Statistique descriptive à une dimension

PREMIERE PARTIE
STATISTQUE
DESCRIPTIVE A UNE
DIMENSION

M.ACHRIT

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Statistique descriptive à une dimension

SOMMAIRE
1. Introduction :
Objet de la statistique
Termes statistiques de base

2...
Statistique descriptive à une dimension

INTRODUCTION
Objet de la statistique descriptive :
La statistique descriptive a p...
Statistique descriptive à une dimension
Le caractère peut prendre théoriquement n’importe quelle valeur dans un intervalle...
Statistique descriptive à une dimension

Effectif : n = 12
Étendue = X max – X min =31,2 - 20,4 = 10,8
2.2. Les distributi...
Statistique descriptive à une dimension
Exemple :
On a observé dans un jardin la couleur de 100 roses.
Population : 100 ro...
Statistique descriptive à une dimension

Exemple : Distribution du nombre de pièces pour 750 appartements
Population : 750...
Statistique descriptive à une dimension

2.2.3.

Le caractère quantitatif continu :

Quand le nombre des valeurs observées...
Statistique descriptive à une dimension

De la même manière que pour les distributions non groupées ( caractère qualitatif...
Statistique descriptive à une dimension

3. LES REPRÉSENTATIONS GRAPHIQUES :
Bien qu’un tableau statistique renferme toute...
Statistique descriptive à une dimension

3.1.2. Diagramme circulaire (graphique à secteurs) :
Dans le diagramme circulaire...
Statistique descriptive à une dimension

3.2. Représentation d’une variable discrète :
3.2.1. Diagramme en bâtons :
Le dia...
Statistique descriptive à une dimension

3.2.2. Polygone de fréquences
Les polygones de fréquences sont construits en joig...
Statistique descriptive à une dimension
3.3. Représentation d’un caractère quantitatif continu :
Pour représenter une vari...
Statistique descriptive à une dimension

4. LES PARAMÈTRES :
4.1. Introduction :
Les paramètres permettent de caractériser...
Statistique descriptive à une dimension
*Moyenne d’un caractère continu :

Ci est le point central des classes.

4.3.2. Mo...
Statistique descriptive à une dimension

4.3.3. Moyenne géométrique :
La moyenne géométrique, notée

est calculée pour des...
Statistique descriptive à une dimension

On montre que la moyenne harmonique est inférieure ou égale à la moyenne
géométri...
Statistique descriptive à une dimension

4.3.5. Mode :
a- Cas d’une série statistique :
Le mode d’une série statistique es...
Statistique descriptive à une dimension

Exemple :
Salaire horaire
[20 – 40[
[40 – 60[
Mo ϵ [60 – 80[
[80 – 100[
[100– 120...
Statistique descriptive à une dimension

*Cas d’un caractère quantitatif discret :
Si le Rang Me = 50%  voir Ficc  Me
Si...
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Méthode de calcul :
n=43  n est impair  Rang de la médiane =

=



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Statistique descriptive à une dimension

4.3.7. Médiale :
Définition : La médiane est une valeur telle que la somme des ob...
Statistique descriptive à une dimension

Interprétation :La moitié de la somme totale des salaires est distribuée sous
for...
Statistique descriptive à une dimension

La variance est égale à la différence entre la moyenne des carrés et le carré
de ...
Statistique descriptive à une dimension

Entreprise 2 :
Salaire horaire
En 10 dh
[3 – 5[
[5 – 7[
[7 – 9[
TOTAL

ni

xi

ni...
Statistique descriptive à une dimension

4.4.3. L’écart absolu moyen :
Définition : L’écart absolu moyen est la moyenne de...
Statistique descriptive à une dimension

b. Ecart interquartile :
Ecart interquartile = q3 – q1
L’intervalle interquartile...
Statistique descriptive à une dimension

4.4.6. L’indice de concentration :
*Courbe de concentration :
Cette courbe est ob...
Statistique descriptive à une dimension

EXERCICES : STATISTIQUE DESCRIPTIVE A UNE DIMENSION
Exercices 1 :
Spécifier la na...
Statistique descriptive à une dimension

Nombre d’enfant
0
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2
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4
5
6
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TOTAL

Nombre de familles
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22
46
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31...
Statistique descriptive à une dimension
Variance
Ecart-type
Coefficient de variation
L’écart absolu moyen
L’écart interqua...
Statistique descriptive à une dimension

130 – 140
140 – 150
150 – 160
160 – 170
TOTAL

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80

1- Calculer la recett...
Statistique descriptive à une dimension

2- Seulement une partie de la population (500 personnes) a été
réellement.observé...
Statistique descriptive à une dimension

Exercice 3 :
1- Le nombre d’enfant est un caractère mesurable, il ne peut pas pre...
Statistique descriptive à une dimension

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Exercice 4 :
1- Le revenu ...
Statistique descriptive à une dimension

Moyenne arithmétique :

Le revenu moyen d’une personne est égal à 38,2

Médiane :...
Statistique descriptive à une dimension
L’automobiliste a parcouru les 100 Km avec 3 vitesses différentes :
vitesse

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Statistique descriptive à une dimension
d’âge
30 - 40
40 - 50
50 - 60
60 - 70
70 - 80
80 - 90
90 - 100
Total

Central ci
3...
Statistique descriptive à une dimension

d8 correspond à l’âge du 96ème personne, il appartient à la tranche 80 – 90
79

9...
Statistique descriptive à une dimension

3- Toutes les recettes ont augmenté de 20%, la nouvelle variable x’ est donc :

T...
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2- Ajoutons la nouvelle observation qui a la valeur 6,5 Kg.

