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Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado
                       Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino Livre

Questão 1- Como preparar o Excel?
Resposta: Primeiro precisa-se instalar todas as funções financeiras do Excel, abrindo-se uma
planilha com os seguintes passos: clique no ícone: Menu Iniciar; clique no ícone: Todos os
Programas; clique no ícone: Microsoft Office; clique no ícone: Microsoft Excel 2010,
assim abrirá uma planilha em branco do Excel.
Etapas: Para executar o Excel, tornando apto ao uso, basta selecionar a opção correspondente,
depois clicar na opção Iniciar→ Todos os Programas→ Microsoft Office→ Microsoft Excel,
conforme apresentado abaixo:




Outra opção para executar o Excel pode ser realizada através de um duplo clique sobre ícone
de atalho, conforme ilustrado abaixo:



Microsoft Excel 2010

A aparência da planilha Excel pode ser constatada na figura seguinte:




FERREIRA, Mário Neto                                                            Página 1
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                       Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino Livre

Para podermos operar com todos os recursos disponíveis do Microsoft Excel é fundamental
que o usuário confira a instalação dos suplementos: Ferramentas de análise, antes de inserir
fórmulas ou aplicarmos os recursos próprios para modelagem financeira. É importante
destacar que a verificação da ativação ou não dos suplementos: opção Menu Ferramentas
deve ser realizada antes da inserção de fórmulas.
Etapas: Ferramentas podem ser instalados ou desinstalados através do Menu Ferramentas→
Suplementos, conforme observamos na figura seguinte:




Caso o Excel tenha sido instalado em sua versão completa, diversas opções de Suplementos
estarão disponíveis, conforme exibimos na figura seguinte:




FERREIRA, Mário Neto                                                           Página 2
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                       Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino Livre

É fundamental que no momento de instalação do Excel no computador, seja selecionada a
opção completa, que inclua os suplementos. Caso os Suplementos→ Ferramentas de análise
e Solver não estejam disponíveis, torna-se necessário a sua instalação completa.

Caso os suplementos estejam instalados e suas opções de ativação estejam disponibilizadas
através da opção Suplementos, é necessário tornar disponível os suplementos Ferramentas de
análise e Solver, ativando a opção Ferramentas de análise (cuidado, existe outra opção de
suplemento denominada Ferramentas de Análise – VBA) e a opção Solver. Com os
Suplementos Ferramentas de análise e Solver ativados, diversas funções e recursos mais
elaborados passam a ser, também disponibilizados pelo Excel.

Observação:
Suplemento→ Ferramentas de análise: deve ser usado com o objetivo de agilizar as etapas
do desenvolvimento de análises estatísticas ou de engenharia complexas. Fornecidos os dados
e os parâmetros para cada análise; a ferramenta utiliza as funções automatizadas de macro 1
de estatística ou engenharia adequadas e exibe os resultados em uma tabela de saída. Algumas
ferramentas geram gráfico: Histograma, além das tabelas de saída. A lista das ferramentas de
análise disponíveis pode ser vista através da opção Análise de dados no Menu Ferramentas.
Se o comando Análise de dados não estiver no Menu Ferramentas, é necessário executar o
Programa de Instalação para instalar o Suplemento Ferramentas de Análise. Depois de instalar
as Ferramentas de análise, o Suplemento Ferramentas de análise deve ser selecionado no
Gerenciador de Suplementos.

Para inserir uma fórmula que contém uma função basta seguir os seguintes passos:
1- Clique na célula na qual deseja inserir a fórmula;
2- Para iniciar a fórmula com a função, clique em Editar fórmula (=) na barra de fórmulas;
3- Clique na seta abaixo próxima à caixa Funções SOMA;
4- Clique na função que deseja adicionar à fórmula. Se a função não aparecer na lista, clique
em Mais funções para obter uma lista de funções adicionais;
5- Insira os argumentos;
6- Ao concluir a fórmula, pressione ENTER.

Funções financeiras: Outro grupo de funções do Excel facilita as operações básicas da
matemática financeira na planilha. De um modo geral, as funções financeiras do Excel
operam no denominado regime dos juros compostos. Dentre as mais usuais funções
financeiras, destacam-se as apropriadas para o cálculo do valor presente, do valor futuro, da
taxa e do número de períodos.

Veja um dos exemplos que existem no Excel:
Função:
VP→ esta função retorna o valor presente de um investimento, onde os fluxos de caixa são
homogêneos (valores nominais iguais). Seu resultado equivale ao retornado pela função [PV]
das calculadoras financeiras. Sua sintaxe é representada da seguinte forma: VP (TAXA;
NPER; PGTO; VF; TIPO):
TAXA→ taxa de juros por período (equivale à tecla [i] das calculadoras financeiras);
NPER→ número total de períodos de pagamento. Equivale à tecla [n] das calculadoras
financeiras;

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Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado
                            Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino Livre

PGTO→ pagamento feito a cada período e é assumido como homogêneo (iguais, equivale à
tecla [PMT] das calculadoras financeiras);
VF→ valor futuro, ou um saldo de caixa, que você deseja obter depois do último pagamento
(se VF for omitido, será considerado 0 - o valor futuro de determinado empréstimo, por
exemplo, é 0 (zero) - Equivale à tecla [FV] das calculadoras financeiras;
TIPO→ representado pelo número 0 ou 1, indica as datas de vencimento dos pagamentos. Se
for igual a 0 ou omitido, o Excel assume como uma série de pagamentos postecipados (no
final do período). Se for igual a 1, o Excel assume como uma série de pagamentos
antecipados (no início do período). Equivale às funções [g] [BEG] e [g] [END] das
calculadoras financeiras:

    A            B                    C          D                       E                F                  G
    1            VP                   N          I                       PMT              VF                 TIPO
    2            ?                    5          10%                     ----             200                ----
    3            (R$124,18)           = VP (D3;C3;F3)                    ----             ----               ----

A planilha anterior mostra a obtenção do valor presente de uma operação de investimento
com valor futuro igual a R$200,00, prazo igual a 5 períodos e taxa igual a 10% ao período. O
valor foi obtido através do uso da função VP: R$124,18. Note que o Excel, de forma similar
às calculadoras financeiras, também emprega as convenções dos sinais (positivo para
expressar entradas de caixa e negativo para expressar saídas de caixa).

Neste mesmo sentido são as outras funções: VF, NPER, TAXA, PGTO, VPL, TIR, dentre
muitas outras.

Veja algumas opções de cálculo destas variáveis no Excel:

                                                                                    1
PLANILHA - CÁLCULOS DAS VARIÁVEIS DA CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA

Possibilidade 1                  Possibilidade 2                  Possibilidade 3                  Possibilidade 4
Calcular Valor Presente          Calcular Valor Futuro            Calcular o Período               Calcular Taxa de Juros
PV ou VP                         FV ou VF                         N ou NPER                        I ou TAXA

CÁLCULO – FUNÇÕES DO EXCEL

Valor Futuro     -R$ 41.917,80   Valor Presente   -R$ 20.392,30   Valor Futuro     -R$ 22.992,12   Valor Futuro       -R$ 54.537,60


Período          57              Período          60              Valor Presente   R$ 12.419,45    Período            60


Taxa de juros    1,0839%         Taxa de juros    0,7948%         Taxa de juros    1,7250%         Valor Presente     R$ 28.209,89


Valor Presente   R$ 22.673,84    Valor Futuro     R$ 32.790,94    Período          36              Taxa de juros      1,1048%

Prestação                        Prestação                        Prestação                        Prestação
(PMT ou PGTO)    R$    735,40    (PMT ou PGTO)    R$    546,51    (PMT ou PGTO)    R$    638,67    (PMT ou PGTO)      R$      908,96


1
  Nomenclatura de acordo com as funções e as teclas da Calculadora Científica HP 12C, cujos cálculos
foram realizados no Excel.
FERREIRA, Mário Neto                                                                                               Página 4
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                       Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino Livre




Questão 2- Comente as dicas – calculadora HP 12C?
Resposta:
Dicas básicas para uso da HP 12CC




2.1- Trocando ponto e vírgula:
Nos Estados Unidos, o padrão de utilização do ponto e da vírgula nos números é oposto ao
que utilizamos no Brasil. Nos Estados Unidos, os milhares são separados pela vírgula e a
parte fracionária é separada com o ponto. Exemplo: A quantia mil e quinhentos dólares e
setenta centavos é escrita US$1,500.70.

A HP 12C sai da fábrica com esse padrão e mudá-lo para o nosso é bem simples:



Com a calculadora desligada, aperte a tecla          e depois a tecla ponto
(mantendo a tecla ON pressionada). Segure um pouco e solte ambas. Ponto e vírgula são
trocados. Para reverter, faça o mesmo.




Padrão brasileiro



Padrão norte-americano

2.2- Definição do número de casas decimais:
Na Matemática Financeira é normalmente recomendado trabalhar com pelo menos 4 casas
decimais, para que os cálculos, especialmente aqueles que retornam taxas, tenham boa
precisão.


FERREIRA, Mário Neto                                                          Página 5
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Para definir o número de casas decimais na HP 12C, pressione a tecla f e depois o número de
casas decimais desejadas. Exemplo: para trabalhar com 4 casas, pressione f e depois 4.



4 casas decimais



6 casas decimais

2.3- Trabalhando com datas na HP 12C:
A primeira coisa a fazer é definir o formato de data com o qual se deseja trabalhar (configure
a calculadora para trabalhar com 6 casas decimais, se não souber como fazer, veja a dica
anterior).
O formato mais comum no Brasil é dia/mês/ano, mas nos EUA é mais comum mês/dia/ano.
Para trabalhar com a primeira opção, tecle g e D.MY; aparecerá na tela o símbolo D.MY.
Neste formato, a data 15/04/2010 é lançada assim: 15.042010 ENTER.



Configuração da calculadora para o formato dia/mês/ano (D.MY) em destaque a indicação no
visor do formato utilizado




Lançamento da data 15/04/2010 no formato D.MY
Porém, se você quiser trabalhar com o formato norte-americano, tecle g e M.DY. Como esse é
o formato padrão da calculadora, nenhum símbolo aparece na tela. Neste formato, a data
15/04/2010 é lançada assim: 4.152010 ENTER.



Configuração da calculadora para o formato mês/dia/ano (M.DY)




FERREIRA, Mário Neto                                                             Página 6
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Lançamento da data 15/04/2010 no formato M.DY
Quando a calculadora retorna a data requerida, informa também o dia da semana, através de
um código no canto direito da tela, que é de 1 a 7, sendo 1 (segunda-feira), 2 (terça-feira) e
assim por diante, até 7, que representa domingo.
Dois tipos de cálculos com datas podem ser realizados (usaremos nos exemplos o formato
D.MY):
2.4- Partindo de uma data, calcular uma nova data dado um intervalo:
Exemplo: A data é 20/03/2010, se fizermos uma compra para pagar daqui a 90 dias. Qual o
dia do vencimento?
1- Lance a data de partida: 20.032010 ENTER;
2- Lance o intervalo e execute a operação DATE (na mesma tecla do CHS): 90 g DATE.




Isso significa que o vencimento cairá na data 18/06/2010, uma sexta-feira (código 5 no canto
direito da tela).
É possível calcular datas anteriores à data de partida, para isso basta lançar o intervalo com
sinal negativo, usando a função CHS.
Exemplo: Pagarei na data de 10/05/2010 uma conta que tem um prazo de 100 dias. Qual a
data de referência dessa conta?
1- Lance a data de partida: 10.052010 ENTER;
2- Lance o intervalo e execute a operação DATE (na mesma tecla do
CHS): 100 CHS g DATE (a tecla CHS depois do 100 indica para a calculadora que se quer
uma data passada e não futura).




FERREIRA, Mário Neto                                                             Página 7
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Isso significa que a data de referência dessa conta é 30/01/2010, um sábado (código 6 no
canto direito da tela).

2.5- Calcular o intervalo entre duas datas conhecidas:
Exemplo: A data é 10/02/2010, se fizermos uma compra para pagar na data de 05/04/2010.
Qual é o prazo de pagamento?
1- Lance a data de compra: 10.022010 ENTER;
2- Lance a data de pagamento e execute a operação ΔDYS (na mesma tecla do
EEX): 5.042010 g ΔDYS.




Portanto, o prazo de pagamento é de 54 dias.

Exemplo: Uma pessoa nasceu na data de 25/11/1979 e na data de 08/03/2010. Quantos dias
essa pessoa viveu?
1- Lance a data de nascimento: 25.111979 ENTER;
2- Lance a data atual e execute a operação ΔDYS: 8.032010 g ΔDYS.




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Portanto, essa pessoa viveu 11.061 dias.

2.6- As funções percentuais:

1- Valor percentual

Essa função é usada para calcular o percentual sobre um valor. Por exemplo, quanto é 18% de
R$720,00?
Para fazer o cálculo deve-se lançar o valor base, depois digitar o percentual desejado e
pressionar a tecla da função, como mostrado abaixo.




2- Percentual sobre o total

Esta função é como uma função inversa da anterior. Ela calcula o percentual que um valor
representa sobre outro. Por exemplo, se meu salário é R$2.200,00 e gastamos com
alimentação R$820,00 por mês, em média, qual o percentual de gastos com alimentação sobre
o salário?
Para calcular, lançamos o valor total (no caso, o salário), depois digitamos o valor parcial
(gastos com alimentação) e pressionamos a tecla da função, como mostrado abaixo:



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As situações que utilizam essa função são muito comuns, pois muitas vezes temos valores que
são somas de diversos componentes, e pode ser necessário analisar a participação de cada
componente sobre o total, bem com sua evolução ao longo do tempo.
Suponhamos que uma confecção divida seus produtos em 3 grandes linhas (infantil,
masculina e feminina). Vemos abaixo uma tabela que mostra o faturamento de cada linha em
dado ano e a participação de cada linha sobre o faturamento total (são os valores em destaque,
que para serem calculados utilizam a função "percentual sobre o total"). Faça os cálculos na
calculadora usando a função %T para verificar os valores em destaque.




3- Variação percentual

Quando queremos saber a variação percentual entre dois valores, fazemos o seguinte cálculo:




Por exemplo, uma empresa faturou R$ 12.000.000,00 em um ano e R$ 8.500.000,00 no ano
seguinte. Qual foi a variação percentual do faturamento?
De acordo com a fórmula acima, fazemos:




Portanto, o faturamento caiu 29,17% de um ano para outro.



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                       Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino Livre

4- Cálculos básicos de matemática financeira: (as teclas PV, FV, n e i):
Toda operação financeira pode ser classificada, conceitualmente, como uma aplicação
financeira ou como um empréstimo.

Na aplicação financeira a pessoa tem um excedente financeiro (dinheiro sobrando) e aplica
esse excedente no mercado financeiro (poupança, CDB's, ações, fundos de investimento, entre
outras possibilidades). No caso do empréstimo, a pessoa não tem dinheiro suficiente para
satisfazer uma necessidade qualquer e recorre ao mercado financeiro para tomar emprestado o
valor necessário.

Quem faz aplicação financeira é normalmente chamado de poupador ou aplicador de
recursos e quem contrai empréstimos é chamado de tomador de recursos.
A forma mais simples de operação, em ambos os casos, acontece quando o dinheiro é
aplicado ou emprestado de uma só vez e, após um tempo, é resgatado ou devolvido também
de uma só vez depois de certo tempo decorrido. Isso gera um fluxo de caixa muito simples
que pode ser ilustrado da seguinte forma, utilizando os famosos diagramas de fluxo de caixa.




Esquematização das operações financeiras básicas

Para quem não está acostumado ao diagrama, à linha horizontal representa o tempo e as
flechas representam as movimentações de valores, sendo que, pela convenção mais utilizada,
entradas de caixa são representadas por flechas orientadas para cima e saídas de caixa por
flechas para baixo.
Na esquerda vemos a operação de empréstimo, que se inicia com uma entrada de caixa, pois
quem faz um empréstimo recebe o valor para devolvê-lo depois. Portanto, a operação se
encerra com uma saída de caixa. Na operação de aplicação o raciocínio é análogo, porém
inverso.
Em ambos os casos, o valor que inicia a operação é chamado de principal e o valor que
encerra a operação é chamado de montante. Vale lembrar que toda operação financeira tem
uma taxa de juros ou rendimento atrelada.

FERREIRA, Mário Neto                                                          Página 11
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                       Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino Livre

Temos quatro variáveis envolvidas: principal, montante, prazo decorrido e taxa de juros
ou rendimento. Para cada uma delas há uma tecla correspondente na calculadora financeira.




Correspondência entre as variáveis básicas e as teclas da HP 12C

Uma das grandes vantagens das calculadoras financeiras é que dispensam os cálculos através
de fórmulas, pois já vêm programadas para isso. O mais importante é a compreensão dos
conceitos básicos e saber extrair as informações de cada problema ou situação para saber
como inseri-las na calculadora e obter os resultados desejados.

Importante: O tipo de cálculo ilustrado aqui é válido para regime de juros compostos. Veja a
seção seguinte para cálculos em juros simples.
Os problemas mais simples se resumem a encontrar uma dessas variáveis básicas, conhecendo
as outras. Por exemplo, se for aplicado o principal de R$2.750,00 durante 1 ano e meio a uma
taxa de 1,5% ao mês, qual será o montante ao final desse prazo?
Fazendo o fluxo de caixa pelo diagrama:




Conhecemos três variáveis (principal, taxa de juros e prazo) e queremos calcular o montante.
Para obtermos esse valor com a calculadora financeira, basta informar o valor dessas três


FERREIRA, Mário Neto                                                          Página 12
Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado
                       Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino Livre

variáveis e pedir o cálculo da variável que queremos calcular. Segue abaixo a sequência de
comandos para o cálculo na HP 12C.




Na primeira linha de comandos foi feita a limpeza das memórias financeiras, algo que deve
ser sempre feito ao se iniciar a resolução de um problema de cálculo financeiro (não precisa
ser feito se você for fazer uma multiplicação, um cálculo de porcentagem ou com datas). Na
segunda linha informamos a calculadora o valor do principal. Na terceira informamos o valor
da taxa de juros. Na quarta linha informamos o prazo da operação. Finalmente, na quinta linha
é solicitado o cálculo, simplesmente pressionando a tecla que corresponde à variável que
queremos calcular. O visor mostrará o resultado.

É importante notar que a taxa de juros e o prazo da operação devem ter a mesma unidade de
tempo, no caso meses (taxa ao mês e prazo em meses). Vemos que o montante é mostrado
com um sinal negativo no visor. Isso reflete a oposição com relação ao principal, pois se o
principal é uma entrada de caixa, o montante será uma saída de caixa, e vice-versa.

Nesse exemplo, a variável desconhecida era o montante, mas os cálculos podem ser feitos
para qualquer outra, e a lógica é a mesma: lançamos os valores das variáveis conhecidas e
chamamos o cálculo da que desconhecemos, tendo o cuidado de limpar as memórias
financeiras, como realizado, acima.

5- Cálculos em regime de juros simples:
Fazer os cálculos em regime de juros simples é fácil, mas é preciso estar ciente de alguns
detalhes. Primeiro, o prazo (tecla n) deve ser lançado em dias e a taxa (tecla i) deve ser
lançada em termos anuais. Os juros podem ser calculados numa base de 360 dias/ano ou numa
base de 365 dias/ano. É mais comum usar a base 360 dias/ano, que gera um valor de juros
mais alto.
Para ilustrar, suponha que você fará uma aplicação de R$ 3.800,00 por 8 meses a uma taxa de
14% ao ano.
FERREIRA, Mário Neto                                                           Página 13
Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado
                       Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino Livre



1- Pressione f e FIN para zerar as memórias financeiras;
2- Digite o número de dias (no caso, 8 x 30 = 240) e a tecla n;
3- Digite a taxa anual e pressione a tecla i;
4- Digite o principal da operação e a tecla PV;
5- Chame o valor dos juros pressionando f INT.




Vemos que o valor dos juros será de R$354,67. É importante saber que esse cálculo é feito na
base 360 dias/ano e o valor aparece negativo porque o principal foi lançado como positivo. Se
o principal fosse lançado como negativo, os juros apareceriam positivos. Essa oposição de
sinais reflete a oposição entrada/saída de caixa.

O montante é obtido ao pressionarmos a tecla + com o resultado anterior ainda no visor.




Para obter o valor dos juros na base 365 dias/ano, basta pressionar a tecla    .




FERREIRA, Mário Neto                                                           Página 14
Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado
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Esse é o valor dos juros na base 365 dias/ano. Vemos que é menor que o valor na outra base,
como comentado anteriormente. O montante é calculado da seguinte forma:




A primeira tecla chama o principal de volta, a segunda inverte o sinal e a terceira soma aos
juros, para calcular o montante.

6- Cálculo da prestação no Sistema Price:
O sistema da Tabela Price é utilizado em financiamentos pagos com prestações constantes. É
o caso dos financiamentos de compra de automóveis, em que o comprador paga o valor do
veículo em um determinado número de prestações iguais.

Trata-se de um problema de série de pagamentos, calcular o valor da prestação com a HP 12C
é muito simples.

