Em parceria com a Professora Helena Abascal, publicamos os relatórios das pesquisas realizados por alunos da fau-Mackenzie, bolsistas PIBIC e PIVIC. O Projeto ARQUITETURA TAMBÉM É CIÊNCIA difunde trabalhos e os modos de produção científica no Mackenzie, visando fortalecer a cultura da pesquisa acadêmica. Assim é justo parabenizar os professores e colegas envolvidos e permitir que mais alunos vejam o que já se produziu e as muitas portas que ainda estão adiante no mundo da ciência, para os alunos da Arquitetura - mostrando que ARQUITETURA TAMBÉM É CIÊNCIA.

1. Universidade Presbiteriana Mackenzie
INTERAÇÕES NUCLEARES NOS RAIOS CÓSMICOS
Samuel Mendes Sanches Junior (IC) e Fernanda Monti Steffens (Orientadora)
Apoio: PIBIC Mackenzie
Resumo
Os raios cósmicos foram descobertos no início do século 20 por Victor Hess, que para isto utilizou
balões a 5 km de altitude e assim verificou que quanto maior a altitude, maior a ionização. Esses
raios são compostos basicamente de prótons, que provem de diversas partes do universo. Sua
origem, que está intimamente interligada com sua aceleração inicial, ainda é um tema muito debatido
na comunidade científica atual. Podem ser essencialmente divididos em raios cósmicos primários,
sendo as partículas originais da fonte que ainda não sofreram nenhum tipo de interação, e raios
cósmicos secundários, sendo as partículas produzidas por interações das partículas primárias com os
núcleos presentes na atmosfera. Ao entrarem na atmosfera pode-se ter dois eventos, cascata
atmosférica, se as partículas não atingirem o solo, ou chuveiro atmosférico, se atingirem o solo. Este
trabalho tem como objetivo estudar as interações que acontecem nos raios cósmicos ao se chocarem
com os núcleos presentes na atmosfera. Para isto foi feito um detalhado levantamento bibliográfico
das grandezas utilizadas no estudo dos raios cósmicos para então verificar uma possível conexão
com a seção de choque próton-próton, que é de extrema importância na física nuclear. Como
resultado, foi deduzido uma expressão que retorna os valores do fluxo de prótons a partir da energia
inicial no sistema de laboratório, desde o nível do mar a até altitudes elevadas.
Palavras-chave: raios cósmicos; altas energias; seção de choque
Abstract
th
The cosmic rays were discovered in the earlier 20 century by Victor Hess, which uses balloons at 5
km altitude and verify that the higher altitude, higher the ionization. These rays are composed
basically by protons, coming from several parts of the universe. Their origin, which is closely linked
with their initial acceleration, is still debated in the current scientific community. They may be
essentially divided into primary cosmic rays, being the original particles of the source which still did not
suffer any kind of interaction, and secondary cosmic rays, being the particles produced due to the
primary particles' interactions with the nuclei of atmosphere. When enter in the atmosphere, could
have two events, atmospheric cascade, if the particles not reaching the ground, or air shower, if
reaching the ground. This work aims study the interactions that occur when cosmic rays collide with
the nuclei in the atmosphere. To do this was made a detailed bibliography of quantities used in the
study of cosmic rays and then verify a possible connection with the proton-proton cross section, which
is of extreme importance in nuclear physics. As result, was deducted an expression that calculates the
values of the proton flux from the initial energy in the laboratory system, since sea level up to high
altitudes.
Key-words: cosmic rays; high energy; cross section
1

2. VII Jornada de Iniciação Científica - 2011
INTRODUÇÃO
O estudo dos raios cósmicos é relativamente recente, tendo seu início por volta de 1900
como resultado da observação da ionização de gases contidos em recipientes fechados.
Posteriormente, foram realizados experimentos com balões para verificar qual seria a
participação da Terra nesta ionização. A descoberta dos raios cósmicos é atribuída a Victor
Hess, que em 1912 utilizou balões em grandes altitudes. Em 1950 já eram conhecidas as
principais características dos raios cósmicos primários (aqueles que não sofreram
interações desde sua fonte até a Terra), porém as informações obtidas da composição e do
espectro não ajudavam em quase nada para o conhecimento de sua origem e fonte. Sendo
sua origem uma das questões centrais da astrofísica dos raios cósmicos de hoje em dia.
Os detalhes dos movimentos dos raios cósmicos ainda não são totalmente compreendidos
(sabe-se que o campo magnético galáctico representa um papel fundamental neste
movimento). Como não se tem uma teoria definitiva que explique a natureza da propagação
dos raios cósmicos baseada na interação de partículas relativísticas com o meio interestelar,
pode-se utilizar modelos semi-empíricos.
Este trabalho tem como intuito estudar as interações que acontecem nos raios cósmicos ao
se chocarem com os núcleos presentes na atmosfera, já que a energia envolvida neste
processo é muito superior a que se tem nos laboratórios hoje em dia na Terra.
REFERÊNCIAL TEÓRICO
A origem dos raios cósmicos ainda é um dos problemas não resolvidos em astrofísica. Para
entender como são originados é preciso, em um contexto amplo, conhecer os efeitos físicos
de como a sua aceleração e propagação através do espaço podem ocorrer. Sendo a sua
composição basicamente prótons e outras partículas carregadas, tem-se interação com
campos eletromagnéticos, que são aleatórios (em direção e sentido) e abundantes no
universo.
