1. UNIVERSIDAD NACIONAL
“SANTIAGO ANTUNEZ DE
MAYOLO”
CURSO: FISICA I
TEMA: FUERZAS - ESTATICA
Profesor: Mag. Optaciano Vásquez García
HUARAZ 2010

2. I. FUERZA
• En física, la fuerza es todo agente capaz de modificar la
cantidad de movimiento o la forma de los cuerpos. Es decir,
la fuerza expresa la acción mecánica de un cuerpo sobre
otro.
• Siendo la fuerza una cantidad vectorial su especificación
completa requiere de: (a) una intensidad, (b) una dirección y
sentido, y (c) un punto de aplicación.

3. ELEMENTOS DE LA FUERZA

4. I. FUERZA_1
La fuerza produce dos efectos:
A. Exteriores: En la estructura el efecto exterior de la fuerza F =
500 N, es las reacciones que aparecen sobre las varillas y
sobre el perno.
B. Interiores: El efecto interior de la fuerza F es las
deformaciones y esfuerzos resultantes distribuidos en el seno
del material

5. I. FUERZA_2
Al estudiar la mecánica de los cuerpos rígidos donde se tiene
en cuenta el efector exterior podemos considerar a la fuerza
como un vector deslizante es decir, goza del principio de
transmisibilidad, esto es, la fuerza puede considerarse
aplicada en cualquier punto de su línea de acción sin que
altere su efecto exterior sobre el cuerpo

6. II. CLASES DE FUERZAS
1. FUERZAS DE CONTACTO. 2. FUERZAS MASICAS
Se generan mediante el se crean por acción a
contacto físico directo entre distancia. Ejm. la fuerza
dos cuerpos gravitacional, eléctrica y
magnética.

7. II. CLASES DE FUERZAS_2
1. FUERZAS CONCENTRADAS . 2. FUERZAS DISTRIBUIDAS
Aquellas que se consideran Aquellas que se consideran
aplicada en un punto aplicadas en una línea, un área o
un volumen

8. III. UNIDADES DE FUERZA
• Una fuerza puede medirse comparándola con otras fuerzas
conocidas, recurriendo al equilibrio mecánico, o por
deformación calibrada de un resorte.
• La unidad patrón de la fuerza en el SI de unidades es el
Newton (1 N)

9. III. FUERZA RESULTANTE
• Consideremos dos fuerzas actuando sobre un cuerpo como
se ve en la figura .
• Geométricamente se determina mediante la ley del
paralelogramo o triángulo. Su modulo y dirección son
FR = F + F + 2 F F cos θ
1
2
2
2
1
2
2
2
FR F1 F2
= =
sen(π − θ ) senβ senα

10. EJEMPLO O1
Determine el ángulo θ para conectar el elemento
a la placa tal que la resultante de las fuerzas F A
y FB esté dirigida horizontalmente a la derecha.
Determine además la magnitud de la fuerza
resultante

11. EJEMPLO O2
La resultante FR de las dos fuerzas que actúan sobre el
tronco de madera está dirigido a lo largo del eje x positivo y
tiene una magnitud de 10 kN. Determine el ángulo θ que
forma el cable unido a B tal que la magnitud de la fuerza FB
en este cable sea un mínimo. ¿Cuál sería la magnitud de la
fuerza en cada cable para esta situación?

12. IV. DESCOMPOSICIÓN DE UNA FUERZA
1. EN DOS DIRECCIONES PERPENDICULARES EN EL PLANO
r r r
FR = Fx + Fy
r
FR = Fx i + Fy ˆ
ˆ j
r
FR = F cos θ i + Fsenθ ˆ
ˆ j
r
FR = F (cos θ i + senθ ˆ)
ˆ j
ˆ
λ = (cos θ iˆ + senθ ˆ)
j
FR = F12 + F22
Fy
tgθ =
Fx

13. Ejemplo
Calcule las componentes horizontal y vertical de las fuerzas
mostradas en la figura

14. IV. DESCOMPOSICIÓN DE UNA FUERZA
2. EN DOS DIRECCIONES NO PERPENDICULARES EN EL PLANO
r r r
FR = FA− A + FB − B

15. Ejemplo
Calcule las componentes de la fuerza de 260 N representada
en la figura, una de ellas actúa en la dirección de AB mientras
que la línea de acción de la otra componente pasa por C

16. Ejemplo
Calcule las componentes de la fuerza de 100 N representada
en la figura , una de ellas actúa en la dirección de AB y la otra
paralela a BC.

