O documento discute a história e o uso dos computadores, introduzindo conceitos como bits e bytes. Explica que um bit é a menor unidade de informação em um computador e pode assumir os valores 0 ou 1, e que vários bits formam bytes que armazenam caracteres. Também apresenta a noção matemática de potência para expressar o número de combinações possíveis com diferentes quantidades de bits.

1. Conectando
No Mundo das Potências
Professora: Maria Cláudia

2. Hoje o computador faz parte do cotidiano de grande parte das pessoas.
Por diferentes vias o computador está entrando na vida das pessoas,
principalmente na dos jovens.
A história dos computadores está associado à invenção de máquinas de
fazer cálculos. Os ábacos, as máquinas manuais de calcular e as
máquinas perfuradoras de cartões podem ser consideradas os primeiros
computadores construídos pelo homem.
O precursor dos computadores atuais foi constituído em 1946, nos
Estados Unidos e não se pode negar as transformações vertiginosas se
compararmos com os computadores disponíveis nos dias de hoje.
Em poucos mais de 50 anos, a palavra informática foi incorporada ao
vocabulário cotidiano.
E começou-se a falar em bits, bytes, megabytes, gigabytes. Novos
hábitos começaram a fazer parte das pessoas, novos conceitos e novas
medidas passaram a ser usadas.
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3. Um bit, dois sinais
O bit é a base para medir a capacidade de uma máquina de guardar
informação. É a menor unidade que se utiliza para medir quanta
informação um computador pode armazenar.
O bit também á chamado dígito binário. Dígito é sinônimo de algarismo e
binário indica dois. Um bit pode ser representado por dois símbolos,
como por exemplo 0 ou 1. Tudo o que é armazenado num computador
resulta da combinação dos dois sinais de um bit.
Com um bit, temos duas combinações, que podem ser representadas
por 0 e 1. Já com dois bit, temos quatro combinações, que podem ser
representadas por: 00; 01; 11 e 10.
Para visualizar as combinações possíveis com um, dois, três ou mais
bits, pode-se contar com um recurso gráfico conhecido como “árvore de
possibilidades”:
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4. Para um bit são duas possibilidades
0
1 bit
1
Para dois bits são quatro possibilidades
00
0
01
2 bits
10
1
11
Para três bits são oito possibilidades
000
00
001
0
010
01
011
3 bits
100
10
101
1
110
11
111
ÁRVORE DE POSSIBILIDADES
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5. Observando-se as “árvores de possibilidades”, nota-se que, a cada bit
acrescentado, dobra o número de possibilidades, em relação à situação
anterior. Assim, podemos imaginar que com quatro bits haverá 16
combinações diferentes, com cinco bits 32 combinações diferentes, e assim
por diante.
Cada byte é uma combinação de 8 bits. Cada byte representa um caractere,
ou seja, uma letra, um algarismo, um sinal, um espaço em branco. Quando
digita um sinal qualquer no teclado do computador, esse movimento faz com
que se ocupe um byte na memória da máquina. Por exemplo, a palavra amor
tem quatro letras, ela ocupa quatro bytes de memória. O número 123 ocupa
três bytes.
Pensando nas diferentes combinações que se podem fazer, é possível
imaginar uma razoável quantidade de expressões (formadas por “zeros” e
“uns”) que são utilizadas para representar letras, sinais, símbolos, espaço
em branco no computador, como as cinco representadas a seguir:
00000000 00000001 00000010 00000011 00000100
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6. No mundo das potências
Para expressar a relação entre bits e bytes, pode-se recorrer e a um outro
conhecimento matemático: A POTÊNCIA.
Podem ser encontradas todas as combinações possíveis para formar um byte
construindo uma ‘árvore de possibilidades”. Entretanto, com oito bits, um
desenho desse tipo ficaria muito grande. Sendo assim, é útil encontrar uma
outra forma de obter essas combinações.
O número de combinações possíveis com oito bits pode ser indicado usando-
se um potência.
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7. 7
Bits Número de combinações possíveis
1 2¹ = 2
2 2² = 2 x 2 = 4
3 2³ = 2 x 2 x 2 = 8
4 24
= 2 x 2 x 2 x 2 = 16
5 25
= 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32
6 26
= 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64
7 27
= 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 128
8 28
= 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 256

8. 8
Com essas 256 combinações, podem ser representadas praticamente
todas as letras do alfabeto, os algarismos do sistema decimal, os
acentos, os pontos, os parênteses, os espaços e todos os outros
símbolos que podem ser digitados no teclado.
A potência é um resultado da potenciação. A potenciação também é
operação numérica, assim como a adição, a subtração, a multiplicação
e a divisão. Ao mesmo tempo, é uma forma abreviada de escrever
números.
Para compreender o que é a operação potenciação, podemos analisar
uma situação com a qual muita gente já se defrontou. Trata-se das
“correntes” de simpatias, que são também transmitidas pela internet.

