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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO (UFRPE)

UNIDADE ACADÊMICA DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA E TECNOLOGIA (EADTec/UFRPE)




            Conceitos de Física




         Domingos Sávio Pereira Salazar




                                                   Volume Único




                          Recife, 2012
Universidade Federal Rural de Pernambuco


Reitor: Prof. Valmar Corrêa de Andrade
Vice-Reitor: Prof. Reginaldo Barros
Pró-Reitor de Administração: Prof. Francisco Fernando Ramos Carvalho
Pró-Reitor de Extensão: Prof. Paulo Donizeti Siepierski
Pró-Reitor de Pesquisa e Pós-Graduação: Prof. Fernando José Freire
Pró-Reitor de Planejamento: Prof. Rinaldo Luiz Caraciolo Ferreira
Pró-Reitora de Ensino de Graduação: Profª. Maria José de Sena
Coordenação Geral de Ensino a Distância: Profª Marizete Silva Santos



Produção Gráfica e Editorial
Capa e Editoração: Rafael Lira, Italo Amorim e Everton Felix
Revisão Ortográfica: Elias Vieira
Ilustrações: Igor Leite e Mário França
Coordenação de Produção: Marizete Silva Santos
Sumário

   Apresentação.................................................................................................................. 4

   Conhecendo o Volume.................................................................................................... 5

   Capítulo 1 – Mecânica Clássica: Cinemática..................................................................... 7

       1.1 Grandezas Físicas e Unidades de Medida.................................................................10

       1.2 Ordem de Grandeza..................................................................................................12

       1.3 Análise Dimensional.................................................................................................14

       1.4 Cinemática: Movimento Unidimensional.................................................................17

            1.4.1 Movimento Uniforme......................................................................................22

            1.4.2 Movimento Uniformemente Variado (MUV)...................................................26

   Capítulo 2 – Mecânica Clássica: Dinâmica..................................................................... 36

       2.1 Princípio da Relatividade de Galileu.........................................................................36

       2.2 As Leis de Newton....................................................................................................41

   Capítulo 3 – Trabalho e Energia Mecânica..................................................................... 69

       3.1 Energia Cinética........................................................................................................69

       3.2 Teorema do Trabalho – Energia Cinética..................................................................73

       3.3 Tópico Avançado: Produto Escalar............................................................................78

       3.4 Energia Potencial......................................................................................................79

       3.5 Sistemas Conservativos............................................................................................81

       3.6 Potência Média.........................................................................................................83

   Conheça o Autor........................................................................................................... 89
Apresentação
        Caro(a) cursista,
         Seja bem-vindo(a) à disciplina de Conceitos de Física. Nesta disciplina, vamos estudar conceitos de Mecânica
Clássica, começando pelo estudo das grandezas físicas. Em seguida, vamos entender como podemos descrever
um movimento a partir de uma função posição. O primeiro capítulo também trata de velocidade e aceleração,
completando o assunto de cinemática. Depois, passaremos ao estudo da Dinâmica, marcado pelo conceito de Força,
onde resolveremos aplicações simples destes princípios.
        O segundo capítulo trata das consequências da aplicação da Mecânica Clássica ao problema da Gravitação.
Vamos estudar o satélite natural da Terra, o sol, nosso sistema solar, a órbita da Terra e curiosidades sobre o
Universo.
        Bons estudos!
                                              Domingos Sávio Pereira Salazar
                                                      Professor Autor




4
Conhecendo o Volume

        Conceitos de Física – Mecânica Clássica

        Carga Horária do Volume: 60h/aula.
         Objetivo da disciplina: Introduzir conceitos de grandeza física, ordem de grandeza, cinemática, dinâmica
qualitativamente para uma formação suficiente dos docentes nos conteúdos de Física na Licenciatura Interdisciplinar
em Ciências Naturais.

        Conteúdo Programático

    »	 Grandezas Físicas: A matemática da Natureza;
    »	 Cinemática: Movimento Uniforme e Movimento Uniformemente Variado;
    »	 Dinâmica: Causas do Movimento;
    »	 Leis de Newton;
    »	 Trabalho e Energia;
    »	 Leis de Conservação.




                                                                                                                 5
Conceitos de Física


                                  Capítulo 1


                             O que vamos estudar neste capítulo?

                             Neste capítulo, vamos estudar os seguintes temas:

                          »	 Grandezas Físicas: A matemática da Natureza
                          »	 Cinemática: O estudo do movimento unidimensional (Movimento Uniforme e
                             Uniformemente Variado)

                             Metas

                             Após o estudo deste capítulo, esperamos que você consiga:

                          »	 Compreender o papel da Física, sobretudo da Mecânica como estudo do
                             movimento.
                          »	 Resolver problemas simples que utilizem a matemática para problemas de
                             cinemática.




6
Conceitos de Física


Capítulo 1 – Mecânica Clássica:
Cinemática


             Vamos conversar sobre o assunto?


          Você já deve ter percebido que as frutas caem das árvores da mesma maneira.
Desde quando você era criança até hoje, você nunca deve ter visto uma fruta que caísse
da árvore e fizesse algumas piruetas no ar antes de atingir o chão. Nós estamos tão
acostumados com a regularidade da natureza, isto é, com o fato dos fenômenos naturais
se repetirem da mesma maneira, que não paramos para refletir como isto é fantástico.
Estou fazendo um convite bem modesto, gostaria apenas que você sentasse um pouco para
refletir comigo sobre este assunto. Você tem anos de experiência neste tema, afinal, desde
criança você brinca com a natureza.
        Inicialmente, vamos utilizar o termo natureza para representar tudo que você
pode ver ou tocar. Por exemplo, a escola, as árvores, as ruas, os carros, as pessoas, o sol,
a lua e a Terra fazem parte da natureza. Para começarmos nossa conversa, tente lembrar
momentos em que um colega arremessou uma bola em sua direção. Algumas vezes você
conseguiu desviar, outras vezes você agarrou a bola no ar, mas, se você não é um vidente,
como conseguiu fazer isso? Bem, antes de responder a essa pergunta, vou inventar um
personagem. Sempre que possível, faremos perguntas a ele. O nome dele é Luka, uma
criança esperta e bem aventureira. Ele vai nos ajudar a resolver este mistério. E já começa
respondendo a nossa pergunta sobre o arremesso da bola:




                                                                                                             7
Conceitos de Física

                             É verdade. Não precisamos ser um vidente para adivinhar onde a bola vai cair. Mas
                     precisamos treinar um pouco antes de acertar, certo?




                              Pronto. Vamos utilizar estas duas respostas para aprender duas lições básicas sobre
                     a natureza. Primeiramente, assim como as frutas caem das árvores de maneira muito
                     parecida e as crianças agarram uma bola que viaja pelo ar, existem muitos fenômenos da
                     natureza que acontecem de maneira regular, ou seja, acontecem sempre da mesma maneira.
                     Esta invariância ou regularidade dos fenômenos naturais faz com que as pessoas consigam
                     prever aproximadamente o que acontecerá em certas situações que elas já viram antes.
                     Assim, diante de um fenômeno que você já evidenciou algumas vezes, você conseguiria
                     dar um bom palpite do resultado caso o fenômeno aconteça de novo. Cientes disso, os
                     cientistas começaram a surgir como pessoas que conseguiam explicar certos fenômenos
                     com maior precisão, simplesmente porque eles aconteciam sempre da mesma maneira. Por
                     exemplo, se quando soltamos um corpo ele sempre cai até o chão e este fenômeno sempre
                     se repete quando soltamos um corpo, seria interessante registrar este fato para que pessoas
                     possam usá-lo sempre que precisarem. Claro que este exemplo é muito simples, mas ilustra
                     o funcionamento da ciência, sobretudo da Física. Podemos dizer que:
                              A Física é a ciência que estuda a natureza e tudo que nela existe, através de
                     teorias, ou modelos, que fazem previsões dos fenômenos.
                              Imagine como seria confuso se a natureza não apresentasse esta regularidade que
                     comentamos acima. Por exemplo, suponha que você solte uma maçã da sua mão e ela
                     suba até o teto da sala sem ninguém jogá-la para cima, mas suponha que este fenômeno
                     só acontecesse às vezes. Você nunca saberia o que esperar de uma maçã que cai, já que
                     seu comportamento não seria algo regular. Seu comportamento não obedeceria a nenhum
                     padrão. Se as nossas atividades diárias não tivessem esta regularidade, a Física não poderia
                     surgir da maneira que conhecemos hoje. Não teríamos capacidade de previsão e Luka não
                     conseguiria agarrar nenhuma bola. Vamos resumir nossa conversa até aqui em uma lição:
                             A criação da Física (como conhecemos hoje) deve ter sido possível graças à
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Conceitos de Física

regularidade dos fenômenos naturais.
         Podemos aprender mais uma lição. Esta lição diz respeito ao fato do irmão de Luka
ser ruim de bola. Se Luka consegue adivinhar onde a bola vai cair com alguma precisão,
foi porque já viu esta mesma bola ser lançada por seus colegas várias vezes. Como o
comportamento da natureza é quase sempre o mesmo para uma mesma situação, isto faz
com que Luka consiga prever sem surpresa o que vai acontecer. O mesmo não seria possível
quando Luka chama seu irmão mais novo para brincar, pois o pequeno ainda não está
acostumado. Este último não treinou o suficiente para agarrar a bola. A natureza só pode
ser compreendida através de experimentos, ou seja, precisamos fazer uma experiência
para saber como a natureza se comporta e elaborar nossas teorias. De posse apenas do
livre pensamento, podemos tentar imaginar como um fenômeno acontece, mas só a partir
da experiência que podemos comprovar como ele realmente ocorre na prática. Esta é a
segunda lição sobre as ciências da natureza:
        A Física é uma ciência experimental. Isto significa que os cientistas precisam fazer
experiências práticas ou observacionais para entender como a natureza funciona.
         Essas duas lições são ideias bem simples, mas norteiam todos os fundamentos
das ciências naturais. Você deve estar pensando: se a Física estuda todos os fenômenos da
natureza, por que existem outras ciências, como química e biologia? Na verdade, a Física
realmente se propõe a estudar todos os fenômenos da natureza, mas historicamente houve
uma divisão dos fenômenos em classes distintas. A Física ficou responsável pelos fenômenos
mais gerais da natureza, do ponto de vista microscópico e macroscópico. Por exemplo, a
Física estuda o movimento dos corpos, a luz, a eletricidade, o magnetismo, o movimento
dos fluidos, a temperatura e o calor, as ondas, movimento dos planetas dentre outros
assuntos. As reações químicas e os organismos vivos, para citar um exemplo, ficaram sob a
responsabilidade da química e da biologia, respectivamente, apesar de serem processos e
entidades da natureza. Por isso, a Física serve como base para muitos destes estudos e são
comuns os químicos e biólogos que recorrem ao estudo da Física para interpretar algumas
situações que acontecem em suas pesquisas.
         Essa aparente confusão entre a divisão arbitrária dos assuntos das ciências naturais
é uma ilusão. A divisão só existe nas nossas cabeças, pois fomos treinados a rotular os
conhecimentos em grupos distintos. A realidade natural é apenas uma. Por outro lado, a
divisão nos serve nos estudos iniciais, para que não misturemos nossas ideias e possamos
estudar um pouco de tudo, mas, no campo da pesquisa, o que existe é uma grande
interdisciplinaridade. Um físico pode fazer um trabalho de matemática, ou criar um modelo
de biologia ou explicar um complicado processo químico. Neste curso, vamos abandonar
um pouco a velha ideia de que a Física é apenas aquele conjunto limitado de assuntos e
vamos passar a ter uma compreensão mais moderna das ciências naturais como campo
interdisciplinar. É verdade que, para atingir este nível, precisamos conversar um pouco mais
sobre fenômenos naturais bem simples que existem no nosso cotidiano.
        O primeiro desses assuntos será chamado de Mecânica Clássica. O nome ficará
claro mais adiante, mas podemos adiantar que nós estudaremos inicialmente o movimento,
que é, para algumas pessoas, o que existe de mais fundamental neste mundo complicado
em que vivemos. Além de compreender mais sobre o movimento, este capítulo será
o palco do nosso primeiro contato com a Física. Você vai perceber que a maneira como
abordamos os estudos e nosso jeito de pensar e resolver problemas se repetirão ao longo
das demais disciplinas do curso. Também tenho como objetivo criar um ambiente para que
você experimente um pouco a sensação de pensar como um cientista. Nossa primeira etapa
neste processo será uma rápida parada na conceituação de Grandezas Físicas.



                                                                                                              9
Conceitos de Física


                      1.1 Grandezas Físicas e Unidades de Medida
                               Até aqui, você entendeu que a Física é a ciência que estuda a natureza e que ela
                      surgiu a partir da observação que os fenômenos naturais são regulares. Além disso, você viu
                      que ela precisa de experimentos para comprovar suas teorias. No entanto, qual a relação
                      entre esses conceitos simples que introduzimos acima e as previsões das teorias da física?
                      Bem, existe uma relação direta. Vamos descobrir esta relação a partir de um exemplo
                      prático. Vamos verificar o que aconteceu hoje na casa de Luka. Sua mãe pediu que ele
                      comprasse frutas. Luka saiu de casa feliz da vida, mas chegou à feira e ficou na dúvida:




                              Luka está certo, sua mãe se esqueceu de especificar os tipos de frutas que ela queria
                      e a quantidade de cada uma delas. Ele está vivendo um dilema parecido com o nosso, pois
                      precisamos explicar e prever fenômenos regulares da natureza, mas ainda não dispomos,
                      assim como ele, de informações suficientes para isso.
                               Existe uma maneira bem conhecida para lidar com o problema que Luka enfrentou
                      na feira. Esta maneira é composta de duas partes, a primeira delas é especificar quais os
                      tipos de frutas que sua mãe gostaria que ele comprasse. A segunda parte é especificar a
                      quantidade de cada fruta ele deve comprar. Por exemplo, a situação seria mais agradável se
                      a mãe pedisse duas maçãs e três laranjas.




10
Conceitos de Física




          Vamos tentar acompanhar como toda essa conversa se encaixa no vocabulário da
Física. Se o conteúdo da sacola de frutas de Luka fosse um objeto que estudamos em Física,
diríamos que ela é descrita por duas Grandezas. Uma das grandezas poderia ser chamada
de maçãs e, neste caso, teria o valor de “maçãs = 2”. A outra grandeza poderia ser chamada
de laranjas e teria o valor de “laranjas = 3”. Estas duas informações seriam suficientes para
descrever a situação.
        Em Física, uma grandeza é uma propriedade geralmente associada a um objeto
que serve para descrevê-lo. Geralmente esta grandeza está associada a um valor numérico
(ou categórico, mas deixemos esta observação para outra oportunidade), que depende
do objeto que estamos estudando. Assim como maçãs e laranjas são as grandezas que
descreveram a sacola de frutas de Luka, os valores associados a estas duas grandezas não
são iguais para todas as sacolas. É claro que sacolas diferentes possuem diferentes valores
de maçãs e laranjas. Mas, se uma sacola possuir os mesmos valores destas duas grandezas,
pode-se afirmar que esta sacola deve ter um conteúdo parecido com a de Luka.
        Você deve ter percebido como a matemática entrou de forma sutil na descrição
da natureza. Os números surgiram pela necessidade dos homens de contar. Caso eles não
conseguissem expressar quantidades (e operar matematicamente estas quantidades) tudo
seria uma grande confusão. Atribuindo valores numéricos às grandezas do problema, nós
podemos entender o que está acontecendo e, finalmente, chegar a teorias mais precisas.
Mas como escolhemos quais grandezas são importantes para explicar uma situação?
        Bem, em geral esta tarefa é bem intuitiva. Por exemplo, no caso da sacola de frutas,
você sabia que o problema de Luka estava justamente em saber o tipo e quantidade de cada
fruta que sua mãe gostaria. Por isso, selecionamos grandezas (maçãs e laranjas) capazes
de fornecer exatamente a informação necessária. Por exemplo, quando ganhamos ou
perdemos “peso”, ficamos de olho na balança da farmácia, pois sabemos que a informação
que aparece naquela balança é a grandeza que precisamos medir para entender a situação
do nosso “peso” (na verdade, o nome mais formal desta grandeza é massa, que será
estudada ainda neste volume). Assim, quando estudarmos uma pequena bola que se move,
nós precisaremos apenas de algumas grandezas para descrever o problema como massa,

                                                                                                              11
Conceitos de Física

                      posição, velocidade, etc.
                              O que acontece na prática é que, quando nos pesamos na balança, obtemos um
                      valor em quilogramas (kg). Quando medimos nossa altura com uma fita métrica, obtemos
                      um valor em metros (m) ou centímetros (cm). Cada uma dessas grandezas é medida em
                      unidades diferentes. Diferentemente da sacola de frutas, em que bastava atribuir um
                      número inteiro para cada grandeza, geralmente precisamos especificar quais as unidades de
                      medida das grandezas do nosso cotidiano.
                               Para evitar uma mistura de unidades de medida, os cientistas resolveram
                      especificar qual a unidade padrão de medida para cada grandeza fundamental em física.
                      Estas grandezas fundamentais e suas respectivas unidades de medida formam o chamado
                      Sistema Internacional de Unidades, ou apenas SI. Nesse sistema, por exemplo, posição de
                      um carro é medida em metros (m), já a massa de um saco de arroz é medida em gramas
                      (g), enquanto a duração de uma aula é medida em segundos (s). Existem outras grandezas
                      no sistema, como você pode ver na Tabela 1.1. Neste volume de Mecânica Clássica, nós
                      precisaremos apenas de três grandezas fundamentais (comprimento, massa e tempo). Você
                      entenderá o significado das demais grandezas em outros cursos de física básica.

                                   Grandeza                         Unidade                          Símbolo

                                Coomprimento                         metro                              m

                                     Massa                         quilograma                           kg

                                     Tempo                          segundo                             s

                                Corrente elétrica                   ámpere                              A

                           Temperatura Termodinâmica                 Kelvin                             K

                             Quantidade de Matéria                    mol                              mol

                             Intensidade Luminosa                   candale                            cd


                                Tabela 1.1. Grandezas fundamentais e unidades de medida do Sistema Internacional.



                              Agora que sabemos o que são grandezas e unidades de medida, podemos estudar
                      uma ferramenta interessante que nos permite manipular os valores numéricos encontrados
                      nessas medidas, chamada Ordem de Grandeza.




                      1.2 Ordem de Grandeza
                               Luka consegue dizer quantos anos ele tem facilmente. É um número bem pequeno.
                      Certa vez, sua professora falou que os cientistas estimam que nosso Universo tenha 14
                      bilhões de anos de idade. Então ele pediu para a professora escrever este número no quadro.
                      Ela logo atendeu ao pedido: 14.000.000.000. Luka ficou revoltado com este número.




