Conemat 2010 - Aplicação de alguns métodos de Runge Kutta
Relatorio pou 3
1. Universidade Federal de São Carlos
Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas – CCET
Departamento de Engenharia Química – DEQ
Princípios de Operações Unitárias – Turma A
Determinação do Coeficiente de Difusão do Éter Etílico
e Etanol através de um sistema quasi-permanente.
São Carlos, Julho de 2013.
3. 3
1) Resumo:
O experimento consiste medir o coeficiente de difusão do éter etílico e do etanol
em um sistema quasi-permanente através da taxa de evaporação no ar, com os dados
obtidos será construído um gráfico de altura da coluna versus tempo, cujas alturas
medidas ao longo de uma semana, podendo-se comparar o valor obtido
experimentalmente com os dados calculados empiricamente e tabelados.
2) Introdução Teórica:
Através da equação do fluxo molar (Nax”) de uma espécie “a” na direção “x”,
dado que a pressão parcial de “a” na mistura é a pressão que o mesmo número de mols
de “a” exerceria puro, no volume da mistura e mantida a temperatura, temos da lei dos
gases ideias que:
(
⁄⁄
)
(equação 1)
Onde P é a pressão, R a constante dos gases, T a temperatura, Dab o coeficiente de
difusão da substância “a” em uma substância “b”, L o comprimento e P(vapor a) a pressão
de vapor da substância “a”.
Além disso, sabe-se que a equação foi formulada partindo das hipóteses de que o
líquido “a” é insolúvel em “b”, sendo “b” um vapor, e que o líquido “a” está saturado de
“b”. Tratando-se de um sistema como o exposto na figura 1, temos:
( ) ( )
(equação 2)
4. 4
Figura 1: sistema utilizado no desenvolvimento da equação.
Não havendo mudança de área e variando em relação ao tempo:
[
( ) ( )
]
(equação 3)
Como a massa do líquido é igual ao seu volume vezes a densidade (ρ) do
mesmo:
(equação 4)
A variação de massa será o fluxo de massa ( ) em relação ao tempo e a área
(A), logo:
(equação 5)
Dado que o fluxo molar ( ) é o fluxo de massa dividido pela massa molar
(MM), tem-se da equação (4) que:
(equação 6)
5. 5
Substituindo na equação (1), ficamos com:
( )
(equação 7)
Integrando-se a equação acima, dado que as condições de contorno são zero e Lo
(altura total), chega-se em:
( )
(equação 8)
Se traçarmos um gráfico de L2 versus Lo, para uma dada temperatura e pressão,
o coeficiente angular da reta, será dado por pelo termo “A”, que corresponde:
( )
(equação 9)
Sabendo-se os demais parâmetros pode-se obter o coeficiente de difusão, assim
como a partir de cálculos teóricos e correlações empíricas.
3) Materiais e Métodos:
Para o experimento utilizaram-se duas células constituídas de tubos de vidro
com diâmetros definidos, presas a um suporte graduado, e já preenchidas do líquido a
ser estudado, uma com éter etílico e outra com etanol. As células foram colocadas em
uma capela, onde se encontrava também um termômetro e um barômetro.
4) Procedimento Experimental:
Ao longo da semana realizam-se três medidas diárias do volume de líquido que
permanecia na célula, assim como da temperatura e da pressão. Sendo que as células já
estavam em regime quasi-permante. As medidas foram anotadas e passadas
posteriormente para uma planilha no Excel.
6. 6
Os dados das substâncias podem ser vistos na tabela abaixo:
Tabela 1 – Dados das Substâncias utilizadas.
Substância Éter Etílico Etanol
Célula 9 10
Lo (cm) 39 39
Diâmetro (mm) 4 0,4
Massa molar (g/mol) 74,12 46,07
Densidade (g/cm3
) 0,713 0,798
Pressão de Vapor (bar) 0,589 0,0595
R (cm3
.bar/K.mol) = 83,14472
Assim como as medidas realizadas:
Tabela 2 – Medidas realizadas ao longo da semana.
Medida (t) Medida (h) T (°C) P (mmHg) Léter (cm) Letanol (cm)
17/06 - 13h30 0 22 704 35,5 38,5
17/06 - 17h 3 22 704 35,3 38,2
18/06 - 8h31 18 18 704 31,4 38,1
18/06 - 12h 22 21 705 31 38,1
18/06 - 15h36 25 22 704 30,5 37,5
19/06 - 10h10 44 21 704 28,1 37,1
19/06 - 13h20 47 22 704 27,7 37
19/06 - 16h 50 23 703 27,5 37
20/06 - 9h42 68 21 705 25,5 36,5
20/06 - 12h10 70 23 705 25,4 36,5
20/06 - 17h 75 24 703 24,9 36,5
21/06 - 13h40 95 24 702 22,9 36,1
21/06 - 15h 97 24 702 22,9 36,1
Média - 22,076923 703,7692 - -
5) Resultados e Discussão:
7. 7
Para a obtenção dos gráficos, os dados obtidos foram tratados, passando-os para
as devidas unidades, assim, através da média da temperatura e da pressão, obtemos, com
os devidos fatores de conversão:
( ) ( )
(Equação 10)
Logo, temos T (K) = 295,076
Para a pressão, 1 (mmHg) equivale à 0,00133 (bar), portanto, temos P (bar) =
0,938.