Les nouvelles valeur...
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  1. 1. Statistique descriptive à une dimension PREMIERE PARTIE STATISTQUE DESCRIPTIVE A UNE DIMENSION M.ACHRIT Page 1
  2. 2. Statistique descriptive à une dimension SOMMAIRE 1. Introduction : Objet de la statistique Termes statistiques de base 2. Distributions statistiques : 2.1.Les séries statistiques 2.2.Le caractère qualitatif et le caractère quantitatif discret 2.3.Le caractère quantitatif continu 3. Représentations graphiques : 3.1.Représentation d’un caractère qualitatif 3.2.Représentation d’un caractère quantitatif discret 3.3.Représentation d’un caractère quantitatif continu 4. Paramètre : 4.1.Introduction 4.2.Paramètres de position 4.3.Paramètres de dispersion 5. Exercices d’application M.ACHRIT Page 2
  3. 3. Statistique descriptive à une dimension INTRODUCTION Objet de la statistique descriptive : La statistique descriptive a pour but de résumer et de présenter les données observées d’une manière telle que l’on puisse en prendre connaissance facilement, par exemple sous forme de tableaux et de graphiques. Terminologie 1. Statistique : La statistique est une méthode scientifique dont l’objet est de recueillir, d’organiser, de résumer et d’analyser les données d’une enquête, d’une étude ou d’une expérience, aussi bien que de tirer les conclusions logiques et de prendre les décisions qui s’imposent à partir des analyses effectuées. 2. Population : Ensemble d'individus définis par une propriété commune donnée. Exemple : si l’on veut étudier la taille des plantes par zone dans une ville, la population considérée est l’ensemble de toutes les plantes de la ville. 3. Échantillon : Sous-ensemble de la population. Exemple : pour établir la taille des plantes d’une ville donnée, on peut Prélever au hasard un certain nombre de plante - un échantillon- dans un quartier parmi celles qui existe dans la ville. 4. Individu ou unité statistique : Chaque élément de la population ou de l’échantillon. Exemple : dans l’exemple précédant, chaque plante constitue un individu ou une unité Statistique. 5. La taille : Représente le nombre d’individus d’un échantillon ou d’une population. Elle est symbolisée par « n » dans le cas d’un échantillon et par « N » dans le cas d’une population. 6. Le caractère : C’est l’aspect particulier que l’on désire étudier pour une variable statistique.il peut être soit qualitatif ou bien quantitatif. Exemple : concernant un groupe de personnes, on peut s’intéresser à leur âge, leur sexe, leur taille… 7. Les modalités : Les différentes manières d’être que peut présenter un caractère. Exemple 1 : le sexe est un caractère qui présente deux modalités : Féminin ou masculin Exemple 2 : quant au nombre d’enfants par famille, les modalités de ce caractère peuvent être 0, 1, 2, 3…,20. 8. Caractère qualitatif : Ses modalités ne s’expriment pas par un nombre mais par des mots. Exemple : la religion, la couleur, la situation patrimoniale… 9. Caractère quantitatif : Ses modalités sont numériques. Exemple : l’âge, la taille, le poids… 10. Caractère quantitatif discret L’ensemble des valeurs que peut prendre le caractère est fini ou dénombrable. Le plus Souvent, ces valeurs sont des nombres entiers positifs. Exemple : le nombre d’enfant dans une famille, le nombre de téléviseurs par foyer. 11. Caractère quantitatif continu : M.ACHRIT Page 3
  4. 4. Statistique descriptive à une dimension Le caractère peut prendre théoriquement n’importe quelle valeur dans un intervalle donné de nombres réels. Exemple : la taille d’un individu, le poids… 12. Série statistique : L’ensemble des différentes données associées à un certain nombre d’individus. Exemple : la série suivante résulte d’une courte enquête auprès de quelques personnes pour connaître leur âge : 18 21 19 19 17 22 27 18 18 17 20 20 23 La statistique descriptive peut faire l’objet d’une variable, et on parlera de statistique descriptive à une variable ou à une dimension. Elle peut concerner deux variables, on parle alors de statistique descriptive à deux variables ou à deux dimensions. STATISTIQUE DESCRIPTIVE À UNE DIMENSION Le but de simplification de la statistique descriptive peut être atteint en condensant les observations sous trois formes distinctes :  Les tableaux statistiques : Permettent de présenter les données sous la forme numérique de distributions de fréquences.  Les diagrammes : Permettent de représenter graphiquement ces distributions.  Les paramètres : Les données peuvent être condensées sous forme de quelques paramètres statistiques. 1. DISTRIBUTIONS STATISTIQUES: 1.1.Les séries de statistiques : Une série statistique est une simple énumération des observations : X1, X2, X 3,………, Xi, ………, Xn Ces observations étant rangées par ordre croissant : X1 ≤ X2 ≤ X3 ≤ ......... ≤ Xi ≤ ……… ≤ Xn *Effectif : n est le nombre total d’observations. *Étendue : La différence entre la valeur la plus grande et la valeur la plus petite est appelée étendue. Exemple : Soit la série statistique suivante des poids (en Kg) de 12 paquets. 20,4 ; 25,4 ; 25,6 ; 26,6 ; 28,6 ; 28,7 ; 28,7 ; 29 ; 29,8 ; 30,5 ; 31,1 ; 31,2 Les caractéristiques de la série : Unité de base : Un paquet Population : 12 paquets Caractère : Le poids Sa nature : Un caractère quantitatif continu. M.ACHRIT Page 4
  5. 5. Statistique descriptive à une dimension Effectif : n = 12 Étendue = X max – X min =31,2 - 20,4 = 10,8 2.2. Les distributions non groupées en classe : Lorsque les observations sont nombreuses, il est nécessaire de les condenser sous forme d’un tableau statistique appelé distribution de fréquences. 2.2.1. le caractère qualitatif : Modalités Fréquences absolues ni Fréquences relatives fi C1 n1 f1 C2 n2 f2 ni fi Ck nk fk Total n 1 . . Ci . . n1 est le nombre de fois qu’on a observé la modalité C1 ni est dite fréquence absolue de la modalité Ci n = n1 + n2 + …. + ni + …. + nk M.ACHRIT Page 5