12
Conceitos de Física




         Então ele argumentou com a professora que é uma grande perda de tempo escrever
tantos zeros atrás de um número. Ele disse que era melhor alguém inventar um símbolo que
represente logo todo esse número enorme. E ele realmente tem razão. Em Física, existem
inúmeras medidas que resultam em números muito grandes, ou muito pequenos, que sua
simples representação daria muito trabalho. Vamos dar alguns exemplos:

    –	 A velocidade da luz é de 300.000.000 metros por segundo.
    –	 A massa da Terra é de aproximadamente 6.000.000.000.000.000.000.000.000 kg.
    –	 A massa de um grão de areia é de aproximadamente 0,00000000035 kg.
         Note como é complicado escrever esses números. Qualquer erro na quantidade
de zeros ou casas decimais pode acarretar em um erro bem grande. Por isso, os cientistas
resolveram escrever os números muito grandes ou muito pequenos de uma maneira
especial, utilizando apenas a álgebra que aprendemos na escola. Funciona da seguinte
maneira: toda vez que temos um número muito grande, nós contamos quantos zeros
existem no final do número e reescrevemos estes zeros como uma potência de dez. Por
exemplo,
        10 = 101
        100 = 10 x 10 = 102
        1000 = 10 x 10 x 10 = 103
        ...
       O mesmo raciocínio vale para números muito pequenos. Basta que nos lembremos
de como operar casas decimais. Luka ainda não aprendeu este assunto na escola, mas
vamos refrescar nossa memória:

                                                                                                         13
Conceitos de Física




                               				 	...
                              Veja como aqueles números monstruosos ficam bem agradáveis com esta nova
                      representação:

                           –	 A velocidade da luz no vácuo é de 3 x 108 metros por segundo.
                           –	 A massa do planeta Terra é de 6 x 1024 kg.
                           –	 A massa de um grão de areia é de 0,35 x 10-9 = 3,5 x 10-10 x 10-9 kg.
                               Chamamos a potência de dez que aparece no final desta nova representação de
                      ordem de grandeza do número. Além de representar o número de uma maneira mais
                      rápida, ela serve para podermos operar matematicamente os números de uma maneira
                      simples, além de permitir comparações rápidas entre dois números distintos. Por exemplo,
                      se Luka já conhecesse este assunto, sua professor poderia ter escrito simplesmente:

                               14 bilhões = 14 x 109 = 1,5 x 1010
                                É importante que o número que permanece na frente dos zeros seja mantido
                      entre 1 e 10. Por exemplo, nós poderíamos ter deixado o número acima como potência
                      de 10 elevado a 9, mas fizemos um esforço adicional para escrevê-lo como potência de 10
                      elevado a 10 para que o primeiro fator esteja entre 1 e 10 (neste caso, 1.4). Esta passagem
                      se dá apenas para que o método fique bem definido e todas as pessoas concordem quanto
                      à ordem de grandeza de suas medidas. Além disso, o primeiro fator desta multiplicação,
                      o 1.4, tem um nome especial. Chamamos estes números de algarismos significativos.
                      Neste exemplo, a idade do Universo representada pela professora possui dois algarismos
                      significativos, 1 e 4.




                      1.3 Análise Dimensional
                               Algumas vezes, nós encontramos e passamos informações confusas do ponto de
                      vista científico. Um exemplo de informação confusa aconteceu quando Luka disse:




14
Conceitos de Física




        A professora logo fez a correção, dizendo que uma maneira certa de representar
uma velocidade é dizer: 40 quilômetros por hora. Esta correção que a professora fez equivale
ao que chamamos de Análise Dimensional em Física. É um procedimento muito simples que
nos protege de eventuais erros científicos, assim como as regras gramaticais nos protegem
de erros de português.
         Neste exemplo, quilômetros por hora não é uma unidade fundamental do sistema
internacional, mas sabemos que velocidade é calculada como comprimento dividido por
tempo e, por isso, deve ter dimensão de comprimento dividido por tempo, ou seja, km/h.
Neste momento, você poderia argumentar que quilômetros e horas não são as unidades
das grandezas fundamentais comprimento e tempo, segundo o Sistema Internacional de
Unidades. Se olharmos a tabela 1.1, comprimento deveria ser representado em metros e
tempo em segundos. Contudo, o Sistema Internacional serve para que as comunicações
científicas fiquem padronizadas, mas não impede que as pessoas utilizem unidades de
medida mais apropriadas para os fenômenos que estão vivenciando.
        Por exemplo, a velocidade de um carro, quando expressa em km/h, apresenta
números que já estamos acostumados e temos uma melhor intuição do que representam.
Caso as velocidades fossem escritas em metros por segundo, o que pode acontecer em
algumas situações, podemos não ter uma intuição do que representam. Sabemos que uma
velocidade de 108 km/h é muito alta para um carro, mas será que 30 m/s é também uma

                                                                                                             15
Conceitos de Física

                      velocidade elevada? Na verdade, elas são iguais. Vamos aprender a fazer a conversão entre
                      unidades ainda neste volume.
                              Diante de grandezas mais sofisticadas podemos cometer erros ou não saber
                      exatamente qual unidade de medida em que devemos representá-las. É possível que
                      estejamos cometendo erros como o de Luka diariamente. A análise dimensional nos ajuda
                      a resolver este problema. No caso de Luka, você sabe a resposta, pois já aprendeu que
                      velocidade é dada por comprimento (ou distância) dividida pelo tempo. Logo, a unidade
                      de medida deveria ser a unidade de comprimento (metros ou quilômetros), dividida pela
                      unidade de tempo (segundos ou horas).
                              Para entender melhor como funciona este processo, vamos estudar uma situação
                      mais complicada. Enquanto estudava fontes de energia na escola, Luka ficou curioso sobre
                      como funciona a eletricidade que chega a sua casa. Seu pai tinha falado que nós gastamos
                      energia elétrica sempre que ligamos alguma luz, usamos algum equipamento elétrico
                      ou eletrônico. Então Luka ficou curioso para descobrir como as pessoas sabem o quanto
                      estamos gastando:




                              Luka sabia que quilogramas eram usados para medir massa e achou que também
                      poderia ser usado para medir energia. Na verdade, a unidade de energia não pode
                      ser encontrada na tabela 1.1. E agora? Bem, lembramos que velocidade é dada pelo
                      comprimento dividido pelo tempo. Como representar energia? Neste volume, ainda não
                      estudaremos energia elétrica, mas vamos adiantar um exemplo que será visto ainda neste
                      módulo. Veremos que existe um tipo de energia mecânica que pode ser calculada como
                      uma combinação de grandezas fundamentais (massa, comprimento e tempo) pela fórmula:



                                Onde m é massa de um corpo e v sua velocidade. A análise dimensional consiste em
                      utilizar a unidade de medida de cada uma das grandezas da fórmula acima:




16
Conceitos de Física

        Ou kg m²/s², ou seja, quilograma metro ao quadrado por segundo ao quadrado, já
que massa é dada em kg e velocidade em m/s. Este é um exemplo de Análise Dimensional,
pois a partir de uma dada fórmula, pudemos descobrir quais as unidades de medida da
grandeza em questão.
      Para facilitar ainda mais a comunicação, os cientistas denominam certas unidades
com nomes especiais. No caso da energia, visto acima, a unidade é o Joule (J), em
homenagem ao renomado Físico britânico James Prescott Joule, do séc. XIX.
        1(kg) (m/s)2 = 1 J
         No caso de Luka, o correto seria dizer que gastou “Joules” de energia, pois esta
uma unidade de medida para a grandeza energia. Quando chegar o momento certo, vamos
estudar outras unidades de medida para a energia que são mais interessantes do ponto de
vista prático.




1.4 Cinemática: Movimento Unidimensional
        Nesta seção, entraremos no estudo de um dos assuntos mais antigos da Física:
o movimento. Para simplificar nosso estudo, trataremos inicialmente do problema
unidimensional. Isto significa que nosso corpo, ou partícula, pode ser considerado um ponto
que se move em uma reta. A cada instante de tempo, o corpo ocupa uma posição diferente,
que será representada por um número real. Vamos entender como podemos representar
um movimento unidimensional de diferentes maneiras. Antes disso, precisamos de algumas
definições. Vamos começar pelos conjuntos numéricos.
         Você já deve ter se acostumado com os diferentes tipos de números que existem na
matemática. Estes números são divididos nos chamados conjuntos numéricos e eles foram
surgindo conforme nossa necessidade de representar situações da natureza. Por exemplo,
há centenas de anos, um pastor de ovelhas precisava guardar uma pequena pedra dentro
de uma bolsa para cada ovelha que ele possuía. Assim, toda vez que ele precisava contar as
ovelhas, bastava ele tirar as pedras da bolsa e verificar se combinavam com a quantidade de
ovelhas. Ele não sabia como representar números, mas aprendeu a contar utilizando uma
representação com as pedras. Diante da necessidade de contar de maneira mais prática,
criou-se o conjunto dos números naturais, que servem para contar unidades:



        Com o desenvolvimento do comércio, alguns comerciantes perceberam que podiam
representar seu dinheiro com números naturais. Contudo, surgiram situações em que eles
precisavam representar matematicamente algo desagradável: quando estavam devendo
dinheiro. Por isso, acredita-se que foram criados os números inteiros, como a união entre
os números naturais e os seus simétricos.



        Posteriormente, a partir da operação da divisão, percebeu-se que um novo conjunto
poderia ser criado a partir da razão entre dois números inteiros, com o denominador
diferente de zero. Estes números foram chamados de números racionais. Uma maneira
formal de representar os números racionais é a seguinte:



        Uma leitura direta da sentença acima pode ser feita da seguinte forma: Os números
racionais são formados por todas as divisões possíveis dos números inteiros p e q, com q

                                                                                                            17
Conceitos de Física

                      diferente de zero. Uma característica interessante dos números racionais é que, quando
                      escritos na forma decimal, eles possuem dízima finita ou periódica. Isto significa que sua
                      parte decimal é finita ou se repete infinitamente. Por exemplo, são números racionais:




                              Em ambos os casos, a dízima (parte decimal) é possui fim ou é infinita e se repete.
                      Será que este conjunto dos números racionais corresponde a todos os números que nós
                      conhecemos? Ou ainda existem números que não estão nele? Vamos ver o que aconteceu
                      na aula de matemática de Luka.
                               Quando sua professora disse que a área de um quadrado pode ser calculada apenas
                      multiplicando o lado do quadrado por ele mesmo, todos os colegas de Luka passaram a
                      resolver os exercícios, mas Luka ficou pensativo. A professora perguntou qual era o
                      problema. Luka disse o seguinte:




                              A professora disse que estava correto o raciocínio de Luka e perguntou por que ele
                      ainda estava tão pensativo se tinha entendido o assunto. Então ele disse:




18
Conceitos de Física




        Então, a professora explicou que, neste caso, o lado do quadrado não é um número
muito conhecido assim. Este número, cujo quadrado é dois, é a chamada raiz quadrada de
dois e pode ser representada assim.


        Luka ficou satisfeito em saber que o número que ele não conseguia adivinhar, o lado
do quadrado cuja área é dois, não era algo que ele conhecia. Luka teve seu primeiro contato
com os números irracionais (I). Este conjunto numérico é curioso, pois é formado apenas
por números cuja dízima é infinita e não periódica. Isto significa que a parte decimal do
número é formada por uma sequência infinita de algarismos que não possuem um padrão
de repetição (ou período). Por exemplo, o número que Luka esta procurando era este:


         No número acima, representamos apenas o início de sua dízima, que não tem fim
e não se repete. Diversos outros números também possuem esta característica e, portanto,
são classificados como irracionais. Quando unimos todos os números racionais aos
irracionais, obtemos um conjunto numérico chamado de números reais ( ). Estes números
correspondem a todos os números que você conhece, exceto por um tipo de número
bem estranho chamado número imaginário, cujo estudo está além dos nossos objetivos.
Entenderemos agora a importância dos números reais em Física, a partir da definição de
uma reta real.
         Para estudarmos o movimento, precisamos partir do exemplo mais simples
possível, como o movimento de uma pequena bolinha em uma reta. Esta bolinha que
estamos tomando no exemplo é tão pequena que pode ser aproximada por um ponto que
chamaremos de ponto material. Em geometria, um ponto é adimensional, o significa dizer
que ele não tem tamanho. De posse do nosso ponto material, precisamos descrever suas
diferentes posições. Uma maneira bem simples de descrever as posições de um ponto em
uma reta é através do uso dos números reais.
         Primeiramente, selecionaremos um ponto fixo para chamar de origem do nosso
eixo. Este ponto será representado pelo número real zero (0). Como os números reais são
                                                                                                            19
Conceitos de Física

                      ordenados, cada ponto desta reta será representado por um número real.




                                                          Fig 1.1. Reta real e origem.



                              Em seguida, vamos definir um sentido para esta reta real. O sentido positivo será o
                      sentido do movimento que vai da esquerda para a direita nesta reta real. O sentido negativo,
                      naturalmente, será o sentido do movimento que vai da direita para a esquerda desta reta.
                      Vamos representar o sentido positivo com uma flecha, como na Fig. 1.2. Vamos chamar
                      este eixo de eixo x. Precisamos também definir uma unidade de medida para a grandeza
                      comprimento, que é o metro no caso do Sistema Internacional de Unidades.




                                                             Fig 1.2. Eixo Real “x”



                             Com esta estrutura que acabamos de criar, podemos representar um ponto material
                      se movendo em uma dimensão. Mover-se significa mudar de posição conforme o tempo
                      muda e, neste caso, podemos registrar uma diferente posição do ponto para cada instante
                      de tempo.
                              Vamos ver como funciona as diversas descrições do movimento na prática. Luka
                      será nosso ajudante nesta experiência. Para isso, vamos utilizar um cronômetro para medir
                      diferentes instantes de tempo bem próximos: 0, 1, 2 e 3 segundos. Em cada um dos instantes
                      de tempo, o desafio de Luka é medir a posição (um número real) da nossa bolinha no eixo
                      real. Vamos ao resultado do experimento:

                           –	 No instante t = 0s, a bola está parada na origem (x = 0m).
                           –	 No instante t = 1s, a bola está a um metro à direita da origem (x = 1m).
                           –	 No instante t = 2s, a bola está a dois metros à direita da origem (x = 2m).
                           –	 No instante t=3s, a bolsa está a um metro à esquerda da origem (x = -1m).
                               Podemos representar este movimento com um gráfico que mostra diferentes
                      fotografias retiradas em diferentes instantes de tempo, como na Fig. 1.3.




                             Fig 1.3. Fotografias de diferentes instantes de tempo de um movimento unidimensional
                                                mostram a bolinha em diferentes posições no eixo x.

20
Conceitos de Física

        Antes de analisar este experimento, vamos aprender a representá-lo de outras
maneiras. Uma representação interessante pode ser obtida a partir de uma simples tabela
que represente o instante de tempo (t) e a posição (x), como na Tabela 1.2.


                                   t(s)                 X(m)

                                    0                     0

                                    1                     1

                                    2                     2

                                    3                    -1

                    Tabela 1.2. Tabela representando a posição de um ponto
                             material para cada instante de tempo.



          Outra maneira de representarmos o movimento acima é através de um gráfico
de coordenadas cartesianas. Este tipo de gráfico é muito comum em ciências em geral,
sobretudo em Física. Ele consiste de um dois eixos perpendiculares, um horizontal e outro
vertical. O eixo horizontal, chamado eixo das abscissas, corresponde a uma das variáveis.
Neste caso, o tempo. O eixo vertical, chamado eixo das ordenadas, corresponde à variável
restante. Neste caso, a posição. O exemplo que estamos estudando está representado nos
eixos coordenados na Fig. 1.5. A construção de um gráfico deste tipo é bem simples. Para
cada instante de tempo, por exemplo, t = 0, você verifica qual o valor da posição, neste caso,
x = 0. De posse destes dois dados, você pode localizar este ponto (t, x) no gráfico. Assim,
representamos os diferentes pontos (t, x): (0,0), (1,1), (1,2), (3,-1). As linhas pontilhadas
servem apenas como guia para uma melhor visualização da construção e não fazem parte
do gráfico.




             Fig. 1.5. Representação do movimento através de um gráfico cartesiano.



        Como você deve ter percebido, representamos o movimento unidimensional de
diferentes maneiras. Estas maneiras de representação são bem conhecidas e funcionam
para muitas situações em Física, sempre que precisamos representar uma função. Em
matemática, dizemos que representar o movimento é representar a posição em função do
tempo. Representamos a posição em função do tempo por x(t). Isto significa dizer que a
                                                                                                               21
Conceitos de Física

                      posição do ponto material depende apenas do instante de tempo em que a medição foi
                      feita. Existem várias funções neste curso que serão representadas por um gráfico cartesiano.
                              Um detalhe curioso é que nós sabemos a posição da nossa bolinha apenas nos
                      instantes em que fizemos medição experimental. Podemos até estimar a posição do
                      objeto em outros instantes, mas seria apenas uma estimativa teórica. Este detalhe sobre a
                      realidade física ser apenas aquilo que verificamos através de medições ainda é um assunto
                      importante das teorias modernas.	
                             Vamos voltar nossa atenção para o intervalo de tempo de 0 a 2 segundos do nosso
                      experimento e exemplificar o tipo mais simples de movimento, chamado Movimento
                      Uniforme.


                      1.4.1 Movimento Uniforme

                                Vamos escolher uma visualização do experimento anterior, ou seja, da posição em
                      função do tempo, para estudar o Movimento Uniforme. Para isso, vamos analisar apenas
                      o intervalo de 0 a 2 segundos. Como não sabemos o que aconteceu com o movimento da
                      bolinha entre os instantes de medição, vamos assumir que ela apenas seguiu “sua tendência
                      de movimento”, representada por uma linha pontilhada colorida entre os pontos que foram
                      medidos. Note que utilizamos um vocabulário informal nesta etapa, mas vamos formalizá-lo
                      ao longo da próxima seção. Neste intervalo, o gráfico cartesiano do movimento é dado na
                      Fig. 1.6.




                           Fig 1.6. Linha colorida mostra o movimento que assumimos para a bolinha, de posse apenas dos
                                       pontos que foram medidos (em preto), para o intervalo de 0 a 2 segundos.



                               Este movimento é simples e especial. Simples, pois sua representação no gráfico
                      cartesiano é o mais simples possível: uma linha reta. Vamos entender agora por que ele é
                      especial. Para isso, vamos definir a velocidade média entre os instantes t1 e t2 de um objeto
                      em um intervalo de tempo como a fórmula:



                              A grandeza x(t2) - x(t1), calculada como a diferença entre duas posições, é chamada
                      deslocamento. Vamos calcular a velocidade média para o nosso corpo para diferentes
                      instantes de tempo e listá-las abaixo:

                             –	 Velocidade Média entre 0 e 1 s:

22
Conceitos de Física




    –	 Velocidade Média entre 1 e 2 s:




         Você pode verificar através do gráfico que a velocidade média para este movimento
ilustrado na Fig. 1.6. é sempre 1m/s. Isto significa que o corpo se move sempre com a mesma
velocidade e este movimento é chamado de Movimento Uniforme. Quando um corpo
executa este movimento, sua velocidade é sempre a mesma. Isto significa que o gráfico da
posição em função do tempo é sempre dado por uma reta que pode ser ascendente ou
descendente, a depender da velocidade ser positiva ou negativa. Veja cada caso na Fig. 1.7.




      Fig 1.7. Os três casos de Movimento Uniforme representados em um gráfico cartesiano.



        Caso o movimento uniforme tenha velocidade positiva, então o corpo segue
                                                                                                                   23
Conceitos de Física

                      no sentido positivo do eixo real, ou seja, da esquerda para a direita e chamamos este
                      movimento de movimento progressivo. Caso o corpo tenha velocidade negativa, movendo-
                      se da direita para a esquerda, dizemos que o movimento é retrógrado. Seja qual for o tipo
                      de movimento uniforme, podemos afirmar que a posição é sempre uma função linear do
                      tempo, ou seja, pode ser escrita na forma:
                              x(t) = v0 t + x0
                                Onde v0 é a velocidade e x0 é a posição inicial do movimento uniforme. O nome
                      linear fica claro quando observamos a Fig. 1.7. Sempre que uma função é escrita da forma
                      acima, o gráfico cartesiano é uma linha reta. Sempre que representamos um movimento
                      pela equação da posição em função do tempo, chamamos esta equação de equação
                      horária do movimento. Agora, vamos treinar um pouco os conceitos desta seção através de
                      exercícios resolvidos.
                               Exemplo 1: Um automóvel faz uma viagem de uma cidade A a uma cidade C,
                      passando por uma outra cidade B. A velocidade média do carro entre a cidade A e a cidade
                      B foi de 60 km/h e esta etapa da viagem durou duas horas. Já a velocidade média do carro
                      entre as cidades B e C foi de 80 km/h e esta etapa da viagem durou 3 horas. Calcule a
                      velocidade média do automóvel entre as cidades A e C. Veja a Fig. 1.8.




