1. Ejercicio nº 1.-
Resuelve las ecuaciones:
a) 4 ( 5x + 1) − 9 = 0
2
b) 2x 4 + 9x 2 − 68 = 0
Solución:
a) Sabemos que si a2 = b2, entonces, o bien a = b o bien a = −b.
En este caso:
2
9 3
4 ( 5 x + 1) - 9 = 0 → ( 5 x + 1) ( 5 x + 1)
2 2 2
= → = 
4  2
Así:
3 1
5x + 1 = → 10 x + 2 = 3 → 10 x = 1 → x=
2 10
3 −5 −1
5x + 1 = − → 10 x + 2 = −3 → 10 x = −5 → x= =
2 10 2
1 −1
Las soluciones son x1 = y x2 = .
10 2
b) 2 x 4 + 9 x 2 - 68 = 0 equivale a 2z 2 + z - 68 = 0, siendo z = x 2 .
−34 −17
=
4 2
−9 ± 81+ 544 −9 ± 625 −9 ± 25 +
z= = =
4 4 4 ‚
16
=4
4
−17 −17
Si z = → x2 = → no hay solución real.
2 2
Si z = 4 → x 2 = 4 → x = ±2
Las soluciones pedidas son x1 = 2 y x 2 = 2.
Ejercicio nº 2.-
Resuelve:
a) 4x + 1 − 9 x − 2 = − 1
1 1 5
b) + 2 =
3x x 12
Solución:

2. a) 4 x + 1 = −1 + 9 x − 2
Elevamos al cuadrado ambos miembros de la ecuación:
4x + 1 = 1 + ( 9 x − 2 ) − 2 9 x − 2 →
→ 4x + 1 = 9 x − 1 − 2 9 x − 2 → 2 9x − 2 = 5x − 2
Volvemos a elevar al cuadrado:
4 ( 9 x − 2 ) = 25x 2 − 20 x + 4 →
→ 36 x − 8 = 25x 2 − 20 x + 4 → 25x 2 − 56 x + 12 = 0 →
100
=2
50
56 ± 3136 − 1200 56 ± 1936 56 ± 44 →
→ x= = =
50 50 50 ‚
12 6
=
50 25
Comprobamos las dos posibles soluciones, sustituyendo en la ecuación inicial:
4 ⋅ 2 + 1 − 9 ⋅ 2 − 2 = 9 − 16 = 3 − 4 = −1 → 2 es solución
24 54 49 4 7 2 5 6
+1− −2 = − = − = =1 → no es solución
25 25 25 25 5 5 5 25
La única solución es x 2.
b) Multiplicamos ambos miembros por 12x2, que es el m.c.m. de los denominadores:
4 x + 12 = 5 x 2 → 5 x 2 − 4 x − 12 = 0 →
20
=2
10
4 ± 16 + 240 4 ± 256 4 ± 16 =
→ x= = =
10 10 10 ‚
−12 −6
=
10 5
Comprobación:
1 1 2+3 5
x=2 → + = = → 2 es solución.
6 4 12 12
−6 5 25 −10 + 25 15 5 −6
x= → - + = = = → es solución.
5 18 36 36 36 12 5
−6
Las soluciones son x1 = 2 y x2 = .
5
Ejercicio nº 3.-

