Este documento presenta varios ejemplos de optimización de funciones con restricciones. En el primer ejemplo, se minimiza el costo total de operación de dos plantas térmicas sujeto a que su producción total sea igual a la demanda. En el segundo ejemplo, se maximiza el área de un rectángulo dado su perímetro. En el tercer ejemplo, se describen los pasos para encontrar extremos absolutos de una función en un dominio restringido.

2. Autor:
Br. Marina Mallol.
Junio, 2014
Instituto Universitario Politécnico
“Santiago Mariño”
Extensión - Porlamar
Ingeniera de sistemas

3. Ejemplo dado el sistema de ecuaciones:
12x1+5x2-x3=15
X1-6x2-4x3=9
2x1-3x2+8x3=5
Con valores iniciales x1=, x2=3, x3=2
convergerá la solución usando el método de
jacobi.
Se chequea si la matriz es diagonalmente dominante, si todas las desigualdades
se cumplen y la solución debe converger por este método .
Solución.

4. Para los valores iniciales
X1=1
X2=3
X3=2
Luego.
Despejamos x1 de la ecuación 1, x2 de 2 y x3 de 3

5. Ahora calculamos el error absoluto relativo
aproximado
De las
interacciones
X1:
X2:
X3:

6. El máximo error absoluto relativo aproximado después
de la primera iteración es 86%

7. Considere dos plantas térmicas
alimentando un sistema eléctrico de
potencia. Los costos de combustibles
asociados a cada una de las dos
unidades son:
C1 = 4P1 + 0.01 P1
2
C2 = 2P2 + 0.03 P2
2
Observe que C1 la unidad más económica
El objetivo es el de minimizar el costo total de operación
mientras se satisfacen las restricciones de igualdad:
P1 + P2 = PD PD : Potencia Total Demandada
Utilizamos una función de costo aumentada con las restricciones utilizando un
multiplicador de Lagrange λ.
)(03.001.024 21
2
2
2
121
PPPPPPPC D




8. Derivando, las condiciones necesarias para la optimización
son:
4 + 0.02 P1 – λ = 0
2 + 0.06 P2 – λ = 0
P1 + P2 = PD
eliminando P2 y λ obtenemos una ecuación
para P1 0.08 P1 + (2-0.06 PD ) = 0
como PD es información conocida, se encuentran las otras
variables
PD = 50 P1 = 12.5 P2 = 37.5 λ = 4.25
PD = 100 P1 = 50 P2 = 50 λ = 5
PD = 200 P1 = 125 P2 = 75 λ = 6.5
PD = 250 P1 = 162.5 P2 = 87.5 λ = 7.25

9. λ es diferente a 0 en todos los casos pues se cumple la restricción de
igualdad Σ Pi = PD, entre PD sea mayor, λ es mayor (mayor costo marginal)
P1 y P2 son positivos, pero estos valores obtenidos podrían violar
restricciones de operación mínimas y máximas de las unidades generadoras.
supongamos una restricción de operación en P1.
Imponiendo como ejemplo, restricciones de mínimo y máximo en la planta
más barata
esta restricción se puede convertir en dos restricciones:
50 ≤ P1 ≤ 150
50 – P1 ≤ 0 P1 – 150 ≤ 0

10. De acuerdo a la teoría Kuhn Tucker , la función de costo aumentada es
las condiciones necesarias son:
Considere el caso en que PD = 50, en este caso se viola el límite
inferior y la solución óptima se obtiene utilizando P1 en el límite inferior
violado. Las condiciones de optimalidad se dan con los requerimientos
El límite superior no es violado, la solución es:
4 + 0.02 P1 – λ - µ1 + µ2 = 0
2 + 0.06 P2 – λ = 0
P1 + P2 -PD = 0
µ1 ( 50 – P1 ) = 0
µ2 ( P1 – 150 ) = 0
)150()50()()()( 121121 

PPPPPPFPF D 
Ahora tenemos 5
ecuaciones en
lugar de tres
P1 = 50 µ2 = 0 (No viola P1 = 150)
P2 = 0 λ = 2 µ1 = 3
μigi = 0

11. La solución para el caso con PD = 250 viola el límite máximo
y los resultados óptimos son:
Cuando la demanda es de 100 o 200, no se violan las
restricciones de desigualdad por lo que
P1 = 150 P2 = 100 µ1 = 0 µ2 = 1 λ = 8
µ1 = µ2 = 0

12. Ejemplo:
¿Cuál es el área máxima que puede tener un rectángulo si la longitud de su
diagonal es 4?
Represente un rectángulo con
lados x e y, base y altura
respectivamente.
4
x
y
La longitud de la diagonal es 4, fíjese que se forma un triangulo rectángulo.
Función a optimizar: maximizar en este caso: Área.
Área de un rectángulo: A = x.y
22
4 yx  22
16 yx 
Condición a cumplir: De una manera más fácil:

13.    xyAyAxA ,, 
   yxgygxg 2,2, 
 xy 2
)2( yx 
422
 yx
Al tener identificadas la función y la condición, se determinan los gradientes.
Así las ecuaciones de Lagrange
son:
….. (1)
….. (2)
….. (3)
 2
2xxy 
)2( 2
yyx 
Al resolver el sistema, una de las formas puede ser:
Multiplicar la ecuación (1) por x, y también la ecuación (2) por y,
….. ()
….. (4)
….. (5)

