας 2 3y x  .
2. Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση 2 1y x  όταν 1x  .

3. Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση 3 2y x  όταν 1 2x  .
4. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης (3 1) 2y a x   διέρχεται από
το σημείο Α(-2,2)
i. Να υπολογίσετε το α
ii. Να συμπληρώσετε τον πίνακα
x -2 -2 0 1 2
y

iii. Να κάνετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης.
5. Ο μισθός ενός υπαλλήλου αυξήθηκε κατά 10%.
i. Να εκφράσετε τις νέες αποδοχές του υπαλλήλου σαν
συνάρτηση των προηγούμενων αποδοχών του.
ii. Αν οι νέες μηνιαίες αποδοχές του είναι 1300€ να βρείτε τις
προηγούμενες αποδοχές του.
6. α) Να σχεδιάσετε την ευθεία 2y x  , αν γνωρίζετε ότι το σημείο
Α(-7,-12) ανήκει στην ευθεία αυτή.
β) Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω ευθείες είναι παράλληλες χωρίς
να τις σχεδιάσετε και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας:
i.
1
1
2
y x 
ii. 3 2y x 
iii. 0,5y x
iv. 3y x 
v. 3 2y x 
7. Δίνεται η συνάρτηση ( ) 2 5f x x  .
i. Να υπολογίσετε την παράσταση ( ) ( 2) (2 1)A x f x f x   
ii. Να λύσετε την εξίσωση ( ) 0A x 
8. Δίνεται η ευθεία (ε) με εξίσωση (2 1) 3 2y x     . Αν γνωρίζουμε
ότι είναι παράλληλη στην ευθεία με εξίσωση 5 7y x   και περνάει
από το σημείο Β(-1,6) να βρείτε τους αριθμούς λ,μ.
9. Να βρείτε τα σημεία της ευθείας ε: 5 4y x  που βρίσκονται:
i. Κάτω από τον άξονα x’x
ii. Από τον άξονα x’x και πάνω

3.5 Η συνάρτηση
a
y
x
 - Η υπερβολή
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ
1. Πότε δύο ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα; Να δώσετε
παραδείγματα αντιστρόφως ανάλογων ποσών.
2. Τι γνωρίζετε για τη γραφική παράσταση της συνάρτησης
a
y
x
 ;
3. Δίνεται ο πίνακας
x 3 6 8 12
y 8 4 3 2
Είναι τα ποσά x και y αντιστρόφως ανάλογα; Να δικαιολογήσετε την
απάντησή σας.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης:
i.
4
y
x

ii.
2
y
x
 
iii.
0,5
y
x

2. Να βρείτε τις τιμές του λ έτσι ώστε η γραφική παράσταση της
συνάρτησης
3 2
y
x
 
 να βρίσκεται στο 2ο
και στο 4ο
τεταρτημόριο.
3. Ένα αυτοκίνητο διανύει μία απόσταση 400km σε 6 ώρες. Πόσο
πρέπει να αυξήσει την ταχύτητα του ώστε να διανύσει την ίδια
απόσταση σε 5 ώρες;

4. Στο παρακάτω σχήμα έχουμε τον έναν κλάδο της υπερβολής
a
y
x

i. Να βρείτε την τιμή του α.
ii. Για το α που βρήκατε παραπάνω να κάνετε τη γραφική
παράσταση της
a
y
x


Ανοικτό αρχείο lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Μαρία Κατιμερτζόγλου
Β΄ΜΕΡΟΣ: ΓΕΩΜΕΤΡΑ Β΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
: ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ-ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ
ΘΕΩΡΗΜΑ
1.1 Εμβαδόν επίπεδης επιφάνειας
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ
1. Τι ονομάζεται εμβαδόν επίπεδης επιφάνειας?
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του παρακάτω σχήματος χρησιμοποιώντας
ως μονάδα μέτρησης εμβαδού:
Α. Β.

