UNIR cálculo problemas

UNIVERSIDADE FEDERAL DE RONDÔNIA – UNIR
NÚCLEO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA – NCT
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
COORDENAÇÃO DE PÓS–GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA

USO E APLICAÇÃO DA
CALCULADORA CIENTÍFICA
NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS

Marcus Antonio de Oliveira Santos

Ariquemes – RO
2006

Marcus Antonio de Oliveira Santos

Uso e Aplicação da
Calculadora Científica
na resolução de problemas Matemáticos

Monografia apresentada a coordenação de
Pós – Graduação

“Lato Sensu” em

Matemática da UNIR, como requisito para
obtenção do título de especialista em
Ensino da Matemática.
Orientador: Prof. Ms. Adeilton Fernandes
da Costa

Universidade Federal de Rondônia
Ariquemes – RO
2006

Agradecimento

Senhor meu Deus, eu te agradeço pela minha
vida e por mais esta possibilidade de estudos
que me destes, pela minha saúde e pelo
trabalho que me ofertas gratuitamente.

Faz de mim um profissional digno e exemplo
de tua sabedoria, misericórdia e bondade.

“O temor do Senhor é o princípio do
saber, mas os loucos desprezam a sabedoria e
o ensino”. Prov. 1:7

Sumário

Resumo …………………………………………………………………………………

7

Capítulo I ………………………………………………………………………………

8

1. 1 Introdução……………………………………………………………………..

8

1. 2 Justificativa……………………………………………………………………

9

1. 3 Objetivos da Monografia ……………………………………………………..

10

1. 4 Organização da Monografia …………………………………………………..

10

Capítulo II ……………………………………………………………………………...

11

2. 1 O surgimento das calculadoras ………………………………………………..

11

2. 2 Multiplicando com as mãos …………………………………………………...

12

2. 3 Os ábacos ……………………………………………………………………..

13

2. 4 O contador mecânico ………………………………………………………….

14

Capítulo III ……………………………………………………………………………..

15

3. 1 O uso da calculadora em sala de aula …………………………………………

15

Capítulo IV ……………………………………………………………………………..

20

4. 1 A resolução de problemas ……………………………………………………..

20

Capítulo V ………………………………………………………………………………

26

5. 1 Que calculadora vamos aprender a utilizar? …………………………………..

26

5. 2 As primeiras teclas da calculadora ……………………………………………

27

5. 3 Modos de unidade angular …………………………………………………….

27

5. 4 Resolução algébrica e com uso da calculadora ………………………………..

28

5. 4. 1 Base de um sistema de numeração ……………………………………..

28

5. 4. 2 Conversão de base n ……………………………………………………

28

5. 4. 3 Operações elementares …………………………………………………

30

5. 4. 4 Resolvendo expressões numéricas ……………………………………..

30

5. 5 Alterações e Trocas ……………………………………………………………

31

5. 6 Encontrando o resto da divisão com a calculadora ……………………………

33

5. 7 Calculando potências com a calculadora ………………………………………

33

5. 8 O uso da tecla 2ndF ou Inv ……………………………………………………

34

5. 9 Porcentagem …………………………………………………………………..

35

5. 10 Potências e raízes de números racionais ..……………………………………

37

5. 10. 1 Adição algébrica, Multiplicação, Divisão e Potenciação de números
inteiros …………………………………………………………………

39

5. 10. 2 Adição algébrica, Multiplicação, Divisão e Potenciação de números
racionais ………………………………………………………………..

40

5. 10. 3 Potências de base dez …………………………………………………

42

5. 10. 4 Notação científica …………………………………………………….

43

5. 11 Operações com medidas de ângulos …..……………………………………..

44

5. 11. 1 Simplificando o resultado .……………………………………………

45

5. 11. 2 Adição e Subtração .………………………………………………….

46

5. 11. 3 Multiplicação e Divisão por um número natural ….…………………

47

5. 12 Calculando o tempo …………………………………………………………

48

5. 13 O número л (pi) .……………………………………………………………..

49

5. 14 Potência de um número real com expoente natural ………………………….

50

5. 14. 1 Potência de um número real com expoente inteiro negativo …………

51

5. 15 Calculando com radicais (raiz enésima de um número real) …………………

52

5. 16 Juro Simples ………………………………………………………………….

54

5. 17 Memória …………………………………………………………………......

55

5. 18 Trigonometria ………………………………………………………………..

56

5. 18. 1 As relações trigonométricas nos triângulos retângulos ………………

57

5. 19 Estudando as relações trigonométricas em um triângulo qualquer ………….

60

5. 19. 1 Lei (ou teorema) dos senos …………………………………………..

60

5. 19. 2 Lei (ou teorema) dos cossenos ………………………………………..

61

5. 20 Relações métricas na circunferência ………………………………………...

62

5. 21 Unidade de medidas de arcos e ângulos ……………………………………..

64

5. 21. 1 O grau e o radiano …………………………………………………….

64

5. 21. 2 Conversão de arcos ……………………………………………………

65

5. 22 Logaritmo …………………………………………………………………….

71

5. 22. 1 Propriedades ………………………………………………………….

71

5. 23 Progressão Aritmética ………………………………………………………..

75

5. 23. 1 Fórmula do termo geral de uma PA ………………………………….

75

5. 23. 2 Fórmula da soma dos termos de uma PA …………………………….

76

5. 24 Progressão Geométrica ………………………………………………………

77

5. 24. 1 Fórmula do termo geral de uma PG ………………………………….

78

5. 24. 2 Fórmula da soma dos n termos de uma PG …………………………..

78

5. 25 Fatorial ……………………………………………………………………….

81

5. 26 Números Complexos …………………………………………………………

83

5. 26. 1 Adição e subtração ……………………………………………………

83

5. 26. 2 Multiplicação …………………………………………………………

84

5. 26. 3 Divisão ………………………………………………………………..

85

5. 27 Noções de Estatísticas ……………………………………………………….

86

Capítulo VI ……………………………………………………………………………..

88

6. 1 Resolução de problemas de forma algébrica e com o uso da calculadora …….

88

6. 1. 1 Problema – Trigonometria …………………………………………….

88

6. 1. 2 Problema – Logaritmo …………………………………………………

91

6. 1. 3 Problema – Matemática financeira (Juros compostos) ………………..

93

6. 1. 4 Problema – Progressão aritmética (P.A.) ………………………………

95

6. 1. 5 Problema – Progressão geométrica (P.G.) ……………………………..

98

6. 1. 6 Problema – Funções Circulares (Arcos e ângulos) …………………….

100

6. 1. 7 Problema – Funções Circulares (Aceleração centrípeta) ………………

102

6. 1. 8 Problema – Estatística ………………………………………………….

104

Conclusão ………………………………………………………………………….…… 109
Referências ………………………………………………………………………..……. 111
Anexo …………………………………………………………………………………...

113

Resumo

Os avanços tecnológicos e sua utilização como recurso didático tem contribuído com
o desenvolvimento humano e científico, fazendo parte do nosso cotidiano, principalmente a
calculadora científica sendo objeto utilitário e presente na vida da maior parte da sociedade,
na resolução de problemas, se mostra eficaz nas mais variadas circunstâncias, sendo uma
realidade na vida do educando que a utiliza tanto em sala de aula como em outras atividades
que venha exigir cálculo.
Esta monografia mostra a aplicação da calculadora científica na resolução de
problemas matemáticos a nível fundamental e médio, a evolução dos números em seus
recursos de aplicação mais primitivos para cálculos, até as formas mais complexas de
raciocínio lógico exigidas a partir do advento da revolução industrial com a proliferação
comercial que se torna necessário o uso da calculadora. Faz uma reflexão sobre o uso da
calculadora em sala de aula, vez que é uma ferramenta presente no cotidiano escolar, que
facilitar a vida do educando e docente, já que não precisa mais fazer arranjos para evitar
cálculos longos e com respostas esquisitas. Em seguida falamos sobre uma das atuais
tendências em Educação Matemática que é a Resolução de Problemas, os quatros passos de
George Polya utilizados na resolução de problemas e as categorias de problemas segundo
Thomas Butts, mostra a aplicação da calculadora nos principais conteúdos do ensino
fundamental e médio que exigem cálculos e alguns problemas matemáticos onde se faz
necessário o uso da calculadora, a partir da metodologia de Polya.
Palavras-Chave: Tecnologia e seus recursos.
problemas.

Conhecimento matemático. Resolução de

Capítulo I

1. 1 Introdução

A tecnologia constitui um dos principais agentes de transformação da sociedade, vez
que agiliza o desenvolvimento humano e científico, é um artifício que deve ser utilizada na
escola como recurso didático. Recurso esse, que os Parâmetros Curriculares Nacionais – PCN
– Matemática diz que traz significativas contribuições para se repensar sobre o processo de
ensino e aprendizagem de Matemática à medida que 1 :
“relativiza a importância do cálculo mecânico e da simples
manipulação simbólica, uma vez que por meio de instrumentos
esses cálculos podem ser realizados de modo mais rápido e
eficiente”.
Atualmente, a calculadora é um recurso tecnológico acessível e muito utilizado. Ela
faz parte do nosso cotidiano e pode ser encontrada numa variedade de modelos e de preços.
No meio social ela se apresenta como um instrumento facilitador de cálculos, porém, em
algumas escolas ela não é vista assim. A maioria dos professores de Matemática não permite
o seu uso em sala de aula e, alguns justificam dizendo que usando a calculadora, os alunos
não aprenderão a fazer contas e ficarão dependentes da máquina, outros porque os alunos só a
usam para realizar as quatro operações.
Todavia fica a questão: podemos aprender Matemática utilizando a máquina de
calcular como recurso didático?
A calculadora utilizada em certos momentos e com objetivos pré-definidos, pode ser
transformada numa excelente ferramenta para aprimorar o raciocínio lógico e até agilizar o
cálculo mental. Lembrando que a calculadora não deve ser usada apenas como um
instrumento para fazer as quatro operações, operações essas que o aluno já deve ter tirocínio
bastante para fazer de cabeça, e sim outros cálculos já que tão importante quanto realizar
cálculos corretamente é saber elaborar caminhos de resolução para os problemas propostos,
ou seja criar meios para que o aluno canalizem suas energias para o raciocínio. Sendo assim, a
calculadora não só pode como deve ser utilizada em sala de aula sempre que o cálculo for um
meio para a realização do trabalho e não a atividade principal. A escola deve preparar o aluno
para o futuro e, para isso, deve incorporar os avanços tecnológicos.
1

BRASIL. M inistério da Educação. Parâmetros curriculares nacionais: Matemática. Brasília: SEF, 2001. P. 43.

A respeito da calculadora, pode-se ler nos Parâmetros Curriculares Nacionais que ela
abre novas possibilidades educativas, como a de levar o aluno a perceber a importância do uso
dos meios tecnológicos disponíveis na sociedade contemporânea.
Atualmente, tornou-se primordial saber analisar situações e encontrar soluções para
os problemas surgidos. Neste contexto, a calculadora é um instrumento que auxilia o trabalho
do professor, de acordo com o National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) 2 :
“As calculadoras permitem às crianças a exploração de idéias
numéricas e de regularidades, a realização de experiências
importantes para o desenvolvimento de conceitos e a investigação
de aplicações realistas, ao mesmo tempo que colocam a ênfase nos
processos de resolução de problemas. O uso inteligente das
calculadoras pode aumentar, quer a qualidade do currículo, quer a
qualidade da aprendizagem.” (NCTM, 1991, p. 23).
Assim, a calculadora poderá ser usada como recurso para compreender algumas
operações e seus significados, bem como na verificação de resultados e validação de
estratégias utilizadas na resolução de problemas. Em nenhum momento a calculadora pode
substituir o raciocínio do aluno. O que não pode acontecer é o da escola não conseguir atingir
um dos seus papeis, que é 3 :
“...levar o aluno a dominar, minimamente, as tecnologias presentes
em sua realidade,...” (KIYUKAWA & SMOLE, 1998, p. 9).
Para que os alunos usem adequadamente a calculadora científica, é necessário que
conheçam as funções das teclas e o momento em que devam utilizá-la.
1. 2 Justificativa

A importância do conhecimento e utilização dos recursos tecnológicos é algo
indiscutível, mas existe um alto índice de alunos que não conseguem resolver problemas
matemáticos corretamente, nem com o uso da calculadora científica.
A constatação de lacunas deixadas pela Escola quanto ao uso das novas tecnologias,
que dificulta a vida do aluno tanto no trabalho quanto na vida estudantil em nível superior.
2
NCTM. Normas para o Currículo e a Avaliação em Matemática Escolar. Lisboa: Associação de Professores de
Matemática e Instituto de Inovação Educacional. Outubro, 1991. p. 23.
3
KIYUKAWA, Rokusaburo & SMOLE, Kátia Cristina Stocco. Manual do Professor: Matemát ica ensino méd io.
São Paulo: Saraiva, 1998.

