1. Transforma
si
(Translasi, Rotasi dan
Dilatasi)
1

2. Setelah menyaksikan
tayangan ini anda dapat
Menentukan
peta atau bayangan suatu kurva
hasil dari suatu
Translasi, Rotasi atau Dilatasi
2

3. Transformasi
Untuk memindahkan suatu titik atau
bangun pada sebuah bidang dapat
dikerjakan dengan transformasi.
Transformasi T pada suatu bidang
‘memetakan’ tiap titik P pada bidang
menjadi P’ pada bidang itu pula.
Titik P’ disebut bayangan atau peta titik P
3

4. Jenis-jenis Transformasi
a. Tranlasi*)
b. Refleksi
c. Rotasi*)
d. Dilatasi*)
*) yang dibahas kali ini
4

5. Tranlasi
artinya pergeseran
5

6.  a
Jika translasi T =  
 b
 
memetakan titik P(x,y) ke P´(x’,y’)
maka x’ = x + a dan y’ = y + b
ditulis dalam bentuk matrik:
 x'   x   a 
 = + 
 y'  y   b 
     
6

7. Contoh 1
Diketahui segitiga OAB dengan
koordinat titik O(0,0), A(3,0) dan
B(3,5).Tentukan koordinat bayangan
segitiga OAB tersebut bila
 1
ditranslasi oleh T =  
 3
 
7

8. Bahasan
y
 1
T= 
 3
 
(0,0) → (0 + 1, 0 + 3)
 1
T= 
 3
 
0’(1,3)
 1
T= 
 3
 
A’(4,3)
(3,0) → (3 + 1, 0 + 3)
O
(3,5) → (3 + 1, 5 + 3)
X
B’(4,8)
8

9. Contoh 2
Bayangan persamaan lingkaran
x2 + y2 = 25
oleh translasi T =
 − 1
 
 3
 
adalah….
9

10. Bahasan
P (-1,3)
●
●
X
10

11.  − 1
Karena translasi T =   maka
 3
 
x’ = x – 1 → x = x’ + 1.….(1)
y’ = y + 3 → y = y’ – 3…..(2)
(1) dan (2) di substitusi ke x2 + y2 = 25
diperoleh (x’ + 1)2 + (y’ – 3)2 = 25;
Jadi bayangannya adalah:
(x + 1)2 + (y – 3)2 = 25
11

12. Contoh 3
Oleh suatu translasi, peta titik (1,-5)
adalah (7,-8). Bayangan kurva
y = x2 + 4x – 12 oleh translasi
tersebut adalah….
12

13. Bahasan
 a
Misalkan translasi tersebut T =  b 
 
 
Bayangan titik (1,-5) oleh translasi T
adalah (1 + a, -5 + b) = (7,-8)
1+ a = 7 → a = 6
-5+ b = -8 → b = -3
13

14. a = 6 dan b = -3 sehingga
translasi tersebut adalah
Karena T =  6 
 
 6
T = 
 − 3
 
 − 3
 
Maka
x’ = x + 6 → x = x’ – 6
y’ = y – 3 → y = y’ + 6
14

15. x = x’ – 6 dan y = y’ + 3 disubstitusi
ke y = x2 + 4x – 12
y’ + 3 = (x’ – 6)2 + 4(x’ – 6) – 12
y’ + 3 = (x’)2 – 12x’ + 36 + 4x’ - 24 -12
y’ = (x’)2 – 8x’ – 3
Jadi bayangannya: y = x2 – 8x – 3
15

16. Rotasi
artinya perputaran
ditentukan oleh
pusat dan besar sudut putar
16

17. Rotasi Pusat O(0,0)
Titik P(x,y) dirotasi sebesar α
berlawanan arah jarum jam
dengan pusat O(0,0) dan
diperoleh bayangan P’(x’,y’)
maka:
x’ = xcosα - ysinα
y’ = xsinα + ycosα
17

18. Jika sudut putar α = ½π
(rotasinya dilambangkan dengan R½π)
maka x’ = - y dan y’ = x
dalam bentuk matriks:
Jadi
 x'   0 − 1  x 
 =
 y'   1 0   y 
  
  
  
 0 − 1
R½π = 
1 0 



18

19. Contoh 1
Persamaan bayangan garis
x + y = 6 setelah dirotasikan
pada pangkal koordinat dengan
sudut putaran +90o, adalah….
19

20. Pembahasan
R+90o berarti: x’ = -y → y = -x’
y’ = x → x = y’
disubstitusi ke:
x+y=6
y’ + (-x’) = 6
y’ – x’ = 6 → x’ – y’ = -6
Jadi bayangannya: x – y = -6
20

21. Contoh 2
Persamaan bayangan garis
2x - y + 6 = 0 setelah dirotasikan
pada pangkal koordinat dengan
sudut putaran -90o , adalah….
21

22. Pembahasan
R-90o berarti:
x’ = xcos(-90) – ysin(-90)
y’ = xsin(-90) + ycos(-90)
x’ = 0 – y(-1) = y
y’ = x(-1) + 0 = -x’ atau
dengan matriks:
 x'   0 1   x 
 =
 y'   − 1 0   y 
  