3. (
Resuelve la siguiente ecuación: x 9x 2 − 1 ( 2x + 3 ) = 0 )
Solución:
Tenemos un producto de factores igualado a 0, luego se ha de cumplir que:
x=0
1 1
9x 2 − 1 = 0 → x 2 = → x=±
9 3
−3
2x + 3 = 0 → x=
2
1 1 −3
Las soluciones son x1 = 0, x2 = , x3 = − y x 4 = .
3 3 2
Ejercicio nº 1.-
Resuelve las siguientes ecuaciones:
( 2x + 5 ) ( 3x − 1) x 2 + 5 7x − 5
a) + = +1
3 2 6
b) 3x 4 − 10x 2 − 8 = 0
Solución:
a) Multiplicamos ambos miembros por 6:
( )
2 ( 2x + 5 ) ( 3 x − 1) + 3 x 2 + 5 = 7 x − 5 + 6 →
→ 12x 2 − 4 x + 30 x − 10 + 3 x 2 + 15 − 7 x + 5 − 6 = 0 →
→ 15x 2 + 19 x + 4 = 0 →
−30
=- 1
30
−19 ± 361 − 240 −19 ± 121 −19 ± 11 −
→ x= = =
30 30 30 ‚
−8 −4
=
30 15
−4
Las soluciones son x1 = −1 y x2 = .
15
b) Haciendo x2 = z, se obtiene: 3z2 10z z 8 = 0
24
=4
6
10 ± 100 + 96 10 ± 14 =
z= =
6 6 ‚
−4 −2
=
6 3

4. Si z = 4 → x 2 = 4 → x = ±2
−2 −2
Si z= → x2 = → no hay solución real.
3 3
Las soluciones son x1 2 y x2 2.
Ejercicio nº 2.-
Resuelve las ecuaciones:
a) 2x + 6x + 1 = 3
x 2x 15
b) + =
x +1 x −1 4
Solución:
a) 6x + 1 = 3 − 2 x
Elevamos ambos miembros al cuadrado:
6x + 1 = 9 − 12 x + 4 x 2 → 4 x 2 − 18 x + 8 = 0 → 2x 2 − 9 x + 4 = 0 →
2 1
=
4 2
9 ± 81 − 32 9 ± 49 9 ± 7
→ x= = =
4 4 4
16
=4
4
Comprobamos las posibles soluciones sobre la ecuación:
1 6 1
2⋅ + + 1 = 1+ 4 = 1+ 2 = 3 → x= es solución
2 2 2
8 + 24 + 1 = 8 + 25 = 8 + 5 = 13 → x = 4 no es solución
1
La única solución es x = .
2
b) Multiplicamos ambos miembros por 4 ( x + 1) ( x − 1) :
4 x ( x − 1) + 8 x ( x + 1) = 15 ( x + 1) ( x − 1) →
→ 4 x 2 − 4 x + 8 x 2 + 8 x = 15 x 2 − 15 →
→ 12 x + 4 x = 15 x − 15
2 2
→ 3 x − 4 x − 15 = 0
2
→

5. 18
=3
6
4 ± 16 + 180 4 ± 196 4 ± 14 =
→ x= = =
6 6 6 ‚
−10 −5
=
6 3
Comprobamos las soluciones:
3 6 3 6 3 + 12 15
+ = + = = → 3 es solución.
3 +1 3 −1 4 2 4 4
−5 −10 5 10
− −
3 + 3 = 3 + 3 = 5 + 10 = 20 + 10 = 30 = 15 → −
5
es solución.
−5 −5 2 8 2 8 8 8 4 3
+1 −1 − −
3 3 3 3
−5
Las soluciones son x1 = 3 y x2 = .
3
Ejercicio nº 3.-
1 1 3
Escribe una ecuación cuyas soluciones sean , − y − .
2 2 2
Solución:
 1 1 3
La ecuación  x −   x +   x +  = 0 tiene como soluciones las pedidas.
 2  2  2
Multiplicando estos tres factores se llega a la ecuación buscada:
Ejercicio nº 1.-
Resuelve:
2
 1 2 10
a)  x −  + x =
 3 3 9
4 2
b) x - 48 x - 49 = 0
Solución:
2 1 2 10 1 10
a) x 2 − x+ + x= → x2 + = →
3 9 3 9 9 9
9
→ x2 = → x2 = 1 → x = ±1
9