Este trabalho se justifica pela necessidade de mostrar, de forma prática, o uso da
calculadora científica na resolução de problemas matemáticos.
1. 3 Objetivos da Monografia

Desenvolver no aluno, a capacidade de utilização, de forma prática e eficiente, da
calculadora científica como instrumento facilitador na resolução de problemas matemáticos.
1. 4 Organização da Monografia

A monografia esta dividida em capítulos.
O capitulo I mostra os avanços tecnológicos como recursos que devem ser
aproveitados na educação.
O capítulo II mostra o porque da necessidade do surgimento das primeiras
calculadoras usada pelo homem e como se fazia algumas operações em seguida, relata sobre o
surgimento das primeiras máquinas eletrônicas até o aparecimento da maquinas científicas
gráficas.
O capítulo III faz uma reflexão sobre a utilização da calculadora científica em sala de
aula. Enfatiza as potencialidades da mesma enquanto facilitadora da aprendizagem de
conceitos matemáticos e geradora de exemplos e o papel importante que ela desempenha no
desenvolvimento do raciocínio e na resolução de problemas, aliviando o peso dos cálculos e
permitindo que o aluno se concentre nas estratégias de resolução.
O capítulo IV trata sobre a Resolução de Problemas, uma das atuais tendências em
Educação Matemática, e quanto os problemas são motivadores da aprendizagem e a
importância dos mesmos para o desenvolvimento de conceitos matemáticos, tornando esses
conceitos mais significativos para o aluno. Há também a apresentação dos quatro passos de
Polya utilizados na resolução de problemas e as categorias de problemas segundo Thomas
Butts.
O capítulo V mostra a calculadora que iremos utilizar e sua aplicação na resolução de
atividades do ensino fundamental e médio.
O capítulo VI mostra, o uso da calculadora científica na resolução de alguns
problemas Matemáticos do nível fundamental e médio, a partir de aplicações de
trigonometria, logaritmo, funções circulares, PA, PG e estatística.
E finalmente são apresentadas as conclusões sobre o trabalho e bibliografia.

Capítulo II

2. 1 O surgimento das calculadoras

A evolução dos números, e do próprio homem, com o desenvolvimento comercial,
levou esse a ter necessidades cada vez maiores para criar artifícios, mecanismos e dispositivos
cada vez mais simples para trabalhar os números nas atividades comerciais. A partir do
momento em que teve acesso à abstração dos números e aprendeu a distinção sutil entre o
número cardinal e ordinal, ele retomou seus antigos “instrumentos” (pedras, conchas,
pauzinhos, bastões entalhados, nós de corda etc.) e passou a considera- los sob o ângulo da
contagem. Ele aprendeu a conceber conjuntos cada vez mais extensos, mas ainda precisava
aprender a representar números cada vez maiores. Para resolver o problema, já que não podia
criar novos nomes e símbolos ao infinito, passou a agrupar seus instrumentos por dezenas (ou
“feixes” de dez unidades), por centenas (ou dezenas de dezenas) etc. Na linguagem dos
matemáticos, isto se chama “empregar a base dez”. a base dez não é a única, de acordo com o
período da história o homem foi aprendendo a agrupar seus instrumentos de acordo com as
necessidades que iam surgindo, existe a base oito, a base doze, a base sessenta etc, que ainda
são utilizadas no nosso dia-a-dia.
A base dez foi e continua sendo a mais comum no curso da história, sua adoção é
quase universal, pois corresponde a uma ordem de grandeza satisfatória para a memória
humana, os nomes de números ou os símbolos de base por ela exigidos são pouco numerosos,
sendo que uma tabela de adição ou de multiplicação pode ser facilmente aprendida de cor.
Foi desta forma que, aprendendo a contar abstratamente, o homem aprendeu a
estimar, avaliar e medir grandezas diversas. Ele elaborou inúmeras técnicas operatórias e de
estabelecer os primeiros rudimentos de uma aritmética que o conduziu à álgebra. Os cálculos
envolvendo números cada vez maiores levaram o homem a inventar mecanismos que
facilitassem os cálculos, mecanismos esses que foram evoluindo até chegar a máquina de
calcular.
O mais antigo e difundido dos acessórios de contagem e de cálculo para os povos
através dos tempos foi a mão do homem. Pelo número considerável de seus ossos e de suas
articulações correspondentes, pela disposição assimétrica de seus dedos e sua relativa
autonomia, bem como pelo diálogo que mantém permanentemente com o cérebro. O ser
humano soube tirar dela o máximo proveito, a partir do momento em que foi capaz de contar
de modo abstrato e de assimilar o principio da base...

2. 2 Multiplicando com as mãos

Para multiplicar 7 por 6, por exemplo, ele dobrava numa das mão tantos dedos
quantas unidades suplementares há em 7 com relação a 5 (isto é: 7 – 5 = 2 dedos) e mantinha
os três outros estendidos. Em seguida, dobrava na outra mão os dedos correspondentes às
unidades suplementares de 6 em relação a 5 (isto é: 6 – 5 = 1 dedo), mantendo os quatro
outros estendidos. O resultado é obtido inicialmente multiplicando por 10 (de cabeça,
evidentemente) o número de dedos dobrados nas duas mãos ─ o que dava (2 + 1) x 10 = 30 ─
acrescentando em seguida este resultado parcial ao produto dos dedos levantados da primeira
mão pelo da segunda (isto é: 3 x 4 = 12).
Assim, se chega a:
7 x 6 = (2 + 1) x 10 + (3 + 4) = 42
Este procedimento concreto, que os antigos descobriram é infalível, vez que permite
efetuar rapidamente multiplicações de todos os números compreendidos entre 5 e 10. Talvez
por isso muitos professores, até o final do século passado, proibiam seus alunos de usarem as
mãos para fazerem cálculo durante as provas e atividades de sala.
As multiplicações dos números compreendidos entre 10 e 15, 15 e 20, 20 e 25, e
assim por diante, também eram feitas pelo sistema digital, mas para isso suponha-se que os
antigos sabiam de cor os quadrados de 10, 15, 20, 25 etc. Veja este novo exemplo.
Para multiplicarmos 19 por 17, por exemplo, primeiro devemos dobrar numa das
mãos os dedos correspondentes às unidades suplementares de 19 em relação a 15 (ou seja: 19
– 15 = 4 dedos) e na outra tantos dedos quantas unidades suplementares há em 17 com relação
a 15 ( ou seja: 17 – 15 = 2 dedos). Se chega ao resultado multiplicando, de cabeça, por 15 o
número total de dedos dobrados ─ o que dá (4 + 2) x 15 = 90 ─, acrescentando a ele o produto
(igual a 4 x 2 = 8) dos dedos dobrados e adicionando enfim este resultado parcial ao quadrado
de 15.
Desse modo se chega a:
19 x 17 = 15 x (4 + 2) + (4 x 2) + 225 = 323
Um outro método concreto, também universalmente testado, é o dos “montes de
pedras”. Ele marca o “grau zero” de qualquer técnica do número, vez que faz intervir
unicamente o principio da correspondência um a um. As pedras estão particularmente na

origem dos ábacos e dos contadores mecânicos, instrumentos estes que o homem inventou no
dia em que precisou fazer cálculos 4 cada vez mais complicados.

2. 3 Os ábacos

Os ábacos mais correntes, para os povos ocidentais, foram tábuas ou pranchas com
divisões em linhas ou colunas paralelas separando as diferentes ordens de numeração. Para
representar números ou efetuar operações, eram usadas pedras ou fichas que representavam
uma unidade simples cada uma. Essas peças eram chamadas pelos gregos de psephoi e pelos
romanos de calculi.
Para os romanos antigos, cada uma dessas colunas enfileiradas do ábaco, simbolizava
geralmente uma potência de 10. Começando da direita para a esquerda, a primeira coluna era
associada às unidades, a seguinte, às dezenas, a terceira, às centenas, a quarta, ao milhar, e
assim por diante. Um número era representado colocando nas diversas colunas em questão
tantas fichas quantas unidades havia em cada ordem considerada: sete na quarta, oito na
terceira, cinco na segunda e duas na primeira para o número 7852, por exemplo.
Algumas vezes cada uma destas colunas eram divididas em duas partes, sendo que na
parte inferior, uma ficha representava uma unidade da ordem decimal correspondente, e, na
parte superior da mesma coluna, ela valia a metade de uma unidade da ordem imediatamente
superior (sendo que da primeira coluna superior valia 5, da segunda 50, da terceira 500, e
assim por diante). As operações eram realizadas graças a facilidade de manuseio das fichas
das colunas.
Se quiséssemos adicionar um número a um outro já representado, por exemplo, era
preciso fazê-lo figurar no ábaco, “lendo” em seguida o resultado obtido após as reduções
necessárias. Se, o número de fichas atingia ou ultrapassava a dezena em uma das colunas,
substituía-se dez dessas peças por uma apenas na coluna situada imediatamente à esquerda.
As subtrações eram feitas segundo um processo parecido e as multiplicações, somando
diversos produtos parciais. Quanto à divisão, ela se restringia a uma sucessão de partilhas
iguais. A prática do cálculo no ábaco era muito lenta e supunha um aprendizado longo e
trabalhoso da parte dos aritméticos.

4

Cálculo, essa palavra nos remete a este processo que vem do fundo dos tempos, pois em latim calculus
significa precisamente “pequena pedra”, etimologia que reencontramos nas línguas grega e árabe.

Durante o Império Romano foi inventado o ábaco de bolso 5 que consistia numa
pequena placa metálica com certo número de ranhuras paralelas, ao longo das quais
deslizavam botões móveis do mesmo tamanho. As representações numéricas nesse
instrumento eram feitas com facilidade e graças a um modo de “dedilhar” bastante elaborado,
e atendendo as regras precisas, esta calculadora de bolso permitia aos que sabiam utiliza- la a
realização rápida e simples de diversas operações aritméticas. Era uma “calculadora”
inteiramente análoga aos contadores mecânicos que ainda têm um papel importante no
Extremo Oriente e em certos países do leste.

2. 4 O contador mecânico

O contador mecânico que tem até hoje um uso quase universal na China Popular
recebe o nome de suan pan. O mesmo contador no Japão, que é o país mais informatizado do
mundo, tem o nome de soroban e é considerado o principal instrumento usual de cálculo. Nos
países do leste europeu, a ex URSS, o contador mecânico recebe o nome de stchoty e ainda
impera ao lado das modernas caixas registradoras de bancos, lojas hotéis etc.
Dentre todos os dispositivos de cálculo figurado usados pelos povos ao longo dos
tempos, o contador é praticamente o único que reúne as vantagens de uma prática
relativamente simples e ao mesmo tempo rápida para todas as operações aritméticas. É um
auxiliar muito útil para efetuar adições ou subtrações simples de números compostos de vários
algarismos, ou ainda para resolver problemas mais complicados envolvendo multiplicações,
divisões, ou mesmo extrações de raízes quadradas ou cúbicas.
Com o desenvolvimento cientifico e tecnológico surgiu as calculadoras eletrônicas,
que eram grandes e resolviam apenas as quatro operações mais simples.
Com o passar dos anos algumas calculadoras eletrônicas já calculavam o quadrado e
a raiz quadrada dos números, tinham também a memória, que é um recurso para guardar
resultados parciais para serem usados em outros cálculos.
Hoje muitas calculadoras eletrônicas, denominadas “científicas”, calculam quaisquer
potências, exibindo até curvas matemáticas em seu visor, algumas resolvem problemas com
números complexos, outras permitem até visualizar o número em forma de fração que facilita
ainda mais certos cálculos.
5

O ábaco de bolso foi uma verdadeira calculadora portátil, cuja invenção é anterior à era cristã, e que
desapareceu um pouco antes da queda do Império Ro mano.