De acordo com C. Grupen (2005) os raios cósmicos podem ser produzidos e acelerados
por:
Explosões de supernova.
Estrelas de nêutrons em rotação e altamente magnetizadas (pulsares).
Discos de acreção de buracos negros.
Centros de galáxias com núcleo ativo.
Também se pode ter uma aceleração através do meio interestelar ou intergaláctico devido à
interação com extensas nuvens de gás (estas nuvens são criadas devido a irregularidades
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3. Universidade Presbiteriana Mackenzie
de campos magnéticos implicando que partículas carregadas podem ganhar energia
enquanto são espalhadas pelas constituintes dessas nuvens magnéticas) (GRUPEN, 2005).
As radiações cósmicas produzidas na fonte são comumente chamadas de raios cósmicos
primordiais. As partículas com origens galácticas costumam atravessar uma coluna de
densidade de aproximadamente 6 g/cm² antes de atingirem o topo da atmosfera terrestre,
este topo corresponde a uma altitude de aproximadamente 40 km. Os raios cósmicos que
chegam até a atmosfera terrestre sem sofrerem perturbações consideráveis, como a
produção de outras partículas, são chamados de raios cósmicos primários (GRUPEN,
2005).
Normalmente as partículas aceleradas são prótons e elétrons, porém todos os elementos da
tabela periódica são produzidos nas fontes, como os núcleos de hélio e lítio. Os raios
cósmicos apresentam certas similaridades com as abundâncias encontradas no sistema
solar. Além de partículas carregadas, pode-se ter também a produção de outras partículas
que emergem das fontes, como neutrinos, do canal ߨ ା → ߤା + ߥఓ , e fótons, do canal
ߨ ଴ → ߛ ߛ (GRUPEN, 2005).
Os elementos presentes nos raios cósmicos são, aproximadamente, 85 % são prótons, 12
% partículas ߙ e elementos com Z ≥ 3 representam somente 3 %. Ao analisar a composição
química dos raios cósmicos e do sistema solar, vê-se que as duas distribuições tem picos no
carbono, nitrogênio, oxigênio e no grupo do ferro. Isto pode ser explicado pelo fato de que
os raios cósmicos foram acelerados de fontes que possuem a mesma composição química
que o sistema solar. Porém os raios cósmicos possuem alguns elementos em excesso,
como o lítio, berílio, boro e elementos com um número atômico um pouco menor que o do
ferro (sub-Fe). O excesso dos elementos Li, Be e B podem ser explicados pela
fragmentação de núcleos de carbono e oxigênio e os elementos sub-Fe podem ser
explicados pela fragmentação ou espalação (que é a fissão nuclear de um átomo
desintegrado que sofre um impacto de uma partícula com alta energia, que pode ser um
próton) do ferro (GAISSER & STANEV, 2006).
O espectro das energias para os raios cósmicos primários com energia maior que 2
GeV/nucleon está mostrado no Gráfico 1.
As partículas que possuem baixa energia são modificadas pelos campos magnéticos do Sol
e da Terra. O ciclo de 11 anos de manchas solares modula a intensidade dos raios
cósmicos primários com energias menores que 1 GeV/nucleon. Quando o Sol está ativo a
intensidade dos raios cósmicos é reduzida, devido à criação de intensos campos
magnéticos, que impede partículas galácticas carregadas de atingirem a Terra (NAKAMURA
et al., 2010).
3

4. VII Jornada de Iniciação Científica - 2011
dN/dE (de núcleos) [1/(m² Sr s GeV)]
Energia cinética por partícula ou núcleo (GeV)
GRÁFICO 1: Componentes dos raios cósmicos primários
Fonte: Adaptado de Nakamura et al., 2010
O espectro de todas as partículas com carga está mostrado no Gráfico 2, com suas
respectivas estruturas. Acredita-se que os raios cósmicos com energias de até 1015 eV são
produzidos na nossa Galáxia. Logo após da região denominada de “joelho” o espectro se
torna mais íngreme e decresce, na região denominada de “tornozelo” (energias da ordem de
1018 eV) o espectro se achata (NAKAMURA et al., 2010).
Joelho
Tornozelo
GRÁFICO 2: Espectro de todas as partículas, a parte cinza significa o intervalo de medidas dos raios cósmicos
Fonte: Adaptado de Nakamura et al., 2010
Em 1966 Greisen, Zatsepin e Kuzmin, logo após a descoberta da radiação cósmica de
fundo, realizaram um cálculo que indica que prótons com energias maiores que 6x1019 eV
sofreriam interações com estes fótons que permeiam o espaço e assim perderiam energia.
Estas interações são dadas através da ressonância pelos canais (LAMPARD, CLAY &
DAWSON, 1997):
4

5. Universidade Presbiteriana Mackenzie
ߛ + ‫ ߨ + ′݌ → ݌‬଴
(1)
ߛ + ‫ߨ + ݊ → ݌‬ା
Esta energia máxima é chamada de limite GZK, e leva os prótons a terem um livre caminho
médio pequeno, da ordem de 10 Mpc, surgindo então o mistério das fontes que podem
acelerar as partículas a esta alta energia, pois com essas distâncias próximas (em escala
astronômica) não se tem conhecimento de que objeto do universo poderia fornecer tamanha
energia para uma partícula. No Gráfico 3 pode-se verificar o livre caminho médio para
interações de um próton com a radiação cósmica de fundo em função da energia do raio
cósmico. Claramente verifica-se que partículas com energias da ordem de 1020 eV são
bastante atenuadas, tendo um livre caminho médio de aproximadamente apenas 30 Mpc e
no Gráfico 4 verifica-se para uma dada energia inicial do próton qual será a energia após
ter-se percorrido alguns Mpc (LAMPARD, CLAY & DAWSON, 1997).