17. EJEMPLO O2
La fuerza de 500 N que actúa sobre la armadura ha de ser
resuelta en dos componentes actuando a lo largo de los
ejes AB y AC de la estructura. Si la componente de la
fuerza a lo largo de AC es de 300 N dirigida de A C,
determine la magnitud de la fuerza actuante a l largo de AB
y el ángulo θ de la fuerza de 500 N

18. EJEMPLO O2
La fuerza F de 500 N está aplicada al poste vertical tal
como se indica . (a) Escribir F en función de los vectores
unitarios i y j e identificar sus componentes vectoriales y
escalares; (b) hallar las componentes escalares de F en los
ejes x’ e y’; © hallar las componentes escalares de F en los
ejes x e y’.

19. IV. DESCOMPOSICIÓN DE UNA FUERZA
3. EN TRES DIRECCIONES PERPENDICULARES EN EL ESPACIO
r r r
FR = FH + Fz
r
ˆ j ˆ
FR = ( Fx i + Fy ˆ) + Fz k
r
FR = F cos α i + F cos β ˆ + F cos γ k
ˆ j ˆ
r
ˆ j ˆ
FR = F (cos α i + cos β ˆ + cos γ k )
ˆ ˆ
λ = (cos α iˆ + cos β ˆ + cos γ k )
j
Modulo
FR = Fx2 + Fy2 + Fz2

20. IV. DESCOMPOSICIÓN DE UNA FUERZA
3. DIRECCIONES DE LA FUERZA EN EL ESPACIO
Fy
Fx cos β =
cos α = F
F
Fz
cos γ =
F

21. V. FUERZA DEFINIDA POR SU MODULO Y DOS
PUNTOS DE SU LINEA DE ACCIÓN
En algunos caso la fuerza está definida por su modulo y dos
puntos de su línea de acción. En este caso
uuuu
r
r MN
ˆ
F = F λ = F uuuu
r
MN
r
F=F
( x2 − x1 ) iˆ + ( y2 − y1 ) ˆ + ( z2 − z1 ) kˆ
j
( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) + ( z2 − z1 )
2 2 2
r j ˆ
d xi + d y ˆ + d z k
ˆ ˆ
d xiˆ + d y ˆ + d z k
j
F=F =F
dx + d y + dz
2 2 2 d

22. EJEMPLO O2
Combinar las dos fuerza P y T, que actúan sobre el punto
B de la estructura fija, para obtener una única fuerza R.

23. EJEMPLO O2
En el sistema de fuerzas mostrado en la figura determine la
magnitud y la dirección de la fuerza resultante.

24. EJEMPLO O2
Expresar la fuerza F de 36 kN en función de los vectores
unitarios i, j y k. Hallar la proyección sobre el eje x

25. EJEMPLO O2
Expresar la fuerza F de 400 N en función de los vectores
unitarios i, j y k. Hallar la proyección sobre la recta OA.

26. EJEMPLO O2
Calcular las componentes rectangulares de la fuerza de
110 N, representada en la figura, una es paralela a AB y la
otra es perpendicular a esta línea.

27. MOMENTO DE UNA FUERZA
• En mecánica newtoniana, se denomina momento de una
fuerza (respecto a un punto dado) a una magnitud vectorial,
obtenida como producto vectorial del vector de posición del
punto de aplicación de la fuerza con respecto al punto al cual
se toma el momento por la fuerza, en ese orden. También se
le denomina momento dinámico o sencillamente momento.

