Libro de Matemáticas 6°

1. Contenido de tu libro
12
Pensom/enro
L Ó G I C A Y C O N J U N T O S
Estándar: Reconozco las principales características de un conjunto y una proposición.
numérico - Lógica: Proposiciones, conectivos lógicos y cuantificadores 13
variaáonal Conjuntos 16variaáonal
Rincón de la historia: John V e n n 16
Pensamiento
numérico -
variacional
SISTEAAAS DE N U M E R A C I O N
Estándar: C o m p r e n d o los diferentes sistemas de numeración.
Pensamiento
numérico -
variacional
Sistemas antiguos de numeración 21
Pensamiento
numérico -
variacional Sistema de numeración binario 2 4
Pensamiento
numérico -
variacional
Sistema de numeración decimal 2 6
Pensamiento
numérico-
variacional
N U M E R O S NATURALES
Estándar: Resuelvo y formulo problemas con los números naturales y sus operaciones.
Pensamiento
numérico-
variacional
O r d e n de los naturales 3 0
Pensamiento
numérico-
variacional
Adición y sustracción de números naturales 3 3Pensamiento
numérico-
variacional
Propiedades de la adición de números naturales 36
Pensamiento
numérico-
variacional
Multiplicación y división de números naturales 3 9
Pensamiento
numérico-
variacional
Propiedades de la multiplicación 4 2
Pensamiento
numérico-
variacional
Situación problema 4 6
E L E M E N T O S DE G E O M E T R Í A Y M E D I C I Ó N
Estándar: Reconozco los términos básicos de la geometría y las relaciones entre unidades de longitud.
Pensamiento
métrico -
geométrico
Conceptos básicos de geometría 4 9
Pensamiento
métrico -
geométrico
Ángulos 54Pensamiento
métrico -
geométrico
Unidades de tiempo y longitud 5 7
Pensamiento
métrico -
geométrico
Sistema de medición inglés 60
Pensamiento
aleatorio
DATOS E S T A D Í S T I C O S
Estándar: Resuelvo situaciones problema usando recolección de datos.
Recolección de datos: población, muestra y variables estadísticas. 6 3
Páginas
especiales
Proyecto: Conversión de números arábigos a números romanos con ayuda del computador 66
Páginas
especiales
Matemática recreativa: Internet sano 68
Páginas
especiales
Prueba de unidad 70
Pág.
Pensamiento
numérico -
T E O R Í A DE N Ú M E R O S
Estándar: Reconozco y utilizo algunos conceptos de la teoría de números.
Pensamiento
numérico -
Múltiplos y divisores 73Pensamiento
numérico - Criterios de divisibilidad 7 6
variacional Descomposición de números en factores primos 79variacional
Mínimo común múltiplo y máximo común divisor 82
P O T E N C I A C I Ó N , RADICACIÓN Y L O G A R I T M A C I Ó N
Estándar: Resuelvo y formulo problemas con potenciación, radicación y logaritmación.
Pensamiento Potenciación de números naturales 8 5
numérico -
variacional
Propiedades de la potenciación 8 7numérico -
variacional
Radicación de números naturales y propiedades 9 0
numérico -
variacional
Logaritmación de números naturales 94
Pensamiento
numérico -
variacional
E C U A C I O N E S
Estándar: Utilizo todas las estrategias para resolver ecuaciones.Pensamiento
numérico -
variacional Igualdades y ecuaciones 9 7
Pensamiento
métrico -
geométrico
P O L I G O N O S
Estándar: Clasifico polígonos según sus propiedades.
Pensamiento
métrico -
geométrico
Polígonos 100Pensamiento
métrico -
geométrico Triángulos 104
Pensamiento
métrico -
geométrico
Cuadriláteros 108
Pensamiento
aleatorio
D I S T R I B U C I Ó N DE F R E C U E N C I A S Y DIAGRAMAS E S T A D Í S T I C O S
Estándar: Utilizo diferentes representaciones gráficas para mostrar un conjunto de datos.
Pensamiento
aleatorio Frecuencias 1 1 0
Diagramas y gráficos estadísticos 113
Páginas
especiales
: Proyecto: Salida pedagógica (Recorramos el barrio) 116
Páginas
especiales
Matemática recreativa: La magia del origami 118Páginas
especiales
Prueba de unidad 1 2 0

2. Pág.
,
HBHHMHMHBHHHiHfflHIHBHHMHMHBHHHiHfflHI
1
F R A C C I O N E S
Estándar: Emplea las fracciones y sus operaciones.
Pensamiento
numérico -
variacional
Representación de fracciones 123Pensamiento
numérico -
variacional
Clasificación de fracciones y números mixtos 126
Pensamiento
numérico -
variacional
Fracciones equivalentes. Complificación y simplificación 130
Pensamiento
numérico -
variacional
Representación de fracciones en la recta numérica y orden 134
Pensamiento
numérico -
variacional
Adición y sustracción de fracciones 137
Pensamiento
numérico -
variacional
Multiplicación y división de fracciones 141
Pensamiento
numérico -
variacional
Potenciación y radicación de fracciones 144
Pensamiento
métrico -
SUPERFICIE
Estándar: Calculo áreas por medio de la composición y descomposición de figuras.
Pensamiento
métrico -
Unidades de superficie 148Pensamiento
métrico - Área de políqonos 151
geométrico
Perímetro de la circunferencia y área del círculo 154
geométrico
Área de figuras sombreadas 157
Pensamiento
aleatorio
Diagrama circular 160
Pensamiento
aleatorio Medidas de tendencia central 164
Páginas
especiales
Proyecto: Maqueta galería de arte 167
Páginas
especiales
Matemática ciudadana: Propiedad intelectual 168Páginas
especiales
Prueba de unidad 170
Pág.
Grandes inventos de la historia
Pensamiento
N Ú M E R O S DECIMALES
Estándar: Reconozco y utilizo los números decimales.
Pensamiento
Fracciones decimales y números decimales 173
Pensamiento
Clasificación de números decimales y conversiones 176
Pensamiento Rincón de la historia: J o h n N a p i e r 1 8 0
numérico -
variacional
O r d e n entre números decimales 181numérico -
variacional
Adición y sustracción de números decimales 184
numérico -
variacional
Multiplicación y división de números decimales 187
Pensamiento
numérico -
variacional
R A Z O N E S Y P R O P O R C I O N E S
Estándar: Explico con gráficas situaciones de proporcionalidad directa e inversa.
Pensamiento
numérico -
variacional
Razón y proporción 192Pensamiento
numérico -
variacional
Proporcionalidad directa y regla de tres 195
Pensamiento
numérico -
variacional
Proporcionalidad inversa 199
Pensamiento
numérico -
variacional
Porcentajes 2 0 2
Pensamiento
numérico -
variacional
• N Ú M E R O S E N T E R O S
Estándar: Identifico y reconozco los números enteros en diferentes situaciones.
Pensamiento
numérico -
variacional
Números relativos opuestos e inversos aditivos de un número 205Pensamiento
numérico -
variacional
Rincón de la historia: origen del calendario gregoriano 2 1 0
Pensamiento
numérico -
variacional
O r d e n entre números enteros y valor absoluto 2 1 1
Pensamiento
numérico -
variacional
Adición y sustracción de enteros 2 1 4
Pensamiento
métrico -
geométrico
V O L U M E N Y C A P A C I D A D
Estándar: Identifico relaciones entre unidades para medir diferentes magnitudes.
Pensamiento
métrico -
geométrico Volumen 2 1 7
Pensamiento
métrico -
geométrico
Unidades de capacidad 2 2 0
Pensamiento
métrico -
geométrico
Traslaciones, reflexiones, rotaciones 2 2 2
Pensamiento
aleatorio
«• PROBABILIDAD Y C O N T E O
Estándar: Utilizo las técnicas de conteo y las reglas básicas de probabilidad.Pensamiento
aleatorio
Combinaciones y permutaciones
Conceptos básicos de probabilidad ^
2 2 7
2 2 9
Páginas
especiales
Proyecto: Cálculo de combinaciones y permutaciones con ayuda del computador 231
Páginas
especiales
Matemática recreativa: dominó y sudo/cu 2 3 4
Páginas
especiales
Prueba de unidad 2 3 8

3. Lógica y conjuntos • Sistemas de numeración
Números naturales • Propiedades y operaciones
• Elementos de geometría • Ángulos
• Recolección de datos
Las tecnologías del siglo XX y XXI
"¡Tan+o hemos
cambiado!"
Los aparatos tecnológicos son las soluciones dadas por el ser humano para mejorar la calidad
de vida. El siglo XX fue el escenario para grandes inventos y cambios tecnológicos, los cuales
han marcado el desarrollo de nuestra sociedad; por ejemplo, el telégrafo, aparato eléctrico
que emite y recibe señales según un código de impulsos eléctricos (clave Morse); el primer
telégrafo fue inventado en 1 8 3 3 por Samuel Morse.
O t r o cambio tecnológico significativo fue la evolución de instrumentos para guardar informa-
ción de audio o video. Hoy en día contamos con medios de audío y video ópticos c o m o el C D
y digitales como, el ¡Pod, los cuales funcionan con códigos internos.
Una nueva herramienta tecnológica creada en el siglo XIX y desarrollada en los siglos XX y XXI
es el computador. En 1 9 4 3 se crea el computador ENIAC, construido con tubos al vacío, con-
densadores, interruptores, resistencias, entre otros, por lo que requería de un espacio amplio
equivalente al de un salón de clase para su funcionamiento y pesaba aproximadamente 3 0
toneladas. En 1 9 6 0 , se diseñó el primer computador totalmente automático, que funcionaba
en su componente aritmético con ceros y unos, c o m o los actuales sistemas digitales emplea-
dos por computadores, celulares, sistemas de grabación de audio y video, entre otros.
Responde en tu cuaderno.
¿Qué nombre recibe la clave utilizada por el telégrafo?
2 . ¿Cuáles números utilizaba el computador creado en- 1 9 6 0 para procesar la' in-
formación?
3 . Hoy en día, ¿en qué formatos se graba la información de texto, audio y video?
¿Cómo se podrían clasificar los diferentes aparatos mencionados en la lectura?
¿Cuáles conjuntos se podrían formar con los elementos de audio y video?
6. ¿Qué beneficios nos ha traído la evolución tecnológica? Justifica tu respuesta.
¿Qué características de las antiguas tecnologías le aportaríasv
a las actuales y por
qué? C o n estas características, ¿qué invento tecnológico crearías?

4. «•»• Pensamiento numérico - variacional
* Lógica: Proposiciones, conectivos lógicos y cuantificadores
Clave matemática
Las proposiciones son oraciones a las cuales se les puede asignar un valor de verdad. Las
proposiciones se nombran con letras minúsculas, ejemplo:
q : un CD guarda información (V) r ; el XBOX es un animal (F)
Las anteriores proposiciones se denominan proposiciones simples.
Al agregar la palabra NO en una proposición, el valor de verdad cambia; es decir, se niega la
proposición. Esta negación se representa con el símbolo ~ .
P : el cuadrado NO tiene cuatro ladosp : el cuadrado tiene cuatro lados
Verdadero Falso
Dos o más proposiciones simples se pueden unir por medio de los conectivos lógicos: A
( y ) ,
v
(o), ~~* (entonces), (si y solo si), formando proposiciones compuestas con las que se
pueden construir tablas de verdad.
P<-><J
Si en el
long play la
información
es producida
de forma
análoga, si
y solo si,
el long play
guarda la
vibración
producida
por el sonido
de la cinta.
V
F
F
V
p p A q
Escuchó músi- Escuchó mú- Escuchó música en
ca en cásete.
V
V
F
F
sica en CD.
V
F
V
F
cásete y en CD.
V
F
F
F
<Í pvq
Escuchó músi- Escuchó mú- Escuchó música en
ca en cásete.
V
V
sica en CD.
V
F
cásete o en CD.
V
V
F
F
V
F
V
F
P q
Si los im-
pulsos del
iPod y el CD
Si los im-
pulsos del
iPod y el CDEl ¡Pod y el
Si los im-
pulsos del
iPod y el CD
Los impulsos CD transfor- producen ce-
del ¡Pod y el man los ce- ros y unos,
CD producen ros y unos entonces, el
ceros y unos. en audio o iPod y el CD
imagen. los transfor-
ma en audio
o imagen.
los transfor-
ma en audio
o imagen.
V V V
V •
F
F
F
V
F
F
V
V
En el long
play la
informa-
ción es
producida
de forma
análoga.
El long
play
guarda la
vibración
producida
por el
sonido en
la cinta.
O TALLER Lógica O o °
P 1 . En los enunciados escribe si corresponde a una proposición o no. En caso de que sí
corresponda, escribe su valor de verdad.
á. 5 x 4 = 20
Nos vemos mañana_
C. El CD no es.circular
d. Todos los celulares son de color
neg ro
e. El computador tiene más de un tecla-
do
i/f. ¿Cuántos ¡Pods tienes?
g. El triple de cinco es quince
h. 3 + 3 + 3 = 3 x 3
13

5. Completa la tabla.
P
15 x 10 = 150
El Sol es un planeta.
Valor de verdad
V
P Valor de verdad
15 X 10^150 F
Un dólares igual a un
peso colombiano.
En las siguientes proposiciones resal-
ta con rojo las que son simples, y con
azul, las que son compuestas. En las
proposiciones compuestas subraya el
conectivo lógico.
a . Los cuadriláteros tienen cuatro la-
dos.
b. La fiesta estuvo tranquila o yo estu-
ve aburrido.
c Febrero tiene 28 días.
d . 2 + 3 ^ 6 0 3 x 2 = 6.
e. Roma es la capital de Italia.
f. Vamos a ir al cine y comeremos
palomitas.
g. El mar es azul y el planeta Tierra es
redondo.
h. Si está lloviendo, entonces, me voy
a mojar.
¡« El vallenato no es un género mu-
sical.
Í. 5 x ó = 30 si y solo si 6 + ó + ó
+ 6 + ó = 30.
k« La Luna es redonda o el Sol es
amarillo.
Escribe proposiciones simples de tal
manera que el valor de verdad de las
proposiciones compuestas sea verda-
dero.
246 es par, si y solo si,
V
c. La palabra " c a f é " es aguda, si y
solo si,
d. El círculo es un sólido o
e. Si 48 es múltiplo de ó , entonces,
f, Los caballos no tienen alas y _
g, El domingo voy al parque o
b. El gato toma leche y
h. Si la música es un deporte, en-
tonces,
Y 5. Teniendo en cuenta las siguientes
proposiciones simples:
P: El primer telégrafo se utilizó en 1833.
q: Los computadores no han evolucio-
nado.
r: El CD es un medio óptico de audio y
video.
Encuentra el valor de verdad de las pro-
posiciones compuestas. En las propo-
siciones con paréntesis, primero se en-
cuentra el valor de verdad de ellos.
a . p A r
b. ~ r V q
c. ?v p — » ~ (q *-* r)
ú, ~ (~ q) —> q

