Sintesis.De.Precalculo

Síntesis de Precálculo

ORTIZ MUÑOZ

ORTIZ MUÑOZ

SINTESIS DE PRECÁLCULO

INTRODUCCIÓN
La presente obra esta diseñada para cubrir con una de las más
importantes recomendaciones de la evaluación que el CACEI (Consejo de
Acreditación de la Enseñanza de la Ingeniería) ha hecho a nuestro centro de estudios,
de forma general para todas las curriculas. Y de esta manera salvar el importante
hueco de la creación de guías académicas, cuadernos de trabajo y material
bibliográfico.

Síntesis de Precálculo, es un resumen práctico de los contenidos temáticos
del programa de esta asignatura actualizado y ajustado a los tiempos en el avance
programático en nuestro Centro Universitario (CUCEI). Viniendo a ser un soporte, en
el desarrollo y exposición de los temas de esta materia. Pudiendo usarse en
Facultades, Escuelas e Instituciones semejantes.

Presenta los puntos y criterios de coincidencia significativos de los cuales
la mayoría de tus profesores comparten, anexando un cuaderno de trabajo en el cual
encontraras ejercicios que te permitirán evaluar el grado de comprensión, así como
las habilidades y destrezas adquiridas respecto a los contenidos y objetivos de está
asignatura.

No dudamos que el esfuerzo que hoy emprendes por la comprensión y
estudio de este libro, sustentado con la reflexión del trabajo realizado en el aula y
reforzado por la puntualidad de tus ejercicios, te permitirá alcanzar una alta
autoestima y el éxito al cual aspiras.

El Autor

Mtro. Cesar Eleazar Muñoz Aceves

978 – 970 – 764 – 621 – 6

PROGRAMA PARA EL CURSO DE PRECÀLCULO
INDICE

1 - EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES……………………………5
Los números Naturales (N) y los Enteros (Z)
Los números Racionales (Q) y los Irracionales (H)
El campo de los números Reales (R)
Propiedades de los números
Relación de Orden
Igualdades y Desigualdades
Concepto de número Imaginario (i)
Concepto de número Complejo (C)

II – OPERACIONES FUNDAMENTALES…………………………………….25
Definiciones
La adición
La sustracción
Axiomas y teoremas para la multiplicación
Leyes de Exponentes para la multiplicación
Multiplicación de dos o más monomios
El producto de dos ó más polinomios
La división
El cociente de dos polinomios
Ley de Exponentes
Ley de radicales
Operaciones algebraicas con los números complejos

III – PRODUCTOS NOTABLES Y DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES…52
Algunos ejemplos sencillos por multiplicación directa
Binomio de exponente entero y positivo
Binomio de exponente entero y negativo
Cuatro casos significativos de Factorización
Teorema del Binomio

IV – FRACCIONES ALGEBRAICAS…………………………………………..71
Definiciones y principio fundamental
Conversión de fracciones
Multiplicaciones de fracciones
Adición de fracciones
Fracciones complejas

V – ECUACIONES LINEALES Y FRACCIONARIAS……………………….82
Definiciones
Ecuaciones equivalentes
Ecuaciones lineales con una incógnita
Ecuaciones fraccionarias
Inecuaciones Lineales (La relación de Desigualdad y Valor Absoluto)

VI – SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES SIMULTÁNEAS………….95
Solución de sistemas como intersección de conjuntos
Métodos Analíticos de solución
Sistemas de 2 y 3 Incógnitas
Solución por determinantes
Interpretación grafica
Coordenadas Cartesianas

VII – ECUACIONES CUADRATICAS…………………………………………114
Métodos de solución
Raíces reales
Raíces complejas
Factorización del trinomio cuadrático general
Ecuaciones del tipo cuadrático
Ecuaciones con radicales

1er EXAMEN DEPARTAMENTAL...................................................

VIII – FRACCIONES PARCIALES…………………………………………..
Factores Lineales Diferentes ( Caso I )
Factores Lineales Repetidos ( Caso II )
Factores Cuadráticos Diferentes ( Caso III )
Factores Cuadráticos Repetidos ( Caso IV )

IX – ECUACIONES ALGEBRAICAS DE GRADO SUPERIOR
Teorema del Residuo
Teorema del Factor y su inverso
División Sintética
Grafica de un Polinomio
Raíces Racionales de una ecuación polinomica
La ecuación reducida
Proceso de obtención de todas las raíces racionales
Raíces Imaginarias e Irracionales

X – FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS
Funciones exponencial
La función exponencial natural
Funciones logarítmica
Grafica de las funciones exponenciales

Logaritmos comunes y naturales
Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
Definición de funciones hiperbólicas y sus inversas (se omite)

XI –TRIGONOMETRIA (CONCEPTOS BÁSICOS) (se omite)
Ángulos, arcos y sistemas de medición
Definición de las funciones trigonometricas
Identidades fundamentales
Grafica de funciones trigonometricas
Ley de los Senos
Ley de Cósenos
Solución de triángulos

XII – NÚMEROS COMPLEJOS (se omite)
Forma polar de los números complejos
Forma polar general de los números complejos
Potencias de números complejos
Raíces de números complejos
Teorema D´Moivre

XIII - GEOMETRÍA ANALÍTICA (CONCEPTOS BÁSICOS) (se omite)
La Recta
La Circunferencia
La Parábola
La Elipse
La Hipérbola

2 do EXAMEN DEPARTAMENTAL.......................................................

EJERCICIOS (REACTIVOS)…………………………………………...Adjunto en CD
EJERCICIOS DE PARTICIPACIÓN…………………………………...Adjunto en CD
BILIOGRAFIA

1.- El Conjunto de los Números Reales

Definiciones;

Conjuntos – Un conjunto es una colección, lista o clase de objetos de la misma especie.
Estos objetos son los elementos (∈) del conjunto.
Las vocales del alfabeto = {a, e, i, o, u} Los números Naturales = { ,2,3,................ }
1
Los conjuntos se definen enumerando sus elementos o enunciando sus propiedades.
Notación: Es usual denotar los conjuntos con letras mayúsculas. A,B,C,..........
Los elementos (∈) se representan con letras minúsculas. A,b,c,..............
Símbolos de uso frecuente en Conjuntos:
∀ , ∈ , ∉ , { } , U , I , ⊂ , ...... , = , ≠ , |
Al definir un conjunto por enumeraciones se escriben los elementos separados por comas y
encerrados entre llaves, si se define enunciando sus propiedades se emplea una letra, por lo
general “x”. A = {a, e, i, o, u} B = { x /x Es un número Natural }
Números Naturales ( N ) – Son la forma más antigua de contar. Si partiendo de la unidad
le añadimos otra, y al número así obtenido otra, etc., y designamos cada vez por su nombre
el número que resulta, efectuamos la operación de contar o numerar. Tales números
1,2,3,etc., obtenidos sucesivamente constituyen la serie numérica; sus términos son los
números naturales, a´= a + 1 , 1´ =1 + 1= 2, 2´=2 + 1= 3, 3´=3 + 1= 4, 4´= 4 + 1=5........
N = { , sig (1), sig. (Sig.(1)),..... }
1 N = { ,2,3,................ }
1 N⊂Z
Números Enteros ( Z ) –Son los números que permiten la consideración de magnitudes,
como cantidades de dinero, temperaturas, fechas, etc., que dan lugar a dos sentidos (mayor
que cero o menor que cero ), ( a favor o en contra ), etc. Los números enteros son la unión
del conjunto de los números naturales( N ) con sus opuestos, más el cero. Esta es la razón
de denominarlos Positivos (+) y Negativos (-). Ejem. Z={...-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...}
Números Reales ( R ) – Son una sucesión cualquiera de infinitas cifras decimales que
pueden ser periódica(Q) o no periódicas(H). Son la unión de los números Racionales y los
números Irracionales.
Cada conjunto de números queda incluido en el posterior; es decir, los enteros incluyen a
los naturales, los racionales a los enteros, los reales a los racionales, y los complejos a los
reales.
Los Números Reales se subdividen en:

Números Racionales ( Q ) – Es la razón ( cociente ) de dos enteros, siempre y cuando el
a 3 1 3 2 8
denominador sea diferente de cero , ..si..b ∈ Z .. y...b ≠ 0 . Ejem. , , , , . Otra
b 1 5 4 3 7
definición es, las partes decimales de un Número Racional se prolongan indefinidamente
en forma periódica o consecutiva, Ejem. 3.000.....= 3, .2000.....= .2 0 , .75000.....= . 750 ,
.6666.....= . 6 , 1.142657142657.....= 1 . 142657

Números Irracionales ( H ) - A diferencia del número Racional, el número Irracional es
aquel en que sus partes decimales no son consecutivas o periódicas. Ejem.
2 =1.41421....., 3 =1.73205....., 5 =2.23606....., π =3.14159....., e =2.71828.....
Recta Numérica – La recta en si es un conjunto de puntos encontrándose unos con
respecto a otros a la misma distancia (equidistantes), la recta es infinita en ambos sentidos.
En la grafica (Fig. 1) se puede observar los números N, Z, R, Q, H.
Plano cartesiano – Si la recta numérica la giramos 1800 en contra de las manecillas del
reloj, tendremos otra abscisa con las mismas características y para diferenciarla, la
denominaremos ordenada al origen o eje de las y. Cuenta con cuatro cuadrantes cada uno
de 900 y con las características que se observan en la Fig. 2.