                                                   Fig. 1.8. Esquema par ao exemplo 1.



                              Solução: Este exemplo mostra como podemos cometer um erro por não aplicar a
                      definição de uma grandeza da maneira correta. Antes de resolvê-lo corretamente, vamos
                      dar uma olhada na ideia do Luka e tentar descobrir onde está o erro em sua resolução. Luka
                      tentou o seguinte:

                           –	 Acho que a velocidade média é de 70 km/h, porque é a média entre as duas
                              velocidades: 60 km/h e 80 km/h.
                              Primeiro, vamos verificar se esta velocidade encontrada é realmente a média
                      aritmética das velocidades do problema:



                              Realmente é a média aritmética das velocidades. Mas será que Luka está
                      certo? Vamos ver. Teremos que aplicar a definição da velocidade média da maneira que
                      aprendemos nesta seção:



                                Podemos calcular o intervalo de tempo que durou a viagem facilmente
                      (t2 - t1) = 2horas + 3horas = 5horas. Já o deslocamento entre as cidades não é um dado
                      encontrado no enunciado do problema, mas podemos encontrá-lo. Na viagem entre as
                      cidades A e B, temos




24
Conceitos de Física

        O mesmo pode ser feito para encontrar o deslocamento da etapa 2:




        Agora, podemos calcular o deslocamento de toda a viagem:
        deslocamento = deslocamento1 + deslocamento2 = 120km + 240km = 360km
        Finalmente, vamos calcular a velocidade média por sua fórmula:



        Note que nossa resposta, que está correta, foi diferente da resposta encontrada por
Luka. Velocidade média significa algo bem definido em física e não pode ser substituído por
nossa intuição, como fez Luka, que ainda não estudou esse assunto.
      Exemplo 2: Dado o gráfico cartesiano 1.9., encontre a equação horária do
movimento uniforme.




                                Fig. 1.9. Gráfico para o Exemplo 2.



        Solução: Sempre que temos uma linha reta no gráfico da posição em função do
tempo, podemos dizer que o movimento é uniforme e sua equação horária é do tipo:
        x(t) = v0 t + x0
        Precisamos apenas encontrar o valor das constantes v0 e x0 . Precisamos utilizar dois
pontos do gráfico para isso. Por exemplo, o gráfico passa pelo ponto x(2) = 2, portanto:
        x(2) = 2v0 + x0 = 2
        Além disso, passa pelo eixo x no instante t = 3s. Isto equivale ao ponto x(3) = 0:
        x(3) = 3v0 + x0 = 0
        Assim, ficamos com um sistema linear de duas equações e duas incógnitas:
        2v0 + x0 = 2
        3v0 + x0 = 0
         Existem alguns métodos de resolução de sistemas lineares. Por exemplo, podemos
subtrair as duas equações do sistema linear acima e obter:
        (2v0 + x0) - (3v0 + x0) = 2 - 0 → - v0 = 2 → v0 = -2m/s

                                                                                                                   25
Conceitos de Física

                              Finalmente, podemos utilizar este valor da velocidade em uma das equações para
                      encontrar a posição inicial:

                               2(-2) + x0 = 2 → x0 = 6m
                               A equação horária fica dada por:
                               x(t) = -2t + 6
                              Exercício 1: Encontre o deslocamento e a velocidade média para os seguintes
                      instantes de tempo no experimento da bolinha que fizemos com Luka, representado na Fig.
                      1.3.

                           a)	 t1 = 0s e t2 = 1s
                           b)	 t1 = 1s e t2 = 2s
                           c)	 t1 = 2s e t2 = 3s
                           d)	 t1 = 3s e t2 = 4s
                           e)	 t1 = 0s e t2 = 4s


                      1.4.2 Movimento Uniformemente Variado (MUV)

                                O movimento mais simples que existe é, sem dúvida, o movimento uniforme. Mas
                      sabemos que este tipo de movimento ocorre em casos bem especiais. Na prática, é muito
                      difícil encontrar algo que tenha velocidade sempre constante. Por exemplo, quando estamos
                      em um carro, aumentamos ou diminuímos nossa velocidade de acordo com o tráfego.
                      Portanto, um passeio de carro, em geral, não é um exemplo de movimento uniforme. Então,
                      qual seria o próximo tipo de movimento mais natural para nosso estudo? Vamos encontrar a
                      resposta propondo um experimento bem simples:
                              Luka está em um prédio de cinco andares. Cada andar está aproximadamente 3
                      metros de distância do andar anterior. Temos cinco pedras parecidas e também temos um
                      cronômetro. Nós pedimos a ele que solte uma pedra do primeiro andar e nós marcaremos o
                      tempo de queda com o cronômetro. Em seguida, pedimos que ele subisse um andar e solte
                      novamente outra pedra para marcarmos o novo tempo de queda. Assim, teremos cinco
                      tempos de queda, um para cada pedra lançada. Os dados obtidos foram representados na
                      Tabela 1.3. :


                                                   Altura (m)                Tempo ( s)

                                                          0                     0,00

                                                          3                     0,78

                                                          6                     1,11

                                                          9                     1,36

                                                          12                    1,56

                                                          13                    1,75

                                                    Tabela 1.3. Tempo de queda da pedra
                                                           para cada lançamento.



                               Agora, vamos desenhar um gráfico cartesiano que representa a altura que a pedra
26
Conceitos de Física

caiu em função do tempo de queda. Perceba que o gráfico não é uma linha reta. Se a
“queda livre”, que é o nome comum deste experimento, fosse um exemplo de movimento
uniforme, deveríamos ver uma reta na Fig. 1.10. O que observamos é uma ligeira curvatura
para cima neste gráfico, indicando que estamos diante de um novo tipo de movimento. E
que movimento seria esse? É o chamado Movimento Uniformemente Variado (MUV), que
será o tema desta seção.




      Fig.1.10. Gráfico cartesiano do problema do tempo de queda livre das pedras no prédio.



        Para analisar o gráfico acima, vamos construir uma tabela de velocidade média da
pedra entre os andares. Se o movimento fosse uniforme, a velocidade média deveria ser
constante para qualquer intervalo de tempo.




         Você pode verificar nos cálculos acima que a velocidade média não se manteve
constante. Na verdade, a velocidade média aumenta conforme o corpo cai. Nos primeiros
três metros de queda, a velocidade média é pequena. No entanto, após 12 metros de queda,
a velocidade média entre 12m e 15m é bastante elevada.
        Podemos resumir nossa análise com a definição de uma nova grandeza que
representa este aumento de velocidade com o tempo. Esta nova grandeza recebe o
nome de aceleração média. Assim como a velocidade média, ela possui uma fórmula que
representaremos abaixo:




                                                                                                                     27
Conceitos de Física

                              Como você deve ter percebido, esta fórmula se parece muito com a fórmula da
                      velocidade média. A diferença é que estamos calculando qual é a taxa de variação da
                      velocidade em relação ao tempo, enquanto a velocidade média calculava a taxa de variação
                      da posição. Note também que um caso especial acontece quando calculamos a aceleração
                      de um corpo que está em movimento uniforme:

                                                                      .	   (Movimento Uniforme)

                              Ou seja, a aceleração média de um corpo que está em movimento uniforme é zero.
                      Outro detalhe importante é encontrar qual a unidade de medida desta nova grandeza. Bem,
                      como a aceleração média é calculada como o quociente entre velocidade (m/s) e tempo (s),
                      então temos:



                              Este procedimento é o que chamamos de análise dimensional, mencionado
                      anteriormente. Agora que sabemos calcular aceleração, vamos definir um movimento
                      uniformemente variado como sendo um movimento cuja aceleração é constante e diferente
                      de zero. Isto significa que a aceleração média para este tipo de movimento terá sempre o
                      mesmo valor, que chamaremos de a0 ou simplesmente de a:




                                 Esta é chamada equação horária da velocidade no movimento uniformemente
                      variado (MUV). Podemos simplificar ainda mais a equação considerarmos que o instante
                      inicial t1 = 0s e t2 = t:
                              v(t) = v0 + at
                               Esta fórmula indica que a velocidade aumenta de valor conforme o tempo passa,
                      caso a aceleração seja positiva. Caso a aceleração seja negativa, a velocidade diminui de
                      valor. Além disso, o crescimento da velocidade é linear, ou seja, o gráfico cartesiano da
                      velocidade em função do tempo é um segmento de reta para o MUV. Mas qual a relação
                      entre o MUV e nosso experimento das pedras? A novidade é que o movimento de queda
                      livre, como em nosso experimento, é um movimento uniformemente variado! Vamos
                      mostrar esta afirmação que fizemos.
                               No caso do movimento uniforme, é simples de ver que o gráfico cartesiano da
                      posição em função do tempo é um segmento de reta. No caso do MUV, não é tão simples
                      obter o gráfico da posição em função do tempo, mas vamos tentar de maneira bem
                      intuitiva. O raciocínio que vamos empregar nesta dedução é um investimento, pois nele está
                      a semente de ideias mais avançadas que são estudas sob o nome de cálculo diferencial.
                      Primeiramente, você deve concordar que o gráfico da velocidade em função do tempo
                      depende do tipo do movimento que estamos estudando. Representaremos na Fig.1.11 este
                      gráfico para o movimento uniforme e o uniformemente variado:




28
Conceitos de Física




   Fig.1.11. Perceba a diferença no gráfico da velocidade em função do tempo para o movimento
      uniforme (a) e o movimento uniformemente variado (b). Ambos são segmentos de reta,
        mas o gráfico (a) é uma função constante enquanto o gráfico (b) mostra a velocidade
                    mudando com o tempo, indicando que existe uma aceleração.



        Nosso objetivo agora é descobrir a equação da posição em função do tempo para
o MUV. Esta equação, chamada equação horária da posição, deve representar uma curva
no plano cartesiano que se assemelhe com os dados experimentais obtidos na Fig. 1.10.
Para obter esta equação, vamos utilizar uma estratégia bem geral. A partir da fórmula da
velocidade média, vamos escrever:
        x(t2) - x(t1) = vmédia x (t2 - t1)
         Ou ainda, podemos simplificar ainda mais a fórmula se adotarmos uma notação
bem conveniente em Física que é ∆t = (t2 - t1) e ∆x = (x2 - x1), onde ∆ é a letra grega Delta
maiúscula e sempre representa uma variação. Nestes casos, uma variação de tempo e uma
variação da posição. Perceba que o deslocamento (diferença das posições) pode ser escrito
como o produto entre a velocidade média e o intervalo de tempo. O interessante é que este
produto da velocidade pelo intervalo de tempo é exatamente a área de um retângulo no
gráfico cartesiano da velocidade em função do tempo, como representamos na Fig.12.




                                                                                                                 29
Conceitos de Física




                               Fig.1.11. O deslocamento pode ser calculado como a área abaixo da curva da velocidade
                                               no gráfico cartesiano da velocidade em função do tempo.



                              Desta forma, podemos aplicar esta ideia, de calcular a área sob o gráfico da
                      velocidade em outros tipos de movimento além do movimento uniforme. Por exemplo,
                      podemos calcular a área abaixo da curva da velocidade no caso do MUV. Esta talvez seja
                      o conceito matemático mais difícil de entender no nosso curso e está relacionado a um
                      assunto avançado chamado cálculo integral. Aqui, nosso interesse é bem modesto. Não
                      estudaremos cálculo, mas estamos interessados em calcular a área abaixo da curva da
                      velocidade no nosso caso do movimento uniformemente variado, representado na Fig. 1.12:




                           Fig.1.12. Vamos utilizar o cálculo do deslocamento como a área abaixo da curva da velocidade no
                                                 gráfico cartesiano da velocidade em função do tempo.



                              De uma maneira geral, para posição inicial x(t1) = x0, velocidade inicial v(t1) = v0, e
                      aceleração a constante, a área da figura pintada é exatamente a área de um trapézio, que
                      pode ser escrita como:



                                 Utilizando nossa ideia de que o deslocamento é igual à área, ficamos com:



                                 Substituindo a velocidade MUV pela fórmula: v = v0 + a∆t , ficamos com:



30
Conceitos de Física

        Finalmente, inserindo: ∆x = x(t) - x0, resulta na fórmula final:



        Esta fórmula nos dá a posição de um corpo em função do tempo para o caso de
um movimento uniformemente variado. O gráfico cartesiano desta função é uma curva
conhecida como parábola. Sua forma é muito parecida com a Fig. 1.10 que obtemos
experimentalmente, note na Fig. 1.13 um acordo que existe entre os pontos experimentais
e nossa fórmula teórica




Fig.1.13. O gráfico mostra os pontos obtidos no nosso experimento (em azul) com a curva teórica da
              posição em função do tempo para o movimento uniformemente variado.



         É surpreendente o fato de a queda livre ser descrita pelas equações do MUV. Isto
significa que os corpos que caem estão submetidos a uma aceleração constante, fazendo
com que sua velocidade na queda aumente com o tempo. O fato surpreendente é que esta
aceleração não depende da massa do objeto e é aproximadamente a mesma para qualquer
queda livre realizada próxima à superfície do nosso planeta. O valor desta aceleração,
utilizando apropriadamente as unidades de medida desta grandeza, é de aproximadamente:
        a ~ 9.8 m/s2
         Esta aceleração está representada com um sinal positivo para concordar com nosso
experimento, mas é comum definir o sentido positivo do eixo para cima, indicando que um
deslocamento positivo equivale ao corpo subir, enquanto um deslocamento negativo está
relacionado a uma queda. Neste caso, a aceleração teria a mesma magnitude, mas com
sinal negativo.
         Você poderia estar se perguntando o porquê de os corpos caírem com a mesma
aceleração, independentemente de sua massa. Na verdade, esta pergunta é bem difícil de
ser respondida, mas podemos dizer quer existe um modelo teórico bem antigo que consegue
explicar este fenômeno da queda livre, chamado de Gravitação Universal, que estudaremos
ainda neste volume. Vamos resolver alguns exemplos sobre Movimento Uniformemente
Variado antes de passarmos para o próximo assunto.
         Exemplo 3: Uma maçã cai a partir do repouso de uma altura de 49 metros. Calcule
(a) Quanto tempo durou a queda e (b) a velocidade final da maçã imediatamente antes de
atingir o solo.
                                                                                                                    31
Conceitos de Física

                              Solução: Vamos utilizar a fórmula da posição em função do tempo para o MUV.
                      Vamos também aproveitar o exemplo para introduzir um novo eixo coordenado. Como
                      o movimento de queda livre é feito sempre no eixo vertical, vamos chamá-lo de y para
                      diferenciá-lo do eixo x. Além disso, vamos chamar a aceleração da gravidade de g, uma vez
                      que este valor é constante.



                           a)	 A posição inicial da maçã é de y0 = 49m. A posição final da maçã é y(t) = 0 (que
                               representa a altura do chão). Como a maçã partiu do repouso, isto significa que sua
                               velocidade inicial é zero: v0 = 0. Além disso, como estamos representando o eixo
                               vertical (y) apontando para cima, a aceleração recebe um sinal negativo, indicando
                               que ela aumenta as velocidades para os corpos que caem (e diminui a velocidade
                               dos corpos que sobem). Assim, ficamos com:




                           b)	 A velocidade da maçã ao atingir o solo pode ser encontrada utilizando a equação
                               horária da velocidade no movimento uniformemente variado. Novamente,
                               a velocidade inicial é zero, indicando que o corpo caiu a partir do repouso. Já a
                               velocidade final, que é a resposta do problema, depende do tempo total de queda,
                               que foi obtido na letra anterior. Assim, temos:
                              v = v0 + at → v = 0 - (9.8 m/s2) (3.16s) ~ - 31 m/s
                              O sinal negativo da velocidade está associado ao sentido positivo do eixo vertical,
                      que é para cima. Assim, uma velocidade negativa significa que o corpo está caindo, como
                      era de se esperar para este problema.
                               Exemplo 4: Uma pedra é lançada para cima com velocidade inicial de 10.00 m/s a
                      partir do chão. Encontre (a) o tempo total de vôo. (b) a altura máxima que ela atinge. (c)
                      Faça um esboço do gráfico da posição em função do tempo desde o lançamento até a pedra
                      tocar o solo novamente.
                                Solução: Vamos utilizar novamente as equações do MUV. Como a pedra foi lançada
                      do chão, sua altura inicial é zero (y0 = 0). A altura final é o que queremos obter. A velocidade
                      inicial é 10 m/s.



                           a)	 Este problema é um pouco mais complicado, pois precisamos definir qual o
                               instante final do movimento. A altura máxima, como o enunciado pede, é atingida
                               quando a velocidade final é zero. Isto significa que o corpo sobe, fica parado
                               momentaneamente e volta a cair. Neste ponto especial, em que a velocidade é zero,
                               a altura atingida pelo lançamento é máxima. Assim, a partir da equação horária da
                               velocidade, vamos descobrir quanto tempo leva para atingir a velocidade zero.
                              v(t) = v0 + at → 0 = 10 m/s - (9.8 m/s2)t → t ≈ 1.02 s
                               Este é o tempo entre o lançamento da pedra para cima e a altura máxima ser
                      atingida. O tempo de subida é igual ao de descida (você pode verificar a partir das equações).
                      Portanto, o tempo de vôo é dado por:
                              t ~ 2 x 1.02s = 2.04s

                           b)	 Para calcular a altura máxima, vamos substituir o valor do tempo na fórmula da
32
Conceitos de Física

   posição:



c)	 Esboço do Gráfico:




          Fig. 1.14. Esboço do gráfico do lançamento da pedra do Exemplo 4.




