O documento descreve um tanque CSTR (Continuous Stirred Tank Reactor) com duas entradas de fluxo com diferentes concentrações. O objetivo é manter a concentração na saída igual a um valor de referência, controlando o fluxo de entrada F2. As equações de balanço de massa são apresentadas e o problema é formulado como um problema de controle ótimo usando regulador quadrático linear para determinar a lei de controle ótima.

1. Controle Ótimo de
Reatores Químicos
Raquel Bezerra dos Santos Sawczuk
Maria da Conceição Sousa Soares

2. Estudo de Caso – Tanque CSTR
Na Fig. 1 é mostrado um fluxo de processo típico para CSTR.
Há duas entradas variando no tempo com taxas de fluxos F1 e F2.
A altura de líquido no tanque é h. A concentração do material
dissolvido para ambas as entradas são diferentes, ou seja, c1 e c2
e manipula-se a vazão F2, com objetivo de manter a concentração
c na corrente de saída igual a cref , independentemente de
variações nos valores de F1 e c1.

3. - Tanqueperfeitamenteagitado:
-Escoamentocontínuo,semacúmulode
produtoe/oudereagentes.
-Composiçãouniformedentrodoreator;
-Taxadereaçãoéamesmaemtodoo
reator
-Reagentescompletamenteconsumidos
duranteareação
Considerações:

4. As equações de balanço de massa são:
Balanço de massa global:
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= 𝐹1 + 𝐹2 − 𝐹 (1)
Balanço de massa para os componentes:
𝑑(𝑉𝑐)
𝑑𝑡
= 𝐹1 𝑐1 + 𝐹2 𝑐2 − 𝐹𝑐 (2)
𝑉𝑑𝑐
𝑑𝑡
+ 𝑐
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= 𝐶1 𝐹1 + 𝐶2 𝐹2 − 𝐹𝐶 (3)
𝑉
𝑑𝑐
𝑑𝑡
= −𝐶 𝐹1 + 𝐹2 − 𝐹 + 𝐶1 𝐹1 + 𝐶2 𝐹2 − 𝐹𝐶 (4)
𝑑𝑐
𝑑𝑡
=
−𝐶𝐹1−𝐶𝐹2+𝐶𝐹+𝐶1 𝐹1+ 𝐶2 𝐹2−𝐹𝐶
𝑉
(5)
𝑑𝑐
𝑑𝑡
=
𝐹1 𝐶1−𝐶 +𝐹2(𝐶2−𝐶)
𝐴∗ℎ
(6)

5. Por outro lado, o volume de líquido no tanque é V = Ah, em que A é a área da
base do tanque. Se a velocidade do líquido no orifício de saída do líquido for
suficientemente elevada, então a vazão de saída será proporcional à raiz quadrada
da altura de líquido, isto é,
𝐹 = 𝑘 ℎ
(7)
Introduzindo h na equação (1), tem-se:
𝑑(𝐴∗ℎ)
𝑑𝑡
= 𝐹1 + 𝐹2 − 𝑘 ℎ (8)
𝑑ℎ
𝑑𝑡
=
𝐹1+𝐹2−𝑘 ℎ
𝐴
(9)
Nas condições de estado estacionário tem-se:
0 = 𝐹1 + 𝐹2 − 𝑘(ℎ)
1
2 (10)
0 = 𝐹1 𝐶1 − 𝐶 + 𝐹2(𝐶2 − 𝐶) (11)
Onde 𝐹1, 𝐹2, 𝐶1, 𝐶, ℎ são valores estacionários e 𝐶2 é constante

6. Expandindo as equações em série de Taylor:
ℎ′ =
1
𝐴
𝐹1
′
+
1
𝐴
𝐹2
′
−
𝑘
2𝐴(ℎ)
1
2
ℎ′ (12)
𝐶′
=
𝐶1− 𝐶
𝐴ℎ
𝐹1
′
+
𝐶2− 𝐶
𝐴ℎ
𝐹2
′
+
𝐹1
𝐴ℎ
𝐶1
′
−
( 𝐹1− 𝐹2)
𝐴ℎ
𝐶′
(13)
Escolhendo as variáveis de estado como dado abaixo
𝑥1 = ℎ′
, 𝑥2 = 𝑐′
, 𝑢1 = 𝐹1
′
𝑥1 = ℎ′
, 𝑥2 = 𝑐′
, 𝑢2 = 𝐹2
′
Onde,
𝑥 = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑢 (14)
𝑥1
𝑥2
=
−
𝑘
2𝐴(ℎ)
1
2
0
0
−𝐹1+𝐹2
𝐴ℎ
𝑥1
𝑥2
+
1
𝐴
𝐶1 − 𝐶
𝐴ℎ
1
𝐴
𝐶2− 𝐶
𝐴ℎ
𝑢1
𝑢2
(15)