28. MOMENTO DE UNA FUERZA
 El momento de una fuerza aplicada en un punto P con
respecto de un punto O viene dado por el producto vectorial
del vector de posición OP por el vector fuerza F; esto es
 El momento es un vector perpendicular al plano de r y F.
 La magnitud del momento esta dado por
 El sentido del momento se determina mediante la regla de la
mano derecha.
 Dado que las fuerzas tienen carácter de vectores deslizantes,
el momento de una fuerza es independiente de su punto de
aplicación sobre su recta de acción o directriz.

29. INTERPRETACIÓN DEL MOMENTO DE UNA
FUERZA
 El momento de una fuerza con respecto a un eje da a conocer
en qué medida existe capacidad en una fuerza o sistema de
fuerzas para causar la rotación del cuerpo alrededor de un eje
que pase por dicho punto.
 El momento tiende a provocar un giro en el cuerpo sobre el
cual se aplica y es una magnitud característica en elementos
que trabajan sometidos a torsión (como los ejes de
maquinaria) o a flexión (como las vigas

30. COMPONETES RECTANGULARES DEL MOMENTO
El momento de la fuerza respecto a
O es

31. COMPONETES RECTANGULARES DEL
MOMENTO RESPECTO A UN PUNTO
CUALQUIERA

32. COMPONETES RECTANGULARES DEL
MOMENTO EN EL PLANO

33. Ejemplo
• Determine el momento ejercido por el peso de 30 lbf con
respecto a los puntos (a) E y (b) S

34. Ejemplo
Se aplica una fuerza vertical de 100 lb al
extremo de una palanca que está unida a un
eje en O. Determine:
(a) el momento de la fuerza de 100 lb con
respecto al punto O,
(b) el módulo de la fuerza horizontal que
aplicada en A produce el mismo momento
produce el mismo momento respecto a O,
(c) la menor fuerza que aplicada en A
produce el mismo momento respecto a O,
(d) a que distancia del eje debe aplicarse una
fuerza vertical de 750 N para que produzca el
mismo momento respecto a O

35. SOLUCIÓN
Parte (a) La magnitud del momento de
la fuerza de 100 lb se obtiene
multiplicando la fuerza por el brazo de
palanca esto es
M O = Fd
d = ( 24 in.) cos 60° = 12 in.
M O = (100 lb )(12 in.)
M O = 1200 lb ⋅ in
La dirección de Mo es perpendicular al
plano que contiene F y d y su sentido se
determina mediante la regla derecha

36. SOLUCIÓN
Parte (b) La fuerza que aplcada
en A produce el mismo momento
se determina en la forma
siguiente
d = ( 24 in.) sin 60° = 20.8 in.
M O = Fd
1200 lb ⋅ in. = F ( 20.8 in.)
1200 lb ⋅ in.
F=
20.8 in.
F = 57.7 lb

37. SOLUCIÓN
Parte (b) Debido a que M = F d. el
mínimo valor de F corresponde al
máximo valor de d. Eligiendo la fuerza
perpendicular a OA se encuentra que d
= 24 in; entonces
M O = Fd
1200 lb ⋅ in. = F ( 24 in.)
1200 lb ⋅ in.
F=
24 in.
F = 50 lb

38. SOLUCIÓN
Parte (b). En este caso Mo = Fd
obteniendo
M O = Fd
1200 lb ⋅ in. = ( 240 lb ) d
1200 lb ⋅ in.
d= = 5 in.
240 lb
OB cos60° = 5 in.
OB = 10 in.

39. Ejemplo
• La placa rectangular es soportada por dos pernos en A y B y
por un alambre CD. Conociendo que la tensión e el alambre es
200 N. Determine el momento con respecto al punto A de la
fuerza ejercida por el alambre en C
SOLUCIÓN
El momento MA de la
fuerza F ejercida por el
alambre es obtenido
evaluando el producto
vectorial

40. SOLUCIÓN
r r r
M A = rC A × F
r r r r r
rC A = rC − rA = ( 0.3 m ) i + ( 0.08 m ) j
r
r r rC D
F = Fλ = ( 200 N )
rC D
r r r
− ( 0.3 m ) i + ( 0.24 m ) j − ( 0.32 m ) k
= ( 200 N )
0.5 m
r r r
= −(120 N ) i + ( 96 N ) j − (128 N ) k
r r r
i j k
r
M A = 0.3 0 0.08
− 120 96 − 128

41. Ejemplo
La tensión en el cable AB es 150 N. Determine la tensión en
AC y CD tal que la suma de los momentos alrededor del origen
debido a la fuerza ejercida por los cables en el punto A es
cero.