         Problemas


1.	 Um motorista dirige um carro em linha reta a 80 km/h a partir do ponto A. Após
    percorrer 8 km/h, o veículo para por falta de gasolina. O motorista caminha 2 km
    adiante até o posto de abastecimento em 24 minutos. Calcule:
     a)	 O intervalo de tempo que o motorista passou dirigindo o carro.
     b)	 Transforme em horas o intervalo de tempo que durou a caminhada do
         motorista até o posto.
     c)	 Encontre a velocidade média do motorista desde o instante em que partiu
         do ponto A até chegar ao posto. (Dica: Utilize a fórmula da velocidade média,
         calculando o deslocamento total e o intervalo de tempo total)
2.	 Um automóvel percorre uma distância de 150 km desenvolvendo, nos primeiros
    120 km, uma velocidade média de 80 km/h e, nos 30 km restantes, uma velocidade
    média de 60 km/h.
     a)	 Qual foi o tempo total da viagem?
     b)	 Qual foi a velocidade média do automóvel do percurso total?
3.	 Um atleta treina corrida em uma pista retilínea. Em t1 = 0s, parte do marco zero,
    corre até o marco 200m, para por certo tempo, volta a correr até o marco 400m e
    retorna ao marco 100m, quando chega em t2 = 100s. Calcule a velocidade média do
    atleta entre t1 e t2.
4.	 Um caminhão de carga possui uma velocidade de 10 m/s no instante em que
    o motorista pisa no acelerador. Isto comunica ao caminhão uma aceleração
                                                                                                       33
Conceitos de Física

                                 constante, que faz com que sua velocidade aumente de 20 m/s em 5,0s. Considere
                                 t = 0 no instante em que o motorista pisa no acelerador.
                                  a)	 Qual a aceleração do caminhão
                                  b)	 Supondo que o caminhão foi mantido com essa aceleração até o instante t =
                                      10s, qual a velocidade atingida nesse instante
                                  c)	 Qual a distância percorrida pelo caminhão desde o início da aceleração até o
                                      instante t = 10s.
                           5.	 Um veículo está em uma estrada e acelera assim que passa pela placa, cuja posição
                               será x = 0. Sua aceleração é constante e igual a 4 m/s2. No instante t = 0, o veículo se
                               encontra a 5m a frente da placa, movendo a 15 m/s.
                                  a)	 Determine a posição e velocidade do carro em t = 2s.
                                  b)	 Determine a posição do veículo quando sua velocidade for de 25 m/s.
                                  c)	 Faça um esboço do gráfico cartesiano da posição em função do tempo
                                      para t > 0. (Dica: Ao desenhar a curva, lembre que este é um movimento
                                      uniformemente acelerado).
                           6.	 Um corpo é lançado do solo verticalmente para cima com velocidade inicial de
                               20 m/s Aproximando a aceleração da gravidade por g ~ 10 m/s2, calcule:
                                  a)	 O tempo gasto pelo corpo para atingir o ponto mais alto da trajetória.
                                  b)	 A altura máxima atingida pelo corpo.
                           7.	 Um homem atira uma pedra para cima, em linha reta, com uma velocidade inicial
                               de 12 m/s. Encontre:
                                  a)	 O tempo que a bola levou para atingir a altura máxima.
                                  b)	 A altura máxima.

                                 Gabarito:

                           1.	
                           2.	 a) 2h
                           	     b) 75 km/h.
                           3.	1 m/s.
                           4.	 a) a = 2 m/s2
                           	     b) 30 m/s
                           	     c) 200 m.
                           5.	 a) x = 43m e v = 23m/s
                           	     b) x = 55m.
                           6.	 a) 2s
                           	     b) 20m.
                           7.	 a) 1.2s
                           	     b) 7.3m.




34
Conceitos de Física


        Capítulo 2


   O que vamos estudar neste capítulo?

   Neste capítulo, vamos estudar os seguintes temas:

»	 Conceitos de Força e Massa
»	 Leis de Newton

   Metas

   Após o estudo deste capítulo, esperamos que você consiga:

»	 Saber a diferença entre peso e massa.
»	 Entender e aplicar as Leis de Newton.




                                                                                     35
Conceitos de Física


                      Capítulo 2 – Mecânica Clássica:
                      Dinâmica


                                   Vamos conversar sobre o assunto?


                               Nós estudamos o movimento com o uso de grandezas físicas como posição,
                      velocidade e aceleração. Estas grandezas conseguem descrever o movimento, mas não
                      conseguem explicar suas causas. Chamamos de Dinâmica a parte da mecânica clássica que
                      estuda as causas do movimento. O cientista que mais contribuiu para o desenvolvimento
                      da Dinâmica foi Isaac Newton (1643-1727), que criou as três leis que levam seu nome. Estas
                      leis de Newton, quando utilizadas apropriadamente, conseguem prever o resultado de
                      muitos experimentos. Contudo, Newton não fez todo o trabalho sozinho. Como ele mesmo
                      disse, ele viu mais longe, pois estava apoiado sobre o ombro de gigantes. Vamos estudar
                      brevemente trabalho de um desses gigantes. Um trabalho bastante original em mecânica
                      que começa com um experimento.




                      2.1 Princípio da Relatividade de Galileu
                               Nossa histórica começa dentro de um navio que navega em alto mar em movimento
                      uniforme. É curioso comprovar se a velocidade do navio é de fato constante. Para isso,
                      precisamos de uma corda bem comprida. Nesta corda, vamos escolher uma unidade de
                      comprimento, em metros, e dar um nó na corda a cada unidade de comprimento. Assim,
                      nossa corda terá diversos nós igualmente espaçados. Depois, lançamos uma extremidade
                      da corda no mar e seguramos o resto da corda. À medida que a extremidade lançada ao
                      mar vai se distanciando do navio, vamos contando quantos nós passam em nossas mãos.
                      Se a corda vai deixando o navio a uma taxa constante de nós por unidade de tempo, então
                      a velocidade do navio é aproximadamente uniforme. Esta técnica para medir velocidade de
                      navios é muito antiga ilustra bem o conceito de movimento uniforme.
                               Vamos levar Luka nesta viagem como um ajudante para nossos experimentos.
                      Sabemos que quando uma pedra é abandonada a partir do alto de um prédio, ela cai em
                      linha reta até o chão e chamamos este movimento de queda livre. No navio, Luka surgiu
                      com uma dúvida bem pertinente:




36
Conceitos de Física




Vamos representar a dúvida de Luka na Fig. 2.1.




Fig. 2.1. A dúvida de Luka sobre a pedra que cai em um navio em alto mar. A pedra
          cai em linha reta, como em terra firme (a) ou “fica para trás” (b)?
                                                                                                          37
Conceitos de Física

                               Do ponto de vista histórico, este problema foi pensado pela primeira vez por Galileu
                      Galilei (1564-1642), um físico italiano que, dentre outras contribuições, criou o princípio
                      da relatividade. Este princípio foi formulado após a experiência do navio que descrevemos
                      acima. Antes de enunciá-lo, vamos explicar o que acontece no experimento. Quando
                      Luka soltou a pedra do alto do mastro do navio, percebeu que a mesma cai linha reta, um
                      movimento idêntico ao de queda livre. Portanto, a figura que ilustra de maneira mais correta
                      o experimento real é a Fig. 2.1.(a). Em outras palavras, a pedra se comporta como se o navio
                      estivesse parado. Você pode achar isso um pouco confuso, mas é fácil de entender o que
                      acontece e este experimento contém toda a essência da Dinâmica que vamos estudar aqui.
                      Na verdade, a pedra está se movendo com velocidade constante para a direita, assim como
                      o navio também está se movendo com velocidade constante para a direita. No entanto,
                      como o observador (Luka) e a pedra estão se movendo com a mesma velocidade, a pedra
                      parece estar caindo em linha reta do ponto de vista de Luka e de toda a tripulação do navio.
                               Neste experimento, podemos dizer que o navio é o referencial. Sempre que
                      perguntamos alguma informação sobre movimento, seja posição, velocidade ou aceleração,
                      temos que especificar qual o referencial do problema, que é onde o observador está fazendo
                      as medições. As respostas podem ser bem diferentes a depender do referencial que estamos
                      trabalhando. Por exemplo, vimos que para o referencial do navio, a pedra solta do mastro
                      está em queda livre (linha reta), pois o navio e a pedra estão em movimento uniforme. No
                      entanto, para um referencial que está em terra firme, por exemplo, se estivéssemos na
                      praia observando o navio passar, a pedra lançada descreveria uma trajetória curva, como na
                      figura 2.2. Esta trajetória é uma parte de uma curva conhecida como parábola.




                           Fig 2.2. Para o referencial da praia, a pedra descreve uma trajetória curva (ramo de parábola),
                                    indicando que a pedra possui uma velocidade inicial constante para a direita.



                               Na Fig. 2.2, representamos em diferentes etapas do movimento do navio e
                      combinamos em uma mesma figura. Como o navio está se movendo em relação ao
                      referencial da praia, a cada intervalo de tempo a pedra cai alguns metros e o navio caminha
                      alguns metros em velocidade uniforme. O movimento de queda livre combinado ao
                      movimento uniforme do navio faz com que a trajetória observada pelo referencial da praia
                      seja este ramo de parábola que ilustramos na figura.
                              Um conceito bastante útil quando tratamos de dois referenciais distintos, como o
                      navio e a praia, é o de referenciais inerciais. A ideia é muito simples: dois referenciais A e
                      B são chamados de inerciais se A, quando observado por B, está parado ou em movimento
                      uniforme. Desta forma, podemos dizer que o navio e a praia são referenciais inerciais, já que
                      o navio está em movimento uniforme em relação à praia. Agora podemos introduzir nosso
                      enunciado do princípio da relatividade de Galileu que resume o experimento do navio:
                                “As leis da mecânica são as mesmas em diferentes referenciais inerciais.”

38
Conceitos de Física

        Este enunciado quer dizer que os diferentes fenômenos que envolvem movimento
devem obedecer às mesmas leis, não importando o referencial inercial em que estejam. Por
exemplo, se você deixa uma pedra cair a partir do repouso do alto de um prédio e espera
que ela caia em linha reta, então o mesmo tipo de queda livre em linha reta deve acontecer
caso você repita o experimento do alto do mastro do navio apresentado anteriormente.
Isto acontece de acordo com o princípio da relatividade, pois o navio está em movimento
uniforme, fazendo com que ele e a terra firma sejam referenciais inerciais e, portanto,
obedecem as mesmas leis da mecânica.
         O que aconteceria caso o navio estivesse em movimento uniformemente variado?
Neste caso, o navio e a terra firme não são mais referenciais inerciais. Estes referenciais,
chamados de não inerciais, apresentam leis da mecânica diferentes e, como consequência,
os resultados dos experimentos são diferentes. Neste exemplo do navio acelerando, o que
observaríamos de dentro do navio quando soltamos uma pedra a partir do repouso do
mastro é ilustrado na Fig. 2.3. Perceba que a pedra não cai em linha reta neste caso.




            Fig. 2.3. A pedra solta do mastro de um navio acelerando não cai em linha
                                reta para os observadores do navio.



         Como o navio está acelerando (sua velocidade aumenta com o tempo), então ele
e a terra firme não podem mais ser considerados referenciais inerciais. Logo, não vale o
princípio da relatividade de Galileu e as leis da mecânica passam a ser um pouco estranhas
no referencial do navio. Por exemplo, neste referencial os objetos que caem em queda livre
possuem uma trajetória curva.
         Você não deveria ficar espantado com referenciais não inerciais, eles fazem parte
do seu cotidiano. Por exemplo, quando você está dentro de um ônibus em movimento
uniforme, você consegue ficar em pé sem fazer o menor esforço. Isto acontece, pois neste
caso o ônibus é um referencial inercial e tudo que você faz normalmente em terra firme
você conseguiria fazer no ônibus: andar, pular, etc. Contudo, quando o motorista do ônibus
resolve frear o veículo bruscamente, ele impõe uma aceleração negativa para diminuir a
velocidade do ônibus. Neste intervalo de tempo, o ônibus não está mais em movimento
uniforme. Isto faz com que o ônibus e sua casa, por exemplo, sejam referenciais não
inerciais. Logo, o princípio da relatividade de Galileu não se aplica e as leis da mecânica que
passam a governar o movimento das pessoas dentro do ônibus ficam diferentes. As pessoas
não conseguiriam mais andar e pular da mesma maneira que fazem no chão firme, pois
existe algo que as empurra para frente do ônibus. Esta situação está ilustrada na Fig. 2.4.


                                                                                                                39
Conceitos de Física




                           Fig 2.4.1. Ônibus em movimento uniforme, representando um referencial inercial para
                                     os passageiros. 2. Após o freio do motorista, uma aceleração surge e
                                               o ônibus passa a ser um referencial não inercial.



                            Vamos ver a opinião de Luka sobre esta situação do ônibus:




40
Conceitos de Física

        Esta interpretação faz sentido e pode ser considerada correta. No entanto, se
olharmos para os corpos em queda livre, você diria que existe algo empurrando os corpos
para baixo e por isso eles caem. Na verdade, não existe muita diferente entre as pessoas
serem jogadas para frente do ônibus que freia e os corpos que “são jogados” para baixo em
queda livre. Para ilustrar nosso argumento anterior, imagine que você tenha nascido dentro
de uma caixa preta em um ônibus em movimento e nunca tenha saído dela. De repente,
o ônibus freia e você é projetado para frente. Para você, que não sabe da existência de
um mundo externo para chamar de referencial inercial, aquela força que o empurrou para
frente é uma força da natureza tão importante quanto à força que faz com que os corpos
caiam. Para o referencial externo, como as pessoas em um ponto de ônibus, aquela força é
imaginária e surgiu apenas pelo fato do ônibus ser um referencial não inercial. Em relação
ao tempo de vida da mecânica clássica, esta conversa sobre referenciais não inerciais
e gravidade é algo bem moderno. Ele é a semente do chamado princípio da relatividade
de Einstein, desenvolvido no século passado e capaz de mudar quase tudo que você sabe
sobre mecânica clássica. Vamos conversar sobre este princípio no final deste volume. Para
entender os argumentos mais modernos, precisamos nos dedicar bastante ao estudo da
mecânica clássica deste capítulo.




2.2 As Leis de Newton
         Isaac Newton (1643-1727) foi um matemático e físico inglês que deu um formato à
física que sobrevive até hoje. Newton pensava muito sobre a natureza e percebia a mecânica
de forma bem particular. Ele percebeu que precisava de uma ferramenta matemática que
ainda não tinha sido descoberta para elaborar uma teoria da dinâmica. Como ninguém
tinha descoberto ainda esta ferramenta, chamada de cálculo diferencial e integral, Newton
exerceu seu papel de matemático e criou o cálculo. Depois de entender como fazer as
operações matemáticas, Newton criou as leis da mecânica clássica que levam seu nome.
Mas que formato especial é este que ele deu a Física que pode ser percebido até hoje?
          Com o uso do cálculo diferencial, Newton foi capaz de escrever equações cujas
soluções indicavam sobre como um dado sistema se comportará no futuro. Esta capacidade
de previsão que ele agregou à mecânica sob a forma do cálculo diferencial atingiu diversas
áreas da Física e surgiu um sentimento estético nos cientistas de que tudo na natureza
poderia ser previsto como na mecânica. O Universo seria bastante elegante se fosse desta
maneira. Esta ideia de que a natureza funciona como um relógio e de que, no futuro,
poderíamos prever todos os fenômenos do universo ficou conhecida como determinismo
clássico. Esta é a ideia básica da mecânica newtoniana e da física em geral que tratamos
anteriormente: a natureza se comporta de maneira regular, repetindo padrões que podem
ser previstos com alguma precisão caso saibamos as leis que governam os fenômenos. O
problema é que ainda não explicamos o que é uma lei.
         Uma lei da física é uma regra que a natureza parece obedecer. Note que tomei o
cuidado de escrever “parece”, pois nunca temos certeza se uma dada regra realmente é
obedecida pela natureza. O que podemos fazer é inventar uma regra com base em resultados
experimentais e em nossa livre intuição. Depois, deduzimos resultados matemáticos a
partir destas leis e, finalmente, colocamos nossas previsões ao teste experimental. Se este
conjunto de regras, que podemos chamar de teoria, sobreviver ao teste experimental,
não podemos dizer que ela está correta, mas, pelo menos, ela não pode ser descartada.
Então, até que alguém invente um experimento capaz de provar que a teoria está errada,
então ela pode durar mais alguns anos. Conforme a tecnologia permita experimentos mais
precisos, antigas teorias precisam ser reformuladas. Isto não significa que elas estejam

                                                                                                            41
Conceitos de Física

                      completamente erradas. Apenas que precisam ser lapidadas para explicar uma nova classe
                      de fenômenos que os teóricos nem imaginavam na época em que criaram. Isto faz com
                      que a ciência esteja evoluindo continuamente. Todo este processo é chamado de método
                      científico.
                              Apesar de o teste experimental ser o principal guia da ciência, ele não é o único.
                      Imagine duas teorias que façam as mesmas previsões experimentais:

                           1	 Os corpos próximos à superfície da Terra caem com aceleração constante.
                           2.	 Os corpos próximos à superfície da Terra caem com aceleração constante devido ao
                               poder do nosso pensamento.
                               Nos dois casos, pode-se calcular que a trajetória dos corpos em queda livre é um
                      ramo de parábola, se o lançamento for diagonal, ou uma linha reta, se o lançamento for
                      vertical. Note que a segunda “teoria” faz uma afirmação muito forte sobre a origem da
                      queda dos corpos que não pode ser testada experimentalmente. Como não podemos testar
                      esta afirmação final, podemos descartá-la e ficar com a primeira teoria, pois ela é a teoria
                      mais simples que explica a queda livre. Chamamos este princípio norteador da ciência de
                      Navalha de Ockham, em homenagem ao seu criador, o filósofo William Ockham (1285-
                      1349).
                             Já vimos o conceito de Lei da Física e o método científico, vamos explorar o
                      determinismo clássico através das Leis de Newton:

                              Primeira Lei

                              Também conhecida como Lei da Inércia, a primeira lei de Newton pode ser
                      traduzida da seguinte forma:
                              “Todo corpo persiste com velocidade constante, a menos que um agente externo
                      tente mudar seu estado de movimento”
                               Vamos interpretar esta Lei. Inicialmente, para o caso em que a velocidade do corpo
                      é zero, é fácil entender que ele está parado e continuará parado a menos que algum agente
                      (uma pessoa, um carro, etc.) tente empurrá-lo. Se nenhum agente tentar mudar o fato dele
                      estar parado, então ele continuará parado. Esta situação é bem fácil de entender.
                               A situação mais complicada surge quando o corpo já possui uma velocidade
                      constante diferente de zero, em movimento uniforme. A Lei diz que um corpo em
                      movimento uniforme continua com velocidade constante até que algum agente externo
                      tente alterar seu estado de movimento. Ou seja, se você dá um empurrão em uma caixa de
                      sapatos que está no chão, ela deveria assumir uma velocidade constante e continuar com
                      esta velocidade até bater em um objeto. E se você der um empurrão em caixa de sapatos
                      em um campo aberto bem grande, ela percorreria todo o campo com velocidade constante?
                              Na prática, a caixa de sapato não caminha com velocidade constante, pois o próprio
                      chão e o ar fazem o papel de agentes externos que estão “atrapalhando” o movimento da
                      caixa que, de acordo com a Primeira Lei, deveria ser um movimento uniforme. Então, você
                      poderia fazer uma experiência ainda mais ousada. Se você sair do planeta Terra e for para
                      um lugar do espaço bem distante, bem longe de estrelas e outros planetas. Nessa região do
                      espaço, praticamente não existe gravidade, não existe ar ou chão, apenas o vazio (vácuo).
                      Se você chutar uma caixa de sapatos, ela iniciará um movimento com velocidade constante
                      e continuará assim por muito tempo. Se não encontrar um obstáculo (e não for atraída por
                      nenhuma força), ela continuará para sempre o movimento, de acordo com a primeira Lei.
                            Precisamos realmente fazer esta experiência no espaço para verificar a Lei de
                      Newton? Na verdade, podemos simular situações em que a contribuição dos agentes

42
Conceitos de Física

externos é tão pequena que um experimento pode ilustrar a primeira Lei. Se você tiver uma
superfície bem polida, como o gelo de uma pista de patinação, chutar um disco, o atrito
entre o disco e o gelo é tão pequeno que o disco caminha alguns metros com velocidade
aproximadamente constante, de acordo com a primeira Lei de Newton.
        Você deve lembrar o que aconteceu nas Fig. 2.1-2.3., em que uma pedra foi solta
de um navio que estava acelerando. Vamos interpretar o resultado do experimento com
a primeira Lei. Como a pedra estava caminhando junto com o navio, ela tinha uma dada
velocidade para a direita igual à do navio. Quando a pedra foi solta, ela continuou com
a velocidade para a direita de acordo com a primeira Lei de Newton, que é a mesma
velocidade do navio. Contudo, surgiu uma aceleração para baixo devido à gravidade. Mesmo
assim, quando o navio caminhava dez metros para a direita, por exemplo, a pedra também
caminhava 10 metros para a direita, mesmo enquanto ela está caindo. Isto causa a sensação
de que a pedra está caindo em linha reta para quem está observando de dentro do navio.
É que o corpo possui um estado do movimento para cada eixo coordenado. Neste caso, a
pedra está em movimento uniforme no eixo horizontal e em queda livre no eixo vertical.
Mesmo assim, a primeira Lei pode ser aplicada.
         Já no experimento do navio acelerado, quando a pedra foi solta do mastro do navio,
ela possui uma velocidade inicial que é idêntica à do navio no momento em que foi solta. No
entanto, como o navio está acelerando, a velocidade do navio vai aumentando e superando
a velocidade da pedra. Isto faz com que o navio fique cada vez mais rápido que a pedra. A
sensação é de que a pedra está ficando para trás para a tripulação do navio.
        O exemplo do ônibus, ilustrado na Fig. 2.4, mostra mais um caso que pode ser
interpretado pela primeira Lei. Os passageiros estavam no ônibus com uma velocidade
constante, igual à velocidade do ônibus. De repente, o ônibus freia bruscamente, com uma
aceleração negativa que diminui sua velocidade. O problema é que este agente externo
atuou no ônibus e não alterou o estado de movimento das pessoas, que tendem a continuar
com velocidade constante, de acordo com a primeira Lei. Como o ônibus está ficando cada
vez mais lento e as pessoas continuam com a mesma velocidade alta, elas parecem ser
projetadas para frente do ônibus, pois estão mais rápidas que ele. Por isso, elas precisam
segurar em alguma coisa ou atingir algum obstáculo para reduzir sua velocidade e igualar à
velocidade do ônibus novamente. Por esses motivos, alguns autores afirmar que a primeira
Lei é uma definição de referenciais inerciais, necessária para as próximas leis.