  6. 6. Statistique descriptive à une dimension Exemple : On a observé dans un jardin la couleur de 100 roses. Population : 100 roses Effectif : n=100 Caractère : La couleur Sa nature : C’est un caractère qualitatif Ses modalités : Jaune, blanche, rouge k=3 Modalité Fréquence absolue (ni ) Fréquence relative (fi) Jaune 29 0,29 Blanche 38 0,38 Rouge 33 0,33 Total 100 1 2.2.3. le caractère quantitatif discret : Caractère Fréquence absolue Fréquence cumulée croissante Fréquence cumulée décroissante Fréquence relative Xi F.c.c F.c.d Fi X1 n1 n1 n F1 X2 n2 n1 + n2 nk +…. + n2 F2 . . . . . . . . . . Xi ni n1 + n2 + ….+ni nk + …. +ni Fi . . . . . . . . . . Xk nk n nk Fk TOTAL M.ACHRIT ni n 1 Page 6
  7. 7. Statistique descriptive à une dimension Exemple : Distribution du nombre de pièces pour 750 appartements Population : 750 appartements Caractère : nombre de pièces Sa nature : c’est un caractère quantitatif discontinu Nombre de pièces Xi Nombre d’appartements ni Fréquence cumulée croissante Fréquence cumulée décroissante Fréquence relative 1 90 90 750 0,12 2 110 200 660 0,15 3 240 440 550 0,32 4 210 650 310 0,28 5 70 720 100 0,09 6 30 750 30 0,04 Total 750 1 Le tableau peut se lire comme suit : -Le nombre d’appartements comportant une seule pièce est 90 -La colonne des fréquences absolues cumulées croissantes : permet de répondre aux questions du genre : quel est le nombre d’appartements ayant au plus 1 pièce,2 pièces….etc -La colonne des fréquences absolues cumulées décroissantes : permet de répondre aux questions du genre : quel est le nombre d’appartements ayant au moins 1 pièce, 2pièce….etc Remarque : De la même manière que pour les fréquences absolues on peut calculer les fréquences relatives cumulées croissantes et les fréquences relatives cumulées décroissantes. M.ACHRIT Page 7
  8. 8. Statistique descriptive à une dimension 2.2.3. Le caractère quantitatif continu : Quand le nombre des valeurs observées (Xi) est élevé, il est nécessaire de condenser encore les tableaux statistiques, en groupant les observations en classes, on obtient ainsi une distribution de fréquence groupée. C’est généralement le cas des variables quantitatives continues. Chaque classe [a – b] est caractérisée par :  une borne inférieure a , une borne supérieure b  une amplitude qui est l’écart entre les deux bornes amplitude (ai ) = b-a  un point central correspondant au milieu de cette classe et s’obtient en ajoutant la borne inférieure et supérieure de la classe et en divisant par deux. Ci= (a+b)/2 Exemple : Répartition de 300 salaries d’une entreprise selon l’âge Population : 3000 entreprises Caractère : l’âge Sa nature : C’est un caractère quantitatif continu. Âges Nombre de salaries (ni) [20 à 25[ 172 [25 à 30[ 61 [30 à 35[ 39 [35 à 40[ 11 [40 à 45[ 17 Total 300 Lecture du tableau : -Le nombre de salaries ayant leur âge inférieur à 25 est 172. -La première classe a comme borne inférieure 20 et comme borne supérieure 25. -L’amplitude de la première classe est 5. M.ACHRIT Page 8
  9. 9. Statistique descriptive à une dimension De la même manière que pour les distributions non groupées ( caractère qualitatif et caractère quantitatif discret), on peut calculer les fréquences absolues cumulées croissantes, les fréquences absolues cumulées décroissantes, les fréquences relatives, les fréquences relatives cumulées croissantes et les fréquences relatives cumulées décroissantes : Âges Fréquences absolues Fréquences absolues cumulées croissantes Fréquences absolues cumulées décroissantes Fréquences relatives Fréquences relatives cumulées croissantes Fréquences relatives cumulées décroissantes Amplitudes Point central Xi Ni Ni cc Ni cd Fi Fi cc Fi cd Ai Ci [20 à 25[ 172 172 300 0,57 0,57 1 5 22,5 [25 à 30[ 61 233 128 0,20 0,77 0,43 5 27,5 [30 à 35[ 39 272 67 0,13 0,90 0,23 5 32,5 [35 à 40[ 11 283 28 0,04 0,94 0,10 5 37,5 [40 à 45[ 17 300 17 0,06 1 0,06 5 42,5 Total 300 ≠ ≠ 1 ≠ ≠ ≠ ≠ M.ACHRIT Page 9
  10. 10. Statistique descriptive à une dimension 3. LES REPRÉSENTATIONS GRAPHIQUES : Bien qu’un tableau statistique renferme toute l’information rassemblée, il est très utile de le traduire par un graphique. La représentation graphique d’une distribution statistique permet de visualiser et de déceler ses principales caractéristiques. Suivant la nature du caractère étudié on utilise différents modes de représentations graphiques. 3.1. Représentation du caractère qualitatif : Il existe deux modes de représentation d’une distribution à caractère qualitatif : diagramme en barres ou en tuyaux d’orgue et le diagramme circulaire 3.1.1. Diagramme en ‘’Tuyaux d’orgue’’ : Ce diagramme consiste à représenter chaque modalité du caractère qualitatif par un rectangle dont la hauteur est proportionnelle à l’effectif correspondant et dont la base est constante. Exemple : un agriculteur a compté l’ensemble de ses animaux selon leur espèce. Espèce Bovins Ovins Caprins Total Effectif 3346 13515 5335 22196 Représentation graphique : 16000 ovins 14000 12000 10000 Espèce 8000 Caprins 6000 4000 Effectif Bovins 2000 0 Especes d’animaux M.ACHRIT Page 10
  11. 11. Statistique descriptive à une dimension 3.1.2. Diagramme circulaire (graphique à secteurs) : Dans le diagramme circulaire chaque modalité est représentée par un secteur dont l’angle est proportionnel à l’effectif correspondant. La totalité de la circonférence correspond à l’effectif total. Exemple : le même tableau des espèces d’animaux peut se présenté graphiquement par un diagramme circulaire Espèce Bovins Ovins Caprins Total Effectif 3346 13515 5335 22196 Méthode de calcul des degrés de chaque angle (ou secteur) du cercle : Effectif total : 221961 correspond à 360° Effectif bovins : 3346 Correspond à l’angle a1 Effectif ovins : 13515 Correspond à a2 Effectif caprins : 5335 correspond à a3 Espece d'animaux Bovins Caprins Ovins Diagramme circulaire M.ACHRIT Page 11
