O documento descreve os objetivos e conteúdos de uma disciplina sobre modelos matemáticos. A disciplina abordará conceitos básicos de métodos numéricos, programação, modelos ecológicos e hidrodinâmicos. As equações que serão resolvidas incluem a equação de conservação da massa e a equação de transporte de quantidade de movimento. Os métodos numéricos como diferenças finitas e elementos finitos serão usados para resolver essas equações.

1. Com Apoio de :
Marcos Mateus e Guillaume Riflet

2. Objectivos da Disciplina
• O que é um modelo,
• Os modelos matemáticos,
• Elementos que constituem um modelo,
• Os processos de transporte e as
equações de evolução,
• Os métodos Numéricos,
• Programação/Linguagens gráficas,
• Gestão Ambiental, Modelos,
Monitorização e Estudos de processos.

3. Programa
• Conceitos básicos de métodos
numéricos,
• Programação em Visual Basic,
• Programação em PowerSim / Matlab,
• Modelos Presa-Predador
• Modelos Ecológicos,
• Modelos Hidrodinâmicos,
• Modelos de Transporte de
Sedimentos.

4. Conhecimentos requeridos
• Mecânica dos Fluidos e Processos de
Transporte,
• Programação,
• Ecologia e funcionamento dos
ecossistemas,
• Ciclo dos Elementos e Ecologia,
• Fluxos de massa e de Energia
através de um ecossistema.

5. Dificuldades Encontradas em
Anos Anteriores
• Programação é a grande dificuldade.
• Mecânica dos Fluidos é uma
dificuldade adicional, mas menor.
• Soluções: Acelerar o processo de
aprendizagem de programação.

6. Equações que vamos
resolver
• Conservação da massa:
∂ ck ∂ u j ck ∂
∂t
 = ν
∂xj ∂ xj ∂xj
∂c
 
 F k−P k 
• Num modelo Hidrodinâmico também
a equação de Transporte de
Quantidade de Movimento:
ρ
∂t
∂ ui
u j
∂ ui
=
∂
  
ν
∂u i
∂ x j ∂ xj ∂ x j
 PressãoGravidade 

7. Onde aparecem os conceitos
requeridos
• Equação de Evolução (ou de
Transporte),
• Na equação de Transporte de
Quantidade de Movimento,
• Em(F-P)
• Se isto fosse conhecido bem como a
programação, a disciplina poderia ser
chamada de “Mecânica dos Fluidos
Computacional….”

8. Como se resolvem as
equações
• Métodos Numéricos:
• Diferenças finitas/Volumes Finitos
• Elementos Finitos/Elementos de
Fronteira.
• Como se constrói o método das
diferenças finitas?
• Sériet  t ∂Taylor:c  t ∂ c .. . . t n ∂n c
t t t
de c  t ∂
       
t 2 2 3 3
t t
c =c
i i
∂t i 2! ∂ t2 i
3! ∂ t3 i
n ! ∂ tn i

9. O que representa a série de
Taylor? t t t
       
t 2 2 3 3 n n
∂c t ∂ c t ∂ c t ∂ c
c t t =c ti 
i t  2
 3
.. . .
∂t i 2! ∂t i 3! ∂t i n ! ∂ tn i
c
Outras
derivada
s Δc 1ª Derivada: Δc/
Δt
Δt
t1 t1+Δt t

10. Como usar para calcular as
derivadas? t
t t
       
t 2 2 3 3 n n
tt t ∂c t ∂ c t ∂ c t ∂ c
ci =c i  t  2
 3
.. . .
∂t i 2! ∂t i 3! ∂t i n ! ∂ tn i
t
t t t
ci =ci  t
∂c
∂t i  
° t 2 
Método Explícito
t
cti  t −cit
 
∂c
=
∂t i t
° t 
t t t t t t
     
t t 2 2 3 3 n n
t t t
c i =c i −
 
t
∂c
∂t i

t ∂ c
2 ! ∂t 2 i
−
t ∂ c
3 ! ∂t 3 i
.. ..
t ∂ c
n ! ∂ tn i
t t
t t t
ci =c i − t
t t
∂c
∂t  
t t t
i
° t 
2
Método Implícito
c i −c i
 