        Segunda Lei

         A Segunda Lei de Newton nos dá uma receita para descobrir como um corpo
acelera. A causa deste movimento é chamada de força. O enunciado original da segunda Lei
será traduzido de uma forma a utilizar os conceitos que já conhecemos:
       “A aceleração de um corpo é proporcional à intensidade de uma força e acontece na
mesma linha de ação desta força”.
        Vamos interpretar esta Lei. Vimos que a primeira Lei de Newton indica que o estado
normal de movimento dos corpos, na ausência de agentes externos, é o de movimento
uniforme. Ou seja, caso nada ou ninguém tente alterar o movimento de um corpo, ele
continuará com sua velocidade constante. A segunda Lei diz o que acontece nos casos
em que um agente externo atua sobre o corpo. Neste caso, a velocidade do corpo sofrerá
modificações devido a uma aceleração. A causa desta aceleração, de acordo com a Lei, é
uma influência de um agente externo que é chamada de força. Além disso, a aceleração que
o corpo sofre acontece na mesma direção que esta força está atuando. Por exemplo, se uma
força empurra o corpo para a direita, o corpo sofre uma aceleração para a direita.
        Na prática, é fácil identificar uma força. Toda vez que alguém empurra ou puxa uma
                                                                                                            43
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  • 1. UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO (UFRPE) UNIDADE ACADÊMICA DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA E TECNOLOGIA (EADTec/UFRPE) Conceitos de Física Domingos Sávio Pereira Salazar Volume Único Recife, 2012
  • 2. Universidade Federal Rural de Pernambuco Reitor: Prof. Valmar Corrêa de Andrade Vice-Reitor: Prof. Reginaldo Barros Pró-Reitor de Administração: Prof. Francisco Fernando Ramos Carvalho Pró-Reitor de Extensão: Prof. Paulo Donizeti Siepierski Pró-Reitor de Pesquisa e Pós-Graduação: Prof. Fernando José Freire Pró-Reitor de Planejamento: Prof. Rinaldo Luiz Caraciolo Ferreira Pró-Reitora de Ensino de Graduação: Profª. Maria José de Sena Coordenação Geral de Ensino a Distância: Profª Marizete Silva Santos Produção Gráfica e Editorial Capa e Editoração: Rafael Lira, Italo Amorim e Everton Felix Revisão Ortográfica: Elias Vieira Ilustrações: Igor Leite e Mário França Coordenação de Produção: Marizete Silva Santos
  • 3. Sumário Apresentação.................................................................................................................. 4 Conhecendo o Volume.................................................................................................... 5 Capítulo 1 – Mecânica Clássica: Cinemática..................................................................... 7 1.1 Grandezas Físicas e Unidades de Medida.................................................................10 1.2 Ordem de Grandeza..................................................................................................12 1.3 Análise Dimensional.................................................................................................14 1.4 Cinemática: Movimento Unidimensional.................................................................17 1.4.1 Movimento Uniforme......................................................................................22 1.4.2 Movimento Uniformemente Variado (MUV)...................................................26 Capítulo 2 – Mecânica Clássica: Dinâmica..................................................................... 36 2.1 Princípio da Relatividade de Galileu.........................................................................36 2.2 As Leis de Newton....................................................................................................41 Capítulo 3 – Trabalho e Energia Mecânica..................................................................... 69 3.1 Energia Cinética........................................................................................................69 3.2 Teorema do Trabalho – Energia Cinética..................................................................73 3.3 Tópico Avançado: Produto Escalar............................................................................78 3.4 Energia Potencial......................................................................................................79 3.5 Sistemas Conservativos............................................................................................81 3.6 Potência Média.........................................................................................................83 Conheça o Autor........................................................................................................... 89
  • 4. Apresentação Caro(a) cursista, Seja bem-vindo(a) à disciplina de Conceitos de Física. Nesta disciplina, vamos estudar conceitos de Mecânica Clássica, começando pelo estudo das grandezas físicas. Em seguida, vamos entender como podemos descrever um movimento a partir de uma função posição. O primeiro capítulo também trata de velocidade e aceleração, completando o assunto de cinemática. Depois, passaremos ao estudo da Dinâmica, marcado pelo conceito de Força, onde resolveremos aplicações simples destes princípios. O segundo capítulo trata das consequências da aplicação da Mecânica Clássica ao problema da Gravitação. Vamos estudar o satélite natural da Terra, o sol, nosso sistema solar, a órbita da Terra e curiosidades sobre o Universo. Bons estudos! Domingos Sávio Pereira Salazar Professor Autor 4
  • 5. Conhecendo o Volume Conceitos de Física – Mecânica Clássica Carga Horária do Volume: 60h/aula. Objetivo da disciplina: Introduzir conceitos de grandeza física, ordem de grandeza, cinemática, dinâmica qualitativamente para uma formação suficiente dos docentes nos conteúdos de Física na Licenciatura Interdisciplinar em Ciências Naturais. Conteúdo Programático » Grandezas Físicas: A matemática da Natureza; » Cinemática: Movimento Uniforme e Movimento Uniformemente Variado; » Dinâmica: Causas do Movimento; » Leis de Newton; » Trabalho e Energia; » Leis de Conservação. 5
  • 6. Conceitos de Física Capítulo 1 O que vamos estudar neste capítulo? Neste capítulo, vamos estudar os seguintes temas: » Grandezas Físicas: A matemática da Natureza » Cinemática: O estudo do movimento unidimensional (Movimento Uniforme e Uniformemente Variado) Metas Após o estudo deste capítulo, esperamos que você consiga: » Compreender o papel da Física, sobretudo da Mecânica como estudo do movimento. » Resolver problemas simples que utilizem a matemática para problemas de cinemática. 6
  • 7. Conceitos de Física Capítulo 1 – Mecânica Clássica: Cinemática Vamos conversar sobre o assunto? Você já deve ter percebido que as frutas caem das árvores da mesma maneira. Desde quando você era criança até hoje, você nunca deve ter visto uma fruta que caísse da árvore e fizesse algumas piruetas no ar antes de atingir o chão. Nós estamos tão acostumados com a regularidade da natureza, isto é, com o fato dos fenômenos naturais se repetirem da mesma maneira, que não paramos para refletir como isto é fantástico. Estou fazendo um convite bem modesto, gostaria apenas que você sentasse um pouco para refletir comigo sobre este assunto. Você tem anos de experiência neste tema, afinal, desde criança você brinca com a natureza. Inicialmente, vamos utilizar o termo natureza para representar tudo que você pode ver ou tocar. Por exemplo, a escola, as árvores, as ruas, os carros, as pessoas, o sol, a lua e a Terra fazem parte da natureza. Para começarmos nossa conversa, tente lembrar momentos em que um colega arremessou uma bola em sua direção. Algumas vezes você conseguiu desviar, outras vezes você agarrou a bola no ar, mas, se você não é um vidente, como conseguiu fazer isso? Bem, antes de responder a essa pergunta, vou inventar um personagem. Sempre que possível, faremos perguntas a ele. O nome dele é Luka, uma criança esperta e bem aventureira. Ele vai nos ajudar a resolver este mistério. E já começa respondendo a nossa pergunta sobre o arremesso da bola: 7
  • 8. Conceitos de Física É verdade. Não precisamos ser um vidente para adivinhar onde a bola vai cair. Mas precisamos treinar um pouco antes de acertar, certo? Pronto. Vamos utilizar estas duas respostas para aprender duas lições básicas sobre a natureza. Primeiramente, assim como as frutas caem das árvores de maneira muito parecida e as crianças agarram uma bola que viaja pelo ar, existem muitos fenômenos da natureza que acontecem de maneira regular, ou seja, acontecem sempre da mesma maneira. Esta invariância ou regularidade dos fenômenos naturais faz com que as pessoas consigam prever aproximadamente o que acontecerá em certas situações que elas já viram antes. Assim, diante de um fenômeno que você já evidenciou algumas vezes, você conseguiria dar um bom palpite do resultado caso o fenômeno aconteça de novo. Cientes disso, os cientistas começaram a surgir como pessoas que conseguiam explicar certos fenômenos com maior precisão, simplesmente porque eles aconteciam sempre da mesma maneira. Por exemplo, se quando soltamos um corpo ele sempre cai até o chão e este fenômeno sempre se repete quando soltamos um corpo, seria interessante registrar este fato para que pessoas possam usá-lo sempre que precisarem. Claro que este exemplo é muito simples, mas ilustra o funcionamento da ciência, sobretudo da Física. Podemos dizer que: A Física é a ciência que estuda a natureza e tudo que nela existe, através de teorias, ou modelos, que fazem previsões dos fenômenos. Imagine como seria confuso se a natureza não apresentasse esta regularidade que comentamos acima. Por exemplo, suponha que você solte uma maçã da sua mão e ela suba até o teto da sala sem ninguém jogá-la para cima, mas suponha que este fenômeno só acontecesse às vezes. Você nunca saberia o que esperar de uma maçã que cai, já que seu comportamento não seria algo regular. Seu comportamento não obedeceria a nenhum padrão. Se as nossas atividades diárias não tivessem esta regularidade, a Física não poderia surgir da maneira que conhecemos hoje. Não teríamos capacidade de previsão e Luka não conseguiria agarrar nenhuma bola. Vamos resumir nossa conversa até aqui em uma lição: A criação da Física (como conhecemos hoje) deve ter sido possível graças à 8
  • 9. Conceitos de Física regularidade dos fenômenos naturais. Podemos aprender mais uma lição. Esta lição diz respeito ao fato do irmão de Luka ser ruim de bola. Se Luka consegue adivinhar onde a bola vai cair com alguma precisão, foi porque já viu esta mesma bola ser lançada por seus colegas várias vezes. Como o comportamento da natureza é quase sempre o mesmo para uma mesma situação, isto faz com que Luka consiga prever sem surpresa o que vai acontecer. O mesmo não seria possível quando Luka chama seu irmão mais novo para brincar, pois o pequeno ainda não está acostumado. Este último não treinou o suficiente para agarrar a bola. A natureza só pode ser compreendida através de experimentos, ou seja, precisamos fazer uma experiência para saber como a natureza se comporta e elaborar nossas teorias. De posse apenas do livre pensamento, podemos tentar imaginar como um fenômeno acontece, mas só a partir da experiência que podemos comprovar como ele realmente ocorre na prática. Esta é a segunda lição sobre as ciências da natureza: A Física é uma ciência experimental. Isto significa que os cientistas precisam fazer experiências práticas ou observacionais para entender como a natureza funciona. Essas duas lições são ideias bem simples, mas norteiam todos os fundamentos das ciências naturais. Você deve estar pensando: se a Física estuda todos os fenômenos da natureza, por que existem outras ciências, como química e biologia? Na verdade, a Física realmente se propõe a estudar todos os fenômenos da natureza, mas historicamente houve uma divisão dos fenômenos em classes distintas. A Física ficou responsável pelos fenômenos mais gerais da natureza, do ponto de vista microscópico e macroscópico. Por exemplo, a Física estuda o movimento dos corpos, a luz, a eletricidade, o magnetismo, o movimento dos fluidos, a temperatura e o calor, as ondas, movimento dos planetas dentre outros assuntos. As reações químicas e os organismos vivos, para citar um exemplo, ficaram sob a responsabilidade da química e da biologia, respectivamente, apesar de serem processos e entidades da natureza. Por isso, a Física serve como base para muitos destes estudos e são comuns os químicos e biólogos que recorrem ao estudo da Física para interpretar algumas situações que acontecem em suas pesquisas. Essa aparente confusão entre a divisão arbitrária dos assuntos das ciências naturais é uma ilusão. A divisão só existe nas nossas cabeças, pois fomos treinados a rotular os conhecimentos em grupos distintos. A realidade natural é apenas uma. Por outro lado, a divisão nos serve nos estudos iniciais, para que não misturemos nossas ideias e possamos estudar um pouco de tudo, mas, no campo da pesquisa, o que existe é uma grande interdisciplinaridade. Um físico pode fazer um trabalho de matemática, ou criar um modelo de biologia ou explicar um complicado processo químico. Neste curso, vamos abandonar um pouco a velha ideia de que a Física é apenas aquele conjunto limitado de assuntos e vamos passar a ter uma compreensão mais moderna das ciências naturais como campo interdisciplinar. É verdade que, para atingir este nível, precisamos conversar um pouco mais sobre fenômenos naturais bem simples que existem no nosso cotidiano. O primeiro desses assuntos será chamado de Mecânica Clássica. O nome ficará claro mais adiante, mas podemos adiantar que nós estudaremos inicialmente o movimento, que é, para algumas pessoas, o que existe de mais fundamental neste mundo complicado em que vivemos. Além de compreender mais sobre o movimento, este capítulo será o palco do nosso primeiro contato com a Física. Você vai perceber que a maneira como abordamos os estudos e nosso jeito de pensar e resolver problemas se repetirão ao longo das demais disciplinas do curso. Também tenho como objetivo criar um ambiente para que você experimente um pouco a sensação de pensar como um cientista. Nossa primeira etapa neste processo será uma rápida parada na conceituação de Grandezas Físicas. 9
  • 10. Conceitos de Física 1.1 Grandezas Físicas e Unidades de Medida Até aqui, você entendeu que a Física é a ciência que estuda a natureza e que ela surgiu a partir da observação que os fenômenos naturais são regulares. Além disso, você viu que ela precisa de experimentos para comprovar suas teorias. No entanto, qual a relação entre esses conceitos simples que introduzimos acima e as previsões das teorias da física? Bem, existe uma relação direta. Vamos descobrir esta relação a partir de um exemplo prático. Vamos verificar o que aconteceu hoje na casa de Luka. Sua mãe pediu que ele comprasse frutas. Luka saiu de casa feliz da vida, mas chegou à feira e ficou na dúvida: Luka está certo, sua mãe se esqueceu de especificar os tipos de frutas que ela queria e a quantidade de cada uma delas. Ele está vivendo um dilema parecido com o nosso, pois precisamos explicar e prever fenômenos regulares da natureza, mas ainda não dispomos, assim como ele, de informações suficientes para isso. Existe uma maneira bem conhecida para lidar com o problema que Luka enfrentou na feira. Esta maneira é composta de duas partes, a primeira delas é especificar quais os tipos de frutas que sua mãe gostaria que ele comprasse. A segunda parte é especificar a quantidade de cada fruta ele deve comprar. Por exemplo, a situação seria mais agradável se a mãe pedisse duas maçãs e três laranjas. 10
  • 11. Conceitos de Física Vamos tentar acompanhar como toda essa conversa se encaixa no vocabulário da Física. Se o conteúdo da sacola de frutas de Luka fosse um objeto que estudamos em Física, diríamos que ela é descrita por duas Grandezas. Uma das grandezas poderia ser chamada de maçãs e, neste caso, teria o valor de “maçãs = 2”. A outra grandeza poderia ser chamada de laranjas e teria o valor de “laranjas = 3”. Estas duas informações seriam suficientes para descrever a situação. Em Física, uma grandeza é uma propriedade geralmente associada a um objeto que serve para descrevê-lo. Geralmente esta grandeza está associada a um valor numérico (ou categórico, mas deixemos esta observação para outra oportunidade), que depende do objeto que estamos estudando. Assim como maçãs e laranjas são as grandezas que descreveram a sacola de frutas de Luka, os valores associados a estas duas grandezas não são iguais para todas as sacolas. É claro que sacolas diferentes possuem diferentes valores de maçãs e laranjas. Mas, se uma sacola possuir os mesmos valores destas duas grandezas, pode-se afirmar que esta sacola deve ter um conteúdo parecido com a de Luka. Você deve ter percebido como a matemática entrou de forma sutil na descrição da natureza. Os números surgiram pela necessidade dos homens de contar. Caso eles não conseguissem expressar quantidades (e operar matematicamente estas quantidades) tudo seria uma grande confusão. Atribuindo valores numéricos às grandezas do problema, nós podemos entender o que está acontecendo e, finalmente, chegar a teorias mais precisas. Mas como escolhemos quais grandezas são importantes para explicar uma situação? Bem, em geral esta tarefa é bem intuitiva. Por exemplo, no caso da sacola de frutas, você sabia que o problema de Luka estava justamente em saber o tipo e quantidade de cada fruta que sua mãe gostaria. Por isso, selecionamos grandezas (maçãs e laranjas) capazes de fornecer exatamente a informação necessária. Por exemplo, quando ganhamos ou perdemos “peso”, ficamos de olho na balança da farmácia, pois sabemos que a informação que aparece naquela balança é a grandeza que precisamos medir para entender a situação do nosso “peso” (na verdade, o nome mais formal desta grandeza é massa, que será estudada ainda neste volume). Assim, quando estudarmos uma pequena bola que se move, nós precisaremos apenas de algumas grandezas para descrever o problema como massa, 11
  • 12. Conceitos de Física posição, velocidade, etc. O que acontece na prática é que, quando nos pesamos na balança, obtemos um valor em quilogramas (kg). Quando medimos nossa altura com uma fita métrica, obtemos um valor em metros (m) ou centímetros (cm). Cada uma dessas grandezas é medida em unidades diferentes. Diferentemente da sacola de frutas, em que bastava atribuir um número inteiro para cada grandeza, geralmente precisamos especificar quais as unidades de medida das grandezas do nosso cotidiano. Para evitar uma mistura de unidades de medida, os cientistas resolveram especificar qual a unidade padrão de medida para cada grandeza fundamental em física. Estas grandezas fundamentais e suas respectivas unidades de medida formam o chamado Sistema Internacional de Unidades, ou apenas SI. Nesse sistema, por exemplo, posição de um carro é medida em metros (m), já a massa de um saco de arroz é medida em gramas (g), enquanto a duração de uma aula é medida em segundos (s). Existem outras grandezas no sistema, como você pode ver na Tabela 1.1. Neste volume de Mecânica Clássica, nós precisaremos apenas de três grandezas fundamentais (comprimento, massa e tempo). Você entenderá o significado das demais grandezas em outros cursos de física básica. Grandeza Unidade Símbolo Coomprimento metro m Massa quilograma kg Tempo segundo s Corrente elétrica ámpere A Temperatura Termodinâmica Kelvin K Quantidade de Matéria mol mol Intensidade Luminosa candale cd Tabela 1.1. Grandezas fundamentais e unidades de medida do Sistema Internacional. Agora que sabemos o que são grandezas e unidades de medida, podemos estudar uma ferramenta interessante que nos permite manipular os valores numéricos encontrados nessas medidas, chamada Ordem de Grandeza. 1.2 Ordem de Grandeza Luka consegue dizer quantos anos ele tem facilmente. É um número bem pequeno. Certa vez, sua professora falou que os cientistas estimam que nosso Universo tenha 14 bilhões de anos de idade. Então ele pediu para a professora escrever este número no quadro. Ela logo atendeu ao pedido: 14.000.000.000. Luka ficou revoltado com este número. 12