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Marcela, que trabalha como secretária, recebeu pela internet uma corrente, que
deveria ser enviada para três pessoas.
Ela resolveu participar e logo enviou a mensagem para Gisele, Géssica e Maria.
Três dias depois a corrente já estava enorme.

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Pela contagem dos elementos representados na árvore, pode-se
saber que são 40 participantes: Marcela no primeiro elo da
“corrente”, Gisele, Géssica e Maria no segundo, mais 9 no terceiro,
mais 27 no quarto:
1 + 3 + 9 + 27 = 40
O número de possibilidades e a escrita matemática correpondente
podem ser acompanhados passo a passo no quadro a seguir que
mostra as quatro primeiras etapas da corrente.

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Participantes Possibilidades (escrita
matemática)
Marcela 1
Marcela, Gisele, Géssica e Maria 1 + 3 = 4
Marcela, Gisele, Géssica, Maria e mais 3
amigas de cada uma destas 3 amigas.
1 + 3 + (3 x 3) = 13
Marcela, Gisele, Géssica, Maria e mais 3
amigas de cada uma das 3 e mais 3
amigas de cada uma das 9 participantes
formam o terceiro dia da corrente.
1 + 3 + (3 x 3) + (3 x 3 x 3) = 40
Assim segue a árvore de possibilidades, de tal modo que, se houver uma
próxima etapa nessa seqüência, pode-se concluir que ela será representada
por:
1 + 3 + (3 x 3) + (3 x 3 x 3) + (3 x 3 x 3 x 3) = 1 + 3 + 9 + 27 +
81 = 121

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Marcela, Gisele, Géssica e Maria, mais 3 amigas de Marcela, mais 3 amigas
de cada uma das participantes do terceiro elo da corrente, mais 3 amigas de
cada uma das participantes do quarto elo da corrente. Para simplificar o
registro, utiliza-se a representação sob a forma de potência.
1
1 + 3 = 4
1 + 3 + 3² = 13
1 + 3 + 3² + 3³ = 40
1 + 3 + 3² + 3³ + 34
= 121
As próximas escritas desta seqüência seriam:
1 + 3 + 3² + 3³ + 34 + 35 = 364
1 + 3 + 3² + 3³ + 34 + 35 + 36 = 1.093
Observando esses registros, é possível notar que a representação de números
em forma de potência é uma maneira econômica para registrar números muito
grandes.

13. 13
Uma potência pode ser considerada como um produto de fatores iguais,
desde que o expoente seja um número inteiro, positivo ou negativo, e seja
diferente de 1 e de 0. ela pode ser aplicada quando:
Existe uma multiplicação;
Os fatores dessa multiplicação são iguais.
Por exemplo, 25
é uma potência. Lê-se ‘dois elevado à quinta potência’ e
significa: 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32
Nesse exemplo, o número 2 é chamado base e o número 5 expoente da
potência. O número 32 é uma potência de base 2 e expoente 5.
Acompanhe como é feita a leitura das potências:
3² - “três ao quadrado” ou “três elevado à segunda potência”
3³ - “três ao cubo” ou “três elevado à terceira potência”
34
- “três à quarta” ou “três elevado à quarta potência”

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Existem potências especiais para as quais os matemáticos também criaram
regras especiais. É o caso das potências com expoentes zero e um.
Observe as informações que aparecem na tabela a seguir:
:3 :3 :3 :3 :3
Para análise das informações que aparecem nesta tabela, pode-se identificar
o símbolo 3¹ com 3 e o símbolo 30
com 1. também se pode dizer que:
 todo número elevado ao expoente 1 é igual e ele mesmo; e
Todo número elevado ao expoente zero é igual a 1.
35
34
3³ 3² 3¹ 30
243 81 27 9 3 1

15. OBJETIVOS
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Desenvolver o raciocínio combinatório.
Analisar e resolver problemas de contagem
Reconhecer a potenciação como uma nova operação
Observar a potenciação no sistema posicional decimal (base 10) e
no sistema posicional binário (base 2).

16. OBJETIVOS A SEREM AVALIADOS
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Identificar potência com expoente inteiro positivo maior que 1 como
Produto reiterado de fatores iguais.
Identificar a base e o expoente de uma potência.
Compreender o significado da potência de expoente um, de expoente
nulo e de expoente negativo.
Utilizar o conceito de potenciação na resolução de problemas de
contagem.
Efetuar cálculos mentais e escritos envolvendo a potenciação.
Usar a calculadora para verificar resultados.
Utilizar a potenciação para representar e comparar números.

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OBRIGADA