  12. 12. Statistique descriptive à une dimension 3.2. Représentation d’une variable discrète : 3.2.1. Diagramme en bâtons : Le diagramme en bâtons consiste à représenter chaque valeur de la variable statistique par un bâton dont la hauteur est proportionnelle à l’effectif correspondant. Exemple : Pour un ensemble de 147 ménages, le nombre d’enfants se répartit comme suit : ni nombre de ménages Nombre D’enfants(Xi) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Total Nombre de Ménages (ni) 15 20 22 10 31 28 12 4 5 147 ni cumulée croissante 15 35 57 67 98 126 138 142 147 ni cumulée décroissante 147 132 112 90 80 49 21 9 5 Nombre d'enfants par ménages 35 30 25 20 15 10 5 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 xi nombre d'enfant Diagramme en bâtons M.ACHRIT Page 12
  13. 13. Statistique descriptive à une dimension 3.2.2. Polygone de fréquences Les polygones de fréquences sont construits en joignant par une ligne les sommets des bâtons du diagramme en bâtons. Nombre d'enfant par ménage 35 30 25 20 15 10 5 0 0 2 4 6 8 10 Polygone de fréquences nombre de ménages (ni cc) 3.2.3. Histogramme et Polygone de fréquences : Le polygone de fréquences cumulées est construit en escalier. On dessine des segments de droites de longueurs proportionnelles aux fréquences cumulées mais décalant progressivement vers le haut ensuite on joint les bâtons par des segments horizontaux. 160 140 120 100 80 60 40 20 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Nombre d'enfants (xi) Polygone de fréquences cumulées M.ACHRIT Page 13
  14. 14. Statistique descriptive à une dimension 3.3. Représentation d’un caractère quantitatif continu : Pour représenter une variable continue on utilise le plus souvent ce qu’on appelle Histogramme. Les histogrammes se composent de rectangles dont les amplitudes des classes sont les bases et les fréquences sont les hauteurs, de telle sorte que la surface du rectangle soit proportionnelle à l’effectif correspondant. Exemple : Considérons la distribution des salaires horaires d’un groupe de 91 ouvriers : Salaires horaires Xi (en 10 DRH) [1 – 2[ [2 – 3[ [3 – 4[ [4 – 5[ [5 – 6[ [6 – 7[ [7 – 8[ TOTAL Effectif (ni) 7 13 22 28 14 5 2 91 Salaires horaires de 91 ouvriers 30 effectif ni 25 20 15 10 5 0 [1-2[ [2-3[ [3-4[ [4-5[ [5-6[ [6-7[ [7-8[ salaires horaires en 10 dh M.ACHRIT Page 14
  15. 15. Statistique descriptive à une dimension 4. LES PARAMÈTRES : 4.1. Introduction : Les paramètres permettent de caractériser de façon simple les séries statistiques et les distributions observées. Les paramètres les plus utilisés sont :  Les paramètres de position  Les paramètres de dispersion 4.2. Paramètres de tendance centrale : Appelés valeurs de tendance central. Les principaux paramètres de position sont :  La moyenne arithmétique,  La moyenne géométrique,  La moyenne harmonique,  La moyenne quadratique,  La médiane,  La médiale et  Le mode. Ces paramètres statistiques doivent satisfaire à plusieurs conditions définies par le statisticien YULE 4.2.1. Moyenne arithmétique : * Définition : La moyenne arithmétique, qu’on appelle tout simplement moyenne, est égale à la somme des valeurs observées divisée par le nombre d’observations. *Interprétation : Le ‘’caractère’’ moyen est égale à… *Cas d’une série statistique : Soit série suivante : X1, X2, X3, …. , X1, ….. , Xn * Cas d’un caractère discret : K est le nombre de valeurs distinctes que peut prendre la variable xi et de la valeur absolue ni. M.ACHRIT Page 15
  16. 16. Statistique descriptive à une dimension *Moyenne d’un caractère continu : Ci est le point central des classes. 4.3.2. Moyenne arithmétique pondérée : Il s’agit de la moyenne d’une série d’observation affectées chacune d’un certain coefficient appelé coefficient de pondération : Exemple : Prix en dh Poids 10 4 14 Total en kg 1 1 1 3 10 4 14 28 : est le poids affecté à l’obervation i. 1 kg de pomme coûte 10 Dhs 1 kg d’orange coûte 4 Dhs 1 kg de bananes coûte 14 Dhs Gardons les mêmes prix mais pour des poids différents : Prix en dh Poids en kg 10 2 4 4 14 3 Total 9 2 kg de pommes coûtent 10 Dhs 4 kg d’oranges coûtent 4 Dhs 3 kg de bananes coûtent 14 Dhs M.ACHRIT 20 16 42 78 Page 16
  17. 17. Statistique descriptive à une dimension 4.3.3. Moyenne géométrique : La moyenne géométrique, notée est calculée pour des observations positives. *Cas d’une série statistique : ou *Cas d’un caractère quantitatif discret : Cas d’un caractère quantitatif continu : La moyenne géométrique et aussi égale à l’exponentielle de la moyenne arithmétique des logarithmes népérien. 4.3.4. Moyenne quadratique et harmonique : Moyenne quadratique La moyenne quadratique et la moyenne d’ordre 2 : La moyenne quadratique, c’est la racine carrée de la moyenne arithmétique des carrés. Moyenne harmonique : La moyenne harmonique est la moyenne d’ordre -1 : La moyenne harmonique, c’est aussi l’inverse de la moyenne arithmétique des inverses. M.ACHRIT Page 17
  18. 18. Statistique descriptive à une dimension On montre que la moyenne harmonique est inférieure ou égale à la moyenne géométrique qui est inférieure ou égale à la moyenne arithmétique qui est inférieure ou égale à la moyenne quadratique. Exemple : Salaires horaires de 91 employés. Salaire horaire (en 10dh) 1-2 2-3 3-4 4-5 5-6 6-7 7-8 Total M.ACHRIT ni Ci ni ci ni ln ci ni Ci2 ni/ci 7 13 22 28 14 5 2 91 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 7,5 10,5 32,5 77,0 126,0 77,0 32,5 15,0 370,5 2,838 11,912 27,561 42,114 23,866 9,359 4,030 121,68 15,75 81,25 269,50 567,00 423,50 211,25 112,50 1680,75 4,667 5,200 6,286 6,222 2,545 0,769 0,267 25,956 Page 18