6. e» ~ (p A q ) v ( ~ q A p ) 9» ~ (~ p r)
f. ~ (~ (p A q) —>~ r)
: 6. Sean p y q dos proposiciones simples. Escribe falso o verdadero según corresponda y
justifica tu respuesta.
a. p A q = q A p d. p—> q = ~ p q
b. p V q = q V p e. p ^ q = q<-^p
C. p—>q = q - + p f. p — > q = ~ q — > ~ p
/../; 7. Completa las proposiciones con los cuantificadores correspondientes para que la proposi-
ción sea verdadera.
V: Cuantificador universal (para todo, todos, cualquiera)
3 : Cuantificador existencial (existen, algunos, unos)
ci. ¡Pods son rectangulares d . días llueve
b. los números son primos e. letra pertenece al abecedario
c. computadores son negros f. los peces viven en el agua
Durante las vacaciones de diciembre del año pasado, la familia de Juanita decidió viajar por cinco días a la
isla de San Andrés. Durante el vuelo, ellos planearon sus actividades de la siguiente forma.
DÍA HORA ACTIVIDAD
PRIMERO
2:00-3:00 p.m. Llegada al aeropuerto, registro e instalación en el hotel.
PRIMERO
3:00-5:30 p.m. Recorrido por los alrededores del hotel y observar el mar.
5:30 - 9:00 p.m. Descanso en el hotel y cena.
SEGUNDO
7:30-9:00 a.m. Desayuno, alquilar lancha y dirigirse hacia Johnny Cay.
SEGUNDO
9:00 a.m.- 5:00 p.m. Entrar al mar, almorzar y disfrutar los cocteles.
5:00-8:30 p.m. Regreso al hotel, descanso, cena y dormir.
TERCERO
8:00-8:30 a.m. Desayuno.
TERCERO
8:30 a.m.-5:30 p.m.' Alquilar automóvil y recorrido por la Isla, almorzar.
5:30-8:30 p.m. Devolver el automóvil, caminar por la playa, cenar y dormir.
CUARTO
9:00-3:30 a.m. Desayuno, disfrutar de las olas del mar y almorzar.
CUARTO
3:30-6:00 p.m. Disfrutar de la piscina del hotel.
6:00-9:00 p.m. Organizar maletas, cenar y dormir.
QUINTO
7:00- 10:30 a.m. Desayuno e ir de compras.
QUINTO
10:30 a.m.-1:00 p.m. Almorzar y dirigirse al aeropuerto.
4:00 p.m. Llegada al aeropuerto de Bogotá.
y 8. Teniendo en cuenta la información anterior, escribe falso (F) o verdadero (V), según
corresponda.
a. La familia de Juanita todos los días observará el mar.
b. La familia de Juanita todos los días entrará al mar.
c. Todo el tiempo de la estadía, la familia permanecerá en el hotel.
d. El tercer día, la familia alquilará el carro por algunas horas.
e. Todas las vacaciones, la familia de Juanita visita San Andrés.
f. Todas las horas de permanencia en la isla estarán fuera del hotel.
Descriptor de desempeño:
/ Identificar proposiciones simples y compuestas y establecer su valor de verdad.

7. Pensamiento numérico - variacional
( ¿ ,
Conjuntos
A
Máquina de hilar
Ferrocarril
Bombilla
Telégrafo
Las herramientas
-tecnológicas creadas en el siglo
XVIII y principios del siglo XIX,
forman el conjunte A" y las
herramien+as creadas en el
siglo XX determinan el
conjunte B.
B
Radio Teléfono
Automóvil Televisor
Computadores Electrodomésticos
C l a v e matemática
Un conjunto es una colección de elementos que tienen por lo menos una característica o
propiedad c o m ú n . Usualmente los conjuntos se nombran con letras mayúsculas, ejemplo
C = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }
Un conjunto se determina cuando se sabe si un elemento pertenece o no al conjunto, el
s í m b o l o utilizado para indicar la relación de pertenencia es e y el de no pertenencia es
£ . Si el conjunto C = { l , 2 > 3 , 4 , 5 } , entonces, 4 6 C y 9 ^ C
Si todos los elementos de un conjunto D están contenidos en otro conjunto C, entonces se dice
que D es subconjunto de C. El símbolo de contenencia es C y el de no contenencia es (¡L .
Ejemplo: ' •
Dados los conjuntos C = { l , 2 f 3 , 4 , 5 } y D = { 1 , 2 } , entonces D C CY C (t D.
O TALLER Conjuntos
H 1 . Completa la tabla.
Escritura de los conjuntos
Comprensión
Para determinar un conjunto por comprensión se enuncia una pro-
piedad que cumplen todos los elementos del conjunto antecediendo
la expresión x/x.
Extensión
Para determinar un conjunto por extensión se nom-
bran todos los elementos del conjunto, si un conjun-
to es infinito se utiliza puntos suspensivos.
A = { x / x es un dígito par} A = {2,4,6,8}
/ = { x / x es un dígito impar}
,P = {13,1 7,19,23,29}
1 x / x es un elemento empleado para 1
[grabar i n f o r m a c i ó n de audio y videoj
Q = { x / x es un invento del siglo XIX}
R = { x / x es un invento del siglo XX}
Rincón de ta
historia
John Venn
(1834-1923)
Matemático y filósofo
británico, que intro-
dujo el sistema de
representación que
hoy conocemos como
"diagrama de Venn".

8. Observa la tabla y responde las preguntas.
Operaciones entre conjuntos.
Dados los conjuntos U = {1,2,3,4,5,6,7,8}, C = {l,2,3,4,5}, D = {2,4,7}
Unión u Intersección D Diferencia Complemento' Producto cartesiano X
La unión de los conjun-
tos C y 0 es el conjunto
formado por todos los
elementos que pertene-
cen al conjunto C, o al
conjunto D.
C u D = { x / x e C v x e ü }
C „ D = {1,2,3,4,5,7}
La Intersección entre La diferencia de C y Si C está conteni- El producto cartesiano de
los conjuntos C y D, D, es el 'conjunto for-
es el conjunto forma- mado por los elemen-
do por los elementos tos que pertenecen al
que pertenecen al conjunto C y no perte-
conjunto C y al con- •
junto D.
C n D = { X / X € C A X 6 D }
necen al conjunto D.
- D = { x / x e C A x ¿ D }
- D = {l,3,5}
do en un conjunto CxD es un conjunto for-
referencial U, el mado por todas las parejas
complemento del ordenadas, cuyos primeros ele-
conjunto C son los . mentas pertenecen al conjunto
elementos que le C y los segundos elementos
hacen falta a C para pertenecen al oonjunto-D.
ser el conjunto refe-
' (1.2){UH1,7)
C u D C n D C-D
2, Lee la información y represéntala en
el diagrama de Venn.
Las letras H, A/1 y C son los nombres de
los conjuntos formados por las pizzas
hawaiana, mexicana y carnes, respecti-
vamente.
Ana María invitó a su fiesta de cum-
pleaños a Camilo, Andrés, María Paula,
Jennifer, Federico, César y Daniel. En
la fiesta comieron pízza según el gusto
de cada uno. Camilo dijo que quería
hawaiana y mexicana, María Paula es-
cogió de carnes y hawaiana; Jennifer,
al igual que César, solamente seleccio-
nó hawaiana, Federico pidió mexicana
y carnes, Daniel y Ana María comieron
una pízza de cada sabor.
H ^ M
C x D
(2,2¡(2,4)(2,7
(3,2)(3,4)(3,7
(4,2)(4,4)(4,7)
(5,2)(5,4)(5,7)
El producto cartesiano" se pue-
de representar en un plano
cartesiano.
Observa el diagrama y escribe el símbolo
e o í , según corresponda.
a . Federico 0 H porque Federico no
pertenece al conjunto H.
b. María Paula _ C
c. Camilo H
d . Jennifer M
e. Daniel _ C
3. Dados los conjuntos:
L — {x/x es un dígito impar} ,.»•.
D = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} '
T = {3,6,9}
Completa las proposiciones con el sím-
bolo e, ÍÉ, <z o ce para que cada afir-
mación sea verdadera.
Ejemplo: 3 G
T porque 3 pertenece al con-
junto T; L(£T porque no todos los elemen-
tos del conjunto L están contenidos en. el
conjunto T.
a . 5 L
b . T D
c . 4 T

9. d. L D
4. Dados los conjuntos:
U = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 1 0 , 1 1,1 2,1 3,1 4,1 5,1 6,1 7,1 8,1 9 , 2 0 } ,
, , .. , , í x / x es un número menor de 20
D = {x/x es un divisor de 2 0 } , C = {3,6,9,1 2,1 5 } , y V =
y la suma de sus dígitos es
Realiza las operaciones en el cuaderno y escribe el resultado por extensión.
a. D U C
b. Vn D
c. D - C
d. C x V
i
10
9 -
8 -
7 -
6
5 -
4 -
3 -
2 -
1
e. O
f. V
g. VxD
h. (VUD)'
1
¡. (VnD)
¡. (C-D) n V
k.(CuV)'U C .
í. (Cuv)n(C-D)
2
10¥
9
- 8«»
» •
- O -
1 2 3
4 5 6
7
i
8
i 1
9
i >
4 3
• 5
7
0 1 2 3 4
5. Escribe las coordenadas de los vértices de cada figura.
a. P ( , ) c. P3 ( , ) e . P5 ( , ) g . P7 ( , ) i. P9 ( , )
b. P2( , ) d.P4( , ) f. P ( , ) h. P8( , ) j . PIO ( , )
3 5 6
i
7
i
8
i
9 10

10. 6. Ubica las coordenadas en el plano cartesiano y une los puntos correspondientes a
cada parte en el orden que se presentan.
10 -
9 -
8
7
6
5 -
4 -
3 -
2
1
Menú
"i 1 1 1 1 1 1 1 -
1 2 3 4 5 6 7 8 10
1 .a
Parte 2.a
Parte 3.a
Parte 4.a
Parte
a . Pl (2,10)
b. P2 (2,1)
c. P3 (7,1)
d. P4 (7,10)
P5 (6,9)
i P6 (3,9)
g . P7 (3,7)
h. P8 (6,7)
i. P9 (5,5) m . P13 (4,2)
|. PIO (4,5) n. P14 (5,2)
k. Pl 1 (3,4) n. P15 (6,3)
I. P12 (3,3) o. PIÓ (6,4)
p. P17 (5,4)
q. P18 (4,4)
r. P19 (4,3)
s. P20 (5,3)
Ubica las coordenadas en el plano cartesiano y une los puntos correspondientes a cada
parte en el orden que se presentan.
1 .a
Parte 2.a
Parte 3.a
Parte 4.a
Parte
a . Pl (10,2)
b. P2 (1,2)
c. P 3 ( l , 7 )
el. P4 (10, 7)
e. P5 (9, 6)
f. P6 (9, 3)
g . P7 (7, 3)
h. P8 (7, 6)
i. P9 (5, 5) m. P13 (2, 4)
j. PIO (5, 4) n. P14 (2, 5)
k. Pl 1 (4, 3) ñ. P15 (3, 6)
I. P12 (3, 3) o, PIÓ (4, ó)
p. P17 (4, 5)
q . P18 (4, 4)
r. P19 (3, 4)
s. P20 (3, 5)

11. 10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
y 8. Johanna, Sergio, Juan, William, An-
drés, Viviana, Mónica, Kevin, Gisel y
Paula son estudiantes de grado sexto.
El diagrama muestra sus preferencias
al seleccionar un programa de televi-
sión.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
o ¿Qué relación existe entre las figu-
ras obtenidas?
Al comparar las coordenadas de
las dos figuras anteriores, ¿qué
concluyes?
7, Sombrea la operación indicada en
cada diagrama de Venn.
(HnC)U(L-C)
H
Videos
musicales
Novelas
Muñecos
animados
Películas Seriados
Juan William Sergio Mónica Viviana
Paula Viviana Gisel Kevin Mónica
Andrés Kevin Mónica William Sergio
Viviana • Andrés Juan Gisel Paula
William Juan Andrés Johanna Gisel
Mónica Gisel Kevin Viviana Johanna
Sergio Johanna Paula Andrés Juan
Si el conjunto referencial es:
U
Johanna, Sergio, Juan, William,
Andrés, Viviana, Mónica, Kevin,
Gisel y Paula
Determina por extensión:
o. N = { x / x prefieren ver novelas}
x / x prefieren ver muñecos
b . M = •
animados
c. S = { x / x prefieren ver seriados}
x / x prefieren ver videos y j
películas
x / x prefieren ver novelas o
películas
d. R =
C
i N'
g. M '
h . ( N n M ) u S
i. D - N
Descriptor de desempeño:
/ Reconocer las principales características de un conjunto, realizar, representar e interpretar operaciones entre ellos.

12. Pensamiento numérico - variacional
Sistemas antiguos de numeración mm
- • :
Sistema de numeración romano: es un sistema de numeración aditivo en el cual los
símbolos: I, X, C y M aparecen máximo tres veces; V, L y D no se repiten; I, X y C suman
cuando están a la derecha de un símbolo y restan cuando están a la izquierda.
Número
arábigo
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 20 30 40 50 60 90
Número
romano
I II III IV V VI VII VIII IX X XI XX XXX XL L LX XC
100 101 110 200 300 400 500 600 900 1 000 4 000 1'000 000
c Cl ex ce CCC CD D DC CM M V /
1 689: MDCLXXXIX 957: CMLVII 2 007: MMVII 394: CCCXCIV
Sistema de numeración egipcio: es un sistema de numeración aditivo que utiliza jeroglíficos
para representar las unidades con su respectivo orden.
Número
arábigo
1 10 100 1 000 10 000
100
000
1 000 000
Número
egipcio I A 9
2 4 5 3 6 :
2 0 0 0 0
SLSLSÍSL, 99999 AAAJ mm
4 0 0 0 5 0 0 3 0
Sistema de numeración maya: es un sistema de numeración posicional de base 2 0 , los
números se colocan verticalmente de abajo hacia arriba, multiplicando el primer nivel por
uno, el segundo por 2 0 y el tercero por 3 6 0 .
Número
arábigo
0 1 2 3 4 5 6 10 15 20
Número
maya < ^ > • • • • • • • • • • •
< É >
1 x 2 0 = 2 0
6 x 1 = 6
2 0 x 3 6 0 = 7 2 0 0
6 x 2 0 = 1 2 0
6 x 1 = 6
< É > 2 0 x 2 0 = 4 0 0
< D 0 x i = 0
21

13. O TALLER Sistemas antiguos de numeración O r o
Q,,,) 1. Escribe en el paréntesis la letra correspondiente teniendo en cuenta los números
equivalentes en los tres sistemas de numeración.
CL ( ) 2 536 ( A A A A A
b. MMMDXCIII ( ) 739 ( )
99
ni
c. MMDXXXVI ) 150
00009000
) A A A A
d . DCCCXLII ( ) 203 ) 09099
A A A A A A A A A
J7
e . can ( ) 3593 ( ) A A A
INIIINI
f. DCCXXXIX ( ) 842
SLSL
<p <p <p C) (p
A A A
nnn
? 2. Escribe en tu cuaderno cada enunciado con su correspondiente número en el
sistema de numeración decimal.
|
a . En el año A A A A A A A A A s e
reformó la Constitución Política de Colombia.
1
b. La selección de fútbol de Colombia fue campeona de la Copa América en el
año MMII.
c. El papa Juan Pablo II falleció en el año ,f,^,
d. El nimin de abril de MCMXLVIII fue asesinado Jorge Eliécer Garrón.
e. En el año MCDLXVII un emperador chino puso cerdas en un mango de
hueso.
f. En 9999999 William Adis inventó nuestro cepillo actual.
A A A A A A A A
g. Galileo inventó el termómetro en el año 99999
*7
3. Completar la tabla convirtiendo cada número romano y maya en número
decimal.