2 = 1.41421....

x´ -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
-1/2 1/2 π =3.14159....
Fig. 1
e = 2.71828....

PLANO CARTESIANO

( 900)
y
x=y x=y

II I

(− x, y ) ( x, y )

(1800) x´ x (00 ò 3600)

(− x,− y ) ( x, − y )
III IV

Fig. 2 2700

SISTEMAS NUMÉRICOS

NÚMEROS COMPLEJOS

NÚMEROS REALES NÚMEROS IMAGINARIOS

NÚMEROS NÚMEROS
RACIONALES IRRACIONALES

(-) (+)

ENTEROS FRACCIÓNARIO

(-) (+)
(-) 0 (+)

Números Complejos

Números Complejos ( C ) - El número complejo esta formado por una parte real y una
( )
parte imaginaria a + bi = x + yi.. a ∨ x = parte real , bi ∨ yi = parte imaginaria , a
∧ ∧
esta representación se le denomina forma binómica ó binomial (rectangular).Fig. 3

Ejem. 1 + − 4 = 1 + 4(− 1) = 1 + 4 − 1 = 1 + 2i, 3 – 5i, etc.

Nota: Número Imaginario ( i ) = i = − 1 . Ejem. − 4 = 2i, −3= 3 i, etc. Y
i = −1 .
2
Ejem. 3i = −3,−7i = 7
2 2

El Número Imaginario sé grafica en el Plano Complejo ó Plano de Argand
La b y/ó y con respecto al Número Imaginario serán coeficientes numéricos

Partiendo de la anterior representación se tendrán dos acepciones, cuando;

• Si la parte Imaginaria es igual a cero ( bi y/ó yi ) = 0 ∴ Existirá
exclusivamente la parte real y se le denomina por algunos autores como
( )
Número Real Puro a = x = N o .. Re al...Puro . Ejem. 3, 7, etc. (estos se
encontraran a 00 en el Plano Complejo, sobre el eje real en la parte
positiva, entre el I y IV cuadrante). Los números -2,-9. (estos se
encontraran a 180o en el Plano Complejo, sobre el eje real en la parte
negativa, entre el II y el III cuadrante).
• Si la parte real es igual a cero ( a y/ó x ) = 0 ∴ Existirá exclusivamente la
parte Imaginaria y se le denomina por algunos autores como Número
( )
Imaginario Puro bi = yi = N o .. Im aginario...Puro . Ejem. − 4 = 2i, − 3 =
0
3 i, etc. (estos se encontraran a 90 , en el Plano Complejo, sobre el eje
imaginario en la parte positiva, entre el I y el II cuadrante) y los números
- − 4 = -2i, - − 3 = - 3 i, etc. (estos se encontraran a 270 0 , en el
Plano Complejo, sobre el eje imaginario en la parte negativa, entre el III y
IV cuadrante).

Nos reservamos el trabajo con la forma binomica (rectangular) con respecto a las
operaciones de suma, resta, multiplicación y división por medio del proceso algebraico,
para abocarnos a su estudio al término del Capitulo 2.

PLANO COMPLEJO Ó PLANO DE ARGAND

90 o
yi
x=y x=y

II I

− x + yi x + yi

(180 O ) x´ x (0 O Ó 360 O )

− x − yi x − yi

III IV

x=y x=y
yi´
270 0

Fig. 3

POSTULADOS DE 1CAMPO Y DE 2ORDEN
(PROPIEDAD ó LEY)

1
Propiedad de Cerradura: a, b ∈ R
Para la Suma a + b ∈ R
Para la Multiplicación a ⋅ b ∈ R
1
Propiedad de Identidad:
Para la Suma a + 0 = a
Para la Multiplicación a ⋅ 1 = a

1
Propiedad del Inverso Aditivo:
a + (− a ) = 0

1
Propiedad Asociativa: a, b, c ∈ R
Para la Suma a + (b + c ) = (a + b ) + c
Para la Multiplicación a ⋅ (b ⋅ c ) = (a ⋅ b ) ⋅ c

1
Propiedad Conmutativa: a, b ∈ R
Para la Suma a + b = b + a
Para la Multiplicación a ⋅ b = b ⋅ a
1
Propiedad del Inverso Multiplicativo:
1
a   = 1 ; a ⋅ a −1 = 1
a
1
Propiedad Distributiva: a, b, c ∈ R
a ⋅ (b + c ) = ab + ac

POSTULADOS DE LA IGUALDAD
a = a representan el mismo elemento de algún conjunto
Reflexiva a∈R, a = a
Simétrica Si...a = b ∈ R, Si..a = b, entonces...b = a
Transitiva Si...a = b, y..b = c, entonces...a = c
Sustitución Si...a, b ∈ R, Si..a = b, entonces...a se sustituye por b
Aditiva Si...a = b, y..c = d , entonces...a + c = b + d
Multiplicativa ∀a, b, c, d ∈ R, a = b.. y..c = d ⇒ a × c = b × d

EJERCICIOS DE PARTICIPACIÓN
Anexa ejemplo Aritmético de cada una de las propiedades.

Ley de los Signos
2
x es positivo si y sólo si x > 0
2
x es negativo si y sólo si x < 0

Para la:
(+ ) + (+ ) = +  + ×+ = +  + ÷+ = + 
(+ ) + (− ) = ±  − ×+ = −  + ÷− = − 
Suma   Multiplicación   División  
(− ) + (+ ) = m  + ×− = −  − ÷+ = − 
     
(− ) + (− ) = −  − ×− = +  − ÷− = + 

Propiedad de multiplicación por –1

Si a ⊂ R, entonces (–1)a = – a y a(–1) = – a

Contesta a las siguientes preguntas:

Si y es un número (–) y x es un número positivo (+)

x+y= , x/y = ,x–y=


Ley de Cocientes

a a c ac a
1) =a 7) • = 11) Fracc..impropia, → a >b
1 b d bd b
−a a a a c a d ad a
2) = =− 8) ÷ = × = 12) Fracc.. propia, →a<b
b −b b b d b c bc b
a c a × (b ÷ c )
3) = ∴ ad = bc 9) Fracc.Complejas ,
b d d
4) a 0 = a1a −1 =
a
[a × (b ÷ c )] ÷ (d ÷ e) , etc.
a

a c a+c b ab
5) ± = 10) Fracc.Mixta, a × =
b b b c c
b ac + b
a+ =
c c
a c ad + cb
6) ± = Nota: Si a∀R
b d bd
a 0 0
=a , =0, = indeterminación
1 a 0



Ejem.

1) 2) 3) 4)

5) 6) 7) 8)

9) 10) 11) 12)


BASE
Ley de Exponentes a n
EXPONENTE

n
−n 1 a a
n
1) a = 1
0
7) a = n 13)   = n ,si n(+) y b≠ 0
a b b

−n
1 a bn
2) a 1 = a 8) a n = 14)   = n
a−n b a
3)a n = a • a • a. • .......... 9) a m a n = a m + n 15) (ab ) = a n b n
n

4)1n = 1 ( )
10) a m
n
= a mn

( )
5) − 1
n
= 1, n = par 11)
am
a n
= a m − n , si..a ≠ 0..., m > n

( )
6) − 1
n
= −1, n = impar
am 1
12) n = n − m , si..a ≠ 0..., m < n
a a

Atendiendo a la ley de los exponentes señalar la propiedad que aplica y resolver los
siguientes ejemplos:

1) 30 = 2) 71 = 3) 24 = 4) 134 =

5) ( –1)32 = 6) ( –1)17 = 7) 4– 2= 8) 42 =

2 2 3 56 53
9) 3∙3 =
∙ 10) [(2 ) ] = 11) 3 = 12) 6 =
5 5
2 −2
 32  3 2  52 
13) 
 2  =
 14) [(2) (3)] = 15)  
 3 =
   



INDÍCE DEL RADICAL

Ley de Radicales n
a RADICANDO

RADICAL

RADICAL EXPONENCIAL RACIONAL

|

1) n
1 = 1n = 1
m
 1 m

2) n
1m = 1n 
  = 1n = 1
 
1
3) −1 = (− 1) 2 = i
1

4) n
a = an
n

5) n
a n
= a n
= a

( a)
m
m m
6) n
a = n
= a n

n
7) n
a b = n ab
1 1

a n
a  a n an
8) n
  = =   = 1
b n
b b
bn
1

9) n m
a = nm
a = a nm

Atendiendo a la ley de los radicales señalar la propiedad que aplica y resolver los
siguientes ejemplos:

3
1) 1= 2) (4 1 )3 = 3) − 32 = 4) 7
5=

7 7 7 7
5) 57 = 6) 53 = 7) 23 22 =

7 7 7 7
8) 23 24 = 9) 23 29 = 10) 5 3
2 =

En los siguientes problemas racionalizar el denominador de ser posible
3 3 3 35
10) = 11) =
2 2

RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES

Para racionalizar denominadores Aritméticos, esto es únicamente cuando tenemos cualquier
cantidad dentro del radical como denominador, para una mejor comprensión del proceso
atenderemos los razonamientos y pasos a seguir en el ejemplo:
1
Si tenemos el cociente sabemos que el denominador es un número irracional y dicho
2
denominador lo queremos transformar a un número racional

1er Multiplicar el cociente que contiene 2 en su denominador por la unidad con la
finalidad de no alterar el cociente

1 1
= * 1, lo anterior también se efectúa cuando se pide racionalizar el numerador
2 2
3 3
3 3
3
=
3
∙ 1

2do Para transformar el número irracional de un cociente en un número racional, se
multiplicara el denominador ò el numerador dependiendo del problema original ( n a m ),
por el mismo índice del radical y radical que tenga el denominador ò numerador a
racionalizarse ( ), y el radicando con un exponente igual a la diferencia del índice
del radical original y el exponente original del radicando.
Considerando lo anterior, si queremos eliminar el índice del radical y el radical, requerimos
de la propiedad siguiente n a n donde podemos observar que se anulan el índice del radical
y el radical con el exponente de radicando.