42. Ejemplos

43. MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO
A UN EJE QUE PASA POR EL ORIGEN
• Sabemos que el momento de la
fuerza F respecto al punto O.
• El momento de la fuerza F con
respecto al eje OL es la proyección
ortogonal de Mo sobre el eje OL.
r r r r ˆ
( ˆ )ˆ

ˆ ( )
M OL = λ .M 0 λ = λ . r .F λ

• El momento MOL de F alrededor del
eje OL mide la tendencia de la
fuerza F a impartir al cuerpo rígido
rotación alrededor del eje OL

44. MOMENTO DE UNA FUERZA CON
RESPECTO A UN EJE QUE PASA POR
UN PUNTO CUALQUIERA
• El momento de una fuerza
alrededor de un eje
cualquiera es
r r r r ˆ
( ˆ ) ˆ

ˆ ( )
M OL = λ .M B λ =  λ . rA / B .F λ

r r r
rA / B = rA − rB
• El resultado es
independiente del punto B

45. Ejemplo
• Sobre un cubo de arista a
actúa una fuerza P, como se
muestra en la figura. Determine
el momento de P:
(a) con respecto a A,
(b) con respecto a la arista AB.
(c) Con respecto a la diagonal
AG

46. SOLUCIÓN
r r r
• Moment of P about A,
M = r ×P
A F A
r r r r
A = ai − a j = a ( i − j )
r
rF
r r r r r
P = P( 2 i + 2 j ) = P 2 ( i + j )
r r r r r
M A = a( i − j ) × P 2 ( i + j )
r r r
M A = ( aP 2 ) ( i + j + k )
r
La magnitud del momento respecto a AB es
rof P r AB,
MMomenti • M A
•
AB = about
r r r
= i • ( aP 2 ) ( i + j + k )
r
M AB = aP 2

47. SOLUCIÓN
(c) La magnitud del momento respecto a AG es
r r
M AG = λ • M A
r r r r
r rA G ai − aj − ak 1 r r r
λ=
rA G
=
a 3
=
3
(i − j − k )
aP r r r
(i + j + k )
r
MA =
2
1 r r r aP r r r
M AG =
3
(i − j − k ) • 2 (i + j + k )
aP
= (1 − 1 − 1)
6
aP
M AG =−
6

48. Ejemplo
• Se aplica una tensión T de
intensidad 10 kN al cable
amarrado al extremo
superior A del mástil rígido
y se fija en tierra en B.
Hallar e momento Mz de T
respecto del eje Z que
pasa por la base O del
mástil.

49. Ejemplo
• La fuerza F tiene una
intensidad de 2 kN y está
dirigida de A hacia B.
Determine : (a) La
proyección FCD de La
fuerza F sobre la recta CD
(b) el ángulo que θ que
forma la fuerza F y la recta
CD y (c) si el modulo del
momento F respecto a la
recta CD es de 50 N. m,
halle el módulo de la
fuerza

50. Ejemplo
• La tensión el cable es 143,4 N. Determine el momento
alrededor del eje x de esta fuerza de tensión actuando en A.
Compare su resultado con el momento del peso de 15 kgf de
la placa uniforme alrededor del eje x. ¿Cuál es el momento de
fuerza de tensión actuando en A alrededor de la línea OB

51. Ejemplo
• Una barra doblada está rígidamente fijada a una pared en el
punto (0,0,0). Una fuerza de magnitud F = 7 lb actúa en su
extremo libre con una línea de acción que pasa por el origen,
como se muestra en la figura: Halle : (a) el momento de la
fuerza respecto al punto P, (b) el momento respecto a la línea l
que pasa por P con una pendiente 5/12 en el plano yz.