Para a obtenção do coeficiente de difusão, que está inserido no termo “A” da
equação 8, calculamos a diferença entre a altura inicial da coluna de vidro (Lo) e da
medida (L), obtendo-se Lreal, que equivale ao quanto de líquido foi evaporado, a partir
deste, elevou-se ao quadrado para posterior obtenção do gráfico:
Tabela 3 – Medidas para o Éter Etílico.
Medida (h) Léter medido (cm) Lo - Léter (Ltotal)2
(cm2
)
0 35,5 3,5 12,25
3 35,3 3,7 13,69
18 31,4 7,6 57,76
22 31 8 64
25 30,5 8,5 72,25
44 28,1 10,9 118,81
47 27,7 11,3 127,69
50 27,5 11,5 132,25
68 25,5 13,5 182,25
70 25,4 13,6 184,96
75 24,9 14,1 198,81
95 22,9 16,1 259,21
97 22,9 16,1 259,21
O mesmo foi feito para o etanol:
9. 9
Devido aos dois pontos fora reta, retirando-os, ficamos com o seguinte gráfico:
Com os valores do coeficiente angular das retas, podemos achar o coeficiente de
difusão para cada uma das substâncias, através do termo “A” (equação 9). Usando-se os
valores de P = 0,938 bar; T = 295,1 K; R = 83,144 cm3
.bar/K.mol, já os valores de
pressão de vapor, massa molar e densidade são retirados da tabela 1 para as respectivas
substâncias.
y = 0,0892x - 0,2177
R² = 0,9788
0
2
4
6
8
10
0 20 40 60 80 100 120
Ltotal2(cm2)
Medida (h)
Gráfico 2 - Etanol
y = 0,0848x + 0,1493
R² = 0,9929
0
2
4
6
8
10
0 20 40 60 80 100 120
Ltotal
2(cm2)
Medida (h)
Gráfico 3 - Etanol
10. 10
Obtemos então:
- Coeficiente angular = 2,577 cm2
/h e Dab(éter) = 328,02 cm2
/h ou 0,0911 cm2
/s.
- Coeficiente angular (Gráfico 2) = 0,0892 cm2
/h e Dab(etanol) = 308,25 cm2
/h ou
0,0856 cm2
/s.
- Coeficiente angular (Gráfico 3) = 0,0848 cm2
/h e Dab(etanol) = 293,04 cm2
/h ou
0,0814 cm2
/s.
Calculou-se também os valores teóricos, através da equação de Chapman e
Enskog, que consta em REID ,ET AL . Dada por:
⁄
(equação 11)
Onde:
Dab = Coeficiente de Difusão, T = Temperatura (K), P = Pressão (bar), σab =
comprimento de ligação característico (Å) e D = integral da difusão de colisão.
O comprimento da ligação característico σab, é dado pela seguinte equação:
( )
(equação 12)
Os valores de σ são encontrados na tabela 1 no anexo B, obtendo-se então os
seguintes valores:
Tabela 5 – Comprimentos de Ligação Característicos.
Substância σab (Å)
Etanol 4,1205
Éter 4,6945
A integral da difusão de colisão é dada como:
11. 11
( ) ( ) ( ) ( )
(equação 13)
Onde T* = kT/ Ɛab e A,B,C,D,E,F,G e H são constantes. Com isso foram obtidos os
valores de ab:
Tabela 6 - Integral da Difusão de Colisão.
Substância Ωab
Éter 1,099145
Etanol 1,126992
Então utilizando massa molar do ar igual a 28,9g/mol, T = 295K e P = 1 bar, obtemos:
Tabela 7 – Dab Teórico.
Substância Dab (cm2
/s)
Éter 0,086
Etanol 0,118
Com o intuito de comparar os valores obtidos experimentalmente com mais
alguma correlação empírica, calculou-se também o coeficiente de difusão mássico pela
equação de Fuller, apresentada pela equação:
√ [(∑ )
⁄
(∑ )
⁄
]
(equação 14)
Onde, ∑ é o volume de difusão atômica da molécula e a pressão, neste
caso, é utilizada em bar.