1
Ejem. Racionalizar el denominador
n
am

a n−m a n− m a n−m a n−m a n−m
1 1
1= 1 n n n n n
= ∙ ∙ = = = =
n
am n
am n
am n
a n−m n
a m a n−m n
a m+n−n n
an a

El proceso completo puede observarse a continuación

1 1 1 2 2
= * 1= * =
2
2 2 2 2

NOTA: En la Aritmética podemos comprobar los resultados de estos cocientes

Ejem. Note que en ambos
cocientes el resultado es el
mismo.
1 2 1 2
≈ .7071067 y ≈ .7071067 ; =
2 2 2 2
7
(en otro caso si como denominador se tuviese 3 , se efectuaría el mismo proceso
7 7
32 • )

7
Ejem. ¿Como obtenemos que? 32 • = 3

En base a las sig. propiedades de radicales y exponentes:

5) n
an y 7) n
a n
b = n
ab : Si a,b → ∀R :. a = 2 y b = 3, a • b = 6
Si a,b → ∀R :. a = 3 y b = 3 (a = b)
9)a m a n = a m + n :. 3 2 • 35 = 3 2+5 = 37

Nota:
m
1) Si n
a , a > 1 donde m > n y m es múltiplo de n, se expresa en la forma exponencial
m
n
a

Ejem:
14
214 = 2 2 = 2 7 = 128
m
2) Si n a , a > 1 donde m > n y m no es múltiplo de n, el exponente del radicando se
expresa como una suma donde uno de los sumandos es el mismo valor de n o un múltiplo
mayor (Nm≥) mas el valor (L) que complete el valor de m ( m = Nm≥ + L ).

Ejem:

12
213 = 212+1 = 212 2 = 212 2 = 2 2 2 = 2 6 2 = 64 2

Desigualdades - Notación Símbolo Se lee
< Es mayor que
> Es menor que
≤ Es mayor o igual que
≥ Es menor o igual que

Desigualdad continua – Quiere decir que “b esta entre a y c” : a<b<c
Ejem.
1
− 3 < < 2 etc.
2
2
Ley de Tricotomia - a.b y c ε R a < b, a = b, a > b

Rescribir un Número Imaginario Puro

Para rescribir un Número Imaginario Puro elevado a una potencia, podemos hacerlo
por medio de los siguientes métodos:

Ley de Exponentes.
Formula.
Reloj

Y considerando el valor del Número Imaginario ( i ) = i = − 1 y i 2 = −1 .

Ley de Exponentes – Para poder efectuar la reescritura de un Número Imaginario Puro.

Requerimos de las siguientes propiedades de exponentes:
a0 = 1 (− 1 ) n
= −1, n = impar (a )
m n
= a mn
1 am
a1 = a a−n = = a m− n , m > n
an a n

1 am 1
1n = 1 an = −n n
= n−m , m < n
a a a
(− 1 )n
= 1, n = par * a m a n = a m+ n

Nota: Cuando el exponente del número imaginario sea múltiplo de cuatro ó cuatro, al
rescribirlo será igual a la unidad. Ejem. (i ) = (− 1)
2 2 2
( ) = (1)
= 1, i 8 = i 4
2 2
= 1, etc.
Además consideraremos los valores de, i = 1, i = i , i = −1, i = i ⋅ i = i (− 1) = −i
0 1 2 3 2

Ahora considerando los conceptos expuestos y apoyándonos en ellos, rescribamos los
siguientes números imaginarios, *factorizando las bases en términos del exponente:

Ejem.

( )
Rescribir i 46 = i 4
11
* i 2 = 1 * i 2 = −1 , i 345 = i 4 ( )
86
* i1 = i

Formula - La formula esta desarrollada en términos de la ley de exponentes:

i x = i 4 n+l = i l , Recuerda i 4 ( ) n
= 1n = 1 ∴ i x = i 4 n + l = 1 * i l = i l

Nota: Para encontrar el número n este es igual a dividir x entre cuatro, esto es:
x
n = = del resultado, únicamente consideraremos el número entero obtenido, las partes
4
decimales se descartan en el proceso, logrado esto, n se multiplica por cuatro y al resultado
se le suma la cantidad (L) que se requiera para así tener el número x original , i x .

46
Ejem. i 46 = i 4(11)+ 2 = i 2 = −1 , n = = 11.5..... y....n = 11 ; 4(11)+2 : i 2 = −1
4

Reloj – El método toma su nombre por su relación al reloj y el avance de sus manecillas,
en el método de rescribir el número i x . Bajo este proceso el avance, será en contra de las
manecillas del reloj para llevar un conteo de reescritura de un número i x .
En el Eje Real positivo (x), se tienen como exponentes todos los números que se observan
además de todas las centenas, millares, unidades de millar, decenas de millar, centenas de
millar, millones, etc.
En el eje real negativo única y exclusivamente los números que se observan
En el eje imaginario en su parte positiva y negativa única y exclusivamente los números
que se observan. Ver ejemplo.


900
i Bajo este proceso el avance, será
en contra de las manecillas del reloj
EXPONENTES 1,5,9 para llevar un conteo de reescritura
x
de un número i .
i1, i5

II i41, i45

θ i40

2,6,10,30,50,70,90 2 6 0,4,8,20,40,60,80
-1 1800 x i , i i42,i46 1 i44 io, i4 x 00 1

102,200,etc
103,2000,etc.
i43 104,20000,etc
105,etc.
i3, i7 106,etc
etc.

3,7
Fig. 4 -i
2700

Ejem. Rescribir i 46 = El procedimiento a seguir es: Observado el número que tenemos
por exponente expresarlo en torno a una suma = 40 + 6, las decenas pares se encuentran a la
derecha y sobre el eje real en la parte positiva, es punto será el de partida para contar en
contra de las manecillas del reloj los seis números faltantes al número buscado = -1

Ejem.
PROBLEMA ANÁLISIS
i 4573
= 4000 + 500 + 70 + 3 Las dos primeras cifras que se adicionan (4000+500)se
encuentran a la derecha en la parte real positiva, la tercera
i 4573
=i cifra es 70 se encuentra en la parte real negativa y a partir
de ese punto contamos las 3 unidades faltantes en sentido
contrario a las manecillas del reloj, obteniendo el número
ha rescribir


900
i i4573 = i4000+500+70+3 = i
EXPONENTES 1,5,9

i3

II

θ

2,6,10,30,50,70,90 0,4,8,20,40,60,80,
I70 i2
-1 1800 x 1 x 00 1
102,200, 500,etc
103,2000,4000etc.
104,20000,etc
105,etc.
106,etc
i1 etc.

3,7
Fig. 5 -i
2700

EJERCICIO 3
Reescribir el número Complejo ( Forma binomica, a + bi )

II – OPERACIONES FUNDAMENTALES

Definiciones
La adición
La sustracción
Axiomas y teoremas para la multiplicación
Leyes de Exponentes para la multiplicación
Multiplicación de dos o más monomios
El producto de dos ó más polinomios
La división
El cociente de dos polinomios
Ley de Exponentes
Ley de radicales
Operaciones algebraicas con los números complejos
La relación de desigualdad y valor absoluto

GENERALIDADES

Da respuesta a los siguientes cuestionamientos y adjunta ejemplo:

¿Qué es?

Termino Algebraico –

Entera
Expresión algebraica –
a) Racionales

Fraccionaria

b) Irracionales

Coeficiente –

Monomio –

Binomio –

Trinomio –

Multinomio –

Polinomio –

Factor –

Producto Algebraico –

Cociente Algebraico –

Como se obtiene el grado de un término algebraico –

Como se obtiene el grado de una expresión algebraica –

Fracción Propia Algebraica –

Fracción Impropia Algebraica –

Fracción Mixta Algebraica –

Fracción Compleja Algebraica –

División Exacta Algebraica –

División Exacta no Exacta Algebraica –

SUMA Y PRODUCTO ALGEBRAICO:
Sumar polinomios - Es sumar los términos semejantes (suma de coeficientes).