6. Las soluciones son x1 1 1 y x2 2 1.
b) Ecuación bicuadrada; hacemos x2 z y obtenemos:
−2
= −1
2
48 ± 2304 + 196 48 ± 50 =
z 2 - 48z - 49 = 0 → z= =
2 2 ‚
98
= 49
2
Si z = −1 → x 2 = −1 → no hay solución real
Si z = 49 → x 2 = 49 → x = ±7
Las soluciones son x1 = 7 y x2 = −7.
Ejercicio nº 2.-
Resuelve las ecuaciones:
a) x + x −2 = 2
1 x + 2 −7
b) − =
x +2 x 4
Solución:
a) x −2 = 2− x
Elevamos al cuadrado ambos miembros:
x−2 = 4+x−4 x → 4 x =6 → 2 x =3
Volvemos a elevar al cuadrado:
9
4x = 9 → x= es la posible solución.
4
Lo comprobamos:
9 9 3 1 4
+ −2 = + = = 2
4 4 2 2 2
9
Luego x = es la solución buscada.
4
b) Multiplicamos ambos miembros por 4x(x + 2):
4 x − 4 ( x + 2 ) = −7 x ( x + 2 )
2
→ ( )
4 x − 4 x 2 + 4x + 4 = −7 x 2 − 14 x →
→ 4 x − 4 x − 16 x − 16 = −7 x − 14 x
2 2
→ 3 x + 2 x − 16 = 0
2
→

7. 2
−2 ± 4 + 192 −2 ± 196 −2 ± 14 6
→ x= = =
6 6 6 ‚
−16 −8
=
6 3
Comprobamos estas soluciones sobre la ecuación:
1 4 1 − 8 −7
− = = → 2 es solución.
4 2 4 4
−8 −2
+2
1 3 1 3 2 −14 −7 −8
− = − 3 =− − = = → es solución.
−8 −8 −2 −8 2 8 8 4 3
+2
3 3 3 3
−8
Las soluciones son x1 = 2 y x2 = .
3
Ejercicio nº 3.-
Invéntate una ecuación que tenga por solución los valores − 1, 5, 3, y − 3.
Solución:
Consideramos cuatro polinomios de grado 1 cuyas ecuaciones tengan como raíces los valores
−1, 5, 3 y − 3, respectivamente, y los multiplicamos entre sí igualando el resultado a 0.
Se tiene, así:
( x + 1) ( x − 5 ) ( x − 3 ) ( x + 3) = 0 → (x 2
)( )
− 4x − 5 x 2 − 3 = 0 →
→ x 4 − 3 x 2 − 4 x 3 + 12 x − 5 x 2 + 15 = 0
La ecuación pedida es: x 4 − 4 x 3 − 8 x 2 + 12x + 15 = 0
Ejercicio nº 1.-
Resuelve las siguientes ecuaciones:
2x 2 − 1 x − 1 1 − x
a) - =
2 3 6
b) x 4 − 26x 2 + 25 = 0
Solución:
a) Multiplicamos los dos miembros por 6:

8. ( )
3 2x 2 − 1 − 2 ( x − 1) = 1 − x → 6x 2 − 3 − 2 x + 2 = 1 − x →
8 2
=
12 3
1 ± 1 + 48 1 ± 7 =
→ 6x 2 − x − 2 = 0 → x= =
12 12 ‚
−6 −1
=
12 2
2 −1
Las soluciones son x1 = y x2 = .
3 2
b) Por ser bicuadrada, hacemos el cambio x2 2 z:
2
=1
2
26 ± 676 - 100 26 ± 576 26 ± 24 =
z 2 − 26z + 25 = 0 → z= = =
2 2 2 ‚
50
= 25
2
Si z = 1 → x 2 = 1 → x = ±1
Si z = 25 → x 2 = 25 → x = ±5
Las soluciones de esta ecuación son x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 5 y x 4 = 5.
Ejercicio nº 2.-
Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) x 4 + 9 − 6x 2 + 1 = 0
8
b) x + =5
2x
Solución:
a) x 4 + 9 = 6x 2 + 1
Elevamos ambos miembros al cuadrado:
x 4 + 9 = 6x 2 + 1 → x 4 − 6x 2 + 8 = 0
Ecuación bicuadrada, que resolvemos haciendo el cambio x 2 = z:
4
6 ± 36 − 32 6 ± 2 −
z − 6z + 8 = 0
2
→ z= =
2 2 ‚
2