Distância (Mpc)
log ߝ (eV)
GRÁFICO 3: Livre caminho médio para interações de um próton com a radiação cósmica de fundo
Fonte: Adaptado de Lampard; Clay; Dawson, 1997
log ߝ (eV)
Distância (Mpc)
GRÁFICO 4: Energia média em função da distância, de uma amostra de 1000 prótons, com a energia inicial
indicada
Fonte: Adaptado de Lampard; Clay; Dawson, 1997
Os raios cósmicos primários ao encontrarem a atmosfera terrestre, interagem com os
átomos que a constitui, produzindo novas partículas, que são comumente chamadas de
raios cósmicos secundários.
5

6. VII Jornada de Iniciação Científica - 2011
Para ter-se um melhor conhecimento das interações que se dão na atmosfera, deve-se ter
um conhecimento de sua estrutura e composição. Na Figura 1 pode-se ver como a
atmosfera está divida.
As partículas secundárias produzidas na atmosfera estão intimamente conectadas com a
espessura de matéria atravessada (ou profundidade atmosférica dado em g/cm²), no
Gráfico 5 pode-se verificar como a profundidade atmosférica varia com a altitude. A
profundidade atmosférica está relacionada com a densidade da atmosfera de acordo com a
equação (2) (GAISSER, 1990):
ஶ
ܺሺℎሻ = න ߩሺℎ′ሻ݀ℎ′ (2)
௛
Troposfera Estratosfera Mesosfera Termosfera Exosfera
18 km 50 km 80 km 690 km 800 km
Balõe s
Monte Everest Meteorológicos Meteoros Auroras Ônibus Espacial
FIGURA 16: Camadas da atmosfera até o espaço
Fonte: Adaptado de Putze, 2006
Profundidade atmosférica (g/cm²)
Altitude (km)
GRÁFICO 5: Variação da profundidade atmosférica em função da altitude
Fonte: Adaptado de Putze, 2006
Através do Gráfico 5 verifica-se que no nível do mar a profundidade atmosférica equivale a
1000 g/cm², enquanto que experimentos realizados com balões (~ 40 km) a profundidade é
de 5 g/cm². Em termos de produção de partículas secundárias isto representa uma grande
diferença, devido ao processo de fragmentação com os núcleos da atmosfera (PUTZE,
2006).
Como as partículas primárias possuem energias relativísticas, quando entram na atmosfera,
interagem com os núcleos ali presentes e produzem muitas outras partículas secundárias,
6

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como está ilustrado na Figura 2. Estes eventos são regidos por equações de transporte que
dependem das propriedades da partícula, suas interações e da estrutura da atmosfera.
FIGURA 2: Ilustração do produto das interações de uma partícula primária com a atmosfera
Fonte: Adaptado de Van Allen, 1993
Esta produção exponencial de partículas forma o que é chamado de cascata atmosférica, se
a partícula primária não tiver energia maior que 1014 eV (com essa energia as partículas
secundárias não irão ser detectadas no solo), ou de chuveiro atmosférico, se a partícula
primária tiver energia maior que 1014 eV (FERRARI & SZUSZKIEWICZ, 2008).
Em uma cascata ou chuveiro atmosférico podem-se distinguir três componentes:
componente méson-muônica, componente eletromagnética e componente nucleônica.
Quando o chuveiro atinge o solo, ele normalmente possui um raio de centenas de metros,
para este raio é dado um nome especial, raio de Molière, que engloba 90 % da energia
distribuída no plano do solo. Como exemplo, uma partícula primária com 1019 eV (ou 1 EeV)
possui um raio de Molière de 70 metros. A extensão real do chuveiro é muito maior e alguns
múons podem até ser detectados a km do centro. A componente nucleônica normalmente
fica concentrada no centro do chuveiro, que é alinhado com a direção da partícula incidente.
A quantidade de partículas secundárias que chegam ao solo é imensa. Para exemplo, seja
uma partícula primária com 1 EeV e considere somente partículas secundárias com
energias superiores a 200 keV. Neste caso, ter-se-á no solo em torno de 1010 partículas
(FERRARI & SZUSZKIEWICZ, 2008).
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8. VII Jornada de Iniciação Científica - 2011
No Gráfico 6 está mostrada uma comparação de um chuveiro iniciado por um fóton e por um
próton com energia de 100 TeV, com incidência perpendicular, enquanto na Figura 3 está
mostrada uma simulação de um chuveiro produzido por um próton com 1015 eV.
Fóton Hádrons Próton Hádrons
Múons Múons
Altitude (km)
Distância do centro do chuveiro (km) Altitude (km)
Distância do centro do chuveiro (km)
GRÁFICO 6: Comparação de um chuveiro iniciado por um fóton e por um próton com 100 TeV, mostrando
somente partículas secundárias com ε > 1 GeV
Fonte: Adaptado de Grupen, 2005
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FIGURA 3: Simulação de um chuveiro iniciado por um próton com 10 eV, as cores representam diferentes
partículas, vermelho = elétrons, pósitrons e fótons gama, verde = múons e azul = hádrons
Fonte: Carvalho Junior, 2008
MÉTODO
Foi feita uma extensa pesquisa bibliográfica, com a pretensão de encontrar uma relação
com a seção de choque próton-próton com o fluxo dos raios cósmicos. Após a extensa
pesquisa, foram feitas aproximações (detalhadas em resultados) para que conseguisse
chegar a uma relação entre estas grandezas.