Capítulo III

3. 1 O uso da calculadora em sala de aula

Embora o uso da calculadora ainda possa ser um tabu nas aulas de Matemática, fora
da escola, nas mais variadas situações, é uma realidade, esta faz parte das experiências
cotidianas dos alunos. Está presente nos seus relógios, nos seus estojos, nas suas agendas, nos
celulares, e usam-na no trabalho. O baixo custo da máquina também contribuiu para a sua
disseminação. Geralmente, os argumentos mais fortes contra o uso da calculadora no Ensino
Médio são os de que os alunos desaprendem a fazer cálculos, tornam-se dependentes da
máquina, calculam mecanicamente, e não poderão usá- la no vestibular. Refletido sobre tais
justificativas.
Não é verdade que alunos que não utilizam máquinas sabem fazer contas melhor e
com mais consciência do que aqueles que as utilizam. A falta de habilidade com números é
conseqüência da maneira mecânica e sem significado que eles são ensinados e da ausência de
um trabalho efetivo com cálculo mental e estimativa em todos os níveis escolares.
Quanto ao vestibular, praticamente não se encontra uma situação em que os números
envolvidos nas questões exija o uso da máquina. As questões de vestibular não são feitas,
segundo alguns reitores, para que os alunos mostrem destreza de cálculo, mas para que
utilizem conhecimentos mais amplos e habilidades de pensamento matemático que deveriam
ter sido desenvolvido durante o aprendizado. Segundo a Ms. Kátia Cristina Stocco Smole e o
Ms. Rokusaburo Kiyukawa dizem que:
“Nossa experiência indica que, quando usada de modo planejado, a
calculadora não inibe o pensar matemático; pelo contrário, tem
efeito motivador na resolução de problemas, estimula processos de
estimativa e cálculo mental, dá chance aos professores de proporem
problemas com dados mais reais e auxilia na elaboração de
conceitos e na percepção de regularidades.” (KIYUKAWA &
SMOLE, 1998, p. 9).
É preciso esclarecer que o emprego da calculadora é expressamente indicado pelos
Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN). O professor é que decide pela adoção ou não da
calculadora, portanto, não se deve mais discutir esta questão. Nas palavras de Ubiratan
D’Ambrosio 6 :
6

VADIGA, Carlos. Etnomatemática. Revista Nova Escola. São Paulo, n° 68, p. 15, ago. 1993.

“Hoje, todo mundo deveria estar utilizando a calculadora, uma
ferramenta importantíssima. Ao contrário do que muitos
professores dizem, a calculadora não embota o raciocínio do aluno
– todas as pesquisas feitas sobre aprendizagem demonstram isso.”
O foco das discussões deve ser: como utilizar corretamente a calculadora, de forma a
desenvolver atividades que contribuam para o desenvolvimento dos alunos? Como afirma
João Pedro Ponte 7 :
“Não faltarão anedotas com exemplos caricatos, pretendendo
demonstrar as vantagens do cálculo com papel e lápis e dos
métodos tradicionais. Mas a verdade é que não devemos atribuir à
calculadora nem um caráter milagroso, nem um caráter demoníaco.
Como qualquer outro instrumento, pode, simplesmente, ser bem ou
mal usada.”
Então, ao decidir pelo uso da calculadora, o professor deve estar ciente das mudanças
que esta atitude implica. Não basta dizer aos alunos:
“De hoje em diante vocês podem usar a calculadora nas aulas de Matemática.”
É preciso reflexão, segundo Albano V. Silva 8 :
“A calculadora se introduzida na aula de Matemática sem qualquer
projeto educativo que a sustente será mais um ‘modernismo’ que
nada mudará para além de poder criar grande insegurança em
professores e alunos.”
A utilização da calculadora requer mudança na postura do professor, na metodologia
que usa e nas avaliações que faz. Por isso, esta tomada de decisão deve ser precedida de
reflexões, como:
Qual é a visão de Matemática que tenho?
Qual é o peso que atribuo ao cálculo aritmético e algébrico?
Para mim, é mais importante que o aluno seja criativo e resolva problemas ou que
memorize técnicas e fórmulas?
Valorizo mais a aquisição de conceitos matemáticos ou habilidades mecânicas de
cálculo?

7

PONTE, João Pedro. A calculadora e o processo de ensino-aprendizagem. Revista Educação e Matemática.
Lisboa, nº 11, p. 1, jul./set. 1989.
8
SILVA, A lbano V. Calculadora na Educação Matemática. Revista Educação e Matemát ica. Lisboa, nº 11, p. 4,
jul./set. 1989.

Que conteúdos matemáticos considero importantes para que meu aluno seja
atuante na sociedade?
Como farei minhas avaliações?
Faz-se necessário lembrar que a calculadora é apenas um recurso didático auxiliar e
que seu uso será melhor tanto quanto melhor for a capacidade crítica do aluno. É bem verdade
que, ao fazer uso dela o aluno pode vir a “acomodar-se” e necessitar da máquina até para
realizar operações simples como 6 + 7, por exemplo. É um risco que se corre e deve ser
planejado na organização de recursos da escola e no plano de ação do professor. O professor
deve estar atento e incentivar o uso consciente da calculadora. Como argúi José Paulo Viana 9 :
“Este é um perigo que existe, sobretudo com os alunos mais
novos.”
Feitas as devidas reflexões, é hora de conhecer as vantagens do uso da calculadora na
sala de aula. A calculadora é um recurso rico de potencialidades e, como enfatiza Albano V.
Silva, permite que se faça um trabalho voltado para a compreensão e construção de conceitos,
para o desenvolvimento do raciocínio e para a resolução de problemas.
Na construção de conceitos, o emprego da calculadora facilita o desenvolvimento e a
compreensão de conceitos como os de número (inteiro, decimal, racional, irracional,...),
sucessão, série, convergência, média, arredondamento e aproximação, etc.. Nas calculadoras
científicas ainda há possibilidade de se trabalhar com funções exponenciais e logarítmicas e
com a notação científica. No que diz respeito aos números, estes poderão ser utilizados em
uma gama muito maior de situações reais, já que, com a calculadora, há economia de tempo e
o professor não precisa “ajeitar” os números para evitar cálculos complicados e cansativos.
Há possibilidade de se trabalhar com números de maior ordem de grandeza, podendo explorar
suas possíveis decomposições. Mesmo o surgimento de resultados “sem sentido” constitui-se
em ótima oportunidade para levantar discussões sobre o seu aparecimento. Segundo João
Pedro Ponte 10 :
“O uso das calculadoras não anuncia o fim do cálculo, mas implica
que o cálculo seja encarado de uma outra maneira.”

9

GUIMARÃ ES, Henrique M. A propósito da utilização da maquina de calcular: uma entrevista. Revista
Educação e Matemát ica. Lisboa, n. 11, p. 16, ju l./set. 1989.
10
PONTE, João Pedro. A calculadora e o processo de ensino-aprendizagem. Revista Educação e Matemática.
Lisboa, nº 11, p, 3-6, jul./set. 1989.

Em artigo publicado no National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) e
transcrito na revista Educação e Matemática, Barbara J. Reys 11 diz que a calculadora pode ser
usada pelo professor para abordar e desenvolver tópicos sob novas formas e, além disso, ela
tem o poder de gerar rapidamente muitos exemplos, o que ajuda os alunos na compreensão de
conceitos.
A utilização da calculadora permite que relações geométricas e algébricas mais
abstratas tenham um tratamento numérico, tornando-as mais concretas. Deste modo, com a
calculadora pode-se dar um tratamento informal a certos conceitos abstratos, só depois
passando para a formalização. Para Ponte, a calculadora:
“ ...estimula novas formas de trabalhar favorecendo uma atitude
mais prática e experimental na Matemática.”
Pode-se também fazer um trabalho de experimentação e investigação, descoberta de
regularidades e generalização de situações, que são os elementos caracterizadores do
pensamento algébrico.
Entretanto, é na resolução de problemas que a calculadora desempenha seu papel
mais importante. Hoje, é muito fácil encontrarmos alunos que executam cálculos mecânicos
com desembaraço, que não conseguem analisar um problema (ou uma situação real) e
reconhecer ali as operações que devam ser feitas para que se encontre a solução. Usando a
calculadora, o aluno pode refletir mais sobre o problema já que não precisa gastar tanto tempo
fazendo contas. Maria Tereza Perez Soares 12 , coordenadora do capítulo de Matemática dos
Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN), enfatiza que:
“O tempo de cálculo economizado é usado pelo aluno para se
concentrar no processo de resolução do problema.”
Com isso, o cálculo ganha nova dimensão, deixando de ser tão repetitivo e cansativo.
De acordo com Albano V. Silva 13 , a calculadora abre novas possibilidades para a
atividade de resolver problemas, pois o aluno poderá elaborar e explorar novas estratégias
(como a tentativa e erro e aproximações sucessivas, por exemplo), organizar dados, formular
e verificar hipóteses e refazer cálculos com maior rapidez, desenvolvendo o seu raciocínio.
11
REYS, Bárbara J. A calculadora como uma ferramenta para o ensino e a aprendizagem. Revista Educação e
Matemática. Lisboa, nº 11, p. 19-21, jul./set. 1989.
12
CA LCULADORA = Bem + Fácil. Revista Nova Escola. São Paulo, n. 103, p. 34, jun. 1997.
13
SILVA, A lbano V. Calculadoras na Educação Matemática. idem. p. 10.

Além disso, podem ser formulados problemas com dados numéricos reais, sem aquela
preocupação com os “arranjos” que devem ser feitos para evitar cálculos extensos e resultados
que, na linguagem dos alunos, são “esquisitos”. E conforme a Ms. Kátia Cristina Stocco
Smole e o Ms. Rokusaburo Kiyukawa dizem que:
“A utilização da calculadora humaniza e atualiza nossas aulas e
permite aos alunos ganharem mais confiança para trabalhar com
problemas e buscar novas experiências de aprendizagem.”
(KIYUKAWA & SMOLE, 1998, p. 10).
Maior rapidez nos cálculos significa ganho de tempo. Tempo este, que pode ser
aproveitado para o trabalho com variedades diferentes de problemas e com a discussão das
várias estratégias de resolução usadas pelos alunos. Pode-se também fazer a discussão dos
resultados obtidos e da validade desses resultados dentro das exigências do problema.
Como já foi dito, a utilização da calculadora em sala de aula exige mudanças na
práxis do professor. É preciso que ele tenha clareza de objetivos e escolha a metodologia mais
adequada para alcançá- los. Uma metodologia que coaduna muito bem com os objetivos de
quem deseja utilizar a calculadora é a Resolução de Problemas.

Capítulo IV

4. 1 A Resolução de Proble mas

Considerando que o desenvolvimento da capacidade de resolver problemas é um eixo
organizador do ensino da Matemática e que deve permear todo o seu estudo, a fim de
propiciar ao aluno recursos que o ajudem a resolver situações de natureza diversa e enfrentar,
com confiança, situações novas é que fazemos um breve comentário sobre resolução de
problemas.
Ao ter como prioridade a construção do conhecimento pelo fazer e pensar, o papel da
resolução de problemas é fundamental para auxiliar o aluno na apreensão dos significados.
As atividades de sala de aula, a introdução de novos temas, sua exercitação e seus
aprofundamentos, sempre que possível, devem apresentar situações-problemas que exijam
interpretação, seleção de estratégias de resolução, realização de planejamento de ações,
aplicação de ferramentas matemáticas, recursos técnicos adequados e análise da adequação da
solução obtida.
Como processo de aprendizagem e habilidade a ser desenvolvida, a resolução de
problemas deve acontecer ao longo de todo o curso, proporcionando um contexto no qual se
constroem conceitos, se descobrem relações, são feitas observações, conjecturas, seleção e
organização de dados, argumentação, conclusões e avaliação. De acordo com esta tendência,
aprender Matemática é resolver problemas. Segundo Beatriz S. D’Ambrosio:
“...a resolução de problemas é encarada como uma metodologia de
ensino em que o professor propõe ao aluno situações problemas
caracterizadas por investigação e exploração de novos conceitos.
Essa proposta, mais atual, visa a construção de conceitos
matemáticos pelo aluno através de situações que estimulam a sua
curiosidade matemática.” (D’AMBROSIO, 1989, P. 16).
Problemas desafiam o aluno e este, ao resolvê- los, experimenta um sentimento de
satisfação que lhe faz bem e que desperta o interesse pela disciplina. Ele terá um papel ativo
na sua aprendizagem e será mais autônomo, pois o conteúdo a ser aprendido será apresentado
a partir de contextos significativos. Além disso, vivendo numa era de transformações rápidas
que exige capacidade de adaptação, torna-se cada vez mais importante saber analisar uma
situação e desenvolver métodos para resolver problemas. Mas, o que é um problema? Qual é a
sua importância para o desenvolvimento da Matemática?