.Ejem.

PROBLEMA ANALISIS
(5x5– 2x2 + 7x – 8) + Eliminamos los signos de agrupación, multiplicando por el
+ (8x5 – x2 – 8x + 9) = Signo que antecede a cada uno de los polinomios agrupados.
5x5– 2x2 + 7x – 8+ Se suman los términos semejantes(suma de su coeficientes),
8x5 – x2 – 8x + 9 = (Atendiendo nuestra ley de signos al efectuar operaciones) las
---------------------- x5con las x5, las x4 con las x4 si las hay, y así sucesivamente.
= (5+8)x5+ (– 2– 1)x2 +
(7– 8)x +(– 8+9) =

= 13x5 – 3x2 – x + 1 Obtenemos la suma o resultado

La multiplicación Aritmética:
Esta constituida de los siguientes elementos, multiplicando multiplicador y producto
Multiplicando – El numero a repetirse. (5)
Multiplicador – El numero de veces que se repite (3) y se suma el Multiplicando.
Producto – El resultado de esta adición reiterada. (15)

Ejem. 5 x 3 = 5 + 5 + 5 = 15 El producto es una suma reiterada

Axiomas y teoremas en la multiplicación – Básicamente los postulados de campo al igual
que nuestras leyes o propiedades son los elementos que nos permiten realizar operaciones,
el estar familiarizados con las mismas determina su aplicación en el proceso o algoritmo, en
este caso del producto.

Leyes de exponentes en la multiplicación – Dependiendo del problema en particular, en
lo general pueden aplicarse en su totalidad

Multiplicación de dos o más polinomios –

Producto de un polinomio por un número real- Se multiplica cada coeficiente de los
términos que componen el polinomio, por el número real.
Ejem:
1) 3( 2a + ab2) = 6a + 3ab2 2) (a + b)0(a + 3b) = a +3b

Producto de dos monomios- Es otro monomio del cual el coeficiente es producto de
los coeficientes. Y su parte literal, el producto de las partes literales de los
monomios iniciales
Ejem. 1) 5xy2z3( – 4x2yz) = –20x3y3z4 6
2 − 2
2 –1/5  1 −3  − u 5 = − 6
2) (–2u )(5u )  u  = 5
 25  5u 5

Producto de un polinomio por un monomio- Se multiplica cada monomio del
polinomio multiplicando por el monomio multiplicador

Ejem. 1) 3ab(4a + b) = 12a2 b + 3ab2
2) x2y(x –1 + y–1) = x2 x –1y + x2y y–1 = xy + x2

Indica que postulados de campo y que propiedades de exponentes justifican las operaciones

Producto de polinomios – Se multiplica cada termino del polinomio del
multiplicando por todos los términos del multiplicador, y se suman los resultados

Ejem 1) (a + b)(a + b) = a(a + b) + b(a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2
Propiedad Distributiva
a+bx
a+b=
a2 + ab Multiplicación Algebraica
2
ab + b
a2 + 2ab + b2

2) (x + 2y – 3z)(2x – y2 – z3) = x(2x – y2 – z3) + 2y(2x – y2 – z3) – 3z(2x – y2 – z3) =
Propiedad Distributiva
= 2x – xy – xz + 4xy – 2y – 2yz – 6xz + 3y z + 3z4 =
2 2 3 3 3 2

= 2x2 + 4xy – xy2 + 3y2z – 2y3 – 6xz – xz3 – 2yz3 + 3z4
x + 2y – 3z x
2x – y2 – z3 =
2x2 + 4xy – 6xz
– x y2 – 2y3 + 3y2z Multiplicación Algebraica
– xz3 – 2yz3 + 3z4

2x2 + 4xy – xy2 + 3y2z – 2y3 – 6xz – xz3 – 2yz3 + 3z4


Encuentre los valores de las expresiones tomando los valores asignados a las literales, en
los siguientes problemas.

2x – 3y + 5z ; x=2 ,y=3 ,z=2
3x + 7y + 3z ; x=3 ,y=2 ,z=5
2x + y + 4z ; x=2 ,y=5 ,z=4
6x + 3y + 2z ; x=5 ,y=6 ,z=3

Encuentre la suma de las expresiones.

z – 3x + 4y, 2y + x – 5z, 2x – 5y
3u + 7v – 8w, 3w – 9v, 8u – 3v

Elimine los signos de agrupación y efectué las operaciones.

2x – (3x – y) + ( x + y) Encuentre el producto
3a - (3b - 2c) + (2a - c) (a + 2b)(2a – 3b)
5u– [4v – (2w -2v-5u)] (a + b + c)(c + b + a)
2x - {2x -[2x – (2x -y) -y ]- y}-y x(3x + y)- y(x – 4y)
3y +{7v - [2w - y - (2v – 3w)- 2y] -v } 4x2 – 3xy – y2 , x + y
2y(x – 2y +3z) – 2z(2x +3y) +2x(2z – y) x2 – x + 1, x2 – x – 2
2[2a – 8(a + b)] – 3{a2 – [2b – a(a + b)]} (u3 – u2 + u –1)(u2 – u + 1)
(3y4 – 2y + 3) – (y3 + y2 – 2y)

RESTA Y DIVISIÓN:

RESTA ALGEBRAICA
Ejem
.
PROBLEMA ANALISIS
(5x7–2x3+3x– 4) – Eliminamos los signos de agrupación, multiplicando por el
(2x7+7x3 + 5) = Signo que antecede a cada uno de los polinomios agrupados.
Se restan los términos semejantes(suma de su coeficientes),
5x7-2x3+3x-4-2x7-7x3-5= (atendiendo nuestra ley de signos al efectuar operaciones) las
x5con las x5, las x4 con las x4 si las hay, y así sucesivamente
= 3x7–9 x3+3x–9 Obtenemos la diferencia o resultado


Efectuar las sustracciones siguientes:

Réstese la segunda expresión de la primera

25 – 13 24 – 17
12 – 18 – 11 5

1) 2m – n – [m – (n – m)]
2) (– m2 + 6m – 9) – ( m2 + 6m – 9)
3) x2 – xy +y2 – (x2 – xy + y2 )
4) 40 – (– 70)
5) a – (a – b)
6) (a – b) + (b – a) – (a – b) – (b – a)
7) (2m2 – 3mn + 5n2 ) – (5n2 – 6mn) – 9m2
 a4 a3   a4 a3 a2 
8)  −
 3 + − a 2 + 3 −  −
  6 + 4 − 3 + 1

 2   

DIVISIÓN ALGEBRAICA

1 – Monomio entre un monomio.
2 – Polinomio entre un monomio.
3 – Polinomio entre un polinomio.

Generalidades

1 – Monomio entre un monomio.
a0 1 z6
Ejem. 1) a0 entre a4 = 4 = 4 2) z6 entre z4 = 4 = z 6− 4 = z 2
a a z
2 4 3
u 1 1 18ab 6b
3) 7 = 7 − 2 = 5 4) 2
=
u u u 3a b a
a m
m−n a m
1
Recuerde n = a , si a ≠ 0 : m > n y n
= n − m , si a ≠ 0 : m < n
a a a

2 – Polinomio entre un monomio.

Ejem.
x3 − y 2 x3 y2 x2 1
1) = 3− 3 = 3−
xy 3 xy xy y xy
1 1 1 1
− −
3x 3
+ 6 xy + 12 x y 2
3x 6 xy5 3
12 x 5 y 3
3 2
2) = + + =
3 xy 6 3 xy 6 3 xy 6 3 xy 6
1 2 4 x 5−1 1 2 4x 4
= 1
+ 1
+ 6 −3 = 4
+ 11
+ 3
1+
3 6
6−
2
y 3 6 y
x y y x y y2
a+b a b
Recuerde = +
c c c

3 – Polinomio entre un polinomio.