14.    22
22 yx  
22
yx xy 
Se igualan las ecuaciones (4) y (5)
Al simplificar queda: Y Queda:
 2
2xxy  )2( 2
yyx 
 22
16 xx 
2
216 x
8x
Luego una variable se expresa en función de la otra
y se sustituye en la ecuación (3).
Si y = x
422
 yx

15. Como estamos midiendo distancias, x solo puede tomar valores no
negativos, así que se tiene un único punto que es para x=√8 , la
altura y también vale.
Así se concluye que las dimensiones del rectángulo corresponden con
un cuadrado de lado √8.
Su área será: A= √8 * √8 = 8

16. Dada una función de varias variables, sabemos que presenta un
punto crítico cuando su gradiente es nulo. Para identificar de qué punto
crítico se trata, debemos usar el criterio de la segunda derivada. Éste
establece que dada una función f(x; y) que presenta un punto crítico en
(x0; y0), podemos calcular el siguiente discriminante:
22
2
2
2
2
2
22
2
2
2























yx
f
y
f
x
f
y
f
xy
f
yx
f
x
f
D
Si D > 0 y > 0, se tiene un mínimo local en (x0; y0). Si D > 0 y < 0,
se tiene un máximo local en (x0; y0). Si D < 0, se tiene un punto silla en
(x0; y0). Finalmente, si D = 0 el criterio de la segunda derivada no decide
la naturaleza del punto crítico en (x0; y0).
Extremo no restrictos con 2 variables

17. Cuando se desea obtener los extremos absolutos de una función en una
cierta región del dominio, se deben seguir los siguientes pasos:
1) Hallar los puntos críticos de la función en el dominio y
calcular su valor en ellos.
2) Hallar los valores extremos de la función sobre la frontera del
dominio.
3) Determinar los valores máximo y mínimo de entre todos los
hallados en los dos puntos anteriores.
Hallar extremos
restringidos significa
determinar los extremos
de una función f(x; y)
sujetos a una restricción
g(x; y) = 0. Para ello debe
plantearse la ecuación
vectorial:
El valor  se conoce como
multiplicador de Lagrange y es un
auxiliar para determinar los valores
de las variables del dominio que
satisfacen la ecuación vectorial y la
restricción. Si existen varias
restricciones, se plantean varios
multiplicadores.
f = g
Extremo no restrictos con 2 variables

18. 124);( 23
 yxyxyxf
044
);();0;0(0043043 3
4
3
4
213
422






yxyxf
PPxxxxyxf
y
x
máximounes);(08);(comoyextremo;unes);(016);(
sillapuntounes)0;0(016)0;0(
1624
44
46
);(
4);(
4);(
6);(
3
4
3
4
3
4
3
4
3
4
3
4
3
4
3
4














xx
xy
yy
xx
fD
D
x
x
yxD
yxf
yxf
xyxf
1.) Puntos críticos. Hallar y clasificar
los puntos críticos de:
Tenemos:
Ahora
Solución
Extremo no restrictos con 2 variables

19. 2. y 3) Extremos absolutos. Hallar el valor máximo y mínimo de la
función f(x; y) = x2y(4 - x - y) en el triángulo limitado por las rectas x = 0; y = 0; x
+ y = 6.













0)24(0)1()4(0
0)238(0)1()4(20
0
222
2
yxxyxyxx
y
f
yxxyyxyxxy
x
f
f
Solución
a) Puntos críticos. Primero debemos encontrar los puntos críticos de la
función que se encuentran en el dominio dado, que es el triángulo de
extremos (0; 0), (6; 0), (0; 6). No interesa, a los efectos de obtener extremos
absolutos, determinar la naturaleza de los puntos críticos, sino evaluar la
función en ellos. Planteamos
vemos que todos los puntos
con x = 0 son críticos. Si x  0,
tenemos las siguientes
posibilidades para que ambas
derivadas parciales sean nulas:
)1;2(0240238
)0;4(40240
2
oresolviend
1
Pyxyx
Pxyxy



Extremo no restrictos con 2 variables

20. 3222
212)64)(6()4(66 xxxxxxyxyxxyyx 
     24600624212 232
 yxyxxxxx
dx
d
El primero de estos puntos pertenece a la frontera; por lo tanto lo
consideraremos cuando analicemos ésta. En cuanto al segundo punto,
tenemos f(2; 1) = 2.
b) Análisis de la frontera. La frontera se compone de tres tramos rectos. En
x = 0 y y = 0 la función asume el valor 0. En x + y = 6 podemos escribir:
donde x va variando de 0 a 6. Para determinar en qué punto del segmento de
recta x + y = 6 se produce un máximo o mínimo de esta función (en los
extremos del segmento asume el valor 0), podemos derivarla:
De los dos puntos obtenidos, (0; 6) es uno de los extremos del segmento,
donde la función vale 0, mientras que (4; 2) está dentro del segmento oblicuo.
Extremo no restrictos con 2 variables

21. Extremo no restrictos con 2 variables
c) Evaluación de la función en los puntos obtenidos. Evaluando se
tiene:
f(segmento x = 0) = 0
f(segmento y = 0) = 0
f(2; 1) = 2  máximo absoluto
f(4; 2) = -64  mínimo absoluto