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RESULTADOS
Energia mínima
Dada a reação ‫ ⋯ + ܦ + ܥ → ܤ + ܣ‬e considerando, no sistema de laboratório, a partícula ‫ܣ‬
como incidente e a partícula ‫ ܤ‬em repouso, tem-se os quadri momentos: ܲ஺ ሺ‫ܧ‬஺ , ‫݌‬஺ ሻ e
Ԧ
ܲ஻ ሺ݉஻ ܿ ଶ , 0ሻ. Então o quadrado da soma dos quadri momentos para as partículas antes da
reação será:
‫ݏ‬௜ = ሺܲ஺ + ܲ஻ ሻଶ = ܲ஺ + ܲ஻ + 2ܲ஺ ܲ஻
ଶ ଶ
(3)
onde ܲ஺ = ‫ܧ‬஺ − ‫݌‬஺ = ݉஺ ܿ ସ, ܲ஻ = ݉஻ ܿ ସ , ܲ஺ ܲ஻ = ‫ܧ‬஺ ݉஻ ܿ ଶ e ‫ܧ‬஺ = ܶ஺ + ݉஺ ܿ ଶ , sendo ܶ஺ a
ଶ ଶ ଶ ଶ ଶ ଶ
energia cinética da partícula ‫.ܣ‬
A equação (3) se torna:
‫ݏ‬௜ = ݉஺ ܿ ସ + ݉஻ ܿ ସ + 2݉஻ ܿ ଶ ሺܶ஺ + ݉஺ ܿ ଶ ሻ
ଶ ଶ
(4)
Para os produtos da reação faz-se ‫ ܿܯ‬ଶ = ݉௖ ܿ ଶ + ݉஽ ܿ ଶ + ⋯, utiliza-se o sistema de centro
de massa, com: ܲெ ሺ‫ ܿܯ‬ଶ , 0ሻ.
O quadrado do quadri momento será:
‫ݏ‬௙ = ܲெ = ‫ܯ‬ଶ ܿ ସ
ଶ
(5)
O quadrado da soma dos quadri momentos se conserva independente do sistema adotado.
Então se iguala a equação (4) e (5), obtendo-se:
݉஺ + ݉஻ + 2݉஻ ሺܶ஺ + ݉஺ ሻ = ‫ܯ‬ଶ
ଶ ଶ (6)
Resolvendo para ܶ஺ , chega-se na energia mínima necessária que a partícula ‫ ܣ‬necessita ter
para que a reação ocorra:
‫ܯ‬ଶ − ݉஺ − ݉஻ − 2݉஺ ݉஻ ሺ‫݉ − ܯ‬஺ − ݉஻ ሻሺ‫݉ + ܯ‬஺ + ݉஻ ሻ
ଶ ଶ
ܶ஺
௠௜௡
= = (7)
2݉஻ 2݉஻
Pode-se chamar na equação (7) −ሺ‫݉ − ܯ‬஺ − ݉஻ ሻ = −ܳ ≡ ∑൫݉௜ − ݉௙ ൯, sendo ݉௜ as
massas das partículas antes da colisão e ݉௙ as massas dos produtos da colisão. Ainda na
equação (7), tem-se ሺ‫݉ + ܯ‬஺ + ݉஻ ሻ ≡ ∑ ݉௝ , onde ݉௝ são todas as massas envolvidas na
reação e ݉஻ é a partícula alvo. Assim chega-se:
∑ ݉௝
ܶ஺ = −ܳ
௠௜௡ (8)
2݉௔௟௩௢
As principais reações que ocorrem na atmosfera para a produção de píons é dada por
Schlickeiser (2002):
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‫ܽ + ݌ + ݌ → ݌ + ݌‬ሺߨ ା + ߨ ି ሻ + ܾߨ ଴
‫ ߨ + ݊ + ݌ → ݌ + ݌‬ା + ܽሺߨ ା + ߨ ି ሻ + ܾߨ ଴
‫ ߨ2 + ݊ + ݊ → ݌ + ݌‬ା + ܽሺߨ ା + ߨ ି ሻ + ܾߨ ଴
‫ܽ + ߙ + ݌ → ߙ + ݌‬ሺߨ ା + ߨ ି ሻ + ܾߨ ଴
‫ ݁ܪ + ݊ + ݌ → ߙ + ݌‬ଷ + ܽሺߨ ା + ߨ ି ሻ + ܾߨ ଴
(9)
‫ ܪ + ݊ + ݌ + ݌ → ߙ + ݌‬ଶ + ܽሺߨ ା + ߨ ି ሻ + ܾߨ ଴
‫ܽ + ି ߨ + ݊ + ݌4 → ߙ + ݌‬ሺߨ ା + ߨ ି ሻ + ܾߨ ଴
‫ܽ + ݊2 + ݌3 → ߙ + ݌‬ሺߨ ା + ߨ ି ሻ + ܾߨ ଴
‫ܽ + ݊3 + ݌2 → ߙ + ݌‬ሺߨ ା + ߨ ି ሻ + ܾߨ ଴
‫ ߨ2 + ݊4 + ݌ → ߙ + ݌‬ା + ܽሺߨ ା + ߨ ି ሻ + ܾߨ ଴
onde ܽ e ܾ são números inteiros positivos.