14. Número romano Número decimal Número maya Número decimal
CDXLIV • •
• • •
MMMCCXLI
• • • •
DCCCXXIV
• •
MML • • • •
L Encuentra la solución en el sistema de numeración decimal de los siguientes problemas.
a . En el año ¿ > ¿ ) ¿ ) £ ) ¿ ) C ) S e menciona por primera vez la pólvora en China y en el año
J*?*?*?*?*? rr^ realiza la primera producción de porcelana en este mismo país.
¿Cuánto más antigua es la pólvora que la producción de porcelana?
b. En Europa aparece la carretilla en el año MCCCXI y en MDCXVIII el primer microsco-
pio. ¿Cuánto más reciente es el microscopio que la carretilla?
c. La balanza de dos platillos es inventada en el año MDCCXX y el manómetro en
MDCCV. ¿Cuál es la diferencia de años entre estos dos inventos?
d . El transbordador espacial Challenger explotó en MCMLXXXV y el transbordador
Columbio en 41 H 111. ¿Cuántos años han transcurrido entre los dos inventos?
e. En MCMLVII viaja el primer ser vivo al espacio: una perrito llamada Laika, en
Q**? 9 9 9 f f f í f f " e
9 a e
' primer hombre al espa-
cio; el ruso Yury Gagarín. ¿Cuántos años transcurrieron entre el viaje de la perrito
Laika y el viaje del hombre al espacio?
f. En MDCCLXXXIX se produce la Revolución francesa. ¿Hace cuántos años se conme-
moró el centenario de la Revolución francesa?
Descriptor de desempeño:
/ Identificar los sistemas antiguos de numeración y representar números del sistema de numeración decimal utilizando la simbologia de
estos sistemas.

15. *» Pensamiento numérico - variacional
Sistema de numeración binario
El sistema de numeración bjnario se utiliza en sistemas electrónicos, por ejemplo, un b o m -
billo encendido ® representa el número 1, porque hay un paso de corriente, mientras que
un bombillo a p a g a d o © representa el 0 , por no tener corriente.
© © © © © © representa el número 100100( 2 )
© © © © © © representa el número 101010( 2 )
© © © © © © representa el número 100110( 2 )
m a t e m á t i c a
El sistema d e numeración binario es posicional, por lo tanto, el valor de un número
depende de su ubicación.
Ejemplo: en el número binario 1 1001 1 ( 2 ) cada uno tiene un valor específico, el pri-
mero de derecha a izquierda equivale a u n o , el siguiente a dos, el quinto a dieciséis
y el sexto a treinta y dos, al sumar estos números se obtiene 5 1 , por tanto, el número
1 1001 1 „. eauivale a 51 en el sistema de numeración decimal.
1 0
|
0 1
|
1
to to '
1
to
1
ero
do
6 5 4 3 2
(2 x 1) + (2 x 1) + ( 2 x 0 ) + ( 2 x 0 ) + (2 x 1) + (2 x 1)
Orden posicional
Orden
posicional
9 8 7 6 5 4 3 2 1
5) (en base 10)
Valor representado
en cada posición
2 e
1
254
27
i
128
24
i
64
25
i
32
2a
l
16
1
8
22
1
4
2'
i
2
2o
l
1
O TALLER Sistema de numeración binario €> ® •
/ , „ ) 1 , Escribe el valor posicional de 1 en cada caso.
a . 1 0 0 ( 2 ) = 4 porque el número 1 en 100(2) está en la tercera ubicación. 2 2
= 4
b . 1000(2)
c. 10000(2)
d . 1 0 0 0 0 0 0 ( 2 )
-,)) 2 . En el arreglo se pueden encontrar de manera horizontal y vertical números binarios de
cinco cifras. Escribe todos los números binarios que aparecen en el arreglo.
V
2 4
1 0 0 1 1
1 0 1
0 1 1 1 1
1 0 0
1 0 1 1 0
a . 1 1 0 0 1 ,

16. b . Escribe en decimal los números-binarios del ejercicio anterior.
19_,
El número natural equivalente al número 1 001 1( 2 ) es 1 9, porque el primer uno
de derecha a izquierda es 1, el segundo equivale a dos y el quinto a 1 ó. Al sumar
estos valores se obtiene el número diecinueve.
3 . Escribe en el sistema binario los siguientes números del sistema decimal.
Ejemplo:
27 b. 76
19=10011
c. 120
(2)
d . 45 e. 37
? 4 . La suma de los números binarios se realiza teniendo en cuenta el valor posicional de las
cifras. Ejemplo:
1 1 0 0 ( 2 ) + 1 1 1 ( 2 ) =
+ 1
o
1
1 + 1 = 2.
2 en base 2 es ICL,
Por eso se escribe 0 y
se lleva I.
1
(2)
1 0 0 1 1
Calcula la suma de los siguientes números binarios.
o. 11011( 2 ) + 1100( 2 ) b. 1 0 1 1 0 ( 2 ) + 1111( 2 )
y 5. La calculadora internamente convierte los números del sistema decimal a números bi-
narios, los opera como binarios y, finalmente, entrega el resultado como un número en
base diez. Felipe realiza las cuentas de los dulces recogidos el día de los niños con la
calculadora. El 31 de octubre recibe 1 7 dulces en el colegio y 45 en su barrio.
a . Felipe dígita primero la cantidad de dulces que le entregaron en el colegio. Para la
calculadora este número es: .
b. ¿Cuántos dulces más recibe en el barrio que en el colegio? Escribe el resultado en
número binario. .
c. Si la abuela de Felipe le regala 1100( 2 ) dulces, ¿cuántos dulces tiene ahora Felipe?
Escribe la respuesta en el sistema de numeración binaria y en el sistema de numera-
ción decimal
Descriptor de desempeño:
/ Solucionar situaciones usando la conversión de un número binario a número decimal y viceversa.

17. <»*• Pensamiento numérico - variacional
• Sistema de numeración decimal
Clave matemática
Unidades
de billón
Centenas
de mil de
millón
Decenas
demude
millón
Unidades
de mil de
millón
Centenas
de millón
Decenas
de millón
Unidades
de millón
Centenas
de mil
Decenas
de mil
Unidades
de mil
Centenas Decenas Unidades
u.b. c.m.M. d.m.M. u.m.M. C.M. d.M. u.M. c.m. d.m. u.m. c d U
1012
10" 10'° 10' 108
107
10" 105
10" 103
102
10 10»
10 c.m. = 1 u.m. 1 0 c.M. = 1 u.m.M. 1 u.b. = 1 0 c.m.M.
Cada dígito recibe su nombre de acuerdo con la posición que ocupa, por esto el sis-
t e m a d e n u m e r a c i ó n d e c i m a l es un sistema posicional.
Ejemplo: para octubre de 2 0 0 7 el número de usuarios de internet en Colombia era de
9 6 8 1 5 8 3 (1 de cada 4 colombianos es usuario de internet), con un crecimiento del
2 3 % , porcentaje considerado de los más altos de América Latina.
Descompongamos esta cifra en forma polinomial, según la posición de cada una de
sus cifras.
9 6 8 1 5 8 3 = 9 x 1 0 0 0 0 0 0 + 6 x 1 0 0 0 0 0 + 8 x 10 0 0 0 + 1 x 1 0 0 0 + 5 x 1 0 0 + 8 x 10 + 3 x 1
= 9 x l 0 6
+ 6 x l 0 5
+ 8 x l 0 4
+ 1 x l 0 3
+ 5 x l 0 2
+ 8 x 1 0 + 3 x 1 0 °
= 9 0 0 0 0 0 0 + 6 0 0 0 0 0 + 8 0 0 0 0 + 1 0 0 0 + 5 0 0 + 8 0 + 3
"Nueve millones seiscientos ochenta y un mil quinientos ochenta y tres"
O TALLER Sistema de numeración decimal O o
1. Escribe la lectura correspondiente con los siguientes números.
a. 1 7 8
b. ó 4 7 8 3 6 7
c. 1 2 0 0 0 0 5
d . 3 8 4 0 0 2 0 .
e. 8 9 0 0 0 2 5 3 6 1 0 0 2
i 2 4 5 1 3 6 5 7 8 4 0
2, Escribe con dígitos los siguientes números.
a . Dos millones cuatrocientos ocho mil nueve
b. Un billón doce mil millones trescientos quince mil
c. Tres mil millones ocho mil novecientos once

18. d .
e .
f .
Ciento catorce mil millones quinientos diecinueve
Setenta y tres millones ciento noventa y seis mil trescientos doce
Cincuenta mil millones nueve mil diecisiete
Realiza una correspondencia entre la letra y la descomposición polinomial, escribiendo
en el paréntesis la letra respectiva.
a. 8 c.m.
b . 2 u.b.
c . 7 d
d . 2 u.M.
e. 9 c.m.M.
f. 1 1 d.m.
g . 3 c.m.
Completa la tabla.
) 3 x 100 000 = 300 000
) 8 x 100 000 = 800 000
) 11 x 10 000 = 11 000
) 9 x 100 000 000 000 - 900 000 000 000
) 7 x 10 = 70
) 2 x 1 000 000 000 000 = 2 000 000 000 000
) 2 x 1 000 000 = 2 000 000
Número Más 3 u.m Menos 2 d Más 1 c Más 1 u.M. Menos 2 d.m
3427 865
7 843 510
507 437 687
143 278 409
3 430 865 3 427 845 3 427 965 4 427 865 3 407 865
Encuentra los números correspondientes a las descomposiciones decimales en la siguien-
te sopa de números. Ten en cuenta que los números aparecen de forma horizontal o
vertical y algunos están invertidos.
a. 3 u.m. + 3 c.m. + 2 u + 7 d.m.
b . 4 c + 5 c.m. + 7 d.m. + 2 u.M. + 1 u
c . 8 d + 4 c.m. + 4 u + 8 d.m.
d . 2 u.m. + ó d.m. + 7 c.m. + 7 u.M. + ó d.M.
+ 2 u.m.M.
e. 2 u.b. + ó c.m. + 7 d.m.
f. 8 u + l d + 2 c + 4 u.m. + 1 c.M. + 2 d.M. + 3 c.m.
g . 3 c.M. + 4 d.M. + 8 u.M. + 3 u + 2 u.m.M.
h . 3 u.m.M. + 4 c.M. + 5 d.M. + 7 d.m. + ó u.m.
i. 2 d + l c + 3 u
j . 5 d + 8 c + 7 u.m. + 3 u
• 2 4 6 0 0 0 6 7 0 0 5 4 3
8 0 1 3 5 7 9 0 2 4 6 8 0
1 3 5 2 0 6 7 7 6 2 0 0 0
7 9 0 2 3 6 8 0 1 3 5 7 9
3 0 2 4 0 8 0 1 3 5 7 9 1
2 0 0 0 0 0 0 6 7 0 0 0 0
1 0 2 4 0 6 8 0 1 3 5 7 4
9 3 0 2 0 4 6 8 7 8 5 3 0
1 7 3 5 0 7 9 0 2 4 6 8 7
3 3 2 4 8 1 3 6 4 7 0 4 5
2 0 1 0 4 8 0 0 8 4 5 8 2
0 0 5 9 3 1 5 7 3 0 8 5 7
9 2 7 1 2 0 3 0 4 2 1 8 0

19. ' 6 . Teniendo en cuenta las equivalencias entre cada valor de posición, une con una línea
según corresponda.
3 c
8 u.m. 370 d.m.M.
70 d.M.i
1 u.b.
7 c.M.
80 c
410 u.M.
5 d.m.M. 10 c.m.M.
30 d
37 c.m.M. 50 u.m.M.
7. Encuentra la cifra correspondiente al valor posicional dado. En cada línea escribe la
letra que acompaña al número donde encontraste la cifra. Descubrirás otro nombre
empleado para los símbolos de nuestro sistema de numeración decimal.
&29120 B736593 0 * 3 7 5 3 3 2 G1008602400
1818130758 N15128
R4932191 S2390087970 l 9 9 3 1 9 3 9 l 0 l 2 3 9
A03893167 03987 R38101 S7127
1 d.m. 9 u 4u.m. 3 c.m. 9 c.m. 0 c O.u.M.
9 u.M. l u 8 c.m. óu.m. 7c 0 c.M. 8d 7u.M.
A continuación se muestra el nombre de la montaña más alta de cada continente.
Continente Montaña Longitud
América Aconcagua 6 959 m
Europa Elbrus 5 633 m
Asia Everest 8 848 m
África Kilimanjaro 5 895m
Oceanía Jaya 5 029 m
Antártida Monte Vinson 4 897 m

20. Teniendo en cuenta la anterior información, contesta las preguntas.
a . ¿Cuáles son las montañas que tienen ocho en la posición de las centenas?
b. ¿Cuántas centenas tiene más el Aconcagua que el Elbrus?
c. ¿Cuántas unidades de mil tiene menos la montaña más alta de la Antártida que la de
Oceanía?
d . ¿En cuál continente se encuentra la montaña de mayor longitud?
e. ¿Cuál es el nombre de la montaña de menor longitud que aparece en la tabla?
* 9. Compara y escribe la diferencia entre las unidades de mil de las longitudes de las
montañas.
Unidades de mil
a . Everest-Aconcagua.
b. Everest-Kilimanjaro-
c. Everest-Elbrus
d . Everest-Jaya
S 10. Compara y escribe la diferencia entre las decenas y centenas, de las longitudes de las
montañas.
a . Everest-Monte Vinson
b. Elbrus-Kilimanjaro —
c . Aconcagua-Elbrus -
d . Kilimanjaro-Jaya
decenas centenas
11. Completa la tabla.
Montaña Descomposición decimal Lectura
Aconcagua 6 x 103
+ 9 x 102
+ 5 x 10 + 9 x 10°
Seis mil novecientos cincuenta
y nueve
Elbrus
Everest
Kilimanjaro
Jaya
Monte Vinson
Descriptor de desempeño:
/ Realizar la descomposición de números en el sistema de numeración decimal y aplicarlos en la solución de problemas. 2 9