Para ilustrar, suponha que uma pessoa queira comprar um automóvel de R$35.000,00 em 48
prestações iguais, sendo a taxa de juros de 1,5% ao mês. Qual o valor da prestação mensal?

Dados do problema:
    Valor financiado: R$ 35.000,00 (é o PV);
    Número de prestações: 48 (é o n);
    Taxa de juros: 1,5 (é o i)
Para lançarmos os dados na calculadora a ordem não importa:

1- Primeiramente, pressione f e depois FIN para zerar a memória das funções financeiras;

2- Lance os valores (a ordem não importa): 35.000 PV 48 n 1,5 i;

3- Pressione PMT para obter o valor da prestação (o valor será negativo porque o PMT
sempre tem sinal oposto ao do PV).




FERREIRA, Mário Neto                                                          Página 15
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Portanto, o comprador pagará prestação mensal de R$1.028,12 durante 4 anos.

Observação: É importante saber que normalmente as concessionárias e os financiadores de
compras de automóveis anunciam o que eles chamam de taxa líquida. Porém, é o Custo
Efetivo Total (CET) que realmente reflete o custo do financiamento para o comprador. O CET
normalmente não aparece nos anúncios comerciais (anuncia-se a taxa líquida porque é menor
que o CET), mas aparece no contrato por exigência legal. É o CET que deve ser lançado como
taxa da operação na entrada i. É uma prática que faz o comprador pensar que contrata uma
taxa de juros menor do que a realmente aplicada na operação.

7- Séries antecipadas e postecipadas - funções BEG e END:
Séries uniformes são sequências de entradas ou saídas de caixa de valores iguais e espaçados
pelo mesmo intervalo de tempo. Por exemplo, se uma pessoa decide aplicar em previdência
privada R$400,00 por mês de seu salário todo mês, temos um caso de série uniforme. Se
alguém faz uma compra de um televisor em 10 prestações mensais de R$350,00, também
temos outro exemplo de série uniforme. Em ambos os casos temos uma sequência de valores
iguais (saídas de caixa) separados por um mesmo intervalo de tempo (mensal nos 2 casos).

Basicamente, nas séries antecipadas os fluxos ocorrem no início de cada período, enquanto
nas séries postecipadas os fluxos ocorrem no final de cada período. Vamos usar o segundo
exemplo dado acima (compra de televisor) para entender a diferença. Se a primeira parcela é
paga no ato da compra, trata-se de série antecipada, mas se a primeira parcela for paga no mês
seguinte à compra, se trata de série postecipada.

É preciso informar à calculadora se a série com a qual se quer trabalhar é antecipada ou
postecipada, através das funções BEG (para séries antecipadas) e END (para séries
postecipadas).
As funções BEG e END estão nas teclas 7 e 8, respectivamente, devem ser acionadas
pressionando g, pois são funções azuis. Quando a calculadora está configurada para série
antecipada, exibe BEGIN no visor. Quando está configurada para série postecipada, não exibe
nada, como pode ser visto na figura abaixo.



FERREIRA, Mário Neto                                                           Página 16
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Para ver como isso afeta os cálculos, suponhamos que as lojas americanas oferece um
televisor que custa R$3.150,00 à vista para ser pago em 10 prestações, sendo a taxa de juros
de 3% ao mês. Quais seriam os valores das parcelas, para série antecipada ou postecipada?

Caso 1: Série antecipada - primeira prestação no ato da compra (1 + 9):
1- Limpe as memórias financeiras: f FIN;
2- Informe à calculadora que se trata de série antecipada: g BEG;
3- Lance o valor do bem à vista: 3.150 PV;
4- Lance a taxa de juros: 3 i;
5- Lance o número de prestações: 10 n;
6- Chame o valor da parcela pressionando PMT.




Caso 2: Série postecipada - nenhum pagamento no ato da compra (0 + 10):
1- Limpe as memórias financeiras: f FIN;
2- Informe à calculadora que se trata de série postecipada: g END;
3- Lance o valor do bem à vista: 3.150 PV;
4- Lance a taxa de juros: 3 i;
5- Lance o número de prestações: 10 n;
6- Chame o valor da parcela pressionando PMT.




FERREIRA, Mário Neto                                                          Página 17
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O valor da parcela da série postecipada é um pouco maior, já que os pagamentos têm 1 mês de
defasagem em relação à série antecipada. A calculadora devolve os valores das parcelas como
negativos porque o valor à vista (PV) foi lançado como positivo. O PMT e o PV têm sempre
sinais opostos, porque um representa saída de caixa, outro a entrada de caixa ou vice-versa.

8- Cálculo da taxa de juros em vendas parceladas:
Vi em um anúncio de jornal (04/01/2009) de uma dessas grandes lojas varejistas a oferta:
Fogão em 0 + 20 mensais de R$119,00 ou R$1.299,00 à vista. Qual a taxa de juros embutida
nessa oferta?

1- Limpe as memórias financeiras: f FIN;
2- Informe à calculadora que se trata de série postecipada (se já estiver configurada não há
necessidade de fazer este passo): g END;
3- Lance o valor à vista: 1.299 CHS PV;
4- Lance o número de prestações: 20 n;
5- Lance o valor das parcelas: 119 PMT;
6- Pressione i para saber a taxa.




FERREIRA, Mário Neto                                                          Página 18
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Portanto, a taxa de juros cobrada é 6,62% ao mês.

Observações:

a) Os passos 3 a 5 podem ser feitos em qualquer ordem;

b) A tecla CHS inverte o sinal do valor à vista, tornando-o negativo. Isso precisa ser feito
porque o sinal do PV deve ser sempre oposto ao sinal do PMT. O CHS poderia ser aplicado
ao PMT e o resultado não se alteraria.

9- Taxas equivalentes (pela fórmula e com programação):

Calculando pela fórmula:
Quando se conhece a taxa de juros em certo período, mas interessa saber a taxa em período
distinto, usa-se o conceito de taxas equivalentes para resolver o problema.
Por exemplo, se sei que a taxa de juros ao mês é de 1%, qual é a taxa anual equivalente?
Em juros simples, bastaria multiplicar a taxa mensal por 12, já que 1 ano tem 12 meses,
resultando em uma taxa anual de 12%.
Porém, com juros compostos, o cálculo é diferente.

Exemplo: Tenho a taxa de 1% ao mês e quero a taxa anual equivalente.
1- Façamos 1 + taxa que tenho (usa-se a taxa como número absoluto, portanto o valor
percentual é dividido por 100): 1 ENTER 0,01 +;
2- Elevamos esse número a 12: ENTER 12 yx;
3- Tiramos 1 desse resultado: ENTER 1 -.




FERREIRA, Mário Neto                                                          Página 19
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Portanto, a taxa anual equivalente é 0,1268 ou 12,68%.

Exemplo: Caso tenha uma taxa anual de 12% e queira saber a taxa mensal equivalente, a
diferença está no passo 2 (quando se quer passar do maior período para o menor, invertemos o
número antes de elevar):
1- Façamos 1 + taxa que tenho: 1 ENTER 0,12 +;
2- Elevamos esse número ao inverso de 12: ENTER 1 ENTER 12 ÷ yx;
3- Tiramos 1 desse resultado: ENTER 1 -.




Portanto, a taxa mensal equivalente é 0,0095 ou 0,95%.




FERREIRA, Mário Neto                                                          Página 20
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Embora a calculadora não tenha uma função específica para conversão de taxas equivalentes é
possível utilizar sua capacidade de programação e programá-la para fazer esse cálculo. Há
diversas formas de realizar essa programação. Apresentamos abaixo um desses modos:




Sequência para programa de conversão de taxas
Tendo digitado a sequência acima, para usar esse programa você deve lançar os dados da
seguinte forma:
1- Taxa que tenho ENTER;
2- Período relativo à taxa que tenho ENTER;
3- Período relativo à taxa que quero R/S.
A taxa que se quer encontrar é mostrada na tela.

Exemplo 1: Qual é a taxa anual equivalente a 2% ao mês?
A taxa que tenho é 2; o período que tenho é 1 mês; o período que quero é 12 meses:
1- Lançamos a taxa que tenho: 2 ENTER;
2- Lançamos o período que tenho: 1 ENTER;
3- Lançamos o período que quero e executo o programa: 12 R/S.




A taxa equivalente é 26,82% ao ano.

Exemplo 2: Qual é a taxa trimestral equivalente a 2,5% ao bimestre?
A taxa que tenho é 2,5; o período que tenho é 2 meses; o período que quero é 3 meses:
1- Lançamos a taxa que tenho: 2,5 ENTER;
2- Lançamos o período que tenho: 2 ENTER;
3- Lançamos o período que quero e executo o programa: 3 R/S.




FERREIRA, Mário Neto                                                           Página 21
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A taxa equivalente é 3,77% ao trimestre.

Questão 3- Como usar o Excel e a Calculadora HP 12C para fazer cálculos financeiros?
Resposta:
A planilha do Microsoft Excel também pode ser utilizada com relevante ferramenta para
cálculos de matemática financeira, pois possuem em sua longa lista de funções, as funções
financeiras semelhantes à calculadora HP 12C.

Exemplo: Suponhamos que uma pessoa tenha um capital de R$5.000,00, queira fazer uma
aplicação financeira durante o prazo de 3 anos, mas mensalmente deposita R$200,00. A
aplicação escolhida rende-lhe uma taxa de juros de 8% ao ano. Qual o montante desta
aplicação? Utilizando-se o Excel e depois a calculadora HP 12C.

Etapas:
1- Digite os dados em uma planilha do Microsoft Excel. Clique no Assistente de Funções,
escolha Mais Funções, conforme figura abaixo:




2- Selecione a categoria: Financeiras, na lista abaixo, localize a função FV (Valor Futuro ou
Montante) que no Excel corresponde a FV:




FERREIRA, Mário Neto                                                           Página 22
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Observação: O sinal = (igual) deve ser digitado na célula antes de qualquer operação.

3- Informe a taxa de juros (TAXA), período (NPER), depósito mensal (PGTO), capital (VP) e
o tipo (O, se o vencimento for ao final do período; 1, se for ao início do período), conforme
figura abaixo:




4- Depois de confirmar os dados, será mostrado o resultado na célula selecionada, conforme
figura abaixo:




FERREIRA, Mário Neto                                                           Página 23
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Nota: O capital de R$5.000,00 e os depósitos de R$200,00 estão com sinal de (-), isso ocorre
em função que os valores que se paga são negativos e os valores que se recebe são positivos,
no diagrama do fluxo de caixa.
Resultado: R$14.512,34.

A tradicional calculadora HP 12C é a principal ferramenta para cálculos de matemática
financeira, usada no dia a dia daqueles que estão envolvidos com empréstimos,
financiamentos, investimentos e demais operações financeiras.

Apresentamos, de acordo com os comandos da calculadora HP12C, para determinação do PV
(Valor Presente), do FV (Valor Futuro), da i (taxa de juros) e do n (número de períodos).

No exemplo apresentado, temos que calcular o Valor Futuro – FV:
     Digite o Valor Presente – PV (5000);
     Tecle CHS;
Observação: A tecla CHS - abreviatura de change signal - muda o sinal para armazenar o
valor de PV (present value) - dinheiro pago, conforme convenção da HP 12C.
     Tecle PV;
     Digite 200;
     Tecle CHS;
     Tecle PMT;
     Digite a taxa i (em %; exemplo: i = 8%/12, digite 0,67);
     Tecle i;
     Digite o número de períodos n (36);
     Tecle n;
     Tecle FV;
     Resultado: R$14.470,76.
A diferença de R$41,58 refere-se aos parâmetros das operações financeiras no EXCEL e na
HP 12C.

Notas:
a) É sempre conveniente, antes de operar com a HP 12C, teclar f CLX (REG) para limpar os
registradores ou f CLX (FIN) para limpar os registradores financeiros, mas não limpa o visor;
b) Para alterar o número de casas decimais, apresentada pela calculadora HP
12C, estando ligada, tecle f seguido de um número 1, 2, 3, 4,..., etc., para obter no visor 1, 2,


FERREIRA, Mário Neto                                                              Página 24
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3, 4,..., casas decimais. Por exemplo, o comando f 4, colocará a calculadora para exibir no
visor 4 casas decimais;
c) Na calculadora HP 12C, o termo registradores, significa memórias de armazenamento de
dados, enquanto que os termos registradores financeiros referem aos registros especiais, nos
quais são armazenados os valores de n, i, PV, PMT e FV.

4- Explique como calcular montante, juros simples e compostos, taxa de juros?
Resposta:
O estudo de Matemática Financeira concentra-se na análise do crescimento do capital em
função dos juros a ele acrescidos, através de regimes de capitalização. Os regimes de
capitalização normalmente utilizados são simples (ou linear) e composto (ou exponencial).

Capitalização simples é o regime segundo o qual os juros produzidos no final de cada período
têm sempre o capital inicial como base de cálculo. Sua aplicação está mais relacionada com
períodos de capitalização inferiores a um mês (taxa de juros do cheque especial cobrada
dentro de um mês) e a desconto de títulos junto a agentes financeiros (desconto de cheques
pré-datados nos bancos).

Por definição, temos que o Valor Futuro (Montante) é a soma do Valor Presente (Capital,
Principal) com os Juros (Rendimentos).

FV = PV + J→ Fórmula direta para o cálculo do valor futuro ou montante (juros
simples).

Equações auxiliares:

Valor Presente: PV = FV – J.

Juros: J = FV – PV.

Os juros simples caracterizam pelo fato de que os rendimentos (juros) gerados no decurso de
todo período do empréstimo, têm uma única data de computação, que é a data do vencimento.

Assim, os juros simples são aqueles em que os rendimentos (juros) são agregados ao capital
principal na data de vencimento ou resgate do empréstimo.

J = PV × i × n → Fórmula para o cálculo dos juros simples

J→ Juros Simples - Lineares ou Rendimentos a serem pagos;
PV→ Capital emprestado (Valor Presente ou Principal);
i→ Taxa de juros (expressa em razão centesimal: i ÷ 100);
n→ Prazo do empréstimo (número de períodos).

Observação: Nesta fórmula, a taxa e o número de períodos devem referir-se a mesma unidade
de tempo, isto é, se a taxa for anual, o tempo deverá ser expresso em número de anos; se a
taxa for mensal, o tempo deverá ser expresso em número de meses.



FERREIRA, Mário Neto                                                          Página 25
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Fórmulas auxiliares (desenvolvidas a partir das estruturas algébricas das equações 1 e 2
referentes aos juros e ao montante):

                             J
Valor Presente: PV 
                            in

               J
Taxa: i             100
             PV  n

                                  J
Número de períodos: n 
                                PV  i

Montante (Valor Futuro) é a soma do Capital com os Juros. Por definição, sabemos que o
Montante:

FV = PV + J → Fórmula direta para o cálculo do valor futuro simples

FV→ Montante ou Valor Futuro;
PV→ Capital emprestado (Principal);
J→ Juros Simples ou Rendimentos a serem pagos.

Portanto, o Montante nos Juros Simples:

FV = PV × (1 + n × i)→ Fórmula para o cálculo do valor futuro (nos juros simples)

FV→ Montante ou Valor Futuro;
PV→ Capital emprestado (Principal);
n→ Prazo do empréstimo (número de períodos);
i→ Taxa de juros (expressa em razão centesimal: i ÷ 100).

Fórmulas auxiliares em relação ao Valor Futuro (Montante) e Valor Presente (Capital)
(desenvolvidas a partir das estruturas algébricas das equações 1 e 2 referentes aos juros e ao
montante):

             FV  i  n
Juros: J 
             1  i  n
Juros: J  PV 1  i  n  1

                                FV
Valor Presente: PV 
                            1  i  n
          FV
              1
Taxa: i  PV      100
            n


FERREIRA, Mário Neto                                                             Página 26
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                        FV
                            1
Número de períodos: n  PV
                          i

Exemplo: Aplica-se um capital de R$20.000,00 e espera-se resgatá-lo daqui a 3 anos, com
regime de capitalização simples, cuja taxa de juros é de 15% a.a. Calcular o montante?

Fazendo o cálculo dos juros simples e do montante simples, usando o EXCEL:
Dados                Valores/Fórmulas         Memória de cálculo
Valor Presente       R$       20.000,00       ----
Taxa de juros        15%                      ----
Número de períodos 3                          ----
Juros ao período     J = PV * i               R$          3.000,00
Valor Futuro         FV = PV * (1 + i * n)    R$        29.000,002

Fazendo o cálculo dos juros3 e do montante, usando a calculadora HP 12C:
 Entrada               Tecla/Função Saída          Explicação
 f      e f CLX        0,00           ---          Limpam registradores
 20.000                CHS PV         - 20.000,00 Valor do Capital
 15                    I              15           Taxa dos Juros
 1080                  N              3            Número de períodos
 f i (INT)             f i (INT)      9.000,00     Valor dos Juros
 +                     +              29.000,00    Valor Futuro (Montante)

Outra maneira de realizar o cálculo com a HP 12C:
 Entrada                Tecla/Função Saída               Explicação
 f     e f CLX          0,00             ---             Limpam registradores
 20.000                 ENTER            20.000,00       Valor do Capital
 15                     %                3.000,00        Valor dos Juros
 3                      ×                9.000,00        Juros multiplicados pelo prazo
 ----                   +                29.000,00       Valor Futuro (Montante)

Os juros compostos têm seu fundamento no regime de capitalização composta, na qual o
crescimento do capital se dá exponencialmente (por isso, é chamado de cálculo exponencial).

Trata-se de juros compostos toda transação, na qual os juros incidem sempre sobre o capital
inicial e os juros acumulados até a referida data são diferentes em todos os períodos.

Capitalização composta é aquela em que a taxa de juros incide sobre o principal acrescido dos
juros acumulados até o período anterior. Neste regime de capitalização a taxa varia
exponencialmente em função do tempo.


2
  Fórmula no Excel: C6 = B2*(1+B3*B4).
3
  Observação: É necessário realizar a transformação prévia do período n que deverá ser expresso em
dias e da taxa i que deverá ser expressa ao ano.
FERREIRA, Mário Neto                                                               Página 27
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Juros compostos, acumulados ou capitalizados, são os que, no fim de cada período, são
somados ao capital constituído no início, para produzirem novos juros no período seguinte
(subsequente).

A dedução da fórmula dos juros compostos é feita a partir da fórmula do montante composto
que veremos a seguir, pois o juro do período nada mais é que o valor do montante FV menos
o valor do principal PV. Sendo PV o valor do principal, n o período de aplicação, i a taxa
unitária e J o juro do período, temos:

J = PV [(1 + i)n – 1] → Fórmula para cálculo dos juros compostos

Fórmulas auxiliares (desenvolvidas a partir da equação dos juros):

                                                   FV
Valor Presente em função do Montante: PV 
                                                 (1  i) n

                                                   J
Valor Presente em função dos Juros: PV 
                                             (1  i) n  1

                                       FV
Taxa em função do Montante: i     n       1 100
                                       PV

                                                    FV
                                                      log
Número de períodos em função do Montante: n        PV
                                              log 1  i 

O conceito de montante é o mesmo definido para capitalização simples, ou seja, é a soma do
capital aplicado ou devido mais o valor dos juros correspondentes ao prazo da aplicação ou da
divida.

A simbologia é a mesma já conhecida, isto é: FV, o montante; PV, o capital inicial; n, o
período; i, a taxa.

Da capitalização simples, sabemos que o rendimento se dá de forma linear ou proporcional.
A base de cálculo é sempre o capital inicial.

No regime composto de capitalização, dizemos que o rendimento se dá de forma exponencial.

Os juros do período são calculados com base num capital, formando um montante, que será a
nova base de cálculo para o período seguinte.

Chama-se período de capitalização o instante de tempo o qual a aplicação rende juros.

A dedução da fórmula do montante para um único pagamento é pouco mais complexa que
aquela já vista para a capitalização simples.


FERREIRA, Mário Neto                                                           Página 28
Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado
                       Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino Livre

Generalizando, o cálculo do montante a juros compostos será dado pela expressão abaixo, na
qual FV é o montante, PV o capital, i é a taxa de juros e n é a quantidade de capitalizações.

FV = PV (1 + i)n→ Fórmula para cálculo do montante nos juros compostos

Existem outras fórmulas especificas para se calcular o valor do Capital (PV) e o valor da taxa
(i), mas, para evitar um acumulo desnecessário de fórmulas e macetes, foram de propósito
suprimidas as mesmas, visto que elas são derivadas da fórmula principal.

Observamos que ao final do primeiro período de capitalização, os juros compostos e os juros
simples, apresentam valores iguais. Quando tivermos mais de um período de capitalização, o
rendimento dos juros compostos passa a superar os juros simples.