  19. 19. Statistique descriptive à une dimension 4.3.5. Mode : a- Cas d’une série statistique : Le mode d’une série statistique est le nombre que l’on rencontre le plus fréquemment. Le mode peut ne pas exister et s’il exister, il peut ne pas être unique. Exemple : Série 1 : 2 2 5 7 9 9 9 10 10 11 12 le mode est 9 Série 2 : 3 5 8 10 12 15 16  n’a pas de mode Série 3 : 2 3 4 4 4 5 5 7 7 7 9  a deux modes 4 et 7 b- Cas d’un caractère quantitatif discret : Le mode correspond à ni le plus grand et au maximum du diagramme en bâton. Exemple : Nombre d’enfant 0 1 2 3 4 5 Total Effectif 12 16 14 25 13 10 90 Le mode de cette distribution du nombre d’enfant est Mo= 3 : C'est à dire, la plupart des familles ont 3 enfants. c- Cas du caractère quantitatif continu : Le mode correspond à ni le plus grand qui correspond à la classe modale On peut déterminer la valeur du mode à l’aide de la formule de calcul suivante : Mode = B0 + Tel que : B0 : borne inferieur de la classe modale A : amplitude de la classe modale Ni : l’effectif le plus grand M.ACHRIT Page 19
  20. 20. Statistique descriptive à une dimension Exemple : Salaire horaire [20 – 40[ [40 – 60[ Mo ϵ [60 – 80[ [80 – 100[ [100– 120[ Total Effectif 5 8 Ni-1 12 Ni 10 Ni+1 8 43 La classe modale de cette distribution des salaires horaires est la classe [60 – 80[. Donc : Mode = 60 + Mode = 60+ Mode=73,34 dh 4.3.6. Médiane : Définition : La médiane d’une variable statistique est la valeur pour laquelle la moitié des observations lui sont inférieures ou égales et la moitié supérieure ou égales. Interprétation : Il y a autant de caractère inferieur à la Me que de caractère supérieur à Me. *Cas d’une statistique : Pour une série de valeurs rangées par ordre croissant : X1, X2, X3, …. , XI, …., XN Si n est impair, le rang de la médiane est : Rang = (n+1)/2, donc : Me = X (n+1)/2 Si n est pair, le rang de la médiane est : Rang = n/2, donc : Exemple : Soit la série : n = 5 (impair) 10 11 12 18 11 12 14 Me = X (5+1)/2=X3= 11 Soit la série : M.ACHRIT 8 8 10 18 Page 20
  21. 21. Statistique descriptive à une dimension *Cas d’un caractère quantitatif discret : Si le Rang Me = 50%  voir Ficc  Me Si le Rang Me proche de 50%  voir Ficc Interpolation linéaire  Me Exemple : Soit la valeur des exportations des entreprises d’une région au Maroc : Exportations En 1000 dh [50 – 100[ [100 – 150[ [150 – 200[ [200 – 250[ [250 – 300[ Total ni fi Fi cumulées croissantes 7 13 46 14 30 110 0,06 0,12 0,41 0,12 0,29 1 0,06 0,18 0,59 0,71 1 Rang Me proche de 0,50  Par interpolation linéaire : 150 Me 200 0,18 0,5 0,59 Me = 189,02 (en 1000Dh) *Cas d’un caractère quantitatif continu : Pour des données en classe, la classe médiane est la classe qui contient la médiane. On détermine par interpolation linéaire. Salaire horaire En 10 dh [2 – 4[ [4 – 6[ Me ϵ [6 – 8[ [8 – 10[ [10 – 12[ Total M.ACHRIT ni 5 8 12 nc 10 8 43 ni cumulées croissantes 5 13 ncc-1 25 ncc 34 ncc+1 43 Page 21
  22. 22. Statistique descriptive à une dimension Méthode de calcul : n=43  n est impair  Rang de la médiane = =  13<Rang Me=22<25  Me se trouve dans la classe médiane [6-8[. La Me se trouve dans la classe médiane [6-8], pour déterminer sa valeur exacte on utilise deux méthodes, l’Interpolation linéaire ou la formule de calcul: Méthode 1 : Par interpolation linéaire : 6 Me 8 13 22 25 Me = 7,5 Dh Interprétation : Il y a autant de salaires inférieurs à 7,5 Dhs que de salaires supérieurs à 7,5 Dhs. Méthode 2 : la formule : Dans le cas d’une variable groupée en classes, on peut calculer la médiane par la formule suivante (si n est impair) sinon on met n/2 Me= B0=6 : Borne inférieure de la classe médiane ai =2 : Amplitude de la classe médiane n =43 : Nombre total des observations =13: Fréquence absolue cumulée croissante de la classe inférieure à la classe médiane Nc=12 : Fréquence absolue de la classe médiane M.ACHRIT Page 22
  23. 23. Statistique descriptive à une dimension 4.3.7. Médiale : Définition : La médiane est une valeur telle que la somme des observations qui lui sont inférieures est égale à la somme des observations qui lui sont supérieures. La médiale partage la masse total ∑ ni xi en deux parties égale : Interprétation : La moitié de la somme totale du caractère est distribuée sous forme de caractère inférieur à Ml. Cas d’un caractère quantitatif discret et continu : RangMl =  NIXI CC  Classe médiale par interpolation linéaireMl Dans le cas du caractère quantitatif continu : on remplace Xi par Ci Exemple : Salaire horaire en 10 dh [2 – 4[ [4 – 6[ [6 – 8[ [8 – 10[ [10 – 12[ Total CI NI NI CI NI CI cumulées croissantes 3 5 7 9 11 5 8 12 10 8 43 15 40 84 90 88 317 15 55 139 229 317  NIXI CC : 139<158,5<229 médiale ϵ[8 -10[ RangMl =  Par interpolation linéaire : La médiale est la valeur pour laquelle la somme des observations qui lui sont inférieures est égale à 158,5. Elle se trouve dans la classe médiale [8 – 10[. 8 139 Ml 158,5 10 229 Me = 8 ,43 en 10Dhs M.ACHRIT Page 23
  24. 24. Statistique descriptive à une dimension Interprétation :La moitié de la somme totale des salaires est distribuée sous forme de salaires inférieurs à 84,3 Dhs. Remarque : Parmi les différents paramètres de tendance centrale, la moyenne arithmétique est le paramètre qui répond le mieux aux conditions de YULE, c’est le paramètre statistique le plus utilisé. 4.4. Les paramètres de dispersion : Ces paramètres permettent de chiffrer la variabilité (les écarts de xi par rapport à la moyenne). Les principaux paramètres de dispersion sont :  La variance,  L’écart-type,  Le coefficient de variation,  L’écart moyen absolu,  L’écart interdécile,  L’écart interquartile,  L’étendue,  Le coefficient de concentration. 4.4.1. Variance et Ecart-type : Définition : La variance est la moyenne arithmétique des écarts des observations par rapport à leur moyenne. L’écart –type est la racine carrée de la variance. Formule développée de la variance : M.ACHRIT Page 24