21. i»* Pensamiento numérico - variacional
• Orden de los naturales
La línea d e l t i e m p o m u e s t r a a l g u n o s d e los a d e l a n t o s tecnológicos o c u r r i d o s e n los siglos XIX y XX.
Alexonder Guglielmo
Se lanza el: Graham Beli y Marconí John Logíe Se lanza el Se pone en
Thomas transmite Baírd transmite primer satélite órbita la
Watson señales de la primero Sputnik 1 al Estación
exhiben un radio desde señal de espacio. Espacial
teléfono Cornualles a televisión. Internacional.
eléctrico en Terra nova.
Boston.
O LO I co
O CN LO CN
co O O CN o
•— 1 1 1 1
l 1 1 1 1
1800 2 0 0 0
Al o r g a n i z a r cronológicamente los diferentes a d e l a n t o s tecnológicos, d e l más a n t i g u o a l r e c i e n t e ,
se o b t i e n e el s i g u i e n t e o r d e n :
Teléfono, t r a n s m i s i ó n d e señales d e r a d i o , p r i m e r a t r a n s m i s i ó n d e señales d e televisión, p r i m e r
satélite, se p o n e e n órbita la Estación E s p a c i a l I n t e r n a c i o n a l .
Orden de los naturales
Si a y b r e p r e s e n t a n c u a l q u i e r p a r e j a d e n ú m e r o s n a t u r a l e s , a l c o m p a r a r l o s es v e r d a d e r a
u n a y s o l a m e n t e u n a d e las s i g u i e n t e s p r o p o s i c i o n e s .
a > b , a < b , a = b
a es mayor que b, a es menor que b, a es igual a b
E j e m p l o : Si a = 5 y b = 8 La proposición v e r d a d e r a es 5 < 8
5 > 8 , 5 < 8 , 5 = 8
i i i
F V F
O TALLER Orden de los naturales O o °
S 1 , En la s e m i r r e c t a numérica se p u e d e n u b i c a r los n ú m e r o s n a t u r a l e s . El número m a y o r es
a q u e l q u e se e n c u e n t r e a la d e r e c h a d e l o t r o y m e n o r el q u e se e n c u e n t r e a la izquier-
d a . Por e j e m p l o :
8
3 está a la i z q u i e r d a d e 6, l u e g o 3 < ó. 8 está a la d e r e c h a d e ó, l u e g o 8 > 6.
30

22. Teniendo en cuenta el valor numérico asignado a cada letra, ubícalas en la semirrecta y en-
contrarás el nombre de un matemático.
• • • • • /A • • • •
100 000 A 200 000 300 000 1 000 000 2 000 000 3 000 000
R = 380 000 T = 1 750 000 R = 350 000 1 = 1 200 000
A = 150 000 H = 100 000 O = 1 500 000
a. Consulta quién fue este matemático y qué aportes realizó.
b. Compara el valor numérico asignado a cada letra y completa las proposiciones con
el símbolo < , > , = correspondiente.
I T, A H, O I, O A, A A, T + A _ I, O + H A
Encuentra el menor valor con el cual la proposición es verdadera.
a. 315 + < 635
b. 1 635 012 + = 3 265 124
c. 89 + 12 + 36 = 1 4 0 - |
d . 8 256 987 - < 5 456 345
e. 7 + 2 > 4 +
f. 1 458 000 + 6 859 000 < 1 265 x
Escribe el mayor número posible que hace verdadera cada desigualdad.
a. 5 + _ < 9 d . 45 x 12 - < 36
b. 7 + 8 + < 18 e . 36 + 6 5 - > 100
c. 9 + 12 - 3 + < 30 f. 5 x 45 - < 1 70
4. Crucinúmero.
Menor número posible de nueve dí-
gitos.
Menor que 406 943 022 y mayor
que 406 943 020.
El número que es una unidad de diez
mil mayor que 220 429.
Mayor número posible formado con
los dígitos 9, 4, 3, 2, 3, 1.
Menor número posible formado por
tres dígitos ¡guales.

23. S 5. Utiliza los datos de la tabla para responder las preguntas.
Algunos inventos tecnológicos
de los siglos XIX y XX
A*0
Cásete compacto 1963
IPod 2001
Telégrafo 1833
Celular 1939
Computador ENIAC 1943
o . En orden c r o n o l ó g i c o , ¿cuáles inventos tecnológicos surgieron en el siglo XX?
b. ¿Cuál fue el primer invento t e c n o l ó g i c o del siglo XIX?
c. Si se traza la línea del tiempo, ¿cuál es el orden de los inventos, del m á s antiguo al
más reciente? ;
Y~ 6. El costo de una c á m a r a de video en febrero es de $ 1 245 000, en ¡ulio el costo ha dis-
minuido en $ 60 000, pero en diciembre ha aumentado $ 50 000 con respecto al costo
de ¡ulio. ¿En cuál mes la c á m a r a es m á s costosa?
S 7. El precio de un celular es $ 80 000 en agosto, en la semana de p r o m o c i ó n en diciembre
el valor es de $ 23 000 menos, pero en enero disminuye en $ 20 000 con respecto a
agosto. ¿En cuál mes el celulares más e c o n ó m i c o ?
8. Escribe los números telefónicos de cuatro c o m p a ñ e r o s .
¿Cuál es el menor y el mayor número?_
Y* 9, Ordena cada conjunto de números de mayor a menor.
a. 6 304 ó 034 634 4 603 4 630
b. 95 600 956 000 956 9 560 90 500
c. 28 533 25 633 26 000 25 000 25 533
d. 6 071 7 601 1 650 6 701 1 607
Descriptor de desempeño:
/ Establecer el orden entre los números naturales y aplicarlos en situaciones problema.

24. Pensamiento numérico - varíacional
Adición y sustracción de números naturales
¿Cuántos años han pasado
desde la invención del telégrafo
en 1833 hasta el 2007?
¿Cuántos años transcurrieron
desde el nacimiento de la Pas-
calina en 1642 hasta la creación
del computador ENIAC en
1943?
C l a v e m a t e m á t i c a
r5m 6*0* íf |W> 5rc«o Lll IIIIBI m
M i - i J ^ t)í » J i-
• i
a : I - 1 1 J
A B C
1 2007 174
2 1883
3
4
Andrés decidió utilizarla calcu-
ladora del computador, dígito
la operación 1 9 4 3 - 1 6 4 2 y
obtuvo como resultado 3 0 1 .
Para contestar la primera
pregunta, Luisa decidió utili-
zar la hoja de cálculo de Ex-
cel y obtuvo como respuesta
1 74 años.
HG3CD S amfZDHE]
B E S s a r u m a s H
E3EDGJ H ruQaaaE]
HGJJEDG]
Para sumar y restar números naturales es importante sumar o restar cifras que se encuen-
tren en la misma posición, es decir, unidades con unidades, decenas con decenas, etc.
143 784 + 63 782 =207 566
V V „ „ J
i
Sumandos
i
Total
34 504-1 356 = 33 148
v y '^-v-^
i i i
Minuendo Sustraendo Diferencia
La adición y la sustracción de números naturales son operaciones inversas. Es decir, para
encontrar un sumando en una adición utilizo la sustracción y para encontrar el minuendo
o sustraendo en una sustracción empleo la adición. Ejemplos:
3 590 + X = 46 789
X = 46 7 8 9 - 3 590
X = 43 199
Prueba: 43 199 + 3 590 = 46 789
Y - 1 905 = 43
Y = 432 + 1 905
Y = 2 337
Prueba: 2 337 - 1 905 432
) TALLER Adición ysustracción denúmeros naturales 0 €>0
La tabla muestra el año de creación de algunos inventos.
Invento
Reloj de bolsillo
Aparición de la bicicleta
Primera máquina de escribir con memoria
Primera máquina de vapor
Técnica de cinematografía en color
Aparición de los juegos artificiales
1458
1869
1964
1705
1951
1378
Primeros robots láser
Primer cronómetro de Marina
1986
1736
Primeros teléfonos públicos de tarjeta .1980
Descubrimiento de los vasos capilares 1661

25. 1. Con la información anterior, contesta las preguntas.
a . ¿Cuál es la diferencia entre el invento m á s reciente y el m á s antiguo?
b. ¿Cuántos años es m á s antiguo el reloj de bolsillo que el c r o n ó m e t r o de Mari-
na?
C. ¿ Q u é inventos tienen una a n t i g ü e d a d mayor a ocho centenas de años?
d. ¿ Q u é inventos se realizaron entre los años 1 700 y 1 710?
e. ¿ C u á n t o m á s reciente es la aparición de la bicicleta que el descubrimiento de los
vasos capilares?
2. La siguiente información corresponde a la superficie de cada una de las regiones colombianas.
Región Superficie (km2
)
Amazónica 403 348
Andina 305 000
Caribe 132 218
Orinoquia 310 000
Pacifica 83170
De acuerdo con la tabJa, escribe falso o verdadero según corresponda.
a . Colombia tiene una superficie de 1 233 736 km2
b. La región Andina es mayor que la región de la Orinoquia
c. La región A m a z ó n i c a excede en 98 348 km2
a la región Andina
d. La región del Caribe excede en 1 77 782 km2
a la región de la Orinoquia
e. La región Pacífica y la región Andina tienen una diferencia de superficie entre 220 000 km2
y 223 000 km2
f. El total de la superficie de la región Andina y la región Pacífica es igual al total de la
superficie de la región Pacífica y la región Andina
* Responde las preguntas 3,(4 y 5 de acuerdo con la siguiente información.
El gráfico corresponde al consumo de agua de la familia González durante los últimos cinco
periodos.
Consumo familia González
9 T
Febrero Abril Junio Agosto Septiembre
Abril Junio Agosto Septiembre Noviembre
MESES

26. El valor de la factura incluye cinco servicios: 1) el consumo de agua a $ 1 951 cada metro
cúbico, 2) servicio de alcantarillado por un valor de $ 1 1 96 por metro cúbico, 3) cargo
fijo de acueducto con un valor de $ 1 1 492, 4) cargo fijo de alcantarillado con un valor
de $ 5 855 y, finalmente, el valor del servicio de aseo por $ 1 9 600.
f 3, Calcula el valor que la familia González pagó en cada periodo facturado.
a . Febrero - Abril d. Agosto - Septiembre
b. Junio-Agosto e. Septiembre - Noviembre
c. Abril-Junio
^ 4. Si la factura no incluyera el servicio de aseo, calcula el total por pagar en los periodos
facturados.
a . Febrero - Abril d. Agosto - Septiembre
b. Junio-Agosto e. Septiembre - Noviembre
c. Abril - Junio
S 5, La cantidad de metros cúbicos en los cinco periodos facturados es 32, ¿cuál es la canti-
dad de consumo en el último periodo facturado? .
}•>)> 6. En 1 947 se postuló el concepto de una red de radio celular y en 1 983 se fabricaron los
primeros equipos. En los siguientes enunciados escribe falso o verdadero, según corres-
ponda. Justifica tu respuesta.
a . Transcurrieron 36 años desde la postulación de la red hasta la creación de los pri-
meros equipos.
b. Han pasado más de 61 años desde la postulación de la red hasta el año
2008.
C. Han transcurrido 25 años desde la creación del primer equipo hasta el año
2008.
d. Para contestar el literal a, debo sumar 1 947 y 1 983.
7. Completa el siguiente crucigrama. En 1 877 se inventó el primer tocadiscos y en 1 895 se
descubrieron las radiografías. c j
Años transcurridos desde el inven-
to de tocadiscos hasta el descubrí- b|
miento de las radioqrafías.
Años que han pasado desde el a
invento del tocadiscos hasta el
2008.
Años transcurridos desde el descu-
brimiento de las radiografías hasta .
el 2008.
Descriptor de desempeño:
/ Aplicar la adición y la sustracción de números naturales en el análisis y solución de situaciones problema.

27. »«•• Pensamiento numérico - variaciona!
Propiedades de la adición de números naturales
¿eré igual..."
... ¿Un carro con radio que un radio con carro?
... ¿Un televisor con antena que una antena con televisor?
Los casos anteriores no son conmutativos, porque no se
obtiene el mismo artefacto.
Propiedad Ejemplo
Elemento neutro o módulo
E! número que sumado con cualquier número natural 1 542 310 + 0 = 1 542 310
da como resultado el mismo número natural es el 0, por
tanto, el cero es el módulo de la adición.
Propiedad clausurativa
La suma de dos números naturales es otro número
natural.
165 e N y 1 583 e N
Luego 165 + 1 583 = 1 748 y 1 748 e N
Propiedad conmutativa
El orden de los sumandos no altera la suma.
1 345 + 3 478 = 4 823
3 478 + 1 345 = 4 823
Propiedad asociativa (1 356 + 1 256) + 2 568 = 2 612 + 2 568 = 5 180
Al agrupar los sumandos de diferente manera la suma ^ + M 256 + 2 568 ) = 1 356 + 3 824 = 5 180
no se altera.
O TALLER
Resuelve cada suma en la forma convencional y luego realiza una correspondencia con
la propiedad empleada para su solución.
a. 24 562 321 + 6 536 321=
6 536 321 + 24 562 321 =
5 436 235 + 0 =
c. 32 565 + (26 569 652 + 125ó)=_
32 565 +
( ) Propiedad asociativa
( ) Propiedad conmutativa
( ) Elemento neutro

28. Escribe las propiedades) utilizada(s) para resolver cada uno de los siguientes ejercicios,
o, 98 565 + 28 569 762 + 5 256
= 98 565 + 5 256 + 28 569 762 Propiedad conmutativa
= (98 565 + 5 256) + 28 569 762 Propiedad asociativa
= 103 821 + 28 569 762
= 2 8 673 583
b. 56 325 + 59 321 + 9 658 + 658 123
= (56 325 + 59 321) + (9 658 + 658 123)
= +
12 325 + 0 + 568 235
0) + 568 2
.+ 568 235 y
= (12 325 + 0) + 568 235 Propiedad
d. 163 587 + 385 126 + 123 987
= (163 587 + 123 987) + 385 126 Propiedad _
+ 385 126
Aplica las propiedades mencionadas para resolver cada ejercicio.
o, 35 325 697 + 2 358 + 12 698
= Propiedad conmutativa
= Propiedad asociativa
b. 56 328 369 + 23 956 123 + 0
+ Propiedad asociativa y
elemento neutro
c. 2 358 265 + 123 1 68 + 45 698 256 + 21 859 569
+ Propiedad asociativa
d. 5 456 865 + 1 35 685 + 0 + 6 987 364
= + Propiedad asociativa y
= elemento neutro