Uma situação se caracteriza como problema de acordo com as reações que o
indivíduo apresenta diante dela. Se ele compreende a situação, quer resolvê- la (por
necessidade ou interesse) e não encontra, de imediato, elementos necessários para a sua
solução, então este indivíduo, em particular, está diante de um problema. Para Dermeval
Saviani14 a essência do problema é a necessidade; ele coloca que:
“... uma questão em si não caracteriza um problema, nem mesmo
aquele cuja resposta é desconhecida, mas uma questão cuja
resposta se desconhece e se necessita conhecer. Eis aí um
problema.”
A situação problemática é desequilibradora, pois gera no indivíduo uma necessidade
de buscar soluções e é esta necessidade que o impulsiona a criar estratégias e a inventar.
Segundo Claparède 15 :
“O homem é levado a inventar quando qualquer dificuldade,
qualquer obstáculo a vencer se encontra em seu caminho, logo que
ele deseja atingir a um fim, mas não conhece os meios de alcançálo. É preciso, pois, encontrar meios, inventá- los.”
Problemas sugeridos pelo mundo físico e problemas relacionados ao contexto social,
sempre serviram de alavanca para o desenvolvimento do conhecimento matemático. As
teorias matemáticas foram e são elaboradas a partir da necessidade de se resolver problemas.
Os problemas geram novos conceitos, que por sua vez, geram novas teorias, que por sua vez,
geram novos problemas. Para Hilbert
“...À medida que um ramo de conhecimento oferece uma
abundância de problemas, está numa condição de florescimento.
Mas o escasseamento de problemas é um sinal de morte próxima
ou de estagnação de desenvolvimento independente.”
Muitos ramos da Matemática nasceram da busca de soluções para problemas, como é
o caso da Teoria de Grafos, que foi formulada após Euler resolver um problema sobre as sete
pontes que cortavam a cidade alemã Konigsberg, usando para isso um grafo. A descoberta das
Geometrias Não-Euclidianas também se deve a um problema: demonstrar o Postulado das
Paralelas de Euclides.

14

apud GAZIRE, Eliane S. Perspectiva da Resolução de Problemas em Educação Matemática. Rio Claro,
1989. Dissertação (Mestrado). UNESP. p. 11.
15
idem. p. 11.

Muitos matemáticos se propuseram a refletir sobre a Resolução de Problemas.
Pappus, matemático grego que viveu por volta do ano 300, escreveu um livro cujo título pode
ser traduzido como

“Arte de Resolver Problemas” ou “Heurística”, onde ele procura

sistematizar um método para resolver problemas. As mais famosas tentativas de
sistematização da Heurística foram feitas pelos matemáticos Descartes e Leibniz e pelo
filósofo Bernardo Bolzano.
Em 1628, Descartes trabalhou em uma obra chamada “Regras para a Direção do
Espírito” em que pretendia apresentar um método universal para a resolução de problemas.
Esta obra ficou incompleta e fragmentos dela apareceram depois no “Discurso do Método”.
Alexis-Claude Clairaut (1713-1765) em seus livros “Elementos de Geometria”
(1741) e “Elementos de Álgebra” (1746) já mostra a perspectiva de se ensinar através da
Resolução de Problemas. Ele acreditava que o ensino devia ser heurístico.
Polya (1888-1983) dizia que o ensino da Matemática deve ser ativo e que não se
deve suprimir as atividades informais de produzir e extrair conceitos matemáticos do mundo
que nos rodeia. Segundo ele 16 :
“A Matemática não é um esporte para espectadores; não se pode
desfrutar dela nem aprendê- la sem a participação ativa; por isso o
princípio da aprendizagem ativa é particularmente importante para
nós, professores de matemática, especialmente se considerarmos
como nosso principal objetivo, o primeiro de nossos objetivos, o de
ensinar o estudante a pensar.”
Para Polya, a abstração de conceitos matemáticos a partir de situações cotidianas,
pode ser o centro do ensino de Matemática. Partindo do estudo das heurísticas usadas por
matemáticos na resolução de problemas, Polya elaborou o que ele chamou de fases de
trabalho. São quatro 17 :

“COMPREENSÃO DO PROBLEMA
Qual é a incógnita? Quais são os dados? Qual é a condicionante?
É possível satisfazer a condicionante? A condicionante é suficiente
para determinar a incógnita? Ou é insuficiente? Ou redundante? Ou
contraditória?
Trace uma figura. Adote uma notação adequada.
Separe as diversas partes da condicionante. É possível anotá- las?
16

apud GAZIRE, Eliane S. Perspectiva da Resolução de Problemas em Educação Matemática. Rio Claro,
1989. Dissertação (Mestrado). UNESP. p. 49.
17
POLYA, G. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Interciência, 1977. p. 4-13.

ESTABELECIMENTO DE UM PLANO
Já o viu antes? Ou já viu o mesmo problema apresentado sob uma
forma ligeiramente diferente?
Conhece um problema correlato? Conhece um problema que lhe
poderia ser útil?
Considere a incógnita! E procure pensar num problema conhecido
que tenha a mesma incógnita ou outra semelhante.
Eis um problema correlato e já antes resolvido. É possível utilizálo? É possível utilizar o seu resultado? É possível utilizar o seu
método? Deve-se introduzir algum elemento auxiliar para tornar
possível a sua utilização?
É possível reformular o problema? É possível reformulá- lo ainda
de outra maneira? Volte às definições.
Se não puder resolver o problema proposto, procure antes resolver
algum problema correlato. É possível imaginar algum problema
correlato mais acessível? Um problema mais genérico? Um
problema mais específico? Um problema análogo? É possível
resolver uma parte do problema? Mantenha apenas uma parte da
condicionante, deixe a outra de lado; até que ponto fica assim
determinada a incógnita? Como pode ela variar? É possível obter
dos dados alguma coisa de útil? É possível pensar em outros dados
apropriados para determinar a incógnita? É possível variar os dados
de tal maneira que fiquem mais próximos entre si?
Utilizou todos os dados? Utilizou toda a condicionante? Levou em
conta todas as noções essenciais implicadas no problema?
EXECUÇÃO DO PLANO
Ao executar o seu plano de resolução, verifique cada passo. É
possível verificar claramente que o passo está correto? É possível
demonstrar que ele está correto?
RETROSPECTO
É possível verificar o resultado? É possível verificar o argumento?
É possível chegar ao resultado por um caminho diferente? É
possível perceber isto num relance?
É possível utilizar o resultado, ou o método, em algum outro
problema?”
Na fase inicial, chamada Compreensão do Problema, deve-se identificar as partes do
problema, a incógnita e os dados. Como ressalta Dante 18 , indagações como as que se seguem
são importantes, pois ajudam a compreender o problema:
O que se quer descobrir no problema?
18

DANTE, Lu iz R. Didática da Resolução de Problemas de Matemática. São Paulo : Ática, 1989. p. 29.

Quais são as informações (dados) importantes?
É possível fazer um esquema ou uma figura?
É possível estimar a resposta?
Só depois de compreendido o problema, é que se consegue elaborar um plano para
resolvê- lo. É o Estabelecimento de um Plano (segunda fase). A idéia de um plano pode surgir
gradativamente ou depois de várias tentativas. Eis algumas questões que podem ajudar:
Que estratégia você usará?
Já resolveu algum problema semelhante a este?
É possível reformular este problema?
É possível organizar os dados em tabelas e gráficos?
Pode ser resolvido por partes?
A terceira fase (ou o terceiro passo) é a Execução do Plano. O plano elaborado deve
ser executado passo a passo, efetuando todos os cálculos necessários. Se algo não der certo
deve-se refazer os cálculos ou, se for o caso, repensar a estratégia.
Na quarta fase deve-se fazer o Retrospecto e examinar a solução obtida. Verificar se
os cálculos estão corretos e se a resposta satisfaz as condições do problema. É um bom
momento também para analisar se a estratégia usada neste problema poderá servir para
resolver outros.
Muitos professores utilizam a resolução de problemas somente como uma forma de
aplicar os conteúdos aprendidos e, quando é assim usada, a resolução de problemas é a etapa
final da aprendizagem e o processo está todo centrado no professor, que “ensina” um
conteúdo, dá exemplos e escolhe os “problemas” onde os alunos aplicarão os algoritmos
aprendidos. Como se vê, o aluno não é estimulado a pensar, a conjecturar e a inventar.
Na metodologia de Resolução de Problemas, a apresentação do problema é uma das
etapas inicial da aprendizagem. O professor apresenta um problema que pode ter sido
escolhido por ele ou pelos alunos. Os alunos tentam resolver o problema e caso não consigam,
devido à falta de conhecimento de conteúdos específicos envolvidos na sua resolução, o
professor apresenta estes conteúdos. Volta-se ao problema, discutindo a sua resolução e o(s)
conteúdo(s) apresentado(s). Inicia-se novamente o processo com a apresentação de um novo
problema.
Segundo Thomas Butts 19 , são cinco as categorias de problemas:
•
19

exercícios de reconhecimento;

BUTTS, Thomas. Colocando Problemas adequadamente. In: NCTM .
Mathematics. 1980. p. 23-26.

Problem solving in School

•

exercícios algorítmicos;

•

problemas de aplicação;

•

problemas em aberto e situações-problema.

Os exercícios de reconhecimento são aqueles que exigem que o aluno apenas recorde
uma definição, um teorema, uma propriedade, etc...
Exercícios algorítmicos são os que exigem apenas o uso de algoritmos ou de
procedimentos passo-a-passo para a sua solução. Estão nesta categoria os exercícios do tipo:
Resolva; Calcule; Arme e Efetue.
Os problemas de palavras que necessitam da transposição da escrita para a
linguagem matemática a fim de utilizar-se os algoritmos adequados à sua resolução, são
chamados de problemas de aplicação. Nestes problemas, a estratégia já está contida no
enunciado.
Na categoria dos problemas em aberto estão os problemas que não contém a
estratégia de resolução no seu enunciado, ou melhor, não fornecem “pistas”.
As situações-problema são aquelas que podem gerar vários problemas. Para resolvêlas faz-se necessário identificar os problemas relacionados a elas.
Indubitavelmente, o uso da calculadora em sala de aula não se faz necessário quando
se trabalha apenas com exercícios de reconhecimento e exercícios algorítmicos, mas ela
enriquece o trabalho com problemas de aplicação, problemas em aberto e situações-problema,
favorecendo a procura de novos caminhos para a resolução desses problemas e levando o
aluno a uma aprendizagem significativa.

Capítulo V

5. 1 Que calculadora vamos aprender a utilizar?

A calculadora científica que nós iremos utilizar é a Calculadora Científica mod. KK82LB (fig. 01) que tem 82 funções, geralmente é fácil de ser reconhecida porque vem com a
tecla 2ndF, que significa segunda função. Calculadora essa de fácil aquisição e que também é
similar a Calculadora Científica do Windows” (fig. 02) e que, por incrível que pareça são
calculadoras que na sua grande maioria só são usadas para resolver as quatro operações já que
muitas pessoas não sabem como utiliza- las para resolver outros cálculos.

fig. 01

fig. 02

Existem diversos outros tipos de calculadora que seguem a mesma linha de funções,
como a Truly SC107F de 56 Scientific functions que também podem serem aplicadas para a
resolução dos problemas expostos. O interessante de tudo é que nosso alunado vai pelo mais
fácil quando diz que sabe utilizar a calculadora científica ele só consegue trabalhar as quatro
operações que envolvam os números naturais e quando ele diz que tem computador em casa,
ele só usa o computador para jogos e bate-papo.
A calculadora científica é um recurso didático capaz de ajudar o aluno em seu
desenvolvimento intelectual desde que ele saiba como utilizar esse recurso, não só com
operações com números naturais como também com os demais conjuntos (números inteiros,
números racionais, números irracionais e números reais). É com base nesse problema que nos
propomos a fazer este trabalho para mostrar como utilizar a calculadora científica para tirar o
máximo proveito. Este trabalho será o mais didático possível, utilizaremos algumas questões e
problemas do nosso cotidiano estudantil, questões e problemas esses retiradas de forma

similar de alguns livros didáticos utilizados em algumas escola da rede publica e privada de
ensino para que o estudante tanto do ensino fundamental, médio e superior consiga entender
como se faz sua resolução com o uso da calculadora. Ao final faremos um breve quadro de
equivalência de teclas, que vai da calculadora ao teclado do computador.
5. 2 As primeiras teclas da calculadora

Para trabalharmos as quatro operações com os números naturais, além de
conhecermos as teclas de 0 a 9 é necessário conhecermos outras:
OFF

desliga

CE

apaga o último número digitado

+

adição

=

igual

liga / apaga o cálculo

ON/ C

subtração

−
(

apaga o último algarismo digitado
÷

abre parêntesis

divisão
)

x

multiplicação

fecha parêntesis

5. 3 Modos de unidade angular

A tecla

DRG

é usada para cálculos da trigonometria, inversão trigonométrica e

conversão de coordenadas. Ela muda a unidade angular.
DEG = degree = graus = D
RAD = radian = radianos = R
GRAD = gradient = grados = G
DRG

Conversão de unidade angular
DEG

RAD

GRAD

5. 4 Resolução algébrica e com uso da calculadora

Condensaremos neste capítulo diversas questões de conteúdos do ensino fundamental
e médio onde mostraremos a sua resolução de forma algébrica e a sua resolução com o uso da
calculadora científica, de modo a utilizar todas as suas funções.