Fazendo o cálculo dos juros e do montante, usando o EXCEL (sem usar nenhum assistente
de função):

Dados                      Valores/Fórmulas        Memória de cálculo
Valor Presente              R$       20.000,00     ----
Taxa de juros              15%                     ----
Número de períodos         3                       ----
Juros ao período           J = PV * i               R$       3.000,00
Valor Futuro               FV = PV * (1 + i) ^ n    R$      30.417,504

As calculadoras financeiras geralmente usadas, enfatizando aqui a HP 12C fazem os cálculos
de qualquer uma das quatro variáveis presentes na fórmula do montante. Apesar de ainda não
termos falado sobre as outras fórmulas, é importante saber que o cálculo pode ser feito apenas
inserindo, na calculadora, três das quatro variáveis dessa fórmula.

Observação: É sempre necessário respeitar a convenção de fluxo de caixa presente nas
calculadoras financeiras, onde o PV e FV devem ser inseridos com sinais opostos, indicando
as saídas e entradas de caixa. Assim, o cálculo do valor futuro ou montante, dessa operação é
feito da seguinte forma:

Fazendo o cálculo dos juros e do montante, usando a calculadora HP 12C:
 Entrada               Tecla/Função Saída          Explicação
 20.000                CHS PV         -20.000,00 Valor do Capital
 15                    i              15           Taxa dos Juros
 3                     n              3            Número de períodos
 ----                  FV             30.417,50    Valor Futuro (Montante)

Calcular juros não é tarefa fácil. Existem diferentes tipos de juros, cálculos e fórmulas
específicas para cada um deles. Uma das coisas mais complicadas quando se compra um



4
    Fórmula no Excel: C6 = B2*(1+B3)^B4.


FERREIRA, Mário Neto                                                            Página 29
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                       Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino Livre

carro ou se ajusta qualquer outra forma de financiamento é saber como calcular a taxa de
juros do financiamento. Calcularemos as taxas de juros:

Exemplo: O valor final de um empréstimo de R$5.000,00 por um período de 7
meses é R$ 5.862,72. Qual a taxa de juros dessa aplicação?
Taxa de juros simples:

   FV             5862,72
       1                 1
   PV             5000,00
i=         100              100  2,46% ao mês.
     n                7

Calculando a taxa de juros simples (HP 12C):
1- Digite f CLX (Limpa a memória);
2- Digite 5000,00 e tecle ENTER;
3- Digite 862,72 e tecle %T (Valor dos juros);
4- Digite 7 e tecle ÷;
5- Resultado: 2,46% ao mês.

Outra maneira de calcular a taxa de juros simples (HP 12C):
1- Digite f CLX (Limpa a memória);
2- Digite 5000,00 e tecle ENTER;
3- Digite 5862,72 e tecle Δ% (Valor do montante);
4- Digite 7 e tecle ÷;
5- Resultado: 2,46% ao mês.

Taxa de juros compostos:

         FV               5862,72
i   n       1  100  7          1  100
         PV               5000,00
i = 2,30% ao mês.

Calculando a taxa de juros compostos (HP 12C):
1- Tecle f CLX (Limpa a memória);
2- Digite 5000,00 e tecle CHS PV (insere o capital, PV com sinal oposto);
3- Digite 7 e tecle n (insere o tempo);
4- Digite 5862,72 e tecle FV (insere o valor do montante, FV);
5- Tecle i (calcula a taxa de juros);
6- Resultado: 2,30% ao mês.

Exemplo: Suponhamos que um carro de R$28.000,00, financiado em 60 meses, com parcelas
fixas de R$735,00. Qual seria a taxa de juros cobrada ao mês por esse financiamento? Para
descobrir a taxa de juros do financiamento, basta usar a função TAXA do Excel na célula
selecionada que mostrará o resultado do cálculo.




FERREIRA, Mário Neto                                                         Página 30
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                       Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino Livre

Fazendo o cálculo dos juros e do montante, usando o EXCEL:
Dados                   Valores/Fórmulas         Memória de cálculo
Valor Presente          -R$      28.000,00       ----
Taxa de juros           ?                        1,63%5
Número de períodos      60                       ----
Juros ao período        ----                     ----
Prestação                R$         735,00       ----

Observe que o Valor Presente está com sinal de negativo, pois esse valor representa no fluxo
de caixa, a saída do dinheiro do caixa da financeira.

É relevante mencionar que o resultado dessa fórmula apresenta uma taxa de juros de 1,63%
ao mês, bem acima das taxas anunciadas frequentemente pelos anúncios das concessionárias.
Se multiplicarmos o valor da prestação pelo número de meses, descobrimos que ao final do
período, o financiamento custou R$44.100,00. Isso representa uma taxa de 57,50% a mais que
o valor do veículo, basta realizar o seguinte cálculo:

i = [(FV – PV) ÷ PV] × 100
i = [(44.100,00 – 28.000,00) ÷ 28.000,00] × 100 = 57,50%.
Se dividirmos essa taxa pelo número de períodos do financiamento: 57,50% ÷ 60 = 0,96% ao
mês.

Outro exemplo semelhante, porém com uma fórmula distinta: O valor financiado de
R$19.500,00 para pagamento em 60 meses com prestações fixas de R$522,16. Qual a taxa de
juros?

Fazendo o cálculo dos juros e do montante, usando o EXCEL:
Dados                    Valores/Fórmulas        Memória de cálculo
Valor Presente           -R$      19.500,00      ----
Taxa de juros            ?                       1,71%6
Número de períodos       60                      ----
Juros ao período         ----                    ----
Prestação                 R$         522,16      ----

Demonstração da aplicação da equação (fórmula):
PV = {[(1 – (1 + i)^(-n)]/i} * PMT
19500 = {[(1 – (1 + i)^(-60)]/i}*522,16
i = 0,0171 × 100 = 1,71% ao mês.




5
    Fórmula no Excel: C3 = TAXA(B4;B6;B2;0;0).
6
    Fórmula no Excel: C3 = TAXA(B4;B6;B2;0;0).

FERREIRA, Mário Neto                                                          Página 31
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                       Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino Livre

5- É possível fazer análise de movimentação monetária com base no fluxo de caixa?
Resposta:
Sim, é possível, tendo em vista que o sistema de cálculo de juros compostos na calculadora
financeira HP12C utiliza o diagrama de fluxo de caixa. De acordo com ARAÚJO7, “A
Matemática Financeira é um ramo da Matemática Aplicada. Mais precisamente, é aquele
ramo da Matemática que estuda o comportamento do dinheiro no tempo”. O diagrama de
fluxo de caixa apresenta a movimentação financeira em determinada direção (entrada/saída ou
positivo/negativo) e tempo. Portanto, o diagrama de fluxo de caixa auxiliará em grande parte
a compreensão visual desta movimentação.

O processo de análise de fluxo de caixa é bastante utilizado para verificação do retorno de
investimentos.

A Matemática Financeira se preocupa com o estudo de várias relações dos movimentos
monetários que se estabelecem em distintos momentos no tempo. Estes movimentos
monetários são identificados temporalmente através de um conjunto de entradas e saídas de
caixa definido com fluxo de caixa. O fluxo de caixa é de grande utilidade para as operações
de Matemática Financeira, permitindo que se visualize no tempo o que ocorre com o Capital -
dinheiro.

Na figura abaixo, pode-se verificar um diagrama simples de fluxo de caixa, com seus
elementos:




Para identificação e melhor visualização dos efeitos financeiros das alternativas de
investimento, isto é, das entradas e saídas de caixa, pode-se utilizar uma representação gráfica
denominada Diagrama dos Fluxos de Caixa. Este diagrama é traçado a partir de um eixo
horizontal que indica a escala dos períodos de tempo. O número de períodos considerado no
diagrama é definido como o horizonte de planejamento correspondente à alternativa
analisada.

Ressaltamos que é muito importante a identificação do ponto de vista que está sendo traçado o
diagrama de fluxo de caixa. Um diagrama sob a ótica de uma instituição financeira que
concede um empréstimo, por exemplo, é diferente do diagrama sob a ótica do indivíduo
beneficiado por tal transação financeira.



7
 ARAÚJO, Carlos Roberto Vieira. Matemática Financeira: uso das minicalculadoras HP 12C e
HP 19BII: mais de 500 exercícios propostos e resolvidos. São Paulo: Atlas, 1992; p.15.
FERREIRA, Mário Neto                                                             Página 32
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                        Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino Livre

 Convencionou-se que os vetores orientados para cima representam os valores positivos de
 caixa, isto é, os benefícios, recebimentos ou receitas. Os vetores orientados para baixo
 indicam os valores negativos, isto é, os custos, desembolsos ou despesas.

 A linha horizontal registra a escala de tempo, ou seja, horizonte financeiro da operação. O
 ponto zero indica o momento inicial e os demais pontos representam os períodos de tempo
 (datas).

 As setas para cima da linha do tempo indicam entradas ou recebimentos de dinheiro e as setas
 para baixo da linha indicam as saídas ou aplicações de dinheiro.

 A representação gráfica do fluxo de caixa é feita de acordo com os dados apresentados em
 cada caso, sendo as setas orientadas em função da interpretação do enunciado do problema, da
 seguinte forma:

 a) Escala horizontal representa tempo, dividido em dias, meses, anos, etc. Os pontos 0, 1, 2,
    3, 4,..., n, substituem as datas de calendário e são estipulados em função da necessidade de
    indicarem as posições relativas entre as diversas datas. Assim, o ponto 0 (zero) representa
    a data inicial (hoje), o ponto 1 (um) indica o final do primeiro período e assim por diante;
 b) Saídas de caixa correspondem aos pagamentos, têm sinais negativos e são representadas
    por setas apontadas para baixo;
 c) Entradas de caixa correspondem aos recebimentos, têm sinais positivos e são
    representadas por setas apontadas para cima.

 Exemplo: Um banco concede um empréstimo de R$40.000,00 a um cliente para pagamento
 em 6 prestações iguais de R$9.000,00. Represente graficamente o fluxo de caixa.

 Do ponto de vista do banco, a representação gráfica do fluxo de caixa é a seguinte:


            9.000       9.000     9.000      9.000      9.000        9.000
  0                                                              
            1           2         3          4           5           6
40.000

 Há uma saída inicial de caixa no valor de R$40.000,00 e a entrada de 6 prestações de
 R$9.000,00 cada uma nos meses seguintes.

 Do ponto de vista do cliente, a orientação das setas é feita no sentido inverso, como segue:


 40.000
             1            2        3          4           5           6
                                                                 
            9.000        9.000    9.000      9.000      9.000       9.000




 FERREIRA, Mário Neto                                                             Página 33
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                       Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino Livre

6- Explique como trabalhar com regimes de capitalização e taxas equivalentes?
Resposta:
Para efetuar cálculos financeiros, é necessário que taxas e prazos estejam em um mesmo
período. Caso isto não ocorra é necessário, antes de elaborar o cálculo, fazer uma equivalência
entre a taxa e o prazo, ambos devem estar em mesmo período, sempre é conveniente
transformar-se o prazo, mantendo-se a taxa.

No caso da equivalência a Juros Simples basta dividir ou multiplicar pelo período que deseja
saber, porém no caso de Juros Compostos não é simples assim.

Para o caso de Juros Compostos, existe uma fórmula matemática muito difundida no mercado
financeiro para encontrar a taxa equivalente desejada para qualquer período.

As taxas equivalentes estão relacionadas ao regime de capitalização exponencial (juros
compostos), as quais aplicadas a um mesmo capital, durante o mesmo período de tempo
produzem o mesmo Valor Futuro (Montante).

Resumindo, duas taxas são equivalentes quando, aplicadas sobre o mesmo capital, durante o
mesmo período produzem o mesmo montante.

Observação: O Excel não possui uma função para calcular a equivalência de taxas a juros
compostos. Sendo assim, temos que editar a fórmula na célula. Caso queira, poderá utilizar a
fórmula da taxa equivalente:

iq = ((1+it)^(q/t) – 1) × 100
iq → Taxa equivalente que quero;
q → Período que quero a taxa de juros compostos;
t → Período que tenho a taxa de juros compostos;
it → Taxa equivalente que tenho.

O conceito matemático da fórmula é o seguinte:
              nq
                      
iq  1  it  nt  1  100
                     
iq→ Taxa que se querer (taxa que desejo encontrar);
it→ Taxa que se tem (taxa da qual desejo calcular)
nq→ Prazo que se querer (prazo da taxa que quero encontrar)
nt→ Prazo que se tem (prazo da taxa que tenho)

Quando se trata do regime de capitalização linear (juros simples) para determinar taxas
equivalentes, basta fazer uma relação entre multiplicação e divisão, conhecida como
proporcionalidade. Assim, uma taxa de 1,35% ao mês é equivalente a 16,20% ao ano e vice-
versa.

No caso dos juros compostos, a solução é mais complexa, haja vista que os juros somam-se ao
capital principal para o cálculo da capitalização do período seguinte. A calculadora HP 12C
facilita bastante o processo de conversão de taxa (mensal em anual, anual em mensal), que é a
determinação de taxas equivalentes.
FERREIRA, Mário Neto                                                            Página 34
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                       Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino Livre

Na HP 12C para resolver um problema de taxa equivalente, basta realizar as seguintes etapas:

1- Qual a taxa anual equivalente a 1,75% ao mês?
 Tecla/Função           Visor           Explicação
 f      e f CLX         0,00            Limpam registradores
 100 CHS PV             -100,00         Regra geral
 1,75 i                 1,75            Taxa mensal de juros
 12 n                   12,00           Período pretendido para a taxa
 FV                     123,14          Valor Futuro
 100 -                  23,14           Taxa anual equivalente

2- Qual a taxa mensal equivalente a 29,10% ao ano?
 Tecla/Função           Visor            Explicação
 f     e f CLX          0,00             Limpam registradores
 100 CHS PV             -100,00          Regra geral
 29,10 i                29,10            Taxa mensal de juros
 12 1/x n               0,08             Período pretendido para a taxa
 FV                     102,43           Valor Futuro
 100 -                  2,43             Taxa mensal equivalente

7- Faça um relato de como trabalhar com juros exatos e comerciais?
Resposta:
JUROS ORDINÁRIOS ou JUROS COMERCIAIS: São aqueles em que se utiliza o ano
comercial para estabelecer homogeneidade entre a taxa e o tempo (prazo). Logo, em juros
ordinários todos os meses têm 30 dias e o ano tem 360 dias.

JUROS EXATOS: São aqueles em que se usa o prazo (n) na quantidade exata de dias,
observando a quantidade de dias que tem cada mês, sendo a taxa expressa ao ano, utiliza-se o
ano civil com 365 dias para estabelecer a homogeneidade entre a taxa e o tempo (prazo).

Observação: Somente usaremos os juros exatos quando expressamente mencionados.

JUROS BANCÁRIOS (REGRA DOS BANQUEIROS): É o cálculo em que, para
estabelecer a homogeneidade, é usado o ano comercial, 360 dias, como nos juros ordinários,
mas o tempo (prazo), número de dias, segue o princípio dos juros exatos, isto é, segue o
calendário do ano civil, com o número exato de dias de cada mês.

Exemplo: Calcular os juros exatos, os juros ordinários e os juros pela regra dos banqueiros de
um capital de R$128.790,00, que foi aplicado durante os meses de julho e agosto de 2012 a
uma taxa de 11,60% ao ano.

Observações: juros comerciais, a taxa de juros corresponde a 0,96667% ao mês e a 0,03222%
ao dia (11,60%/12; 11,60%/360); meses de julho e agosto de 2012, independentemente cada
mês tem 30 dias; juros exatos, a taxa de juros corresponde a 0,96667% ao mês e a 0,03178%
ao dia (11,60%/12; 11,60%/365); meses de julho e agosto, cada um tem 31 dias.

Juros comerciais = PV × i × n → Jc = 128.790,00 × 0,0003222 × 60 → Jc = R$2.489,77.

FERREIRA, Mário Neto                                                            Página 35
Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado
                       Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino Livre

Juros exatos    = PV × i × n → Je = 128.790,00 × 0,0003178 × 62 → Je = R$2.537,63.
Juros bancários = PV × i × n → Jb = 128.790,00 × 0,0003222 × 62 → Jb = R$2.572,76.

O cálculo de taxas equivalentes diárias é muito comum no nosso dia-a-dia. Porém, o cálculo
das taxas equivalentes tem como pressuposto o cálculo dos dias corridos da operação. Essa
conta, por sua vez, pode ser feita de duas maneiras distintas, aplicáveis de acordo com a
operação.

Quando usamos como base o ano civil, com 365 ou 366 dias e meses com números variáveis
de dias, os juros calculados são os juros exatos.

Quando usamos como base o ano comercial de 360 dias e meses com 30 dias, os juros obtidos
são os juros comerciais.

A taxa de juros exatos por dia é calculada dividindo-se a taxa nominal anual dada por 365. A
taxa de juros comerciais por dia é calculada dividindo-se a taxa nominal anual por 360. Para o
cálculo de ambos os juros, simplesmente multiplique cada uma das taxas diárias equivalentes
pelo período de aplicação.

8- Comente como entender os conceitos utilizados pelos bancos para calcular juros de
cheque especial e para concessão de empréstimos?
Resposta:
As modalidades de crédito referentes a cheque especial e empréstimos e/ou financiamentos é
muito usada pelos brasileiros, mas apesar de demonstrar uma facilidade e agilidade na hora de
compras, pode acabar deixando muitas pessoas endividadas, por isso o melhor a fazer é ficar
atento e não se render a todas as eventuais vantagens oferecidas pelos bancos sem fazer os
devidos cálculos no seu orçamento pessoalmente.

Assim, como os cartões de crédito, o cheque especial deve ser usado de maneira totalmente
planejada para evitar problemas futuros com cheques devolvidos e juros que mesmo com a
diminuição das taxas ainda estão bastante altos.

O grande índice de inadimplência nos cheques especiais está relacionado à falta de
conhecimento das pessoas ou em momentos de extrema necessidade, em que acabam pagando
suas contas com cheques, mas não entendem que o dinheiro usado para cobrir a despesa será
descontado do dinheiro em conta na data de vencimento.

O mais importante é entender que o dinheiro do cheque especial não faz parte de seus
rendimentos e será cobrado futuramente.

A cobrança dos juros relacionados ao cheque especial é elevada aqui no Brasil. Por ser um
crédito rotativo atribuído à conta das pessoas, muita gente acaba usando esse dinheiro na hora
do aperto, porém os juros sempre são cobrados quando os rendimentos entram na conta.

A maioria dos bancos estipula um prazo de contrato do dinheiro especial por até 90 dias, esse
prazo pode ser renovado, porém sempre é cobrada uma taxa nas renovações.



FERREIRA, Mário Neto                                                           Página 36
Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado
                        Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino Livre

Para entender melhor, se a pessoa sacar ou utilizar o dinheiro do limite do cheque especial os
juros serão cobrados a cada dia útil, calculados novamente todos os dias usando os valores
atualizados de seu saldo devedor.

O problema é que a pessoa não paga somente os juros, mas também a tarifa de contrato e o
IOF - Imposto sobre Operações Financeiras.

A média dos juros no cheque especial dos bancos atualmente está em 10%, por isso o melhor
a se fazer é não dar trégua e ser muito controlado em suas operações financeiras para garantir
um bom orçamento e não ter maiores problemas.

Modalidade: Pessoa física - Cheque Tipo: Prefixado                 Período:
            especial                                               de 28/11/2012 a 04/12/2012
Taxas efetivas8                                                    Publicado em: 15/12/2012
                                                                    Taxa de juros
Posição Instituição
                                                                    % a.m.           % a.a.
1            BANCO SOFISA                                           1,86             24,75
2            BCO ALFA S A                                           2,64             36,71
3            BANCOOB                                                3,11             44,41
4            BANCO BONSUCESSO S.A.                                  3,28             47,30
5            BCO INDUSTRIAL E COMERCIAL S A                         3,88             57,90
6            CAIXA ECONOMICA FEDERAL                                4,26             64,97
7            BCO CAPITAL S A                                        4,37             67,07
8            BCO INDUSVAL S A                                       4,88             77,14
9            BCO SAFRA S A                                          5,00             79,59
10           BCO DAYCOVAL S.A                                       5,02             80,00
11           BCO DA AMAZONIA S A                                    5,30             85,84
12           BCO DO BRASIL S A                                      5,34             86,69
13           BCO DO EST DO PA S A                                   5,52             90,55
14           BCO LA NACION ARGENTINA                                6,13             104,20
15           BCO DO NORDESTE DO BRASIL S A                          6,24             106,76
16           BCO LUSO BRASILEIRO S A                                6,38             110,05
17           BCO ORIGINAL DO AGRO S/A                               6,43             111,24


8
    Fonte: Banco Central do Brasil – Disponível: www.bcb.gov.br, acesso: 15 dez. 2012.
FERREIRA, Mário Neto                                                                     Página 37
Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado
                       Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino Livre


18         BCO MERCANTIL DO BRASIL S A                         8,09             154,35
19         ITAÚ UNIBANCO                                       8,37             162,37
20         BCO BRADESCO S A                                    8,42             163,82
21         BCO DO EST DE SE S A                                8,49             165,87
22         BCO DO EST DO RS S A                                8,79             174,83
23         BCO BANESTES S A                                    8,92             178,80
24         BCO RENDIMENTO S A                                  9,05             182,82
25         BRB BCO DE BRASILIA S A                             9,48             196,50
26         HSBC BANK BRASIL SA BCO MULTIP                      9,77             206,06
27         BCO SANTANDER (BRASIL) S.A.                         10,09            216,94
28         BCO CITIBANK S A                                    10,83            243,47

Considerações:
1- As taxas efetivas mês resultam da capitalização das taxas efetivas-dia pelo número de dias
úteis existentes no intervalo de 30 dias corridos, excluindo-se o primeiro dia útil e incluindo o
último. Caso a data final seja em dia não útil, será considerado o próximo dia útil
subsequente;

2- Caso alguma instituição não apareça no ranking, ou ela não opera na modalidade ou não
prestou informação para todo o período, estando, neste segundo caso, sujeita às penalidades
previstas na legislação vigente. Verificar a posição individual da instituição.

