Exercício linerización entrada-estado

1. EXERCÍCIO LINEARIZAÇÃO ENTRADA-ESTADO
Manuel Ricardo Vargas Ávila
Manuel06_20@hotmail.com
Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica
ELE222- Sistemas Não Lineares
RESUMO: O presente documento consiste em um
desenvolvimento dos exercícios propostos (Input-state ̇ ( ) ( ) (3)
linearization) na aula de sistemas não lineares.
Linearização entrada-estado é uma das técnicas de ( ( ))
controle mais conhecidas para lidar com os sistemas não
lineares e é muito eficaz em problemas de controle na Onde:
vida real.
 Controle linearizante
PALAVRAS-CHAVE: Linearização, variáveis de
estado, difeomorfismo, LQR, Matlab. ( ) (4)
( )
 (A,B) controlável e ( ) não singular em
.
1 BASE TEÓRICA
1.1 LINEARIZAÇÃO ENTRADA-ESTADO A não linearidade do sistema pode ser eliminada
pela equação (4), o qual pode estar definida em um
domínio e por tanto a linearização só será linear em
aquele domínio.
Escrevendo ( ) ( ( )) ( ) ( ( ))
Nós podemos reescrever (3) expressado nas novas
coordenadas:
̇ ( ) ( ) (5)
Figura1 - Input-state linearization
DEFINIÇÃO1: Considerando o seguinte sistema
não-linear SISO1, representado no modelo state-space Mas, quando é possível obter um sistema dado na
da forma: forma (3) ? A resposta é derivando a equação (2).
̇ ( ) ( ) (1)
̇ ̇ ( ) ( ) (6)
( )
Onde ( ) é o vetor de estados, ( ) éa
E igualando a (3), nós concluímos que o
entrada, ( ) é a medição da saída, e e
difeomorfimos deve satisfazer as seguintes condições:
definidas no domínio .A equação (1) é
linearizable entrada-estado si um difeomorfismo2
( ) contem o origem e o troco
de variáveis ( ) ( ) ( ) ( ) (7)
( ) (2)
( ) ( ) (8)
A equação (2) transforma o sistema (1) em:
1 2
Sistema que tem uma entrada e uma saída É uma mudança de variáveis T tal que ( ) esta
definido no domínio , sua inversa ( ) está definida
em ( ).
1

2. Agora tendo:
( ) [ ][ ]
( )
( ) [ ] (9)
( )
( ) [ ][ ]
(
A equação (7) é equivalente a: ( ) [ ][ ]
( ) ( ) Nos podemos observar que ( ) não depende de e
, por tanto:
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) Agora:
( )
( ) ( ) ( ) [ ][ ]
( )
A equação (8) é equivalente a: ( )
( ) ( ) ( ) [ ][ ]
( )
( )
( )
Por tanto:
( )
( ) ( )
( ) [ ]
A existência de que satisfazem (9) e
(10) é uma condição necessário e suficiente para que (1)
seja linearizavel entrada-estado.
O sistemas nas novas variáveis de estados fica:
Exemplo (exercício 12.5 do libro NONLINEAR
SYSTEMS, Hassan K. Khalil, 2ed)
Considere o seguinte sistema: {
̇
̇ A representação do sistema nas novas variáveis de
estados é:
̇
Agora a partir da equação (1) : ̇ ̇
̇ ̇
( ) [ ] ( ) [ ]
̇ ̇
Nós devemos procurar uma função ( ) que satisfaça
(10) e (11).
Agora nós podemos escolher (4) para cancelar o
termo não lineal da 2 e 3 equação:
2

3. ( ) ( )
( )
Por tanto o sistema linearizado fica:
̇
{ ̇
̇
2 CONCLUSÕES
 A linearização por realimentação tem 3
limitações. A primeira é que ela não pode ser
usado para todos os sistemas não lineares
(não todos os sistemas são linearizable
feedback). A segunda limitação é que todos
os estados do sistema devem ser acessíveis.
A terceira é que a robustez da técnica não é
garantida em presencia de incerteza.
 Si o sistema não linear não tem a estrutura
(20), isso não quer dizer que não é possível
fazer linearização por realimentação, pois a
representação no espaço de estados não é
única, é possível que um câmbio de variáveis
o transforme.
3 REFERÊNCIAS
[1] Métodos Analíticos para a Síntesis de Controladores em
sistemas de potencia, tese de Doctorado, Alexandre
Sanfelice Bazanella
[2] H. Khalil, ”Nonlinear Systems”, 2nd. ed., Prentice Hall, NJ, ,
1996.
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