  
  
22

23. R-90o berarti: x’ = y → y = x’
y’ = -x → x = -y’
disubstitusi ke:
2x - y + 6 = 0
2(-y’) - x’ + 6 = 0
-2y’ – x’ + 6 = 0
x’ + 2y’ – 6 = 0
Jadi bayangannya: x + y – 6 = 0
23

24. Jika sudut putar α = π
(rotasinya dilambangkan dengan H)
maka x’ = - x dan y’ = -y
dalam bentuk matriks:
 x'   − 1 0 
 =
 y '   0 − 1

  

−1 0 
Jadi H = 
 0 − 1



 x
 
 y
 
24

25. Contoh
Persamaan bayangan parabola
y = 3x2 – 6x + 1
setelah dirotasikan
pada pangkal koordinat dengan
sudut putaran +180o, adalah….
25

26. Pembahasan
H berarti: x’ = -x → x = -x’
y’ = -y → y = -y’
disubstitusi ke: y = 3x2 – 6x + 1
-y’= 3(-x’)2 – 6(-x’) + 1
-y’ = 3(x’)2 + 6x + 1 (dikali -1)
Jadi bayangannya:
y = -3x2 – 6x - 1
26

27. Dilatasi
Adalah suatu transformasi yang
mengubah ukuran (memperbesar
atau memperkecil) suatu bangun
tetapi tidak mengubah bentuk
bangunnya.
27

28. Dilatasi Pusat O(0,0) dan
faktor skala k
Jika titik P(x,y) didilatasi terhadap
pusat O(0,0) dan faktor skala k
didapat bayangan P’(x’,y’) maka
x’ = kx dan y’ = ky
dan dilambangkan dengan [O,k]
28

29. Contoh
Garis 2x – 3y = 6 memotong
sumbu X di A dan memotong
sumbu Y di B. Karena dilatasi
[O,-2], titik A menjadi A’
dan titik B menjadi B’.
Hitunglah luas segitiga OA’B’
29

30. Pembahasan
garis 2x – 3y = 6
memotong sumbu X di A(3,0)
memotong sumbu Y di B(0,2)
karena dilatasi [O,-2] maka
A’(kx,ky)→ A’(-6,0) dan
B’(kx,ky) → B’(0,-4)
30

31. Titik A’(-6,0), B’(0,-4) dan
titik O(0,0) membentuk segitiga
seperti pada gambar:
Y
B -4
A
-6
O
X
Sehingga luasnya
= ½ x OA’ x OB’
=½x6x4
= 12
31

32. Dilatasi Pusat P(a,b) dan
faktor skala k
bayangannya adalah
x’ = k(x – a) + a dan
y’ = k(y – b) + b
dilambangkan dengan
[P(a,b) ,k]
32

33. Contoh
Titik A(-5,13) didilatasikan
oleh [P,⅔] menghasilkan A’.
Jika koordinat titik P(1,-2),maka
koordinat titik A’ adalah….
33

34. Pembahasan
[P(a,b) ,k]
A(x,y)
A’(x’,y’)
x’ = k(x – a) + a
y’ = k(y – b) + b
A(-5,13)
[P(1,-2),⅔]
A’(x’ y’)
34

35. x’ = k(x – a) + a
y’ = k(y – b) + b
[P(1,-2),⅔]
A(-5,13)
A’(x’ y’)
x’ = ⅔(-5 – 1) + 1 = -3
y’= ⅔(13 – (-2)) + (-2) = 8
Jadi koordinat titik A’(-3,8)
35

36. Transformasi Invers
Untuk menentukan bayangan
suatu kurva oleh transformasi
yang ditulis dalam bentuk
matriks, digunakan
transformasi invers
36

37. Contoh
Peta dari garis x – 2y + 5 = 0
oleh transformasi yang
dinyatakan dengan matriks
 1 1

 2 3



adalah….
37

38. Pembahasan
A(x,y)
 1 1

 2 3



A’(x’ y’)
 x'   1 1   x 
 =
 y'   2 3  y 
 
  
 
Ingat: A = BX maka X = B-1.A
 x
1  3 − 1  x' 
 =
 y  3 − 2  − 2 1   y'

 
 

 
38

39.  x
1  3 − 1  x' 
 =
 y  3 − 2  − 2 1   y'

 
 

 
 x   3 − 1  x' 
 =
 y   − 2 1   y'
 
  
 
 x   3x' − y' 
 =
 y   − 2x' + y'

  

Diperoleh: x = 3x’ – y’ dan
y = -2x’ + y’
39

40. x = 3x’ – y’ dan y= -2x’ + y’
disubstitusi ke x – 2y + 5 = 0
3x’ – y’ – 2(-2x’ + y’) + 5 = 0
3x’ – y’ + 4x’ – 2y’ + 5 = 0
7x’ – 3y’ + 5 = 0
Jadi bayangannya:
7x – 3y + 5 = 0
40

41. SELAMAT BELAJAR
41