29. f 4. Resuelve las siguientes situaciones.
a. De la lista de útiles escolares, Sergio compra cinco cuadernos cua-
driculados, tres rayados y uno pentagramado. Su hermana M ó n i c a le
dice que compre primero los tres rayados, luego el pentagramado y,
por último, los cinco cuadriculados. ¿ C a m b i a la cantidad de cuader-
nos comprados por Sergio? . Justifica la respuesta.
b, María Camila tiene 21 muñecas de trapo. Para su c u m p l e a ñ o s quiere
otra, pero se agotaron. ¿Cuántas muñecas de trapo tiene María Ca-
mila después de su c u m p l e a ñ o s ? ¿Cuál fue la propiedad de la
adición utilizada?
Felipe tiene un tarro con canicas y para contarlas organiza tres
grupos. El primero con 56, el segundo con 63 y el tercero con
45. Para saber la cantidad de canicas suma primero 56 y 63.
Al resultado le agrega 45, ¿obtiene el mismo resultado si pri-
mero suma 63 con 45 y al resultado le adiciona 56? Justifica
la respuesta.
•JÍJ
Tatiana tiene doce insignias scout, en el cam-
pamento Kevin le regala seis, Alejandro le ob-
sequia nueve y Gloria ninguna. ¿Cuántas insig-
nias recopila entre Alejandro y Gloria?
¿Cuál fue la propiedad de la adición utiliza-
da?
5. Un vendedor de celulares compra el lunes tres decenas de carcasas amarillas, 15 decenas
de color rosado y 27 carcasas azules.
a . Si el s á b a d o compra 150 carcasas de color rosado, 30 amarillas
y 27 azules, ¿cambia la cantidad de carcasas compradas entre el
lunes y el s á b a d o ? . Justifica la respuesta.
b. ¿Cuál fue la cantidad de carcasas compradas?
c. Al colocar las carcasas en la vitrina mezcla los colores y organiza tres grupos: uno
de 50, otro de 80 y el último de 77. Para verificar que están todas las carcasas,
primero suma las del grupo dos y tres y, por último, las del primer grupo. El hijo
del vendedor rectifica el conteo y primero suma los grupos uno, dos y finalmente
el grupo tres. ¿El vendedor y su hijo obtienen el mismo n ú m e r o de carcasas? .
Justifica tu respuesta.
Descriptor de desempeño:
/ Identificar y aplicar las propiedades de la adición de números naturales en la solución de situaciones problema.

30. Multiplicación y división de números naturales
Con el paso de los años los artefactos tecnológicos bajan de precio
debido a su mayor demanda. A finales de los noventa el costo de un
r minuto a celular era de ? I 500, hoy el valor es cercano a la quinta
parte, es decir, 1 500 -s- 5 = 300, de igual manera, un televisor
plasma de 42 pulgadas en el 2 0 0 0 costaba unos $ 8 500 0 0 0 ,
hoy su valor es de aproximadamente la mitad.
Clave matemática0
AHHHHBHHHHHHHHHHHBHHHHHHHHBHHHB
El valor de un minuto a celular en una cabina telefónica es de $ 300, ¿cuánto valen
1 4 minutos?
3 0 0 + 3 0 0 + 3 0 0 + 3 0 0 + 3 0 0 + 3 0 0 + 3 0 0 + 3 0 0 + 3 0 0 + 3 0 0 + 3 0 0 + 3 0 0 + 3 0 0 + 3 0 0 = 14 x 3 0 0 = 4 2 0 0
1 4 sumandos
La adición de sumandos ¡guales puede representarse por medio de una multiplicación
o producto de dos números naturales. El primer número representará la cantidad de
veces o sumandos de la operación, el segundo indica el sumando repetido.
• Multiplicación
De manera general la multiplicación se define así:
Si c,b € N, entonces c x b = b + b + b + b+ ... + b _ ^ c y ¿, s e denominan factores
c veces
y a producto. En la multiplicación se puede emplear el símbolo • o x
• División
La división es la operación inversa de la multiplicación, porque se conoce un factor y
el producto, se debe encontrar el otro factor. La multiplicación 14- = 252; puede
reescribirse en forma de una división, así: 252 14 = 18, en este caso 252 es el di-
videndo, 1 4 el divisor y 1 8 el cociente.
TAUL6SR Multiplicación y división de números naturales O
1
1. Escribe falso o verdadero según corresponda. Justifica la respuesta.
a. 5 4 - 1 2 8 = 6 912
b. La mitad de 1 568 986 es 786 493
c. 407 904 ^ 28 = 1 4 568
d. El triple de 156 894 es 478 682

31. Completa la tabla.
b a-b
264 132 34 848
216 27
768 3
1 170 24
26 568 324
a*b
2
Exacta Inexacta
Exacta Inexacta
Exacta Inexacta
Exacta Inexacta
Exacta Inexacta
Mitad de a El doble de b Tercera parte de b
132 264 44
Encuentra el número desconocido.
ó - = 72
b. 12 • = 6 0
c. -100 =1 200
d . 1 2 0 - = 1 2
e . 68 i = 34
i 3 6 0 - = 1 2 0
Completa los dígitos en las operaciones.
a .
3 2
x 3
c.
8 7
x 2
ti.
• 0 1
1 3 •
1 8
2
7 6
7 3
7 1 0
1 4 8 8
3 4 6 0 7 3 1 8
0 2
1 3
Plantea multiplicaciones o divisiones según el caso y completa las proposiciones.
a , La tercera parte de 156 es
b. La mitad de 250 es
C. El doble de 52 aumentado en 4 es
d . La mitad del doble de 50
e, El triple de la mitad de 8

32. f 6, La distribuidora de carcasas para celular recibió $ 1 766 730 por concepto de las
ventas de abril.
a . Si se vendieron 987 unidades, ¿cuál es el precio unitario?
b. En el mes de julio el valor de cada carcasa aumentó $ 50. La venta en este mes fue
de 235 unidades, ¿cuánto dinero se recaudó en ¡ulio?
El cuadro representa la venta promedio de algunos artículos electrónicos en un día de
lunes a viernes. Responde.
r 7.
a.
b.
c.
d.
é.
f.
g.
Cantidad Cada A representa 8 unidades Costo de una unidad
Xbox
Cámaras de vídeo
A A A
A A
$ 800 000
« 1 258 000JA 1 luí U J J w V l * J ^ / U
Celulares A A A A $ 250 000
La mitad del costo de cada artículo equivale a la inversión y la otra mitad es la ga-
nancia. ¿Cuál es la ganancia diaria por las cámaras de video?
¿Cuánto dinero se recibe por ventas de Xbox en un día?
Los fines de semana se vende en promedio el triple de un día entre semana, ¿cuán-
tos celulares se venden un sábado?
Si la mitad del costo de cada celular equivale a la inversión y la otra mitad es la
ganancia. ¿Cuál es la ganancia por las ventas de celulares el fin de semana?
En un día de promoción la ganancia es la cuarta parte del costo del artículo. ¿Cuál
es la ganancia por la venta de tres Xbox en un día de promoción?
¿Cuántos artículos se venden un día de lunes a viernes?
¿Cuánto dinero se recauda en un día de ventas?
Y 8. Observa las listas de precios en tres restaurantes y responde las preguntas.
f i e s t a uran te
, 5 a n t a n d e r e a n o
Chivo $ 12 000
Tamales $ 5 600
santandereanos
Hormigas
culonas $ 2 500
Chivo y tamal para
niños a mitad de precio
O
ra
x¡o
raO
<D
C
ra>_
3
ra
M
CU
0 ¿
Ajiaco $ 9 500
Chocolate $ 3 500
santafereño
Hormigas
culonas $ 2 500
Ajiaco para niños
$ 5 300
Restaurante
A n t i o q u e ñ o
Bandeja paisa $ 10 200
Mazamorra . .. $ 7 800
Arepa
de Chócolo
Arepa
de Chócolo ...$ 2 800
Bandeja Paisa para
niños a mitad de precio
/
a . Mauricio fue ayer con sus dos hijos a uno de los restaurantes y pagó $ 24 000, ¿a
cuál restaurante fue?
b. Sandra pidió cuatro bandejas paisas y dos arepas de chócolo, ¿cuánto pagó?
c. Felipe fue al Restaurante Antioqueño con 23 compañeros del colegio y cada uno
ordenó una arepa, si la cuenta se paga entre 1 ó de ellos, ¿cuánto paga cada uno? T
Descriptor de desempeño:
/ Analizar y solucionar problemas utilizando la multiplicación y división de números naturales.

33. »»*• Pensamiento numérico - variacional
Propiedades de la multiplicación
Para todo número natural la multiplicación cumple con las siguientes propieda-
des. V a , b, c e N , s e tiene:
• Propiedad conmutativa:
a x b = b x a
El orden de los factores no altera el
producto, ejemplo:
15 x 30 = 30 x
450 = 450
• Existencia de elemento neutro:
a x 1 = 1 x a = a
Al multiplicar un número natural por
1, el producto es el mismo número.
El número 1 recibe el nombre de ele-
mento neutro o módulo de la multi-
plicación, ejemplo:
5 320 • 1 = 1 • 5 320 = 5 320
• Propiedad asociativa:
a x (b x c) = (a x b) x c
Al agrupar de diferentes formas tres o
más factores, el producto no cambia,
ejemplo:
12 x (3 x 10) = (12 x 3) x 10
12 x 30 = 36 x 10
360 = 360
• Propiedad anulativa:
o x 0 = 0 x o = 0
Al multiplicar un número natu-
ral por cero, el producto es cero,
ejemplo:
3 7 8 5 - 0 = - 3 7 8 5 = 0
• Propiedad distributiva de la
multiplicación o división con res-
pecto a la suma o resta
a x ( b + c) = a x b + a x c
Al multiplicar un número por una
suma, da el mismo resultado que
multiplicar cada sumando por el
número y luego sumar cada pro-
ducto, ejemplo:
6 • ( 4 + 3 ) = ( 6 • 4 ) + ( 6 • 3 )
= 24 + 18
= 42
(18 + 6 ) - 3 = ( 1 8 - 3 ) + ( 6 - 3 )
= 6 + 2
= 8
O TALL6R Propiedades de la multiplicación O o °
%>> 1. Completa el espacio.
a. El elemento neutro o módulo de la multiplicación es el .
b. En la propiedad al cambiar el orden de los factores el
producto no cambia.

34. C. Al multiplicar un número natural por el el producto es cero.
d. Al agrupar de diferentes formas tres o más factores, el producto no cambia, hace
referencia a la propiedad .
e. Al multiplicar un número natural por el el producto es el mismo
número.
7 2. Escribe falso o verdadero según corresponda. Justifica tu respuesta con ayuda de las
propiedades estudiadas.
a. 3 452 x 0 = 3 452 e. i x 0 = 0
b. 56 253 x 1 = 56 253 i 9 038 x 1 = 9 038
c. (25 x 15) x 10 = 25 x (15 xlO) 9- 0 x 65 378 = 0
d . 563 x 48 = 48 x 563 h. 0 x 1 = 0
fh») 3. Determina la propiedad que se aplicó y escríbela en el espacio.
a- 264 x 35 x 10 x 20 x 1
= 264 x 10 x 35 x 20 x 1
= (264 x 10) x (35 x 20) x 1
= 2 640 x 700 x 1
= (2 640 x 700) x 1
= 1 848 000 x 1
-1 848 000
b. 1 245 x 6 473 x 0 x 1 564 x 1 546
= 1 245 x 6 473 x 1 564 x 1 546 x 0
= (1 245 x 6 473 x 1 564 x 1 546) x 0
= 0
c. 1 x 0
= 0 x 1
= 0
f„» 4. En las siguientes multiplicaciones se ha cometido un error. ¿Cuál es? Corrígelo.
a. 4 352 x 962 x 10 x 0
= 4 352 x 0 x 962 x 10
= (4 352 x 0) x (962 x 10)
= 0 x 962
= 0

35. b. 34 x 421 x 11 x 10
34 x 11 x 421 x 10
(34 x 11) x (421 x 10)
374 x 4 210
157 454
Federico el lunes compró cinco cuadernos a $ 2 000 cada uno, y el martes, tres lápices
a $ 300 cada uno. Su hermana tenía que realizar una compra igual: ella compró pri-
mero la misma cantidad de lápices al mismo precio y luego los cuadernos en la misma
cantidad e igual precio.
o . ¿Cuál fue el valor de los artículos comprados por Federico?
b. ¿Cuál fuel el valor de los artículos comprados- por la hermana de Federi-
co?
c. ¿Federico y su hermana gastaron igual cantidad de dinero? Justifica tu repuesta.
Marcela para su café internet ordena cinco pedidos de tarjetas prepago de $ 1 0 000
cada una, un pedido es de 20 tarjetas.
a . Completa la multiplicación para calcular el valor de los pedidos.
5 • ( • )
b. Escribe otra forma de calcular el valor del pedido usando la propiedad modulati-
va.
c. Escribe otra forma de calcular el valor del pedido utilizando la propiedad asociativa.
Encuentra los números desconocidos aplicando la propiedad distributiva y resuelve las
divisiones o multiplicaciones.
a . 1 000 +
(1 000 H- 2) +
+ 80 + 2) - 2 =
| -s- 2) + ( 8 0 H - 2 ) + (2 + 2)
200 + 1 I + 1 =
( + 2 4 + 9
* 3) + (
10 +
) * 3 =
3) + (9 + 3 ) + (3 + 3) =
+ 3 + 1
c. 5 - f
( 5 - ;
+ 8 +
i + (5-;
+ 3)
+ .(5- + (5-3)
10 + + 15 + = 80

36. d . (8 + | | +1 | + 4) • 12 =
= (8 • 12) +(| | • 12) + ( 5
= I + 120 + 6 0
+
+
12) =
= 324
8. Cada n ú m e r o del sistema decimal tiene una descomposición según su valor posicional;
por ejemplo, 4 596 = 4 000 + 500 + 90 + 6. Utiliza la propiedad distributiva para
calcular la mitad y el doble de cada n ú m e r o , en lo posible realiza el proceso empleando
cálculo mental.
Mitad
4 596 +• 2 = ( 4 000 + 500 + 90 + 6 ) - 2
= ( 4 000 - 2 ) + ( 500 - 2 ) + ( 90 * 2 ) + ( 6 - 2 )
= 2 000 + 250 + 45 + 3 = 2 298
Doble
4 596 x 2 = ( 4 000 + 500 + 90 + ó ) x 2
( 4 000 x 2 ) + ( 500 x 2 ) + ( 90 x 2 ) + ( 6 x 2 )
8000 + 1 000 + 180 + 12 = 9 192
a. 840 c. 930 e. 456 g. 1 560
b. 650 d . 658 i 328 h. 2 458
Y 9. Hoy asistimos al museo Siglo XIX y XX. Cada niño p a g ó $ 8 000 y cada adulto el doble
de lo que p a g ó cada niño.
En la taquilla había la siguiente tabla de precios, complétala.
Aplica la propiedad distributiva y responde:
Cantidad de boletos para adulto 1 2 3 10 20 50
Precio
Cantidad de boletos para niño 1 2 3 10 20 50
Precio
o. ¿ C u á n t o dinero se paga por los boletos de trece adultos y veintidós niños?
b. Si se paga con $ 150 000, ¿es posible comprar las entradas de doce niños?
Justifica tu respuesta.
c. Teniendo en cuenta la situación, inventa una pregunta cuya solución sea posible em-
pleando la propiedad distributiva.
Descriptor de desempeño:
/ Identificar y aplicar las propiedades de la multiplicación en la solución de situaciones problema.

