Este documento discute a abordagem de fractais no ensino médio como forma de auxiliar no ensino de matemática. Ele apresenta uma breve história dos fractais e suas características, e argumenta que incluir o tópico no currículo pode motivar os alunos ao mostrar aplicações da matemática no mundo real. Uma pesquisa com alunos mostrou que após uma aula sobre fractais, eles perceberam suas aplicações no cotidiano e ficaram mais interessados em aprender matemática.

1. Universidade Presbiteriana Mackenzie
A ABORDAGEM DE FRACTAIS NO ENSINO MÉDIO
Pâmela Araújo de Souza (IC) e Eriko Matsui Yamamoto (Orientadora)
Apoio: PIBIC Mackenzie
Resumo
O presente artigo visa abordar o estudo da Geometria Fractal no Ensino Médio como forma de auxílio
nas aulas de matemática. A Geometria Fractal apresentada por meio de figuras, construções lúdicas
e aplicações no cotidiano, torna-se um exemplo de matemática aplicada que pode ser utilizada
durante as aulas e propiciar inúmeros benefícios aos alunos do Ensino Médio na aprendizagem da
matemática. Este trabalho traz uma breve apresentação desta Geometria, tratando da história de sua
descoberta, suas características, definição e aplicações. Mostra a importância de abordagens
diferenciadas no ensino da matemática por meio da inclusão de conteúdos como a de Geometria
Fractal para estimular os alunos a perceber as aplicações desta ciência no cotidiano. A pesquisa foi
realizada com alunos do Ensino Médio de duas escolas públicas (uma no município de São Paulo e
outra, em São Caetano do Sul) e uma particular (em São Caetano do Sul). Foram utilizados como
procedimento metodológico de coleta de dados, a observação e questionários. No início da pesquisa,
a maioria dos alunos disse que não gosta de Geometria. No entanto, após a aula sobre Geometria
Fractal, os alunos perceberam que ela tem muitas aplicações e que está presente no nosso cotidiano.
Mostraram-se motivados e afirmaram estar interessados em aprender não apenas a Geometria como
também diversos conteúdos da matemática.
Palavras-chave: geometria fractal, Matemática, ensino
Abstract
This article aims to present the study of Fractal Geometry in high school as a way to help in
mathematics classes. Fractal Geometry presented through pictures, recreational buildings and
applications in daily life becomes an example of applied mathematics that can be used during classes
and provide numerous benefits to high school students in learning mathematics. This paper gives a
brief presentation of this Geometry, the history of its discovery, characteristics, definitions and
applications. It shows the importance of different ways of teaching mathematics including contents
such as Fractal Geometry to encourage students to understand the applications of this science in
everyday life. The survey was conducted with high school students from two public schools (one in
São Paulo and another in São Caetano do Sul) and a private one (in São Caetano do Sul).
Observation and questionnaires were used as instruments for data collection. At the beginning of the
research, most of the students said that they don’t like Geometry. However, after the Fractal Geometry
lesson, the students realized that it has many applications and it is present in our daily lives. They
were highly motivated and said that they were interested in learning not only Geometry but different
contents of mathematics.
Key-words: fractal geometry, Mathematics, teaching
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2. VII Jornada de Iniciação Científica - 2011
INTRODUÇÃO
Nos dias de hoje o ensino da matemática é realizado muitas vezes contemplando os
conteúdos como algo distante da realidade vivida por todos. Isso gera o descontentamento
de muitos alunos que, ao estudarem algo sem aplicação em suas vidas, permanecem
desinteressados e não valorizam a disciplina como um todo.
A realidade da visão dos alunos em relação à matemática necessita de implementação de
atividades que estimulem a aprendizagem e o interesse dos mesmos para poderem
aprender e compreender cada vez mais o mundo que os cerca, em suas dimensões sociais
e humanas, mas também em suas dimensões físicas. Por este motivo, o trabalho busca
verificar se a inclusão de conteúdos como a Geometria Fractal no Ensino Médio torna-se
interessante e útil para os alunos perceberem que a matemática está presente no nosso dia-
a-dia.
O objetivo deste trabalho é investigar qual a melhor forma para trabalhar a Geometria
Fractal, através da elaboração de um plano de aula que servirá como material útil e eficiente
para explicação dos conceitos básicos desta Geometria; mostrar os benefícios e as
oportunidades que podem surgir ao utilizar a Geometria Fractal em sala de aula para
ensinar ou reforçar algum conteúdo da matemática; despertar o interesse em relação aos
seus conteúdos, já que se trata de uma Geometria que está presente na natureza e
apresenta formas e construções que podem auxiliar durante o processo de aprendizagem.
REFERENCIAL TEÓRICO
Diversos autores, através de estudos e registros da época, afirmam que a Geometria
Euclidiana surgiu no Antigo Egito, no vale do Rio Nilo, no qual as cheias obrigavam os
faraós a nomear funcionários com o objetivo de restabelecer fronteiras entre as diversas
propriedades que eram atingidas pelas inundações. A partir daí surgia a palavra Geometria
(do grego geo = terra + metria = medida, ou seja, “medir terra”).
Esta Geometria foi nomeada Euclidiana em homenagem ao seu precursor, Euclides, que
aperfeiçoou a Geometria em sua maior parte nos moldes atuais.