1.2 Μονάδες μέτρησης επιφανειών
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ
1. Ποιές είναι οι μονάδες μέτρησης εμβαδού;
2. Να συμπλρώσετε τα παρακάτω κενά:
Για να μεταρέψουμε ένα εμβαδόν:
i. Από 2
m σε 2
cm , πολλαπλασιάζουμε με ........................ .
ii. Από 2
dm σε 2
mm , ........................ με ........................ .
iii. Από 2
cm σε 2
m , ....................... με ............................ .
iv. Από ...... σε 2
m , πολλαπλασιάζουμε με το 100.
v. Από 2
mm σε ............ , διαιρούμε με 10.000.
vi. Από ..... σε 2
m , πολλαπλασιάζουμε με 1.000.000 .
vii. Από 2
km σε ....... , πολλαπλασιάζουμε με 1000.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα:
2
Km 2
m 2
dm 2
cm 2
mm στρέμμα
2,03
2,36
3,4
523,4
0,034
213
0,03
2. Να βάλετε σε αύξουσα σειρά τα εμβαδά:
2
13.000cm , 2
123dm , 2
1,2m , 3,5 στρέμματα, 2
2.500m .

1.3 Εμβαδά επίπεδων σχημάτων
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ
1. Να γράψετε με τι ισούται:
i. Το εμβαδόν τετραγώνου πλευράς α.
ii. Το εμβαδόν ορθογωνίου.
iii. Το εμβαδόν παραλληλογράμμου.
iv. Το εμβαδόν τριγώνου.
v. Το εμβαδόν τραπεζίου.
2. Να συμπληρώσετε τα κενά που υπάρχουν στις παρακάτω προτάσεις :
i. Το εμβαδόν ενός τυχαίου παραλληλογράμμου του οποίου η μια πλευρά
είναι ίση με α είναι ίσο με …….. .
ii. Το εμβαδόν ενός τραπεζίου είναι ίσο με …………………………..
………………………………
3. Στις παρακάτω ερωτήσεις να επιλέξετε τη σωστή απάντηση:
A B Γ
Α) το εμβαδό ενός ευθύγραμμου
σχήματος είναι πάντα:
Θετικός
αριθμός
Αρνητικός
αριθμός
Είτε θετικός είτε
αρνητικός αριθμός
Β) Ένα τετράγωνο έχει εμβαδό
2
16cm . Η πλευρά του α έχει
μήκος:
α=8cm α=4cm Χρειάζομαι
επιπλέον στοιχεία
για να βρω το α.
Γ) Το εμβαδό τραπεζίου με
μεγάλη βάση Β=12 , μικρή βάση
β=8 και ύψος υ=5 είναι:
E=12 E=10 E=50
Δ) Ο τύπος του εμβαδού
τριγώνου αν λυθεί ως προς ύψος
δίνει:
υ=2Εβ
υ=

2
υ=

2

ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Οι πλευρές ενός ορθογωνίου είναι 5cm και 12cm. Να βρείτε το εμβαδόν
του.
2. Να βρεθεί το εμβαδό τετραγώνου πλευράς 6cm.
3. Σε ένα τραπέζιο η μεγάλη βάση έχει μήκος 8cm και η μικρή βάση έχει
μήκος 4 cm . Το ύψος του είναι 1cm. Να βρείτε το εμβαδό του.
4. Να βρείτε το εμβαδό ορθογωνίου τριγώνου με κάθετες πλευρές 12cm και 5
cm.
5. Να βρείτε το εμβαδό τριγώνου με βάση 12cm και αντίστοιχο προς αυτήν
ύψος 5 cm.
6. Ένα τρίγωνο έχει μία πλευρά ίση με 8cm και το αντίστοιχο ύψος είναι το
1
4
της πλευράς αυτής. Να βρεθεί το εμβαδόν του.
7. Ένα ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο έχει εμβαδό 16cm2
. Να βρείτε το
μήκος των κάθετων πλευρών του.
8. Σε τραπέζιο ΑΒΓΔ ισχύει ότι ΑΒ=8 και ΓΔ=4. Επιπλέον ισχύει ότι το
εμβαδόν του είναι 24cm2
. Να βρεθεί το ύψος του.
9. Ένα χωράφι σχήματος ορθογωνίου έχει περίμετρο 18 cm. Η μία του
πλευρά είναι διπλάσια της άλλης. Να βρείτε το εμβαδόν του, καθώς και το
μήκος της κάθε πλευράς.
1.4 Πυθαγόρειο θεώρημα
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ
1. Να διατυπώσετε το πυθαγόρειο θεώρημα κάνοντας και ένα σχήμα .
2. Να διατυπώσετε το το αντίστροφο του Πυθαγορείου θεωρήματος. Στη
συνέχεια να εξετάσετε αν ένα τρίγωνο με πλευρές 12cm, 13cm και 5cm
είναι ορθογώνιο.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Στο παρακάτω σχήμα να υπολογίσετε το x.
2. Αν ένα ισόπλευρο τρίγωνο έχει πλευρά α και ύψος υ να εξηγήσετε γιατί
3
2