Para ilustração escolheu-se a primeira e quinta reação.
Utilizando a equação (8) para a primeira reação tem-se:
ܳ = −ܽሺ݉గశ + ݉గష ሻ − ܾ݉గబ
෍ ݉௝ = 4݉௣ + ܽሺ݉గశ + ݉గష ሻ + ܾ݉గబ (10)
2݉௔௟௩௢ = 2݉௣
Usando ݉గశ = ݉గష = 140 ‫ ܿ/ܸ݁ܯ‬ଶ e ݉௣ = 938 ‫ ܿ/ܸ݁ܯ‬ଶ , e substituindo os valores nas
equações (10) e depois na equação (8), tem-se a energia mínima que o próton necessita em
função dos inteiros positivos ܽ e ܾ:
ሺ3725 + 280ܽ + 135ܾሻ
ܶ௣ = ሺ280ܽ + 135ܾሻ
௠௜௡ (11)
1876
Para a quinta equação tem-se:
ܳ = ݉ఈ − ݉௡ − ݉ு௘ య − ܽሺ݉గశ + ݉గష ሻ − ܾ݉గబ
෍ ݉௝ = 2݉௣ + ݉ఈ + ݉௡ + ݉ு௘ య + ܽሺ݉గశ + ݉గష ሻ + ܾ݉గబ (12)
2݉௔௟௩௢ = 2݉ఈ
Usando ݉ఈ = 3727 ‫ ܿ/ܸ݁ܯ‬ଶ, ݉௡ = 940 ‫ ܿ/ܸ݁ܯ‬ଶ e ݉ு௘ య = 2809 ‫ ܿ/ܸ݁ܯ‬ଶ, e substituindo os
valores nas equações (12) e depois na equação (8) tem-se a energia mínima que o próton
necessita em função dos inteiros positivos ܽ e ܾ:
10

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ሺ9352 + 280ܽ + 135ܾሻ
ܶ௣ = ሺ22 + 280ܽ + 135ܾሻ
௠௜௡ (14)
7454
Somente para simplificação usa-se ܽ = ܾ. No Gráfico (7) está mostrado o comportamento
das equações (11), em azul, e (14), em vermelho.
GRÁFICO 7: Gráficos para as energias mínimas que o próton incidente deve ter para que ocorra a primeira e
quinta reação, dadas pelas equações (9)
Fluxo a partir da seção de choque próton-próton
Partindo-se da seção de choque inclusiva (adimensional) de um nucleon incidente com
energia ߝ௜ , colidindo com o ar e produzindo outro nucleon com energia ߝ௙ (GAISSER, 1990):
݀݊௙ ൫ߝ௜ , ߝ௙ ൯
‫ܨ‬ேே ൫ߝ௜ , ߝ௙ ൯ = ߝ௙ (15)
݀ߝ௙
onde ݀݊௙ é o número de partículas produzidas após a colisão com energia entre ߝ௙ e
ߝ௙ + ݀ߝ௙ por colisão da partícula incidente.
ఌ೑
Fazendo a transformação ‫= ݔ‬ chega-se:
ఌ೔
݀݊௙ ሺ‫ݔ‬ሻ ݀‫ݔ‬ ݀݊௙ ሺ‫ݔ‬ሻ 1
‫ܨ‬ேே ሺ‫ݔ‬ሻ = ‫ߝݔ‬௜ = ‫ߝݔ‬௜
݀‫ߝ݀ ݔ‬௙ ݀‫ߝ ݔ‬௜
(16)
݀݊௙ ሺ‫ݔ‬ሻ
‫ܨ‬ேே ሺ‫ݔ‬ሻ = ‫ݔ‬
݀‫ݔ‬
ௗ௡೑ ሺ௫ሻ
Utilizando a aproximação ≈ 1, usada por Bjorken, Pakvasa, Simmons e Tuan (1969),
ௗ௫
tem-se:
‫ܨ‬ேே ሺ‫ݔ‬ሻ = ‫ݔ‬ (17)
Gaisser (1990) define o momento ponderado do espectro da seção de choque inclusiva
como:
11

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ଵ
ܼ௣௣ = න ‫ ݔ‬ఊିଵ ‫ܨ‬ேே ሺ‫ݔ‬ሻ݀‫ݔ‬ (18)
଴
Substituindo a equação (17) na (18) obtêm-se:
ଵ
ܼ௣௣ = න ‫ ݔ‬ఊ ݀‫ݔ‬
଴ (19)
1
ܼ௣௣ =
ߛ+1
onde ߛ é o índice espectral de energia e assume os valores 1,7 para energias de até 1013
eV, 2,2 para energias entre 1013 a 1017 eV e 1,8 para energias maiores que 1017 eV
(KAMPERT, 2001).
O comprimento de interação do nucleon com o ar, i. e. quanto o nucleon pode atravessar de
ar e então interagir com algum núcleo da atmosfera, é dado por (GAISSER, 1990):
‫݉ܣ‬௣
ߣே = (20)
ߪே
௔௥
onde ‫ ܣ‬é o número atômico do ar (~ 14,5), ݉௣ a massa do próton e ߪே é a seção de
௔௥
choque do nucleon com o ar.