  • 13. Conceitos de Física Então ele argumentou com a professora que é uma grande perda de tempo escrever tantos zeros atrás de um número. Ele disse que era melhor alguém inventar um símbolo que represente logo todo esse número enorme. E ele realmente tem razão. Em Física, existem inúmeras medidas que resultam em números muito grandes, ou muito pequenos, que sua simples representação daria muito trabalho. Vamos dar alguns exemplos: – A velocidade da luz é de 300.000.000 metros por segundo. – A massa da Terra é de aproximadamente 6.000.000.000.000.000.000.000.000 kg. – A massa de um grão de areia é de aproximadamente 0,00000000035 kg. Note como é complicado escrever esses números. Qualquer erro na quantidade de zeros ou casas decimais pode acarretar em um erro bem grande. Por isso, os cientistas resolveram escrever os números muito grandes ou muito pequenos de uma maneira especial, utilizando apenas a álgebra que aprendemos na escola. Funciona da seguinte maneira: toda vez que temos um número muito grande, nós contamos quantos zeros existem no final do número e reescrevemos estes zeros como uma potência de dez. Por exemplo, 10 = 101 100 = 10 x 10 = 102 1000 = 10 x 10 x 10 = 103 ... O mesmo raciocínio vale para números muito pequenos. Basta que nos lembremos de como operar casas decimais. Luka ainda não aprendeu este assunto na escola, mas vamos refrescar nossa memória: 13
  • 14. Conceitos de Física ... Veja como aqueles números monstruosos ficam bem agradáveis com esta nova representação: – A velocidade da luz no vácuo é de 3 x 108 metros por segundo. – A massa do planeta Terra é de 6 x 1024 kg. – A massa de um grão de areia é de 0,35 x 10-9 = 3,5 x 10-10 x 10-9 kg. Chamamos a potência de dez que aparece no final desta nova representação de ordem de grandeza do número. Além de representar o número de uma maneira mais rápida, ela serve para podermos operar matematicamente os números de uma maneira simples, além de permitir comparações rápidas entre dois números distintos. Por exemplo, se Luka já conhecesse este assunto, sua professor poderia ter escrito simplesmente: 14 bilhões = 14 x 109 = 1,5 x 1010 É importante que o número que permanece na frente dos zeros seja mantido entre 1 e 10. Por exemplo, nós poderíamos ter deixado o número acima como potência de 10 elevado a 9, mas fizemos um esforço adicional para escrevê-lo como potência de 10 elevado a 10 para que o primeiro fator esteja entre 1 e 10 (neste caso, 1.4). Esta passagem se dá apenas para que o método fique bem definido e todas as pessoas concordem quanto à ordem de grandeza de suas medidas. Além disso, o primeiro fator desta multiplicação, o 1.4, tem um nome especial. Chamamos estes números de algarismos significativos. Neste exemplo, a idade do Universo representada pela professora possui dois algarismos significativos, 1 e 4. 1.3 Análise Dimensional Algumas vezes, nós encontramos e passamos informações confusas do ponto de vista científico. Um exemplo de informação confusa aconteceu quando Luka disse: 14
  • 15. Conceitos de Física A professora logo fez a correção, dizendo que uma maneira certa de representar uma velocidade é dizer: 40 quilômetros por hora. Esta correção que a professora fez equivale ao que chamamos de Análise Dimensional em Física. É um procedimento muito simples que nos protege de eventuais erros científicos, assim como as regras gramaticais nos protegem de erros de português. Neste exemplo, quilômetros por hora não é uma unidade fundamental do sistema internacional, mas sabemos que velocidade é calculada como comprimento dividido por tempo e, por isso, deve ter dimensão de comprimento dividido por tempo, ou seja, km/h. Neste momento, você poderia argumentar que quilômetros e horas não são as unidades das grandezas fundamentais comprimento e tempo, segundo o Sistema Internacional de Unidades. Se olharmos a tabela 1.1, comprimento deveria ser representado em metros e tempo em segundos. Contudo, o Sistema Internacional serve para que as comunicações científicas fiquem padronizadas, mas não impede que as pessoas utilizem unidades de medida mais apropriadas para os fenômenos que estão vivenciando. Por exemplo, a velocidade de um carro, quando expressa em km/h, apresenta números que já estamos acostumados e temos uma melhor intuição do que representam. Caso as velocidades fossem escritas em metros por segundo, o que pode acontecer em algumas situações, podemos não ter uma intuição do que representam. Sabemos que uma velocidade de 108 km/h é muito alta para um carro, mas será que 30 m/s é também uma 15
  • 16. Conceitos de Física velocidade elevada? Na verdade, elas são iguais. Vamos aprender a fazer a conversão entre unidades ainda neste volume. Diante de grandezas mais sofisticadas podemos cometer erros ou não saber exatamente qual unidade de medida em que devemos representá-las. É possível que estejamos cometendo erros como o de Luka diariamente. A análise dimensional nos ajuda a resolver este problema. No caso de Luka, você sabe a resposta, pois já aprendeu que velocidade é dada por comprimento (ou distância) dividida pelo tempo. Logo, a unidade de medida deveria ser a unidade de comprimento (metros ou quilômetros), dividida pela unidade de tempo (segundos ou horas). Para entender melhor como funciona este processo, vamos estudar uma situação mais complicada. Enquanto estudava fontes de energia na escola, Luka ficou curioso sobre como funciona a eletricidade que chega a sua casa. Seu pai tinha falado que nós gastamos energia elétrica sempre que ligamos alguma luz, usamos algum equipamento elétrico ou eletrônico. Então Luka ficou curioso para descobrir como as pessoas sabem o quanto estamos gastando: Luka sabia que quilogramas eram usados para medir massa e achou que também poderia ser usado para medir energia. Na verdade, a unidade de energia não pode ser encontrada na tabela 1.1. E agora? Bem, lembramos que velocidade é dada pelo comprimento dividido pelo tempo. Como representar energia? Neste volume, ainda não estudaremos energia elétrica, mas vamos adiantar um exemplo que será visto ainda neste módulo. Veremos que existe um tipo de energia mecânica que pode ser calculada como uma combinação de grandezas fundamentais (massa, comprimento e tempo) pela fórmula: Onde m é massa de um corpo e v sua velocidade. A análise dimensional consiste em utilizar a unidade de medida de cada uma das grandezas da fórmula acima: 16
  • 17. Conceitos de Física Ou kg m²/s², ou seja, quilograma metro ao quadrado por segundo ao quadrado, já que massa é dada em kg e velocidade em m/s. Este é um exemplo de Análise Dimensional, pois a partir de uma dada fórmula, pudemos descobrir quais as unidades de medida da grandeza em questão. Para facilitar ainda mais a comunicação, os cientistas denominam certas unidades com nomes especiais. No caso da energia, visto acima, a unidade é o Joule (J), em homenagem ao renomado Físico britânico James Prescott Joule, do séc. XIX. 1(kg) (m/s)2 = 1 J No caso de Luka, o correto seria dizer que gastou “Joules” de energia, pois esta uma unidade de medida para a grandeza energia. Quando chegar o momento certo, vamos estudar outras unidades de medida para a energia que são mais interessantes do ponto de vista prático. 1.4 Cinemática: Movimento Unidimensional Nesta seção, entraremos no estudo de um dos assuntos mais antigos da Física: o movimento. Para simplificar nosso estudo, trataremos inicialmente do problema unidimensional. Isto significa que nosso corpo, ou partícula, pode ser considerado um ponto que se move em uma reta. A cada instante de tempo, o corpo ocupa uma posição diferente, que será representada por um número real. Vamos entender como podemos representar um movimento unidimensional de diferentes maneiras. Antes disso, precisamos de algumas definições. Vamos começar pelos conjuntos numéricos. Você já deve ter se acostumado com os diferentes tipos de números que existem na matemática. Estes números são divididos nos chamados conjuntos numéricos e eles foram surgindo conforme nossa necessidade de representar situações da natureza. Por exemplo, há centenas de anos, um pastor de ovelhas precisava guardar uma pequena pedra dentro de uma bolsa para cada ovelha que ele possuía. Assim, toda vez que ele precisava contar as ovelhas, bastava ele tirar as pedras da bolsa e verificar se combinavam com a quantidade de ovelhas. Ele não sabia como representar números, mas aprendeu a contar utilizando uma representação com as pedras. Diante da necessidade de contar de maneira mais prática, criou-se o conjunto dos números naturais, que servem para contar unidades: Com o desenvolvimento do comércio, alguns comerciantes perceberam que podiam representar seu dinheiro com números naturais. Contudo, surgiram situações em que eles precisavam representar matematicamente algo desagradável: quando estavam devendo dinheiro. Por isso, acredita-se que foram criados os números inteiros, como a união entre os números naturais e os seus simétricos. Posteriormente, a partir da operação da divisão, percebeu-se que um novo conjunto poderia ser criado a partir da razão entre dois números inteiros, com o denominador diferente de zero. Estes números foram chamados de números racionais. Uma maneira formal de representar os números racionais é a seguinte: Uma leitura direta da sentença acima pode ser feita da seguinte forma: Os números racionais são formados por todas as divisões possíveis dos números inteiros p e q, com q 17
  • 18. Conceitos de Física diferente de zero. Uma característica interessante dos números racionais é que, quando escritos na forma decimal, eles possuem dízima finita ou periódica. Isto significa que sua parte decimal é finita ou se repete infinitamente. Por exemplo, são números racionais: Em ambos os casos, a dízima (parte decimal) é possui fim ou é infinita e se repete. Será que este conjunto dos números racionais corresponde a todos os números que nós conhecemos? Ou ainda existem números que não estão nele? Vamos ver o que aconteceu na aula de matemática de Luka. Quando sua professora disse que a área de um quadrado pode ser calculada apenas multiplicando o lado do quadrado por ele mesmo, todos os colegas de Luka passaram a resolver os exercícios, mas Luka ficou pensativo. A professora perguntou qual era o problema. Luka disse o seguinte: A professora disse que estava correto o raciocínio de Luka e perguntou por que ele ainda estava tão pensativo se tinha entendido o assunto. Então ele disse: 18
  • 19. Conceitos de Física Então, a professora explicou que, neste caso, o lado do quadrado não é um número muito conhecido assim. Este número, cujo quadrado é dois, é a chamada raiz quadrada de dois e pode ser representada assim. Luka ficou satisfeito em saber que o número que ele não conseguia adivinhar, o lado do quadrado cuja área é dois, não era algo que ele conhecia. Luka teve seu primeiro contato com os números irracionais (I). Este conjunto numérico é curioso, pois é formado apenas por números cuja dízima é infinita e não periódica. Isto significa que a parte decimal do número é formada por uma sequência infinita de algarismos que não possuem um padrão de repetição (ou período). Por exemplo, o número que Luka esta procurando era este: No número acima, representamos apenas o início de sua dízima, que não tem fim e não se repete. Diversos outros números também possuem esta característica e, portanto, são classificados como irracionais. Quando unimos todos os números racionais aos irracionais, obtemos um conjunto numérico chamado de números reais ( ). Estes números correspondem a todos os números que você conhece, exceto por um tipo de número bem estranho chamado número imaginário, cujo estudo está além dos nossos objetivos. Entenderemos agora a importância dos números reais em Física, a partir da definição de uma reta real. Para estudarmos o movimento, precisamos partir do exemplo mais simples possível, como o movimento de uma pequena bolinha em uma reta. Esta bolinha que estamos tomando no exemplo é tão pequena que pode ser aproximada por um ponto que chamaremos de ponto material. Em geometria, um ponto é adimensional, o significa dizer que ele não tem tamanho. De posse do nosso ponto material, precisamos descrever suas diferentes posições. Uma maneira bem simples de descrever as posições de um ponto em uma reta é através do uso dos números reais. Primeiramente, selecionaremos um ponto fixo para chamar de origem do nosso eixo. Este ponto será representado pelo número real zero (0). Como os números reais são 19
  • 20. Conceitos de Física ordenados, cada ponto desta reta será representado por um número real. Fig 1.1. Reta real e origem. Em seguida, vamos definir um sentido para esta reta real. O sentido positivo será o sentido do movimento que vai da esquerda para a direita nesta reta real. O sentido negativo, naturalmente, será o sentido do movimento que vai da direita para a esquerda desta reta. Vamos representar o sentido positivo com uma flecha, como na Fig. 1.2. Vamos chamar este eixo de eixo x. Precisamos também definir uma unidade de medida para a grandeza comprimento, que é o metro no caso do Sistema Internacional de Unidades. Fig 1.2. Eixo Real “x” Com esta estrutura que acabamos de criar, podemos representar um ponto material se movendo em uma dimensão. Mover-se significa mudar de posição conforme o tempo muda e, neste caso, podemos registrar uma diferente posição do ponto para cada instante de tempo. Vamos ver como funciona as diversas descrições do movimento na prática. Luka será nosso ajudante nesta experiência. Para isso, vamos utilizar um cronômetro para medir diferentes instantes de tempo bem próximos: 0, 1, 2 e 3 segundos. Em cada um dos instantes de tempo, o desafio de Luka é medir a posição (um número real) da nossa bolinha no eixo real. Vamos ao resultado do experimento: – No instante t = 0s, a bola está parada na origem (x = 0m). – No instante t = 1s, a bola está a um metro à direita da origem (x = 1m). – No instante t = 2s, a bola está a dois metros à direita da origem (x = 2m). – No instante t=3s, a bolsa está a um metro à esquerda da origem (x = -1m). Podemos representar este movimento com um gráfico que mostra diferentes fotografias retiradas em diferentes instantes de tempo, como na Fig. 1.3. Fig 1.3. Fotografias de diferentes instantes de tempo de um movimento unidimensional mostram a bolinha em diferentes posições no eixo x. 20
  • 21. Conceitos de Física Antes de analisar este experimento, vamos aprender a representá-lo de outras maneiras. Uma representação interessante pode ser obtida a partir de uma simples tabela que represente o instante de tempo (t) e a posição (x), como na Tabela 1.2. t(s) X(m) 0 0 1 1 2 2 3 -1 Tabela 1.2. Tabela representando a posição de um ponto material para cada instante de tempo. Outra maneira de representarmos o movimento acima é através de um gráfico de coordenadas cartesianas. Este tipo de gráfico é muito comum em ciências em geral, sobretudo em Física. Ele consiste de um dois eixos perpendiculares, um horizontal e outro vertical. O eixo horizontal, chamado eixo das abscissas, corresponde a uma das variáveis. Neste caso, o tempo. O eixo vertical, chamado eixo das ordenadas, corresponde à variável restante. Neste caso, a posição. O exemplo que estamos estudando está representado nos eixos coordenados na Fig. 1.5. A construção de um gráfico deste tipo é bem simples. Para cada instante de tempo, por exemplo, t = 0, você verifica qual o valor da posição, neste caso, x = 0. De posse destes dois dados, você pode localizar este ponto (t, x) no gráfico. Assim, representamos os diferentes pontos (t, x): (0,0), (1,1), (1,2), (3,-1). As linhas pontilhadas servem apenas como guia para uma melhor visualização da construção e não fazem parte do gráfico. Fig. 1.5. Representação do movimento através de um gráfico cartesiano. Como você deve ter percebido, representamos o movimento unidimensional de diferentes maneiras. Estas maneiras de representação são bem conhecidas e funcionam para muitas situações em Física, sempre que precisamos representar uma função. Em matemática, dizemos que representar o movimento é representar a posição em função do tempo. Representamos a posição em função do tempo por x(t). Isto significa dizer que a 21
  • 22. Conceitos de Física posição do ponto material depende apenas do instante de tempo em que a medição foi feita. Existem várias funções neste curso que serão representadas por um gráfico cartesiano. Um detalhe curioso é que nós sabemos a posição da nossa bolinha apenas nos instantes em que fizemos medição experimental. Podemos até estimar a posição do objeto em outros instantes, mas seria apenas uma estimativa teórica. Este detalhe sobre a realidade física ser apenas aquilo que verificamos através de medições ainda é um assunto importante das teorias modernas. Vamos voltar nossa atenção para o intervalo de tempo de 0 a 2 segundos do nosso experimento e exemplificar o tipo mais simples de movimento, chamado Movimento Uniforme. 1.4.1 Movimento Uniforme Vamos escolher uma visualização do experimento anterior, ou seja, da posição em função do tempo, para estudar o Movimento Uniforme. Para isso, vamos analisar apenas o intervalo de 0 a 2 segundos. Como não sabemos o que aconteceu com o movimento da bolinha entre os instantes de medição, vamos assumir que ela apenas seguiu “sua tendência de movimento”, representada por uma linha pontilhada colorida entre os pontos que foram medidos. Note que utilizamos um vocabulário informal nesta etapa, mas vamos formalizá-lo ao longo da próxima seção. Neste intervalo, o gráfico cartesiano do movimento é dado na Fig. 1.6. Fig 1.6. Linha colorida mostra o movimento que assumimos para a bolinha, de posse apenas dos pontos que foram medidos (em preto), para o intervalo de 0 a 2 segundos. Este movimento é simples e especial. Simples, pois sua representação no gráfico cartesiano é o mais simples possível: uma linha reta. Vamos entender agora por que ele é especial. Para isso, vamos definir a velocidade média entre os instantes t1 e t2 de um objeto em um intervalo de tempo como a fórmula: A grandeza x(t2) - x(t1), calculada como a diferença entre duas posições, é chamada deslocamento. Vamos calcular a velocidade média para o nosso corpo para diferentes instantes de tempo e listá-las abaixo: – Velocidade Média entre 0 e 1 s: 22
  • 23. Conceitos de Física – Velocidade Média entre 1 e 2 s: Você pode verificar através do gráfico que a velocidade média para este movimento ilustrado na Fig. 1.6. é sempre 1m/s. Isto significa que o corpo se move sempre com a mesma velocidade e este movimento é chamado de Movimento Uniforme. Quando um corpo executa este movimento, sua velocidade é sempre a mesma. Isto significa que o gráfico da posição em função do tempo é sempre dado por uma reta que pode ser ascendente ou descendente, a depender da velocidade ser positiva ou negativa. Veja cada caso na Fig. 1.7. Fig 1.7. Os três casos de Movimento Uniforme representados em um gráfico cartesiano. Caso o movimento uniforme tenha velocidade positiva, então o corpo segue 23
