Dia del medio ambiente 2016. Celebracion en I.E LCGM
Presentación Sistemas de Mezcla Incompleta
1. Sistemas de Mezcla Incompleta
Ing. Qco. Mario Alberto Jurado Eraso, MSc.
20 de octubre de 2014
Ing. Qco. Mario Alberto Jurado Eraso, MSc. Sistemas de Mezcla Incompleta 20 de octubre de 2014 1 / 16
3. nicion: Los sistemas de mezcla incompleta o sistemas de mezcla
parcial o sistemas distribuidos, son modelos usados para simular la
distribucion de contaminantes en corrientes o estuarios. En este
sentido, se hablara de sistemas de
ujo piston (PFR) y sistemas de
ujo y mezcla (MFR). En los primeros domina la adveccion y en los
segundos son importantes tanto la adveccion como la
difusion/dispersion (molecular y turbulenta).
Ing. Qco. Mario Alberto Jurado Eraso, MSc. Sistemas de Mezcla Incompleta 20 de octubre de 2014 2 / 16
4. Caso de estudio
Un ro cuya area de seccion transversal Ac = 10m2, longitud-tramo
L = 100m, profundiada media (h) = 2 m, velocidad de
ujo
U = 100m=h, y una constante de degradacion k = 2h1, tiene una
concentracion a
uente de 1mg=l , determine la distribucion en el
espacio de la concentracion del contaminante si: a) se encuentra en
estado estable b)en estado transitorio.
Ing. Qco. Mario Alberto Jurado Eraso, MSc. Sistemas de Mezcla Incompleta 20 de octubre de 2014 3 / 16
6. can en tres grupos: ELIPTICAS,
PARABOLICAS e HIPERBOLICAS.
2 Una EDP es una ecuacion en la que intervienen una o mas
derivadas parciales, es decir la derivada de una funcion o variable
dependiente, con respecto a dos o mas variables independientes.
3 En modelacion ambiental,comunmente la variable dependiente es
una concentracion y las variables independientes son el espacio y
el tiempo.
4 En una EDP el orden de la derivada mas alta es llamado orden
de la ecuacion y una solucion de una EDP es una funcion que
satisface la ecuacion, normalmente c = f(espacio, tiempo).
5 En modelacion ambiental lo mas interesante es el planteamiento
del modelo y su analisis, por lo tanto en este curso se
usara MATLAB y su toolbox: pdetool para la simulacion de
sistemas que tengan EDP.
Ing. Qco. Mario Alberto Jurado Eraso, MSc. Sistemas de Mezcla Incompleta 20 de octubre de 2014 4 / 16
7. Ejemplos de EDP
Ejemplo de una EDP lineal de segundo orden en dos variables
independientes:
A
@2u
@x2 + B
@2u
@x@y
+ C
@2u
@y2 + D
@u
@x
+ E
@u
@y
+ F u = G
donde: A, B, C, D, E, F y G, son funciones de x e y a
aNota: Si G = 0, se dice que la ecuacion es homogenea; en caso
contrario se dice que es NO homogenea.
Ing. Qco. Mario Alberto Jurado Eraso, MSc. Sistemas de Mezcla Incompleta 20 de octubre de 2014 5 / 16
8. + ejemplos:
@u
@t
= k
@2u
@x2
@2u
@2t
= a2 @2u
@x2
@2u
@x2
@2u
@y2 = 0
Ing. Qco. Mario Alberto Jurado Eraso, MSc. Sistemas de Mezcla Incompleta 20 de octubre de 2014 6 / 16
9. Solucion de EDP
1 Normalmente se esta interesado en obtener una solucion
particular, es decir con ciertas restricciones de las ecuaciones (O
CONDICIONES DE LAS ECUACIONES) y NO en obtener
soluciones generales como es el caso de las soluciones
ANALITICAS.
2 Existen dos tipos de condiciones:
1 Condiciones Iniciales o asociadas a variables temporales
2 Condiciones de Contorno o de frontera o asociadas a variables
espaciales.