Os egípcios além de usarem a Geometria na agricultura (irrigação, obras de defesa contra
inundações, etc), também a usavam na engenharia (construção de pirâmides, casas, etc) e
até os dias atuais a Geometria Euclidiana é de importância extrema por auxiliar de forma
brilhante na confecção e caracterização de formas que estão presentes no cotidiano.
É imensurável a importância da Geometria Euclidiana dentro da matemática e na vida
prática e cotidiana da população. Nela estudam-se formas mais simples e comuns como
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quadriláteros e poliedros; no cotidiano há edifícios, objetos industrializados e diversas
estruturas com esses padrões regulares e de formas suaves. No entanto, nem tudo na
natureza segue esta regra e há muitas outras formas mais complexas, não sendo possível
descrever e analisá-las a partir da Geometria Euclidiana.
No início do século XIX, houve diversos acontecimentos e críticas em relação à Geometria
proposta por Euclides e principalmente em relação ao quinto postulado por ele apresentado.
A partir deste contexto foram criadas as Geometrias não euclidianas, fato que apresentou
grande avanço nos estudos científicos e abriu portas para a apresentação de diversas
teorias.
Benoit Mandelbrot, matemático nascido na Polônia, desenvolveu uma noção inovadora e
que mudaria a visão em relação à Geometria: a idéia de fractal.
Vários pesquisadores, durante muitos anos que se seguiram, se depararam com
dificuldades para estudar ruídos, o movimento browniano de fluídos e problemas de
economia, dentre outros fatos que não conseguiam ser descritos com os modelos usuais e
que seriam solucionados mais à frente.
A Geometria Fractal surge então em 1975 da descrição matemática feita por Mandelbrot da
idéia de Euclides, mas com o incremento do conceito de dimensão.
Mandelbrot, com base nas idéias que tivera até o momento, construiu trabalhos em várias
áreas, dentre eles destacam-se um modelo matemático de simulação da bolsa, estudos
sobre turbulências atmosféricas e geografia quantitativa, pela qual calculou a medida da
costa da Grã-Bretanha.
Benoit Mandelbrot nasceu em Varsóvia (1924), integrou-se ao grupo Bourbaki, formado por
jovens matemáticos buscando a reconstrução da matemática francesa. As idéias do grupo
se difundiram por vários países, mas Mandelbrot deixou o grupo, pois não suportava a
abstração imposta pelo mesmo; em seguida estudou Ciência Aeroespacial nos Estados
Unidos e passou a trabalhar na IBM – International Business Machines – com problemas de
economia.
Na empresa, Mandelbrot soube que havia um ruído nas linhas telefônicas em rede entre os
computadores e sua aleatoriedade fazia com que os engenheiros desistissem de buscar
soluções para o problema. Ele então resolveu a situação aplicando um trabalho de Georg
Cantor, interpretando os ruídos como um conjunto de Cantor. A partir daí Mandelbrot
procurou situações em diversas áreas, atuais e antigas para aplicar suas idéias.
Motivado por suas descobertas Mandelbrot trabalhou e aperfeiçoou a Geometria Fractal,
sendo reconhecido e ocupando diversos cargos acadêmicos, além de publicar diversos
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trabalhos dentre eles: Les objects fractals, forme, hassard et dimension (Paris: Flamarion,
1975), The Fractal Geometry of Nature (New York: Freeman, 1977) e Fractals: form, chance
and dimension (San Francisco: Freeman, 1977). Benoit Mandelbrot faleceu no dia 14 de
outubro de 2010, em Cambridge.
Há indícios de que os fractais já existiam antes do século XX, mas eram chamados de
“monstros matemáticos” na região da Grécia Homérica, Índia e China. Segundo
Niedermeyer, Koefender e Roos (2009, p.4), “Mandelbrot ao definir os fractais se apoiou em
matemáticos e cientistas, que já haviam se dedicado a este estudo sistemático dos fractais,
mas não chegaram a ter uma conclusão exata dos seus estudos, dentre eles Georg Cantor
(1845-1918), David Hilbert (1862-1943), Giusepe Peano (1858-1932), Helge von Koch
(1870-1924), Waclaw Sierpinski (1882-1969), entre outros.”
As históricas construções fractais como Cantor, Sierpinski, von Koch,
Peano, etc., foram chamadas de “monstros da matemática”; mas estas
estranhas criações são um fato típico na natureza. Conseqüentemente,
fractais se tornaram componentes essenciais na modelagem e simulação da
natureza. (PEITGEN; JÜRGENS; SAUPE, 1992, p.10)
Segundo Barbosa (2002, p.9), “Mandelbrot as denominou fractais, baseando-se no latim, do
adjetivo fractus, cujo verbo frangere correspondente significa quebrar: criar fragmentos
irregulares, fragmentar”. A partir deste novo conceito ele desenvolveu e divulgou sua teoria
estudando formas geométricas abstratas e padrões complexos que se repetem
infinitamente, mesmo limitados em uma área finita.
Morin estuda sobre a complexidade em sua obra e define o pensamento complexo com o
objetivo de romper com a idéia de um saber parcelado, acreditando na incompletude de todo
e qualquer conhecimento (PETRAGLIA, 2005, p.58).
