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Sistemas de Mezcla Incompleta 
Ing. Qco. Mario Alberto Jurado Eraso, MSc. 
20 de octubre de 2014 
Ing. Qco. Mario Alberto Jurado Eraso, MSc. Sistemas de Mezcla Incompleta 20 de octubre de 2014 1 / 16
Sistemas de Mezcla Incompleta 
De
nicion: Los sistemas de mezcla incompleta o sistemas de mezcla 
parcial o sistemas distribuidos, son modelos usados para simular la 
distribucion de contaminantes en corrientes o estuarios. En este 
sentido, se hablara de sistemas de 
ujo piston (PFR) y sistemas de 

ujo y mezcla (MFR). En los primeros domina la adveccion y en los 
segundos son importantes tanto la adveccion como la 
difusion/dispersion (molecular y turbulenta). 
Ing. Qco. Mario Alberto Jurado Eraso, MSc. Sistemas de Mezcla Incompleta 20 de octubre de 2014 2 / 16
Caso de estudio 
Un ro cuya area de seccion transversal Ac = 10m2, longitud-tramo 
L = 100m, profundiada media (h) = 2 m, velocidad de 
ujo 
U = 100m=h, y una constante de degradacion k = 2h1, tiene una 
concentracion a
uente de 1mg=l , determine la distribucion en el 
espacio de la concentracion del contaminante si: a) se encuentra en 
estado estable b)en estado transitorio. 
Ing. Qco. Mario Alberto Jurado Eraso, MSc. Sistemas de Mezcla Incompleta 20 de octubre de 2014 3 / 16
Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDP) 
1 Las EDP normalmente se clasi
can en tres grupos: ELIPTICAS, 
PARABOLICAS e HIPERBOLICAS. 
2 Una EDP es una ecuacion en la que intervienen una o mas 
derivadas parciales, es decir la derivada de una funcion o variable 
dependiente, con respecto a dos o mas variables independientes. 
3 En modelacion ambiental,comunmente la variable dependiente es 
una concentracion y las variables independientes son el espacio y 
el tiempo. 
4 En una EDP el orden de la derivada mas alta es llamado orden 
de la ecuacion y una solucion de una EDP es una funcion que 
satisface la ecuacion, normalmente c = f(espacio, tiempo). 
5 En modelacion ambiental lo mas interesante es el planteamiento 
del modelo y su analisis, por lo tanto en este curso se 
usara MATLAB y su toolbox: pdetool para la simulacion de 
sistemas que tengan EDP. 
Ing. Qco. Mario Alberto Jurado Eraso, MSc. Sistemas de Mezcla Incompleta 20 de octubre de 2014 4 / 16
Ejemplos de EDP 
Ejemplo de una EDP lineal de segundo orden en dos variables 
independientes: 
A 
@2u 
@x2 + B 
@2u 
@x@y 
+ C 
@2u 
@y2 + D 
@u 
@x 
+ E 
@u 
@y 
+ F  u = G 
donde: A, B, C, D, E, F y G, son funciones de x e y a 
aNota: Si G = 0, se dice que la ecuacion es homogenea; en caso 
contrario se dice que es NO homogenea. 
Ing. Qco. Mario Alberto Jurado Eraso, MSc. Sistemas de Mezcla Incompleta 20 de octubre de 2014 5 / 16
+ ejemplos: 
@u 
@t 
= k 
@2u 
@x2 
@2u 
@2t 
= a2 @2u 
@x2 
@2u 
@x2 
 
@2u 
@y2 = 0 
Ing. Qco. Mario Alberto Jurado Eraso, MSc. Sistemas de Mezcla Incompleta 20 de octubre de 2014 6 / 16
Solucion de EDP 
1 Normalmente se esta interesado en obtener una solucion 
particular, es decir con ciertas restricciones de las ecuaciones (O 
CONDICIONES DE LAS ECUACIONES) y NO en obtener 
soluciones generales como es el caso de las soluciones 
ANALITICAS. 