O grande impasse agora é conhecer o valor da seção de choque do nucleon com o ar para
energias muito altas. Tem-se muitos estudos realizados em aceleradores de partículas para
o estudo da seção de choque, mas os aceleradores atuais possuem energia muito inferior
das que aparecem em raios cósmicos.
Porém Luna & Menon (2001) realizaram um estudo da seção de choque próton-próton com
dados de baixas energias obtidos em aceleradores e estimativas para os raios cósmicos,
ajustando uma curva analítica de segundo grau no logaritmo neperiano, com três
parâmetros ajustáveis. Foi testado três diferentes ensembles e o que melhor se ajustou foi o
ensemble 2, que leva para a equação (LUNA & MENON, 2001):
‫ݏ‬ ‫ ݏ‬ଶ
ߪ௣௣ = 45,78 − 3,315 ln ൬ ൰ + 0,3654 ൤ln ൬ ൰൨ (21)
‫ݏ‬଴ ‫ݏ‬଴
onde ‫ ݏ‬é a energia no centro de massa do sistema e ‫ݏ‬଴ = 1 ‫ ܸ݁ܩ‬ଶ , sendo ‫ ߝ = ݏ‬ଶ .
Pode-se ver no Gráfico 8 como a equação (21) se ajusta aos dados experimentais obtidos.
12

13. Universidade Presbiteriana Mackenzie
GRÁFICO 8: Parametrização para o ensemble 2
Fonte Luna & Menon, 2001
A seção de choque obtida com o uso da equação (21) é somente para colisões próton-
próton, porém precisa-se da seção de choque próton-ar, para isto parte-se da equação para
o raio nuclear (CHUNG, 2001):
ܴ = ܴ଴ ‫ܣ‬ଵ⁄ଷ (22)
onde ‫ ܣ‬é o número de massa do átomo e ܴ଴ é conhecido como constante do raio e possui o
valor de aproximadamente 1,16 fm.
Como a seção de choque é proporcional a área, tem-se:
ܴ ଶ = ܴ଴ ‫ܣ‬ଶ⁄ଷ
ଶ (23)
Então a seção de choque próton-ar se torna:
ߪ௣ = ‫ܣ‬ଶ⁄ଷ ߪ௣௣
௔௥
(24)
Assim a seção de choque é “aumentada” devido ao maior diâmetro dos núcleos, que contem
mais do que 1 nucleon, presentes na atmosfera.
Substituindo a equação (24) na (20), tem-se o comprimento de interação do nucleon
expresso em função da seção de choque próton-próton:
‫ܣ‬ଵ⁄ଷ ݉௣
ߣ௣ = (25)
ߪ௣௣
O comprimento de atenuação é dado por (GAISSER, 1990):
1
Λ = ߣே
1 − ܼ௣௣
(26)
Utilizando as equações (19) e (25), o comprimento de atenuação se torna:
13

14. VII Jornada de Iniciação Científica - 2011
‫ܣ‬ଵ⁄ଷ ݉௣ ሺߛ + 1ሻ
Λ= (27)
ߪ௣௣ ߛ
O fluxo dos nucleons (prótons e nêutrons) é dado por Gaisser (1990) como:
ܰሺߝ, ܺሻ = ܰሺߝ, 0ሻߝ ିሺఊାଵሻ ݁ ି௑⁄௸ (28)
௡௨௖௟௘௢௡௦
onde ܺ é a profundidade atmosférica e ܰሺߝ, 0ሻ = 1,8 × 10ସ ߝ ିሺఊାଵሻ .
௠మ ௦ ௦௥ ீ௘௏
Substituindo a equação (27) em (28), tem-se:
ܺߛߪ௣௣
ܰሺߝ, ܺሻ = 1,8 × 10ସ ߝ ିଶሺఊାଵሻ ݁‫ ݌ݔ‬ቈ ଵ⁄ଷ ቉ (29)
‫݉ ܣ‬௣ ሺߛ + 1ሻ
A equação (29) informa o fluxo dos prótons e nêutrons, porém quer-se somente o fluxo dos
prótons. Para tanto, deve-se trabalhar somente com a fração do fluxo dos prótons. A
equação dada por Gaisser (1990) diz como calcular a fração de nêutrons/prótons:
݊ሺܺሻ 1 − ߜ଴ ݁ ି௑⁄௸
∗
= (30)
‫݌‬ሺܺሻ 1 + ߜ଴ ݁ ି௑⁄௸∗
௣ ି௡
onde ߜ଴ = ௣బ ା௡బ ≈ 0,82 é o excesso relativo de prótons e nêutrons no topo da atmosfera,
బ బ
ଵ
Λ∗ ≡ (inverso da equação dada por Gaisser, 1990), Λା = Λ ≡ ߣே ଵି൫௓
Λశ Λష
e
Λశ ିΛష ೛೛ ା௓೛೙ ൯
ଵ
Λି ≡ ߣே .