Para Morin (2007, p.35), “A complexidade coincide com uma parte de incerteza, seja
proveniente dos limites de nosso entendimento, seja inscrita nos fenômenos. [...] é a
incerteza no seio de sistemas ricamente organizados”. Seu conceito sobre pensamento
complexo pode ser ligado à idéia de fractal, já que este surge a partir de iterações que se
completam e formam um todo elaborado, interligado, e que busca padrões dentro de
sistemas aparentemente aleatórios e infinitos. Ainda, segundo o autor,
É a viagem em busca de um modo de pensamento capaz de respeitar a
multidimensionalidade, a riqueza, o mistério do real; e de saber que as
determinações – cerebral, cultural, social e histórica – que se impõem a
todo o pensamento co-determinam sempre o objeto de conhecimento. É isto
que eu designo por pensamento complexo. (MORIN, 2005, p.14)
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A Geometria Fractal está intimamente ligada à Teoria do Caos, a qual teve sua investigação
iniciada nos anos 1960, quando se descobriu que sistemas complexos, que podiam
descrever possíveis previsões do tempo, podiam ser traduzidos por equações matemáticas
simples, do mesmo modo, sistemas que eram aparentemente simples podiam levar a
problemas muito complexos.
Segundo Devaney (1991, p.23), “Através do estudo desta ciência, verificou-se que um
sistema passa facilmente de um estado de ordem para um estado caótico, podendo surgir,
por vezes de uma maneira espontânea, dentro do caos, a ordem.”
De acordo com Valim e Colucci (2008, p.3), “as principais características dos fractais, são:
• Auto-semelhança ou Auto-similaridade: Ao tomar um trecho do fractal, percebe-se que tal
trecho é semelhante ao fractal, apenas com uma redução na escala, do tamanho original.
Esta característica permanece em qualquer nível de construção do fractal;
• Estrutura fina: O grau de detalhamento de um fractal não diminui se examinada uma
porção arbitrariamente pequena do mesmo.”
Além destas, Niedermeyer, Koefender e Roos (2009, p.5) ainda ressaltam que “um fractal
apresenta as seguintes características:
• Dimensão fracionária ou não-inteira, ou seja, a dimensão fractal representa o grau de
irregularidade do objeto e o espaço que ele ocupa em dimensões euclidianas;
• Irregularidade no sentido de “não-suavidade” ou fragmentação;
• Geração por processos iterativos ou a partir de algoritmos (repetições de regras).”
Pode-se ilustrar a “auto-similaridade”, dividindo várias vezes um pedaço de couve-flor no
qual cada pedaço se parece com a forma inicial (Figura 1).
Figura 1: Pedaços de couve-flor apresentando
auto-similaridade
Fonte: Própria
Um fractal é uma figura que pode ser quebrada em pequenos pedaços, sendo cada um
desses pedaços uma reprodução do todo. Não podemos ver um fractal porque é uma figura
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limite, mas as etapas de sua construção podem dar uma idéia da figura toda. (SALLUM,
2005, p.1)
Segundo Fernandes (2007, p.4), “Na década passada, alguns estudos revelaram que um
coração saudável bate a um ritmo fractal e que um batimento cardíaco quase periódico é um
sintoma de insuficiência cardíaca”.
A Geometria Fractal tem aplicações em diversas áreas em fenômenos naturais e sociais,
tais como o formato de nuvens, relâmpagos, certas árvores e plantas, além de ser aplicada
em áreas como computação, nas engenharias, biologia (estudo de habitats), geografia,
física, arte, entre outras (Figura 2). Também na Medicina, há outras aplicações importantes
como a ajuda no diagnóstico de câncer de boca.
Figura 2: Imagem de uma planta
com propriedades fractais
Fonte: Fernandes (2007)
Além disso, com as evoluções na informática é possível criar fractais artificiais (Figura 3),
através de softwares que, realizando inúmeras iterações de uma equação, muitas vezes
simples, criam imagens curiosas, cuja beleza é utilizada nas artes.
Figura 3: Exemplo de fractal criado em
computador
Fonte: Peitgen, Jürgens, Saupe (1992)
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No início, Mandelbrot definiu fractal como um conjunto para o qual a dimensão Hausdorff-
Besiconvitch excede estritamente a dimensão topológica (BARBOSA, 2002, p.10), mas o
próprio Mandelbrot ficou descontente com esta definição, além de ter recebido muitas
críticas a respeito da mesma. Outras definições apareceram em seguida como a de Feder
(BARBOSA, 2002, p.10): “um fractal é uma forma cujas partes se assemelham ao seu todo
sob alguns aspectos”; e a de Falconer (BARBOSA, 2002, p.10): “Um conjunto F é fractal se,
por exemplo:
- F possui alguma forma de “auto-similaridade” ainda que aproximada ou estatística;
- A dimensão fractal, definida de alguma forma, é maior que a sua dimensão topológica;
- O conjunto F pode ser expresso através de um procedimento recursivo ou iterativo.”
Neste estudo será utilizada a definição de Falconer, por seu caráter mais explicativo e
completo em relação às outras.
Nos dias de hoje a abordagem da matemática nas escolas tem sido feita, em sua maioria,
sem aplicações práticas e isso gera a falta de interesse por essa disciplina da parte dos
alunos; no Ensino Médio este descontentamento com a matéria é ainda mais presente, e
isto também se deve à forma como os conteúdos são abordados dentro de sala de aula.