37. i»* Pensamiento numérico - variacional
Situaciones problema
Uno de los carros más veloces del mun-
do es el BUGATTI V E Y R O N 16.4, que
desarrolla una velocidad de 4 0 7 km/h.
¿Cuántos kilómetros recorre en cuatro
horas?
Datos: (información útil para resolver el
problema)
4 0 7 kilómetros en una hora.
Pregunta: (¿Sabes a qué quieres llegar?
¿Hay suficientes datos? ¿Hay informa-
ción extraña?)
¿Cuántos kilómetros recorre en cuatro
horas?
Estrategia y ejecución: (una estrategia se entiende c o m o los pasos para llegar a una meta;
en la solución de situaciones pueden ser un diagrama, resolver una o varias operaciones,
usar coordenadas, etc.)
En este caso la estrategia es multiplicar 4 0 7 por 4.
4 0 7 • 4 = 1 6 2 8
Respuesta: recorre 1 6 2 8 km en cuatro horas.
Examine la solución obtenida
¿Puedes comprobar la respuesta, es acorde con la pregunta planteada?, ¿puedes obtener
el resultado por un camino diferente?, ¿puedes usar el resultado o el procedimiento para
resolver otro problema?
Para solucionar una situación p r o b l e m a se debe tener en cuenta los datos y la pregunta,
con esta información se decide la estrategia para resolver la pregunta planteada, no siem-
pre es una operación, en algunos casos puede servir una representación gráfica, dibujo,
un esquema u otra herramienta.
TAULGR Situaciones profcl
Y 1, Escribe una pregunta para cada enunciado y luego plantea, en tu cuaderno, el procedi-
miento requerido para resolver las situaciones.
a . Alba compró 17 paquetes de dulces para la salida de c a m p o de gra-
do sexto. Cada paquete tenía 12 unidades. Al final del día quedaron 8 dul-
ces.
b. Clarita tiene una fábrica de cuentos en la que se producen al año 1 70 cuentos clá-
sicos, 6 4 0 de Bob Esponja y 2 5 0 de los padrinos mágicos. El costo de cada libro es
$ 5 0 0 0 .
46

38. c. Lupita tiene ahorrados $ 430 000. Ella quiere comprar dos muñecas, cada una vale
$ 185 500.
y 2. Plantea y resuelve una operación acorde con la información dada. El número descono-
cido represéntalo por una incógnita.
La suma de dos números es 45 386; si uno de los sumandos es 1 2 456, calcula el otro
sumando.
La suma de tres números naturales diferentes es 8. ¿Cuál puede ser su producto?
¿Cuál es el menor número de tres cifras, cuya suma digital es 27?
¿Cuál es el número cuyo triple es 60?
El producto de dos numerases 1 28. Si uno de los factores es 32, encuentra el otro factor.
Mario tiene el triple de la edad de su hijo. Si la edad de Mario es 45 años, la edad
del hijo es:
La diferencia de la edad de Carolina y Ana María son dos años. Si Carolina es la
mayor y tiene 1 6, la edad de Ana María es:
La tabla muestra el área y la población aproximada de los continentes. Responde las
preguntas 3 a 6 con base en ella.
Continente Área (km2
) Población
África 30 370 000 890 000 000
América 42 330 000 890 000 000
Asia
CTi irrtrto
43 810 000
1 n 1finnnn
3 800 000 000
71 n nnn nnn
turupd
Oceanía
I U ! OU UUU
9 010 000
I ÍU UUU UUU
33 552 994
y 3. ¿Cuál es el área total y la población total de los cinco continentes?
a . Área total
b . Población total

39. y 4. Encuentra la cantidad de población que le falta a cada continente para obtener la po-
blación total.
a . África d . Europa
b. Asia e. Oceanía
c. América
y 5. Teniendo en cuenta la información registrada en la tabla anterior, responde las preguntas.
a . ¿Cuál es la cantidad de kilómetros cuadrados que le debo sumar al área de Oceanía
para igualar el área de Asia?
b. ¿Cuántos kilómetros cuadrados debo restar al área de África para igualar el área de
Europa
c. ¿Qué cantidad debo restar de la población de América para igualar la población
de Europa?
d . ¿Qué cantidad debo restar de la población de Asia para igualar la población de
Europa y Oceanía juntas?
e. ¿Qué población debo sumar a la población de Asia para igualar la población de
África y América ¡untas?
f. ¿Cuántos kilómetros cuadrados debo restar del continente con mayor área para
igualar al continente con menor área?
6. Escribe la letra correspondiente.
En 1 945, el norteamericano Percy Le Barón Spencer
patentó el microondas y en 1967 salieron los prime-
ros de uso doméstico. En 1901 apareció la primera
lavadora creada por Alva Fisher.
a. Años transcurridos desde la patente del microondas hasta la aparición del primer
uso doméstico.
b. Años transcurridos desde la patente hasta el 2009.
c. Años transcurridos desde la aparición del primer uso doméstico hasta el 2009.
d . Años transcurridos desde la aparición de la lavadora hasta el 2009.
( ) 42 años ( ) 108 años ( ) 64 años ( ) 22 años
Descriptor de desempeño:
/ Analizar y solucionar situaciones problema aplicando las operaciones básicas entre números naturales.

40. • Conceptos básicos de geometría
El museo Vitro Design, en Suiza, es una de las maravillas
de la arquitectura m á s importantes del siglo XX y XXI. El
museo se construyó con modernas técnicas de ingeniería,
lo que permite al espectador apreciar muchos elementos
fundamentales de geometría y diseño.
Clave matemática
En geometría encontramos algunos conceptos básicos que no tienen definición, por
esta razón reciben el nombre de ¡deas primitivas; sin embargo, podemos tener una
noción de ellos a partir de las formas de nuestro entorno.
Concepto Idea Dibujo Notación
El punto no tiene longitud, Un punto se denota con una
ni ancho, ni grosor. La idea igy letra mayúscula.
Punto de un punto es la marca
que deja un lápiz en un V
.Bpapel. .B
Una recta se denota con
una letra minúscula o una
línea con flechas en sus
extremos sobre el nombre
de dos puntos por los
cuales pasa.
Recta
La recta no tiene ancho, ni
grosor, ni extremos. La idea
de recta es la línea que
pasa por dos puntos.
A
< > m B
> >
Recta m
Se lee recta m
IB
Se lee recta que pasa por
los puntos A y 8
Los puntos que se encuen-
tran en la misma recta se
llaman puntos colineales.
Plano
El plano no tiene ancho, ni
grosor. La idea de un plano
es una hoja de papel lisa.
Tres puntos que no están
en la misma recta determi-
nan un plano.
.A
C
Se denota nombrando los
puntos que están conteni-
dos en él.

41. Clave matemática
En cuanto a las rectas encontramos las siguientes definiciones.
Nombre Definición Dibujo y notación
Segmento de Es un trozo de recta que
recta tiene principio y fin.
Un segmento se denota con una línea sin flechas en
sus extremos sobre el nombre de dos puntos
de sus bordes.
B
Se lee segmento AB
Semirrecta o rayo E s u n t r o z o d e r e c t a
^ u e
tiene principio, pero no
tiene fin.
Una semirrecta se denota con una línea con una flecha
sobre el punto por el cual comienza la recta y un punto
por donde pasa.
C D
CD
Se lee semirrecta que empieza en C y pasa por D
Rectas interse-
cantes
Rectas perpendi-
culares
Son dos rectas que tie-
nen un punto en común,
es decir, se unen en un
punto.
Son dos rectas interse-
cantes que forman un
ángulo recto (90°).
Se lee rectas p y q intersecantes
Y
a-Lb
Son aquellas rectas que
no tienen puntos en co-
Rectas paralelas , . , . .
^ mun. Las rectas paralelas
nunca se cruzan.
m
m II n
Se lee recta m paralela a recta n

42. O TALLER Conceptos básicos de geometría O o °
1» Traza rectas que pasan por los puntos que se nombran con letras mayúsculas.
a . . p b. • A
c. . Ñ
. Q . 8 . N
. M
f..)) 2. En las imágenes, nombra y retiñe con verde los segmentos que forman el contorno y con
rojo los puntos de intersección de los segmentos.
fw>* 3. En los enunciados escribe falso o verdadero, según corresponda.
ci, La pantalla de un computador es un ejemplo de plano.
b. Un mouse no es un ejemplo de una figura plana.
c. Una canica es un ejemplo de una figura plana.
d. La unión de dos puntos determina un plano.
e. La unión de tres puntos determina un plano.
f. Tres rectas que se cortan entre sí determinan un plano.
1 4. Dibuja en tu cuaderno utilizando los instrumentos adecuados.
a. Traza y denota la recta que pasa por dos puntos: C y D.
b. Traza y denota el segmento que comienza en un punto O y finaliza en un punto P.
c. Traza y denota la semirrecta que comienza en un punto C y pasa por un punto 8.
d. Traza dos semirrectas que comiencen en un punto M.
e. Traza tres rectas que pasen por un punto Z.
f. Construye una figura con tres segmentos.
g. Construye una figura con cinco segmentos.

43. ;
,i)í 5 . Escribe falso o verdadero, según corresponda.
a . Una antena de televisión es un ejemplo de rectas intersecantes.
b. Una cruceta es un ejemplo de rectas intersecantes.
c. Los lados opuestos de un iPod no son intersecantes.
d . En un asterisco se encuentran rectas intersecantes.
i- El número cinco en el Sistema de Numeración Romana es un ejemplo de rectas
intersecantes.
f. En el número diez en el Sistema de Numeración Romana no se observan rectas
paralelas.
y 6. Observa la figura y luego soluciona los ejercicios. Ten en cuenta que puntos colineales
son los que se encuentran en una misma recta.
a . Menciona tres rectas.
b. Menciona cuatro grupos de puntos
colineales
c. Menciona dos grupos de puntos no
colineales
d . Menciona tres segmentos.
e . Menciona tres semirrectas.
f. Menciona los pares de rectas parale-
las que se encuentran en la figura
g . Menciona dos parejas de rectas intersecantes.
? 7. Da dos ejemplos de cada definición.
a . Rectas paralelas
b. Rectas intersecantes .
c. Puntos colineales
d . Puntos no colineales
e . Semirrecta
f. Segmento
I H

44. }.,» 8 . Determina si las rectas de cada imagen son paralelas, horizontales, verticales o diago-
nales.
9 . Dibuja con regla tres rectas paralelas a la recta dada de tal forma que pasen por tres
países y una recta perpendicular.
Descriptor de desempeño:
/ Identificar y establecer conceptos básicos de geometría relacionándolos con mi entorno. 5 3

45. ««• Pensamiento métrico - geométrico
Ángulos wmmmmmmmmmKmmmmmmmmmmmamm
Uno de los inventos más importantes del siglo
XX fueron los robots, algunas de estas máqui-
nas simulan la estructura humana. El robot de la
imagen fue fabricado por Toyota, para que este
alcance la corneta con el brazo derecho, debe
girarlo un cuarto de vuejta. Si el brazo se encuen-
tra en posición vertical y gira un cuarto de vuelta
contrario a la forma como giran las manecillas
del reloj, el brazo robótico habrá realizado una
rotación de 90 grados. El codo es el vértice y los
lados son los brazos. Empleando los ángulos se
programa internamente el robot para que realice
giros en sus extremidades.
Clave matemática
Para nombrar un ángulo se marca y nombra sobre cada lado un punto.
El ángulo se puede nombrar como <ABC o <CBA, se lee ángulo ABC o ángulo
CBA, respectivamente, es decir, que la letra que nombra el vértice quede en el cen-
tro. Algunas veces se puede nombrar mediante la letra que corresponde al vértice
o a un número.
.La medida de la amplitud de un ángulo se realiza
empleando como unidad el grado sexagesimal, que
equivale a la trescientos sesentava parte de un giro.
La medida del <A8C se escribe m<ABC = 45°.
O TALLGR Ángulos O o
JQfP^ El reloj de cristal de cuarzo se desarrolló en 1929.
w
¿, Estefanía y su primo Fernando tienen una cita en el centro comercial a las
ip 3:00 p.m. A las 4:1 0 p.m. quieren ir a la heladería y a las 5:55 p.m. a cine,
pero, a las 8:10 p.m. deben estaren casa. Ellos llevan un reloj de cuarzo.
a, ¿Qué horas aparecen en la situación anterior?, represéntalas en un
reloj de cuarzo.
b. ¿Cuál es la medida de los ángulos formados por el horario y el minutero a las horas
mencionadas en la situación? El lado inicial del ángulo será el horario y recuerda
que la medida de un ángulo se realiza al contrario de las manecillas del reloj.