REGLA – Para dividir un polinomio entre otro:

1) Se escribe el dividendo a la derecha del divisor, disponiendo los términos de tal
forma, que los exponentes de una misma letra (variable) en ambos polinomios
se encuentren en progresión ascendiente o descendiente.
2) Se divide el primer término del dividendo por el primer término del divisor: el
resultado se escribe como primer término del cociente.
3) Se multiplica el divisor por este primer término y el producto se resta al
dividendo. El resultado es un nuevo dividendo.
4) Se procede con este dividendo como con el primero y se continua verificando
esto que no haya residuo[R(x) = 0] o hasta que el primer término del divisor no
esté contenido en el primer término del dividendo[R(x) ≠ 0]
Y se escribe de acuerdo al modelo matemático correspondiente.
f ( x) R ( x)
= Q( x) + si R ( x) = 0 ò R ( x) ≠ 0
g ( x) g ( x)

f ( x)
EXACTA [R(x) = 0] – = Q( x) f ( x) = Q( x) g ( x)
g ( x)

Ejem.
x3 −1
(x3 – 1):(x2 + x + 1) = = x–1 Q(x) = x – 1 , R(x) = 0
x2 + x +1

Proceso :

x–1
x2 + x + 1 x3 – 1
– x 3 – x2 – x
– x2 – x – 1
x2 + x + 1
0

Comprobación :

x3 −1 x3 −1
= (x – 1) = (x – 1)(x2 + x + 1) x3 – 1 = (x – 1)(x2 + x + 1)
x2 + x +1 x + x +1
2

Ejem.
x3 −1
(x3 – 1):(x2 + x + 1) = = x–1 Q(x) = x – 1 , R(x) = 0
x2 + x +1

Proceso :

x–1
x2 + x + 1 x3 – 1
– x 3 – x2 – x
– x2 – x – 1
x2 + x + 1
0

Comprobación :

x3 −1 x3 −1
= (x – 1) = (x – 1)(x2 + x + 1) x3 – 1 = (x – 1)(x2 + x + 1)
x2 + x +1 x + x +1
2

f ( x) R( x)
NO EXACTA [ R(x) ≠ 0] – = Q( x) + f ( x) = g ( x)Q ( x) + R ( x)
g ( x) g ( x)

Ejem.
y 3 - 3y 2 - 26y + 36 148
(y3 – 3y2 – 26y + 36):( y – 8) = = y2 + 5y +14 +
y -8 y −8

Q(x) = y2 + 5y +14 y R(x) = 148

Proceso :

y2 + 5y +14
y – 8 y3 – 3y2 – 26y + 36
– y 3+ 8y2
5y2 – 26y
– 5y2 + 40y
14y + 36
–14y + 112
148

Comprobación :

y 3 - 3y 2 - 26y + 36 148
= y2 + 5y +14 +
y -8 y −8
y 3 - 3y 2 - 26y + 36
=
(y 2
)
+ 5 y + 14 ( y − 8) + 148
y -8 y −8

y3 – 3y2 – 26y + 36 = y3 – 3y2 – 26y + 36

Ejem.
u4 − u2 +1 1
(1 – u2 + u4):(1 – u ) = (u4 – u2 + 1):( – u + 1) = = − u3 − u2 +
− u +1 − u +1

Proceso :
– u3 – u2
–u+1 u4 – u2 + 1
– u 4 + u3
u3 – u2
– u3 + u2
1

Comprobación :

u4 − u2 +1
= − u3 − u2 +
1
:. = =
(
u 4 − u 2 + 1 − u 3 − u 2 (− u + 1) )
− u +1 − u +1 − u +1 − u +1

u4 – u2 + 1 = ( – u3 – u2)( – u + 1) + 1 = u4 – u2 + 1


Efectúa las divisiones:

a3 − 8
1) =
a +1
6 y 3 − y 2 − 3 y + 20
2) =
3y + 4
u4 − v4
3) =
u+v
16 x 4 − 81 y 4
4) =
2x + 3 y
7 a 2 b 3 − 2a 3 b 2 + a 5 + b 5 − 5ab 4
5) =
2ab − b 2 + a 2

Nota: Acostúmbrese a decir dividir entre y
multiplicar por (no diga dividir por)

Ley de Exponentes an EXPONENTE

n
1 a a
n
1) a 0 = 1 7) a − n = 13)   = n , si n(+) y b≠ 0
an b b

−n
1 a bn
2) a = a
1
8) a = − n
n
14)   = n
a b a
3)a n = a • a • a. • .......... 9) a m a n = a m + n 15) (ab ) = a n b n
n

4)1n = 1 ( )
10) a m
n
= a mn

( )
5) − 1
n
= 1, n = par 11)
am
a n
= a m− n , si..a ≠ 0..., m > n

( )
6) − 1
n
= −1, n = impar
am 1
12) n = n − m , si..a ≠ 0..., m < n
a a


Efectúa las operaciones y simplifica, tus respuestas exprésalas sin exponentes
negativos

1) (xy)0 = 6) (– 3y)-3 =
2) (–1)731= 7) [(– 2xy)-2]-1 =
3) (–1)464 = 8) (a – b)0[(a – b)-5]2 =
4) (–3xy)3 = 9) ax • a5x =
2x 7 y 3
5) (– xy)242 = 10) =
4x 4 y 5

17) La expresión
(x 2 n −3
)
3
y n− 2
se reduce a
x n − 2 y 3 n −7
18) Simplificar y reducir a su mínima expresión a (x + x – 1)2 se obtiene

19) Simplificar y reducir a su mínima expresión a xy(x – 2 + y – 2)

20) Simplificar y reducir a su mínima expresión a xy(x – 2 + x – 2)

EJERCICIO 5

Exponenciación

INDÍCE DEL RADICAL

Ley de Radicales n
a RADICANDO

RADICAL

RADICAL EXPONENCIAL RACIONAL

|

1) n
1 = 1n = 1
m
 1 m

2) n
1m = 1n 
  = 1n = 1
 
1
3) −1 = (− 1) 2 = i
1

4) n
a = an
n

5) n
a n
= a n
= a

( a)
m
m m
6) n
a = n
= a n

n
7) n
a b = n ab
1 1

a n
a  a n an
8) n
  = =   = 1
b n
b b
bn
1

9) n m
a = nm
a = a nm


− 125 x −6 y
1) La expresión 3 se reduce a:
8 y −7 Racionalizar de ser
8x 5
2x −1 posible el denominador
2) La expresión 4 ∗4 se reduce a:
y 6
y −2
5 − 8 x 9 y −7 5 4 x 6 y −3
3) La expresión se reduce a:
xy 2
3x
4) La expresión se reduce a:
2y3

EJERCICIO 6
Radicales

Racionalizar de ser
posible el denominador

OPERACIONES ALGEBRAICAS CON NÚMEROS COMPLEJOS

* Los números complejos son también pares ordenados (por tener orden) de números
reales.

x + yi = a + bi = ( x, y ) = (a, b) ⇔ x = a; y = b

Ejem. (2, –3) = 2 – 3i
Ejem. (0, –1) = – i
Ejem. (7, 0) = 7

Nota:
Los números complejos tienen la siguiente notación considerada por algunos autores;
C=z
Ejem.
z = x + yi = a +bi ó z = 1 + i , z1 = a + bi , z2 = c + di , etc.

* Serán números complejos conjugados, aquellos que solo difieren en signo de sus
componentes y su notación es el encontrarse testado:

z1 = –2 + i, su conjugado es z1 = −2 − i ANÁLISIS: El número real no tiene conjugado - 2 = –2
El número imaginario si tiene conjugado i = – i

*A las operaciones de multiplicación, suma y división, resta se les llama fundamentales.
Cuando se efectúan en los números complejos, sus definiciones cumplen con todas las leyes
del álgebra.

En la adición y sustracción de números complejos, en ambas operaciones se cumple
sumando o restando la parte real con la parte real y la imaginaria con la imaginaria,
teniendo como resultado otro número complejo:
.
z1 ± z2 = (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (bi ± di), cumpliendo con la propiedad conmutativa
tanto en la parta real como en la imaginaria, resultado de la operación:

Ejem. Obtener la suma de los siguientes números complejos z1 = 3 + 5i y z2 = –7 – 4i
z1 + z2 = (3 – 7) + (5 – 4)i = – 4 + i

En la multiplicación dos números complejos se definen:

z1 • z2 = (a + bi) • (c + di) = (ac + bdi2) + (bc +ad)i = (ac – bd) + (bc + ad)i

Ejem. Obtener el producto de los siguientes números complejos z1 = 3 + 5i y z2 = –7 –
4i
z1 • z2 = (3 + 5i) • (–7 – 4i) = (–21 – 20i2) + (–12 – 35)i = (–21 + 20) + (–12 – 35)i =

= –1 – 47i

Nota: Las leyes de cancelación, asociativa, conmutativa y distributiva se cumplen en las
operaciones de multiplicación y adición.

En la división dos números complejos se definen:

z1/z2 =
a + bi
=
(a + bi )(c − di ) = (ac + bd ) + (bc − ad )i = (ac + bd ) + (bc − ad )i
c + di (c + di )(c − di ) c 2 − d 2i 2 c2 + d 2

Como se observa el denominador se multiplica por el conjugado del número complejo y el
numerador también, para no alterar el cociente.

Ejem. Obtener el cociente de los siguientes números complejos z1 = 3 + 5i y z2 = – 4i

z1 3 + 5i 3 + 5i 4i 12i + 20i 2 − 20 + 12i
= = • = =
z2 − 4i − 4i 4i − 16i 2 16

¿Aplicando la ley de los signos para los cocientes, que otras soluciones equivalentes se
pueden tener?