2 Existen dos tipos de condiciones: 
1 Condiciones Iniciales o asociadas a variables temporales 
2 Condiciones de Contorno o de frontera o asociadas a variables 
espaciales. 
Ing. Qco. Mario Alberto Jurado Eraso, MSc. Sistemas de Mezcla Incompleta 20 de octubre de 2014 7 / 16
Condiciones de Contorno o de frontera 
Dentro de este tipo de condiciones se encuentran dos tipos 
especialmente utiles en modelacion ambiental: 
1 Condiciones de frontera de Dirichlet o de primer tipo 
2 Condiciones de frontera de Neumann o de segundo tipo 
Ing. Qco. Mario Alberto Jurado Eraso, MSc. Sistemas de Mezcla Incompleta 20 de octubre de 2014 8 / 16
Ejemplos de condiciones de contorno o de frontera Dirichlet 
Por ejemplo, para la ecuacion diferencial ordinaria (NO diferencial): 
d2y 
dt2 + 3y = 1 
Condiciones Iniciales: 0  t  1, (la variable t esta entre 0 y 1). 
Condiciones de Contorno o de Frontera: y(0) = 1 y y(1) = 2; Es 
decir se han especi
cado unos valores que pueden ser numeros reales 
(1 y 2) como valores espec
cos que se necesita conocer como 
restricciones sobre la variable dependiente. Los valores 1 y 2, 
podran ser tambien funcion de la variable independiente (t), por 
ejemplo y(1) = et . 
Ing. Qco. Mario Alberto Jurado Eraso, MSc. Sistemas de Mezcla Incompleta 20 de octubre de 2014 9 / 16
Ejemplos de condiciones de contorno o de frontera Neumann 
Por ejemplo, para la ecuacion diferencial ordinaria (NO diferencial): 
d2y 
dt2 + 3y = 1 
Condiciones Iniciales: 0  t  1, (la variable t esta entre 0 y 1). 
Condiciones de Contorno o de Frontera: 
dy 
dt 
(0) = 1 y 
dy 
dt 
(1) = 2; 
Es decir se han especi
cado unos valores que pueden ser condiciones 
variables de la variable dependiente (DERIVADAS DE LA VARIABLE 
DEPENDIENTE). Normalmente lo que indica son cambios que sufre 
la variable dependiente en los lmites o fronteras fsicas del sistema. 
Estas variaciones pueden ser numeros reales o funciones de las 
variables independientes, por ejemplo: 
dy 
dt 
(1) = et 
Ing. Qco. Mario Alberto Jurado Eraso, MSc. Sistemas de Mezcla Incompleta 20 de octubre de 2014 10 / 16
EDP en MATLAB 
1 Para plantear modelos y llevar a cabo simulaciones de sistemas 
con EDP en Matlab, se utiliza la herramienta (toolbox): pdetool 
(RESTRINGIDA A DOS DIMENSIONES). 