É indiscutível que, para a maioria das pessoas, a matemática é uma
disciplina de grande importância. Um número considerável de pessoas
acredita que a disciplina é útil no cotidiano. Porém, é comum ouvir, seja de
estudantes, seja de profissionais de diversas áreas, que a sua relação com
a matemática não é ou não foi harmoniosa e prazerosa. (PEREIRA, 2002,
p.12)
No geral, os alunos, ao atingirem o Ensino Fundamental II e a partir dele, apresentam
atitudes negativas com relação à matemática em maior grau do que no Ensino Fundamental
I (BRITO, 1996, p.5). Essas atitudes negativas parecem estar associadas a um menor
rendimento na disciplina de matemática à medida que a escolaridade avança, podendo estar
associada à mudança da formação dos professores, dos métodos de ensino utilizados e da
relação professor x aluno. (PEREIRA, 2002, p.14)
A maioria dos alunos do Ensino Médio apresenta-se na faixa etária entre 15 e 18 anos, fase
caracterizada pela adolescência, na qual os mesmos passam por diversas mudanças físicas
e psicológicas. Formadores de opinião e consciência, estes se deparam com diversas
dificuldades e possuem necessidade constante de buscar grupos e interesses individuais
para se caracterizarem de alguma forma perante a sociedade; a escola significa para estes
alunos um local para conhecer pessoas, para definir gostos e conseqüentemente seu
caráter.
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A partir das características apresentadas em cada conteúdo, os alunos se identificam com a
matéria que lhe desperta interesse e que possui aplicação em sua vida prática. É neste
contexto que surge o descontentamento com o ensino da matemática, ciência abordada
muitas vezes como algo distante e sem aplicação, tendo pouco sentido para os alunos
assimilarem-na.
O contexto em que as atividades propostas estão inseridas, o estudante se
mobiliza a trabalhar uma atividade que a princípio parece simples, mas que
se mostra elaborada no decorrer do seu desenvolvimento, em que
habilidades matemáticas são requeridas e ele se sente desafiado. O
conceito de mobilização implica na idéia de movimento, no engajamento em
uma atividade porque existem boas razões para fazê-lo (CHARLOT, 2000,
p.54)
Para Utsumi (2000, p.32) “acessar as atitudes dos alunos em relação à matemática é um
aspecto importante de uma tarefa maior, que é ensinar e propiciar modificações nas atitudes
dos alunos, buscando melhorar o autoconceito e o desempenho dos mesmos”. E segundo
os Parâmetros Curriculares Nacionais – PCN – para a área de matemática, a atividade
matemática escolar não é “olhar para coisas prontas e definitivas”, mas a construção e a
apropriação de um conhecimento pelo aluno, que se servirá dele para compreender e
transformar sua realidade (BRASIL, 1997).
No entanto, o ensino de matemática se apresenta de forma desestimulante em muitas
escolas públicas e particulares do país por diversos motivos, dentre eles a exigência de
cumprimento por parte dos professores de uma extensa lista de conteúdos sobrando pouco
tempo para apresentação de aplicações, atividades práticas e motivadoras em sala de aula,
inclusive muitas escolas não possuem estrutura e condições para propor tais atividades
diferenciadas mostrando aos seus alunos onde a matemática é aplicada. Além disso, em
muitos vestibulares são cobrados apenas os conteúdos teóricos, como aplicação de
fórmulas, o que implica num foco das escolas apenas em “treinamento” de seus alunos para
o vestibular.
Para Sallum,
A introdução de fractais no Ensino Médio, além de satisfazer a curiosidade
de quantos já ouviram falar neles, propicia a oportunidade de trabalhar com
processos iterativos, escrever fórmulas gerais, criar algoritmos, calcular
áreas e perímetros de figuras com complexidade crescente, introduzir uma
idéia intuitiva do conceito de limite e é um excelente tópico para aplicação
de progressões geométricas e estímulo ao uso de tabelas. (SALLUM, 2005,
p.1)
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Para os fractais, em especial para a Geometria Fractal, faz-se necessário ao educador
conseguir captar o educando com o transparecer de sua própria vibração e talvez
evidenciando o êxtase na contemplação da beleza de seus visuais, conduzindo-o ao prazer
pelas informações e conhecimentos culturais da vasta variedade de fractais (BARBOSA,
2002, p.14).
Segundo Niedermeyer, Koefender e Roos (2009, p.8), alguns motivos para trabalhar fractais
na escola são:
• Trabalhar conteúdos a partir de exemplos encontrados na natureza estimula a criatividade,
o raciocínio lógico, motiva o educando e o auxilia na compreensão de conteúdos e conceitos
matemáticos;
• Deixar de usar somente quadro, giz e livro didático, em detrimento do uso de recursos
audiovisuais (computador, projeção audiovisual, lâminas), faz com que o educando se
concentre mais e visualize melhor as situações apresentadas;
• A Geometria Fractal pode ser trabalhada em qualquer nível de ensino, pois ela vai de uma
simples dobradura de papel até os entes matemáticos modernos que envolvem números
complexos, modelagem, etc.
Através da Geometria Fractal os alunos podem aprender conteúdos como contagem,
perímetros e áreas através das relações numéricas dos fractais e seus elementos; podem
trabalhar com padrões geométricos, estudando conceitos de medida, seqüências e limites;
podem analisar algoritmos e progressões, além de aprender idéias novas como a de auto-
semelhança e a dimensão fractal ou buscar intersecções entre alguns padrões
caleidoscópios e padrões fractais.