Ejem. Obtener el cociente de los siguientes números complejos z1 = 1 + i y z2 = – 1 + i

z1 1 + i 1 + i 1 + i 1 + 2i + i 2 2i
= = • = 2 2 = =i
z2 1 − i 1 − i 1 + i 1 −i 2


Transformar a la forma binomial los siguientes números complejos:

1) − 4 =
2) 3 − − 16 =
3) 5 + − 7 =

Efectúa las siguientes operaciones con los números complejos:

4) z1 = 1 − − 1 , z 2 = 1 + − 1 , z 3 = −2 − 3i

2 2 (z1 )2 z1
:. z1 • z 2 = , z1 + z2 + x32 , = , + z3 =
z2 z2
3+i
5) La expresión es equivalente a
3−i
6) La expresión i (1 − i ) es equivalente a
2

i 7 + 2i 2
7) Al escribir la expresión en la forma a + bi se obtiene
i3
8) Al escribir la expresión i 3 (4 − 3i ) en la forma a + bi se obtiene
2

( )( )
9) Al escribir la expresión 5 + − 9 3 + 4 − 25 en la forma a + bi se obtiene

2 + 7i
1 − 2i
2 + i 7345
1 − 2i 327
12) La expresión 2i(1 − i ) es equivalente a
3

EJERCICIO 7

Operaciones algebraicas con el número complejo en la forma binomica(rectangular), a + bi

III-PRODUCTOS NOTABLES Y DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES

Algunos ejemplos sencillos por multiplicación directa
Binomio de exponente entero y positivo
Binomio de exponente entero y negativo
Cuatro casos significativos de Factorización
Teorema del Binomio

PRODUCTOS NOTABLES

Las formulas que se exponen a continuación son el resultado de la obtención de algunos
productos que con mayor frecuencia se presentan en el cálculo algebraico y con los que
debe procurar familiarizarse en todo lo posible. La comprobación de los productos puede y
debe verificarse efectuando la multiplicación correspondiente.

I.
a(b + c) = ab + ac
II.
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
III.(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
IV.(ax +b)(cx +d) = acx2 + (ad + bc)x + bd
V.(a + b)(a – b) = a2 – b2
VI.(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + 2ab + b2
VII.(a – b)2 = (a – b)(a – b) = a2 – 2ab + b2
VIII.(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
IX.(a + b)3 = (a + b)(a + b)(a + b) = (a + b)2(a + b)= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
X.(a – b)3 = (a – b)(a – b)(a – b) = (a – b)2(a –b)= a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
XI.(a + b)(a2 – ab + b2) = a3 + b3
XII.(a – b)(a2 + ab + b2) = a3 – b3
XIII.(a – b)(an – 1 + an – 2b + an – 3 b2 + ............+ abn – 2b + bn – 1) = an – bn :. Siendo n
un número entero positivo cualesquiera (1,2,3,4,5,.......)
XIV. (a + b)( an – 1 – an – 2b + an – 3 b2 – ............ – abn – 2b + bn – 1) = an + bn :. Siendo n
un número entero positivo impar (1,3,5,7,.......)

Algunos ejemplos sencillos por multiplicación directa:

MODELO PROBLEMA ANÁLISIS
MATEMÁTICO
PROPIEDAD DISTRIBUTIVA r(2u + t) = Identifica los factores y obtén el
a(b + c) = ab + ac = 2ru + rt
Producto

(a + b)(c + d)=ac + ad + bc + bd (2r + s)(t + u) = Identifica los factores y obtén el
Producto
= 2rt+2ru+st+su
2
(x + a)(x + b) = x +(a + b)x + ab (x + 2)(x – 3)= Identifica los factores y obtén el
Producto
= x2 – x – 6
(ax + b)(cx + d) = (2x + 2)(3x –3)= Identifica los factores y obtén el
Producto
= acx2 + (ad + bc)x + bd = 6x2 – 6

Repaso

La multiplicación la podemos efectuar de las siguientes formas:
Propiedad Distributiva (P.D)
Ejem. 1) x(2y + 3) = 2xy + 3x (P.D.) = 2u(u – v) – 3v(u – v) = 2u2 – 5uv – 3v2
u-v
Multiplicación
2u – 3v =
Algebraica
2) ( 2u – 3v)(u – v) =
2u2 – 2uv
- 3uv + 3v2
Diagrama del Producto
2u2 – 5uv + 3v2
2 2
( 2u – 3v)(u – v) = 2u – 5uv + 3v

MODELO PROBLEMA ANÁLISIS
MÁTEMATICO
BINOMIO CONJUGADO = DIFERENCIA
DE . CUDRADOS
(2x+3)(2x–3)= Identifica los factores y obtén el
Producto
2
(a + b)(a – b) = a – b 2 = 4x2 – 9
BINOMIO CUADRADO PERFECTO
PARA LA SUMA
(5a + 2)2 =
Identifica los factores y obtén el
2
(a + b) = (a + b)(a + b)= Producto
= a2 + 2ab + b2 = 25a2 + 20a + 4
BINOMIO CUADRADO PERFECTO
PARA LA DIFERENCIA
(3x – 4)2=
2
(a – b) = (a – b)(a – b) = Producto
= a2 – 2ab +b2 = 9x2 – 24x +16
TRINOMIO CUADRADO
2 (x + 2y – z)2 =
(a + b + c) = = x2 + 4y2 + z2 + 4xy – 2xz – 4yz
Producto
=a +b +c2 +2ab +2ac +2bc
2 2
BINOMIO AL CUBO PARA LA
SUMA
3
(a + b) = (x + 3y)3 = Identifica los factores y obtén el
=(a + b)(a + b)(a + b)= Producto
= (a + b)2(a + b)= = x3 + 9x2y + 27xy2 + 27y3
= a3 + 3a2b +3ab2 + b3
BINOMIO AL CUBO PARA LA
DIFRRENCIA
(a – b ) = 3 (2x – y)3 = Identifica los factores y obtén el
=(a – b)(a – b)(a – b) = Producto
=(a – b)2(a – b)= = 8x3 – 12x2y + 6xy2 – y3
=a3 – 3a2b +3ab2 – b3
SUMA DE CUBOS (3x + 1)(9x2 – 3x + 1) = Identifica los factores y obtén el
(a + b)(a2 – ab + b2) = = 27x3 + 1
Producto
= a3 + b3
DIFERENCIA DE CUBOS
2 2 (2x - 2)(4x2 + 4x + 4) = Identifica los factores y obtén el
(a – b)(a + ab + b ) = Producto
= a3 – b3 = 8x3 – 8

Siendo n número entero positivo cualesquiera (1,2,3,4,5,.......)
(a – b)(an – 1 + an – 2b + an – 3 b2 + ............+ abn – 2b + bn – 1) = an – bn

Ejem.
(u - v)(u4 + u3v + u2 v2 + uv3 + v4 ) = Identifica los factores y obtén el
= u5 - v5 Producto

Siendo n un número entero positivo impar (1,3,5,7,.......)
(a + b)( an – 1 – an – 2b + an – 3 b2 – ............ – abn – 2b + bn – 1) = an + bn
Ejem.
(u + v)(u4 - u3v + u2 v2 - uv3 + v4 ) = Identifica los factores y obtén el
= u 5 + v5 Producto

Por medio de las formulas anteriores, resolver.

Ejem. Obtener el producto notable de (x –y)(x6 + x5y + x4y2 + x3y3 + x2y4 + xy5 + x6)

Si n número entero positivo cualesquiera (1,2,3,4,5,.......)

(a – b)(an – 1 + an – 2b + an – 3 b2 + ............+ abn – 2b + bn – 1) = an – bn

(x – y)(x6 + x5y + x4y2 + x3y3 + x2y4 + xy5 + x6) = x7 – y7

Ejem. El producto notable de (x + y)(x6 – x5y + x4y2 – x3y3 + x2y4 – xy5 + x6)

Si n un número entero positivo impar (1,3,5,7,.......)

(a + b)( an – 1 – an – 2b + an – 3 b2 – ............ – abn – 2b + bn – 1) = an + bn

(x + y)(x6 – x5y + x4y2 – x3y3 + x2y4 – xy5 + x6) = x7 + y7


Indica cuales son los factores que nos dan como resultado el producto notable

1) ( )( ) = x6 – y 6
2) ( )( ) = x6 + y6

EJERCICIO 8

Productos Notables

TEOREMA DEL BINOMIO

Generalidades

Binomio – Expresión algebraica que consta de dos términos, ejemplo.

1
x + y , x – y , 3x – 3b , + x , etc.
7

Modelo Matemático
a±b

El binomio puede estar agrupado y tener un exponente, esto es:

(a ± b)n

Para desarrollarlo es conveniente contar con una formula general, para su aplicación.
A continuación se proporciona una manera práctica de obtener los coeficientes de los
términos del desarrollo.

Desarrollo del Binomio por medio del producto

Se obtienen sucesivamente :. Si, n ∀ Z(+)

(a ± b)0 = 1
(a + b)1 = a + b
(a + b)2 = (a + b) (a + b) = a2 + 2ab + b2
(a + b)3 = a3 + 3a2b +3ab2+b3
(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 +4ab3 + b4
(a + b)5 = a5 + 5a4b +10a3b2 +10a2b3 + 5ab4 +b5
.
FORMULA GENERAL
1er 2do 3er 4to

n a n na n −1b n(n − 1)a n − 2b 2 n(n − 1)(n − 2 )a n − 3b3
(a + b) = + + + + ..........
0! 1! 2! 3!