Ing. Qco. Mario Alberto Jurado Eraso, MSc. Sistemas de Mezcla Incompleta 20 de octubre de 2014 7 / 16
10. Condiciones de Contorno o de frontera
Dentro de este tipo de condiciones se encuentran dos tipos
especialmente utiles en modelacion ambiental:
1 Condiciones de frontera de Dirichlet o de primer tipo
2 Condiciones de frontera de Neumann o de segundo tipo
Ing. Qco. Mario Alberto Jurado Eraso, MSc. Sistemas de Mezcla Incompleta 20 de octubre de 2014 8 / 16
11. Ejemplos de condiciones de contorno o de frontera Dirichlet
Por ejemplo, para la ecuacion diferencial ordinaria (NO diferencial):
d2y
dt2 + 3y = 1
Condiciones Iniciales: 0 t 1, (la variable t esta entre 0 y 1).
Condiciones de Contorno o de Frontera: y(0) = 1 y y(1) = 2; Es
decir se han especi
12. cado unos valores que pueden ser numeros reales
(1 y 2) como valores espec
13. cos que se necesita conocer como
restricciones sobre la variable dependiente. Los valores 1 y 2,
podran ser tambien funcion de la variable independiente (t), por
ejemplo y(1) = et .
Ing. Qco. Mario Alberto Jurado Eraso, MSc. Sistemas de Mezcla Incompleta 20 de octubre de 2014 9 / 16
14. Ejemplos de condiciones de contorno o de frontera Neumann
Por ejemplo, para la ecuacion diferencial ordinaria (NO diferencial):
d2y
dt2 + 3y = 1
Condiciones Iniciales: 0 t 1, (la variable t esta entre 0 y 1).
Condiciones de Contorno o de Frontera:
dy
dt
(0) = 1 y
dy
dt
(1) = 2;
Es decir se han especi
15. cado unos valores que pueden ser condiciones
variables de la variable dependiente (DERIVADAS DE LA VARIABLE
DEPENDIENTE). Normalmente lo que indica son cambios que sufre
la variable dependiente en los lmites o fronteras fsicas del sistema.
Estas variaciones pueden ser numeros reales o funciones de las
variables independientes, por ejemplo:
dy
dt
(1) = et
Ing. Qco. Mario Alberto Jurado Eraso, MSc. Sistemas de Mezcla Incompleta 20 de octubre de 2014 10 / 16
16. EDP en MATLAB
1 Para plantear modelos y llevar a cabo simulaciones de sistemas
con EDP en Matlab, se utiliza la herramienta (toolbox): pdetool
(RESTRINGIDA A DOS DIMENSIONES).
2 Para ello se debe considerar la nomenclatura de las EDP:
Ing. Qco. Mario Alberto Jurado Eraso, MSc. Sistemas de Mezcla Incompleta 20 de octubre de 2014 11 / 16
17. Tenga en cuenta que:
r(cru) = r(c(
du
dx
du
dy
du
dz
))
r(cru) = c(
d2u
dx2 +
d2u
dy2 +
d2u
dz2 )
Ing. Qco. Mario Alberto Jurado Eraso, MSc. Sistemas de Mezcla Incompleta 20 de octubre de 2014 12 / 16
18. Condiciones de contorno o de frontera (CF)
1 Las CF Dirichlet: h*u = r; donde r puede ser una funcion de x e
y.
2 Las CF Neumann: c(n:ru) + qu = g; donde c, q y g pueden ser
valores reales o funciones de x e y.
Ing. Qco. Mario Alberto Jurado Eraso, MSc. Sistemas de Mezcla Incompleta 20 de octubre de 2014 13 / 16
19. Caso de Estudio
La ecuacion que modela la variacion de la temperatura en una placa
plana en dos dimensiones (a lo largo y a lo alto) por efecto de la
conduccion de calor es:
@2T
@x2 +
@2T
@y2 = 0
Donde:
T es la temperatura en C
x e y, son las coordenadas a lo largo y a lo alto en cm
Ing. Qco. Mario Alberto Jurado Eraso, MSc. Sistemas de Mezcla Incompleta 20 de octubre de 2014 14 / 16
20. Caso de estudio
Para el mismo sistema del ro planteado anteriormente, calcule la
distribucion de la concentracion asumiendo que E = 2000;
C0 = 0;7656mg=l y 10000 m2=h; C0 = 0;5063mg=l a) para estado
estable b) para estado transitorio.
Ing. Qco. Mario Alberto Jurado Eraso, MSc. Sistemas de Mezcla Incompleta 20 de octubre de 2014 15 / 16
21. Respuestas obtenidas por un metodo analitico propuesto en: Surface
water quality modelling de Steven Chapra
Ing. Qco. Mario Alberto Jurado Eraso, MSc. Sistemas de Mezcla Incompleta 20 de octubre de 2014 16 / 16