5. 4. 1 Base de um sistema de numeração

Número que exprime quantas unidades de uma ordem qualquer são precisas, nesse
sistema, para formar uma unidade de ordem imediatamente superior. O nome do sistema,
deriva do nome de sua base. O princípio de numeração decimal escrita aplica-se a qualquer
outro sistema de numeração.
No sistema de base a haverá a – 1 algarismos significativos, pois o zero é sempre
necessário para suprir as unidades que faltarem.
No sistema de base 2 ou binário, os sinais serão 0 e 1, no de base 5 ou quinário
serão 0, 1, 2, 3 e 4. No sistema hexadecimal são necessários sinais novos para representar 10,
11, 12, 13, 14 e 15 que são representadas pelas letras A, B, C, D, E e F respectivamente.

5. 4. 2 Conve rsão de base n

Não é possível utilizar as funções científicas nos cálculos binários, octogonais,
decimais e hexadecimais. Não é possível introduzir valores que incluem uma parte decimal
e/ou expoente.
Aplicações:
Conversão de números inteiros não decimal para decimal (decomposição polinômial).
01) Converta: 10101(2)

=

?(10)

Resolução algébrica:
14 03 12 01 10 = 1 x 24 + 0 x 23 + 1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20
16 + 0 + 4 + 0 + 1
10101(2)

=

= 21

21(10)

Resolução na calculadora:
2ndF

BIN

1

0

1

0

1

2ndF

DEC
DEG

21

Conversão de números inteiros decimais para não decimais (divisões sucessivas).
02) Converta 10(10) = ?(2)

10 2
0 5 2
1 2 2
0 1
10(10) = 1010(2)
1

0

2ndF

DEG

BIN

BIN

1010

Conversão de base não decimal para base não decimal. (Xa → X10 → Xb).
= ?(16)

03) Converta: 1110(2)

13 12 11 00 = 1 x 23 + 1 x 22 + 1 x 21 + 0 x 20
8

+ 4 + 2 + 0

= 14(10) = E(16)

1110(2) = E(16)
2ndF

BIN

1

1

1

0

2ndF

HEX

DEG

HEX

E

Conversão de base decimal para base hexadecimal.
04) Converta 16323(10) = ?(16)
16323
3

16
1020 16
12

63 16
15

3

16323(10) = 3FC3(16)
1

6

3

2

3

2ndF

HEX

DEG

HEX

3FC3

5. 4. 3 Ope rações elementares

Como o trabalho pretende ser o mais completo possível mostrando o uso de todas as
funções da calculador científica, faz-se necessário colocar uma parte mostrando a resolução
de operações elementares na calculadora, que são as operações de adição, subtração,
multiplicação e divisão.
Aplicações:
1) Efetue: 30 + 45 – 28
30 + 45 – 28 = 47
teclar:

visor
3

0

+

4

5

–

2

8

0

÷

2

=

=

DEG

47

02) Efetue: 25 x 10 ÷ 2
25 x 10 ÷ 2 = 125
2

5

x

1

DEG

125

5. 4. 4 Resolvendo expressões numé ricas

Para a resolução de expressões numéricas envolvendo as quatro operações (adição,
subtração, multiplicação e divisão), devemos observar algumas regras para o cálculo:
Quanto aos sinais de pontuação, efetuamos as operações seguindo a ordem
apresentada:
1º. Operações indicadas entre parênteses ( ).
2º. Operações indicadas entre colchetes [ ].
3º. Operações indicadas entre chaves { }.
Quanto às operações:
1º. Efetuamos as multiplicações e as divisões, na ordem em que aparecem.
2º. Efetuamos as adições e subtrações, na ordem em que aparecem.
Aplicação:

01) Calcular 30 + (40 x 12)
30 + (40 x 12) = 510
3

0

+

(

4

0

x

1

2

)

=

DEG

510

02) Calcular (7 x 7 + 5) ‫ )6 + 2 ׃ 01 – 71( ׃‬x 3
(7 x 7 + 5) ‫ )6 + 2 ׃ 01 – 71( ׃‬x 3= 9
(

7

x

7

+

5

)

÷

(

1

7

1

0

÷

2

+

6

)

x

3

=

DEG

2

x

3

)

÷

(

–

03) Calcular

9

7 +9 − 2×3
2 +3

7 + 9 − 2 × 3 16 − 6 10
=
=
=2
2 +3
5
5

(

7

+

9

+

3

)

–

=

2

DEG

5. 5 Alte rações e Trocas

As alterações ou mudança dos últimos algarismos de um número, bem como a troca
ou inversão do numerador pelo denominador de uma fração podem serem feitas da seguinte
forma:
CE

Clean Entry: tecla para cancelamento do último número digitado.

Aplicações:

2

35 x 40 = 1400
3

5

x

5

DEG

8

58
DEG

CE
4

0

0
DEG

=

1400

Shift: tecla para alteração ou mudança do último alga-

Right Shift or
rismo.
38579
3

8

5

7

DEG

8

38578
DEG

3857
DEG

9

38579

Exchange: troca ou inverte o numerador pelo denominador.

↨

100
=2
2 × 25

2

x

2

5

÷

1

0

DEG

0

2ndF

100
DEG

↨

50
DEG

=

2

or
1

0

0

÷

(

2

x

2

5

)

=

DEG

2

5. 6 Encontrando o resto da divisão com a calculadora
Quando a divisão é exata, o quociente é mostrado no visor como número inteiro, ou
seja sem ponto para separar um do outro.
Aplicações:
72 ÷ 8 = 9
7

2

÷

8

DEG

=

9

Mas se a divisão acima não fosse exata, apareceria próximo do número 9 um número
com ponto.
74 ÷ 8 = 9.25
7

4

÷

8

DEG

=

9.25

Como visto acima, o número 9, que é o quociente natural, aparece no visor à
esquerda do ponto, e o resto 2 não aparece.
Para obter o resto usando a calculadora científica, basta pegar o dividendo e subtrair
da multiplicação entre o divisor e o quociente natural.
74 – 8 x 9 = 2
7

4

–

8

x

9

=

DEG

5. 7 Calculando potência com a calculadora

A potenciação equivale a uma multiplicação de fatores iguais, de modo geral, sendo
a um número real e n um número natural, com n > 1, a expressão an chama-se potência e
representa uma multiplicação de n fatores iguais ao número a.

2

x2

Eleva um número ou base ao quadrado.

yx

Eleva um número ou base a qualquer expoente.

Aplicações:
01) Calcular 5 2.
5 2 = 5 ⋅ 5 = 25

5

x2

DEG

25

02) Calcular 210 .
2 10 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 1024

2

yx

1

0

DEG

=

1024

Até aqui só trabalhamos com o conjunto dos núme ros naturais, ou seja os números
positivos que começam do zero e vão até o infinito. Daqui em diante além dos números
naturais, vamos trabalhar com todos os outros conjuntos.

5. 8 O uso da tecla 2ndF ou Inv

Todas calculadoras científicas vêm com suas funções impressas em suas próprias
teclas e com funções impressas acima das teclas, as primeiras chamamos de primeira função
e temos acesso as mesmas, assim que ligamos a calculadora. Já a segunda, só temos acesso a
elas se antes de utilizarmos a tecla que desejarmos, apertar a tecla

2ndF

segunda função. Na calculadora científica do Windows essa tecla é a Inv.

que indica a

5. 9 Porcentage m
A expressão por cento vem do latim per centum, que quer dizer “por um cento”. Ou
seja, quando dizemos que você vai ter um desconto de 30 por cento, significa dizer que para
cada 100 reais gasto, você tem um desconto de 30 reais.
Veja os problemas abaixo:

2ndF

2nd function: segunda função

%

percent: porcentagem

•

decimal point: ponto decimal

Aplicações:
01) Retire 30% de 2500.
2500 × 30
= 750
100

2

5

0

0

x

3

0

2ndF

%

=

DEG

750

02) Escreva a representação decimal de 6%.
6
= 0,06
100

6

2ndF

%

DEG

0.06

03) Um desconto de 80 mil reais sobre um preço de 250 mil reais representa um desconto de
quantos por centos?
(80 ÷ 250) x 100 = 32%

8

0

÷

2

5

0

2ndF

%

04) Escreva a porcentagem correspondente a seguinte razão:

DEG

=

32

17
20

17
= 0,85 ×100 = 85%
20

1

7

÷

2

0

2ndF

%

=

DEG

85

05) Escreva, na forma irredutível, a razão correspondente a 60% e 68%.
Resolução algébrica a:
60
6:2 3
= 0 ,6 =
=
100
10 : 2 5

6

0

2ndF

%

DEG

0.6

Resolução algébrica b:
68
68 : 4 17
= 0,68 =
=
100
100 : 4 25

6

8

2ndF

%

DEG

0.68

OBS.: Com base nos resultados da questão acima é que os professores do ensino
médio e fundamental devem reavaliar os seus conceitos sobre o uso ou não das calculadoras
em sala de aula, vez que, usando palavras do próprio PCN – Matemática onde diz que a
calculadora “é um recurso útil para verificação de resultados, correção de erros, podendo ser
um valioso instrumento de auto-avaliação”. Ou seja, se o aluno não aprendeu como

transformar números decimais em fração e vice-versa, ou mesmo a comparar valores, de nada
adiantará a calculadora em suas mãos, já que nessa questão (05) ela servirá apenas como um
instrumento para tirar dúvidas do aluno, para que ele veja se está no caminho certo ou não da
atividade. O erro ou acerto da questão vai depender apenas do raciocínio do aluno.

5. 10 Potências e raízes de números racionais
Dado um número racional a e um número natural n, com n > 1, a expressão an
representa uma multiplicação de n fatores iguais ao número a.
Raiz quadrada é cada fator que representa um produto de dois fatores positivos e
iguais.
Eleva um número ou base ao quadrado.

x2
yx

Eleva um número ou base a qualquer expoente.
Raiz quadrada.

Aplicações:

[

] [

]

01) Calcule: (2,1)9 × (2,1)6 ÷ (2,1)3 .
4


[(2,1) ]÷ [2,1]
9+ 6

3⋅ 4

=

(2,1) ÷ (2,1) =
(2,1)15−12 = (2,1)3 = 9,261
15

12

(

(

2

•

1

)

yx

9

x

(

2

•

1

)

yx

6

)

÷

(

(

2

•

1

)

yx

3

)

yx

4

=

 3  7  3  6   3 10  3  8 
02) Calcule:   ÷    ×   ÷    .
2 
 2   2    2 

 


DEG

9.261

 3  7− 6   3  10 −8 
   ×    =
 2    2  

 

1

2

3 3
  ×  =
2 2
1 +2

3
 
2

3

27
3
=  =
8
2

(

(

3

÷

2

)

yx

7

÷

(

3

÷

2

)

yx

6

)

x

(

(

3

÷

2

)

yx

1

0

÷

(

3

÷

2

)

yx

8

)

DEG

=

3.375

(8 )

4 7

03) Calcule:

(8

8

×8

.

)

3


8 4×7

(8 )

8+1 3

=

8 28
= 8 28 −27 = 81 = 8
9 ×3
8

(

8

yx

4

)

yx

x

8

)

yx

3

=

7

÷

(

8

yx

8

DEG

8

81
.
225

04) Calcule:

81
225

=

9
15

8

1

DEG

9

2

2

DEG

5

15

6,76 .