  • 24. Conceitos de Física no sentido positivo do eixo real, ou seja, da esquerda para a direita e chamamos este movimento de movimento progressivo. Caso o corpo tenha velocidade negativa, movendo- se da direita para a esquerda, dizemos que o movimento é retrógrado. Seja qual for o tipo de movimento uniforme, podemos afirmar que a posição é sempre uma função linear do tempo, ou seja, pode ser escrita na forma: x(t) = v0 t + x0 Onde v0 é a velocidade e x0 é a posição inicial do movimento uniforme. O nome linear fica claro quando observamos a Fig. 1.7. Sempre que uma função é escrita da forma acima, o gráfico cartesiano é uma linha reta. Sempre que representamos um movimento pela equação da posição em função do tempo, chamamos esta equação de equação horária do movimento. Agora, vamos treinar um pouco os conceitos desta seção através de exercícios resolvidos. Exemplo 1: Um automóvel faz uma viagem de uma cidade A a uma cidade C, passando por uma outra cidade B. A velocidade média do carro entre a cidade A e a cidade B foi de 60 km/h e esta etapa da viagem durou duas horas. Já a velocidade média do carro entre as cidades B e C foi de 80 km/h e esta etapa da viagem durou 3 horas. Calcule a velocidade média do automóvel entre as cidades A e C. Veja a Fig. 1.8. Fig. 1.8. Esquema par ao exemplo 1. Solução: Este exemplo mostra como podemos cometer um erro por não aplicar a definição de uma grandeza da maneira correta. Antes de resolvê-lo corretamente, vamos dar uma olhada na ideia do Luka e tentar descobrir onde está o erro em sua resolução. Luka tentou o seguinte: – Acho que a velocidade média é de 70 km/h, porque é a média entre as duas velocidades: 60 km/h e 80 km/h. Primeiro, vamos verificar se esta velocidade encontrada é realmente a média aritmética das velocidades do problema: Realmente é a média aritmética das velocidades. Mas será que Luka está certo? Vamos ver. Teremos que aplicar a definição da velocidade média da maneira que aprendemos nesta seção: Podemos calcular o intervalo de tempo que durou a viagem facilmente (t2 - t1) = 2horas + 3horas = 5horas. Já o deslocamento entre as cidades não é um dado encontrado no enunciado do problema, mas podemos encontrá-lo. Na viagem entre as cidades A e B, temos 24
  • 25. Conceitos de Física O mesmo pode ser feito para encontrar o deslocamento da etapa 2: Agora, podemos calcular o deslocamento de toda a viagem: deslocamento = deslocamento1 + deslocamento2 = 120km + 240km = 360km Finalmente, vamos calcular a velocidade média por sua fórmula: Note que nossa resposta, que está correta, foi diferente da resposta encontrada por Luka. Velocidade média significa algo bem definido em física e não pode ser substituído por nossa intuição, como fez Luka, que ainda não estudou esse assunto. Exemplo 2: Dado o gráfico cartesiano 1.9., encontre a equação horária do movimento uniforme. Fig. 1.9. Gráfico para o Exemplo 2. Solução: Sempre que temos uma linha reta no gráfico da posição em função do tempo, podemos dizer que o movimento é uniforme e sua equação horária é do tipo: x(t) = v0 t + x0 Precisamos apenas encontrar o valor das constantes v0 e x0 . Precisamos utilizar dois pontos do gráfico para isso. Por exemplo, o gráfico passa pelo ponto x(2) = 2, portanto: x(2) = 2v0 + x0 = 2 Além disso, passa pelo eixo x no instante t = 3s. Isto equivale ao ponto x(3) = 0: x(3) = 3v0 + x0 = 0 Assim, ficamos com um sistema linear de duas equações e duas incógnitas: 2v0 + x0 = 2 3v0 + x0 = 0 Existem alguns métodos de resolução de sistemas lineares. Por exemplo, podemos subtrair as duas equações do sistema linear acima e obter: (2v0 + x0) - (3v0 + x0) = 2 - 0 → - v0 = 2 → v0 = -2m/s 25
  • 26. Conceitos de Física Finalmente, podemos utilizar este valor da velocidade em uma das equações para encontrar a posição inicial: 2(-2) + x0 = 2 → x0 = 6m A equação horária fica dada por: x(t) = -2t + 6 Exercício 1: Encontre o deslocamento e a velocidade média para os seguintes instantes de tempo no experimento da bolinha que fizemos com Luka, representado na Fig. 1.3. a) t1 = 0s e t2 = 1s b) t1 = 1s e t2 = 2s c) t1 = 2s e t2 = 3s d) t1 = 3s e t2 = 4s e) t1 = 0s e t2 = 4s 1.4.2 Movimento Uniformemente Variado (MUV) O movimento mais simples que existe é, sem dúvida, o movimento uniforme. Mas sabemos que este tipo de movimento ocorre em casos bem especiais. Na prática, é muito difícil encontrar algo que tenha velocidade sempre constante. Por exemplo, quando estamos em um carro, aumentamos ou diminuímos nossa velocidade de acordo com o tráfego. Portanto, um passeio de carro, em geral, não é um exemplo de movimento uniforme. Então, qual seria o próximo tipo de movimento mais natural para nosso estudo? Vamos encontrar a resposta propondo um experimento bem simples: Luka está em um prédio de cinco andares. Cada andar está aproximadamente 3 metros de distância do andar anterior. Temos cinco pedras parecidas e também temos um cronômetro. Nós pedimos a ele que solte uma pedra do primeiro andar e nós marcaremos o tempo de queda com o cronômetro. Em seguida, pedimos que ele subisse um andar e solte novamente outra pedra para marcarmos o novo tempo de queda. Assim, teremos cinco tempos de queda, um para cada pedra lançada. Os dados obtidos foram representados na Tabela 1.3. : Altura (m) Tempo ( s) 0 0,00 3 0,78 6 1,11 9 1,36 12 1,56 13 1,75 Tabela 1.3. Tempo de queda da pedra para cada lançamento. Agora, vamos desenhar um gráfico cartesiano que representa a altura que a pedra 26
  • 27. Conceitos de Física caiu em função do tempo de queda. Perceba que o gráfico não é uma linha reta. Se a “queda livre”, que é o nome comum deste experimento, fosse um exemplo de movimento uniforme, deveríamos ver uma reta na Fig. 1.10. O que observamos é uma ligeira curvatura para cima neste gráfico, indicando que estamos diante de um novo tipo de movimento. E que movimento seria esse? É o chamado Movimento Uniformemente Variado (MUV), que será o tema desta seção. Fig.1.10. Gráfico cartesiano do problema do tempo de queda livre das pedras no prédio. Para analisar o gráfico acima, vamos construir uma tabela de velocidade média da pedra entre os andares. Se o movimento fosse uniforme, a velocidade média deveria ser constante para qualquer intervalo de tempo. Você pode verificar nos cálculos acima que a velocidade média não se manteve constante. Na verdade, a velocidade média aumenta conforme o corpo cai. Nos primeiros três metros de queda, a velocidade média é pequena. No entanto, após 12 metros de queda, a velocidade média entre 12m e 15m é bastante elevada. Podemos resumir nossa análise com a definição de uma nova grandeza que representa este aumento de velocidade com o tempo. Esta nova grandeza recebe o nome de aceleração média. Assim como a velocidade média, ela possui uma fórmula que representaremos abaixo: 27
  • 28. Conceitos de Física Como você deve ter percebido, esta fórmula se parece muito com a fórmula da velocidade média. A diferença é que estamos calculando qual é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo, enquanto a velocidade média calculava a taxa de variação da posição. Note também que um caso especial acontece quando calculamos a aceleração de um corpo que está em movimento uniforme: . (Movimento Uniforme) Ou seja, a aceleração média de um corpo que está em movimento uniforme é zero. Outro detalhe importante é encontrar qual a unidade de medida desta nova grandeza. Bem, como a aceleração média é calculada como o quociente entre velocidade (m/s) e tempo (s), então temos: Este procedimento é o que chamamos de análise dimensional, mencionado anteriormente. Agora que sabemos calcular aceleração, vamos definir um movimento uniformemente variado como sendo um movimento cuja aceleração é constante e diferente de zero. Isto significa que a aceleração média para este tipo de movimento terá sempre o mesmo valor, que chamaremos de a0 ou simplesmente de a: Esta é chamada equação horária da velocidade no movimento uniformemente variado (MUV). Podemos simplificar ainda mais a equação considerarmos que o instante inicial t1 = 0s e t2 = t: v(t) = v0 + at Esta fórmula indica que a velocidade aumenta de valor conforme o tempo passa, caso a aceleração seja positiva. Caso a aceleração seja negativa, a velocidade diminui de valor. Além disso, o crescimento da velocidade é linear, ou seja, o gráfico cartesiano da velocidade em função do tempo é um segmento de reta para o MUV. Mas qual a relação entre o MUV e nosso experimento das pedras? A novidade é que o movimento de queda livre, como em nosso experimento, é um movimento uniformemente variado! Vamos mostrar esta afirmação que fizemos. No caso do movimento uniforme, é simples de ver que o gráfico cartesiano da posição em função do tempo é um segmento de reta. No caso do MUV, não é tão simples obter o gráfico da posição em função do tempo, mas vamos tentar de maneira bem intuitiva. O raciocínio que vamos empregar nesta dedução é um investimento, pois nele está a semente de ideias mais avançadas que são estudas sob o nome de cálculo diferencial. Primeiramente, você deve concordar que o gráfico da velocidade em função do tempo depende do tipo do movimento que estamos estudando. Representaremos na Fig.1.11 este gráfico para o movimento uniforme e o uniformemente variado: 28
  • 29. Conceitos de Física Fig.1.11. Perceba a diferença no gráfico da velocidade em função do tempo para o movimento uniforme (a) e o movimento uniformemente variado (b). Ambos são segmentos de reta, mas o gráfico (a) é uma função constante enquanto o gráfico (b) mostra a velocidade mudando com o tempo, indicando que existe uma aceleração. Nosso objetivo agora é descobrir a equação da posição em função do tempo para o MUV. Esta equação, chamada equação horária da posição, deve representar uma curva no plano cartesiano que se assemelhe com os dados experimentais obtidos na Fig. 1.10. Para obter esta equação, vamos utilizar uma estratégia bem geral. A partir da fórmula da velocidade média, vamos escrever: x(t2) - x(t1) = vmédia x (t2 - t1) Ou ainda, podemos simplificar ainda mais a fórmula se adotarmos uma notação bem conveniente em Física que é ∆t = (t2 - t1) e ∆x = (x2 - x1), onde ∆ é a letra grega Delta maiúscula e sempre representa uma variação. Nestes casos, uma variação de tempo e uma variação da posição. Perceba que o deslocamento (diferença das posições) pode ser escrito como o produto entre a velocidade média e o intervalo de tempo. O interessante é que este produto da velocidade pelo intervalo de tempo é exatamente a área de um retângulo no gráfico cartesiano da velocidade em função do tempo, como representamos na Fig.12. 29
  • 30. Conceitos de Física Fig.1.11. O deslocamento pode ser calculado como a área abaixo da curva da velocidade no gráfico cartesiano da velocidade em função do tempo. Desta forma, podemos aplicar esta ideia, de calcular a área sob o gráfico da velocidade em outros tipos de movimento além do movimento uniforme. Por exemplo, podemos calcular a área abaixo da curva da velocidade no caso do MUV. Esta talvez seja o conceito matemático mais difícil de entender no nosso curso e está relacionado a um assunto avançado chamado cálculo integral. Aqui, nosso interesse é bem modesto. Não estudaremos cálculo, mas estamos interessados em calcular a área abaixo da curva da velocidade no nosso caso do movimento uniformemente variado, representado na Fig. 1.12: Fig.1.12. Vamos utilizar o cálculo do deslocamento como a área abaixo da curva da velocidade no gráfico cartesiano da velocidade em função do tempo. De uma maneira geral, para posição inicial x(t1) = x0, velocidade inicial v(t1) = v0, e aceleração a constante, a área da figura pintada é exatamente a área de um trapézio, que pode ser escrita como: Utilizando nossa ideia de que o deslocamento é igual à área, ficamos com: Substituindo a velocidade MUV pela fórmula: v = v0 + a∆t , ficamos com: 30
  • 31. Conceitos de Física Finalmente, inserindo: ∆x = x(t) - x0, resulta na fórmula final: Esta fórmula nos dá a posição de um corpo em função do tempo para o caso de um movimento uniformemente variado. O gráfico cartesiano desta função é uma curva conhecida como parábola. Sua forma é muito parecida com a Fig. 1.10 que obtemos experimentalmente, note na Fig. 1.13 um acordo que existe entre os pontos experimentais e nossa fórmula teórica Fig.1.13. O gráfico mostra os pontos obtidos no nosso experimento (em azul) com a curva teórica da posição em função do tempo para o movimento uniformemente variado. É surpreendente o fato de a queda livre ser descrita pelas equações do MUV. Isto significa que os corpos que caem estão submetidos a uma aceleração constante, fazendo com que sua velocidade na queda aumente com o tempo. O fato surpreendente é que esta aceleração não depende da massa do objeto e é aproximadamente a mesma para qualquer queda livre realizada próxima à superfície do nosso planeta. O valor desta aceleração, utilizando apropriadamente as unidades de medida desta grandeza, é de aproximadamente: a ~ 9.8 m/s2 Esta aceleração está representada com um sinal positivo para concordar com nosso experimento, mas é comum definir o sentido positivo do eixo para cima, indicando que um deslocamento positivo equivale ao corpo subir, enquanto um deslocamento negativo está relacionado a uma queda. Neste caso, a aceleração teria a mesma magnitude, mas com sinal negativo. Você poderia estar se perguntando o porquê de os corpos caírem com a mesma aceleração, independentemente de sua massa. Na verdade, esta pergunta é bem difícil de ser respondida, mas podemos dizer quer existe um modelo teórico bem antigo que consegue explicar este fenômeno da queda livre, chamado de Gravitação Universal, que estudaremos ainda neste volume. Vamos resolver alguns exemplos sobre Movimento Uniformemente Variado antes de passarmos para o próximo assunto. Exemplo 3: Uma maçã cai a partir do repouso de uma altura de 49 metros. Calcule (a) Quanto tempo durou a queda e (b) a velocidade final da maçã imediatamente antes de atingir o solo. 31
  • 32. Conceitos de Física Solução: Vamos utilizar a fórmula da posição em função do tempo para o MUV. Vamos também aproveitar o exemplo para introduzir um novo eixo coordenado. Como o movimento de queda livre é feito sempre no eixo vertical, vamos chamá-lo de y para diferenciá-lo do eixo x. Além disso, vamos chamar a aceleração da gravidade de g, uma vez que este valor é constante. a) A posição inicial da maçã é de y0 = 49m. A posição final da maçã é y(t) = 0 (que representa a altura do chão). Como a maçã partiu do repouso, isto significa que sua velocidade inicial é zero: v0 = 0. Além disso, como estamos representando o eixo vertical (y) apontando para cima, a aceleração recebe um sinal negativo, indicando que ela aumenta as velocidades para os corpos que caem (e diminui a velocidade dos corpos que sobem). Assim, ficamos com: b) A velocidade da maçã ao atingir o solo pode ser encontrada utilizando a equação horária da velocidade no movimento uniformemente variado. Novamente, a velocidade inicial é zero, indicando que o corpo caiu a partir do repouso. Já a velocidade final, que é a resposta do problema, depende do tempo total de queda, que foi obtido na letra anterior. Assim, temos: v = v0 + at → v = 0 - (9.8 m/s2) (3.16s) ~ - 31 m/s O sinal negativo da velocidade está associado ao sentido positivo do eixo vertical, que é para cima. Assim, uma velocidade negativa significa que o corpo está caindo, como era de se esperar para este problema. Exemplo 4: Uma pedra é lançada para cima com velocidade inicial de 10.00 m/s a partir do chão. Encontre (a) o tempo total de vôo. (b) a altura máxima que ela atinge. (c) Faça um esboço do gráfico da posição em função do tempo desde o lançamento até a pedra tocar o solo novamente. Solução: Vamos utilizar novamente as equações do MUV. Como a pedra foi lançada do chão, sua altura inicial é zero (y0 = 0). A altura final é o que queremos obter. A velocidade inicial é 10 m/s. a) Este problema é um pouco mais complicado, pois precisamos definir qual o instante final do movimento. A altura máxima, como o enunciado pede, é atingida quando a velocidade final é zero. Isto significa que o corpo sobe, fica parado momentaneamente e volta a cair. Neste ponto especial, em que a velocidade é zero, a altura atingida pelo lançamento é máxima. Assim, a partir da equação horária da velocidade, vamos descobrir quanto tempo leva para atingir a velocidade zero. v(t) = v0 + at → 0 = 10 m/s - (9.8 m/s2)t → t ≈ 1.02 s Este é o tempo entre o lançamento da pedra para cima e a altura máxima ser atingida. O tempo de subida é igual ao de descida (você pode verificar a partir das equações). Portanto, o tempo de vôo é dado por: t ~ 2 x 1.02s = 2.04s b) Para calcular a altura máxima, vamos substituir o valor do tempo na fórmula da 32
  • 33. Conceitos de Física posição: c) Esboço do Gráfico: Fig. 1.14. Esboço do gráfico do lançamento da pedra do Exemplo 4. Problemas 1. Um motorista dirige um carro em linha reta a 80 km/h a partir do ponto A. Após percorrer 8 km/h, o veículo para por falta de gasolina. O motorista caminha 2 km adiante até o posto de abastecimento em 24 minutos. Calcule: a) O intervalo de tempo que o motorista passou dirigindo o carro. b) Transforme em horas o intervalo de tempo que durou a caminhada do motorista até o posto. c) Encontre a velocidade média do motorista desde o instante em que partiu do ponto A até chegar ao posto. (Dica: Utilize a fórmula da velocidade média, calculando o deslocamento total e o intervalo de tempo total) 2. Um automóvel percorre uma distância de 150 km desenvolvendo, nos primeiros 120 km, uma velocidade média de 80 km/h e, nos 30 km restantes, uma velocidade média de 60 km/h. a) Qual foi o tempo total da viagem? b) Qual foi a velocidade média do automóvel do percurso total? 3. Um atleta treina corrida em uma pista retilínea. Em t1 = 0s, parte do marco zero, corre até o marco 200m, para por certo tempo, volta a correr até o marco 400m e retorna ao marco 100m, quando chega em t2 = 100s. Calcule a velocidade média do atleta entre t1 e t2. 4. Um caminhão de carga possui uma velocidade de 10 m/s no instante em que o motorista pisa no acelerador. Isto comunica ao caminhão uma aceleração 33
  • 34. Conceitos de Física constante, que faz com que sua velocidade aumente de 20 m/s em 5,0s. Considere t = 0 no instante em que o motorista pisa no acelerador. a) Qual a aceleração do caminhão b) Supondo que o caminhão foi mantido com essa aceleração até o instante t = 10s, qual a velocidade atingida nesse instante c) Qual a distância percorrida pelo caminhão desde o início da aceleração até o instante t = 10s. 5. Um veículo está em uma estrada e acelera assim que passa pela placa, cuja posição será x = 0. Sua aceleração é constante e igual a 4 m/s2. No instante t = 0, o veículo se encontra a 5m a frente da placa, movendo a 15 m/s. a) Determine a posição e velocidade do carro em t = 2s. b) Determine a posição do veículo quando sua velocidade for de 25 m/s. c) Faça um esboço do gráfico cartesiano da posição em função do tempo para t > 0. (Dica: Ao desenhar a curva, lembre que este é um movimento uniformemente acelerado). 6. Um corpo é lançado do solo verticalmente para cima com velocidade inicial de 20 m/s Aproximando a aceleração da gravidade por g ~ 10 m/s2, calcule: a) O tempo gasto pelo corpo para atingir o ponto mais alto da trajetória. b) A altura máxima atingida pelo corpo. 7. Um homem atira uma pedra para cima, em linha reta, com uma velocidade inicial de 12 m/s. Encontre: a) O tempo que a bola levou para atingir a altura máxima. b) A altura máxima. Gabarito: 1. 2. a) 2h b) 75 km/h. 3. 1 m/s. 4. a) a = 2 m/s2 b) 30 m/s c) 200 m. 5. a) x = 43m e v = 23m/s b) x = 55m. 6. a) 2s b) 20m. 7. a) 1.2s b) 7.3m. 34
  • 35. Conceitos de Física Capítulo 2 O que vamos estudar neste capítulo? Neste capítulo, vamos estudar os seguintes temas: » Conceitos de Força e Massa » Leis de Newton Metas Após o estudo deste capítulo, esperamos que você consiga: » Saber a diferença entre peso e massa. » Entender e aplicar as Leis de Newton. 35