9. Si z = 4 → x 2 = 4 → x = ±2
Si z = 2 → x 2 = 2 → x = ± 2
Comprobación:
x = ±2 → 16 + 9 − 24 + 1 = 25 − 25 = 0 → x = ±2 son soluciones.
x=± 2 → 4 + 9 − 12 + 1 = 13 − 13 = 0 → x=± 2 son soluciones.
Las soluciones son x1 = 2, x2 = −2, x3 = 2 y x4 = − 2.
b) Multiplicamos ambos miembros por 2x:
2 x 2 + 8 = 10x → 2 x 2 − 10x + 8 = 0 → x 2 − 5x + 4 = 0 →
4
5 ± 25 − 16 5 ± 9 5 ± 3
→ x= = =
2 2 2
1
Comprobación de las posibles soluciones:
8
4+ = 4 +1= 5 → 4 es solución
8
8
1+ = 1+ 4 = 5 → 1 es solución
2
Las soluciones son x1 = 4 y x2 = 1.
Ejercicio nº 3.-
Resuelve:
2x ( )(
x − 1 x 2 − 5x + 6 = 0 )
Solución:
Tenemos un producto de factores igualado a 0, luego se ha de cumplir:
x=0
x −1= 0 → x =1 → x =1
3
5 ± 25 − 24 5 ± 1
x − 5x + 6 = 0
2
→ x= =
2 2
2
Las soluciones son x = 0, x = 1, x = 2 y x = 3.
Ejercicio nº 1.-

10. Resuelve:
a) 2 ( 2x + 1) − 3 ( 2x − 1) + 5 ( 2x − 1) ( 2x + 1) = 0
2 2
b) 4x 4 − 25x 2 = 0
Solución:
a) Efectuamos los paréntesis teniendo en cuenta que todos son productos notables:
( ) (
2 4 x 2 + 4 x + 1 − 3 4x 2 − 4 x + 1 + 5 4 x 2 − 1 = 0) ( ) →
→ 8 x 2 + 8 x + 2 − 12 x 2 + 12 x − 3 + 20x 2 − 5 = 0 →
→ 16 x 2 + 20 x − 6 = 0 → 8x 2 + 10x − 3 = 0 →
−24 −3
=
16 2
−10 ± 100 + 96 −10 ± 196 −10 ± 14 =
→ x= = =
16 16 16 ‚
4 1
=
16 4
−3 1
Las soluciones son x1 = y x2 = .
2 4
b) Ecuación bicuadrada en la que podemos extraer x 2 como factor común:
(
4 x 4 - 25 x 2 = x 2 4 x 2 - 25 )
Así:
x 2 = 0 → x = 0

4x − 25 x = 0 → x 4 x − 25 = 0 →  2
4 2 2
( 2
) 25 5
4 x − 25 = 0 → x2 = → x=±
 4 2
5 5
Las soluciones son x1 = 0 , x2 = y x3 = - .
2 2
Ejercicio nº 2.-
Resuelve:
81
a) −1= 2
x3
b) x + 4 + x −1 = 3
Solución:

11. a) Multiplicamos ambos miembros por x3:
81
=3 → 81 = 3x 3 → x 3 = 27 → x =3
x3
Comprobamos si es, o no, solución en la ecuación inicial:
81
−1= 3 −1= 2 → x = 3 es solución
27
b) x + 4 = 3 − x −1
Elevamos ambos miembros al cuadrado:
x + 4 = 9 + x − 1− 6 x − 1 → 6 x −1 = 4 → 3 x −1 = 2
Volvemos a elevar al cuadrado:
13
9 ( x − 1) = 4 → 9x − 9 = 4 → 9 x = 13 → x=
9
Comprobamos si es, o no, solución:
13 49 7
+4 = =
9 9 3
13 4 2 7
3− −1 = 3 − =3− =
9 9 3 3
13
Ambos miembros coinciden, luego x = es la solución buscada.
9
Ejercicio nº 3.-
(
Resuelve esta ecuación: x ( 4x + 1) ( 2x − 7 ) x 2 − 4 = 0 )
Solución:
Para que el producto de varios factores sea 0, alguno de ellos tiene que ser 0. Así:
x = 0