05) Calcule:


676
676 26
=
=
= 2,6
100
100 10
6

•

7

DEG

6

2.6

Resolução na calculadora científica Windows:
6

•

7

6

Inv

x^2

2.6

5. 10. 1 Adição algébrica, Multiplicação, Divisão e Potenciação de números inteiros

Toda expressão numérica que contém somente as operações de adição e subtração
representa uma adição algébrica.
Aplicações:
01) Calcule: 3 − {− 16 + [20 − (− 12 + 15) − 6]}.
3 − {−16 + [ 20 − (+3) − 6]}
3 − {−16 + [ 20 − 3 − 6]}
3 − {−16 + [ +11]}
3 − {−16 + 11}
3 − {−5} = 3 + 5 = 8

3

─

(

─

1

6

+

(

2

0

─

(

─

1

2

+

1

5

)

─

6

)

)

=

DEG

8

02) Calcule: 42 + (− 30) ÷ (+ 2) .

42 + (−15)
42 − 15 = 27
4

2

+

3

0

+/─

÷

2

=

DEG

27

5. 10. 2 Adição algébrica, Multiplicação, Divisão e Potenciação de números racionais

O conjunto formado pelos números que podem ser escritos como o quociente de dois
números inteiros, como divisor diferente de zero, é denominado conjunto dos números
racionais e é representado pela letra Q (vem da palavra quociente).
Aplicações:
01) Calcular: −

5
1
+ 3− .
9
6

−

10 54 3 41
+
− =
18 18 18 18

5

÷

9

+/─

+

3

─

1

÷

6

=
DEG

2.277777778

02) Calcular:

6 
5  2

+  − 4 +  −  − + 1,5  − 0,8 .
8 
7  4


=

6 4 7 2 15 8
− + + − −
8 1 5 4 10 10

30 160 56 20 60 32
−
+
+
−
−
40 40 40 40 40 40
146 ÷ 2 73
=
=
40 ÷ 2 20

=

(

6

÷

8

)

+

(

─

4

+

(

7

÷

5

)

)

─

(

(

─

2

÷

4

)

+

1

•

5

)

─

•

8

=

)

÷

(

8

÷

+/─

=

 2 
03) Calcular:  −  ÷  +
 7 

DEG

─3.65

8  3
 −  +  ⋅ (− 4) .
7  8

 2 
=  −  − −
 8 

3  − 2 + 12 5
=
=
2
8
4

(

─

2

÷

7

─

(

3

÷

8

)

)

yx

x

4

7

)

DEG

1,25

−2

2
04) Calcular:  +  .


 5


=

2

25
 5
=  =
2
4
 2
 2
 
5
1

(

2

÷

5

2

+/─

=

DEG

6.25

5. 10. 3 Potências de base dez

Qualquer potência de base 10 com expoente natural é igual ao número formado pelo
algarismo 1 seguido de tantos zeros quantas forem as unidades do expoente.
Para transformar as potências em números decimais usamos a tecla:
10 x

Potência de base dez.

Aplicações:
103 = 1000
3

10 x

2ndF

DEG

1000

10-5 = 0,00001
5

+/─

10 x

2ndF

DEG

0.00001

Para verificar a que potência está elevada a base dez usamos a tecla:
Log

Logaritmo de base 10 ou decimal.

0,000001 = 10-6
0

•

0

0

0

0

0

Log

0

1

Log

DEG

─6

10000 = 104
1

0

0

0

DEG

4

Para resolver as equações à calculadora serve apenas como um simples recurso para
que, na medida em que você vai respondendo, você a usa para resolver os cálculos que vão
aparecendo.

5. 10. 4 Notação científica

Por uma questão de padronização, os cientistas utilizam uma escrita simplificada,
para trabalhar com números muito grandes e também números muito pequenos, que é
chamada notação científica. Os números escritos em notação científica são expressos através
de um produto, um número entre 1 e 10 multiplicado por uma potência de 10.
Aplicações:
01) 8 700 000 000 000 m = 8,7.1012 m
02) 0,000036 cm = 3,6.10-5 cm
Para inserirmos esses números na calculadora utilizamos a tecla
8

•

7

EXP

1

Para simplificarmos a expressão

EXP
DEG

2

8.7 12

12 ⋅ 10 9 ⋅ 2 ⋅ 10 7
que é igual a 4.1010 , temos que
6
6 ⋅ 10

operacionalizar da mesma forma como já foi realizado anteriormente, a resposta pode
aparecer em notação científica ou não, depende do tamanho do número e de dígitos que tem a
calculadora:
1
EXP

2

EXP
6

9

x

2

EXP

7

÷

6
DEG

=

4. 10

Quando um resultado está no sistema decimal e você queira ver no sistema de
notação cientifica, basta teclar
o sistema decimal.
03) 1.10-5 + 1.10-3

F↔E

. Se teclarmos uma segunda vez, o número volta para

0,00001 + 0,001 = 0,00101 ou 1,01.10-3

1

EXP

5

+/-

+

1

EXP

3

+/-

=

DEG

F↔E

DEG

F↔E

DEG

0.00101
1.01-03
0.00101

5. 11 Ope rações com medidas de ângulos

Denominamos ângulo a região convexa formada por duas semi- retas não-opostas que
têm a mesma origem. A medida de um ângulo é dada pela medida de sua abertura, e a unidade
padrão utilizada é o grau, representado pelo símbolo º após o número. Mas há ângulos que não
possuem como medida um número inteiro de graus. Como não é costume utilizar decimais em
medidas de ângulos, utilizamos os submúltiplos do grau que é o minuto e o segundo.
Grau “ ° ”

1° = 60′

Minuto “ ′ ”

1′ = 60″

Segundo “ ″ ”

1° = 3600″

DMSD

Converte número decimal em grau, minuto e segundo.

DEG

Converte grau, minuto e segundo em número decimal.
Para escrevermos a medida de um ângulo utilizamos o minuto e o segundo cuja base

de numeração é 60.
Aplicações:
01) Expressar 15°12′ em minutos.
15 x 60 + 12 = 912
1

5

•

1

2

DEG

DEG

15.2

x

6

0

DEG

=

912

Resp.: 15°12′ = 912′
02) Expressar 9140″ em graus, minutos e segundos.
9140
60
314
300
140
120
20″

60
152 60
120 2°
32′

1

4

0

÷

6

0

=

DEG

÷

9

6

0

=

DEG

152.333333

2.538888889
2ndF

DMSD

DEG

2.322000

Resp.: 9140″ = 2°32′20″ (2 graus, 32 minutos e 20 segundos)
5. 11. 1 Simplificando os resultados

Em algumas situações, principalmente nas operações com medidas de ângulo,
precisamos simplificar os resultados obtidos.
Aplicação:
01) Simplificar 28°86′90″.
28

29°

90

+1
+1

86

– 60

– 60
27′

30″

2

8

•

8

6

9

DEG

DEG

DMSD

DEG

0

2ndF

29.45833333
29.273000

Resp.: 28°86′90″ = 29°27′30″

5. 11. 2 Adição e Subtração

Para adicionar duas ou mais medidas de ângulos, devemos adicionar segundos com
segundos, minutos com minutos e graus com graus, fazendo a simplificação, quando
necessário. Para subtrair duas medidas de ângulos, devemos subtrair segundos de segundos,
minutos de minutos e graus de graus. Em alguns casos, devemos fazer transformações para
realizar as subtrações.
Aplicações:
01) Calcular 13°18′30″ + 20°6′15″.
13° 18′ 30″
+ 20° 6′ 15″
33° 24′ 45″
1

3

•

1

6

1

5

8

3

0

=

Resp.: 33°24′45″
02) Calcular 77° ─ 42°25′32″.
Para resolver é preciso transformar 77° em 76°59′60″.
76° 59′ 60″.
─ 42° 25′ 32″
34° 34′ 28″

+

2

0

•

0

DEG

33.2445

7

6

•

5

5

3

2

9

6

0

─

4

=

2

•

2

DEG

34.3428

Resp.: 34°34′28″

5. 11. 3 Multiplicação e Divisão por um Número Natural
Para multiplicar uma medida de ângulo por um número natural, devemos multiplicar
esse número pelos segundos, minutos e graus, já a divisão devemos dividir esse número pelos
graus, minutos e segundos, fazendo as simplificações e transformações quando necessário.
Aplicações:
01) Calcular 6°15′18″ x 5.
6°

15′

18″
x5

30

75
+1

+1

90
– 60

– 60

31°

30″

16′

6

•

1

5

1

8

x

5

=

DEG

30.759

DEG

2ndF

Resp.: 31°16′30″
02) Calcular 48°36′18″ ÷ 2.

DEG

DMSD

DEG

31.275
31.163000

48° 36′ 18″

2

0

24° 18′ 9″

0

0

4

8

•

3

6

1

8

÷

2

=

DEG

24.1809

Resp.: 24°18′09″
Observação: Sempre lembrando que a calculadora é um simples instrumento para
tirar dúvidas, vez que nem todos os cálculos ela pode resolver de forma satisfatória sem que
ocorra uma devida adequação dos números. Quando se trabalha com minutos e segundos,
sempre utilizamos uma casa decimal para cada um. Se o resultado for para casa centesimal o
resultado e/ou cálculo fica comprometido. Lembre-se, o que interessa é o desenvolvimento
intelectual e o raciocínio do aluno.
03) Calcular 25°17′21″ ÷ 3.
Resolução apenas na calculadora:
2

5

•

1

7

2

1

÷

3

=

DEG

8.3907

Resp.: Só que a resposta correta é 8°25′47″

5. 12 Calculando o tempo

Durante um longo período de sua história, o homem dividiu o tempo em dia e noite.
Com a necessidade crescente de medir o tempo, surgiram a hora, o minuto e o segundo.
O dia foi dividido em 24 horas. A hora, 60 minutos. O minuto, em 60 segundos.
Aplicações:
01) Sabendo que a taxa fixa da Internet é de R$20,00, mais 15 centavos de real (R$0,15) a
cada minuto de uso. Quanto gastará Leidiane se, durante o mês, utilizar por 12h30min?
V = tx + Vmin × tp
tp = 12h30min = 12 × 60 + 30 = 750min.
V = 20 + 0,15 × 750 = 132,50 .

1

0

•

3

0

x

2

2

6

0

+

•

1

DEG

DEG

12.5
DEG

=

5

750
x

7

5

0

=
DEG

132.5

Resp. Ela gastará R$132,50
02) Quantas horas ela poderá utilizar a Internet, se quer gastar, no máximo, R$85,00 no mês?
V = 85 → 85 = 20 + 0,15 × tp
tp ≅ 433,33 = 7h13min20seg.

A fórmula uma vez montada corretamente pode ser colocada na calculadora diretamente
com algumas ressalvas: tp =

85 − 20
0,15

5

─

2

0

=

DEG

÷

8

•

1

5

=

DEG

0

=

DEG

65
433.3333333

Para transformar em hora:
÷

2ndF

6

DMSD

7.22222222
DEG

7.132000

Resp. Vai utilizar por 7h13min20seg.
5. 13 O núme ro π (pi)

O número pi, representado pela letra grega π, por ser um número irracional, nas
aplicações utilizamos uma aproximação do valor de π, em geral 3,14. Em muitas calculadoras
há uma tecla que fornece o valor de π, com um número maior de casas decimais.

π

A constante pi (π = 3.141592654)

Aplicações:
01) Uma circunferência tem 12 cm de raio. Qual é o comprimento aproximado dessa
circunferência?
fórmula :

comprim.circunf
C
= π logo
= π ⇒ C = π2r ∴ C = 2πr
med.diâmetro
2r

C = 2 ⋅ 3,14.12
C ≅ 75,36cm

2

x

2ndF

π

x

1

2

DEG

=

75.39822369

02) Qual é o comprimento x de um arco de 60° numa circunferência que tem 21 cm de raio?
360° ——— 2πr
x=

60° ——— x

2πr ⋅ 60
⇒
360

x

2

x=

2 ⋅ π ⋅ 21 ⋅ 60
∴ x ≅ 21,99 cm
360

2

x

6

2ndF

0

π

1

x

6

0

÷

3

DEG

=

21.99114858

Resp.: O arco tem 21,99 cm aproximadamente.
5. 14 Potência de um número real com expoente natural
Dado um número real a e um número natural n, n ≠ 0, a expressão an , denominada
potência, representa um produto de n fatores iguais ao número real a.
Aplicações:
3

2
01) Calcular  −  .