É relevante ressaltar que cheque especial é um contrato firmado entre o banco e o correntista,
em que uma determinada quantia em dinheiro é disponibilizada na conta corrente para que
seja utilizada e devolvida com acréscimos e outros encargos financeiros. Uma pessoa que
possui conta corrente em banco e se enquadra nos moldes financeiros do cheque especial pode
fazer uso do produto, desde que liberado.

O cheque especial funciona da seguinte forma, atrelado ao seu saldo fica um valor extra, por
exemplo, vamos supor que o saldo da conta corrente de uma pessoa seja de R$2.000,00 e o
limite do cheque especial é de R$3.500,00. Portanto, o saldo disponível deste correntista é de
R$5.500,00. É preciso ter cuidado ao movimentar uma conta corrente com disponibilidade de
cheque especial, pois algumas entidades bancárias fornecem nos extratos o saldo da conta
corrente somado com o valor do cheque especial, constituindo um único saldo.

Diferente dos empréstimos e/ou financiamentos que são cobrados através de prestações, o
valor do cheque especial é cobrado em parcela única na data de vencimento (valor utilizado
mais acréscimos). Por ser um dinheiro disponibilizado automaticamente e sem burocracia, as
pessoas utilizam em razão da facilidade, mas é bom estar atento às taxas efetivas de juros,
alguns bancos abusam na cobrança, chegando a trabalhar com taxas, em média, de 10% ao
mês mais acréscimos.

FERREIRA, Mário Neto                                                              Página 38
Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado
                       Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino Livre



Para ter ideia da cobrança abusiva, basta realizar a comparação da taxa de juros do cheque
especial com a taxa de correção da poupança. Vimos que o cheque especial pode cobrar em
torno de 10% pelo empréstimo, enquanto paga aos poupadores juros em torno de 0,60%9
(raramente atinge-se este percentual). Essa diferença entre o preço de compra (poupança) e o
preço de venda (cheque especial) é chamada de spread10.

Os especialistas em Economia e Matemática Financeira alertam que o cheque especial é o
dinheiro mais caro do mercado financeiro e orienta as pessoas a usarem somente em situações
de extrema urgência. Por isso fique atento ao usar seu cheque especial, procure saber a taxa de
juros e os encargos que incidirão sobre o valor utilizado.

Resumindo, cheque especial é um crédito pré-aprovado que os bancos colocam à disposição
dos clientes, levando em conta o seu cadastro e o relacionamento. Sua disponibilidade é
automática, até o limite estabelecido, sempre que há um débito na conta corrente superior ao
saldo disponível. O limite é recomposto de acordo com cobertura do saldo devedor. O limite é
periodicamente ajustado, em função das necessidades, cadastro e relacionamento.

Características: Na prática é um "saldo extra", que o cliente pode utilizar quando não possuir
saldo disponível na conta corrente para débitos como cheques, DOC, TED, tarifas, os próprios
juros do cheque especial, etc.

A utilização está sujeita ao pagamento de juros proporcionais ao valor utilizado durante o
mês. Os encargos - juros e IOF - são calculados diariamente e cobrados mensalmente. As
condições de utilização - taxas, prazos, valor, garantias, vencimento antecipado, multas,
renovação automática - são estabelecidas em contrato assinado entre o cliente e o banco. O
banco poderá mudar unilateralmente essas condições, mediante aviso ao cliente.

Finalidades: A utilização racional do cheque especial deve restringir-se a necessidades
eventuais e de curtíssimo prazo.

Como funciona: Vejamos uma simulação:

    Limite do Cheque especial (R$)                                2.000,00
    Taxa de juros ao mês                                                        8,00%
    Alíquota mensal de IOF                                          0,125%

    CONTA CORRENTE                                               CHEQUE ESPECIAL

9
  Índices     mensais         da      caderneta       de       poupança           –       Disponível:
http://www.portalbrasil.net/poupanca_mensal.htm - acesso: 15 dez. 2012.
10
  Spread bancário: o risco precificado através da taxa/expectativa de inadimplência, as despesas
estruturais (pessoal, administrativas), os gastos com impostos e o lucro. A taxa de juros pactuada em
uma operação de empréstimo e/ou financiamento é: i = i’ + spread, onde; i é a taxa de juros do
empréstimo e/ou financiamento e i’ é a taxa da captação de recursos. No caso de uma situação-
problema, por exemplo, cujo empréstimo e/ou financiamento contraído a uma taxa de 0,9112% ao
mês, temos: 0,2506% de spread e 0,6606% correspondentes à rentabilidade paga aos depósitos
dos poupadores (excluindo a TR, tanto na i quanto na ‘i’).
FERREIRA, Mário Neto                                                                  Página 39
Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado
                       Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino Livre

                                                              Saldo            Limite
 Referência                   Débito Crédito Saldo            utilizado        disponível
                              R$     R$      R$               (R$)             (R$)
 28-mar     QUINTA                           100,00                            2.000,00
 1-abr      SEGUNDA        50,00             50,00            0,00             2.000,00
 2-abr      TERÇA          60,00             (10,00)          (10,00)          1.990,00
 3-abr      QUARTA         100,00            (110,00)         (110,00)         1.890,00
 4-abr      QUINTA         25,00             (135,00)         (135,00)         1.865,00
 5-abr      SEXTA          250,00            (385,00)         (385,00)         1.615,00
 8-abr      SEGUNDA                 1.000,00 615,00           0,00             2.000,00
 9-abr      TERÇA                            615,00           0,00             2.000,00
 10-abr     QUARTA         380,00            235,00           0,00             2.000,00
 11-abr     QUINTA                           235,00           0,00             2.000,00
 12-abr     SEXTA                            235,00           0,00             2.000,00
 15-abr     SEGUNDA                          235,00           0,00             2.000,00
 16-abr     TERÇA                            235,00           0,00             2.000,00
 17-abr     QUARTA                           235,00           0,00             2.000,00
 18-abr     QUINTA                           235,00           0,00             2.000,00
 19-abr     SEXTA                            235,00           0,00             2.000,00
 22-abr     SEGUNDA        112,00            123,00           0,00             2.000,00
 23-abr     TERÇA                            123,00           0,00             2.000,00
 24-abr     QUARTA                           123,00           0,00             2.000,00
 25-abr     QUINTA         90,00             33,00            0,00             2.000,00
 26-abr     SEXTA                            33,00            0,00             2.000,00
 29-abr     SEGUNDA        600,00            (567,00)         (567,00)         1.433,00
 30-abr     TERÇA                            (567,00)         (567,00)         1.433,00
 Saldo médio do mês no cheque especial                        (80,64)

 Cálculo dos encargos: débito no 1º dia útil do mês seguinte:
 Valor a ser debitado de juros: R$80,64 × 8%                  (6,45)
 Valor a ser debitado de IOF                                  (0,10)

Benefícios: A utilização do cheque especial é conveniente quando o "furo de caixa" estiver
limitado em poucos dias - máximo uma semana. Nestes casos, mesmo sendo a alternativa
mais cara do mercado, pode resultar em juros menores. Há no mercado três tipos de cheque
especial com "vantagens":

1- Carência: se o prazo de utilização for menor ou igual ao de carência, não há juros, apenas
IOF. Nesta modalidade o cliente precisa saber que, se utilização ultrapassar a da carência,
pagará juros sobre o prazo integral, inclusive da carência;
2- Juros decrescentes: quanto maior o prazo de utilização, menor a taxa de juros. O cuidado
aqui, é que apesar de decrescentes, são muito altos, além do custo, cuidar par não ultrapassar
o limite ou descumprir alguma cláusula do contrato, o que anula o benefício;
3- Juros reduzidos: clientes que tem outras operações com o banco - investimentos, seguros,
cartão, etc. O cliente deve solicitar este produto ao seu gerente, pois não é oferecido a todos.



FERREIRA, Mário Neto                                                             Página 40
Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado
                       Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino Livre

Cuidados: Mantenha o saldo de sua conta corrente, rigorosamente em controle; observe os
débitos de tarifas; débitos automáticos; etc. O cheque especial deve ser encarado como a
última alternativa no caso de necessidade de crédito. No caso de estar fazendo uma compra,
pense em alternativas:
    1- Resgate seu investimento e pague à vista;
    2- Questione sobre o pagamento parcelado sem juros, no cartão de crédito ou cheque pré-
       datado;
    3- Questione sobre o financiamento, mesmo com juros;
    4- Adie sua compra.

Importante: Quando estiver pensando em entrar numa dívida, pense também em como sairá
dela. Analise seu orçamento e certifique-se que a dívida cabe nele.

A determinação dos encargos financeiros sobre os valores devedores é geralmente processada
por capitalização simples por meio do denominado “método hamburguês”.

O exemplo ilustrativo a seguir, permite melhor entendimento do funcionamento das contas
garantidas e do “método hamburguês” para cálculo dos juros incidentes sobre os saldos
devedores.

Exemplo: Admita uma conta garantida com limite de R$500.000,00, contratada por 2 meses e
aberta no dia 15/janeiro/2012. Os encargos financeiros fixados para a operação são juros
nominais de 3,9% a.m., debitados ao final de cada mês e uma taxa de abertura de crédito
(TAC) de 2% cobrada no ato e incidente sobre o limite. Sabe-se que no período da operação
foram realizadas as seguintes movimentações na conta garantida:

1º MÊS:
Dia 15 – saque de R$250.000,00;
Dia 20 – saque de R$100.000,00.
2º MÊS:
Dia 01 – saque de R$ 50.000,00;
Dia 10 – depósito de R$40.000,00;
Dia 18 – saque de R$35.000,00;
Dia 22 – saque de R$50.000,00.

1- Construir um quadro com as várias movimentações realizadas nesta conta garantida; 2-
Calcular os juros pelo método hamburguês:

 DATA HISTÓRICO                DÉBITO (D)        SALDO   NÚMERO            Nº DE DIAS ×
                               CRÉDITO (C)       DEVEDOR DE DIAS           SALDO
                                                                           DEVEDOR
 15-01     TAC                  10.000,00 (D)     10.000,00   -------      -------
 15-01     Saque               250.000,00 (D)    260.000,00   5              1.300.000,00
 20-01     Saque               100.000,00 (D)    360.000,00   11             3.960.000,00
 31-01     Juros                 6.838,00 (D)    366.838,00   -------      -------
 31-01     TOTAL – 1º                                         16             5.260.000,00
 01-02     Saque                 50.000,00 (D)   416.838,00   9              3.751.542,00

FERREIRA, Mário Neto                                                         Página 41
Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado
                       Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino Livre

 10-02     Depósito       40.000,00 (D)         376.838,00      8           3.014.704,00
 18-02     Saque          35.000,00 (D)         411.838,00      4           1.647.352,00
 22-02     Saque          50.000,00 (D)         461.838,00      7           3.694.704,00
 29-02     TOTAL – 2º                                           28         12.108.302,00
 29-02     TOTAL BIMESTRE                                       44         17.368.302,00

O cálculo dos juros pelo “método hamburguês” envolve o produto da taxa proporcional diária
(3,9/30 % a.d.) pelo (SD × nº dias). Assim:

Juros 1 = 0,0013 × (1.300.000,00 + 3.960.000,00) = 0,0013 × 5.260.000,00 = R$6.838,00;
Juros 2 = 0,0013 × (3.751.542,00 + 3.014.704,00 + 1.647.352,00 + 3.694.704,00) = 0,0013 ×
12.108.302,00 = R$15.740,80.
Total dos juros = R$6.838 + R$15.740,80 = R$22.578,80.

Exemplo: Admita um cliente que mantenha um cheque especial com limite definido de R$
200.000,00. Ao final do mês de junho, o banco expede um extrato de movimentação do
período conforme ilustrado a seguir. Sabendo-se que esse banco cobra 3,2% a.m., de juros.
Determinar os encargos totais do mês que devem ser debitados na conta do cliente:
 Data       Histórico              Débito (D)                Saldo
                                   Crédito (C)               (D/C)
 01-04      Transporte               36.000,00 (C)             36.000,00 (C)
 03-04      Cheque                   30.000,00 (D)              6.000,00 (C)
 09-04      Cheque                   72.000,00 (D)             66.000,00 (D)
 15-04      Aviso Débito             14.000,00 (D)             80.000,00 (D)
 18-04      Cheque                 100.000,00 (D)            180.000,00 (D)
 24-04      Depósito                 60.000,00 (C)           120.000,00 (D)
 29-04      Cheque                   30.000,00 (D)           150.000,00 (D)
 30-04      Depósito                 70.000,00 (C)             80.000,00 (D)

 Data     Histórico        Débito (D)       Saldo                nº Dias    nº de dias ×
                           Crédito (C)      (D/C)                Devedor    Saldo
                                                                            Devedor
 01-04 Transporte         36.000,00 (C)     36.000,00 (C)        ---        -----
 03-04 Cheque             30.000,00 (D)      6.000,00 (C)        ---        -----
 09-04 Cheque             72.000,00 (D)     66.000,00 (D)        6            396.000,00
 15-04 Aviso Débito       14.000,00 (D)     80.000,00 (D)        3            240.000,00
 18-04 Cheque            100.000,00 (D) 180.000,00 (D)           6           1.080.000,00
 24-04 Depósito           60.000,00 (C) 120.000,00 (D)           2             240.000,00
 29-04 Cheque             30.000,00 (D) 150.000,00 (D)           3             450.000,00
 30-04 Depósito           70.000,00 (C)     80.000,00 (D)        1               70.000,00
 TOTAL                                                           21          2.476.000,00
Juros Totais do Mês: (0,032/30) × 2.476.000,00 = R$ 2.641,07.

CÁLCULO DO CUSTO EFETIVO
Na operação de cheque especial, conforme comentado, é geralmente cobrada uma taxa de
juros, definida em bases mensais e também uma taxa de abertura de crédito (TAC). Esta taxa


FERREIRA, Mário Neto                                                         Página 42
Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado
                       Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino Livre

de crédito, cobrada no momento da liberação dos recursos, eleva o percentual de juros
cobrado.
O critério básico de se apurar o custo efetivo de uma conta garantida (cheque especial) pode
ser expresso no seguinte diagrama de fluxo de caixa mensal:
Limite da conta:
          (-) TAC



                       1        2           3                                 n   (meses)




               Juros        Juros       Juros                            Juros +
                                                                    Limite da conta


O custo efetivo final será, evidentemente, a taxa interna de retorno deste fluxo de caixa.

Exemplo: Uma conta garantida cobra juros de 2,6% a.m., debitados mensalmente e uma TAC
de 1,5%. Determinar o custo efetivo admitindo que a conta garantida tenha sido contratada
por: a) 30 dias; b) 60 dias; c) 90 dias:

a) Para um prazo de 30 dias, tem-se:
Limite da conta: R$100,00
TAC: -R$1,50
Crédito Liberado: R$98,50
Juros: 100 × 2,6% = R$2,60
Limite: R$100,00
Total: R$102,60
                                                    102,60
Custo Efetivo: (Total ÷ Crédito Liberado) → i              1 → i = 0,0416 equivale à taxa de
                                                     98,50
4,16% a.m.

Observação: A comissão de abertura de crédito eleva o custo da conta garantida por 30 dias
de 2,60% para 4,16%.

b) Para um prazo de 60 dias, tem-se:
Limite da conta: R$100,00
TAC: -R$1,50
Crédito Liberado: R$ 98,50 → 2 (meses)
Juros: R$100 × 2,60% = R$2,60
Limite: R$100,00
Total: 102,60


FERREIRA, Mário Neto                                                              Página 43
Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado
                       Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino Livre

Custo Efetivo: Crédito Liberado = [Juros ÷ (1 + i)] + [Total ÷ (1 + i)2] →
         2,60 102,60
98,50          
        1  i  1  i 2
Com a utilização da calculadora HP 12C, temos:
f     e f CLX f2
98,50 CHS g PV (CF0)
2,60 g PMT (CFj)
102,60 g PMT (CFj)
f FV (IRR)
Resultado: i = 3,39% ao mês.

c) Para um prazo de 90 dias, tem-se:
Limite da conta: R$100,00
TAC: -R$1,50
Crédito Liberado: 98,50 → 3 (meses)
Juros: R$100 × 2,60%= R$2,60

Custo Efetivo: Crédito Liberado = (Juros ÷ (1 + i)) + (Total ÷ (1 + i) 2) →
         2,60     2,60 102,60
98,50                   
        1  i  1  i 2 1  i 3
Com a utilização da calculadora HP 12C, temos:
f     e f CLX f2
98,50 CHS g PV (CF0)
2,60 g PMT (CFj)
2,60 g PMT (CFj)
102,60 g PMT (CFj)
f FV (IRR)
Resultado: i = 3,13% ao mês.

Conclusão:
O custo efetivo final se reduz à medida que se eleva o prazo da conta garantida. Este
comportamento é explicado pela maior diluição da TAC cobrada, uma única vez, no ato de
liberação do crédito pelos meses de operação.

Os técnicos e especialistas do Banco Central costumam dizer que a taxa de juros do cheque
especial é “proibitiva”, isto é, deve-se evitar a utilização dessa modalidade de crédito. Por
isso, correntistas endividados com o cheque especial devem trocar a dívida por uma mais
modalidade de crédito que cobre menor taxa de juros, por exemplo, o crédito consignado.

O Professor de Finanças da Faculdade IBMEC, Marcos Aguerri Pimenta explica que os juros
são altos porque o “dinheiro está disponível na conta corrente a qualquer momento, sem a
necessidade de negociar com o gerente no banco”. Continua a explicar, “O cheque especial é
útil apenas para momentos de emergência e, portanto, em casos de curtíssima duração, como
alguns dias”.

FERREIRA, Mário Neto                                                           Página 44
Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado
                       Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino Livre

Porém, os brasileiros costumam utilizar o cheque especial por 22 dias, em média, ao longo do
mês. Pelos cálculos do citado professor, se um correntista usar R$100 de cheque especial
nesse período de 22 dias, irá pagar R$5,82. O Professor destaca, “Isso é um valor
considerável, ainda mais se compararmos à caderneta de poupança, que remunera em torno
disso no período de um ano”. Se em vez de utilizar o cheque especial, o correntista tivesse
R$100 para aplicar na poupança, levaria um ano para ter em torno de R$5,82 de remuneração,
valor pago ao banco pelo empréstimo em apenas 22 dias.

No cálculo do valor do cheque especial, foram considerados a taxa média de juros e o Imposto
sobre Operações de Crédito, Câmbio e Seguros (IOF). De acordo com a Receita Federal, a
alíquota de 0,38% incide sobre cada novo empréstimo. Além dessa alíquota, é cobrado
0,0041% ao dia, incidente sobre o somatório dos saldos devedores diários.

9- Faça um resumo sucinto sobre as utilizações das fórmulas corretas para aplicações de
descontos simples e compostos?
Resposta:
A chamada operação de desconto normalmente é realizada quando se conhece o valor futuro
de um título (valor nominal, valor de face ou valor de resgate) e se quer determinar o seu
valor atual. O desconto deve ser entendido como a diferença entre o valor de resgate de um
título e o seu valor presente na data da operação: D = VF – VP, em que D representa o valor
monetário do desconto, VF o seu valor futuro (FV), valor assumido pelo título na data do seu
vencimento e VP o valor creditado (PV) ou pago ao seu titular. Assim como no caso dos
juros, o valor do desconto também está associado a uma taxa e a determinado período de
tempo.

Embora seja frequente a confusão entre juros e descontos, trata-se de dois critérios distintos,
claramente caracterizados. Assim, enquanto no cálculo dos juros a taxa referente ao período
da operação incide sobre o capital inicial ou valor presente, no desconto à taxa do período
incide sobre o seu montante ou valor futuro.

De maneira análoga aos juros, os descontos são também classificados em simples e composto,
envolvendo cálculos lineares no caso do desconto simples e exponencial no caso do desconto
composto.

O desconto simples é dividido em:

1- Desconto Racional (por dentro).
2- Desconto Comercial (por fora).

1- DESCONTO RACIONAL (por dentro).

Desconto racional simples é aquele aplicado no valor atual do título n períodos antes do
vencimento, isto é, é o mesmo que juro simples. Não será dada muita importância a menos de
comparação, pois raramente tem sido aplicado no Brasil.