Além disso, pode-se trabalhar interdisciplinarmente com outras matérias como diz Gouvea
(2005, p.2), “pode-se trabalhar com ciências estudando as formas da natureza; desenho
geométrico, desenvolvendo as habilidades gráficas, através do manuseio de compasso e de
régua; educação artística, contribuindo no desenvolvimento do senso estético, criando e
colorindo fractais e informática, utilizando os softwares como auxiliares na aprendizagem, e
desenvolvendo no aluno habilidade no uso dos mesmos”.
Por meio da Geometria Fractal é possível integrar as ferramentas matemáticas essenciais à
formação adequada dos alunos, além de mostrar que a matemática é uma ciência que
possui amplas e diversas aplicações no cotidiano.
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MÉTODO
Os instrumentos utilizados para coleta de dados foram a observação e questionários
aplicados em turmas do Ensino Médio, um antes e outro depois da apresentação da aula
sobre Geometria Fractal.
Em primeiro lugar, foi realizada uma pesquisa exploratória através de busca detalhada sobre
o tema fractais, sobre a problemática do ensino da matemática no Ensino Médio atualmente,
e sobre a união destes dois temas, utilizando como fonte diversos meios. Esta etapa,
segundo Lüdke e André (2008, p.22), é o momento de especificar as questões ou pontos
críticos, de estabelecer os contatos iniciais para entrada em campo, de localizar os
informantes e as fontes de dados necessárias para o estudo.
Visando compreender do que se tratava e se o tema estaria adequado a turmas do Ensino
Médio, foi realizada uma pesquisa aprofundada sobre fractais, desde sua origem, a história
de sua descoberta, a necessidade de se buscar um artifício para resolver problemas que até
o momento se encontravam sem solução, seus precursores e idéias iniciais até as diversas
estruturas, diferentes definições, aplicações e outros temas que exigem mais técnica e
conhecimento da matemática.
Foram consultados livros, teses de doutorado, dissertações de mestrado, sites eletrônicos,
revistas e artigos de diversos tipos e níveis de aprofundamento para verificar até que ponto
a Geometria Fractal poderia ser abordada em sala de aula objetivando benefícios ao
processo de ensino-aprendizagem sem perder o foco do conteúdo principal abordado na
aula.
Assim como na investigação sobre os fractais, foram pesquisadas diversas fontes
direcionadas à área de educação e pedagogia para compreender a percepção dos alunos
em relação à matemática, e em especial à Geometria. Ao estudar essa problemática foi
dada atenção especial aos alunos do Ensino Médio, às dificuldades pelas quais eles
passam nesta fase da vida escolar e que direta ou indiretamente influenciam na motivação,
idéias e atitudes em relação à aprendizagem.
A pesquisa exploratória se faz necessária durante a elaboração do trabalho para que novos
conceitos e idéias sejam assimilados e incorporados dentro do contexto daquilo que se
busca no trabalho, além disso, a pesquisa também tem o objetivo de esclarecer dúvidas que
possam aparecer durante a realização do trabalho.
Após esse processo de pesquisa e uma síntese de tudo o que é relevante para a elaboração
do trabalho, foi possível compreender quais pontos da Geometria Fractal poderiam ser
aprendidos no Ensino Médio de modo a auxiliar os alunos em outros conteúdos.
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Para ter uma visão mais clara do cotidiano de turmas do Ensino Médio e sua opinião em
relação à proposta, foi organizada uma primeira coleta de dados com o objetivo de obter
informações sobre a realidade dos alunos neste momento escolar.
Existem diversos tipos de instrumentos que podem ser utilizados para a coleta, entre eles, a
observação, a entrevista e o questionário. A observação, segundo Lüdke e André (2008,
p.23), ocupa um lugar privilegiado na pesquisa educacional, pois possibilita um contato
pessoal e estreito do pesquisador com o fenômeno pesquisado, o que apresenta uma série
de vantagens. O observador pode recorrer aos conhecimentos e experiências pessoais
como auxiliares no processo de compreensão e interpretação do fenômeno estudado. A
introspecção e a reflexão pessoal têm papel importante na pesquisa. A observação pode ser
utilizada associando-se a outros instrumentos de coleta de dados. Segundo Dencker (2001,
p.137), o questionário e a entrevista são os mais freqüentes e possuem em comum o fato de
serem constituídos de uma lista de indagações que, se respondidas, dão ao pesquisador a
informação necessária.
Dentre as modalidades entrevista e questionário, foi escolhido o uso de questionário, pois,
segundo Dencker:
Permite analisar aspectos subjetivos e objetivos e, portanto, o estudo direto
dos fenômenos sociais; permite perguntas sobre fatos e opiniões; pode ser
aplicado a um grande número de pessoas simultaneamente; permite a
obtenção de uma grande quantidade de informações com referência a
aspectos bastante diversificados; garante certa uniformidade das respostas
devido ao caráter padronizado das perguntas, instruções etc. (DENCKER,
2001, p.148)
O questionário foi auto-aplicável, ”feito para ser preenchido pelos próprios respondentes”
(MAY, 2004, p.119), composto por perguntas semi-abertas, que segundo Dencker (2001,
p.150), limitam as respostas às alternativas apresentadas em uma resposta (sim ou não),
mas que possuem continuação aberta.