ଵି௓ ೛೛ ା௓೛೙
Assume-se simetria de carga, para a interação entre nucleons e então se faz a aproximação
ܼ௣௡ = ܼ௣௣ . Assim Λା e Λି se tornam:
1
Λା ≡ λ୮
1 − 2Z୮୮
(31)
Λି ≡ λ୮
Então Λ∗ se torna:
ିଵ ିଵ
∗ ߣଶ ൫1 − 2ܼ௣௣ ൯
௣ ߣ௣ ൫1 − 2ܼ௣௣ ൯
Λ ≡ ିଵ = ିଵ (32)
ߣ௣ ൫1 − 2ܼ௣௣ ൯ − ߣ௣ ൫1 − 2ܼ௣௣ ൯ −1
Substituindo a equação (19) em (32), tem-se:
2 ିଵ ߛ+1 ߛ+1
ߣ௣ ቀ1 − ߛ + 1ቁ ߣ௣ ߛ − 1 ߣ௣ ߛ − 1 ߣ௣ ሺߛ + 1ሻ
∗
Λ ≡ = = =
ߛ+1 2
(33)
2 ିଵ 2
ቀ1 − ߛ + 1ቁ −1 ߛ−1−1 ߛ−1
A fração de nêutrons/prótons, equação (30), vira:
14

15. Universidade Presbiteriana Mackenzie
݊ሺܺሻ 1 − 0,82݁‫݌ݔ‬ൣ−2ܺߪ௣௣ ⁄‫ܣ‬ଵ⁄ଷ ݉௣ ሺߛ + 1ሻ൧
= (34)
‫݌‬ሺܺሻ 1 + 0,82݁‫݌ݔ‬ൣ−2ܺߪ௣௣ ⁄‫ܣ‬ଵ⁄ଷ ݉௣ ሺߛ + 1ሻ൧
Como exemplo, a razão ݊/‫ ݌‬para ߝ = 10ଷ ‫ 5,41 = ܣ ,7,1 = ߛ ,ܸ݁ܩ‬e ܺ = 1030 ݃/ܿ݉² (nível do
mar) e para ܺ = 0 ݃/ܿ݉² (topo da atmosfera):
ଶ
10ହ 10ହ
ߪ௣௣ = 45,78 − 3,315 ln ቆ ቇ + 0,3654 ቈln ቆ ቇ቉ ≅ 69,72 ܾ݉ = 69,72 × 10ିଶ଻ ܿ݉² (35)
1 1
14,5ଵ⁄ଷ × 1,673 × 10ିଶସ
ߣ௣ = ≅ 58,514 ݃/ܿ݉² (36)
69,72 × 10ିଶ଻
58,514 × ሺ1,7 + 1ሻ
Λ∗ ≡ ≅ 78,994 ݃/ܿ݉² (37)
2
Para o nível do mar:
݊ሺܺሻ 1 − 0,82݁‫݌ݔ‬ሾ−2 × 1030⁄78,994ሿ
= ≅ 0,999996 (38)
‫݌‬ሺܺሻ 1 + 0,82݁‫݌ݔ‬ሾ−2 × 1030⁄78,994ሿ
Para o topo da atmosfera:
݊ሺܺሻ 1 − 0,82݁‫݌ݔ‬ሾ−2 × 0⁄78,994ሿ
= ≅ 0,098901 (39)
‫݌‬ሺܺሻ 1 + 0,82݁‫݌ݔ‬ሾ−2 × 0⁄78,994ሿ
Valores que concordam com os dados por Gaisser (1990) de 0,099 para o topo da
atmosfera e de aproximadamente 1 para o nível do mar.
De posse da equação para a razão ݊/‫ ,݌‬pode-se deixar somente a porcentagem de prótons.
Para isto faz-se ݊ + ‫ ,1 = ݌‬então a equação (34) se torna:
݊ሺܺሻ 1 − ‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻ 1 1 − 0,82݁‫݌ݔ‬ൣ−2ܺߪ௣௣ ⁄‫ܣ‬ଵ⁄ଷ ݉௣ ሺߛ + 1ሻ൧
= = −1=
‫݌‬ሺܺሻ ‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻ ‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻ 1 + 0,82݁‫݌ݔ‬ൣ−2ܺߪ௣௣ ⁄‫ܣ‬ଵ⁄ଷ ݉௣ ሺߛ + 1ሻ൧
1 1 − 0,82݁‫݌ݔ‬ൣ−2ܺߪ௣௣ ⁄‫ܣ‬ଵ⁄ଷ ݉௣ ሺߛ + 1ሻ൧
= +1 (40)
‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻ 1 + 0,82݁‫݌ݔ‬ൣ−2ܺߪ௣௣ ⁄‫ܣ‬ଵ⁄ଷ ݉௣ ሺߛ + 1ሻ൧
1 + 0,82݁‫݌ݔ‬ൣ−2ܺߪ௣௣ ⁄‫ܣ‬ଵ⁄ଷ ݉௣ ሺߛ + 1ሻ൧
‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻ =
2
Agora pode-se encontrar qual é o fluxo de prótons, multiplicando a equação (29) pela (40),
obtendo-se:
ܺߛߪ௣௣
ܰሺߝ, ܺሻ = 1,8 × 10ସ ߝ ିଶሺఊାଵሻ ݁‫ ݌ݔ‬ቈ ଵ⁄ଷ ቉
‫݉ ܣ‬௣ ሺߛ + 1ሻ
(41)
1 + 0,82݁‫݌ݔ‬ൣ−2ܺߪ௣௣ ⁄‫ܣ‬ଵ⁄ଷ ݉௣ ሺߛ + 1ሻ൧
×
2
15

16. VII Jornada de Iniciação Científica - 2011
Para a construção dos gráficos a seguir foram utilizados os seguintes parâmetros: ߛ = 1,7,
energias de 0 a 10ସ ‫,ܸ݁ܩ‬ profundidade atmosférica de 0 a 1000 ݃/ܿ݉²,
݉௣ = 1,673 × 10ିଶସ ݇݃ e ‫.5,41 = ܣ‬
Pode-se ver no Gráfico 9 como a equação (34) se comporta quando a profundidade
atmosférica e energia variam, verificando-se que quando a profundidade atmosférica tende
a 0 tem-se basicamente prótons e no nível do mar tem-se uma equivalência da quantidade
de prótons e nêutrons:
ܲ‫݂ݏ݋݉ݐܣ ݁݀ܽ݀݅݀݊ݑ݂݋ݎ‬é‫ ܽܿ݅ݎ‬ሺ݃⁄ܿ݉²ሻ
݊
‫݌‬
‫ ܽ݅݃ݎ݁݊ܧ‬ሺ‫ܸ݁ܩ‬ሻ
GRÁFICO 9: Gráfico da equação (34), que indica como a razão n/p varia ao longo da profundidade atmosférica e
com a energia
Vê-se através do Gráfico 10 como a equação (40) se comporta
‫ ܽ݅݃ݎ݁݊ܧ‬ሺ‫ܸ݁ܩ‬ሻ
‫݌‬
ܲ‫݂ݏ݋݉ݐܣ ݁݀ܽ݀݅݀݊ݑ݂݋ݎ‬é‫ ܽܿ݅ݎ‬ሺ݃⁄ܿ݉²ሻ
GRÁFICO 10: Gráfico da equação (40), que indica a quantidade percentual de prótons
No Gráfico 11 está mostrado como a equação (41) se comporta:
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17. Universidade Presbiteriana Mackenzie
൰
݉ଶ ‫ݎݏ ܸ݁ܩ ݏ‬
‫ݎ݌‬ó‫ݏ݊݋ݐ‬
‫ ݋ݔݑ݈ܨ‬൬
‫ ܽ݅݃ݎ݁݊ܧ‬ሺ‫ܸ݁ܩ‬ሻ
ܲ‫݂ݏ݋݉ݐܣ ݁݀ܽ݀݅݀݊ݑ݂݋ݎ‬é‫ ܽܿ݅ݎ‬ሺ݃⁄ܿ݉²ሻ