 3

2

+/─

yx

3

=

DEG

─8

3

yx

+/─

3

DEG

=

─27

02) Calcular (─2,4)3 .
2

•

4

yx

+/─

3

DEG

=

─13.824

5. 14. 1 Potência de um número real com expoente inteiro negativo

n

Para todo número real a, com a ≠ 0, temos a-n =

1
1
=   , sendo n um número
 
n
a
a

natural diferente de zero.
Aplicações:
01) Calcular 23 ÷ 24 .
yx

2

3

÷

yx

2

4

DEG

=

0.5

02) Calcular (− 4) −1 .
4

yx

+/─

1

+/─

DEG

=

─0.25

−1

4
03) Calcular   .
 
5

(

04) Calcular

4

÷

5

)

2
.
4 −2


yx

1

+/─

=

DEG

1.25

2

÷

yx

4

(

05) Calcular 9 −1 + 6 −2

)

−1

2

DEG

+/─

32

.

(

yx

9

1

1

+/─

+/─

+

yx

6

2

+/─

)

yx

DEG

=

7.2

1

06) Calcular 15 5 .
1

yx

5

(

1

÷

5

)

=

DEG

1.718771928

5. 15 Calculando com radicais (raiz enésima de um núme ro real)

Quando o número real a é positivo ( a > 0) e n é um número natural par, diferente de
zero, dizemos que a expressão

n

a é igual ao número real positivo b tal que bn = a.

Quando o número real a é negativo (a < 0) e n é um número natural par, diferente de
zero, a expressão

n

a não é definida no conjunto dos números reais.

Dado um número real a e sendo n um número natural ímpar, a expressão

n

a é um

único número real b tal que bn = a.
Raiz quadrada
3

Raiz cúbica

x

Raiz enésima

Aplicações:
01) Calcular o valor de

5

243 .

2

4

3

2ndF

x

5

=

DEG

3


36 .

3

DEG

6

6

− 36 .


3

6

E

+/─

DEG

0

Resp. não se define em R.

04) Calcular o valor de − 36 .
3

6

DEG

+/─

─6

(− 4 )2 .


4

+/─

x2


3

DEG

4

− 27 .

2

7

+/─

2ndF

3

x

DEG

=

─3

07) Dê o valor da expressão 4 16 − 3 − 8 .
1
=

6

2ndF

x

4

─

8

+/─

2ndF

3

DEG

4

5. 16 Juro Simples

Juro simples é toda a compensação em dinheiro que se paga ou se recebe pela
quantia que se empresta ou pede emprestada, a uma taxa combinada, por um prazo
determinado, produzida exclusivamente pelo capital inicial. A taxa é o fator de
proporcionalidade para o cálculo dos juros. Assim:
J = C · i· n
C: capital inicial; J: juro simples
i: taxa de juros; n: número de períodos
Aplicações:
01) Aline empresta do Banco 14000 reais por três meses a uma taxa de juro de 2,6% ao mês.
Qual a quantia que ela deve pagar de juro e qual o total que terá de pagar no fim do
empréstimo?
1ª parte: Indicando por J é a quantia que ela vai pagar de juro, assim temos:

J = C⋅i⋅ n
J = (2,6%de14000) ⋅ 3
J = 14000 ⋅ 0,026 ⋅ 3
J = 1092
2ª parte: Ao todo, ela terá que pagar:

14000 + 1092 = 15092
Resposta: Ela vai pagar 1092 reais de juros e pagará no total, 15092 reais.
1ª parte:

2

•

2ndF

6
%

x

1

4

0

0

0

x

3

DEG

=

1092

2ª parte:
+

1

4

0

0

0

=

DEG

15092

02) Um reprodutor de DVD custa 480 reais à vista. Em 5 prestações mensais, o preço passa a
ser de 696 reais. Qual é a taxa de juro cobrada ao mês por essa loja?


(696 − 480 ) × 100 = 9%
(480 × 5 )
(

6

9

6

─

8

0

x

5

)

4
2ndF

8

0
%

)
=

÷

(

4

DEG

9

A taxa de juros é de 9% ao mês.

5. 17 Memória

Recurso usado para guardar ou armazenar na memória um número ou um resultado
parcial ou final.
X-M

Memory-in: limpa da memória o valor armazenado.

RM

Recall memory: chama o valor armazenado na memória.

M+

Memory plus: adiciona o número do visor na memória.

+/─

Change sing key: muda o sinal do número que está no visor para positivo ou
negativo, vice-versa.
O “M” que aparece no visor é para indicar que existe um número ou um resultado

que está na memória. Este resultado permanece mesmo com a calculadora desligada. Para
limpar um número que está na memória , primeiro tecle

ON/ C

OBS.: para subtrair um número da memória basta teclar
ordem.
Aplicação:
Operações algébricas:
ganha35 × 20 = 700
ganha 40 × 70 = 2800

depois a tecla
+/─

e

M+

X-M

.
nessa

perde250 + 80 = 330
ganha 38 − 8 = 30
Total = 3200
Na calculadora:
3

5

x

2

0

4

0

x

7

0

5

0

+

8

0

3

8

─

8

M+

=

+/─

DEG

700

M

M+

2

M

M+

DEG

2800

M

M+

DEG

-330

M

DEG

30

RM

M

DEG

3200

ON/ C

M

DEG

0

DEG

0

X-M

5. 18 Trigonometria

A Trigonometria é uma palavra de origem grega (trigonos = triângulo + metrein =
medir) que trata da resolução de problemas sobre triângulos recorrendo às razões seno,
cosseno e tangente e às relações entre elas.
sin
sin

-1

cos

tan

cos -1

tan -1

Razões trigonométricas
Ângulos

As teclas acima são das funções trigonométricas e inversas trigonométricas.
Tabela importante
Os ângulos de 30°, 45° e 60°, considerados notáveis, aparecem com freqüência em
muitos problemas. Para as razões trigonométricas relacionadas a esses ângulos é mais
conveniente usar os valores indicados abaixo:

Ângulo

Seno

Cosseno

Tangente

30°

1
2

3
2

3
3

45°

2
2

2
2

1

60°

3
2

1
2

90°

1

0

3
Não existe

Aplicações:
Verificando na calculadora cientifica.
01) cos

3 2 = 30°
3

÷

2

=

2ndF

2ndF

cos -1

sin -1

DEG

30

02) sen 1 2 = 30°
1

÷

2

=

DEG

30

03) tan 1 = 45°
1

2ndF

tan -1

DEG

45

04) ângulo 30° = sen 1/2 or 0,5
3

0

sin

DEG

0.5

05) ângulo 45° = tan 1
4

5

tan

DEG

1

5. 18. 1 As relações trigonométricas nos triângulos retângulos

Em todo triângulo retângulo, o seno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do
cateto oposto a esse ângulo e a medida da hipotenusa, o cosseno de um ângulo agudo é a

razão entre a medida do cateto adjacente a esse ângulo e a medida da hipotenusa e a tangente
de um ângulo agudo é a razão entre as medidas dos catetos oposto e adjacente a esse ângulo.

sen =

cat.oposto
hipotenusa

cos =

cat.adjacente
hipotenusa

tg =

cat.oposto
cat.adjacente

Aplicações:
01) Determine o valor do seno, do cosseno e da tangente do ângulo agudo β no triangulo
retângulo ABC.

C

senβ =

5
≅ 0,7453
3


3
5

5
β
B

•

cosβ =

A

2

2

tgβ =

5
≅ 1,1180
2

÷

3

DEG

=

0.745355992

2
≅ 0,666
3
÷

5

3

÷

DEG

=

2

0.666666666

=

DEG

1.118033989

Para ver o grau do seno, cosseno e tangente basta pegar o valor que apareceu em
cada um e usar as teclas que se referem a ângulos.
Por exemplo, com o valor do cosseno vamos ver o grau do cosseno e do seno na
calculadora.
2

Grau do cosseno

Grau do seno

÷

3

2ndF

2ndF

=

DEG

cos -1

DEG

cos

Cosseno

DEG

sin -1

DEG

0.666666666
48.18968511
0.666666666
41.81031489

02) No triângulo retângulo abaixo, calcular o valor de x e y.


22

x
⇒ x = sen 33 0 ⋅ 22 ∴ x ≅ 11,98
22
y
cos 33 0 =
⇒ y = cos 330 ⋅ 22 ∴ x ≅ 18, 45
22

y
33°

sen 33 0 =

•
x

x

3

sin

x

2

2

=

DEG

3

y

3

3

cos

x

2

2

=

DEG

11.98205877
18.45075249

Caso queiramos encontrar, na calculadora científica, os catetos utilizando o principio
da representação geométrica, basta pensarmos que o triângulo esteja em um gráfico:
xy

Converte coordenadas polar em coordenadas retangular.

rθ

Converte coordenadas retangular em coordenadas polar.

a

Usado durante a conversão de coordenada quando é o x da coordenadas
retangular (x, y).

b

Usado durante a conversão de coordenada quando é o y da coordenadas
retangular (x, y).
y

y
22

33°

y

•
x

x
x

2

2

a

3

3

b

2ndF

xy

DEG

18.45075249

b

DEG

a

DEG

11.98205877
18.45075249

03) Uma pessoa está a distância de 84m da base de um prédio e vê o ponto mais alto do
prédio sob um ângulo de 23° em relação à horizontal. Qual a altura do prédio?

x = tg 23o ⋅ cat.adjacente
x = tg 23° ⋅ 84
x ≅ 35,65m

5

x
23°

84m
2

3

tan

x

8

4

=

DEG

35.65588456

Resp.: A altura do prédio é 35,65 m aproximadamente.

5. 19 Estudando as relações trigonométricas em um triângulo qualquer

Os problemas de Trigonometria envolvendo triângulos eram resolvidos recorrendose a triângulos retângulos. Mas, na prática, nem sempre temos essa facilidade. Muitos dos
problemas trigonométricos envolvem triângulos acutângulos ou obtusângulos em sua
resolução.
5. 19. 1 Lei (ou teorema) dos Senos

Em todo triângulo, as medidas dos lados são proporcionais aos senos dos ângulos
opostos, e a constante de proporcionalidade é a medida do diâmetro do círculo circunscrito a
esse triângulo.

Considerando o triângulo acutângulo ABC, em que:
A

• a, b, c são as medidas dos lados.
• h1 é a medida da altura.

c

• h2 é a medida da altura.

b
h2

• Onde podemos escrever:

c ⋅ sen B = b ⋅ sen C

h1

B

C
a

que resulta:

c
b
=
sen C sen B

Aplicação:
01) Determine a medida x do triangulo acutângulo abaixo.
A
8cm

Pela Lei dos senos, temos:

60°

8
x
8 ⋅ sen 60 0
=
⇒x=
sen 45 0 sen 60 0
sen 450
Logo, a medida x é aproximadamente:

45°

B

C

4 6 ou ≅ 9,79

x
8

x

6

0

sin

÷

4

5

sin

=

DEG

9.797958971

5. 19. 2 Lei (ou teorema) dos Cossenos

Em todo triângulo, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados
das medidas dos outros lados menos o duplo produto das medidas destes lados pelo cosseno
do ângulo formado por eles.

Considerando o triângulo ABC, em que:
A
• a,b,c são as medidas dos lados do triângulo.
c

• h é a medida da altura relativa ao lado BC do

b

triângulo.

h

• x e y são as medidas dos segmentos que a altura
x

B

y

C

determina sobre o lado BC.

a
Assim temos:
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc ⋅ cosA
b 2 = a 2 + c 2 − 2ac ⋅ cosB
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab ⋅ cosC

Aplicação:
01) Determine a medida x indicada no triângulo:
A
6cm

b 2 = a 2 + c 2 − 2ac ⋅ cosB

x

x 2 = 10 2 + 6 2 − 2 ⋅ 10 ⋅ 6 ⋅ cos60 0
x = 76
∴ x = 2 19 ≅ 8,717

60°

B

C
10cm

1

0

x2

+

6

6

x

6

0

cos

x2

─
=

2

x

1

0

x

DEG

76
DEG

8.717797887

5. 20 Relações métricas na circunferência

Circunferência é a figura geométrica formada por todos os pontos de um plano que
distam igualmente de um ponto fixo desse plano. Esse ponto fixo é chamado centro da
circunferência (ponto O), e a distância constante é o comprimento do raio, indicado por r.