O questionário foi elaborado com nove perguntas, envolvendo dados escolares e faixa etária
dos alunos, perguntas sobre a visão dos mesmos em relação às aulas de matemática, os
conteúdos e a forma como eram transmitidos. O questionário trazia uma breve introdução
sobre a Geometria Fractal e os alunos eram solicitados a dar sua opinião quanto ao
interesse pelo tema abordado.
O questionário foi aplicado pela pesquisadora, primeiramente, aos alunos do 1º ao 3º ano do
Ensino Médio de uma escola pública situada em São Caetano do Sul. Houve 31
respondentes, com idades entre 15 e 18 anos, de turmas mistas do período diurno.
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Esse mesmo questionário foi aplicado também em um colégio particular em São Caetano do
Sul. Nesta escola houve 27 respondentes, do 1º ano ao 3º ano do Ensino Médio do período
diurno, sendo 19 meninas e 8 meninos, com idade de 14 a 17 anos.
Após a aplicação do questionário nas duas escolas de São Caetano do Sul, alunos de outra
escola pública, localizada no município de São Paulo, também responderam o questionário
que foi aplicado pela pesquisadora. Eram alunos do 2º ano do Ensino Médio do período
noturno, de uma turma mista composta por 18 alunos com faixa etária entre 16 e 18 anos.
A coleta de dados nas três escolas ocorreu em períodos diferentes, em escolas com
características diferentes e alunos com diversos estilos de vida, para obter opiniões em
relação à matemática.
Após aplicação do questionário foi feita uma análise qualitativa das respostas, verificando as
opiniões de cada um e se os alunos tinham em algum momento percepções parecidas com
relação ao ensino da matemática.
A partir do questionário respondido foi possível perceber quais as maiores dificuldades dos
alunos e o que eles gostariam de aprender. Então se iniciou o processo de formulação de
um plano de aula juntamente com um material para os alunos sobre fractais.
O material consta de uma pequena introdução sobre o que são fractais e breve histórico,
seguido de suas principais características e figuras contendo exemplos de fractais gerados
por computador e formas no cotidiano com características fractais (brócolis, árvore, folha,
pulmão humano). Esta primeira parte do material fornece idéias principais sobre a
Geometria Fractal para que possa estimular os alunos através das formas e mostrar a eles
algumas aplicações da matemática no cotidiano.
Após a introdução sobre fractais, o material traz dois exercícios de aplicação. Os exercícios
abordam Progressão Geométrica através da construção de um fractal, de forma que,
partindo do princípio de criação dos fractais Curva de Koch (Figura 4) e Triângulo de
Sierpinski o aluno possa perceber, ao montar uma tabela que contém o número de lados,
comprimento dos lados, comprimento das curvas e outras características, que há uma
relação entre as informações conforme ocorre a repetição das regras de construção do
fractal, e que essa relação trata-se de uma Progressão Geométrica (conteúdo revisado
antes do início da aula). Dessa forma é possível descobrir valores como, por exemplo, a
quantidade de lados do fractal depois de várias iterações sem a necessidade de desenhá-lo.
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Figura 4: Início da construção do fractal Curva de Koch
Fonte: Sallum (2005)
O plano de aula e o material seguem o mesmo princípio, sendo o primeiro voltado para o
professor, contendo explicações mais detalhadas e resolução de exercícios, e o segundo
para os alunos, com uma linguagem mais clara e direta, e explorando mais as figuras.
Após a apresentação da aula sobre a Geometria Fractal, foi aplicado um segundo
questionário objetivando analisar a percepção dos alunos sobre o conteúdo aprendido e sua
opinião. O questionário possui nove questões abordando, além dos dados dos alunos (sem
identificação pessoal), questões sobre as idéias apresentadas na aula como alguns
princípios que definem um fractal, suas características, alguns exemplos no cotidiano para
que os mesmos assinalassem as figuras que julgavam representar um fractal, e por último
perguntava-lhes se acreditam que a matemática está presente em seu cotidiano e, assim
como no primeiro questionário (anterior à aula), se acreditam que as aulas se tornariam
mais ilustrativas e prazerosas caso fossem apresentados assuntos como a Geometria
Fractal durante as aulas.
A partir do plano de aula elaborado, foi realizada uma aula com uma turma de 2º ano do
Ensino Médio de uma escola pública do município de São Paulo (a mesma turma mista de
18 alunos, do período noturno, com faixa etária entre 16 e 18 anos, que respondeu o
primeiro questionário).
Durante a aula os alunos acompanharam o material entregue. A aula foi ministrada pela
pesquisadora e foi utilizado o recurso de lousa e giz. No decorrer da exposição da aula foi
possível observar as principais dúvidas dos alunos, o comportamento e a postura deles
perante o tema apresentado.
Após o término da apresentação foi aplicado pela pesquisadora o questionário acerca do
assunto abordado durante a aula e a opinião deles sobre a aprendizagem da matemática
após a introdução dos conceitos da Geometria Fractal.
O questionário respondido e a observação do comportamento dos alunos realizada pela
pesquisadora durante a apresentação da aula foram extremamente úteis para chegar ao
resultado da pesquisa.