  25. 25. Statistique descriptive à une dimension La variance est égale à la différence entre la moyenne des carrés et le carré de la moyenne. Interprétation : L’écart type n’a pas un sens très concret. Il ne prend de signification que pour comparer deux distributions. Si par exemple dans une entreprise, la distribution des salaires des fonctionnaires a pour écart-type 400Dhs alors que la distribution des salaires des ouvriers a pour écart-type 200 Dhs. On dira que les salaires des fonctionnaires sont deux fois plus dispersés que les salaires des ouvriers. 4.4.2. Coefficient de variation : Le coefficient de variation est le rapport de écart-type par rapport à la moyenne. Le coefficient de variation est le plus souvent exprimé sous la forme d’un pourcentage. Le coefficient de variation est indépendant des unités choisies, il est utile pour comparer des distributions qui ont des unités différentes. Exemple : Entreprise 1 : Salaire horaire en 10 dh [1 – 3[ [3 – 5[ [5 – 7[ [7 – 9[ [9 - 11[ ni xi ni x i ni xi2 20 18 20 14 15 2 4 6 8 10 40 72 120 112 150 80 288 720 896 1500 Total 87 494 3484 M.ACHRIT Page 25
  26. 26. Statistique descriptive à une dimension Entreprise 2 : Salaire horaire En 10 dh [3 – 5[ [5 – 7[ [7 – 9[ TOTAL ni xi ni x i ni xi2 33 35 19 87 4 6 8 132 210 152 494 528 1260 1216 3004 Constatation : -Les 2 entreprises ont la même masse salariale horaire totale qui est de 494 Dhs. - Les deux entreprises ont Le même nombre d’ouvriers 87, donc le salaire moyen est le même. Si cette valeur centrale qui est la moyenne donne la même grandeur concernant le salaire pour les deux entreprises, on peut constater que les salaires ne sont pas distribués de la même manière. Les paramètres de dispersion résument la manière dont sont distribués les caractères. Entreprise 1 : Entreprise 2 : Les salaires sont plus dispersés dans l’entreprise 1 que dans l’entreprise M.ACHRIT Page 26
  27. 27. Statistique descriptive à une dimension 4.4.3. L’écart absolu moyen : Définition : L’écart absolu moyen est la moyenne des valeurs absolues des écarts par rapport à la moyenne. Interprétation : En moyenne, les valeurs Xi s’écartent de la moyenne de EAM Cas d’une série statistique : Cas d’une distribution de fréquences : Exemple : Trouver l’écart absolu moyen des nombres suivants : 2 3 6 8 11 En moyenne, ces valeurs s’écartent de la moyenne de 2,8 4.4.4. Quartiles et Déciles : a. Les quartiles q1, q2 et q3 : Définition : q1 : est la valeur de la variable telle que un quart des observations lui sont inférieures ou égales et trois quarts des observations lui sont supérieures ou égale. q2 : est la valeur de la variable telle que deux quarts des observations lui sont inférieures ou égales et deux quarts des observations lui sont supérieures ou égale. C’est aussi égal à la médiane. q3 : est la valeur de la variable telle que trois quarts des observations lui sont inférieures ou égales et un quart des observations lui sont supérieures ou égales. Effectif 25% 25% q1 25% q2 50% M.ACHRIT 25% q3 75% Page 27
  28. 28. Statistique descriptive à une dimension b. Ecart interquartile : Ecart interquartile = q3 – q1 L’intervalle interquartile [q1, q3] contient 50% des observations qui se situent au centre de la distribution en laissant 25% des observations à droite et 25% à gauche. Effectif 25% 50% 25% q1 q3 Pour la détermination des quartiles et des déciles on utilise la même méthode de calcul que pour la médiane. c. Les déciles : En procédant comme pour la médiane et les quartiles, il est possible de définir et de calculer les déciles d1 à d9 par interpolation linéaire. d1 : est la valeur de la variable telle qu’un 1/10 des observations lui sont inférieures ou égales et 9/10 des observations lui sont supérieures ou égales. di : est la valeur de la variable telle que i /10 des observations lui sont inférieures ou égales et (10 - i)/10 des observations lui sont supérieures ou égales. Effectif 10% 10% d1 10% d2 10% d3 10% d4 10% d5 10% d6 10% d7 10% d8 10% d9 d. Ecart interdecile : Ecart interquartile = d9 – d1 L’intervalle interquartile [d1, d9] contient 80% des observations qui se situent au centre de la distribution en laissant 10% des observations à droite et 10% à gauche. Pour la détermination des quartiles et des déciles on utilise la même méthode de calcul que pour la médiane. 4.4.5. L’étendue : L’étendue est l’écart entre la valeur maximale et la valeur minimale de la variable statistique. E =Xmax - Xmin M.ACHRIT Page 28
  29. 29. Statistique descriptive à une dimension 4.4.6. L’indice de concentration : *Courbe de concentration : Cette courbe est obtenue en calculant les fréquences relatives cumulées croissante des observations après les avoir classé par ordre croissant et les masses relatives cumulées croissantes. ni / n cumulées croissantes La courbe de concentration ou courbe de LORENZ s’inscrit toujours dans un carré de côté unitaire dont les abscisses sont les fréquences relatives cumulées croissantes et les ordonnées sont les masses relatives cumulées croissantes. Dans le cas où toutes les observations seraient égales entre, la courbe de concentration correspond à la bissectrice. Plus la courbe s’éloigne de la bissectrice plus la concentration n’est élevée. *Coefficient de concentration : On mesure la concentration par la surface comprise entre la courbe de LORENZ et la bissectrice. Le coefficient de concentration ou coefficient de GINI est égale à deux fois cette surface. y = 2A *Indice de concentration : On peut étudier la concentration directement à partir de la diffèrence entre la médiale et la médiane d’une distribution. 4.4.7. Utilisation des différents de dispersion : La variance, l’écart-type et le coefficient de variation sont les paramètres de dispersion les plus utilisés. En particulier le coefficient de variation qui permet de comparer la variabilié relative de plusieurs qui différent fortement par leur ordre de grandeur et éventullement même par leur unité de mesure. M.ACHRIT Page 29