Partiendo de los resultados obtenidos hacemos las siguientes observaciones:

a) El numero de términos obtenidos del desarrollo es ( n + 1 )
b) El primer termino tiene coeficiente 1, además siempre aparece a elevado a la n,
y no aparece b en el primer termino del desarrollo, la razón es que este se
encuentra elevado a la potencia cero.
c) El coeficiente numérico del 2do termino siempre es n, y a aparece teniendo
como exponente a ( n – 1 ), b tendrá como exponente la unidad.

d) Conforme se avanza, el exponente de a disminuye de uno en uno y el exponente
de b aumenta de uno en uno hasta llegara a n.
e) En todo el desarrollo del binomio, el grado de los términos será igual a n.
f) La magnitud de los coeficientes numéricos tiene simetría central, de manera
que una vez que se llega a la mitad, los coeficientes se repiten en forma
regresiva.

Triangulo de Pascal

Donde cada coeficiente es igual a la suma de los del renglón anterior, que queda arriba en
diagonal con él.

Ejem.
*De acuerdo a lo anterior implementar el desarrollo de binomio siguiente:

(x + u)7 =

¿Cuántos términos tiene el desarrollo? Sabiendo que (n + 1) = .........

1er 2do 3er 8av
= + + + .......................................+

¡ Sabiendo que !
(x + u )7 = x 7 + 7 x 6 u + 21x 5 u 2 + 35 x 4 u 3 + 35 x 3 u 4 + 21x 2 u 5 + 7 xu 6 + u 7

*De acuerdo a lo anterior implementar el desarrollo de binomio sig.:

(u + v)8 =
¿Cuántos terminos tiene el desarrollo? Sabiendo que (n + 1) = .........

1er 2do 3er ?
= + + + ..........................+

¡ Sabiendo que !

(u + v )8 = u 8 + 8u 7 v + 28u 6 v 2 + 56u 5 v 3 + 70u 4 v 4 + 56u 3 v 5 + 28u 2 v 6 + 8uv 7 + v 8
Observe la simetría con respecto a la variable u8 (en el primer termino) va siendo
descendente el valor del exponente hasta desaparecer en unidad en el ultimo termino,
al igual respecto a la variable v, en el segundo termino aparece y se incrementa el
valor del exponente hasta el ultimo termino v8.

*Obtener el 4to término, implementar la aplicación de la fórmula del desarrollo del
binomio
(x + ½)16 =
to
4

= ?

…………………………..

¡ Sabiendo que ! 4to
13
= 70x


 2 1
 2 1

1) Efectúe el producto  x 3 − x 3  x 3 + x 3 
  
  
(
2) Efectúe el producto x − y + 1 x + y − 1 )( )
 a 2 5b 3  a 2 5b3 
3) Al simplificar y reducir a su mínima expresión  +
 2  − 
 3  2
 3 
5 2
4) Al expander [(x – 2) – x ]

5) Al efectuar el producto (x + 1)(x – 1 )(x2 + 1), cual es el producto

6) Al expander a (3a3 – 2b5 )2 , cual es el producto

EJERCICIO 9

Teorema del binomio

FACTORIZACIÓN

Factorizar es lo contrario a la obtención del producto notable

Esto es, dada la expresión algebraica encontrar los factores que nos dan como producto la
misma expresión.
PROCESOS DE FACTORIZACIÓN
Multinomios que tienen factor común
Caso I)

a) ab + ac = a(b + c) (Factor común)
b) ac + ad + bc + bd = (a + b)(c + d) ( por agrupación)
c) De la forma ax2 + bx + c (Metodo de Tanteo y/o De prueba y error)

px2 +qx + r si acx2 + (ad + bc)x + bd = (ax +b)(cx +d)

p = ac, q = ad + bc, r =bd

Caso II)
Diferencia de Cuadrados

a2 – b2 = (a + b)(a – b)

Caso III)
Trinomios que son cuadrados perfectos

a2 + 2ab + b2 = (a + b)(a + b) = (a + b)2
a2 – 2ab + b2 = (a – b)(a – b) = (a – b)2

Nota:
Suma de cubos: a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)
Diferencia de cubos: a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)

Caso IV)
Trinomios factorizables que no son cuadrados perfectos

a) Por agrupación
b) Multinomios que son reductibles (trinomios) a la diferencia de dos
cuadrados
Nota: Se aplica solamente si se agrega un cuadrado perfecto (Inverso Aditivo-sumando y
restando) al trinomio, este se convierte en cuadrado perfecto Ejem. a4 + a2b2 + b4 =
= a4 + a2b2 + a2b2 + b4 – a2b2 = (a + b)2 – ( ab)2 = (a + b + ab)(a + b – ab) =
= (a + ab + b)(a – ab +b)

Caso I)
Multinomios que tienen factor común
ANÁLISIS – 1erse busca un digito ó literal que este
a) ab + ac = a(b + c)
contenido en cada uno de los términos del
Ejem.
polinomio (factor común), se agrupa la expresión
1) 5x2 + 4x = x(5x + 4)
algebraica y se extraen los factores común respecto
1 2 1 1  1  a los términos (digito y variable, la de menor
2) x y + xy 2 = xy x + y
3 6 3  2  exponente).El proceso no se considera completo
2 2 3 2
3) 3m n – 6mn + 9m n = hasta que cada factor ya no sea reductible
= 3mn(m – 2n + 3m2n) (factorizable)

b) ac + ad + bc + bd = (a + b)(c + d)
Ejem. ANÁLISIS – Cuando el polinomio tiene cuatro o más
1) 2wy + 3yz – 8wz – 12zx = términos, será susceptible de factorizar mediante una
= (2wy + 3yz) – (8wz + 12zx) = adecuada agrupación de sus términos y su posterior
= [y(2w + 3z) – 4z(2w + 3z)] = factorización, siendo posible por algún método
= (2w +3z)[y – 4z] = (2w +3z)(y - 4z) previo. Continuar factorizando los factores de ser
3 2
2) 3c – 12c + 5c – 20 = posible.
= [c (c – 4) + 5(c – 4)] = (3c2 + 5)(c – 4)
2

3) x3 + 3x2 – 9x - 27 = x2(x + 3) – 9(x + 3) = (x2 – 9)(x + 3) =
= (x + 3)(x + 3)(x – 3) = (x + 3)2(x – 3) =

d) Método de Tanteo (Prueba y Error)
px2 +qx + r :. acx2 + (ad + bc)x + bd = (ax +b)(cx +d)

p = ac, q = ad + bc, r =bd ANÁLISIS – Cuando el polinomio tiene tres términos
Ejem. Se inspecciona si el 1er y el 3er son cuadrados perfectos
de no serlo, se procede a factorizar por este método.
2
1) 3x - 5x + 2 = (3x – 1)(x – 2) Así mismo se observa el signo del 3er término si es
positivo, es producto de signos iguales [+(+)] ó [– (+)]
-2 , el 2do término se obtiene en base a una suma.
31 21 p = 3(1) = 3 er
1 3 -3 1 2 q = 3(-1) + 1(-2) = -5 Si 3 término si es negativo do producto de signos
es
a c --- b d r = -1(-2) = 2 diferentes [+(–)] ó [– (+)] , el 2 término se obtiene en
-5 base a una resta.
2) 6x2 + 17x +12 =(3x + 4)(2x + 3) Luego procedemos a obtener los dígitos de los
coeficientes del 1er y el 3er de acuerdo a sus diversos
arreglos de producto, procediendo a la obtención del
8 término intermedio considerando los datos anteriores
32 43 p = 3(2) = 6
23 9 34 q = 3(3) + 2(4) = 17 del proceso.
6 1 --- 6 2 r = 4(3) = 12
17
16 26
a c 12 1
1 12

b d
3) 3x2 + x – 2 = (3x – 2)(x + 1)
–2 Comprobar efectuando la
31 21 p = 3(1) = 3
13 3 12 q = 3(1) + 2(–1) = 1 multiplicación de los
a c --- b d r = 2(–1) = –2 factores.
1

3) 6x2 – x – 12 = (3x + 4)(2x – 3)

8
32 43 p = 3(2) = 6
23 –9 34 q = 2(4) + 3(–3) = –1
6 1 --- 6 2 r = 4(–3) = –12
–1
16 26
a c 12 1
1 12
b d

Caso II)
Diferencia de Cuadrados
ANÁLISIS – Cuando el polinomio
2 2
a – b = (a + b)(a – b) tiene dos términos
Ejem. Si el 1er y el 2er son cuadrados
1) x2 – 25 = (x + 5)(x – 5) perfectos con respecto a digito y
variable, de serlo se procede a
2) 25u2 – 36v2 = (5u + 6v)(5u – 6v) factorizar por este método.

3) a4 – 4a2 = a2(a2 – 4) = a2(a + 2)(a – 2)

Recuerda el caso I) inciso a)

Caso III)
Trinomios que son cuadrados perfectos
Cuando el polinomio
ANÁLISIS –
2 2 tiene tres términos
2
a + 2ab + b = (a + b)(a + b) = (a + b)
Se inspecciona si el 1er y el 3er son
Ejem.
cuadrados perfectos, observando
1) x2 + 4x + 4 = (x +2)(x + 2) = (x + 2)2
que el 2do sea el doble producto
del 1er por el 2do.de serlo se
2) 25x2 + 30x + 9 = (5x + 3)(5x +3) = (5x +3)2
procede a factorizar por este
método.