52. PRINCIPIO DE MOMENTOS: Teorema de Varignon
Si un sistema de fuerzas concurrentes esta actuando sobre
un cuerpo como se muestra en la figura, el momento de la
fuerza resultante alrededor del punto puede ser determinado
mediante la suma de cada uno de los momentos de las fueras
individuales respecto al mismo punto. Es decir:

53. CUPLA O PAR DE FUERZAS
La cupla o par de fuerzas es un sistema
formado por dos fuerzas F y –F que tiene la
misma magnitud, líneas de acción paralelas pero
de sentidos opuestos.
• El momento de la cupla es,
El vector momento de la cupla es un vector
independiente del origen o es decir es un
vector libre perpendicular al plano que
contiene la fuerzas

54. DIRECCIÓN Y SENTIDO DEL PAR
• La cupla es un vector libre perpendicular al plano
de la cupla y su sentido se determina mediante la
regla de la mano derecha

55. CUPLA O PAR DE FUERZAS
• Dos cuplas tendrán igual momento si:
a)
b) Las dos cuplas se encuentran
ubicadas en planos paralelos
c) La dos cuplas tienen el mismo
sentido o la misma tendencia a causar
rotación y la misma dirección

56. Ejemplo de cupla
• Determine el momento de la cupla mostrada en la
figura y la distancia perpendicular entre las dos
fuerzas

57. Ejemplo de cupla
Dos fuerzas paralelas de sentidos opuestos son F 1
= (-70i - 120j - 80k)lbf y F2 = (70i +120j + 80k)lbf y
actúan en los puntos A y B del cuerpo mostrado en
la figura. Determine el momento de la cupla y la
distancia perpendicular entre las dos fuerzas

58. EQUIVALENCIA ENTRE LOS PARES
Dos sistemas de fuerzas son equivalentes (es decir producen el mismo
efecto sobre un sólido) si pueden transformarse el uno en el otro
mediante una o varias de las operaciones siguientes:
a) Sustituyendo dos fuerzas que actúan sobre la misma partícula por su
resultante;
b) Descomponiendo una fuerza en dos componentes y
c) Anulando fuerzas iguales y opuestas que actúan sobre la misma
partícula
d) Aplicando a una partícula dos fuerzas iguales y opuestas
e) Moviendo una fuerza a lo largo de su recta soporte

59. SISTEMAS FUERZA CUPLA
Cualquier fuerza F aplicada a un sólido rígido puede ser trasladada
a un punto arbitrario B, sin más que añadir una cupla cuyo
momento sea igual al momento de F respecto de B
Cupla
No hay cambio en el
efecto externo

60. Ejemplo
Remplace la fuerza de 350 N por una fuera y una cupla en el
punto B- Exprese su respuesta en coordenadas cartesianas

61. solución
Se trazan dos fuerzas en B
como se ve en la figura . La
expresión vectorial de F es
El momento C será

62. Ejemplo
Remplace la fuerza de 600 N mostrada en la figura por una
fuera y una par en el punto A. Exprese su respuesta en
coordenadas cartesianas

63. Ejemplo
La tensión en el cable sujeto al extremo C del botalón ajustable
ABC es de 1000 N. Sustituir la fuerza que el cable ejerce en C por
un sistema fuerza-par equivalente : (a) en A , (b) en B

64. Ejemplo
• Una fuerza de 700 N es aplicada en el punto A de un
miembro estructural. Sustituirla por: (a) un sistema fuerza –
par equivalente en C, (b) un sistema equivalente
compuesto por una fuerza vertical en B y una segunda
fuerza en D

65. Ejemplo
La fuerza horizontal P actúa como se muestra sobre la palanca
acodada. (a) sustituir P por un sistema fuerza-par equivalente en B.
Determinar las dos fuerzas verticales en C y D equivalentes al par
hallado en la parte (a)

66. SISTEMAS FUERZA CUPLA
Paso 1 Paso 2 Paso 3
Seleccionar un Sumar las fuerza y
Remplazar las
punto para cuplas
fuerzas por una
encontrar el vectorialmente para
fuerza y un par en
momento encontrar la
el punto O
resultarte y el
momento resultante

67. Ejemplo
Reducir el sistema de fuerzas y momentos a una fuerza un
par actuando en A