2 Para ello se debe considerar la nomenclatura de las EDP: 
Ing. Qco. Mario Alberto Jurado Eraso, MSc. Sistemas de Mezcla Incompleta 20 de octubre de 2014 11 / 16

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  • 1. Sistemas de Mezcla Incompleta Ing. Qco. Mario Alberto Jurado Eraso, MSc. 20 de octubre de 2014 Ing. Qco. Mario Alberto Jurado Eraso, MSc. Sistemas de Mezcla Incompleta 20 de octubre de 2014 1 / 16
  • 2. Sistemas de Mezcla Incompleta De
  • 3. nicion: Los sistemas de mezcla incompleta o sistemas de mezcla parcial o sistemas distribuidos, son modelos usados para simular la distribucion de contaminantes en corrientes o estuarios. En este sentido, se hablara de sistemas de ujo piston (PFR) y sistemas de ujo y mezcla (MFR). En los primeros domina la adveccion y en los segundos son importantes tanto la adveccion como la difusion/dispersion (molecular y turbulenta). Ing. Qco. Mario Alberto Jurado Eraso, MSc. Sistemas de Mezcla Incompleta 20 de octubre de 2014 2 / 16
  • 4. Caso de estudio Un ro cuya area de seccion transversal Ac = 10m2, longitud-tramo L = 100m, profundiada media (h) = 2 m, velocidad de ujo U = 100m=h, y una constante de degradacion k = 2h1, tiene una concentracion a uente de 1mg=l , determine la distribucion en el espacio de la concentracion del contaminante si: a) se encuentra en estado estable b)en estado transitorio. Ing. Qco. Mario Alberto Jurado Eraso, MSc. Sistemas de Mezcla Incompleta 20 de octubre de 2014 3 / 16
  • 5. Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDP) 1 Las EDP normalmente se clasi
  • 6. can en tres grupos: ELIPTICAS, PARABOLICAS e HIPERBOLICAS. 2 Una EDP es una ecuacion en la que intervienen una o mas derivadas parciales, es decir la derivada de una funcion o variable dependiente, con respecto a dos o mas variables independientes. 3 En modelacion ambiental,comunmente la variable dependiente es una concentracion y las variables independientes son el espacio y el tiempo. 4 En una EDP el orden de la derivada mas alta es llamado orden de la ecuacion y una solucion de una EDP es una funcion que satisface la ecuacion, normalmente c = f(espacio, tiempo). 5 En modelacion ambiental lo mas interesante es el planteamiento del modelo y su analisis, por lo tanto en este curso se usara MATLAB y su toolbox: pdetool para la simulacion de sistemas que tengan EDP. Ing. Qco. Mario Alberto Jurado Eraso, MSc. Sistemas de Mezcla Incompleta 20 de octubre de 2014 4 / 16
  • 7. Ejemplos de EDP Ejemplo de una EDP lineal de segundo orden en dos variables independientes: A @2u @x2 + B @2u @x@y + C @2u @y2 + D @u @x + E @u @y + F u = G donde: A, B, C, D, E, F y G, son funciones de x e y a aNota: Si G = 0, se dice que la ecuacion es homogenea; en caso contrario se dice que es NO homogenea. Ing. Qco. Mario Alberto Jurado Eraso, MSc. Sistemas de Mezcla Incompleta 20 de octubre de 2014 5 / 16
  • 8. + ejemplos: @u @t = k @2u @x2 @2u @2t = a2 @2u @x2 @2u @x2 @2u @y2 = 0 Ing. Qco. Mario Alberto Jurado Eraso, MSc. Sistemas de Mezcla Incompleta 20 de octubre de 2014 6 / 16
  • 9. Solucion de EDP 1 Normalmente se esta interesado en obtener una solucion particular, es decir con ciertas restricciones de las ecuaciones (O CONDICIONES DE LAS ECUACIONES) y NO en obtener soluciones generales como es el caso de las soluciones ANALITICAS. 2 Existen dos tipos de condiciones: 1 Condiciones Iniciales o asociadas a variables temporales 2 Condiciones de Contorno o de frontera o asociadas a variables espaciales. Ing. Qco. Mario Alberto Jurado Eraso, MSc. Sistemas de Mezcla Incompleta 20 de octubre de 2014 7 / 16