46. 2, Observa la clasificación de ángulos. Mide los ángulos y luego clasifícalos según su
medida.
Los ángulos se clasifican e n :
Ángulo a g u d o
menor de 9 0 °
Ángulo recto
de 9 0 °
Ángulo obtuso
mayor de 9 0 °
Ángulo llano
de 1 8 0 °
Ángulo completo
de 3 6 0 °
a. c.
3. Construye los ángulos en el cuaderno y clasifícalos según su medida.
m<MFR = 35 , m<AGP = 128*, m<JNR = 47 , m<MPR = 53 , m<GJR = 27*
4. Completa las expresiones usando las palabras recto, a g u d o u obtuso,
a. Un ángulo de 5 3 ° es:
b. El ángulo que corresponde a la mitad de un ángulo llano es:_
c. Un ángulo de 1 2 8 ° es:

47. y "i. Dos ángulos son complementarios si la suma de las medidas es 90° y dos ángulos son
suplementarios si la suma de sus medidas esl 80°. Completa la tabla:
Ángulo 57° 123° 12° 39°
Complemento 48° 27° 25°
Suplemento 63° ' 153°
•f El día 1 7 de diciembre de 1903 se realizó el primer vuelo propulsado por motor. Ar-
tefacto elaborado y probado por los hermanos Wright La estética de los aviones ha
cambiado con el paso del tiempo, para ganar velocidad y seguridad en el vuelo.
Nombra por lo menos diez de los ángulos que se encuentran en la figura.
¿Cuál es la amplitud de los ángulos ¿AM., ¿GFJ, ¿CDF, ¿JKLy ¿KJL .
¿Cuáles ángulos de la figura son obtusos?
d . ¿Cuáles ángulos de la imagen son rectos?
6 . En la figura hay cuatro parejas de ángulos suplementarios, ¿cuáles son?
Los ángulos que tienen un lado en común se denominan adyacentes. Ejemplo:
<A8C es adyacente a <C8D, encuentra otras cuatro parejas de ángulos adyacentes.
7, Mide con el transportador los ángulos. Escribe en cada | °| la respuesta.
G

48. Pensamiento métrico - geométrico
Unidades de tiempo y longitud
El 21 de julio de 1969, Neil Armstrong realizó el primer pa-
seo a la Luna, la duración fue de 9 100 segundos. Como
vehículo de lanzamiento se utilizó el Saturno V que tenía 1 1
dam de altura. Teniendo en cuenta que una hora tiene 60
minutos y un minuto 60 segundos y que 1 dam = 10 m,
determina las horas y minutos que demoró el astronauta en
la Luna y halla la altura del Saturno V en metros. Realiza las
operaciones indicadas.
Las operaciones son: (9 1 00 + 60) + 60 y 1 1 x 1 0
Tiempo caminata lunar : Altura Saturno V
J71.
El tiempo y la longitud son magnitudes, es decir, son cualidades que se pueden me-
dir. Las principales unidades que se utilizan para medir el tiempo son años, días, ho-
ras, minutos y segundos; y para medir longitudes se emplean kilómetros', hectómetros,
decámetros, metros, decímetros, centímetros y milímetros.
Existen algunas relaciones entre las unidades de tiempo y longitud.
TIEMPO
1 minuto = 60 segundos 1 bimestre = 2 meses
1 hora = 60 minutos
1 día = 24 horas
1 mes = 30 días
L O N G I T U D
1 trimestre = 3 meses
1 semestre = 6 meses
1 año = 12 meses
1 lustro = 5 años
1 década = 10 años
1 siglo = 1 00 años
1 milenio = 1 000 años
Kilómetro
km
Hectómetro
hm
Decámetro
dam
Metro
m
Decímetro
dm
Centímetro
cm
Milímetro
mm
1 000 m 100 m 10m
1
— = 0,1 m
10
l
= 0,01 m
100
—-1
— = 0,001 m
1000
O TALLGR Unidades de tiempo y longitud O o °
1. Escribe falso o verdadero según corresponda. Justifica tu respuesta.
o. El periodo de gestación de un bebé es de dos trimestres.
b. El movimiento de rotación de la Tierra tiene una duración de 24 horas, es decir,
86 400 segundos.
57

49. c. Los periodos académicos en una universidad están dados por semestres. Una carrera
profesional tiene una duración de 10 semestres, es decir, 30 trimestres.
d. En Colombia la mayoría de edad se adquiere a los 240 meses.
e. Un partido de fútbol se juega en 5 400 segundos.
2, Soluciona el siguiente crucinúmero.
a. Cantidad de lustros en un siglo.
b. Cantidad de horas en un bimestre.
C. Cantidad de décadas en un milenio.
d. Cantidad de milenios en 1 2 000 años.
e. Cantidad de siglos en tres milenios.
f. Cantidad de minutos en tres días.
g . Cantidad de meses en una década.
h. Cantidad de días en cuatro meses.
i. Cantidad de horas en 86 400 segundos,
j. Cantidad de semestres en veinticinco años,
k. Cantidad de horas en un mes.
I. Cantidad de horas en 1 4 400 segundos.
!»» 3, En los siguientes acontecimientos históricos de Bogotá, calcula los años transcurridos
hasta el 2009 y exprésalos en décadas y meses.
a. En 1959 se inauguró el Aeropuerto Internacional El Dorado.
b. El edificio de Avianca se inauguró en 1 969 y se incendió el 23 de ¡ulio de 1 973.
c. En 1979 se inauguró el edificio más alto de Colombia, la Torre Colpatria con 198
m.
d. En 1 984 se inició la era de los cajeros electrónicos.
e. En 1 995 se inauguró el Parque Simón Bolívar y el primer festival de Rock al Parque.
I. En 1 998 se inauguró el centro interactivo Maloka.
g . En el 2000 se inauguró el sistema de transporte masivo TransMilenio.
4. Ordena, de mayor a menor, los siguientes años que se encuentran separados por un
guión.
a , Cuatro siglos, dos décadas, tres lustros y dos años - un milenio, dos siglos, una dé-
cada y dos años.
b. Dos milenios, ocho décadas y once años - veinte siglos, trece lustros y cuatro
años.
hl "a
_b
WSBSmm
91
_c
f
WBBBtm s&mmmm HMH *~~

50. c. Cuarenta décadas, veinticuatro
lustros y nueve años - quince si-
glos, dos décadas, tres lustros y
seis años
d. Dos milenios, tres siglos, siete
lustros y un año - veinte siglos,
ocho décadas y doce años
|,)¡) 5. Completa los enunciados con la uni-
dad de medida apropiada (kilóme-
tro, decímetro, metro, centímetro o
milímetro) para medir cada longitud.
a . La altura de una montaña:
b. El ancho de un cuaderno:
c. El largo de una cancha de fútbol:
d. La altura de una persona:
e. La altura de una hormiga:
? 6. Responde.
a . ¿Cuántos centímetros hay en
tres decímetros?
b. ¿Cuántos metros hay en cinco
kilómetros?
c ¿Cuántos decímetros hay en un
metro?
d. ¿Cuántos kilómetros hay en un
metro?
e. ¿Cuántos milímetros hay en 3
kilómetros?
*f 7 . Realiza una correspondencia entre
unidades de medida equivalentes.
a . 12,3 dam
b. 1,23 km
c. 12,3 cm
d. 123 hm
e. 1 2 3 0 hm
) 1 2 3 0 m
) 123 m
) 123 000 m
) 12 3 0 0 m
) 0,123 m
8. Completa la equivalencia con la uni-
dad de medida en cada caso.
a . 3 5 0 km = 35 0 0 0
b. 324 hm = 324 0 0 0
c. 13,56 m = 0,1356
d . 154, 9 dam = 1 549 0 0 0
9. Escribe < , > o = , según corresponda.
a . 25 m
b. 38 dam
c. 32,1 km
d . 124 cm
3 dm
380 cm
32 145,7 hm
12,4 dm
1 0 . De acuerdo con la tabla, contesta las
preguntas.
Medio de transporte Velocidad máxima
Moto Kawasaki ZZR
1400
312 kilómetros por hora
El carro más potente,
costoso y veloz del
mundo El BUGATTI
VEYRON 16.4
407 kilómetros por hora
Tren bala
360 kilómetros por
hora
Avión Lockheed L-1011 970 kilómetros por hora
I I .
a . ¿Cuál es la máxima velocidad del
carro expresada en decímetros
por hora?
¿Cuál es la máxima velocidad del
tren bala expresada en metros
por hora?
¿Cuál es la diferencia en metros
por hora, entre la velocidad del
avión y la del tren bala?
Transforma las siguientes unidades a
la unidad solicitada.
53 m =
b.
a .
b. 2 4 8 km =
m =
mm
lam =
mm
c. 843 hm =
m—
dam
cm
d . 459 dam
cm =
m
mm
Descriptor de desempeño:
/ Resolver situaciones problema usando conversiones entre las unidades de longitud.

51. ««• Pensamiento métrico - geométrico
Existen algunas longitudes que se miden en unidades diferentes a las del Sistema de M e d i c i ó n
Internacional (metro, kilómetro, centímetro, etc.); por ejemplo, las pantallas de los televisores
y de los computadores se miden en pulgadas (televisores de 20", 25", etc.), la altura de los
aviones y la profundidad de los pozos petroleros se miden en pies, las distancias de nave-
gación marítima se mide en millas; estas unidades son universales, es decir, son iguales en
cualquier lugar del mundo.
La principal unidad de longitud en el sistema de medición internacional es el metro; sin
embargo, algunos países utilizan otras unidades, como las que conforman el Sistema
de M e d i c i ó n Inglés.
Las equivalencias entre las unidades del Sistema de M e d i c i ó n Internacional y el Sistema
de M e d i c i ó n Inglés son:
1 yarda (yd) = 91,44 cm
1 milla (mile) = 1,61 km
1 milla = 1 760 yardas (mile = 1 760 yd)
1 pulgada (in) = 2,54 cm
1 pie (ft) = 30,48 cm
Otras equivalencias son:
1 pie = 12 pulgadas (ft = 1 2 in)
1 yarda = 3 pies (yd = 3ft)
TALL6R Sistema de medición inglés O o °
1, La tabla muestra las principales montañas de América con su respectiva altitud en me-
tros. C o m p l é t a l a realizando las respectivas conversiones.
Montaña
Monte
Aconcagua
Ojos del
Salado
Monte
Pissis
Nevado de
Huascarán
Volcán
Llullaillaco
Cerro
Mercedario
Cerro
Yerupajá
Altitud
(metros)
Países
Altitud Altitud
(centímetros) (kilómetros)
Pulgadas Pies Yardas Millas
6 959 Argentina
6 893
6 795
6 746
6 739
Chile
Argentina
Argentina
Perú
Chile
Argentina
6 720 Argentina
6 617 Perú
60

52. Nevado e c
p . 6 542
Sajama
Bolivia
V 0 , C á n
6 440
Antofalla
Argentina
y*? 6 438
llimani
Bolivia
y 2, En el municipio de Guatapé (Antioquia) se encuentra un lugar turístico llamado "Piedra
del Peñol", cuya altura máxima es de 200 m, su perímetro es de 770 m y la altura sobre
el nivel del mar es de 2 137 m.
¿Cuántas pulgadas de diferencia hay entre la a
tura máxima y el perímetro?
¿A cuántas millas se encuentra la "Piedra del Pe-
ñol" sobre el nivel del mar?
C. ¿A cuántos pies de perímetro tiene la "Piedra del
Peñol"?
d . ¿cuántas yardas equivale la altura máxima de la
Piedra?
y 3. Un atractivo natural llamado "Las piedras del Tunjo" se encuentra ubicado en el muni-
cipio de Facatativá (Cundinamarca). Consiste en un conjunto de rocas de arenisca de
más de 1 5 m de altura que forman grutas o socavones de 50 o más metros de profun-
didad. Este atractivo se ubica a 2 585 m de altitud.
a . ¿Cuántas yardas mínimas de altura tienen las ro-
c a s dfi a r e n i s c o ?
b. ¿Cuántas millas de altitud tiene "Las piedras del
Ti mjr>"2
c, ¿Cuántas pulgadas mínimas de profundidad tienen
Ins s o c a v o n e s ?
d . ¿Cuántos pies en total se tienen entre la altura
de las rocas y la profundidad de los socavones?
c, ¿Cuántas pulgadas mínimas de profundidad tienen
Ins s o c a v o n e s ?
d . ¿Cuántos pies en total se tienen entre la altura
de las rocas y la profundidad de los socavones?
y 4, En la ciudad de San Gil, Santander, se encuentra ubicado "El Parque Gallinera!" a 98
km al sur de Bucaramanga; el parque está en una isla formada por el río Fonce y la
quebrada Curití.
a, ¿A cuántas millas se encuentra ubicado "El Parque Gallinera!"
HÉ* CI ir n p n i i r n r n n n n n n n c
J
: :
U t i l o U I U C U U L U I U l 1 I U l í y U V ; .
b. ¿A cuántas pulgadas?, ¿a cuántos pies?
61

53. y 5 . A 50 km de Bogotá se encuentra una de las maravillas del mundo, la "Catedral de Sal" de
Zipaquirá, en la que se encuentra una cúpula desde donde se observa a 145 metros de
distancia una cruz mayor de 1 6 metros de altura.
b.
c.
¿A cuántas pulgadas de distancia se encuentra la "Cate-
dral de Sal" de la ciudad de Bogotá?
¿A cuántos pies de distancia se observa una cruz mayor
de 1 ó metros de altura?
¿Cuántas yardas como mínimo tiene la cruz que se ob-
serva desde la cúpula?
y 6. En el departamento de Cundinamarca, a 30 km al suroeste de Bogotá, se encuentra
una cascada natural que recibe el nombre del "Salto de'Tequendama"; este salto cae
desde una altura de 2 467 m sobre el nivel del mar ya 1 57 m forma la cascada sobre
un abismo rocoso.
¿A cuántas millas del suroeste de Bogotá se encuentra el "Salto de
Tequendama"?
¿A cuántos pies de altura cae el salto?
¿A cuántas pulgadas se forma la cascada sobre el abismo rocoso?
y 7 . En Bogotá se encuentra un cerro en el que descansa una imagen de Cristo que represen-
ta una de las etapas del vía crucis, este cerro recibe el nombre de "Monserrate" y tiene
una altitud de 3 210 m sobre el nivel del mar. Desde allí es posible observar El Parque
de los Nevados, que está ubicado a más de 300 km de este lugar.
a. ¿Cuántas yardas de altitud tiene el cerro de "Monserrate"?
b. ¿A cuántas millas de distancia se encuentra El Parque de
los Nevados de "Monserrate"?
y 8. A 1 1 0 km de Bogotá ya 14 km de Tunja encontramos el "Puente de Boyacá", que tiene
una altura de 2 820 m sobre el nivel del mar; en este lugar se realizó una de las batallas
de la campaña libertadora de Colombia.
a. ¿A cuántas millas se encuentra el "Puente de Boyacá" de la
ciudad de Bogotá?
b. ¿Cuántos pies de altura tiene el "Puente de Boyacá"?
c. ¿A cuántas pulgadas se encuentra el "Puente de Boyacá" de
la ciudad de Tunja?
• M B a ^ ^ e a ^ - .uriHM» - «k. . . xm&m
Descriptor de desempeño:
/ Identificar y establecer relaciones y diferencias entre las unidades de medición del Sistema Internacional y el Sistema Inglés en la
solución de situaciones problema.