  .
3. Στο παρακάτω σχήμα είναι ΒΔ=4, ΔΓ=9, ΑΔ=6. Να εξηγήσετε γιατί το
τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο.
4. Στο τετράπλευρο ΑΒΓΔ του παρακάτω σχήματος οι ΑΓ και ΒΔ είναι κάθετες
μεταξύ τους. Να εξηγήσετε γιατί:
i. 2 2 2 2 2 2
          
ii. 2 2 2 2
      
15
x x+9
A Γ
B

5. Το τετράγωνο του παρακάτω σχήματος είναι πλευράς α=4cm. Να βρείτε
το εμβαδόν ενός άλλου τετραγώνου πλευράς δ.
6. Στο παρακάτω σχήμα να υπολογίσετε :
i. Το μήκος ΑΓ.
ii. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΓΔ είναι ορθογώνιο.
7. Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ με 90     , ΑΒ=ΒΓ=10cm και ΓΔ=16cm.
ΟB
Δ
A
Γ
α
α
δ
39m52m
33m
56m
A Γ
B
Δ

Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τραπεζίου.
8. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=20m και ΒΓ=21m. Αν ΑΔ το ύψος του και
ΒΔ=5m, να υπολογίσετε το ύψος ΓΕ του τριγώνου ΑΒΓ.
9. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του παρακάτω τραπεζίου αν γνωρίζετε ότι:
90     .
10. Δίνεται ορθογώνιο ΑΒΓ  90   , με ΑΒ=4cm και ΑΓ=3cm. Να
υπολογίσετε:
i. Το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ.
ii. Την υποτείνουσα ΒΓ.
iii. Το ύψος προς τη ΒΓ.
11. Στο παρακάτω σχήμα το εμβαδόν του ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ είναι
10,14 2
cm .
i. Να υπολογίσετε τη ΒΓ.
ii. Να υπολογίσετε τη ΑΓ.
iii. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΔΓ είναι ορθογώνιο.
Δ
10cm
10cm
8cm
Γ
A B

12. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και περίμετρο 3,6dm και βάση
ΒΓ=10cm. Να υπολογίσετε το ύψος του ΑΔ και το εμβαδόν του.
13. Στο διπλανό σχήμα είναι : 90  ,
ΑΒ=12cm, ΒΔ=20cm και ΒΓ=37cm. Να
υπολογίσετε την ΑΔ, την ΑΓ και την ΓΔ.
3,3cm 5,6cm
3,9cm
A Γ
B
Δ

– ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ-ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ
2.1 Εφαπτομένη οξείας γωνίας.
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ
1. Τι ονομάζεται εφαπτομένη οξείας γωνίας;
2. Μία ευθεία έχει εξίσωση y=2x. Τι γνωρίζετε για τον συντελεστή της
ευθείας; Να δώσετε την απάντηση σας κάνοντας και το κατάλληλο
σχήμα.
3. Υπάρχει γωνία ω με εφαπτομένη εφω=-0,5;
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=12cm και ΒΓ=13 cm να υπολογίσετε
την εφαπτόμενη των οξειών γωνιών του Β και Γ.
2. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( 90  ) με υποτείνουσα ΒΓ=5 cm και
κάθετη πλευρά ΑΒ=3cm. Να βρείτε την εφαπτόμενη της γωνίας Β και στη
συνέχεια να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης εφΒεφΓ+1=;
3. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( 90  ) του παρακάτω σχήματος είναι:
30  , 135  και ΑΔ=5cm.
Να υπολογίσετε :
i. Τις γωνίες του ω, φ, θ
ii. Τις πλευρές ΑΒ, ΑΓ και ΒΓ.
4. Ένας ψαράς βλέπει μέσα από τη βάρκα του
ένα εκκλησάκι πάνω στο βουνό υπό γωνία
28B  . Αν το εκκλησάκι βρίσκεται σε ύψος