A circunferência também apresenta relações métricas entre seus elementos. Vejamos
essas relações.
Relação entre as cordas

PA ⋅ PB = PC ⋅ PD

Relação entre secantes


Relação entre secante e tangente

2

PC = PA ⋅ PB

Aplicações:
01) Determine a medida x do segmento PD , sabendo que PA = 8 cm, PB = 4 cm e PC = 2
cm.
Resolução algébrica pela relação das cordas:

8⋅4 = 2 ⋅x
8⋅ 4
x=
∴ x = 16cm
2
8

x

4

÷

2

=

DEG

16

02) Calcular o comprimento r do raio da circunferência, sendo PA = 20 cm e PC = 10 cm.
Resolução algébrica pela relação entre secante e tangente.

2

PA = PB ⋅ PC
20 2 = (10 + 2r ) ⋅ 10
400 = 100 + 20r
400 − 100
r=
∴ r = 15cm
20

0

0

─

1

0

0

=

DEG

÷

4

2

0

=

DEG

300
15

5. 21 Unidade de medidas de arcos e ângulos

Arco de circunferência é cada uma das partes em que uma circunferência fica
dividida por dois de seus pontos. A medida de um arco de circunferência é a medida do
ângulo central correspondente. Para medir arcos e ângulos utilizamos o grau e o radiano.
Existe uma outra unidade de medida de ângulo pouco usada que chamamos grado 20 .

5. 21. 1 O grau e o radiano

Grau é um arco de 1º (lê-se um grau) da divisão de uma circunferência em 360
partes iguais, e o radiano é o arco cujo comprimento é igual à medida do raio da
circunferência que o contém. Indicamos, abreviadamente, por rad.
Os submúltiplos do grau ( ° ) são o minuto ( ′ ) e o segundo ( ″ ).
A circunferência possui 360° que em radiano é 2π e o comprimento do arco (volta
completa) é 2πr.

20

O grado foi criado durante a Revolução Francesa, na reforma de pesos e medidas onde se dividia a
circunferência em 400 partes iguais e a cada arco unitário da circunferência, chamamos de grado.

Quadro comparativo das medidas em graus e em radianos.
Unidade

Amplitudes

Fundamental
Grau

0°

Radianos

90°

0

180°

2

360°

π

π

270°
3π
2

2π

5. 21. 2 Conve rsão de arcos

Para se determinar a medida de um arco AB em radianos (α) basta dividir o
comprimento do arco (l) pela medida do raio da circunferência que o contém (r).
Por exemplo, a medida de um arco AB de comprimento 10 cm, contido numa
circunferência de raio igual a 5 cm, é 2 rad, pois:
med(AB) =

l 10cm
=
= 2rad
r 5cm

Como o comprimento da circunferência é C = 2πr, a medida, em radianos, da
circunferência toda é:
α=

C 2πr
=
= 2π
r
r

Comparando as medidas em graus e em radianos, obtemos:
(0, 1)
90°

Eixo dos senos

π
2

rad

0° (1, 0)
Eixo dos cossenos
360° = 2π

(-1, 0)
180° = π rad

270°
(0,-1)

3π
rad
2

Aplicações:
01)

RAD

DEG

π

90°

=

2

GRAD
100g

=

graus

radianos

grados

Na calculadora:
DRG

RA D

2ndF

π

÷

2

=

RAD

1.570796327
RAD

cos

DRG

DEG

cos -1

2ndF

DEG

90
cos

DRG

GRAD

0

DEG

0

cos -1

2ndF

02) Expresse em graus o arco de

GRAD

100

7π
rad .
4

180° ———— π rad
x ————

x=

7π
rad
4

7π
4 = 1260π ⋅ 1 = 1260 ∴ x = 315°
π
4
π
4

180 ⋅

DRG

RAD

DRG

π

÷

DEG

4

RAD

RAD

0.785398163
0.707106781

cos -1

2ndF

x

=

cos

2ndF

7

DEG

=

DEG

45
315

Resp.: Portanto

7π
rad = 3150.
4

π

03) Expresse o arco de

8

radianos em graus e minutos.

Transformar π em graus e dividir pelo denominador, o resultado transformar em
minutos para em seguida transforma- lo em graus e minutos.
1350

π = 180° →

120

180
= 22,5° ⇒ 22,5 ⋅ 60 = 1350 ′
8

60
22°

0150
120
30′

RAD

2ndF

π

DRG

÷

DEG

8

π
8

RAD

RAD

0.392699081
0.923879532

cos -1

DEG

DMSD

2ndF

2ndF

Resp.: Logo

=

cos

DRG

DEG

22.5
22.300000

rad é igual a 22° 30′.

04) Calcule o valor de sen 1830°.
Calcular a 1ª determinação positiva:
1830°
30°

360°

→ 1830° = 30° + 5 · 360°

5

Logo: sen 1830° = sen 30° ∴ sen 1830° =

1
2

1

8

3

0

sin

DEG

0.5

05) Calcule o valor de cos 11π.
11π 11 10 1
1
1

=
=
+ = 5 + ∴ 11π =  + 5  2π = π + 5 ⋅ 2π
2π
2
2 2
2
2


Logo: cos 11π = cos π ∴ cos 11π = ─1
RA D

2ndF

π

x

1

=

1

RAD

cos

DRG

RAD

34.55751919
─1

06) Determine o valor de tg 1845°.
1845°

360° → 1845° = 45° + 5 · 360°

45°

5

Logo: tg 1845° = tg 45° = 1
1

8

4

5

07) Determine o valor de tg

DEG

tan

1

4π
.
3

4π 3π π
π
4π
π
=
+ =π+
Logo : tg
= tg = 3
3
3 3
3
3
3

DRG

RAD

4

x

2ndF

π

÷

3

=

tan

RAD

1.732050808

08) Calcule a cotg 30°.

cotgx =

1
cos30°
⇒ cotg30° =
tgx
sen30°

3
3 2
= 2 =
⋅ = 3.
1
2 1
2

3

0

tan

2ndF

DEG

1/ x

1.732050808

09) Ache o valor da cossec 30°.
cos sec x =

1
1
1 1 2
⇒ cos sec 30° =
=
= ⋅ =2
sen x
sen 30° 1
1 1
2

3

0

sin

2ndF

DEG

1/ x

2

10) Calcule o valor da sec 60°.
sec x =

1
1
1 1 2
⇒ sec 60° =
=
= ⋅ =2
cos x
cos 60° 1
1 1
2

6

0

cos

2ndF

DEG

1/ x

2

11) Calcule a área da parte pintada na figura.
Para resolver tem que seguir os passos ao lado.

12cm
5cm

a. Encontrar o valor da hipotenusa;
b. Encontrar o valor do raio dividindo o
valor da hipotenusa por 2;
c. Encontrar a área do triângulo;
d. Encontrar a área da circunferência;
e. Subtrair a área do triângulo da área
da circunferência.

a. Encontrando o valor da hipotenusa:
h2 = a2 + b2
h 2 = 5 2 + 12 2
h = 25 + 144 = 169 ∴ h = 13cm
b. Encontrando o valor do raio:
13 ÷ 2 = 6,5 cm
c. Encontrando a área do triângulo:
A∆ =

h ⋅l
5 ⋅ 12 60
⇒ A∆ =
=
∴ A∆ = 30 cm2
2
2
2

d. Encontrando a área da circunferência:

S = πr 2 ⇒ S = 3,1415⋅ 6,52 = 3,1415⋅ 42,25
∴ S ≅ 132,72cm2
e. Subtraindo a área do triângulo da área da circunferência para encontrar o valor da
área pintada.
132,72 − 30 ≅ 102,72cm 2
a

1

x2

2

+

x2

5

DEG

=

13

b

c

1

2

2

=

DEG

5

x

÷

÷

2

=

DEG

M+

d

2ndF

π

x

6

•

e

5

─

x2

30

M

ON/ C

DEG

0

M

=

RM

6.5

=

Resp.: A área pintada é de aproximadamente 102,73cm2 .

DEG

132.7322896

M

DEG

102.7322896

5. 22 Logaritmo

A palavra logaritmo vem do grego (logos = razão + arithmos = número) e dizemos
que o logaritmo de um número positivo b, na base a, positiva e diferente de 1, é o expoente x
ao qual se deve elevar a para se obter b.

log a b = x ⇔ b = a x
log

Logaritmo de base 10 ou decimal

ln

Logaritmo natural

ex

Calcula o antilogaritmo natural

10 x

Calcula o antilogaritmo de base 10.

Forma Exponencial

Forma Logarítmica
x = logaritmo

log b a = x

a = potência

b = base do logaritmo

b =a

b = base potência

x

a = logaritmando

5. 22. 1 Propriedades

log a b + log a c

1ª

log a (b ⋅ c )

2ª

log a b / c

=

3ª

log a b m

m ⋅ log a b

4ª

log b a ⋅ log c b

=

=

log a b − log a c

=

log c a

x = expoente

Para encontrarmos o logaritmo de qualquer base usamos a tecla

log

da

calculadora que indica um logaritmo de base 10, mas para isso, devemos modificar a quarta
formula para:

log b a =

log c a
log c b

Aplicações:
01) Calcule log 3 81 .
3 x = 81 ⇒ 3 x = 3 4 ∴ x = 4

8

1

log

÷

3

log

DEG

=

4

2 x = 8 ⇒ 2x = 23 ∴ x = 3

8

log

÷

2

log

DEG

=

3

03) Calcule log 91/9 .
9x =

1
⇒ 9 x = 9 −1 ∴ x = −1
9

1

÷

9

=

log

÷

9

log

04) Calcule log 0,01 10 .
0,01x = 10 ⇒ (10 −2 ) = 101 ⇒ −2x = 1∴ x = −
x

1
2

=

DEG

─1

1

0

log

÷

•

0

1

log

Podemos também, em vez de usarmos a tecla

DEG

=

─0.5

usar a tecla

log

ln

que

representa o logaritmo natural cuja a base é aproximadamente 2,71828..., que teremos o
mesmo resultado.
8

ln

÷

2

ln

DEG

=

3

Para encontrarmos a base do logaritmo na calculadora científica, devemos fazer o
seguinte procedimento:
06) Calcule log a 8 = 3 .
a 3 = 8 ⇒ a 3 = 23 ∴ a = 2

8

2ndF

3

x

DEG

=

2

07) Calcule log a 5 = −1 .
a −1 = 5 ⇒

1
1
= 5 → 1 = 5a ∴ a =
a
5

5

2ndF

1

x

+/─

DEG

=

0.2

08) Calcule log a 3 4 = 2/3 .

a

2

3

=3 4⇒a

2

2

= 2 3 ∴a = 2

3

4

2ndF

3

2ndF

x

(

2

÷

3

)

=

DEG

2

Para encontrarmos o logaritmo de base 10 basta colocar o valor do logaritmo e teclar.
09) Calcule log 36 .
10 x = 36 ⇒ 10 x = 101,55630250 1 ∴ x = 1,556302501
3

6

DEG

log

1.556302501

Para sabermos o antilogaritmo de base 10, devemos usar a tecla

10 x

. Com base nisto

encontre o antilogaritmo de log = 1,556302501 , use o resultado acima:
101,556302501 = x ∴ x = 36

10 x

2ndF

DEG

36

O mesmo acontece se encontrarmos um logaritmo natural. Para encontrarmos seu
antilogaritmo de base “e”, devemos usar a tecla

ex

.

10) Calcule o logaritmo e o antilogaritmo de ln 5 .
2,718281828 x = 5 ⇒ 2,718281828 x = 2,7182818281,609437912 ∴ x = 1,609437912
2,7182818281,60943791 2 = x ∴ x = 5
ln

DEG

2ndF

ex

DEG

Inv

ln

5

11) Calcule log x = 0,72342 .

1.609437912
5

10 0,72342 = x ∴ x = 5,289565508
•

7

2

3

4

2

10 x

2ndF

DEG

5.289565508

Na calculadora do computador tem que ativar Inv que ativa a função inversa.
Inv

0

•

7

2

3

yx

3

4

=

2

log

12) Calcule log 4 x = 3 .
4 3 = x ∴ x = 64

4

DEG

64

5. 23 Progressão Aritmética

Progressão aritmética é toda seqüência de números na qual cada termo, a partir do
segundo, é a soma do anterior com uma constante. Essa constante, que é indicada por r, é
denominada razão da progressão aritmética.
A razão de uma progressão aritmética é a quantidade que acrescentamos a cada
termo para obter o seguinte, dizemos que ela é igual à diferença entre qualquer termo, a partir
do segundo, e o anterior.

a n +1 = a n + r, ∀ n ∈ Ν ∗
5. 23. 1 Fórmula do termo ge ral de uma PA

a n = a 1 + (n − 1)r
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