Como a aula e os questionários foram aplicados em escolas, os aspectos éticos foram
seguidos, de forma que antes de qualquer procedimento foi realizada uma reunião com os
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diretores e professores para explicar os objetivos e finalidades da pesquisa, seguida de uma
carta do orientador explicando a atividade. Além disso, em nenhum momento os alunos
foram forçados a participar da pesquisa. Houve um trabalho em conjunto com os
professores das turmas de forma a não prejudicar o cronograma da escola. Não houve
identificação pessoal de alunos e profissionais da educação durante a pesquisa.
RESULTADOS E DISCUSSÃO
Através da pesquisa exploratória foi possível perceber que hoje há muito preconceito em
relação à matemática por parte dos alunos, e grande parte dos mesmos não possui um bom
aproveitamento na matéria. Isso ocorre principalmente pelo fato de a matemática ser tratada
como algo distante da realidade vivida por todos, o que incomoda os alunos ao pensarem
que são cobrados a aprender algo que “nunca utilizarão” na prática. Além disso, há
professores que acabam afirmando esse pensamento, não oferecendo aos seus alunos a
oportunidade de conhecer aplicações da matemática, outros até buscam fazê-lo, mas diante
da pressão do cumprimento dos extensos currículos escolares acabam excluindo o
momento de reflexão e exemplificação.
Nos questionários aplicados foi perguntado aos alunos se os mesmos gostavam de
Geometria, e dos 76 alunos das três escolas pesquisadas, 63% responderam
negativamente. As respostas das três escolas foram bastante diferentes em relação a essa
pergunta, na primeira escola pública pesquisada, a porcentagem de negação foi de 84%
enquanto que na escola particular foi de 37% e na segunda escola pública pesquisada foi de
67% (Gráfico 1).
Questão: Você gosta de Geometria?
37%
67%
84%
63%
33%
16%
Escola Pública 1 Escola Particular Escola Pública 2
Sim Não
Gráfico 1: Opinião dos respondentes, em relação à Geometria
Os alunos justificaram que sua resposta negativa significa não gostar da matemática como
um todo devido à necessidade de uma quantidade muito grande de cálculos e desenhos,
além disso, muitos alunos das duas escolas públicas afirmaram que não tiveram aula de
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Geometria, pois faltava professor e conteúdo durante as aulas. Mesmo aqueles que
responderam 'Sim' concordaram que a matéria necessitava de treino, mas que era
interessante.
Apesar de a grande maioria ter respondido que não gosta de Geometria, 51% dos
respondentes afirmaram ter facilidade no aprendizado da mesma. Aqueles que afirmaram o
contrário justificaram a dificuldade pelo fato de, nas escolas públicas, não existir suporte a
eles quando há dúvidas e pela dificuldade inerente à matemática como um todo.
Analisando as respostas da pergunta "Você gostaria que as aulas de matemática fossem
mais ilustrativas, com mais exemplos na vida prática?", observa-se que na primeira escola
pública, 77% responderam afirmativamente, enfatizando que facilitaria muito e seria mais
interessante e divertido aprender e fixar o que já foi visto. Já na escola particular, 93% dos
alunos gostariam que as aulas de matemática fossem mais ilustrativas. Na segunda escola
pública pesquisada 94% responderam afirmativamente (Gráfico 2).
Questão: Aulas mais ilustrativas e com exemplos na
vida prática?
7% 6%
23%
93% 94%
77%
Escola Pública 1 Escola Particular Escola Pública 2
Sim Não
Gráfico 2: Opinião dos respondentes em relação a aulas mais
explicativas e exemplificadas.
Após uma pequena introdução sobre a Geometria Fractal e alguns exemplos de formas
encontradas no nosso cotidiano que representam fractais, foi questionado aos alunos se
eles gostariam de estudar outras Geometrias, diferentes daquelas que eles aprendem na
escola. Aqueles que responderam negativamente a essa questão justificaram que já existem
conteúdos demais na escola, outros justificaram que não pretendem seguir no ramo de
exatas futuramente. Mas a maioria dos respondentes (51%) mostrou-se motivada e
interessada pelas outras Geometrias, em especial pela Geometria Fractal.
Deve-se levar em conta que em nenhum momento o questionário dizia que este conteúdo
poderia ser incluído no currículo deles. Além disso, os alunos estavam cientes de que o
questionário não seria uma forma de avaliação cuja nota influenciaria no seu resultado
escolar.
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Após aplicação do questionário foi realizada com uma turma de 2º ano do Ensino Médio da
escola pública de São Paulo (segunda escola pública) a apresentação de uma aula sobre a
Geometria Fractal.
Durante a explicação do conteúdo os alunos ficaram quietos e atentos à definição e
características dos fractais, após ficarem extremamente curiosos ao verem figuras como a
de um brócolis e um pulmão humano como exemplos de fractais. Alguns alunos
esclareceram dúvidas, como por exemplo, o significado da palavra “iterativo”, que foram
respondidas.
Observando o comportamento dos alunos durante a aula verificou-se que os mesmos, num
primeiro momento, ficaram receosos ao saber que aprenderiam um conteúdo de matemática
que nunca tinham ouvido falar, apesar disso, ao virem figuras e imagens presentes no seu
cotidiano mostraram-se extremamente motivados. Apesar de muitas dúvidas que os alunos
tinham sobre Progressão Geométrica, conseguiram prestar atenção e compreender os
conceitos básicos sobre fractais.