15 μέτρα από την ακτή (σημείο Γ) να υπολογίσετε :
i. Πόσο μακριά είναι η βάρκα από την ακτή.
ii. Πόσο απέχει η βάρκα από το σημείο Γ.
5. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΒΔΓ με 90   είναι 35  και ΒΔ=10cm. Να
βρεθούν οι υπόλοιπες πλευρές του τριγώνου.
6. Στο παρακάτω σχήμα το ΑΔΓΒ είναι ορθογώνιο. Αν ΑΔ=10, ΓΔ=6, ΑΕ=21
να υπολογίσετε την εφαπτόμενη της γωνίας Γ του τριγώνου ΒΕΓ .
7. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και το ύψος του ΑΔ=4cm. Αν είναι
3
3
  να
βρείτε τις πλευρές ΑΓ και ΔΑ.
2.2 Ημίτονο και Συνημίτονο οξείας γωνίας
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ
1. Τι ονομάζεται ημίτονο μίας οξείας γωνίας ω ενός ορθογωνίου τριγώνου;
2. Τι ονομάζεται συνημίτονο μίας οξείας γωνίας ω ενός ορθογωνίου
τριγώνου;
3. Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά:
i. Για οποιαδήποτε οξεία γωνία θ ισχύει ότι: ..... ..... 
ii. Για οποιαδήποτε οξεία γωνία θ ισχύει ότι: .... .... 

iii.
....
....
 
iv. ....  
4. Να εξηγείσετε γιατί το ημίτονο και το συνημίτονο μίας οξείας γωνίας είναι
αριθμοί μικρότεροι της μονάδας.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Χρησιμοποιώντας το παρακάτω σχήμα συνδέστε κάθε τριγωνομετρικό
αριθμό της στήλης Α με ένα στοιχείο της στήλης Β
ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β



















2. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ  90   με ΑΒ=12cm και ΒΓ=13cm να
υπολογίσετε τα ημίτονα και τα συνημίτονα των οξειών γωνιών.
3. Δίνεται ορθογώνιο ΑΒΓ  90   και πλευρές ΑΒ=6cm και ΒΓ=10cm να
βρείτε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς την γωνιών Β και Γ.
4. Δίνεται ορθογώνιο ΑΒΓ  90   και πλευρές ΑΓ=12cm και ΒΓ=13cm να
βρείτε :
i. Την πλευρά ΑΒ
ii. Το συνΒ
iii. Την εφΓ
5. Δίνεται ορθογώνιο ΑΒΓ  90   με υποτείνουσα 10cm στο οποίο ισχύει
4
5
  . Να υπολογιστεί :
i. Η περίμετρος και το εμβαδόν του τριγώνου
ii. Να υπολογιστούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί συνΓ , ημΓ και εφΒ
6. Σε τρίγωνο ΑΒΓ τα μήκη των πλευρών του είναι: 64 2 36   ,
24  και  
2006
16 2 25 49 1      .
i. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές με βάση ΒΓ
ii. Να υπολογίσετε το ύψος ΑΔ
iii. Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου και να υπολογίσετε τους
τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας Γ.
7. Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ  90   ισχύει ότι συνΒ=0,8 και ΑΒ=9.
Να υπολογίσετε τις πλευρές ΑΓ και ΒΓ.
8. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με βάση ΒΓ είναι ΑΒ=ΑΓ=10cm και ημΒ=0,8.
Να υπολογίσετε:
i. Το ύψος ΑΔ
ii. Την περίμετρο του τριγώνου