Trinomio cuadrado Perfecto para la diferencia ANÁLISIS – Cuando el polinomio
a2 – 2ab + b2 = (a – b)(a – b) = (a – b)2 tiene tres términos
Ejem. Se inspecciona si el 1er y el 3er son
1) x2 – 4x + 4 = (x – 2)(x – 2) = (x – 2)2 cuadrados perfectos, observando
que el 2do sea el doble producto
2) 25x2 – 30x + 9 = (5x – 3)(5x – 3) = (5x – 3)2 del 1er por el 2do.de serlo se
procede a factorizar por este
método.
Nota:
Suma de cubos:
a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) ANÁLISIS – Cuando el polinomio tiene
Ejem. dos términos
1) 64a3 + 27 = (4a + 3)(16a2 – 12a + 9) Si el 1er y el 2er son cubos perfectos con
6 6 2 3 2 3 2 2 4 2 2 4
2) x + y = (x ) + (y ) = (x + y )(x + x y + y ) respecto a digito y variable, de serlo se
6 3 3 3 3 2
3) u + 27u = u (u + 3) = u (u + 3)(u – 3u + 9) procede a factorizar por este método.
Recuerda el caso I) inciso a)

Diferencia de cubos: a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)
Ejem. ANÁLISIS – Cuando el polinomio tiene
1) 27a3 – 64 = (3a – 4)(9a2 + 12a + 16) dos términos
2) 343a3 – a9 = a3(7 – a2)(49 + 7a2 + a4) Si el 1er y el 2er son cubos perfectos con
Recuerda el caso I) inciso a) respecto a digito y variable, de serlo se
3) x3 – 125 = (x – 5)(x2 + 5x + 25) procede a factorizar por este método.

Caso IV)
Multinomios factorizables que no son cuadrados perfectos

a) Por agrupación
Ejem.
PROBLEMA ANÁLISIS
2 2
a–b–a +b = Se agrupa el multinomio en dos términos, y se
= (a – b) – (a2 – b2) = factoriza uno de ellos, reagrupándose
= [(a – b) – (a – b)(a + b)] = nuevamente

= (a – b)[1 – (a + b)] = Se extrae el factor común.
= (a – b)(1 – a – b ) = Se eliminan los signos de agrupación no
= – (a – b)(a + b – 1) Correspondientes y se factoriza el signo.

Ejem.
PROBLEMA ANÁLISIS
a – 4ab – ac + 3b2 +
2

bc =
= [( a – 4ab + 3b2) –
2
Se agrupa el multinomio en dos términos, y se factoriza
(ac – bc)] = uno de ellos, reagrupándose nuevamente.
= [(a – b)(a – 3b) – c(a
– b)] =
= (a – b)[ (a – 3b) – c)] Se extrae el factor común eliminan los signos de
= agrupación no Correspondientes.
= (a – b)(a – 3b – c) Se obtiene la solución

2) Multinomios (Trinomios) que son reductibles a la diferencia de dos cuadrados

Nota: Se aplica solamente si se completa un cuadrado perfecto por medio de la propiedad
del Inverso Aditivo, sumando y restando un mismo valor al trinomio, de ser así lo convierte
en un trinomio cuadrado perfecto menos el valor que se agrego, lo cual nos permite al
factorizar y reducir a la diferencia de cuadrados, se opera en estos términos y se obtiene la
factorización completa.

Ejem.
PROBLEMA ANÁLISIS
x4 + 4 = Se completa un cuadrado perfecto por medio de la
= x + 4 – 4x2 +4x2 =
4
propiedad del Inverso Aditivo y se factoriza
= (x4+ 4x2 + 4) – 4x2 =
= (x2 + 2)2 – (2x)2 = Se reduce a la diferencia de dos cuadrados y se
factoriza
=[( x2 + 2)+2x][( x2 – 2) – Se eliminan los signos de agrupación que no corresponden
2x ]=
=(x2 + 2x +2)(x2 – 2x – 2) Se obtiene la solución

1) Ejem.
x4 + 3x2 + 4 = x4 + 3x2 + x2 + 4 – x2 = (x4 + 4x2 + 4) – x2 = (x2 + 2)2 – (x)2 =
= [(x2 + 2) + x][(x2 + 2) – x] = (x2 + 2 + x)( x2 + 2 – x)

2) Ejem.
a4 + 4 = a4 + 4a2 + 4 – 4a2 = (a4 + 4a2 + 4) – 4a2 = (a2 + 2)2 – (2a)2 =
= [(a2 + 2) – 2a][(a2 + 2) – (2a)] = (a2 + 2 + 2a)(a2 + 2 – 2a) = (a2 + 2a + 2)(a2 – 2a + 2)

3) Ejem.
64x4 – 57x2y2 + 9y4 = 64x4 – 57x2y2 + 9x2y2 + 9y4– 9x2y2 = (64x4 – 48x2y2 + 9y4) – 9x2y2 =
= (8x2 – 9y2)2 –( 3xy)2 = [(8x2 – 9y2) + 3xy][(8x2 – 9y2) – 3xy] =
= (8x2 + 3xy – 9y2)(8x2 – 3xy – 9y2)


Factorizar los siguientes polinomios

EJERCICIO 10

Factorización

IV –SIMPLIFICACIÓN Y REDUCCIÓN DE FRACCIONES
ALGEBRAICAS
Generalidades

La Ley de los Cocientes anteriormente observada, es necesariamente aplicable en este
capitulo:

Ley de Cocientes

a b ab a
1) =a 7) a ×= 12) Fracc..impropia, → a > b ; (*)
1 c c b
a a a c ac a × (b ÷ c )
2) •1 = 8) • = Fracc.Complejas ,
b b b d bd d
−a a c a+c
13) < [a × (b ÷ c )] ÷ (d ÷ e ) ,
a a
3) = =− 6) ± =
b −b b b b b
a c a c a d ad a c
4) = ∴ ad = bc 10) ÷ = × = ÷ , etc
b d b d b c bc b d
a
5) a 0 = a1a −1 = .
a
a c a+c a
6) ± = 11) Fracc.. propia, → a < b; (*)Con respecto al grado del polinomio
b b b b

Conversión de fracciones

¿Se podrá tener una expresión equivalente que tenga el denominador que necesitemos por
alguna razón? Si, esto es posible aplicado el principio fundamental de las fracciones.

Ejem.
Cambiar la fracción del lado izquierdo por el equivalente del lado derecho de la
identidad y que tenga el denominador que indica

3 ? 3 9
= =
8 24 8 24
Si multiplicamos ambos cocientes por la unidad, esto es 3/3 no se alteran nuestros cocientes
y logramos el objetivo solicitado.

Ejem.
x
¿Si tenemos el siguiente cociente , como obtener ay en el denominador?
y
x x a ax
•1 = • = Con lo cual se da cumplimiento a lo solicitado
y y a ay

Ejem.
7w
¿Si tenemos el siguiente cociente , como obtener a 2 − b 2 en el denominador?
a+b
7a 7a b − c 7a
•1 = • = 2 : Con lo cual se da cumplimiento a lo solicitado
b+c b + c b − c b − c2
Aplicar el proceso al Ejemplo

Multiplicación de fracciones

El producto de dos fracciones se obtiene multiplicando el numerador por el numerador y el
denominador por el denominador de cada una de las fracciones. Al efectuar el producto se
puede, o no, obtener una fracción que tenga algún factor que sea común, tanto para el
numerador como para el denominado; de presentarse lo anterior, el factor deberá reducirse
a la unidad con el propósito de simplificar el resultado obtenido siendo expresado este en su
forma mínima.

Ejem.
7u 4vw 7
Obtener el producto de las siguientes fracciones •
5s 7 ru 3
7u 4vw 7 4uvw 7 4vw 7
• = =
5s 7 ru 3 5rsu 3 5rsu 2

Ejem.

Efectuar la operación y simplificar
2
12a 2 b 3 c 3 xy 2a 3 cy 2
• •
13a 3 xy 5ab 2 3ab 2 y
12a 2 b 3 c 3 xy
• •
2
= 5 3 2
(
2a 3 cy 2 a 4 b 3 xy 2 24ay 2
=
)
24a 5 b 3 c 2 xy 4 24c 2 y 2
=
13a 3 xy 5ab 2 3ab 2 y a b xy (65b ) 65a 5 b 4 xy 2 65b

Ejem.

x2 − x − 2 4x 2
Efectuar la operación y simplificar • 2
2x − 4 x + x +1

x2 − x − 2
• 2
4x 2
=
(
4x 2 x 2 − x − 2 )
=
4 x 2 ( x − 2 )( x + 1)
=
2 x 2 ( x + 1)
2x − 4 ( ) (
x + x + 1 (2 x − 4 ) x 2 + x + 1 2( x − 2) x 2 + x + 1 ) (
x2 + x +1 )

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