Como explica Fernandes (2007, p.211) “A princípio, pensar em algo que tenha uma
dimensão fracionária causa estranhamento.”, por isso o assunto precisa ser abordado com
cautela e de forma que corresponda com as potencialidades de um aluno de Ensino Médio.
Após a apresentação da aula, foi aplicado o segundo questionário, no qual ficou evidente
que os alunos assimilaram o conteúdo. Apesar de possuírem o material referente à aula em
mãos eles não precisaram do mesmo para responder às questões e escreveram com suas
palavras tanto na questão que dizia “O que você entende por fractal?“ quanto a que
perguntava sobre as principais características de um fractal, sendo que 90% dos alunos
compreenderam e responderam corretamente.
Na identificação de fractais, 90% da turma indicaram corretamente dentre as quatro figuras
apresentadas, as que eram exemplos de fractais no dia-a-dia. Em relação às questões
sobre a aplicação da matemática no cotidiano e se as aulas seriam mais ilustrativas e
prazerosas caso fossem apresentados conteúdos tais como a Geometria Fractal, 95% dos
alunos responderam afirmativamente, destacando que a matemática está presente em todas
as situações cotidianas, no lazer e em diversos outros momentos. Sobre a questão referente
às aulas mais prazerosas a grande maioria dos alunos afirmou ter gostado e se interessado,
assim como afirma uma aluna da turma: “Eu nunca tinha ouvido falar, mas achei muito
interessante e fiquei curiosa. Acho que seria, sim, muito prazeroso ter aulas ilustrativas”.
Diversos são os benefícios em explorar esta Geometria na sala de aula, assim como diz
Gouvea (2005, p.6), o estudo da Geometria Fractal propicia o desenvolvimento do raciocínio
lógico-matemático, a integração entre conceitos matemáticos e elementos do cotidiano, o
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desenvolvimento do senso estético e a criatividade; além disso, esta Geometria possibilita a
interação com várias ciências.
Após a apresentação da aula e dos questionários aplicados antes e depois da explicação da
Geometria Fractal, verificou-se que os alunos inicialmente, no momento em que souberam
que iriam aprender algo novo, tinham ficado um pouco apreensivos, mas após terem
conhecido esta Geometria, com suas formas complexas, aplicações no cotidiano, e que
pode ajudar no aprendizado de conteúdos do Ensino Médio, os alunos perceberam que a
matemática não é uma ciência abstrata, e que por isso, o importante é estudá-la para
perceber onde a matemática está aplicada, sem receio de que seja complicada. Ao término
da experiência, os alunos afirmaram que gostariam de aprender mais sobre a Geometria
Fractal e que os mesmos ficariam muito mais motivados a estudar a matemática, com seus
diversos conteúdos, se durante as aulas fossem apresentadas outras aplicações.
CONCLUSÃO
Ao término desta pesquisa percebe-se que hoje há uma deficiência em muitas escolas,
quando se refere ao ensino da matemática, pois a disciplina é abordada durante as aulas
como algo distante do cotidiano dos alunos. Por este motivo é necessária a inclusão de
temas, durante as aulas, que estimulem os alunos, que os motivem e que os façam
aprender a matemática sabendo que aqueles conhecimentos que o professor transmite são
uma descrição da natureza e das relações diárias, pois assim, o processo de ensino-
aprendizagem ocorreria de forma mais satisfatória.
O estudo dos fractais, por exemplo, pode despertar um fascínio nos estudantes pelas figuras
e construções particulares, pode fazê-los acreditar na facilidade em perceber padrões e
regularidades e ao mesmo tempo a complexidade, e irá estimulá-los no momento em que
eles encontrarem muitas destas formas no seu dia-a-dia. Além disso, ao desenvolver
atividades com fractais, as dificuldades em relação à Álgebra ou Geometria podem surgir e
o professor poderá trabalhar tais conteúdos com seus alunos.
Após a aplicação e análise dos questionários verificou-se que, apesar de a grande parte dos
alunos não gostar da Geometria, fato este justificado pela dificuldade que eles apresentam
em compreender a disciplina, pela forma como os conteúdos são transmitidos, pela má
estrutura da instituição e dos currículos escolares, a maioria demonstrou sua vontade em
participar de aulas mais ilustrativas, com exemplos na vida prática.
Desta forma, os objetivos desta pesquisa foram atingidos, pois, por meio de uma
investigação com alunos, exatamente com aqueles que são diretamente afetados pelas
dificuldades de aprendizagem na escola, foi possível encontrar uma forma clara e objetiva,
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de tratar o tema fractais trabalhando seus conceitos de uma forma não aprofundada, mas
que foi possível apresentar a idéia necessária do que é um fractal e onde ele está presente
no cotidiano.
O exemplo de atividade apresentado neste trabalho, uma aplicação de fractais no estudo de
Progressão Geométrica, é um dentre muitos outros existentes, mas conteúdos como
contagem, perímetros, áreas, padrões geométricos, conceitos de medida, seqüências,
limites, também podem ser trabalhados, gerando uma grande quantidade de oportunidades
de aplicação da Geometria Fractal nas aulas de matemática. Além disso, há diversos
benefícios nesta prática, tais como o estímulo à criatividade, ao raciocínio lógico, o aumento
da motivação em aprender matemática, dentre tantos outros benefícios proporcionados por
essa Geometria presente no nosso dia-a-dia e que encanta pela beleza de suas formas e
construções.
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