iii. Το εμβαδόν του τριγώνου
9. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ  90   είναι ΑΒ=16cm και ΒΓ=20cm. να
i. Τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας Β
ii. Το μήκος του ύψους ΑΚ από την κορυφή Α στην πλευρά ΒΓ.
10. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ  90   είναι ΑΒ=1cm και ΒΓ=2cm
i. Να αποδείξετε ότι 3  cm
ii. Να βρείτε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας Γ
iii. Να βρείτε την τιμή της παράστασης  2
4 3 3 6        
2.3 Μεταβολές ημιτόνου, συνημιτόνου και εφαπτομένης
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ
1. Πώς μεταβάλλονται οι τριγωνομετρικοί αριθμοί μιας γωνίας όταν το
μέτρο της:
i. Αυξάνεται
ii. Μειώνεται
2. Να συμπληρώσετε το σύμβολο «<» ή «>» στις παρακάτω περιπτώσεις:
i. 54 .... 35  
ii. 49 .... 29  
iii. 48 .... 84  
iv. 18 .... 38  
v. 38 .... 62  
3. Αν ω, θ οξείες γωνίες να επιλέξετε τη σωστή απάντηση:

Α Β Γ
Αν ημω<ημθ τότε: ω=θ ω<θ ω>θ
Αν συνω=συνθ
τότε:
ω<θ ω>θ ω=θ
Αν εφω-εφθ<0
τότε:
ω>θ ω<θ ω=θ
Αν 1


 τότε:
ω=θ ω<θ ω>θ
2.4 Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών 30 ,45 ,60  
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ
30 45 60
ημ
συν
εφ
2. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ) αν είναι σωστές ή με
(Λ) αν είναι λανθασμένες.
Σ Λ
i.
1
30
2
  
ii. 60 3  
iii. 45 45   

iv. 60 30   
v. 45 1  
vi. 60 2 30   
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Να αποδείξετε τα παρακάτω:
i. 2 2
60 30 30     
ii. 60 2 30 30     
iii. 2
60 2 30 1   
iv. 2
60 1 2 30    
v. 2
45 30 60     
vi. 2 2 2
30 60 45     
2. Το τελεφερικ ενός χιονοδρομικού κέντρου αναχωρεί από υψόμετρο
2800m. Κινείται με ταχύτητα 3m/s. το συρματόσχοινο του τελεφερικ
σχηματίζει με το οριζόντιο επίπεδο γωνία 30 . Η διαδρομή διαρκεί
περισσότερο από 9 λεπτά; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.
3. Στο παρακάτω σχήμα είναι 90    , 30 , 60      και
5cm  . Να υπολογίσετε τα ΑΔ, ΒΓ και ΒΓ.

4. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΓ=12 cm και 30  . Να βρείτε:
i. Το ύψος ΑΔ.
ii. Αν είναι 37  να βρείτε το τμήμα ΑΒ
iii. Να βρείτε τα ημΒ , συνΒ και εφΒ.
5. Στο παρακάτω σχήμα έχουμε 90    , 30  , ΑΓ=3cm και
ΑΒ=4cm. Να βρείτε τα ΒΓ, ΓΔ και ΒΔ και στη συνέχεια το εμβαδόν του.

6. Στο παρακάτω τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ότι το ΑΔ είναι το ύψος του και
επιπλέον είναι ΒΔ=3cm, ΑΔ=4cm και
3
3
  . Να βρείτε:
i. Τις ΓΔ και ΑΓ
ii. Την περίμετρο και το εμβαδόν του τριγώνου
iii. Τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας Β.
7. Σε τρίγωνο ΑΒΓ η γωνία 30   , η πλευρά ΒΓ είναι 10cm και το
εμβαδόν είναι 20 τετραγωνικά εκατοστά. Να υπολογίσετε τις πλευρές
του τριγώνου ΑΒ και ΑΓ.

8. Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ=60m, BΓ=100m και 60  . Αν ΒΔ είναι το
ύψος του τριγώνου να υπολογίσετε τα μήκη των τμημάτων ΒΔ, ΔΑ, ΔΓ
και τη γωνία Γ.
9. Στο παρακάτω τρίγωνο είναι: 45 , 30      και ΒΔ=4cm. Να βρείτε:
i. Το ΑΔ.
ii. Τα ΑΓ και ΓΔ
iii. Το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ.
10. Για το παρακάτω σχήμα να υπολογίσετε τα τμήματα ΒΓ, ΒΔ και
ΓΔ.

ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ
3.1 Εγγεγραμμένες γωνίες
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ
1. Πότε μία γωνία λέγεται εγγεγραμμένη και πότε επίκεντρη (να
σχεδίασετε μια επίκεντρη και μία εγγεγραμμένη γωνία);
2. Όταν μία επίκεντρη και μία εγγεγραμμένη γωνία βαίνουν στο ίδιο τόξο
ποιά σχέση συνδέει την επίκεντρη γωνία, την εγγεγραμμένη γωνία και
το αντίστοιχο τόξο;
3. Πόσες μοίρες είναι μία εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο;
4. Στο παρακάτω σχήμα οι γωνίες ω και θ είναι επίκεντρες και οι γωνίες φ,
x είναι εγγεγραμμένες. Είναι σωστό ότι ω=θ και φ=x; Να
δικαιολογήσετε την απάντηση σας.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Στο διπλανό σχήμα να υπολογίσετε τις γωνίες:
ΑΔΒ, ΒΓΔ, και ΑΒΓ.

2. Να υπολογίσετε τις γωνίες x,y,ω,ρ του
διπλανού σχήματος:
3. Σε έναν κύκλο (Ο,ρ) παίρνουμε τα διαδοχικά τόξα 10x    ,
30x   , 3 50x    και 70  .
i. Να υπολογίσετε πόσες μοίρες είναι τα τόξα ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ.
ii. Να υπολογίσετε τις γωνίες Α, Β, Γ, Δ του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ.
iii. Τι σχέση έχουν οι χορδές ΑΒ και ΑΔ και γιατί;
4. Να υπολογισθούν οι εγγεγραμμένες γωνίες ω και φ του παρακάτω
σχήματος.
5. Να υπολογίσετε τις γωνίες x, y του παρακάτω
σχήματος.

6. Αν στο παρακάτω σχήμα ΒΓ είναι η διάμετρος του κύκλου και είναι
ΑΒ=6cm και ΑΓ=8cm:
i. Τι τρίγωνο είναι το ΑΒΓ και γιατί;
ii. Να υπολογίσετε τον εμβαδό του
τριγώνου ΑΒΓ.
7. Στο παρακάτω σχήμα η γωνία Γ είναι 30 και το ΑΒ=3cm. Αν το σημείο
Ν είναι το κέντρο του κύκλου να βρείτε:
i. Τις γωνίες Α και Β
ii. Τις πλευρές ΒΓ και ΑΓ του ΑΒΓ.
8. Στο παρακάτω σχήμα να υπολογίσετε τις
γωνίες α, β, γ και τα τόξα ΒΓ και ΒΓ.
9. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο  90   ΑΒΓ με
ΑΒ=6cm και ΒΓ=10cm. Με διάμετρο τη ΒΓ
σχεδιάζουμε ημικύκλιο. Να βρεθούν:
i. Η πλευρά ΑΓ και το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ

ii. Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των οξειών γωνιών του τριγώνου.
10. Να υπολογιστούν οι γωνίες
x,y,B και Δ του διπλανού
σχήματος:
11. Να υπολογιστούν οι
άγνωστες γωνίες του σχήματος:
12. Στο διπλανό σχήμα να υπολογίσετε σε
μοίρες το τόξο ΒΓ καθώς και τις γωνίες του
τριγώνου ΑΒΓ.

13. Στο παρακάτω σχήμα να αποδείξετε ότι το τόξο ΒΓ είναι 180αν
γνωρίζετε ότι ΒΓ=10cm, ΑΒ=6cm, ΑΓ=8cm.
3.2 Κανονικά πολύγωνα
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ
1. Πότε ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό;
2. Τι λέγεται περιγεγραμμένος κύκλος πολυγώνου;
3. Τι λέμε κεντρική γωνία ενός κανονικού πολυγώνου και με τι ισούται;
4. Με τι ισούται η γωνία ενός κανονικού πολυγώνου και τι σχέση εχει με
την κεντρική του γωνία;
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Δίνεται κανονικό 12-γωνο. Να βρείτε:
i. Την κεντρική γωνία του.
ii. Τη γωνία του.
2. Να βρείτε τη γωνία ενός κανονικού 24-γώνου.