Dr = VF – VP→ Fórmula direta para o cálculo do desconto racional



FERREIRA, Mário Neto                                                            Página 45
Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado
                       Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino Livre

Dr→ Desconto Racional;
VF ou FV→ Valor Futuro;
VP ou PV→ Valor Presente.

          VF
VP                → Fórmula para o cálculo do valor presente no desconto racional
       (1  i  n)

VP ou PV→ Valor Presente;
VF ou FV→ Valor Futuro;
i→ Taxa de desconto;
n→ Número de períodos (prazo).

VF  VP  (1  i  n) → Fórmula para o cálculo do valor futuro no desconto racional

VF ou FV→ Valor Futuro;
VP ou PV→ Valor Presente;
i→ Taxa de desconto;
n→ Número de períodos (prazo).

       VF  i  n
Dr                → Fórmula para o cálculo do desconto racional
       (1  i  n)

   VF
       1
i VP     → Fórmula para o cálculo da taxa de desconto racional
     n

    VF
        1
n  VP     → Fórmula para o cálculo do número de períodos no desconto racional
      i

2- DESCONTO COMERCIAL OU BANCÁRIO (por fora)

Desconto comercial simples é aquele em que a taxa de desconto incide sempre sobre o
montante ou valor futuro. É utilizado no Brasil de maneira ampla e generalizado,
principalmente nas chamadas operações de “desconto de duplicatas” realizadas pelos bancos,
sendo, por essa razão, também conhecido por desconto bancário ou comercial. É obtido
multiplicando-se o valor de resgate do título pela taxa de desconto e pelo prazo a decorrer até
o seu vencimento:

Db  VF  d  n → Fórmula para o cálculo do desconto bancário ou comercial

VF ou FV→ Valor Futuro;
d→ Taxa de desconto;
n→ Número de períodos (prazo).