  • 36. Conceitos de Física Capítulo 2 – Mecânica Clássica: Dinâmica Vamos conversar sobre o assunto? Nós estudamos o movimento com o uso de grandezas físicas como posição, velocidade e aceleração. Estas grandezas conseguem descrever o movimento, mas não conseguem explicar suas causas. Chamamos de Dinâmica a parte da mecânica clássica que estuda as causas do movimento. O cientista que mais contribuiu para o desenvolvimento da Dinâmica foi Isaac Newton (1643-1727), que criou as três leis que levam seu nome. Estas leis de Newton, quando utilizadas apropriadamente, conseguem prever o resultado de muitos experimentos. Contudo, Newton não fez todo o trabalho sozinho. Como ele mesmo disse, ele viu mais longe, pois estava apoiado sobre o ombro de gigantes. Vamos estudar brevemente trabalho de um desses gigantes. Um trabalho bastante original em mecânica que começa com um experimento. 2.1 Princípio da Relatividade de Galileu Nossa histórica começa dentro de um navio que navega em alto mar em movimento uniforme. É curioso comprovar se a velocidade do navio é de fato constante. Para isso, precisamos de uma corda bem comprida. Nesta corda, vamos escolher uma unidade de comprimento, em metros, e dar um nó na corda a cada unidade de comprimento. Assim, nossa corda terá diversos nós igualmente espaçados. Depois, lançamos uma extremidade da corda no mar e seguramos o resto da corda. À medida que a extremidade lançada ao mar vai se distanciando do navio, vamos contando quantos nós passam em nossas mãos. Se a corda vai deixando o navio a uma taxa constante de nós por unidade de tempo, então a velocidade do navio é aproximadamente uniforme. Esta técnica para medir velocidade de navios é muito antiga ilustra bem o conceito de movimento uniforme. Vamos levar Luka nesta viagem como um ajudante para nossos experimentos. Sabemos que quando uma pedra é abandonada a partir do alto de um prédio, ela cai em linha reta até o chão e chamamos este movimento de queda livre. No navio, Luka surgiu com uma dúvida bem pertinente: 36
  • 37. Conceitos de Física Vamos representar a dúvida de Luka na Fig. 2.1. Fig. 2.1. A dúvida de Luka sobre a pedra que cai em um navio em alto mar. A pedra cai em linha reta, como em terra firme (a) ou “fica para trás” (b)? 37
  • 38. Conceitos de Física Do ponto de vista histórico, este problema foi pensado pela primeira vez por Galileu Galilei (1564-1642), um físico italiano que, dentre outras contribuições, criou o princípio da relatividade. Este princípio foi formulado após a experiência do navio que descrevemos acima. Antes de enunciá-lo, vamos explicar o que acontece no experimento. Quando Luka soltou a pedra do alto do mastro do navio, percebeu que a mesma cai linha reta, um movimento idêntico ao de queda livre. Portanto, a figura que ilustra de maneira mais correta o experimento real é a Fig. 2.1.(a). Em outras palavras, a pedra se comporta como se o navio estivesse parado. Você pode achar isso um pouco confuso, mas é fácil de entender o que acontece e este experimento contém toda a essência da Dinâmica que vamos estudar aqui. Na verdade, a pedra está se movendo com velocidade constante para a direita, assim como o navio também está se movendo com velocidade constante para a direita. No entanto, como o observador (Luka) e a pedra estão se movendo com a mesma velocidade, a pedra parece estar caindo em linha reta do ponto de vista de Luka e de toda a tripulação do navio. Neste experimento, podemos dizer que o navio é o referencial. Sempre que perguntamos alguma informação sobre movimento, seja posição, velocidade ou aceleração, temos que especificar qual o referencial do problema, que é onde o observador está fazendo as medições. As respostas podem ser bem diferentes a depender do referencial que estamos trabalhando. Por exemplo, vimos que para o referencial do navio, a pedra solta do mastro está em queda livre (linha reta), pois o navio e a pedra estão em movimento uniforme. No entanto, para um referencial que está em terra firme, por exemplo, se estivéssemos na praia observando o navio passar, a pedra lançada descreveria uma trajetória curva, como na figura 2.2. Esta trajetória é uma parte de uma curva conhecida como parábola. Fig 2.2. Para o referencial da praia, a pedra descreve uma trajetória curva (ramo de parábola), indicando que a pedra possui uma velocidade inicial constante para a direita. Na Fig. 2.2, representamos em diferentes etapas do movimento do navio e combinamos em uma mesma figura. Como o navio está se movendo em relação ao referencial da praia, a cada intervalo de tempo a pedra cai alguns metros e o navio caminha alguns metros em velocidade uniforme. O movimento de queda livre combinado ao movimento uniforme do navio faz com que a trajetória observada pelo referencial da praia seja este ramo de parábola que ilustramos na figura. Um conceito bastante útil quando tratamos de dois referenciais distintos, como o navio e a praia, é o de referenciais inerciais. A ideia é muito simples: dois referenciais A e B são chamados de inerciais se A, quando observado por B, está parado ou em movimento uniforme. Desta forma, podemos dizer que o navio e a praia são referenciais inerciais, já que o navio está em movimento uniforme em relação à praia. Agora podemos introduzir nosso enunciado do princípio da relatividade de Galileu que resume o experimento do navio: “As leis da mecânica são as mesmas em diferentes referenciais inerciais.” 38
  • 39. Conceitos de Física Este enunciado quer dizer que os diferentes fenômenos que envolvem movimento devem obedecer às mesmas leis, não importando o referencial inercial em que estejam. Por exemplo, se você deixa uma pedra cair a partir do repouso do alto de um prédio e espera que ela caia em linha reta, então o mesmo tipo de queda livre em linha reta deve acontecer caso você repita o experimento do alto do mastro do navio apresentado anteriormente. Isto acontece de acordo com o princípio da relatividade, pois o navio está em movimento uniforme, fazendo com que ele e a terra firma sejam referenciais inerciais e, portanto, obedecem as mesmas leis da mecânica. O que aconteceria caso o navio estivesse em movimento uniformemente variado? Neste caso, o navio e a terra firme não são mais referenciais inerciais. Estes referenciais, chamados de não inerciais, apresentam leis da mecânica diferentes e, como consequência, os resultados dos experimentos são diferentes. Neste exemplo do navio acelerando, o que observaríamos de dentro do navio quando soltamos uma pedra a partir do repouso do mastro é ilustrado na Fig. 2.3. Perceba que a pedra não cai em linha reta neste caso. Fig. 2.3. A pedra solta do mastro de um navio acelerando não cai em linha reta para os observadores do navio. Como o navio está acelerando (sua velocidade aumenta com o tempo), então ele e a terra firme não podem mais ser considerados referenciais inerciais. Logo, não vale o princípio da relatividade de Galileu e as leis da mecânica passam a ser um pouco estranhas no referencial do navio. Por exemplo, neste referencial os objetos que caem em queda livre possuem uma trajetória curva. Você não deveria ficar espantado com referenciais não inerciais, eles fazem parte do seu cotidiano. Por exemplo, quando você está dentro de um ônibus em movimento uniforme, você consegue ficar em pé sem fazer o menor esforço. Isto acontece, pois neste caso o ônibus é um referencial inercial e tudo que você faz normalmente em terra firme você conseguiria fazer no ônibus: andar, pular, etc. Contudo, quando o motorista do ônibus resolve frear o veículo bruscamente, ele impõe uma aceleração negativa para diminuir a velocidade do ônibus. Neste intervalo de tempo, o ônibus não está mais em movimento uniforme. Isto faz com que o ônibus e sua casa, por exemplo, sejam referenciais não inerciais. Logo, o princípio da relatividade de Galileu não se aplica e as leis da mecânica que passam a governar o movimento das pessoas dentro do ônibus ficam diferentes. As pessoas não conseguiriam mais andar e pular da mesma maneira que fazem no chão firme, pois existe algo que as empurra para frente do ônibus. Esta situação está ilustrada na Fig. 2.4. 39
  • 40. Conceitos de Física Fig 2.4.1. Ônibus em movimento uniforme, representando um referencial inercial para os passageiros. 2. Após o freio do motorista, uma aceleração surge e o ônibus passa a ser um referencial não inercial. Vamos ver a opinião de Luka sobre esta situação do ônibus: 40
  • 41. Conceitos de Física Esta interpretação faz sentido e pode ser considerada correta. No entanto, se olharmos para os corpos em queda livre, você diria que existe algo empurrando os corpos para baixo e por isso eles caem. Na verdade, não existe muita diferente entre as pessoas serem jogadas para frente do ônibus que freia e os corpos que “são jogados” para baixo em queda livre. Para ilustrar nosso argumento anterior, imagine que você tenha nascido dentro de uma caixa preta em um ônibus em movimento e nunca tenha saído dela. De repente, o ônibus freia e você é projetado para frente. Para você, que não sabe da existência de um mundo externo para chamar de referencial inercial, aquela força que o empurrou para frente é uma força da natureza tão importante quanto à força que faz com que os corpos caiam. Para o referencial externo, como as pessoas em um ponto de ônibus, aquela força é imaginária e surgiu apenas pelo fato do ônibus ser um referencial não inercial. Em relação ao tempo de vida da mecânica clássica, esta conversa sobre referenciais não inerciais e gravidade é algo bem moderno. Ele é a semente do chamado princípio da relatividade de Einstein, desenvolvido no século passado e capaz de mudar quase tudo que você sabe sobre mecânica clássica. Vamos conversar sobre este princípio no final deste volume. Para entender os argumentos mais modernos, precisamos nos dedicar bastante ao estudo da mecânica clássica deste capítulo. 2.2 As Leis de Newton Isaac Newton (1643-1727) foi um matemático e físico inglês que deu um formato à física que sobrevive até hoje. Newton pensava muito sobre a natureza e percebia a mecânica de forma bem particular. Ele percebeu que precisava de uma ferramenta matemática que ainda não tinha sido descoberta para elaborar uma teoria da dinâmica. Como ninguém tinha descoberto ainda esta ferramenta, chamada de cálculo diferencial e integral, Newton exerceu seu papel de matemático e criou o cálculo. Depois de entender como fazer as operações matemáticas, Newton criou as leis da mecânica clássica que levam seu nome. Mas que formato especial é este que ele deu a Física que pode ser percebido até hoje? Com o uso do cálculo diferencial, Newton foi capaz de escrever equações cujas soluções indicavam sobre como um dado sistema se comportará no futuro. Esta capacidade de previsão que ele agregou à mecânica sob a forma do cálculo diferencial atingiu diversas áreas da Física e surgiu um sentimento estético nos cientistas de que tudo na natureza poderia ser previsto como na mecânica. O Universo seria bastante elegante se fosse desta maneira. Esta ideia de que a natureza funciona como um relógio e de que, no futuro, poderíamos prever todos os fenômenos do universo ficou conhecida como determinismo clássico. Esta é a ideia básica da mecânica newtoniana e da física em geral que tratamos anteriormente: a natureza se comporta de maneira regular, repetindo padrões que podem ser previstos com alguma precisão caso saibamos as leis que governam os fenômenos. O problema é que ainda não explicamos o que é uma lei. Uma lei da física é uma regra que a natureza parece obedecer. Note que tomei o cuidado de escrever “parece”, pois nunca temos certeza se uma dada regra realmente é obedecida pela natureza. O que podemos fazer é inventar uma regra com base em resultados experimentais e em nossa livre intuição. Depois, deduzimos resultados matemáticos a partir destas leis e, finalmente, colocamos nossas previsões ao teste experimental. Se este conjunto de regras, que podemos chamar de teoria, sobreviver ao teste experimental, não podemos dizer que ela está correta, mas, pelo menos, ela não pode ser descartada. Então, até que alguém invente um experimento capaz de provar que a teoria está errada, então ela pode durar mais alguns anos. Conforme a tecnologia permita experimentos mais precisos, antigas teorias precisam ser reformuladas. Isto não significa que elas estejam 41
  • 42. Conceitos de Física completamente erradas. Apenas que precisam ser lapidadas para explicar uma nova classe de fenômenos que os teóricos nem imaginavam na época em que criaram. Isto faz com que a ciência esteja evoluindo continuamente. Todo este processo é chamado de método científico. Apesar de o teste experimental ser o principal guia da ciência, ele não é o único. Imagine duas teorias que façam as mesmas previsões experimentais: 1 Os corpos próximos à superfície da Terra caem com aceleração constante. 2. Os corpos próximos à superfície da Terra caem com aceleração constante devido ao poder do nosso pensamento. Nos dois casos, pode-se calcular que a trajetória dos corpos em queda livre é um ramo de parábola, se o lançamento for diagonal, ou uma linha reta, se o lançamento for vertical. Note que a segunda “teoria” faz uma afirmação muito forte sobre a origem da queda dos corpos que não pode ser testada experimentalmente. Como não podemos testar esta afirmação final, podemos descartá-la e ficar com a primeira teoria, pois ela é a teoria mais simples que explica a queda livre. Chamamos este princípio norteador da ciência de Navalha de Ockham, em homenagem ao seu criador, o filósofo William Ockham (1285- 1349). Já vimos o conceito de Lei da Física e o método científico, vamos explorar o determinismo clássico através das Leis de Newton: Primeira Lei Também conhecida como Lei da Inércia, a primeira lei de Newton pode ser traduzida da seguinte forma: “Todo corpo persiste com velocidade constante, a menos que um agente externo tente mudar seu estado de movimento” Vamos interpretar esta Lei. Inicialmente, para o caso em que a velocidade do corpo é zero, é fácil entender que ele está parado e continuará parado a menos que algum agente (uma pessoa, um carro, etc.) tente empurrá-lo. Se nenhum agente tentar mudar o fato dele estar parado, então ele continuará parado. Esta situação é bem fácil de entender. A situação mais complicada surge quando o corpo já possui uma velocidade constante diferente de zero, em movimento uniforme. A Lei diz que um corpo em movimento uniforme continua com velocidade constante até que algum agente externo tente alterar seu estado de movimento. Ou seja, se você dá um empurrão em uma caixa de sapatos que está no chão, ela deveria assumir uma velocidade constante e continuar com esta velocidade até bater em um objeto. E se você der um empurrão em caixa de sapatos em um campo aberto bem grande, ela percorreria todo o campo com velocidade constante? Na prática, a caixa de sapato não caminha com velocidade constante, pois o próprio chão e o ar fazem o papel de agentes externos que estão “atrapalhando” o movimento da caixa que, de acordo com a Primeira Lei, deveria ser um movimento uniforme. Então, você poderia fazer uma experiência ainda mais ousada. Se você sair do planeta Terra e for para um lugar do espaço bem distante, bem longe de estrelas e outros planetas. Nessa região do espaço, praticamente não existe gravidade, não existe ar ou chão, apenas o vazio (vácuo). Se você chutar uma caixa de sapatos, ela iniciará um movimento com velocidade constante e continuará assim por muito tempo. Se não encontrar um obstáculo (e não for atraída por nenhuma força), ela continuará para sempre o movimento, de acordo com a primeira Lei. Precisamos realmente fazer esta experiência no espaço para verificar a Lei de Newton? Na verdade, podemos simular situações em que a contribuição dos agentes 42
  • 43. Conceitos de Física externos é tão pequena que um experimento pode ilustrar a primeira Lei. Se você tiver uma superfície bem polida, como o gelo de uma pista de patinação, chutar um disco, o atrito entre o disco e o gelo é tão pequeno que o disco caminha alguns metros com velocidade aproximadamente constante, de acordo com a primeira Lei de Newton. Você deve lembrar o que aconteceu nas Fig. 2.1-2.3., em que uma pedra foi solta de um navio que estava acelerando. Vamos interpretar o resultado do experimento com a primeira Lei. Como a pedra estava caminhando junto com o navio, ela tinha uma dada velocidade para a direita igual à do navio. Quando a pedra foi solta, ela continuou com a velocidade para a direita de acordo com a primeira Lei de Newton, que é a mesma velocidade do navio. Contudo, surgiu uma aceleração para baixo devido à gravidade. Mesmo assim, quando o navio caminhava dez metros para a direita, por exemplo, a pedra também caminhava 10 metros para a direita, mesmo enquanto ela está caindo. Isto causa a sensação de que a pedra está caindo em linha reta para quem está observando de dentro do navio. É que o corpo possui um estado do movimento para cada eixo coordenado. Neste caso, a pedra está em movimento uniforme no eixo horizontal e em queda livre no eixo vertical. Mesmo assim, a primeira Lei pode ser aplicada. Já no experimento do navio acelerado, quando a pedra foi solta do mastro do navio, ela possui uma velocidade inicial que é idêntica à do navio no momento em que foi solta. No entanto, como o navio está acelerando, a velocidade do navio vai aumentando e superando a velocidade da pedra. Isto faz com que o navio fique cada vez mais rápido que a pedra. A sensação é de que a pedra está ficando para trás para a tripulação do navio. O exemplo do ônibus, ilustrado na Fig. 2.4, mostra mais um caso que pode ser interpretado pela primeira Lei. Os passageiros estavam no ônibus com uma velocidade constante, igual à velocidade do ônibus. De repente, o ônibus freia bruscamente, com uma aceleração negativa que diminui sua velocidade. O problema é que este agente externo atuou no ônibus e não alterou o estado de movimento das pessoas, que tendem a continuar com velocidade constante, de acordo com a primeira Lei. Como o ônibus está ficando cada vez mais lento e as pessoas continuam com a mesma velocidade alta, elas parecem ser projetadas para frente do ônibus, pois estão mais rápidas que ele. Por isso, elas precisam segurar em alguma coisa ou atingir algum obstáculo para reduzir sua velocidade e igualar à velocidade do ônibus novamente. Por esses motivos, alguns autores afirmar que a primeira Lei é uma definição de referenciais inerciais, necessária para as próximas leis. Segunda Lei A Segunda Lei de Newton nos dá uma receita para descobrir como um corpo acelera. A causa deste movimento é chamada de força. O enunciado original da segunda Lei será traduzido de uma forma a utilizar os conceitos que já conhecemos: “A aceleração de um corpo é proporcional à intensidade de uma força e acontece na mesma linha de ação desta força”. Vamos interpretar esta Lei. Vimos que a primeira Lei de Newton indica que o estado normal de movimento dos corpos, na ausência de agentes externos, é o de movimento uniforme. Ou seja, caso nada ou ninguém tente alterar o movimento de um corpo, ele continuará com sua velocidade constante. A segunda Lei diz o que acontece nos casos em que um agente externo atua sobre o corpo. Neste caso, a velocidade do corpo sofrerá modificações devido a uma aceleração. A causa desta aceleração, de acordo com a Lei, é uma influência de um agente externo que é chamada de força. Além disso, a aceleração que o corpo sofre acontece na mesma direção que esta força está atuando. Por exemplo, se uma força empurra o corpo para a direita, o corpo sofre uma aceleração para a direita. Na prática, é fácil identificar uma força. Toda vez que alguém empurra ou puxa uma 43