3. Να βρείτε το πλήθος των πλευρών ενός κανονικού πολυγώνου που έχει
κεντρική γωνία 45  
4. Να βρείτε το πλήθος των πλευρών ενός κανονικού πολυγώνου που έχει
γωνία ίση με τα
4
3
της ορθής.
5. Σε κανονικό πολύγωνο η γωνία του είναι τριπλάσια της κεντρικής του
γωνίας. Να βρείτε το πλήθος των πλευρών του.
6. Ένα ισόπλευρο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο με κέντρο Ο και ακτίνα 4cm.
Να υπολογίσετε :
i. Την περίμετρο του τριγώνου.
ii. Το εμβαδόν του.
7. Να εξετάσετε αν υπάρχει κανονικό πολύγωνο με:
i. Κεντρική γωνία 15  
ii. Κεντρική γωνία 14  
iii. Γωνία 140  
3.3 Μήκος κύκλου
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ
1. Ποιος τύπος δίνει το μήκος ενός κύκλου (Ο,ρ). Να εξηγείσετε τα σύμβολα.
2. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ) αν είναι σωστές ή με (Λ)
αν είναι λανθασμένες.
Σ Λ
1) Αν L το μήκος ενός κύκλου
(Ο,ρ) τότε
L




2) Αν διπλασιάσουμε την ακτίνα
ενός κύκλου τότε
διπλασιάζεται και το μήκος
του.
3) Αν το μήκος ενός κύκλου είναι
 τότε η ακτίνα του είναι ίση
με τη μονάδα.
4) Το πηλίκο
2
L

, όπου L το
μήκος του κύλου και ρ η
ακτίνα του αλλάζει ανάλογα με
τον κύκλο.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Στο παρακάτω σχήμα είναι ΑΒ=6cm, ΒΓ=10cm και
ΑΓ=8cm.
i. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο.
ii. Να υπολογίσετε την ακτίνα του κύκλου.
iii. Να υπολογίσετε το μήκος του κύκλου.
2. Στο παρακάτω σχήμα είναι ΑΒ=3cm και ΑΕ=4cm.
i. Να υπολογίσετε την διάμετρο του κύκλου.
ii. Να υπολογίσετε το μήκος του κύκλου.
iii. Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς
αριθμούς των γωνιών Β και Ε.
3. Η διάμετρος ενός τροχού ενός αυτοκινήτου είναι 80cm.

Να υπολογίσετε την περίμετρο του τροχού και πόσες στροφές θα κάνει π τροχός
για να διανύσει μία απόσταση 25Km.
4. Να βρείτε τα μήκη των ημικυκλίων του σχήματος αν είναι ΑΒ=6cm και
ΑΓ=ΓΔ=ΔΒ. Να συγκρίνετε το μήκος του μεγάλου ημικυκλίου με το άθροισμα των
μηκών των τριών μικρών
ημικυκλίων.
5. Να υπολογιστεί το μήκος ενός κύκλου του οποίου το εμβαδόν είναι
113,04 2
m
3.4 Μήκος τόξου
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ
1. Ποιος τύπος δίνει το μήκος l ενός τόξου ;
2. Τί ονομάζεται ακτίνιο;
3. Ποιος τύπος δίνει το μήκος l ενός τόξου αν το μετρήσουμε σε ακτίνια/rad;
4. Ποια σχέση συνδέει τα ακτίνα και τις μοίρες;
Μοίρες 30 90 120 135
Ακτίνια
4

3
 5
6
 

3.5 Εμβαδόν κυκλικού δίσκου
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ
1. Ποιος τύπος δίνει το εμβαδόν κυκλικού δίσκου ακτίνας ρ;
2. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν κυκλικού δίσκου διαμέτρου δ ισούται με
2
4

 
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Στο παρακάτω σχήμα είναι ΑΒ=6, ΑΔ=8, και 80  και 100   .
i. Να δείξετε ότι η γωνία Α είναι ορθή.
ii. Να βρείτε την ακτίνα του κύκλου.
iii. Να βρείτε το εμβαδόν και το μήκος του
κύκλου.
2. Δίνεται κύκλος με περίμετρο 31,4cm . Να υπολογιστούν:
i. Η ακτίνα και η διάμετρος του κύκλου.
ii. Το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου.
3. Να βρεθούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας Γ του ορθογωνίου
τριγώνου ΑΒΓ με ΒΓ=12cm και AΓ=13cm καθώς και το εμβαδόν του κυκλικού
δίσκου και το μήκος του κύκλου που έχει διάμετρο το τμήμα ΑΒ.

4. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του κυκλικού δακτυλίου του παρακάτω σχήματος.
5. Να υπολογίσετε το μήκος και το εμβαδόν του κύκλου του παρακάτω σχήματος
αν είναι ΑΒ=6cm και ΒΓ=8cm:
6. Στο παρακάτω σχήμα είναι ΑΒ=4cm και ΑΓ=6cm:
i. Να εξεταστεί αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και να υπολογιστεί το
εμβαδόν του.
ii. Να υπολογιστεί το
μήκος του κύκλου και
το εμβαδόν του
κυκλικού δίσκου.
iii. Να υπολογιστούν οι
τριγωνομετρικοί αριθμοί
της γωνίας Β.
iv. Να υπολογιστεί το
γραμμοσκιασμένο
εμβαδόν.

7. Στα πρακάτω σχήμα ειναι ΑΒ=6cm και ΟΒ=
2

=5cm. Να υπολογίσετε:
i. Τη γωνία Α του τριγώνου ΑΒΓ.
ii. τις γωνίες Β και Γ του τριγώνου ΑΒΓ
καθώς και τους τριγωνομετρικους
αριθμους τους.
iii. Το εμβαδόν του ημικυκλίου
iv. Το μήκος ΑΓ
v. Το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου
τμήματος.
8. Από μια ορθογωνια λαμαρίνα με πλευρές α=10cm και β=30cm κόβουμε ένα
κυκλικό δίσκο διαμέτρου 20mm. Να βρεθούν:
i. Οι περιμετροι του ορθογωνίου και του κυκλικού δίσκου
ii. Το εμβαδόν της λαμαρίνας που απομένει.
9. Δίνεται κύκλος (Ο,ρ). Φέρνουμε τη διάμετρο ΑΒ και θεωρούμε σημείο Γ πάνω
στον κύκλο ώστε ΑΓ=6cm και ΓΒ=8cm.
i. Να αποδείξετε ότι το ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και να βρείτε την ακτίνα του
κύκλου
ii. Να βρείτε το μήκος και το
εμβαδόν του κύκλου
iii. Να βρείτε το εμβαδόν του
γραμμοσκαισμένου τμήματος.
10.Δίνεται κύκλος με περίμετρο 25.12 cm. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του
κυκλικού δίσκου.

11.Σε ορθογώνιο τρίγωνο  90   είναι ΒΓ=15cm και ΑΓ=9cm. Με κέντρο το
μέσο Κ της ΑΒ γράφουμε ημικύκλιο.
i. Να δείξετε ότι ΑΒ=12cm
ii. Να υπολογίσετε το εμβαδόν ολου του
σχήματος
12.Στο παρακάτω σχήμα η ακτίνα του κύκλου είναι R=6cm και 30   . Να
i. Τη γωνία Α του τριγώνου ΑΒΓ
ii. Τη γωνία Γ και το τόξο ΑΒ
iii. Το μήκος της χορδής ΑΓ
iv. Το μήκος του κύκλου
v. Την πλευρά ΑΒ
vi. Το γραμμοσκιασμένο εμβαδόν.
13. Δίνεται κύκλος κέντρου Ο, διαμέτρου δ=0,2m και χορδή ΑΒ=10cm
i. Να δείξετε ότι η ακτίνα ρ=10cm και η επίκεντρη γωνία 60  
ii. Να υπολογίσετε την περίμετρο και το εμβαδόν του κύκλου

14. Για το παρακάτω σχήμα να υπολογίσετε:
i. Τις γωνίες του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ
ii. Να αποδέιξετε ότι το ΑΒΔ είναι
ορθογωνιο
iii. Να βρείτε την ακτίνα και το εμβαδό
του κύκλου

Σημειώσεις Β΄ Γυμνασίου σε word

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

Tendances

Tendances (20)

En vedette

En vedette (20)

Similaire à Σημειώσεις Β΄ Γυμνασίου σε word

Similaire à Σημειώσεις Β΄ Γυμνασίου σε word (20)

Plus de Μάκης Χατζόπουλος

Plus de Μάκης Χατζόπουλος (20)

Dernier

Dernier (10)

Σημειώσεις Β΄ Γυμνασίου σε word