∂c
∂t i
=
t
° t 

11. Outro Método
2 t t / 2 3 t t / 2 n t t / 2
     
tt / 2
 t /2 ∂2c  t / 2 ∂3c  t / 2 ∂nc
tt
ci
t t / 2
=c i   t /2
 
∂c
∂t i

2! ∂ t2 i

3! ∂t 3 i
. .. .
n! ∂ tn i
2 t t / 2 3 t t / 2 n t t / 2
     
t t / 2
 t /2 ∂2c  t / 2 ∂3c  t / 2 ∂nc
t− t t t / 2
c i =c i −  t /2
 
∂c
∂t i

2! ∂t
2
i
−
3! ∂t
3
i
. .. .
n! ∂t
n
i
Subtraindo uma da outra:
t t /2
t t t
ci −ci =+ t
∂c
∂t   i
°  t /2  [ 3
]
t  t /2
c ti  t −c ti
 
∂c
∂t i
=
t
[
°  t /2 
2
]
Este método calcula a derivada no centro do intervalo de tempo e tem
precisão de 2ª ordem. Dá a solução exacta até uma evolução parabólica

12. O que representa a série de
Taylor? t t t
       
t 2 2 3 3 n n
∂c t ∂ c t ∂ c t ∂ c
c t t =c ti 
i t  2
 3
.. . .
∂t i 2! ∂t i 3! ∂t i n ! ∂ tn i
c
Método Explícito Método Implícito
Outras
derivada
s Δc 1ª Derivada: Δc/
Δt
Δt
Método Diferenças
Centrais
t1 t1+Δt t

13. Derivadas no espaço?
t t t
       
t 2 2 3 3 n n
t t ∂c x ∂ c x ∂ c x ∂ c
c i  x =c i x  2
 3
. .. .
∂ x i 2! ∂ x i 3! ∂ x i n ! ∂ xn i
t
t t
ci x =ci  x
 
∂c
∂t i
2
° x 
Método downwind
ci x −cit
t t
 
∂c
=
∂x i x
° x 
t t t
       
t 2 2 3 3 n n
t t ∂c x ∂ c x ∂ c x ∂ c
c i−x =c i − x  2
− 3
. .. .
∂ x i 2! ∂ x i 3! ∂ x i n ! ∂ xn i
t
t t
ci− x =ci − x
∂c
∂t i  
° x 2 
Método upwind
t
cit −c ti− x
 
∂c
=
∂x i x
° x 

14. Subtraindo uma equação da
Outra
t
t
cix =ci−x −2
t
t
t
x
t
 
∂c
∂t i
3
° x 
cix
 
∂c
=
∂x i 2x
−ci−x
° x 
2
Diferenças centrais

15. Derivadas no espaço?
     
¿ ¿ ¿
 
¿ 2 2 3 3 n n
¿ ¿ ∂c x ∂ c x ∂ c x ∂ c
c ix =c i  x  2
 3
. .. .
∂ x i 2 ! ∂ x i 3! ∂ x i n ! ∂xn i
     
¿ ¿ ¿
 
¿ 2 2 3 3 n n
¿ ¿ ∂c x ∂ c x ∂ c x ∂ c
c i−x =c i − x  2
− 3
. .. .
∂ x i 2 ! ∂x i 3! ∂ x i n ! ∂ xn i
Adicionando:
 
¿
2
¿ ¿ ¿ 2 ∂ c 4
ci x ci− x =2c i − x ° x 
∂t 2 i
¿
  c ¿ x −2c ¿ c¿ x
2
∂ c i− i i− 2
= ° x 
∂ x2 i x2

16. Equações Algébricas
• Obtêm-se substituindo as derivadas
pelas aproximações:
c
t t
−c
t c t  x −c tx− x
x c t  x −2c txc t − x
x x
°  t  u °  x  =ϑ
2
°  x 2 
t 2x x2
• Explícito, diferenças centrais. Precisão de 2ª
ordem no espaço e 1ªno tempo.
c t  tx/ 2 −c tx− tx/ 2 c t  tx/ 2 −2c tx t / 2 c t  tx/ 2

c t  t −c t 2
°  t  u x  °  x 2  =ϑ x  °  x 2 
x−
t 2x x2
• Semi-implícito (Crank-Nicholson) diferenças
centrais espaço. Precisão de 2ª ordem no
tempo e no espaço.
O que se paga pela precisão de 2ª ordem no tempo?

17. Explícito Upwind
c
t t
−c
t c t −ctx − x
x c tx x −2c tx c tx− x
°  t  u °  x =ϑ
2
°  x 2 
t x x2
• Precisão de 1ª ordem no tempo e no espaço para
advecção. Segunda ordem para difusão.

18. Qual é o melhor método?
• Se o erro de truncatura fosse o único
indicador seria Crank-Nicholson, com
diferenças centrais!
• Mas não é o único. Temos também
que ver a consistência com os
processos que estamos a estudar.
• Como se faz fisicamente a Advecção
(propriedade transportiva) e a
Difusão?
• O método upwind respeita