7. Aplicando controle ótimo
O problema de controle , de uma forma geral, consiste em determinar uma lei de
controle que faça com que o sistema atenda a certas especificações de
desempenho. No caso de sistemas de controle ótimo, a obtenção de uma lei de
controle se dá pela minimização de um funcional de custo, neste caso
estudaremos os reguladores lineares quadráticos (LQR – Linear Qauadratic
Regulator)
Para um dado sistema, cuja equações de espaço de estado são dados:
𝑥 (𝑡) = 𝐴𝑥 𝑡 + 𝐵𝑢(𝑡) (16)
𝑦 𝑡 = 𝐶𝑥 𝑡 + 𝐷𝑢(𝑡) (17)
Q e R são matrizes de estado, logo, consideraremos o problema de controle ótimo
de forma a determinar a matriz k.
𝑢 = −𝑘𝑥 (18)

8. De tal modo a minimizar o índice de desempenho
𝐽 = 0
∞
𝑥 𝑇 𝑡 𝑄𝑥 𝑡 + 𝑢 𝑇 𝑡 𝑅𝑢(𝑡) 𝑑𝑡 (19)
Onde Q é uma matriz positiva-definida (ou positiva-semidefinida positiva) real e
simétrica e R uma matriz positiva real e simétrica.
Resolvendo o problema de otimização, obtemos:
𝑥 = 𝐴𝑥 − 𝐵𝐾𝑥 = 𝐴 − 𝐵𝐾 𝑥 (20)
Nas derivações seguintes, suporemos que a matriz A – BK é estável, ou que os
autovalores de A – BK têm partes reais negativas.
𝐽 = 0
∞
𝑥 𝑇
𝑄𝑥 + 𝑥 𝑇
𝐾 𝑇
𝑅𝐾𝑥 𝑑𝑡 = 0
∞
𝑥 𝑇
𝑄 + 𝐾 𝑇
𝑅𝐾 𝑥𝑑𝑡 (21)
Faz-se:
𝑥 𝑇 𝑄 + 𝐾 𝑇 𝑅𝐾 𝑥 = −
𝑑
𝑑𝑡
(𝑥 𝑇Px) (22)

9. Então obtemos,
𝑥 𝑇 𝑄 + 𝐾 𝑇 𝑅𝐾 𝑥 = − 𝑥 𝑇Px − 𝑥 𝑇P 𝑥 (23)
Comparando ambos os lados desta última equação e notando que esta equação
deve ser verdadeira para qualquer x, impomos que
(𝐴 − 𝐵𝐾) 𝑇
𝑃 + 𝑃 𝐴 − 𝐵𝐾 = −(𝑄 + 𝐾 𝑇
𝑅𝐾) (24)
Pelo segundo método de Liapunov, se A-BK é uma matriz estável, então existe
uma matriz positiva definida P que satisfaz a Eq. (24). Então, notando que x (∞) =
0, o índice de desempenho pode ser escrito como:
𝐽 = 𝑥 𝑇
0 𝑃𝑥(0) (25)
Como se supôs que R é uma matriz positiva definida real e simétrica, podemos
escrever:
𝑅 = 𝑇 𝑇
𝑇 (26)

10. Onde T é uma matriz não-singular. Então a Eq. (24) pode ser escrita como:
(𝐴 𝑇 −𝐾 𝑇 𝐵 𝑇)𝑃 + P(A − B𝐾) + 𝑄 + 𝐾 𝑇 𝑇 𝑇 𝑇𝐾 = 0 (27)
Que pode ser reescrita como:
𝐴 𝑇 𝑃 + 𝑃𝐴 + 𝑇𝐾 − 𝑇 𝑇 −1 𝐵 𝑇 𝑃 𝑇 𝑇𝐾 − 𝑇 𝑇 −1 𝐵 𝑇 𝑃 − 𝑃𝐵𝑅−1 𝐵 𝑇 𝑃 = 0 (28)
A minimização de J com relação a K requer a minimização de
𝑥 𝑇
𝑇𝐾 − 𝑇 𝑇 −1
𝐵 𝑇
𝑃 𝑇
𝑇𝐾 − 𝑇 𝑇 −1
𝐵 𝑇
𝑃 𝑥 (29)
Com relação a K. Como este valor é não negativo, o mínimo ocorre quando se
anula, ou quando
𝑇𝐾 = 𝑇 𝑇 −1 𝐵 𝑇 𝑃 (30)
Portanto,
K = 𝑇−1 𝑇 𝑇 −1 𝐵 𝑇 𝑃 = 𝑅−1 𝐵 𝑇 𝑃 (31)

11. A equação (31) nos dá a matriz ótima K. A matriz P na equação (31) deve
satisfazer a equação (29) ou a seguinte equação reduzida:
𝐴 𝑇 𝑃 + 𝑃𝐴 − 𝑃𝐵𝑅−1 𝐵 𝑇 𝑃 + 𝑄 = 0 (32)
A equação (32) é chamada de equação de Riccati de matriz reduzida. As etapas de
projeto podem ser escritas como:
1. Resolver a eq. (32), a equação de Riccati de matriz reduzida, para a matriz P.
2. Substituir esta matriz P na eq. (31). A matriz resultante K é a ótima .

12. Fim