FERREIRA, Mário Neto                                                            Página 46
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  • 1. Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino Livre Questão 1- Como preparar o Excel? Resposta: Primeiro precisa-se instalar todas as funções financeiras do Excel, abrindo-se uma planilha com os seguintes passos: clique no ícone: Menu Iniciar; clique no ícone: Todos os Programas; clique no ícone: Microsoft Office; clique no ícone: Microsoft Excel 2010, assim abrirá uma planilha em branco do Excel. Etapas: Para executar o Excel, tornando apto ao uso, basta selecionar a opção correspondente, depois clicar na opção Iniciar→ Todos os Programas→ Microsoft Office→ Microsoft Excel, conforme apresentado abaixo: Outra opção para executar o Excel pode ser realizada através de um duplo clique sobre ícone de atalho, conforme ilustrado abaixo: Microsoft Excel 2010 A aparência da planilha Excel pode ser constatada na figura seguinte: FERREIRA, Mário Neto Página 1
  • 2. Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino Livre Para podermos operar com todos os recursos disponíveis do Microsoft Excel é fundamental que o usuário confira a instalação dos suplementos: Ferramentas de análise, antes de inserir fórmulas ou aplicarmos os recursos próprios para modelagem financeira. É importante destacar que a verificação da ativação ou não dos suplementos: opção Menu Ferramentas deve ser realizada antes da inserção de fórmulas. Etapas: Ferramentas podem ser instalados ou desinstalados através do Menu Ferramentas→ Suplementos, conforme observamos na figura seguinte: Caso o Excel tenha sido instalado em sua versão completa, diversas opções de Suplementos estarão disponíveis, conforme exibimos na figura seguinte: FERREIRA, Mário Neto Página 2
  • 3. Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino Livre É fundamental que no momento de instalação do Excel no computador, seja selecionada a opção completa, que inclua os suplementos. Caso os Suplementos→ Ferramentas de análise e Solver não estejam disponíveis, torna-se necessário a sua instalação completa. Caso os suplementos estejam instalados e suas opções de ativação estejam disponibilizadas através da opção Suplementos, é necessário tornar disponível os suplementos Ferramentas de análise e Solver, ativando a opção Ferramentas de análise (cuidado, existe outra opção de suplemento denominada Ferramentas de Análise – VBA) e a opção Solver. Com os Suplementos Ferramentas de análise e Solver ativados, diversas funções e recursos mais elaborados passam a ser, também disponibilizados pelo Excel. Observação: Suplemento→ Ferramentas de análise: deve ser usado com o objetivo de agilizar as etapas do desenvolvimento de análises estatísticas ou de engenharia complexas. Fornecidos os dados e os parâmetros para cada análise; a ferramenta utiliza as funções automatizadas de macro 1 de estatística ou engenharia adequadas e exibe os resultados em uma tabela de saída. Algumas ferramentas geram gráfico: Histograma, além das tabelas de saída. A lista das ferramentas de análise disponíveis pode ser vista através da opção Análise de dados no Menu Ferramentas. Se o comando Análise de dados não estiver no Menu Ferramentas, é necessário executar o Programa de Instalação para instalar o Suplemento Ferramentas de Análise. Depois de instalar as Ferramentas de análise, o Suplemento Ferramentas de análise deve ser selecionado no Gerenciador de Suplementos. Para inserir uma fórmula que contém uma função basta seguir os seguintes passos: 1- Clique na célula na qual deseja inserir a fórmula; 2- Para iniciar a fórmula com a função, clique em Editar fórmula (=) na barra de fórmulas; 3- Clique na seta abaixo próxima à caixa Funções SOMA; 4- Clique na função que deseja adicionar à fórmula. Se a função não aparecer na lista, clique em Mais funções para obter uma lista de funções adicionais; 5- Insira os argumentos; 6- Ao concluir a fórmula, pressione ENTER. Funções financeiras: Outro grupo de funções do Excel facilita as operações básicas da matemática financeira na planilha. De um modo geral, as funções financeiras do Excel operam no denominado regime dos juros compostos. Dentre as mais usuais funções financeiras, destacam-se as apropriadas para o cálculo do valor presente, do valor futuro, da taxa e do número de períodos. Veja um dos exemplos que existem no Excel: Função: VP→ esta função retorna o valor presente de um investimento, onde os fluxos de caixa são homogêneos (valores nominais iguais). Seu resultado equivale ao retornado pela função [PV] das calculadoras financeiras. Sua sintaxe é representada da seguinte forma: VP (TAXA; NPER; PGTO; VF; TIPO): TAXA→ taxa de juros por período (equivale à tecla [i] das calculadoras financeiras); NPER→ número total de períodos de pagamento. Equivale à tecla [n] das calculadoras financeiras; FERREIRA, Mário Neto Página 3
  • 4. Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino Livre PGTO→ pagamento feito a cada período e é assumido como homogêneo (iguais, equivale à tecla [PMT] das calculadoras financeiras); VF→ valor futuro, ou um saldo de caixa, que você deseja obter depois do último pagamento (se VF for omitido, será considerado 0 - o valor futuro de determinado empréstimo, por exemplo, é 0 (zero) - Equivale à tecla [FV] das calculadoras financeiras; TIPO→ representado pelo número 0 ou 1, indica as datas de vencimento dos pagamentos. Se for igual a 0 ou omitido, o Excel assume como uma série de pagamentos postecipados (no final do período). Se for igual a 1, o Excel assume como uma série de pagamentos antecipados (no início do período). Equivale às funções [g] [BEG] e [g] [END] das calculadoras financeiras: A B C D E F G 1 VP N I PMT VF TIPO 2 ? 5 10% ---- 200 ---- 3 (R$124,18) = VP (D3;C3;F3) ---- ---- ---- A planilha anterior mostra a obtenção do valor presente de uma operação de investimento com valor futuro igual a R$200,00, prazo igual a 5 períodos e taxa igual a 10% ao período. O valor foi obtido através do uso da função VP: R$124,18. Note que o Excel, de forma similar às calculadoras financeiras, também emprega as convenções dos sinais (positivo para expressar entradas de caixa e negativo para expressar saídas de caixa). Neste mesmo sentido são as outras funções: VF, NPER, TAXA, PGTO, VPL, TIR, dentre muitas outras. Veja algumas opções de cálculo destas variáveis no Excel: 1 PLANILHA - CÁLCULOS DAS VARIÁVEIS DA CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA Possibilidade 1 Possibilidade 2 Possibilidade 3 Possibilidade 4 Calcular Valor Presente Calcular Valor Futuro Calcular o Período Calcular Taxa de Juros PV ou VP FV ou VF N ou NPER I ou TAXA CÁLCULO – FUNÇÕES DO EXCEL Valor Futuro -R$ 41.917,80 Valor Presente -R$ 20.392,30 Valor Futuro -R$ 22.992,12 Valor Futuro -R$ 54.537,60 Período 57 Período 60 Valor Presente R$ 12.419,45 Período 60 Taxa de juros 1,0839% Taxa de juros 0,7948% Taxa de juros 1,7250% Valor Presente R$ 28.209,89 Valor Presente R$ 22.673,84 Valor Futuro R$ 32.790,94 Período 36 Taxa de juros 1,1048% Prestação Prestação Prestação Prestação (PMT ou PGTO) R$ 735,40 (PMT ou PGTO) R$ 546,51 (PMT ou PGTO) R$ 638,67 (PMT ou PGTO) R$ 908,96 1 Nomenclatura de acordo com as funções e as teclas da Calculadora Científica HP 12C, cujos cálculos foram realizados no Excel. FERREIRA, Mário Neto Página 4
  • 5. Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino Livre Questão 2- Comente as dicas – calculadora HP 12C? Resposta: Dicas básicas para uso da HP 12CC 2.1- Trocando ponto e vírgula: Nos Estados Unidos, o padrão de utilização do ponto e da vírgula nos números é oposto ao que utilizamos no Brasil. Nos Estados Unidos, os milhares são separados pela vírgula e a parte fracionária é separada com o ponto. Exemplo: A quantia mil e quinhentos dólares e setenta centavos é escrita US$1,500.70. A HP 12C sai da fábrica com esse padrão e mudá-lo para o nosso é bem simples: Com a calculadora desligada, aperte a tecla e depois a tecla ponto (mantendo a tecla ON pressionada). Segure um pouco e solte ambas. Ponto e vírgula são trocados. Para reverter, faça o mesmo. Padrão brasileiro Padrão norte-americano 2.2- Definição do número de casas decimais: Na Matemática Financeira é normalmente recomendado trabalhar com pelo menos 4 casas decimais, para que os cálculos, especialmente aqueles que retornam taxas, tenham boa precisão. FERREIRA, Mário Neto Página 5
  • 6. Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino Livre Para definir o número de casas decimais na HP 12C, pressione a tecla f e depois o número de casas decimais desejadas. Exemplo: para trabalhar com 4 casas, pressione f e depois 4. 4 casas decimais 6 casas decimais 2.3- Trabalhando com datas na HP 12C: A primeira coisa a fazer é definir o formato de data com o qual se deseja trabalhar (configure a calculadora para trabalhar com 6 casas decimais, se não souber como fazer, veja a dica anterior). O formato mais comum no Brasil é dia/mês/ano, mas nos EUA é mais comum mês/dia/ano. Para trabalhar com a primeira opção, tecle g e D.MY; aparecerá na tela o símbolo D.MY. Neste formato, a data 15/04/2010 é lançada assim: 15.042010 ENTER. Configuração da calculadora para o formato dia/mês/ano (D.MY) em destaque a indicação no visor do formato utilizado Lançamento da data 15/04/2010 no formato D.MY Porém, se você quiser trabalhar com o formato norte-americano, tecle g e M.DY. Como esse é o formato padrão da calculadora, nenhum símbolo aparece na tela. Neste formato, a data 15/04/2010 é lançada assim: 4.152010 ENTER. Configuração da calculadora para o formato mês/dia/ano (M.DY) FERREIRA, Mário Neto Página 6
  • 7. Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino Livre Lançamento da data 15/04/2010 no formato M.DY Quando a calculadora retorna a data requerida, informa também o dia da semana, através de um código no canto direito da tela, que é de 1 a 7, sendo 1 (segunda-feira), 2 (terça-feira) e assim por diante, até 7, que representa domingo. Dois tipos de cálculos com datas podem ser realizados (usaremos nos exemplos o formato D.MY): 2.4- Partindo de uma data, calcular uma nova data dado um intervalo: Exemplo: A data é 20/03/2010, se fizermos uma compra para pagar daqui a 90 dias. Qual o dia do vencimento? 1- Lance a data de partida: 20.032010 ENTER; 2- Lance o intervalo e execute a operação DATE (na mesma tecla do CHS): 90 g DATE. Isso significa que o vencimento cairá na data 18/06/2010, uma sexta-feira (código 5 no canto direito da tela). É possível calcular datas anteriores à data de partida, para isso basta lançar o intervalo com sinal negativo, usando a função CHS. Exemplo: Pagarei na data de 10/05/2010 uma conta que tem um prazo de 100 dias. Qual a data de referência dessa conta? 1- Lance a data de partida: 10.052010 ENTER; 2- Lance o intervalo e execute a operação DATE (na mesma tecla do CHS): 100 CHS g DATE (a tecla CHS depois do 100 indica para a calculadora que se quer uma data passada e não futura). FERREIRA, Mário Neto Página 7
  • 8. Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino Livre Isso significa que a data de referência dessa conta é 30/01/2010, um sábado (código 6 no canto direito da tela). 2.5- Calcular o intervalo entre duas datas conhecidas: Exemplo: A data é 10/02/2010, se fizermos uma compra para pagar na data de 05/04/2010. Qual é o prazo de pagamento? 1- Lance a data de compra: 10.022010 ENTER; 2- Lance a data de pagamento e execute a operação ΔDYS (na mesma tecla do EEX): 5.042010 g ΔDYS. Portanto, o prazo de pagamento é de 54 dias. Exemplo: Uma pessoa nasceu na data de 25/11/1979 e na data de 08/03/2010. Quantos dias essa pessoa viveu? 1- Lance a data de nascimento: 25.111979 ENTER; 2- Lance a data atual e execute a operação ΔDYS: 8.032010 g ΔDYS. FERREIRA, Mário Neto Página 8
  • 9. Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino Livre Portanto, essa pessoa viveu 11.061 dias. 2.6- As funções percentuais: 1- Valor percentual Essa função é usada para calcular o percentual sobre um valor. Por exemplo, quanto é 18% de R$720,00? Para fazer o cálculo deve-se lançar o valor base, depois digitar o percentual desejado e pressionar a tecla da função, como mostrado abaixo. 2- Percentual sobre o total Esta função é como uma função inversa da anterior. Ela calcula o percentual que um valor representa sobre outro. Por exemplo, se meu salário é R$2.200,00 e gastamos com alimentação R$820,00 por mês, em média, qual o percentual de gastos com alimentação sobre o salário? Para calcular, lançamos o valor total (no caso, o salário), depois digitamos o valor parcial (gastos com alimentação) e pressionamos a tecla da função, como mostrado abaixo: FERREIRA, Mário Neto Página 9
  • 10. Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino Livre As situações que utilizam essa função são muito comuns, pois muitas vezes temos valores que são somas de diversos componentes, e pode ser necessário analisar a participação de cada componente sobre o total, bem com sua evolução ao longo do tempo. Suponhamos que uma confecção divida seus produtos em 3 grandes linhas (infantil, masculina e feminina). Vemos abaixo uma tabela que mostra o faturamento de cada linha em dado ano e a participação de cada linha sobre o faturamento total (são os valores em destaque, que para serem calculados utilizam a função "percentual sobre o total"). Faça os cálculos na calculadora usando a função %T para verificar os valores em destaque. 3- Variação percentual Quando queremos saber a variação percentual entre dois valores, fazemos o seguinte cálculo: Por exemplo, uma empresa faturou R$ 12.000.000,00 em um ano e R$ 8.500.000,00 no ano seguinte. Qual foi a variação percentual do faturamento? De acordo com a fórmula acima, fazemos: Portanto, o faturamento caiu 29,17% de um ano para outro. FERREIRA, Mário Neto Página 10
  • 11. Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino Livre 4- Cálculos básicos de matemática financeira: (as teclas PV, FV, n e i): Toda operação financeira pode ser classificada, conceitualmente, como uma aplicação financeira ou como um empréstimo. Na aplicação financeira a pessoa tem um excedente financeiro (dinheiro sobrando) e aplica esse excedente no mercado financeiro (poupança, CDB's, ações, fundos de investimento, entre outras possibilidades). No caso do empréstimo, a pessoa não tem dinheiro suficiente para satisfazer uma necessidade qualquer e recorre ao mercado financeiro para tomar emprestado o valor necessário. Quem faz aplicação financeira é normalmente chamado de poupador ou aplicador de recursos e quem contrai empréstimos é chamado de tomador de recursos. A forma mais simples de operação, em ambos os casos, acontece quando o dinheiro é aplicado ou emprestado de uma só vez e, após um tempo, é resgatado ou devolvido também de uma só vez depois de certo tempo decorrido. Isso gera um fluxo de caixa muito simples que pode ser ilustrado da seguinte forma, utilizando os famosos diagramas de fluxo de caixa. Esquematização das operações financeiras básicas Para quem não está acostumado ao diagrama, à linha horizontal representa o tempo e as flechas representam as movimentações de valores, sendo que, pela convenção mais utilizada, entradas de caixa são representadas por flechas orientadas para cima e saídas de caixa por flechas para baixo. Na esquerda vemos a operação de empréstimo, que se inicia com uma entrada de caixa, pois quem faz um empréstimo recebe o valor para devolvê-lo depois. Portanto, a operação se encerra com uma saída de caixa. Na operação de aplicação o raciocínio é análogo, porém inverso. Em ambos os casos, o valor que inicia a operação é chamado de principal e o valor que encerra a operação é chamado de montante. Vale lembrar que toda operação financeira tem uma taxa de juros ou rendimento atrelada. FERREIRA, Mário Neto Página 11
  • 12. Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino Livre Temos quatro variáveis envolvidas: principal, montante, prazo decorrido e taxa de juros ou rendimento. Para cada uma delas há uma tecla correspondente na calculadora financeira. Correspondência entre as variáveis básicas e as teclas da HP 12C Uma das grandes vantagens das calculadoras financeiras é que dispensam os cálculos através de fórmulas, pois já vêm programadas para isso. O mais importante é a compreensão dos conceitos básicos e saber extrair as informações de cada problema ou situação para saber como inseri-las na calculadora e obter os resultados desejados. Importante: O tipo de cálculo ilustrado aqui é válido para regime de juros compostos. Veja a seção seguinte para cálculos em juros simples. Os problemas mais simples se resumem a encontrar uma dessas variáveis básicas, conhecendo as outras. Por exemplo, se for aplicado o principal de R$2.750,00 durante 1 ano e meio a uma taxa de 1,5% ao mês, qual será o montante ao final desse prazo? Fazendo o fluxo de caixa pelo diagrama: Conhecemos três variáveis (principal, taxa de juros e prazo) e queremos calcular o montante. Para obtermos esse valor com a calculadora financeira, basta informar o valor dessas três FERREIRA, Mário Neto Página 12
  • 13. Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino Livre variáveis e pedir o cálculo da variável que queremos calcular. Segue abaixo a sequência de comandos para o cálculo na HP 12C. Na primeira linha de comandos foi feita a limpeza das memórias financeiras, algo que deve ser sempre feito ao se iniciar a resolução de um problema de cálculo financeiro (não precisa ser feito se você for fazer uma multiplicação, um cálculo de porcentagem ou com datas). Na segunda linha informamos a calculadora o valor do principal. Na terceira informamos o valor da taxa de juros. Na quarta linha informamos o prazo da operação. Finalmente, na quinta linha é solicitado o cálculo, simplesmente pressionando a tecla que corresponde à variável que queremos calcular. O visor mostrará o resultado. É importante notar que a taxa de juros e o prazo da operação devem ter a mesma unidade de tempo, no caso meses (taxa ao mês e prazo em meses). Vemos que o montante é mostrado com um sinal negativo no visor. Isso reflete a oposição com relação ao principal, pois se o principal é uma entrada de caixa, o montante será uma saída de caixa, e vice-versa. Nesse exemplo, a variável desconhecida era o montante, mas os cálculos podem ser feitos para qualquer outra, e a lógica é a mesma: lançamos os valores das variáveis conhecidas e chamamos o cálculo da que desconhecemos, tendo o cuidado de limpar as memórias financeiras, como realizado, acima. 5- Cálculos em regime de juros simples: Fazer os cálculos em regime de juros simples é fácil, mas é preciso estar ciente de alguns detalhes. Primeiro, o prazo (tecla n) deve ser lançado em dias e a taxa (tecla i) deve ser lançada em termos anuais. Os juros podem ser calculados numa base de 360 dias/ano ou numa base de 365 dias/ano. É mais comum usar a base 360 dias/ano, que gera um valor de juros mais alto. Para ilustrar, suponha que você fará uma aplicação de R$ 3.800,00 por 8 meses a uma taxa de 14% ao ano. FERREIRA, Mário Neto Página 13
  • 14. Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino Livre 1- Pressione f e FIN para zerar as memórias financeiras; 2- Digite o número de dias (no caso, 8 x 30 = 240) e a tecla n; 3- Digite a taxa anual e pressione a tecla i; 4- Digite o principal da operação e a tecla PV; 5- Chame o valor dos juros pressionando f INT. Vemos que o valor dos juros será de R$354,67. É importante saber que esse cálculo é feito na base 360 dias/ano e o valor aparece negativo porque o principal foi lançado como positivo. Se o principal fosse lançado como negativo, os juros apareceriam positivos. Essa oposição de sinais reflete a oposição entrada/saída de caixa. O montante é obtido ao pressionarmos a tecla + com o resultado anterior ainda no visor. Para obter o valor dos juros na base 365 dias/ano, basta pressionar a tecla . FERREIRA, Mário Neto Página 14
  • 15. Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino Livre Esse é o valor dos juros na base 365 dias/ano. Vemos que é menor que o valor na outra base, como comentado anteriormente. O montante é calculado da seguinte forma: A primeira tecla chama o principal de volta, a segunda inverte o sinal e a terceira soma aos juros, para calcular o montante. 6- Cálculo da prestação no Sistema Price: O sistema da Tabela Price é utilizado em financiamentos pagos com prestações constantes. É o caso dos financiamentos de compra de automóveis, em que o comprador paga o valor do veículo em um determinado número de prestações iguais. Trata-se de um problema de série de pagamentos, calcular o valor da prestação com a HP 12C é muito simples. Para ilustrar, suponha que uma pessoa queira comprar um automóvel de R$35.000,00 em 48 prestações iguais, sendo a taxa de juros de 1,5% ao mês. Qual o valor da prestação mensal? Dados do problema:  Valor financiado: R$ 35.000,00 (é o PV);  Número de prestações: 48 (é o n);  Taxa de juros: 1,5 (é o i) Para lançarmos os dados na calculadora a ordem não importa: 1- Primeiramente, pressione f e depois FIN para zerar a memória das funções financeiras; 2- Lance os valores (a ordem não importa): 35.000 PV 48 n 1,5 i; 3- Pressione PMT para obter o valor da prestação (o valor será negativo porque o PMT sempre tem sinal oposto ao do PV). FERREIRA, Mário Neto Página 15
  • 16. Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino Livre Portanto, o comprador pagará prestação mensal de R$1.028,12 durante 4 anos. Observação: É importante saber que normalmente as concessionárias e os financiadores de compras de automóveis anunciam o que eles chamam de taxa líquida. Porém, é o Custo Efetivo Total (CET) que realmente reflete o custo do financiamento para o comprador. O CET normalmente não aparece nos anúncios comerciais (anuncia-se a taxa líquida porque é menor que o CET), mas aparece no contrato por exigência legal. É o CET que deve ser lançado como taxa da operação na entrada i. É uma prática que faz o comprador pensar que contrata uma taxa de juros menor do que a realmente aplicada na operação. 7- Séries antecipadas e postecipadas - funções BEG e END: Séries uniformes são sequências de entradas ou saídas de caixa de valores iguais e espaçados pelo mesmo intervalo de tempo. Por exemplo, se uma pessoa decide aplicar em previdência privada R$400,00 por mês de seu salário todo mês, temos um caso de série uniforme. Se alguém faz uma compra de um televisor em 10 prestações mensais de R$350,00, também temos outro exemplo de série uniforme. Em ambos os casos temos uma sequência de valores iguais (saídas de caixa) separados por um mesmo intervalo de tempo (mensal nos 2 casos). Basicamente, nas séries antecipadas os fluxos ocorrem no início de cada período, enquanto nas séries postecipadas os fluxos ocorrem no final de cada período. Vamos usar o segundo exemplo dado acima (compra de televisor) para entender a diferença. Se a primeira parcela é paga no ato da compra, trata-se de série antecipada, mas se a primeira parcela for paga no mês seguinte à compra, se trata de série postecipada. É preciso informar à calculadora se a série com a qual se quer trabalhar é antecipada ou postecipada, através das funções BEG (para séries antecipadas) e END (para séries postecipadas). As funções BEG e END estão nas teclas 7 e 8, respectivamente, devem ser acionadas pressionando g, pois são funções azuis. Quando a calculadora está configurada para série antecipada, exibe BEGIN no visor. Quando está configurada para série postecipada, não exibe nada, como pode ser visto na figura abaixo. FERREIRA, Mário Neto Página 16
  • 17. Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino Livre Para ver como isso afeta os cálculos, suponhamos que as lojas americanas oferece um televisor que custa R$3.150,00 à vista para ser pago em 10 prestações, sendo a taxa de juros de 3% ao mês. Quais seriam os valores das parcelas, para série antecipada ou postecipada? Caso 1: Série antecipada - primeira prestação no ato da compra (1 + 9): 1- Limpe as memórias financeiras: f FIN; 2- Informe à calculadora que se trata de série antecipada: g BEG; 3- Lance o valor do bem à vista: 3.150 PV; 4- Lance a taxa de juros: 3 i; 5- Lance o número de prestações: 10 n; 6- Chame o valor da parcela pressionando PMT. Caso 2: Série postecipada - nenhum pagamento no ato da compra (0 + 10): 1- Limpe as memórias financeiras: f FIN; 2- Informe à calculadora que se trata de série postecipada: g END; 3- Lance o valor do bem à vista: 3.150 PV; 4- Lance a taxa de juros: 3 i; 5- Lance o número de prestações: 10 n; 6- Chame o valor da parcela pressionando PMT. FERREIRA, Mário Neto Página 17
  • 18. Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino Livre O valor da parcela da série postecipada é um pouco maior, já que os pagamentos têm 1 mês de defasagem em relação à série antecipada. A calculadora devolve os valores das parcelas como negativos porque o valor à vista (PV) foi lançado como positivo. O PMT e o PV têm sempre sinais opostos, porque um representa saída de caixa, outro a entrada de caixa ou vice-versa. 8- Cálculo da taxa de juros em vendas parceladas: Vi em um anúncio de jornal (04/01/2009) de uma dessas grandes lojas varejistas a oferta: Fogão em 0 + 20 mensais de R$119,00 ou R$1.299,00 à vista. Qual a taxa de juros embutida nessa oferta? 1- Limpe as memórias financeiras: f FIN; 2- Informe à calculadora que se trata de série postecipada (se já estiver configurada não há necessidade de fazer este passo): g END; 3- Lance o valor à vista: 1.299 CHS PV; 4- Lance o número de prestações: 20 n; 5- Lance o valor das parcelas: 119 PMT; 6- Pressione i para saber a taxa. FERREIRA, Mário Neto Página 18