  • 10. Condiciones de Contorno o de frontera Dentro de este tipo de condiciones se encuentran dos tipos especialmente utiles en modelacion ambiental: 1 Condiciones de frontera de Dirichlet o de primer tipo 2 Condiciones de frontera de Neumann o de segundo tipo Ing. Qco. Mario Alberto Jurado Eraso, MSc. Sistemas de Mezcla Incompleta 20 de octubre de 2014 8 / 16
  • 11. Ejemplos de condiciones de contorno o de frontera Dirichlet Por ejemplo, para la ecuacion diferencial ordinaria (NO diferencial): d2y dt2 + 3y = 1 Condiciones Iniciales: 0 t 1, (la variable t esta entre 0 y 1). Condiciones de Contorno o de Frontera: y(0) = 1 y y(1) = 2; Es decir se han especi
  • 12. cado unos valores que pueden ser numeros reales (1 y 2) como valores espec
  • 13. cos que se necesita conocer como restricciones sobre la variable dependiente. Los valores 1 y 2, podran ser tambien funcion de la variable independiente (t), por ejemplo y(1) = et . Ing. Qco. Mario Alberto Jurado Eraso, MSc. Sistemas de Mezcla Incompleta 20 de octubre de 2014 9 / 16
  • 14. Ejemplos de condiciones de contorno o de frontera Neumann Por ejemplo, para la ecuacion diferencial ordinaria (NO diferencial): d2y dt2 + 3y = 1 Condiciones Iniciales: 0 t 1, (la variable t esta entre 0 y 1). Condiciones de Contorno o de Frontera: dy dt (0) = 1 y dy dt (1) = 2; Es decir se han especi
  • 15. cado unos valores que pueden ser condiciones variables de la variable dependiente (DERIVADAS DE LA VARIABLE DEPENDIENTE). Normalmente lo que indica son cambios que sufre la variable dependiente en los lmites o fronteras fsicas del sistema. Estas variaciones pueden ser numeros reales o funciones de las variables independientes, por ejemplo: dy dt (1) = et Ing. Qco. Mario Alberto Jurado Eraso, MSc. Sistemas de Mezcla Incompleta 20 de octubre de 2014 10 / 16
  • 16. EDP en MATLAB 1 Para plantear modelos y llevar a cabo simulaciones de sistemas con EDP en Matlab, se utiliza la herramienta (toolbox): pdetool (RESTRINGIDA A DOS DIMENSIONES). 2 Para ello se debe considerar la nomenclatura de las EDP: Ing. Qco. Mario Alberto Jurado Eraso, MSc. Sistemas de Mezcla Incompleta 20 de octubre de 2014 11 / 16
  • 17. Tenga en cuenta que: r(cru) = r(c( du dx du dy du dz )) r(cru) = c( d2u dx2 + d2u dy2 + d2u dz2 ) Ing. Qco. Mario Alberto Jurado Eraso, MSc. Sistemas de Mezcla Incompleta 20 de octubre de 2014 12 / 16
  • 18. Condiciones de contorno o de frontera (CF) 1 Las CF Dirichlet: h*u = r; donde r puede ser una funcion de x e y. 2 Las CF Neumann: c(n:ru) + qu = g; donde c, q y g pueden ser valores reales o funciones de x e y. Ing. Qco. Mario Alberto Jurado Eraso, MSc. Sistemas de Mezcla Incompleta 20 de octubre de 2014 13 / 16
  • 19. Caso de Estudio La ecuacion que modela la variacion de la temperatura en una placa plana en dos dimensiones (a lo largo y a lo alto) por efecto de la conduccion de calor es: @2T @x2 + @2T @y2 = 0 Donde: T es la temperatura en C x e y, son las coordenadas a lo largo y a lo alto en cm Ing. Qco. Mario Alberto Jurado Eraso, MSc. Sistemas de Mezcla Incompleta 20 de octubre de 2014 14 / 16
  • 20. Caso de estudio Para el mismo sistema del ro planteado anteriormente, calcule la distribucion de la concentracion asumiendo que E = 2000; C0 = 0;7656mg=l y 10000 m2=h; C0 = 0;5063mg=l a) para estado estable b) para estado transitorio. Ing. Qco. Mario Alberto Jurado Eraso, MSc. Sistemas de Mezcla Incompleta 20 de octubre de 2014 15 / 16
  • 21. Respuestas obtenidas por un metodo analitico propuesto en: Surface water quality modelling de Steven Chapra Ing. Qco. Mario Alberto Jurado Eraso, MSc. Sistemas de Mezcla Incompleta 20 de octubre de 2014 16 / 16