GRÁFICO 11: Gráfico da equação (41), que indica o fluxo de prótons de acordo com a energia e a profundidade
atmosférica
CONCLUSÃO
Os raios cósmicos são um evento espetacular da natureza, um verdadeiro acelerador de
partículas natural de grandeza inestimável. Possuem energias extraordinariamente maiores
das que temos acesso com os mais modernos aceleradores de partículas. Por isso podem e
devem ser usados para estudar como a natureza se comporta em energias ultra altas, da
ordem de 1021 eV (equivalente a 160 J, esta energia se compara a energia que possui uma
bola de futebol, com massa de 450 g, a uma velocidade de 96 km/h) por nucleon.
A origem dos raios cósmicos ainda é um tema de muito debate no meio científico. Quando
se fala de como se originaram está se também falando de como ocorreu a aceleração. Para
tentar explicar estes fenômenos foram propostos diversos modelos que de alguma forma
tentam simplificar os cálculos realizados, pois se tem uma gama muito extensa de variáveis
que influenciam, de alguma forma, nos resultados. Além de que existe um limite para a
distância de partículas com energias muito altas, imposta pelo limite GZK, sendo que
atualmente ainda não se tem conhecimento de fontes relativamente próximas que possam
acelerar partículas a energias tão altas.
Foi feito um extenso estudo das propriedades dos raios cósmicos. Dentro do tópico de raios
cósmicos primários foi abordada a abundância dos elementos químicos, o espectro de
núcleos carregados. Fez-se um rápido estudo de como a atmosfera é subdividida, qual a
relação entre profundidade atmosférica e altitude, a propagação na atmosfera destacando-
se os principais canais que se tem para a criação de píons, múons, fótons, elétrons,
pósitrons e nucleons, que compõem a cascata ou chuveiro atmosférico, enfatizou-se o fluxo
a altitudes variadas e no nível do mar, além de como se dá a sua distribuição lateral no solo.
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18. VII Jornada de Iniciação Científica - 2011
Neste trabalho teve-se como principal objetivo estudar as interações nucleares nos raios
cósmicos. Verificou-se que com as energias usuais dos raios cósmicos, em torno de TeV,
pode-se ter uma produção colossal de partículas secundárias. Nos exemplos utilizados vê-
se que são produzidos 1000 ߨ ା , 1000 ߨ ି e 1000 ߨ ଴ para a primeira reação com uma
energia inicial de aproximadamente 90 TeV, para a quinta reação com aproximadamente 20
TeV de energia inicial vê-se que são produzidos a mesma quantidades de partículas que a
reação anterior. Então almejou-se relacionar grandezas usuais em estudos dos raios
cósmicos, como profundidade atmosférica, comprimento de interação, comprimento de
atenuação entre outras, com a seção de choque para energias ultra altas. O grande impasse
foi encontrar uma expressão para calcular a seção de choque de energias da ordem de 1
TeV, pois não se tem acesso a energias desta magnitude em experimentos controlados.
Para isso utilizou-se uma expressão que extrapolava a seção de choque para estas
energias. Verificando-se que a expressão final, que calcula o fluxo de prótons em função da
profundidade atmosférica (ou altitude) e da energia no sistema de laboratório se acomoda
muito bem com os valores encontrados na literatura.
REFERÊNCIAS
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Contato: samuelsanches@gmail.com e fernanda.steffens@mackenzie.br
19