 4 x + 1 = 0 → x = −1

( )
x ( 4 x + 1) ( 2 x − 7 ) x 2 − 4 = 0 → 
7
4
2 x − 7 = 0 → x =
 2
 x 2 − 4 = 0 → x = ±2

−1 7
Las soluciones son x = 0, x = , x = , x = 2 y x = −2.
4 2 Ejercicio nº 1.-

12. Resuelve:
2
 1 2 10
a)  x −  + x =
 3 3 9
4 2
b) x - 48 x - 49 = 0
Solución:
2 1 2 10 1 10
a) x 2 − x+ + x= → x2 + = →
3 9 3 9 9 9
9
→ x2 = → x2 = 1 → x = ±1
9
Las soluciones son x1 1 1 y x2 2 1.
b) Ecuación bicuadrada; hacemos x2 z y obtenemos:
−2
= −1
2
48 ± 2304 + 196 48 ± 50 =
z 2 - 48z - 49 = 0 → z= =
2 2 ‚
98
= 49
2
Si z = −1 → x 2 = −1 → no hay solución real
Si z = 49 → x 2 = 49 → x = ±7
Las soluciones son x1 = 7 y x2 = −7.
Ejercicio nº 2.-
Resuelve las ecuaciones:
a) 2x + 6x + 1 = 3
x 2x 15
b) + =
x +1 x −1 4
Solución:
a) 6x + 1 = 3 − 2 x
Elevamos ambos miembros al cuadrado:
6x + 1 = 9 − 12 x + 4 x 2 → 4 x 2 − 18 x + 8 = 0 → 2x 2 − 9 x + 4 = 0 →

13. 2 1
=
4 2
9 ± 81 − 32 9 ± 49 9 ± 7
→ x= = =
4 4 4
16
=4
4
Comprobamos las posibles soluciones sobre la ecuación:
1 6 1
2⋅ + + 1 = 1+ 4 = 1+ 2 = 3 → x= es solución
2 2 2
8 + 24 + 1 = 8 + 25 = 8 + 5 = 13 → x = 4 no es solución
1
La única solución es x = .
2
b) Multiplicamos ambos miembros por 4 ( x + 1) ( x − 1) :
4 x ( x − 1) + 8 x ( x + 1) = 15 ( x + 1) ( x − 1) →
→ 4 x 2 − 4 x + 8 x 2 + 8 x = 15 x 2 − 15 →
→ 12 x + 4 x = 15 x − 15
2 2
→ 3 x − 4 x − 15 = 0
2
→
18
=3
6
4 ± 16 + 180 4 ± 196 4 ± 14 =
→ x= = =
6 6 6 ‚
−10 −5
=
6 3
Comprobamos las soluciones:
3 6 3 6 3 + 12 15
+ = + = = → 3 es solución.
3 +1 3 −1 4 2 4 4
−5 −10 5 10
− −
3 + 3 = 3 + 3 = 5 + 10 = 20 + 10 = 30 = 15 → −
5
es solución.
−5 −5 2 8 2 8 8 8 4 3
+1 −1 − −
3 3 3 3
−5
Las soluciones son x1 = 3 y x2 = .
3
Ejercicio nº 3.-
Resuelve:
2x ( )(
x − 1 x 2 − 5x + 6 = 0)

14. Solución:
Tenemos un producto de factores igualado a 0, luego se ha de cumplir:
x=0
x −1= 0 → x =1 → x =1
3
5 ± 25 − 24 5 ± 1
x − 5x + 6 = 0
2
→ x= =
2 2
2
Las soluciones son x = 0, x = 1, x = 2 y x = 3.