  • 19. Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino Livre Portanto, a taxa de juros cobrada é 6,62% ao mês. Observações: a) Os passos 3 a 5 podem ser feitos em qualquer ordem; b) A tecla CHS inverte o sinal do valor à vista, tornando-o negativo. Isso precisa ser feito porque o sinal do PV deve ser sempre oposto ao sinal do PMT. O CHS poderia ser aplicado ao PMT e o resultado não se alteraria. 9- Taxas equivalentes (pela fórmula e com programação): Calculando pela fórmula: Quando se conhece a taxa de juros em certo período, mas interessa saber a taxa em período distinto, usa-se o conceito de taxas equivalentes para resolver o problema. Por exemplo, se sei que a taxa de juros ao mês é de 1%, qual é a taxa anual equivalente? Em juros simples, bastaria multiplicar a taxa mensal por 12, já que 1 ano tem 12 meses, resultando em uma taxa anual de 12%. Porém, com juros compostos, o cálculo é diferente. Exemplo: Tenho a taxa de 1% ao mês e quero a taxa anual equivalente. 1- Façamos 1 + taxa que tenho (usa-se a taxa como número absoluto, portanto o valor percentual é dividido por 100): 1 ENTER 0,01 +; 2- Elevamos esse número a 12: ENTER 12 yx; 3- Tiramos 1 desse resultado: ENTER 1 -. FERREIRA, Mário Neto Página 19
  • 20. Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino Livre Portanto, a taxa anual equivalente é 0,1268 ou 12,68%. Exemplo: Caso tenha uma taxa anual de 12% e queira saber a taxa mensal equivalente, a diferença está no passo 2 (quando se quer passar do maior período para o menor, invertemos o número antes de elevar): 1- Façamos 1 + taxa que tenho: 1 ENTER 0,12 +; 2- Elevamos esse número ao inverso de 12: ENTER 1 ENTER 12 ÷ yx; 3- Tiramos 1 desse resultado: ENTER 1 -. Portanto, a taxa mensal equivalente é 0,0095 ou 0,95%. FERREIRA, Mário Neto Página 20
  • 21. Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino Livre Embora a calculadora não tenha uma função específica para conversão de taxas equivalentes é possível utilizar sua capacidade de programação e programá-la para fazer esse cálculo. Há diversas formas de realizar essa programação. Apresentamos abaixo um desses modos: Sequência para programa de conversão de taxas Tendo digitado a sequência acima, para usar esse programa você deve lançar os dados da seguinte forma: 1- Taxa que tenho ENTER; 2- Período relativo à taxa que tenho ENTER; 3- Período relativo à taxa que quero R/S. A taxa que se quer encontrar é mostrada na tela. Exemplo 1: Qual é a taxa anual equivalente a 2% ao mês? A taxa que tenho é 2; o período que tenho é 1 mês; o período que quero é 12 meses: 1- Lançamos a taxa que tenho: 2 ENTER; 2- Lançamos o período que tenho: 1 ENTER; 3- Lançamos o período que quero e executo o programa: 12 R/S. A taxa equivalente é 26,82% ao ano. Exemplo 2: Qual é a taxa trimestral equivalente a 2,5% ao bimestre? A taxa que tenho é 2,5; o período que tenho é 2 meses; o período que quero é 3 meses: 1- Lançamos a taxa que tenho: 2,5 ENTER; 2- Lançamos o período que tenho: 2 ENTER; 3- Lançamos o período que quero e executo o programa: 3 R/S. FERREIRA, Mário Neto Página 21
  • 22. Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino Livre A taxa equivalente é 3,77% ao trimestre. Questão 3- Como usar o Excel e a Calculadora HP 12C para fazer cálculos financeiros? Resposta: A planilha do Microsoft Excel também pode ser utilizada com relevante ferramenta para cálculos de matemática financeira, pois possuem em sua longa lista de funções, as funções financeiras semelhantes à calculadora HP 12C. Exemplo: Suponhamos que uma pessoa tenha um capital de R$5.000,00, queira fazer uma aplicação financeira durante o prazo de 3 anos, mas mensalmente deposita R$200,00. A aplicação escolhida rende-lhe uma taxa de juros de 8% ao ano. Qual o montante desta aplicação? Utilizando-se o Excel e depois a calculadora HP 12C. Etapas: 1- Digite os dados em uma planilha do Microsoft Excel. Clique no Assistente de Funções, escolha Mais Funções, conforme figura abaixo: 2- Selecione a categoria: Financeiras, na lista abaixo, localize a função FV (Valor Futuro ou Montante) que no Excel corresponde a FV: FERREIRA, Mário Neto Página 22
  • 23. Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino Livre Observação: O sinal = (igual) deve ser digitado na célula antes de qualquer operação. 3- Informe a taxa de juros (TAXA), período (NPER), depósito mensal (PGTO), capital (VP) e o tipo (O, se o vencimento for ao final do período; 1, se for ao início do período), conforme figura abaixo: 4- Depois de confirmar os dados, será mostrado o resultado na célula selecionada, conforme figura abaixo: FERREIRA, Mário Neto Página 23
  • 24. Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino Livre Nota: O capital de R$5.000,00 e os depósitos de R$200,00 estão com sinal de (-), isso ocorre em função que os valores que se paga são negativos e os valores que se recebe são positivos, no diagrama do fluxo de caixa. Resultado: R$14.512,34. A tradicional calculadora HP 12C é a principal ferramenta para cálculos de matemática financeira, usada no dia a dia daqueles que estão envolvidos com empréstimos, financiamentos, investimentos e demais operações financeiras. Apresentamos, de acordo com os comandos da calculadora HP12C, para determinação do PV (Valor Presente), do FV (Valor Futuro), da i (taxa de juros) e do n (número de períodos). No exemplo apresentado, temos que calcular o Valor Futuro – FV:  Digite o Valor Presente – PV (5000);  Tecle CHS; Observação: A tecla CHS - abreviatura de change signal - muda o sinal para armazenar o valor de PV (present value) - dinheiro pago, conforme convenção da HP 12C.  Tecle PV;  Digite 200;  Tecle CHS;  Tecle PMT;  Digite a taxa i (em %; exemplo: i = 8%/12, digite 0,67);  Tecle i;  Digite o número de períodos n (36);  Tecle n;  Tecle FV;  Resultado: R$14.470,76. A diferença de R$41,58 refere-se aos parâmetros das operações financeiras no EXCEL e na HP 12C. Notas: a) É sempre conveniente, antes de operar com a HP 12C, teclar f CLX (REG) para limpar os registradores ou f CLX (FIN) para limpar os registradores financeiros, mas não limpa o visor; b) Para alterar o número de casas decimais, apresentada pela calculadora HP 12C, estando ligada, tecle f seguido de um número 1, 2, 3, 4,..., etc., para obter no visor 1, 2, FERREIRA, Mário Neto Página 24
  • 25. Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino Livre 3, 4,..., casas decimais. Por exemplo, o comando f 4, colocará a calculadora para exibir no visor 4 casas decimais; c) Na calculadora HP 12C, o termo registradores, significa memórias de armazenamento de dados, enquanto que os termos registradores financeiros referem aos registros especiais, nos quais são armazenados os valores de n, i, PV, PMT e FV. 4- Explique como calcular montante, juros simples e compostos, taxa de juros? Resposta: O estudo de Matemática Financeira concentra-se na análise do crescimento do capital em função dos juros a ele acrescidos, através de regimes de capitalização. Os regimes de capitalização normalmente utilizados são simples (ou linear) e composto (ou exponencial). Capitalização simples é o regime segundo o qual os juros produzidos no final de cada período têm sempre o capital inicial como base de cálculo. Sua aplicação está mais relacionada com períodos de capitalização inferiores a um mês (taxa de juros do cheque especial cobrada dentro de um mês) e a desconto de títulos junto a agentes financeiros (desconto de cheques pré-datados nos bancos). Por definição, temos que o Valor Futuro (Montante) é a soma do Valor Presente (Capital, Principal) com os Juros (Rendimentos). FV = PV + J→ Fórmula direta para o cálculo do valor futuro ou montante (juros simples). Equações auxiliares: Valor Presente: PV = FV – J. Juros: J = FV – PV. Os juros simples caracterizam pelo fato de que os rendimentos (juros) gerados no decurso de todo período do empréstimo, têm uma única data de computação, que é a data do vencimento. Assim, os juros simples são aqueles em que os rendimentos (juros) são agregados ao capital principal na data de vencimento ou resgate do empréstimo. J = PV × i × n → Fórmula para o cálculo dos juros simples J→ Juros Simples - Lineares ou Rendimentos a serem pagos; PV→ Capital emprestado (Valor Presente ou Principal); i→ Taxa de juros (expressa em razão centesimal: i ÷ 100); n→ Prazo do empréstimo (número de períodos). Observação: Nesta fórmula, a taxa e o número de períodos devem referir-se a mesma unidade de tempo, isto é, se a taxa for anual, o tempo deverá ser expresso em número de anos; se a taxa for mensal, o tempo deverá ser expresso em número de meses. FERREIRA, Mário Neto Página 25
  • 26. Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino Livre Fórmulas auxiliares (desenvolvidas a partir das estruturas algébricas das equações 1 e 2 referentes aos juros e ao montante): J Valor Presente: PV  in J Taxa: i   100 PV  n J Número de períodos: n  PV  i Montante (Valor Futuro) é a soma do Capital com os Juros. Por definição, sabemos que o Montante: FV = PV + J → Fórmula direta para o cálculo do valor futuro simples FV→ Montante ou Valor Futuro; PV→ Capital emprestado (Principal); J→ Juros Simples ou Rendimentos a serem pagos. Portanto, o Montante nos Juros Simples: FV = PV × (1 + n × i)→ Fórmula para o cálculo do valor futuro (nos juros simples) FV→ Montante ou Valor Futuro; PV→ Capital emprestado (Principal); n→ Prazo do empréstimo (número de períodos); i→ Taxa de juros (expressa em razão centesimal: i ÷ 100). Fórmulas auxiliares em relação ao Valor Futuro (Montante) e Valor Presente (Capital) (desenvolvidas a partir das estruturas algébricas das equações 1 e 2 referentes aos juros e ao montante): FV  i  n Juros: J  1  i  n Juros: J  PV 1  i  n  1 FV Valor Presente: PV  1  i  n FV 1 Taxa: i  PV  100 n FERREIRA, Mário Neto Página 26
  • 27. Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino Livre FV 1 Número de períodos: n  PV i Exemplo: Aplica-se um capital de R$20.000,00 e espera-se resgatá-lo daqui a 3 anos, com regime de capitalização simples, cuja taxa de juros é de 15% a.a. Calcular o montante? Fazendo o cálculo dos juros simples e do montante simples, usando o EXCEL: Dados Valores/Fórmulas Memória de cálculo Valor Presente R$ 20.000,00 ---- Taxa de juros 15% ---- Número de períodos 3 ---- Juros ao período J = PV * i R$ 3.000,00 Valor Futuro FV = PV * (1 + i * n) R$ 29.000,002 Fazendo o cálculo dos juros3 e do montante, usando a calculadora HP 12C: Entrada Tecla/Função Saída Explicação f e f CLX 0,00 --- Limpam registradores 20.000 CHS PV - 20.000,00 Valor do Capital 15 I 15 Taxa dos Juros 1080 N 3 Número de períodos f i (INT) f i (INT) 9.000,00 Valor dos Juros + + 29.000,00 Valor Futuro (Montante) Outra maneira de realizar o cálculo com a HP 12C: Entrada Tecla/Função Saída Explicação f e f CLX 0,00 --- Limpam registradores 20.000 ENTER 20.000,00 Valor do Capital 15 % 3.000,00 Valor dos Juros 3 × 9.000,00 Juros multiplicados pelo prazo ---- + 29.000,00 Valor Futuro (Montante) Os juros compostos têm seu fundamento no regime de capitalização composta, na qual o crescimento do capital se dá exponencialmente (por isso, é chamado de cálculo exponencial). Trata-se de juros compostos toda transação, na qual os juros incidem sempre sobre o capital inicial e os juros acumulados até a referida data são diferentes em todos os períodos. Capitalização composta é aquela em que a taxa de juros incide sobre o principal acrescido dos juros acumulados até o período anterior. Neste regime de capitalização a taxa varia exponencialmente em função do tempo. 2 Fórmula no Excel: C6 = B2*(1+B3*B4). 3 Observação: É necessário realizar a transformação prévia do período n que deverá ser expresso em dias e da taxa i que deverá ser expressa ao ano. FERREIRA, Mário Neto Página 27
  • 28. Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino Livre Juros compostos, acumulados ou capitalizados, são os que, no fim de cada período, são somados ao capital constituído no início, para produzirem novos juros no período seguinte (subsequente). A dedução da fórmula dos juros compostos é feita a partir da fórmula do montante composto que veremos a seguir, pois o juro do período nada mais é que o valor do montante FV menos o valor do principal PV. Sendo PV o valor do principal, n o período de aplicação, i a taxa unitária e J o juro do período, temos: J = PV [(1 + i)n – 1] → Fórmula para cálculo dos juros compostos Fórmulas auxiliares (desenvolvidas a partir da equação dos juros): FV Valor Presente em função do Montante: PV  (1  i) n J Valor Presente em função dos Juros: PV  (1  i) n  1 FV Taxa em função do Montante: i  n  1 100 PV FV log Número de períodos em função do Montante: n  PV log 1  i  O conceito de montante é o mesmo definido para capitalização simples, ou seja, é a soma do capital aplicado ou devido mais o valor dos juros correspondentes ao prazo da aplicação ou da divida. A simbologia é a mesma já conhecida, isto é: FV, o montante; PV, o capital inicial; n, o período; i, a taxa. Da capitalização simples, sabemos que o rendimento se dá de forma linear ou proporcional. A base de cálculo é sempre o capital inicial. No regime composto de capitalização, dizemos que o rendimento se dá de forma exponencial. Os juros do período são calculados com base num capital, formando um montante, que será a nova base de cálculo para o período seguinte. Chama-se período de capitalização o instante de tempo o qual a aplicação rende juros. A dedução da fórmula do montante para um único pagamento é pouco mais complexa que aquela já vista para a capitalização simples. FERREIRA, Mário Neto Página 28
  • 29. Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino Livre Generalizando, o cálculo do montante a juros compostos será dado pela expressão abaixo, na qual FV é o montante, PV o capital, i é a taxa de juros e n é a quantidade de capitalizações. FV = PV (1 + i)n→ Fórmula para cálculo do montante nos juros compostos Existem outras fórmulas especificas para se calcular o valor do Capital (PV) e o valor da taxa (i), mas, para evitar um acumulo desnecessário de fórmulas e macetes, foram de propósito suprimidas as mesmas, visto que elas são derivadas da fórmula principal. Observamos que ao final do primeiro período de capitalização, os juros compostos e os juros simples, apresentam valores iguais. Quando tivermos mais de um período de capitalização, o rendimento dos juros compostos passa a superar os juros simples. Fazendo o cálculo dos juros e do montante, usando o EXCEL (sem usar nenhum assistente de função): Dados Valores/Fórmulas Memória de cálculo Valor Presente R$ 20.000,00 ---- Taxa de juros 15% ---- Número de períodos 3 ---- Juros ao período J = PV * i R$ 3.000,00 Valor Futuro FV = PV * (1 + i) ^ n R$ 30.417,504 As calculadoras financeiras geralmente usadas, enfatizando aqui a HP 12C fazem os cálculos de qualquer uma das quatro variáveis presentes na fórmula do montante. Apesar de ainda não termos falado sobre as outras fórmulas, é importante saber que o cálculo pode ser feito apenas inserindo, na calculadora, três das quatro variáveis dessa fórmula. Observação: É sempre necessário respeitar a convenção de fluxo de caixa presente nas calculadoras financeiras, onde o PV e FV devem ser inseridos com sinais opostos, indicando as saídas e entradas de caixa. Assim, o cálculo do valor futuro ou montante, dessa operação é feito da seguinte forma: Fazendo o cálculo dos juros e do montante, usando a calculadora HP 12C: Entrada Tecla/Função Saída Explicação 20.000 CHS PV -20.000,00 Valor do Capital 15 i 15 Taxa dos Juros 3 n 3 Número de períodos ---- FV 30.417,50 Valor Futuro (Montante) Calcular juros não é tarefa fácil. Existem diferentes tipos de juros, cálculos e fórmulas específicas para cada um deles. Uma das coisas mais complicadas quando se compra um 4 Fórmula no Excel: C6 = B2*(1+B3)^B4. FERREIRA, Mário Neto Página 29
  • 30. Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino Livre carro ou se ajusta qualquer outra forma de financiamento é saber como calcular a taxa de juros do financiamento. Calcularemos as taxas de juros: Exemplo: O valor final de um empréstimo de R$5.000,00 por um período de 7 meses é R$ 5.862,72. Qual a taxa de juros dessa aplicação? Taxa de juros simples: FV 5862,72 1 1 PV 5000,00 i=  100   100  2,46% ao mês. n 7 Calculando a taxa de juros simples (HP 12C): 1- Digite f CLX (Limpa a memória); 2- Digite 5000,00 e tecle ENTER; 3- Digite 862,72 e tecle %T (Valor dos juros); 4- Digite 7 e tecle ÷; 5- Resultado: 2,46% ao mês. Outra maneira de calcular a taxa de juros simples (HP 12C): 1- Digite f CLX (Limpa a memória); 2- Digite 5000,00 e tecle ENTER; 3- Digite 5862,72 e tecle Δ% (Valor do montante); 4- Digite 7 e tecle ÷; 5- Resultado: 2,46% ao mês. Taxa de juros compostos: FV 5862,72 i n  1  100  7  1  100 PV 5000,00 i = 2,30% ao mês. Calculando a taxa de juros compostos (HP 12C): 1- Tecle f CLX (Limpa a memória); 2- Digite 5000,00 e tecle CHS PV (insere o capital, PV com sinal oposto); 3- Digite 7 e tecle n (insere o tempo); 4- Digite 5862,72 e tecle FV (insere o valor do montante, FV); 5- Tecle i (calcula a taxa de juros); 6- Resultado: 2,30% ao mês. Exemplo: Suponhamos que um carro de R$28.000,00, financiado em 60 meses, com parcelas fixas de R$735,00. Qual seria a taxa de juros cobrada ao mês por esse financiamento? Para descobrir a taxa de juros do financiamento, basta usar a função TAXA do Excel na célula selecionada que mostrará o resultado do cálculo. FERREIRA, Mário Neto Página 30
  • 31. Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino Livre Fazendo o cálculo dos juros e do montante, usando o EXCEL: Dados Valores/Fórmulas Memória de cálculo Valor Presente -R$ 28.000,00 ---- Taxa de juros ? 1,63%5 Número de períodos 60 ---- Juros ao período ---- ---- Prestação R$ 735,00 ---- Observe que o Valor Presente está com sinal de negativo, pois esse valor representa no fluxo de caixa, a saída do dinheiro do caixa da financeira. É relevante mencionar que o resultado dessa fórmula apresenta uma taxa de juros de 1,63% ao mês, bem acima das taxas anunciadas frequentemente pelos anúncios das concessionárias. Se multiplicarmos o valor da prestação pelo número de meses, descobrimos que ao final do período, o financiamento custou R$44.100,00. Isso representa uma taxa de 57,50% a mais que o valor do veículo, basta realizar o seguinte cálculo: i = [(FV – PV) ÷ PV] × 100 i = [(44.100,00 – 28.000,00) ÷ 28.000,00] × 100 = 57,50%. Se dividirmos essa taxa pelo número de períodos do financiamento: 57,50% ÷ 60 = 0,96% ao mês. Outro exemplo semelhante, porém com uma fórmula distinta: O valor financiado de R$19.500,00 para pagamento em 60 meses com prestações fixas de R$522,16. Qual a taxa de juros? Fazendo o cálculo dos juros e do montante, usando o EXCEL: Dados Valores/Fórmulas Memória de cálculo Valor Presente -R$ 19.500,00 ---- Taxa de juros ? 1,71%6 Número de períodos 60 ---- Juros ao período ---- ---- Prestação R$ 522,16 ---- Demonstração da aplicação da equação (fórmula): PV = {[(1 – (1 + i)^(-n)]/i} * PMT 19500 = {[(1 – (1 + i)^(-60)]/i}*522,16 i = 0,0171 × 100 = 1,71% ao mês. 5 Fórmula no Excel: C3 = TAXA(B4;B6;B2;0;0). 6 Fórmula no Excel: C3 = TAXA(B4;B6;B2;0;0). FERREIRA, Mário Neto Página 31
  • 32. Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino Livre 5- É possível fazer análise de movimentação monetária com base no fluxo de caixa? Resposta: Sim, é possível, tendo em vista que o sistema de cálculo de juros compostos na calculadora financeira HP12C utiliza o diagrama de fluxo de caixa. De acordo com ARAÚJO7, “A Matemática Financeira é um ramo da Matemática Aplicada. Mais precisamente, é aquele ramo da Matemática que estuda o comportamento do dinheiro no tempo”. O diagrama de fluxo de caixa apresenta a movimentação financeira em determinada direção (entrada/saída ou positivo/negativo) e tempo. Portanto, o diagrama de fluxo de caixa auxiliará em grande parte a compreensão visual desta movimentação. O processo de análise de fluxo de caixa é bastante utilizado para verificação do retorno de investimentos. A Matemática Financeira se preocupa com o estudo de várias relações dos movimentos monetários que se estabelecem em distintos momentos no tempo. Estes movimentos monetários são identificados temporalmente através de um conjunto de entradas e saídas de caixa definido com fluxo de caixa. O fluxo de caixa é de grande utilidade para as operações de Matemática Financeira, permitindo que se visualize no tempo o que ocorre com o Capital - dinheiro. Na figura abaixo, pode-se verificar um diagrama simples de fluxo de caixa, com seus elementos: Para identificação e melhor visualização dos efeitos financeiros das alternativas de investimento, isto é, das entradas e saídas de caixa, pode-se utilizar uma representação gráfica denominada Diagrama dos Fluxos de Caixa. Este diagrama é traçado a partir de um eixo horizontal que indica a escala dos períodos de tempo. O número de períodos considerado no diagrama é definido como o horizonte de planejamento correspondente à alternativa analisada. Ressaltamos que é muito importante a identificação do ponto de vista que está sendo traçado o diagrama de fluxo de caixa. Um diagrama sob a ótica de uma instituição financeira que concede um empréstimo, por exemplo, é diferente do diagrama sob a ótica do indivíduo beneficiado por tal transação financeira. 7 ARAÚJO, Carlos Roberto Vieira. Matemática Financeira: uso das minicalculadoras HP 12C e HP 19BII: mais de 500 exercícios propostos e resolvidos. São Paulo: Atlas, 1992; p.15. FERREIRA, Mário Neto Página 32
  • 33. Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino Livre Convencionou-se que os vetores orientados para cima representam os valores positivos de caixa, isto é, os benefícios, recebimentos ou receitas. Os vetores orientados para baixo indicam os valores negativos, isto é, os custos, desembolsos ou despesas. A linha horizontal registra a escala de tempo, ou seja, horizonte financeiro da operação. O ponto zero indica o momento inicial e os demais pontos representam os períodos de tempo (datas). As setas para cima da linha do tempo indicam entradas ou recebimentos de dinheiro e as setas para baixo da linha indicam as saídas ou aplicações de dinheiro. A representação gráfica do fluxo de caixa é feita de acordo com os dados apresentados em cada caso, sendo as setas orientadas em função da interpretação do enunciado do problema, da seguinte forma: a) Escala horizontal representa tempo, dividido em dias, meses, anos, etc. Os pontos 0, 1, 2, 3, 4,..., n, substituem as datas de calendário e são estipulados em função da necessidade de indicarem as posições relativas entre as diversas datas. Assim, o ponto 0 (zero) representa a data inicial (hoje), o ponto 1 (um) indica o final do primeiro período e assim por diante; b) Saídas de caixa correspondem aos pagamentos, têm sinais negativos e são representadas por setas apontadas para baixo; c) Entradas de caixa correspondem aos recebimentos, têm sinais positivos e são representadas por setas apontadas para cima. Exemplo: Um banco concede um empréstimo de R$40.000,00 a um cliente para pagamento em 6 prestações iguais de R$9.000,00. Represente graficamente o fluxo de caixa. Do ponto de vista do banco, a representação gráfica do fluxo de caixa é a seguinte: 9.000 9.000 9.000 9.000 9.000 9.000 0        1 2 3 4 5 6 40.000 Há uma saída inicial de caixa no valor de R$40.000,00 e a entrada de 6 prestações de R$9.000,00 cada uma nos meses seguintes. Do ponto de vista do cliente, a orientação das setas é feita no sentido inverso, como segue: 40.000  1 2 3 4 5 6       9.000 9.000 9.000 9.000 9.000 9.000 FERREIRA, Mário Neto Página 33
  • 34. Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino Livre 6- Explique como trabalhar com regimes de capitalização e taxas equivalentes? Resposta: Para efetuar cálculos financeiros, é necessário que taxas e prazos estejam em um mesmo período. Caso isto não ocorra é necessário, antes de elaborar o cálculo, fazer uma equivalência entre a taxa e o prazo, ambos devem estar em mesmo período, sempre é conveniente transformar-se o prazo, mantendo-se a taxa. No caso da equivalência a Juros Simples basta dividir ou multiplicar pelo período que deseja saber, porém no caso de Juros Compostos não é simples assim. Para o caso de Juros Compostos, existe uma fórmula matemática muito difundida no mercado financeiro para encontrar a taxa equivalente desejada para qualquer período. As taxas equivalentes estão relacionadas ao regime de capitalização exponencial (juros compostos), as quais aplicadas a um mesmo capital, durante o mesmo período de tempo produzem o mesmo Valor Futuro (Montante). Resumindo, duas taxas são equivalentes quando, aplicadas sobre o mesmo capital, durante o mesmo período produzem o mesmo montante. Observação: O Excel não possui uma função para calcular a equivalência de taxas a juros compostos. Sendo assim, temos que editar a fórmula na célula. Caso queira, poderá utilizar a fórmula da taxa equivalente: iq = ((1+it)^(q/t) – 1) × 100 iq → Taxa equivalente que quero; q → Período que quero a taxa de juros compostos; t → Período que tenho a taxa de juros compostos; it → Taxa equivalente que tenho. O conceito matemático da fórmula é o seguinte:  nq  iq  1  it  nt  1  100   iq→ Taxa que se querer (taxa que desejo encontrar); it→ Taxa que se tem (taxa da qual desejo calcular) nq→ Prazo que se querer (prazo da taxa que quero encontrar) nt→ Prazo que se tem (prazo da taxa que tenho) Quando se trata do regime de capitalização linear (juros simples) para determinar taxas equivalentes, basta fazer uma relação entre multiplicação e divisão, conhecida como proporcionalidade. Assim, uma taxa de 1,35% ao mês é equivalente a 16,20% ao ano e vice- versa. No caso dos juros compostos, a solução é mais complexa, haja vista que os juros somam-se ao capital principal para o cálculo da capitalização do período seguinte. A calculadora HP 12C facilita bastante o processo de conversão de taxa (mensal em anual, anual em mensal), que é a determinação de taxas equivalentes. FERREIRA, Mário Neto Página 34
