1. Skenario Pembelajaran Limit Fungsi
13.1. Limit Fungsi
N Bidang kegiatan Uraian Materi
o
1 Menjelaskan Limit Fungsi merupakan bagian dari pengantar kalkulus (Hitung
pengertian limit Difrensial dan Hitung Integral) Limit Fungsi hanyalah merupakan
fungsi pelengkap dari dasar – dasar kalkulus tetapi bukan kalkulus
Contoh 1.
Diketahui fungsi y f x x 1 .Fungsi ini terdefenisi untuksemua x .
x2 x 2
Tetapi bagaimana dengan f x
x2
xbilangan riel. Berpakah nilai f x untuk x mendekati 2 ?
Untuk menjawabnya perhatikan tabel nilai-nilai f x berikutini
. . . .2. . .
x 1,8 1,9 1,999 2,001 2,01 2,1 2,2
.
Y=x+1 2,800 2,900 2,999 . 3,001 3,010 3,100 3,20
x2 x 2
f x
x2
2,800 2,900 2,999 . 3,001 3,010 3,100 3,20
Kemudian kalau kita tampilkan dalam bentuk grafi fungsi
y
Y = f(x) = x + 1
3
x2 x 2
f x
x2
2
1
x
- 0 1 2 3
Dari kedua cara ini yakni metode penghitungan pasangan nilai-nilai
(x, y) yang disusun dalam tabel di atas dan dengan metode grafik
tampak bahwa fungsi y f x untuk x mendekati 2 baik pendekatan
dari kiri maupun pendekata dari kanan nilainya mendekati 3 yang
dalam lambang matematika dituliska sebagai berikut
1. Untuk fungsi y f x x 1 jika x mendekati 2 dituliskan
lim f x lim x 1 2 1 3
x2 x 2
x2 x 2
2. Untuk fungsi f x jika x mendekati 2 dituliskan
x2
x2 x 2
lim f x lim , selanjutnya jika kita lakukan
x2
x2
x2
substitusi langsung :
x 2 x 2 22 2 2 0
lim f x lim ini adalah bentuk
x 2
x 2
x2 22 0
tak tentu. Untuk menghindari kondisi seperti ini kita lakukan cara
faktorisasi.
2. Skenario Pembelajaran Limit Fungsi
x2 x 2
lim f x lim
x 2 x 2 x2
lim
x 2 x 1
x 2 x2
lim x 1 2 1 3
x2
Defenisi 1
Defenisi secara intuitif, bawa lim f x L , artinya bahwa
x a
bilangan x mendekati tetapi berlaina dengan a maka f x dekat ke
Defenisi 2
Secara formal
Dikatakan lim f x L ,adalah bahwa untuk setiap 0 yang
x a
diberikan berapapun kecilnya terdapat 0 yang berpadanan
sedemikian sehingga f x L untuk setiap 0 x c
Denganmenggunakan defenisi limit di atas dapat dibuktikan teorema –
teorema pokok tentang limit suatu fungsi berikut ini.
1. Lim k k , jika k suatu konstanta.
x c
2. Limax b ac b
x c
3. Lim k f x k Lim f x
x c x c
4. Lim f x g x Lim f x Lim g x
x c x c xc
5. Lim f x g x Lim f x Lim g x
x c xc x c
6. Hukum substitusi :
Jika Lim g x L dan Jika Lim f x f L , maka
x c x c
Lim f g x f L
x c
1 1
7. Lim Jika Lim g x L dan L 0
xc g x L xc
f x Lim f x
8. Lim xc jika Lim g x 0
x c g x Lim g x x c
xc
9. Teorema Apit :
Misalkan f x g x h x pada interval yang memuat c dan
dipenuhi
Lim f x Lim h x maka Lim g x L
x c x c xc
Pembuktian ada pada Modul matematika (Kalkulus 1)
2 Membahas Limit Contoh :
fungsi aljabar
1. Lim 3x 1 32 1 5
yangVariabelnya x 2
mendekati nilai 2.
Lim 2 x 2 4 21 4 6
2
tertentu x 1
Tentukan nilai masing-masing limit fungsi di bawah ini
3. Skenario Pembelajaran Limit Fungsi
1.
Lim x 2 x 4
x 2
2. Lim 10 x
x 1
x 1
3. Lim
x 2 x 1
x2 1
4. Lim 2
x2 x 1
Penyelesaian nomor 1
Lim x 2 x 4
x 2
2
2 2 4
10
3 Membahas soal – f x Lim f x
soal limit fungsi Jika dengan substitusi langsung Lim xc diperoleh
yang diselesaikan
x c g x Lim g x
xc
dengan cara f x 0
faktorisasi (bentuk taktentu) maka pengerjaan limit fungsi dilakukan
g x 0
dengancara faktorisasi.
Contoh:
x2 4 x 2 x 2
1. Lim Lim Lim x 2 2 2 4
x2 x2 x2 x2 x2
Soal nomor 2 sampai dengan nomor 8 diberikan sebagai latihan
mandiri atau diskusi
x2 x 6
2. Lim
x 3 x 3
x 1
3. Lim
x 1 x 3
x
4. Lim 2
x 0 x x
x3 2 x
5. Lim 2
x 0 x x
x 4 x3 4 x 2 x
6. Lim 3
x0 x 2x 2 8x
x2 9
7. Lim
x 3
x2 7 4
4 x 4 x
8. Lim
x 0 x
4 Membahas Limit
fungsi Aljabar yang
variabelnya
mendekati Contoh:
takberhingga 4x 1
1. Lim
x 8 x 3
2x 2 x 1
2. Lim 2
x x 4 x 8
2x2 1
3. Lim 3
x x 4
4. Skenario Pembelajaran Limit Fungsi
4x2 1
4. Lim
x x 2
4 x 3 3 x 2 10 x 2
5. Lim
x 2 x 3 5 x 2 3x 1
5 x 4 4 x 3 x 2 5 x7
6. Lim
x 2 x 3 10 x 2 x 3
2x3 4x 2 x 5
7. Lim 5
x x 3 x 4 4 x 3 6 x 2 10 x 3
5 Membahas Limit
fungsi Aljabar yang Contoh:
variabelnya
mendekati 1. Hitung limit fungsi yang berikut ini
takberhingga,denga
a. Lim x 2 x 1`
x
n caramengalikan
dengan faktor b.
x
Lim x 2 3 x 4 x 2 x 2`
kawan
c. Lim 2 x x 1
2
x 3 x 1`
2
x
6 Membahas limit Contoh:
fungsi trigonometri 1. Hitung nilai limit fungsi trigonometri di bawah ini
a. Lim Sinx Sin 1
x
2
2
7 4 x 4 x 4 x 4 x
Lim
x0 x 4 x 4 x
Lim
4 x 4 x
x0 x
4 x 4 x
4 x4 x
Lim
x0 x
4 x 4 x
2x
Lim
x0 x
4 x 4 x
2
Lim
x0
4 x 4 x
2 2 1
40 40 22 2
8 dst .........