  30. 30. Statistique descriptive à une dimension EXERCICES : STATISTIQUE DESCRIPTIVE A UNE DIMENSION Exercices 1 : Spécifier la nature des caractères suivants : 12345- Nombre d’actions vendues chaque jour à la bourse. Durée de vie des tubes de télévision fabriqués par une société. Salaires annuels des employés d’une société. Nationalité des résidents dans une cité universitaire internationale. Nombre de millimétres de pluie qui tombent sur une ville pendant différents mois de l’année. 6- Vitesse d’une voiture. Exercice 2 : Le tableau suivant présent la siituation familiale d’un échanllon de 500 personnes choisies au hasard parmi les habitants d’une ville. Situations familiales Célibataire 223 Marié 187 Divorcé 32 Veuf 55 séparé 3 TOTAL 12345- Nombre de personnes 500 Quelle est la population étudiée ? De quel type d’enquêtes s’agit-il ? Quel est le caractère étudié ? Quelle est sa nature ? Quelle est la proportion des personnes mariées ? Représenter graaphiquement cette distribution. Exercice 3 : Le nombre d’enfants dans 300 familles est réparti comme suit : M.ACHRIT Page 30
  31. 31. Statistique descriptive à une dimension Nombre d’enfant 0 1 2 3 4 5 6 7 TOTAL Nombre de familles 13 22 46 49 58 42 39 31 300 T.A.F : 123456- Quel est le caractére étudié ? Quelle est sa nature ? Quel est le nombre de familles qui ont au moins un enfant ? Quel est le nombre de familles qui ont au plus 4 enfants ? Quelle est la proportion des familles qui ont moins de 5 enfants ? Quelle est la proportion des familles qui ont plus de 2 enfants ? Représenter grahiquement cette distribution. Exercice 4 : L’étude de la répartition des personnes d’un échantillon a donné les résultats suivants : Classes de revenus Effectifs 1 à 15 32 1 à 30 48 1 à 45 14 46 à 60 12 61 à 75 10 76 à 90 16 91 à 105 6 106 à 120 2 T.A.F : 1- Quel est le caractère étudié ? Quelle est sa nature ? 2- Représenter graphiquement cette distibution. 3- Calculer les indicateurs de tendence suivants : Moyenne arithmétique Médiane Médiale  Interpréter les résultts obtenus. 4- Calculer les indicateurs de dispersion suivants : M.ACHRIT Page 31
  32. 32. Statistique descriptive à une dimension Variance Ecart-type Coefficient de variation L’écart absolu moyen L’écart interquartile  Interpréter les résultats obtenus. 5- Donner une mesure de concentration. Exercice 5 : Un autombiliste a roulé sur trajet de 100 Km/à une vitesse de 90 Km/h sur les 10 premiers kilomètres ; 100 Km/h sur un trajet de 30 Km et 120 Km/h sur les 60 derniers kilomètres. Quelle est la vitesse moyenne avec laquelle l’automobilite a parcouru les 100 kilomètres ? Exercice 6 : Le tableau suivant donne la répartition d’âge de 120 résidents dans une maison de retraite : Age 90 – 100 80 - 89 70 - 79 60 - 69 50 - 59 40 - 49 30 - 39 Nombre de personnes 9 32 43 21 11 3 1 TOTAL 120 1- Quel est l’âge moyen des résidents de cette maison de retraite ? 2- Calculer un indicateur de dispersion de l’âge ? 3- Quelle est la tranche d’âge centrale qui regroupe 60% de personnes ? Exercice 7 : Les recettes journalières de 80 magasins d’un centre commercial répartissent comme suit : Recettes (DH) 90 – 100 100 – 110 110 – 120 120 – 130 M.ACHRIT Nombre de magasins 5 9 16 25 Page 32
  33. 33. Statistique descriptive à une dimension 130 – 140 140 – 150 150 – 160 160 – 170 TOTAL 13 7 3 2 80 1- Calculer la recette moenne journalière. 2- Calculer le coefficient de variation des recettes journalières. 3- Si toutes les recettes journalières ont augmenté de 20% ; calculrer la nouvelle moyenne et le nouveau coefficient de variation. Exercice 8 Le poids moyen et la variance du poids de 10 colis sont respectivement 5,9 et 4,83. On a remplacé un colis pesant 8,5 Kg par un autre colis qui pèse 6,5 Kg. Quelle sont les nouvelles valeurs de la moyenne et la variance ? SOLUTIONS DES EXERCICES : Exercice 1 : 1- Le nombre d’actions, vendues chaque jour à la bourse, est un caractère mesurable, il ne prend par de valeurs décimales. C’est donc un caractère quantitatif discret. 2- Durée de vie des tubes de télévision, c’est une caractéristique mesurqble, généralement exprimée en heures, elle peut prendre des valeurs décimales. Il s’agit donc d’un caractère quantitatif continu. 3- Les salaires annuels sont mesurables et peuvent prendre des valeurs décimales. C’est un caractère quantitatif continu 4- La nationalité est une caractéristique non mesurable, c’est un caractére qualitatifa. 5- Le nombre de millimètres de pluie est une caractéristique mesurable et peut prendre des valeurs décimales, c’est un caractère quantitatif continu. 6- La vitesse d’une voiture est une caractéristique mesurable et peut prendre des valeurs décimles, c’est un caractère quantitatif continu. Exercice 2 : 1- La population étudieé est constituée est l’ensemble des habitants de laville. M.ACHRIT Page 33
  34. 34. Statistique descriptive à une dimension 2- Seulement une partie de la population (500 personnes) a été réellement.observée, il s'agit donc d’une enquête partielle ou enquête par échantillonnage. 3- Le caractère étudié est la sitution familiale, il n’est pas mesurable, c’est un caractère qualitatif. 4- Les proportions correspondent aux fréquences relatives f i. Situation familiale Fréquences absolue Célibataire Marié Divorcé Veuf séparé 223 187 32 55 3 Fréquences relatives 0,446 0,374 0,064 0,110 0,006 TOTAL 500 1,000 La proportion des personnes mariées est donc : f2 100 = 0,374 100 = 37,4% 5- La situation familiale est un caractère qualitatif, on peut la représenter graghiquement par un diagramme en tuyaux d’orgue ou par un diiagramme circulair. 70 70 60 60 50 50 40 40 Series1 30 30 20 20 10 10 0 0 1 0 M.ACHRIT 2 1 3 2 4 3 5 4 Page 34