Assim, foram calculados os volumes atômicos para cada molécula e para o Ar
através dos valores de cada átomo. Estes resultados são apresentados no Apêndice B.
Então, puderam-se obter os valores de Dab que são representados pela Tabela abaixo:
12. 12
Tabela 8 – Dab pela equação de Fuller.
Substância Dab
Éter 0,072
Etanol 0,114
Consultou-se também a literatura e os seguintes valores da difusividade, de cada
uma das substâncias, são dados na Tabela :
Tabela 9 – Valores da Literatura de Dab.
Substância Dab
Éter 0,086
Etanol 0,122
Fonte: WELTY, 2008
Os desvios obtidos podem ser explicados. A hipótese de que A é removido no
topo da coluna, pode causar desvios, pois durante a semana todas as células de Stefan
difundiram o líquido volátil e, provavelmente, o ar dentro da capela poderia conter uma
concentração razoável dos compostos orgânicos.
Também em consequência da saturação, a hipótese de mistura binária não é
garantida, pois pode ocorrer a difusão de um composto de uma célula para outra. Outra
hipótese é a de que a variação da umidade do ar pode afetar suas propriedades.
A consideração de um regime pseudo-estacionário, pode também causar
desvios, apesar de razoável. Por último, a consideração da mistura gasosa como gás
ideal, pode interferir nos resultados, pois despreza as interações intermoleculares.
A soma desses e de outros fatores podem ter causado o desvio encontrado nos
resultados.
6) Conclusão:
O valor encontrado experimentalmente foi de Dab= 0,0911 cm2
/s e Dab= 0,0856
cm2
/s, para o éter e para o álcool respectivamente. . O erro relativo entre as medidas,
comparando-se com os valores obtidos da literatura é de aproximadamente 30%
para o etanol e de 6% para o éter.
13. 13
Constatou-se que o experimento realizado para a determinação do coeficiente de
difusividade do éter etílico no ar pôde gerar um valor com boa aproximação do valor
teórico, levando em conta o erro do equipamento de medição e dos experimentadores, e
o valor teórico utilizado na comparação.
Apesar dos desvios obtidos, percebe-se que, mesmo com as hipóteses de
simplificação feita para a temperatura, pressão, consideração da densidade constante, da
evaporação lenta e do ar ser considerado um gás estagnado, pode-se considerar o
modelo utilizado eficiente na determinação experimental do coeficiente de difusividade
do éter e do etanol no ar.
7) Referência Bibliográfica:
REID, R. C., PRAUSNITZ, J. M. & POLING, B. E: The Properties of Gases and
Liquids, 4°ed., Nova Iorque: ed.McGraw-Hill, 1988. Pág: 577-590,733-734.
WELTY, J. R.; WICKS, C. E. & WILSON, R. E: Fundamentals of Momentum, Heat
and Mass Transfer. 5° ed. Nova Iorque: John Wiley & Sons. 2007
8) Memória de Cálculo:
Através da planilha no Excel, como visto na figura 2, realizaram-se todas as
contas, para a obtenção de L2
. O tempo relativo às medidas foi todo convertido em
horas. Utilizou-se da ferramenta de um gráfico de dispersão “xy”, para a construção dos
dois gráficos, sendo o eixo “x” o eixo das horas e o eixo “y” o eixo relativo à L2
.
Figura 2: Montagem da planilha.
14. 14
Após a plotagem dos gráficos, utilizando-se uma linha de tendência, obteve-se a
equação da reta, de onde se pode tirar o coeficiente angular, que substituiu o termo “A”
da equação (9), as demais variáveis já haviam sido expostas, apenas substituíram-se os
valores para a obtenção do coeficiente de difusão (Dab).
Para o cálculo do Dab teórico, foi utilizada a equação 11, sendo usados: T=
295K, P = 1 bar, σab = 4,1205Å e σab = 4,6945 Å, para o etanol e o éter respectivamente.
O comprimento da ligação característico σab, é dado pela equação 12, os valores
de σ são encontrados no anexo B.
A integral da difusão de colisão, dada pela equação 13, cujos valores de Ɛa são
obtidos na tabela 1 do apêndice B, e temos que: ( ) . Além disso,
usam-se os seguintes valores de constantes: A= 1,06036 ; B= 0,15610; C= 0,19300;
D= 0,47635; E = 1,03587; F = 1,52996; G = 1,76474; H= 3,89411; T = 295K e k =
1,380x10-23
m2
kg s-2
K-1
.
Para a equação 13, foram utilizados os seguintes parâmetros:
Tabela 10 - Volumes de Difusão Atômica.
C H O Ar
15,9 2,31 6,11 19,7
Sendo assim, temos:
Tabela 11 - Volume Atômico.
Etanol Éter Ar
C2H6O C4H10O
51,77 92,81 19,7