54. >«• Pensamiento aleatorio
Recolección de datosl población, muestra y variables estadísticas
Para llegar a una conclusión acerca de un grupo o situación, es necesario realizar
un estudio estadístico a partir de la recolección, análisis e interpretación
de los datos o variables.
Población: es un conjunto de individuos, objetos o medidas del cual se van a obtener
los datos para ser analizados. C u a n d o la población es muy grande, se toma un sub-
conjunto de esta llamado muestra.
Por ejemplo, si la población son los celulares que se encuentran en C o l o m b i a , la mues-
tra son los celulares de una ciudad de C o l o m b i a .
Variable: es una característica q u e , c o m o su nombre lo indica, cambia de una situa-
ción o persona a otra. Estas características algunas veces son magnitudes, es decir, son
atributos o cualidades que pueden ser medidos, en este caso se denominan variables
cuantitativas; por ejemplo, la edad, el peso.
Contrario a las cuantitativas están las variables cualitativas, que no aparecen en nú-
meros y expresan una cualidad o gusto; por ejemplo, el color de los ojos, profesión,
sexo, programa de televisión favorito, etc.
TALL6R Recolección de datos O o °
1, Completa el siguiente crucigrama,
a . Subconjunto de una población.
tí, Cualidad de los ojos que corresponde a una variable cualitativa.
Nombre que reciben las variables que no se pueden medir.
Conjunto de individuos, objetos o medidas del cual se obtienen los datos.
Nombre que reciben las variables que se pueden medir.
Cualidad de los pantalones que corresponde a una variable cuantitativa.
Nombre que recibe la característica de una situación o persona.
di
If
9t
63

55. I» 2 Teniendo en cuenta las siguientes poblaciones, escribe una muestra para cada una de ellas,
a. Género musical preferido por los estudiantes de tu colegio.
b, Enfermedades que más se presentan a nivel mundial.
c. Cantidad de niños menores de 1 2 años que acceden a grado sexto en Colombia.
d. Cantidad de adolescentes que en tu departamento ingresan a la universidad.
Preferencia de las mujeres de Cartagena por una celebración.
Escribe si es necesario tomar una muestra de las siguientes poblaciones.
a . Cantidad de niños de tu barrio que tienen Xbox
b. Cantidad de empresas de celulares en Colombia
c. Color preferido por los niños de un jardín infantil
el Equipo de fútbol que prefieren los hombres colombianos
e. Cantidad de vehículos particulares en un barrio del lugar donde vives.
f. Cantidad de familias de Medellín que tienen computador en su c a s a -
Escribe falso o verdadero, según corresponda,
a . Una muestra es igual a su población
b. La población es mayor que la muestra
C. Todos los conjuntos requieren de una muestra —
eí. La muestra es un subconjunto de una población,
e. La población es un subconjunto de la muestra
Subraya las variables cualitativas en la siguiente lista:
Edad, peso, sabor de la gaseosa, color de los ojos, número de hermanos, talla, marca
de celular, consumo de agua en litros, sabor del postre.
S 6. En tu cuaderno realiza la siguiente encuesta a diez personas que correspondan a una
muestra de una población que elijas, empleando variables cualitativas y cuantitativas.
Nombre de la persona Edad ¿Qué postre prefiere?
c.
Helado
Gelatina
Dulce de fruta
Otro
No le gustan los postres

56. a . ¿Qué población escogiste?
b. ¿Cuál es la variable cualitativa en la encuesta y cuál la cuantitativa?
c. Según la encuesta realizada y al comparar los datos con tus compañeros, ¿las per-
sonas de qué edad prefieren helado, gelatina y dulce de fruta?
d . ¿Influye la edad en el gusto de los postres?
e. En todas las poblaciones encuestadas en tu salón, ¿se obtuvieron las mismas res-
puestas?
y 7. La siguiente información corresponde al consumo de teléfono de la familia Romero.
Contesta las preguntas de acuerdo con la gráfica.
350
O 300
| 250
¿o 200
O 1 5 0
<-> 100
50
0
133
A
CONSUMO DE TELEFONO
2 9 4
•O
259 264 276
L i l i
MESES
4 O
voz
| INTERNET
a . ¿Qué tipo de variables corresponden a voz e internet?,
b. ¿El mayor consumo durante los últimos seis meses corresponde a voz o internet?
Justifica tu respuesta
c. ¿En cuál mes el menor consumo semestral supera al mayor consumo?
d . ¿En cuál mes se presenta un consumo mayor a 290?
e. ¿Cuál es la diferencia entre el menor mes de consumo de voz y el mes de mayo?
f. Elabora una tabla que muestre el consumo total de voz e internet.
Descriptor de desempeño:
/ Resolver situaciones problema usando recolección de datos relacionados con el entorno.

57. Matemática
Internet sano
El mundo de hoy nos ha llevado a estar más cerca unos de otros y
tener información inmediata de lo que deseamos por medio de las
nuevas tecnologías.
En internet tenemos muchas herramientas como: el correo electró-
nico, el messenger, facebook para hablar, compartir videos, tareas
y documentos con nuestros amigos y amigas.
Internet es como una ciudad en la que puedes transitar por las calles, conocer monumen-
tos y ¡ugar en un parque con tus amigos. Pero, así como hay peligros en la calle, gente
que te inspira desconfianza, lugares sospechosos, t a m b i é n en internet hay grandes peli-
gros que debes saber identificar.
Debes saber que es muy fácil publicar una página en internet, por eso mismo, hay muchas
páginas creadas por delincuentes, cuyo contenido atenta contra la dignidad infantil y ju-
venil. Esas páginas son ¡legales, porque su contenido es d a ñ i n o ; por eso debemos estar
atentos, y si encuentras una página de estas, lo único que debes hacer es denunciarla en
internet sano.
¿Cómo se denuncia?
Es muy fácil, debes copiar la dirección o URL de la página sospechosa y entrar a
www.internetsano.gov.co, o llamara la línea gratuita 018000 912667.
Estas denuncias llegan al DAS o a la Policía Nacional, que luego envían al Ministerio de
Comunicaciones el listado de direcciones de páginas ilegales. De esta forma, el Ministerio
exige el bloqueo de estas páginas en Colombia para que no se puedan ver.
(fuente: http://www.colombiaaprende.edu.co/html/estudiantes/1 599/article-73581 .html)
Veamos algunas recomendaciones que nos da el Estado colombiano a través de su pro-
yecto Internet sano, para viajar seguros en el ciberespacio.
Estos consejos son para protegerte en el ciberespacio, pero uno que nunca debes olvidar
es dialogar con tus padres sobre las páginas que visitas, las personas con las que entras
en contacto y, sobre todo, cuando te sientas amenazado u ofendido por alguien a través
de internet.
Nunca aceptes citas a
ciegas o entables amis-
tades con gente que has
conocido por internet.
Nunca aceptes regalos
en línea, podrían estar
cargados de virus o ma-
terial indeseable.
Competencias ciudadanas
( onvivencia v paz
* Comprendo los riesgos y el cuidado que debo tener al manejar internet y las nuevas
tecnologías de c o m u n i c a c i ó n .

58. Matemática ciudadana
Actividades
1, Reúnete con tres compañeros del curso:
o. Realicen una cartelera en la que expongan otras recomendaciones para ma-
nejar de manera segura la red de internet.
b, ¿Por qué es importante saber algunas normas para navegar de manera segura
en internet?
2, Comparte en clase la cartelera y comenta las respuestas dadas a la pregunta anterior.
3, Pregúntale a tus padres, ¿por qué es importante saber navegar de manera segura
en internet? Anota estas respuestas y compárala con las de tus compañeros. ¿Qué
elementos nuevos encontraste?
4, Datos estadísticos sobre internet.
(jPoblación
mundial: I
6 4 9 0
697 060
Cantidad de usuarios en 1994: 3 000 000
Cantidad de usuarios en el 2000: 330 000 000
Cantidad de usuarios en el 2002: 560 000 000
Cantidad de usuarios en el 2006: 1 038 057 389
El buscador AlltheWeb.com tenía en el 2002 más
de doscientos mil millones de páginas registradas.
Unos 69 millones de personas visitan semanalmente sitios porno-
gráficos de la red, la tercera parte de ellos se encuentran en Esta-
dos Unidos y Canadá.
De acuerdo con un estudio, uno de cada cinco niños que utilizan
internet han recibido proposiciones sexuales.
El 30% de los usuarios de internet en Colombia están entre los 12 y los
19 años.
Con base en los anteriores datos, responde:
o. Escribe en el sistema de numeración egipcio y romano, el número de usuarios
de internet en 1994 y en 2006. ¿Cuál es la diferencia entre la cantidad de
usuarios de internet entre 1 994 y 2006?
b. ¿Cuáles de los anteriores datos tienen un 3 en la posición de decenas de mi-
llón?
c. Escribe en cifras el número de páginas registradas que tenía el buscador
AlltheWeb.com en el 2002.
d . ¿Cuántas personas en Estados Unidos y Canadá visitan semanalmente sitios
pornográficos?

59. Conversión de números arábigos a números romanos
con ayuda del computador
Excel es una hoja de cálculo muy útil, en la
cual se puede realizar cualquier tipo de cál-
culo, conversiones, gráficas, conteos, etc.
Es importante tener en cuenta que la hoja
de cálculo cuenta con columnas numeradas
con letras mayúsculas y las filas con núme-
ros; observa que en el cuadro de nombres
se encuentra la celda que está selecciona-
da, en la gráfica corresponde a B3.
O Microsoft Excel - Librol
: ¿ ] firthivo Bidón £er Insertar Eormato
<•«
A •B C
1
2
3 l I;
4
5
6
7 , , . „
8
Vamos a escri-
bir en la celda
Al el primer
número forma-
do por dos ci-
fras iguales, el
11 y en A2 el
segundo, 22.
C Microsoft Excel -Librol
^MP lrtswt<v
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3f ái
C?
A . B [ _
X
3
11
22
K
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11
22
K
5
E Microsoft Excel Libn
i VJ ftrchwo £duán
*• IA!
A B
1 11
2 22
3
Para continuar con
los números hasta el
99, se seleccionan las
celdas Al y A2 y se
ubica el cursor sobre
el cuadrado negro
que se encuentra en
la parte inferior dere-
cha de la selección.
Con el cursor en esta ubicación, se des-
plaza manteniendo el click sostenido hasta
completar el 99, al soltar el click, los nú-
meros ya se habrán copiado.
C Microsoft Ixccl 1 inrol E3 Microsoft íxcel Librol
i 2] Sr**« t * w i s«r i r »
I J • J > J J < ~ : l ^ L J i J *
|- * ÉJ
A1 1 * 11 Al A 11
A ' B _ L A B
1 11 1 11
2 2 2 2 2 2
3 3 3
4 • • 44
5 5 5 5
6 6 6 6
7 7 7 7
8 8 8 8
9 9 9 9
10
aJ
10 B
11
aJ
11 i f
l-1
12
Vamos a calcular el cuádruple de los ante-
riores números. En la celda Bl escribimos
la siguiente fórmula: =A1 *4 y oprimimos
enter, automáticamente nos aparecerá el
cuádruple del valor digitado en A l , es de-
cir, 44. Si se quiere, en lugar de digitar el
nombre de las celdas, se da click en ellas.
Observa que en la barra de fórmulas se
muestra la fórmula dada.
fÜ? Microsoft Excel - l i b r o l
: á j frchrVO £dkson insertar £
i A
2Mi TA- "*Á 1
i
A B c
1 111=A1*4
2 22
3 33
4 44
5 55
6 86
7 77
8 88
9 99
10
II
12
Excel Librol
£cki6o i » - Insertar formato
A =A1*4
1 111 44Í
2 22
33
4 44
5 55
6 66
*
8 88
9 99
10
h i
6 6

60. Para copiar la fórmula
ubicamos el cursor en
el recuadro y con click
sostenido la desplaza-
mos hasta la celda B9,
se observará el cuádru-
ple de los números co-
piados anteriormente.
Para calcular la suma de los últimos re-
sultados, ubicamos el cursor en la celda
llamado en Excel
1 11 44
2 22 96
3 35 132
4 44 176
5 55 220
6 $6 2S4
7 77 306
e N 352
9 99 396
10
Bl 0 y oprimimos
autosuma; así obtendremos la suma de
las celdas Bl a la B9; oprimimos enter y
se nos mostrará el resultado.
B Microsoft Excel - Librol
£ j archivo EcWon ¡¿er Insertar fiomwto Herramientas
SUMA fi. =SUMA(B1:D16B9)
A B C 0
1 I T 44;
2 22 88
3 33 132
4 44 176
5 55 220
6 66 264 ¡
7 77 308
8 88 352
•
9 99 396
1D |=suMA¡gflgJHS3!
11 | SUMA(númerol; [número2]¡ ,..) |
12
13
! Microsoft Excel - Librol
archivo £o5ctón 5¡er Insertar Eormato
B10 fit =SUMA(B1:B9)
A B c
1 11 44
2 22 88
3 33 132
4 44 176
5 55 220
6 66 264
7 77 308
8 88 352
9 99 396
.10 I 1980
11
IÍ2l I 1
De esta forma se procede a realizar cualqui-
er operación con ayuda de la hoja de cál-
culo de Excel.
Ahora, para convertir este resultado en
número romano, nos ubicamos en la cel-
da en la cual queremos ver la conversión y
digitamos la siguiente fórmula: =NUMERO,
ROMANO(B10;0) y oprimimos enter; esto
quiere decir, que el valor encontrado en la
celda Bl 0, en nuestro caso, la suma realiza-
da, lo convertirá en número romano; el cero
indica el estilo clásico para Excel. Es necesa-
rio conservar la escritura en mayúscula.
[ A .1 B 1
1 11 44
22 88
X 33 132
3 ML_ 176
55 220
6 SE 264
7 77 308
e 86 352
11 99 396
en 1960
mra MCMLWX
l _ l
Al oprimir enter, se
mostrará el número
romano.
Ahora, realiza el procedimiento anterior para
los dígitos. No es necesario realizar todo de
nuevo, únicamente digitar en la celda Al
el número 1 y enter, en la celda A2 el 2 y
arrastrar la serie como se realizó inicial-
mente, observa cómo cambian automática-
mente los resultados y la conversión.
ET Microsoft Excel librol
Ü t* IPMrtw
• J ^ A 4 J J X *' *.
:- - » JÉ
A.' * * 22
í A l B
1 1
•2 el •
3 8' 132
4 44 176
5 66 220
6 66 264
7 77 308
e 69 362
9 99 396
10 1940
' i
12
13
' i
12
13
F Microsoft fxcel Librol
S* tmut 1
: 1 * A ; . .j ~ t* ...
i - . " n 1
A3 * :
A 1 B
1 i 1 4
2 1 11
•3 55' 132
X ! 44 176
66 220
fi 77
264
306
J
66 363
J 9) 396
!!
1660
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M0CCCIX
jfi [ 1