  35. 35. Statistique descriptive à une dimension Exercice 3 : 1- Le nombre d’enfant est un caractère mesurable, il ne peut pas prendre des valeurs décimmales, c’est un ccaractère quantitatif discontinu. Le tableau suivant regroupe les fréquences absolues (ni), les fréquences absolues cumulées croissantes (ni cum Décrois.), les fréquences absolues cumulées décroissantes (ni cum Décrois.), les fréquences relatives (fi), les fréquences relatives cumulées croissantes (fi cum Décrois.) et les fréquences (fi cum Décrois.) Ndre d’enfant Ni Ni cum. Crois. Fi cum. Décrois. Fi Fi cum. Crois. Fi cum. Décrois. 0 1 2 3 4 5 6 Plus de 6 13 22 46 49 58 42 39 31 13 35 81 130 188 230 269 300 300 287 265 219 170 112 70 31 0,043 0,73 0,153 0,163 0,194 0,410 0,130 0,104 0,043 0,116 0,269 0,432 0,626 0,766 0,896 1,000 1,000 0,957 0,884 0,731 0,569 0,374 0,234 0,104 TOTAL 300 - - 1,000 - - 2- Nombre de familles qui ont au moins 1 enfant est égale à la deuxième fréquence cumulée décroissante, c'est à dire 287. 3- Nombre de familles qui ont au plus 4 enfants est égale à la cinquième fréquence absolue cumulée croissante, c'est-à-dire 188. 4- Propportion des familles qui ont moins de 5 enfants est égale à la cinquième fréquence relative cumulée croissante, c'est à dire 0,626 ou 62,6%. 5- Proportion des familles qui ont plus de 2 enfants est égale à la quatrième relative cumulée décroissante, c'est à dire 0,731 ou 73,1%. 6- Le nombre d’enfants est un caractère quantitatif discontinu, ou peut le représenter graphiquement par un diagramme en bâtons. M.ACHRIT Page 35
  36. 36. Statistique descriptive à une dimension 70 60 50 40 30 20 10 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Exercice 4 : 1- Le revenu est une caractéristique mesurable qui peut prendre des valeus décimali, c’est un caractére quantitatif continu. 2- Une variable statistique continue est représentée graphiquement, le plus souvent, par un histogramme. 3- Pour le calcul des paramètres statistiques, le tableau suivant regroupe le détail des calculs. Point central ci ni ni ci 8 23 38 53 68 83 98 113 TOTAL 32 48 14 12 10 16 6 2 140 256 1104 532 636 680 1328 588 226 5350 M.ACHRIT ni cum Crois 32 80 94 106 116 132 138 140 - ni ci cum Crois 256 1360 1892 2528 3208 4536 5124 5350 - ni ci2 2048 25392 20216 33708 46240 110224 57642 25538 320990 30,2 15,2 0,2 14,8 29,8 44,8 59,8 74,8 - 966,4 729,6 2,8 177,6 289 716,8 358,8 149,6 3399,6 Page 36
  37. 37. Statistique descriptive à une dimension Moyenne arithmétique : Le revenu moyen d’une personne est égal à 38,2 Médiane : La médiane se situe entre l’observation de ranga 70 et l’obervation de rang 71, elle se trouve dans la classe 16 à 30. = 16+14[(70,5 -32)/48] =27,22 La moitié de personnes de ont revenu inférieur ou égal à 27,22. médiale : La médiale est l’observation qui partager la masse total 5350 en deux partiés-égales dont le totale des revenus est égal à (5350 /2) c'est à dire 2675. La médiale appartient à la classe 61 à 75. 2528 61 2675 Ml 3208 75 La moitié du total des revenus de l’ensemble des personnes de l’échantillon sont distribués sous forme de revenus inférieurs ou égales à 64,02. La concentration est de 31%. Exercice 5 : M.ACHRIT Page 37
  38. 38. Statistique descriptive à une dimension L’automobiliste a parcouru les 100 Km avec 3 vitesses différentes : vitesse trajet V1 = 90 N1 = 10 V2 =100 N2 = 30 V3 =120 N3 = 60 total 100 Une vitesse est un rapport entre la distance parcourue et le temps mispour parcourir cette distance. La vitesse moyenne avec laquelle l’automobiliste a parcouru les 100 Km est égale au raport de la distance parcouru sur le temps mis pour parcourir les 100 Km. Le temps mis pour parcourir les 100 Km est égale à la somme des temps mis pour parcourir chaque trajet. Le temps mis pour parcourir un trajet est égale au rapport de la distance du trajet sur la vitesse. Il s’agit d’une moyenne harmonique de la vitesse et non par la moyenne arithmétique. Exercice 6 Tranche M.ACHRIT Point ni ni cumu. Ci ni Ni ci2 Page 38
  39. 39. Statistique descriptive à une dimension d’âge 30 - 40 40 - 50 50 - 60 60 - 70 70 - 80 80 - 90 90 - 100 Total Central ci 35 45 55 65 75 85 95 - 1 3 11 21 43 32 9 120 Crois. 1 4 15 36 79 111 120 - 35 135 605 1365 3225 3720 855 8940 1225 6075 33275 88725 241875 231200 81225 683600 1- L’âge moyen des résidents : 2- La variance est un indicateur de dispersion = 146,41 3- La tranche d’âge centrale qui regroupe 60% des personnes a 20% de personnes à sa gauche et 20% à sa droite. 10% 10% d1 60% d2 10% d8 10% d9 C’est donc la tranche comprise entre le deuxième décile et le huitième décile. d2 Correspond à l’âge du 24ème personne, il appartient à la tranche d’âge 60 – 70 ans. 15 24 36 60 d2 70 M.ACHRIT Page 39
  40. 40. Statistique descriptive à une dimension d8 correspond à l’âge du 96ème personne, il appartient à la tranche 80 – 90 79 96 111 80 d8 90 La tranche d’âge centrale qui regroupe 60% des résidqnts est donc lq trqnche 64 - 85 ans Exercice 7 : 1- Pour simplifier les calculs on peut effectuer un changement de variable, en remplacant la variable étudiée ( x points centraux ) par une autre variable y. 2- On choisit a et b de telle sorte que les valeurs de y soient les plus simples possible. La valeur la plus simple est la valeur zéro, on préfère qu’elle soit au centre de la distribution, a doit donc être égale au point central qui est au centre de la distribution, b est le plus grand diviseur commun généralement c’est l’amplitude des classes. ci 95 105 115 125 135 145 155 165 TOTAL M.ACHRIT y -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ni 5 9 16 25 13 7 3 2 80 ni yi -15 -18 -16 0 13 14 9 8 -5 ni yi2 45 36 16 0 13 28 27 32 197 Page 40
  41. 41. Statistique descriptive à une dimension 3- Toutes les recettes ont augmenté de 20%, la nouvelle variable x’ est donc : Toutes les observations ont augmenté d’une même proportion par conséquent, le coefficient de variation n’a pas changé. Exercice 8 : Soit x la variable statistique qui représente le poids des colis. 1- Eléminons l’observation qui a la valeur 8,5 Kg. M.ACHRIT Page 41
  42. 42. Statistique descriptive à une dimension 2- Ajoutons la nouvelle observation qui a la valeur 6,5 Kg. Les nouvelles valeurs de la moyenne et la variance sont : M.ACHRIT Page 42
  43. 43. Statistique descriptive à une dimension M.ACHRIT Page 43

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