  • 35. Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino Livre Na HP 12C para resolver um problema de taxa equivalente, basta realizar as seguintes etapas: 1- Qual a taxa anual equivalente a 1,75% ao mês? Tecla/Função Visor Explicação f e f CLX 0,00 Limpam registradores 100 CHS PV -100,00 Regra geral 1,75 i 1,75 Taxa mensal de juros 12 n 12,00 Período pretendido para a taxa FV 123,14 Valor Futuro 100 - 23,14 Taxa anual equivalente 2- Qual a taxa mensal equivalente a 29,10% ao ano? Tecla/Função Visor Explicação f e f CLX 0,00 Limpam registradores 100 CHS PV -100,00 Regra geral 29,10 i 29,10 Taxa mensal de juros 12 1/x n 0,08 Período pretendido para a taxa FV 102,43 Valor Futuro 100 - 2,43 Taxa mensal equivalente 7- Faça um relato de como trabalhar com juros exatos e comerciais? Resposta: JUROS ORDINÁRIOS ou JUROS COMERCIAIS: São aqueles em que se utiliza o ano comercial para estabelecer homogeneidade entre a taxa e o tempo (prazo). Logo, em juros ordinários todos os meses têm 30 dias e o ano tem 360 dias. JUROS EXATOS: São aqueles em que se usa o prazo (n) na quantidade exata de dias, observando a quantidade de dias que tem cada mês, sendo a taxa expressa ao ano, utiliza-se o ano civil com 365 dias para estabelecer a homogeneidade entre a taxa e o tempo (prazo). Observação: Somente usaremos os juros exatos quando expressamente mencionados. JUROS BANCÁRIOS (REGRA DOS BANQUEIROS): É o cálculo em que, para estabelecer a homogeneidade, é usado o ano comercial, 360 dias, como nos juros ordinários, mas o tempo (prazo), número de dias, segue o princípio dos juros exatos, isto é, segue o calendário do ano civil, com o número exato de dias de cada mês. Exemplo: Calcular os juros exatos, os juros ordinários e os juros pela regra dos banqueiros de um capital de R$128.790,00, que foi aplicado durante os meses de julho e agosto de 2012 a uma taxa de 11,60% ao ano. Observações: juros comerciais, a taxa de juros corresponde a 0,96667% ao mês e a 0,03222% ao dia (11,60%/12; 11,60%/360); meses de julho e agosto de 2012, independentemente cada mês tem 30 dias; juros exatos, a taxa de juros corresponde a 0,96667% ao mês e a 0,03178% ao dia (11,60%/12; 11,60%/365); meses de julho e agosto, cada um tem 31 dias. Juros comerciais = PV × i × n → Jc = 128.790,00 × 0,0003222 × 60 → Jc = R$2.489,77. FERREIRA, Mário Neto Página 35
  • 36. Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino Livre Juros exatos = PV × i × n → Je = 128.790,00 × 0,0003178 × 62 → Je = R$2.537,63. Juros bancários = PV × i × n → Jb = 128.790,00 × 0,0003222 × 62 → Jb = R$2.572,76. O cálculo de taxas equivalentes diárias é muito comum no nosso dia-a-dia. Porém, o cálculo das taxas equivalentes tem como pressuposto o cálculo dos dias corridos da operação. Essa conta, por sua vez, pode ser feita de duas maneiras distintas, aplicáveis de acordo com a operação. Quando usamos como base o ano civil, com 365 ou 366 dias e meses com números variáveis de dias, os juros calculados são os juros exatos. Quando usamos como base o ano comercial de 360 dias e meses com 30 dias, os juros obtidos são os juros comerciais. A taxa de juros exatos por dia é calculada dividindo-se a taxa nominal anual dada por 365. A taxa de juros comerciais por dia é calculada dividindo-se a taxa nominal anual por 360. Para o cálculo de ambos os juros, simplesmente multiplique cada uma das taxas diárias equivalentes pelo período de aplicação. 8- Comente como entender os conceitos utilizados pelos bancos para calcular juros de cheque especial e para concessão de empréstimos? Resposta: As modalidades de crédito referentes a cheque especial e empréstimos e/ou financiamentos é muito usada pelos brasileiros, mas apesar de demonstrar uma facilidade e agilidade na hora de compras, pode acabar deixando muitas pessoas endividadas, por isso o melhor a fazer é ficar atento e não se render a todas as eventuais vantagens oferecidas pelos bancos sem fazer os devidos cálculos no seu orçamento pessoalmente. Assim, como os cartões de crédito, o cheque especial deve ser usado de maneira totalmente planejada para evitar problemas futuros com cheques devolvidos e juros que mesmo com a diminuição das taxas ainda estão bastante altos. O grande índice de inadimplência nos cheques especiais está relacionado à falta de conhecimento das pessoas ou em momentos de extrema necessidade, em que acabam pagando suas contas com cheques, mas não entendem que o dinheiro usado para cobrir a despesa será descontado do dinheiro em conta na data de vencimento. O mais importante é entender que o dinheiro do cheque especial não faz parte de seus rendimentos e será cobrado futuramente. A cobrança dos juros relacionados ao cheque especial é elevada aqui no Brasil. Por ser um crédito rotativo atribuído à conta das pessoas, muita gente acaba usando esse dinheiro na hora do aperto, porém os juros sempre são cobrados quando os rendimentos entram na conta. A maioria dos bancos estipula um prazo de contrato do dinheiro especial por até 90 dias, esse prazo pode ser renovado, porém sempre é cobrada uma taxa nas renovações. FERREIRA, Mário Neto Página 36
  • 37. Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino Livre Para entender melhor, se a pessoa sacar ou utilizar o dinheiro do limite do cheque especial os juros serão cobrados a cada dia útil, calculados novamente todos os dias usando os valores atualizados de seu saldo devedor. O problema é que a pessoa não paga somente os juros, mas também a tarifa de contrato e o IOF - Imposto sobre Operações Financeiras. A média dos juros no cheque especial dos bancos atualmente está em 10%, por isso o melhor a se fazer é não dar trégua e ser muito controlado em suas operações financeiras para garantir um bom orçamento e não ter maiores problemas. Modalidade: Pessoa física - Cheque Tipo: Prefixado Período: especial de 28/11/2012 a 04/12/2012 Taxas efetivas8 Publicado em: 15/12/2012 Taxa de juros Posição Instituição % a.m. % a.a. 1 BANCO SOFISA 1,86 24,75 2 BCO ALFA S A 2,64 36,71 3 BANCOOB 3,11 44,41 4 BANCO BONSUCESSO S.A. 3,28 47,30 5 BCO INDUSTRIAL E COMERCIAL S A 3,88 57,90 6 CAIXA ECONOMICA FEDERAL 4,26 64,97 7 BCO CAPITAL S A 4,37 67,07 8 BCO INDUSVAL S A 4,88 77,14 9 BCO SAFRA S A 5,00 79,59 10 BCO DAYCOVAL S.A 5,02 80,00 11 BCO DA AMAZONIA S A 5,30 85,84 12 BCO DO BRASIL S A 5,34 86,69 13 BCO DO EST DO PA S A 5,52 90,55 14 BCO LA NACION ARGENTINA 6,13 104,20 15 BCO DO NORDESTE DO BRASIL S A 6,24 106,76 16 BCO LUSO BRASILEIRO S A 6,38 110,05 17 BCO ORIGINAL DO AGRO S/A 6,43 111,24 8 Fonte: Banco Central do Brasil – Disponível: www.bcb.gov.br, acesso: 15 dez. 2012. FERREIRA, Mário Neto Página 37
  • 38. Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino Livre 18 BCO MERCANTIL DO BRASIL S A 8,09 154,35 19 ITAÚ UNIBANCO 8,37 162,37 20 BCO BRADESCO S A 8,42 163,82 21 BCO DO EST DE SE S A 8,49 165,87 22 BCO DO EST DO RS S A 8,79 174,83 23 BCO BANESTES S A 8,92 178,80 24 BCO RENDIMENTO S A 9,05 182,82 25 BRB BCO DE BRASILIA S A 9,48 196,50 26 HSBC BANK BRASIL SA BCO MULTIP 9,77 206,06 27 BCO SANTANDER (BRASIL) S.A. 10,09 216,94 28 BCO CITIBANK S A 10,83 243,47 Considerações: 1- As taxas efetivas mês resultam da capitalização das taxas efetivas-dia pelo número de dias úteis existentes no intervalo de 30 dias corridos, excluindo-se o primeiro dia útil e incluindo o último. Caso a data final seja em dia não útil, será considerado o próximo dia útil subsequente; 2- Caso alguma instituição não apareça no ranking, ou ela não opera na modalidade ou não prestou informação para todo o período, estando, neste segundo caso, sujeita às penalidades previstas na legislação vigente. Verificar a posição individual da instituição. É relevante ressaltar que cheque especial é um contrato firmado entre o banco e o correntista, em que uma determinada quantia em dinheiro é disponibilizada na conta corrente para que seja utilizada e devolvida com acréscimos e outros encargos financeiros. Uma pessoa que possui conta corrente em banco e se enquadra nos moldes financeiros do cheque especial pode fazer uso do produto, desde que liberado. O cheque especial funciona da seguinte forma, atrelado ao seu saldo fica um valor extra, por exemplo, vamos supor que o saldo da conta corrente de uma pessoa seja de R$2.000,00 e o limite do cheque especial é de R$3.500,00. Portanto, o saldo disponível deste correntista é de R$5.500,00. É preciso ter cuidado ao movimentar uma conta corrente com disponibilidade de cheque especial, pois algumas entidades bancárias fornecem nos extratos o saldo da conta corrente somado com o valor do cheque especial, constituindo um único saldo. Diferente dos empréstimos e/ou financiamentos que são cobrados através de prestações, o valor do cheque especial é cobrado em parcela única na data de vencimento (valor utilizado mais acréscimos). Por ser um dinheiro disponibilizado automaticamente e sem burocracia, as pessoas utilizam em razão da facilidade, mas é bom estar atento às taxas efetivas de juros, alguns bancos abusam na cobrança, chegando a trabalhar com taxas, em média, de 10% ao mês mais acréscimos. FERREIRA, Mário Neto Página 38
  • 39. Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino Livre Para ter ideia da cobrança abusiva, basta realizar a comparação da taxa de juros do cheque especial com a taxa de correção da poupança. Vimos que o cheque especial pode cobrar em torno de 10% pelo empréstimo, enquanto paga aos poupadores juros em torno de 0,60%9 (raramente atinge-se este percentual). Essa diferença entre o preço de compra (poupança) e o preço de venda (cheque especial) é chamada de spread10. Os especialistas em Economia e Matemática Financeira alertam que o cheque especial é o dinheiro mais caro do mercado financeiro e orienta as pessoas a usarem somente em situações de extrema urgência. Por isso fique atento ao usar seu cheque especial, procure saber a taxa de juros e os encargos que incidirão sobre o valor utilizado. Resumindo, cheque especial é um crédito pré-aprovado que os bancos colocam à disposição dos clientes, levando em conta o seu cadastro e o relacionamento. Sua disponibilidade é automática, até o limite estabelecido, sempre que há um débito na conta corrente superior ao saldo disponível. O limite é recomposto de acordo com cobertura do saldo devedor. O limite é periodicamente ajustado, em função das necessidades, cadastro e relacionamento. Características: Na prática é um "saldo extra", que o cliente pode utilizar quando não possuir saldo disponível na conta corrente para débitos como cheques, DOC, TED, tarifas, os próprios juros do cheque especial, etc. A utilização está sujeita ao pagamento de juros proporcionais ao valor utilizado durante o mês. Os encargos - juros e IOF - são calculados diariamente e cobrados mensalmente. As condições de utilização - taxas, prazos, valor, garantias, vencimento antecipado, multas, renovação automática - são estabelecidas em contrato assinado entre o cliente e o banco. O banco poderá mudar unilateralmente essas condições, mediante aviso ao cliente. Finalidades: A utilização racional do cheque especial deve restringir-se a necessidades eventuais e de curtíssimo prazo. Como funciona: Vejamos uma simulação: Limite do Cheque especial (R$) 2.000,00 Taxa de juros ao mês 8,00% Alíquota mensal de IOF 0,125% CONTA CORRENTE CHEQUE ESPECIAL 9 Índices mensais da caderneta de poupança – Disponível: http://www.portalbrasil.net/poupanca_mensal.htm - acesso: 15 dez. 2012. 10 Spread bancário: o risco precificado através da taxa/expectativa de inadimplência, as despesas estruturais (pessoal, administrativas), os gastos com impostos e o lucro. A taxa de juros pactuada em uma operação de empréstimo e/ou financiamento é: i = i’ + spread, onde; i é a taxa de juros do empréstimo e/ou financiamento e i’ é a taxa da captação de recursos. No caso de uma situação- problema, por exemplo, cujo empréstimo e/ou financiamento contraído a uma taxa de 0,9112% ao mês, temos: 0,2506% de spread e 0,6606% correspondentes à rentabilidade paga aos depósitos dos poupadores (excluindo a TR, tanto na i quanto na ‘i’). FERREIRA, Mário Neto Página 39
  • 40. Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino Livre Saldo Limite Referência Débito Crédito Saldo utilizado disponível R$ R$ R$ (R$) (R$) 28-mar QUINTA 100,00 2.000,00 1-abr SEGUNDA 50,00 50,00 0,00 2.000,00 2-abr TERÇA 60,00 (10,00) (10,00) 1.990,00 3-abr QUARTA 100,00 (110,00) (110,00) 1.890,00 4-abr QUINTA 25,00 (135,00) (135,00) 1.865,00 5-abr SEXTA 250,00 (385,00) (385,00) 1.615,00 8-abr SEGUNDA 1.000,00 615,00 0,00 2.000,00 9-abr TERÇA 615,00 0,00 2.000,00 10-abr QUARTA 380,00 235,00 0,00 2.000,00 11-abr QUINTA 235,00 0,00 2.000,00 12-abr SEXTA 235,00 0,00 2.000,00 15-abr SEGUNDA 235,00 0,00 2.000,00 16-abr TERÇA 235,00 0,00 2.000,00 17-abr QUARTA 235,00 0,00 2.000,00 18-abr QUINTA 235,00 0,00 2.000,00 19-abr SEXTA 235,00 0,00 2.000,00 22-abr SEGUNDA 112,00 123,00 0,00 2.000,00 23-abr TERÇA 123,00 0,00 2.000,00 24-abr QUARTA 123,00 0,00 2.000,00 25-abr QUINTA 90,00 33,00 0,00 2.000,00 26-abr SEXTA 33,00 0,00 2.000,00 29-abr SEGUNDA 600,00 (567,00) (567,00) 1.433,00 30-abr TERÇA (567,00) (567,00) 1.433,00 Saldo médio do mês no cheque especial (80,64) Cálculo dos encargos: débito no 1º dia útil do mês seguinte: Valor a ser debitado de juros: R$80,64 × 8% (6,45) Valor a ser debitado de IOF (0,10) Benefícios: A utilização do cheque especial é conveniente quando o "furo de caixa" estiver limitado em poucos dias - máximo uma semana. Nestes casos, mesmo sendo a alternativa mais cara do mercado, pode resultar em juros menores. Há no mercado três tipos de cheque especial com "vantagens": 1- Carência: se o prazo de utilização for menor ou igual ao de carência, não há juros, apenas IOF. Nesta modalidade o cliente precisa saber que, se utilização ultrapassar a da carência, pagará juros sobre o prazo integral, inclusive da carência; 2- Juros decrescentes: quanto maior o prazo de utilização, menor a taxa de juros. O cuidado aqui, é que apesar de decrescentes, são muito altos, além do custo, cuidar par não ultrapassar o limite ou descumprir alguma cláusula do contrato, o que anula o benefício; 3- Juros reduzidos: clientes que tem outras operações com o banco - investimentos, seguros, cartão, etc. O cliente deve solicitar este produto ao seu gerente, pois não é oferecido a todos. FERREIRA, Mário Neto Página 40
  • 41. Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino Livre Cuidados: Mantenha o saldo de sua conta corrente, rigorosamente em controle; observe os débitos de tarifas; débitos automáticos; etc. O cheque especial deve ser encarado como a última alternativa no caso de necessidade de crédito. No caso de estar fazendo uma compra, pense em alternativas: 1- Resgate seu investimento e pague à vista; 2- Questione sobre o pagamento parcelado sem juros, no cartão de crédito ou cheque pré- datado; 3- Questione sobre o financiamento, mesmo com juros; 4- Adie sua compra. Importante: Quando estiver pensando em entrar numa dívida, pense também em como sairá dela. Analise seu orçamento e certifique-se que a dívida cabe nele. A determinação dos encargos financeiros sobre os valores devedores é geralmente processada por capitalização simples por meio do denominado “método hamburguês”. O exemplo ilustrativo a seguir, permite melhor entendimento do funcionamento das contas garantidas e do “método hamburguês” para cálculo dos juros incidentes sobre os saldos devedores. Exemplo: Admita uma conta garantida com limite de R$500.000,00, contratada por 2 meses e aberta no dia 15/janeiro/2012. Os encargos financeiros fixados para a operação são juros nominais de 3,9% a.m., debitados ao final de cada mês e uma taxa de abertura de crédito (TAC) de 2% cobrada no ato e incidente sobre o limite. Sabe-se que no período da operação foram realizadas as seguintes movimentações na conta garantida: 1º MÊS: Dia 15 – saque de R$250.000,00; Dia 20 – saque de R$100.000,00. 2º MÊS: Dia 01 – saque de R$ 50.000,00; Dia 10 – depósito de R$40.000,00; Dia 18 – saque de R$35.000,00; Dia 22 – saque de R$50.000,00. 1- Construir um quadro com as várias movimentações realizadas nesta conta garantida; 2- Calcular os juros pelo método hamburguês: DATA HISTÓRICO DÉBITO (D) SALDO NÚMERO Nº DE DIAS × CRÉDITO (C) DEVEDOR DE DIAS SALDO DEVEDOR 15-01 TAC 10.000,00 (D) 10.000,00 ------- ------- 15-01 Saque 250.000,00 (D) 260.000,00 5 1.300.000,00 20-01 Saque 100.000,00 (D) 360.000,00 11 3.960.000,00 31-01 Juros 6.838,00 (D) 366.838,00 ------- ------- 31-01 TOTAL – 1º 16 5.260.000,00 01-02 Saque 50.000,00 (D) 416.838,00 9 3.751.542,00 FERREIRA, Mário Neto Página 41
  • 42. Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino Livre 10-02 Depósito 40.000,00 (D) 376.838,00 8 3.014.704,00 18-02 Saque 35.000,00 (D) 411.838,00 4 1.647.352,00 22-02 Saque 50.000,00 (D) 461.838,00 7 3.694.704,00 29-02 TOTAL – 2º 28 12.108.302,00 29-02 TOTAL BIMESTRE 44 17.368.302,00 O cálculo dos juros pelo “método hamburguês” envolve o produto da taxa proporcional diária (3,9/30 % a.d.) pelo (SD × nº dias). Assim: Juros 1 = 0,0013 × (1.300.000,00 + 3.960.000,00) = 0,0013 × 5.260.000,00 = R$6.838,00; Juros 2 = 0,0013 × (3.751.542,00 + 3.014.704,00 + 1.647.352,00 + 3.694.704,00) = 0,0013 × 12.108.302,00 = R$15.740,80. Total dos juros = R$6.838 + R$15.740,80 = R$22.578,80. Exemplo: Admita um cliente que mantenha um cheque especial com limite definido de R$ 200.000,00. Ao final do mês de junho, o banco expede um extrato de movimentação do período conforme ilustrado a seguir. Sabendo-se que esse banco cobra 3,2% a.m., de juros. Determinar os encargos totais do mês que devem ser debitados na conta do cliente: Data Histórico Débito (D) Saldo Crédito (C) (D/C) 01-04 Transporte 36.000,00 (C) 36.000,00 (C) 03-04 Cheque 30.000,00 (D) 6.000,00 (C) 09-04 Cheque 72.000,00 (D) 66.000,00 (D) 15-04 Aviso Débito 14.000,00 (D) 80.000,00 (D) 18-04 Cheque 100.000,00 (D) 180.000,00 (D) 24-04 Depósito 60.000,00 (C) 120.000,00 (D) 29-04 Cheque 30.000,00 (D) 150.000,00 (D) 30-04 Depósito 70.000,00 (C) 80.000,00 (D) Data Histórico Débito (D) Saldo nº Dias nº de dias × Crédito (C) (D/C) Devedor Saldo Devedor 01-04 Transporte 36.000,00 (C) 36.000,00 (C) --- ----- 03-04 Cheque 30.000,00 (D) 6.000,00 (C) --- ----- 09-04 Cheque 72.000,00 (D) 66.000,00 (D) 6 396.000,00 15-04 Aviso Débito 14.000,00 (D) 80.000,00 (D) 3 240.000,00 18-04 Cheque 100.000,00 (D) 180.000,00 (D) 6 1.080.000,00 24-04 Depósito 60.000,00 (C) 120.000,00 (D) 2 240.000,00 29-04 Cheque 30.000,00 (D) 150.000,00 (D) 3 450.000,00 30-04 Depósito 70.000,00 (C) 80.000,00 (D) 1 70.000,00 TOTAL 21 2.476.000,00 Juros Totais do Mês: (0,032/30) × 2.476.000,00 = R$ 2.641,07. CÁLCULO DO CUSTO EFETIVO Na operação de cheque especial, conforme comentado, é geralmente cobrada uma taxa de juros, definida em bases mensais e também uma taxa de abertura de crédito (TAC). Esta taxa FERREIRA, Mário Neto Página 42
  • 43. Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino Livre de crédito, cobrada no momento da liberação dos recursos, eleva o percentual de juros cobrado. O critério básico de se apurar o custo efetivo de uma conta garantida (cheque especial) pode ser expresso no seguinte diagrama de fluxo de caixa mensal: Limite da conta: (-) TAC 1 2 3 n (meses) Juros Juros Juros Juros + Limite da conta O custo efetivo final será, evidentemente, a taxa interna de retorno deste fluxo de caixa. Exemplo: Uma conta garantida cobra juros de 2,6% a.m., debitados mensalmente e uma TAC de 1,5%. Determinar o custo efetivo admitindo que a conta garantida tenha sido contratada por: a) 30 dias; b) 60 dias; c) 90 dias: a) Para um prazo de 30 dias, tem-se: Limite da conta: R$100,00 TAC: -R$1,50 Crédito Liberado: R$98,50 Juros: 100 × 2,6% = R$2,60 Limite: R$100,00 Total: R$102,60 102,60 Custo Efetivo: (Total ÷ Crédito Liberado) → i   1 → i = 0,0416 equivale à taxa de 98,50 4,16% a.m. Observação: A comissão de abertura de crédito eleva o custo da conta garantida por 30 dias de 2,60% para 4,16%. b) Para um prazo de 60 dias, tem-se: Limite da conta: R$100,00 TAC: -R$1,50 Crédito Liberado: R$ 98,50 → 2 (meses) Juros: R$100 × 2,60% = R$2,60 Limite: R$100,00 Total: 102,60 FERREIRA, Mário Neto Página 43
  • 44. Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino Livre Custo Efetivo: Crédito Liberado = [Juros ÷ (1 + i)] + [Total ÷ (1 + i)2] → 2,60 102,60 98,50   1  i  1  i 2 Com a utilização da calculadora HP 12C, temos: f e f CLX f2 98,50 CHS g PV (CF0) 2,60 g PMT (CFj) 102,60 g PMT (CFj) f FV (IRR) Resultado: i = 3,39% ao mês. c) Para um prazo de 90 dias, tem-se: Limite da conta: R$100,00 TAC: -R$1,50 Crédito Liberado: 98,50 → 3 (meses) Juros: R$100 × 2,60%= R$2,60 Custo Efetivo: Crédito Liberado = (Juros ÷ (1 + i)) + (Total ÷ (1 + i) 2) → 2,60 2,60 102,60 98,50    1  i  1  i 2 1  i 3 Com a utilização da calculadora HP 12C, temos: f e f CLX f2 98,50 CHS g PV (CF0) 2,60 g PMT (CFj) 2,60 g PMT (CFj) 102,60 g PMT (CFj) f FV (IRR) Resultado: i = 3,13% ao mês. Conclusão: O custo efetivo final se reduz à medida que se eleva o prazo da conta garantida. Este comportamento é explicado pela maior diluição da TAC cobrada, uma única vez, no ato de liberação do crédito pelos meses de operação. Os técnicos e especialistas do Banco Central costumam dizer que a taxa de juros do cheque especial é “proibitiva”, isto é, deve-se evitar a utilização dessa modalidade de crédito. Por isso, correntistas endividados com o cheque especial devem trocar a dívida por uma mais modalidade de crédito que cobre menor taxa de juros, por exemplo, o crédito consignado. O Professor de Finanças da Faculdade IBMEC, Marcos Aguerri Pimenta explica que os juros são altos porque o “dinheiro está disponível na conta corrente a qualquer momento, sem a necessidade de negociar com o gerente no banco”. Continua a explicar, “O cheque especial é útil apenas para momentos de emergência e, portanto, em casos de curtíssima duração, como alguns dias”. FERREIRA, Mário Neto Página 44
  • 45. Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino Livre Porém, os brasileiros costumam utilizar o cheque especial por 22 dias, em média, ao longo do mês. Pelos cálculos do citado professor, se um correntista usar R$100 de cheque especial nesse período de 22 dias, irá pagar R$5,82. O Professor destaca, “Isso é um valor considerável, ainda mais se compararmos à caderneta de poupança, que remunera em torno disso no período de um ano”. Se em vez de utilizar o cheque especial, o correntista tivesse R$100 para aplicar na poupança, levaria um ano para ter em torno de R$5,82 de remuneração, valor pago ao banco pelo empréstimo em apenas 22 dias. No cálculo do valor do cheque especial, foram considerados a taxa média de juros e o Imposto sobre Operações de Crédito, Câmbio e Seguros (IOF). De acordo com a Receita Federal, a alíquota de 0,38% incide sobre cada novo empréstimo. Além dessa alíquota, é cobrado 0,0041% ao dia, incidente sobre o somatório dos saldos devedores diários. 9- Faça um resumo sucinto sobre as utilizações das fórmulas corretas para aplicações de descontos simples e compostos? Resposta: A chamada operação de desconto normalmente é realizada quando se conhece o valor futuro de um título (valor nominal, valor de face ou valor de resgate) e se quer determinar o seu valor atual. O desconto deve ser entendido como a diferença entre o valor de resgate de um título e o seu valor presente na data da operação: D = VF – VP, em que D representa o valor monetário do desconto, VF o seu valor futuro (FV), valor assumido pelo título na data do seu vencimento e VP o valor creditado (PV) ou pago ao seu titular. Assim como no caso dos juros, o valor do desconto também está associado a uma taxa e a determinado período de tempo. Embora seja frequente a confusão entre juros e descontos, trata-se de dois critérios distintos, claramente caracterizados. Assim, enquanto no cálculo dos juros a taxa referente ao período da operação incide sobre o capital inicial ou valor presente, no desconto à taxa do período incide sobre o seu montante ou valor futuro. De maneira análoga aos juros, os descontos são também classificados em simples e composto, envolvendo cálculos lineares no caso do desconto simples e exponencial no caso do desconto composto. O desconto simples é dividido em: 1- Desconto Racional (por dentro). 2- Desconto Comercial (por fora). 1- DESCONTO RACIONAL (por dentro). Desconto racional simples é aquele aplicado no valor atual do título n períodos antes do vencimento, isto é, é o mesmo que juro simples. Não será dada muita importância a menos de comparação, pois raramente tem sido aplicado no Brasil. Dr = VF – VP→ Fórmula direta para o cálculo do desconto racional FERREIRA, Mário Neto Página 45
  • 46. Respostas às questões do Livro-Texto de Mestrado Mestrado: Matemática Financeira – Rede Internacional de Ensino Livre Dr→ Desconto Racional; VF ou FV→ Valor Futuro; VP ou PV→ Valor Presente. VF VP  → Fórmula para o cálculo do valor presente no desconto racional (1  i  n) VP ou PV→ Valor Presente; VF ou FV→ Valor Futuro; i→ Taxa de desconto; n→ Número de períodos (prazo). VF  VP  (1  i  n) → Fórmula para o cálculo do valor futuro no desconto racional VF ou FV→ Valor Futuro; VP ou PV→ Valor Presente; i→ Taxa de desconto; n→ Número de períodos (prazo). VF  i  n Dr  → Fórmula para o cálculo do desconto racional (1  i  n) VF 1 i VP → Fórmula para o cálculo da taxa de desconto racional n VF 1 n  VP → Fórmula para o cálculo do número de períodos no desconto racional i 2- DESCONTO COMERCIAL OU BANCÁRIO (por fora) Desconto comercial simples é aquele em que a taxa de desconto incide sempre sobre o montante ou valor futuro. É utilizado no Brasil de maneira ampla e generalizado, principalmente nas chamadas operações de “desconto de duplicatas” realizadas pelos bancos, sendo, por essa razão, também conhecido por desconto bancário ou comercial. É obtido multiplicando-se o valor de resgate do título pela taxa de desconto e pelo prazo a decorrer até o seu vencimento: Db  VF  d  n → Fórmula para o cálculo do desconto bancário ou comercial VF ou FV→ Valor Futuro; d→ Taxa de desconto; n→ Número de períodos (prazo). FERREIRA, Mário Neto Página 46