El documento presenta las propiedades de las circunferencias y los ángulos asociados. Define elementos como radio, diámetro, cuerda y arco. Explica las relaciones entre circunferencias tangentes, secantes y concéntricas. Incluye teoremas como los de Pitágoras y Poncelet y ejercicios de aplicación.

1. ZIRKUNFERENTZIA TEORIA PROPIETATEAK – ARIKETAK

2. ZIRKUNFERENTZIA .- Zentruan dagoen puntu batekiko distantziakide diren puntu infinituen Leku Geometrikoa da.

3. ZIRKUNFERENTZIA BETEN ELEMENTUAK  A B M N Zuzen Ukitzailea Zuzen ebakitzailea Gezia Diametroa AB ( ) Zentrua T  Ukitze puntua Q  P  Erradioa Arkua BQ Korda PQ

4. ZIRKUNFERENTZIAREN PROPIETATEAK 01.- Ukitze puntura doan erradioa, ukitzailearekiko perpendikularra R L

5. 02.- RKorda batekiko perpendikularra den Erradio edo Diametroa, kordaren erdibitzailea izango da. (Bi zati berdinetan banatuko du). P Q M N R

6. 03.- Korda paraleloak arku kongruenteak mozten dituzte A B C D

7. 04.- Korda kongruente bi, arku kongruente bi sortzen dituzte A B C D Korda kongruenteak Arku kongruenteak Kordak zentruarekiko distantziakide dira

8. ZIRKUNFERENTZIEN ARTEKO POSIZIO ERLATIBOAK 01.- ZIRKUNFERENTZIA ZENTRUKIDEAK .- Zentru bera dute d = Zero ; d : distzantzia r R

9. 02.- KANPO ZIRKUNFERENTZIAK .- Ez dute puntu amankomunik d > R + r R r Zentruen arteko distantzia (d) R r

10. d = R + r 03.- KANPO ZIRKUNFERENTZIA UKITZAILEAK .- Puntu amankomun bat dute: Ukitze puntua r R R r Ukitze puntua Zentruen arteko distantzia (d)

11. d = R - r 04.- ZIRKUNFERENTZIA BARNE UKITZAILEAK .- Puntu amankomun bat dute: Ukitze puntua d : Zentruen arteko distantzia d R R r Ukitze puntua

12. 05.- ZIRKUNFERENTZIA EBAKITZAILEAK .- Bi puntu amankomun dituzte: intersekzioak ( R – r ) < d < ( R + r ) R r Zentruen arteko distantzia (d)

13. 06.- CIRCUNFERENCIAS ORTOGONALES .- Los radios son perpendiculares en el punto de intersección. d 2 = R 2 + r 2 Zentruen arteko distantzia (d) r R

14. 06.- BARNE ZIRKUNFERENTZIAK .- Ez dute puntu amankomunik d < R - r d : Zentruen arteko distantzia R r d

15. 1.- Kanpo puntu batetik marraztu ditzakegun bi zuzen ukitzaileek bi segmentu kongruente determinatzen dute. UKITZAILEEN PROPIETATEAK AP = PB A B P R R  

16. 2.- KANPOKO ZUZEN UKITZAILE AMANKOMUNAK .- Kongruenteak dira AB = CD A B C D R R r r

17. 3.- BARNEKO ZUZEN UKITZAILE AMANKOMUNAK .- Kongruenteak dira AB = CD A B C D R R r r

18. PONCELET TEOREMA. - Edozein triangelu zuzenean katetoen batura, hipotenusa eta inradioaren bikoitzaren baturaren berdina da. a + b = c + 2r a + b = 2 ( R + r ) a b c r R R Inradioa Zirkunradioa

19. PITOT-en TEOREMA. - Zirkunferentzia bati zirkunskribaturiko edozein kuadrilateroan aurkako bi aldeen baturak berdinak dira a + c = b + d d a b c Zirkunskribaturiko kuadrilateroa

20. ZIRKUNFERENTZIAREN ANGELUAK

21. 1.- ANGELU ZENTRALA .- Aurkako arkuaren neurri berdina dauka.  A B C r r  = AB

22. 2.- BARNE ANGELUA .-  A C B D

23. ANGELU INSKRIBATUA α A B β γ δ C

24. 3.- ANGELU INSKRIBATUA .-  A B C

25. 4.- ANGELU ERDI-INSKRIBATUA .-  A B C

26.  A B C 1.- MEDIDA DEL ÁNGULO EX-INSCRITO .- Es igual a la mitad de la medida del arco ABC.

27. E 6.- KANPO ANGELUAK .- Hiru kasu: 1.- Bi ukitzailek sorturiko angelua .- F  M N O

28. 2.- Zuzen ebakitzaileak sorturiko angelua .-  A B C O D

29. 3.- Zuzen ukitzaile eta ebakitzaile batek sortzen duten angelua  A B C O

30. ARIKETAK

31. 140° 2X X + (X+70) + 50° = 180° X = 30° Ariketa 01 RESOLUCIÓN Reemplazando: En el triángulo PQS: Resolviendo la ecuación: PSQ = x Zirkunferentzia kanpoan dagoen P puntu batetik PQ zuzen ukitzailea eta PRS zuzen ebakitzailea trazatzen ditugu. RS arkuak 140º badauzka eta P angeluak 50º, zenbatekoa izango da S-ren angelua? 50° 70º+x X R S Q P

32. X = 40° En el triángulo rectángulo RHS 140° Es propiedad, que: 140° + X = 180° Por ángulo inscrito Problema Nº 02 RESOLUCIÓN m  S = 70º Resolviendo: PSQ = x 20° 70° X R Q H P S mQR = 140° Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan la tangentes PQ y PR, luego en el mayor arco QR se ubica un punto “S”, se traza RH perpendicular a la cuerda QS, si m  HRS=20º; calcule la m  QPR.

33. 130° X = 40° 50° Problema Nº 03 RESOLUCIÓN Resolviendo: APD = x x A C B D P Medida del ángulo interior Medida del ángulo exterior mBC = 50° Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan las secantes PBA y PCD tal que las cuerdas AC y BD sean perpendiculares entre sí; calcule la medida del ángulo APD, si el arco AD mide 130º.

34. X = 18° 54° x Problema Nº 04 RESOLUCIÓN APN = x Se traza el radio OM: Dato: OM (radio) = PM Luego triángulo PMO es isósceles Ángulo central igual al arco Medida del ángulo exterior Resolviendo: x M N x P A B o En una circunferencia, el diámetro AB se prolonga hasta un punto “P”, desde el cual se traza un rayo secante PMN tal que la longitud de PM sea igual al radio, si el arco AN mide 54º. Calcule la m  APN.

35. Medida del ángulo inscrito : X = 55° 110° Problema Nº 05 RESOLUCIÓN PRQ = x Por la propiedad del ángulo exterior formado por dos tangentes: Resolviendo: x 70° A B C P Q R 70° + m PQ = 180° m PQ = 110° En un triángulo ABC se inscribe una circunferencia tangente a los lados AB, BC y AC en los puntos “P”, “Q” y “R” respectivamente, si el ángulo ABC mide 70º. Calcule la m  PRQ.

36. Calcule la medida del ángulo “X”. Problema Nº 06 70° B A X P Resolución

37. RESOLUCIÓN Por la propiedad del ángulo exterior formado por dos tangentes: Medida del ángulo inscrito : 140º 140º + x = 180º Resolviendo: X = 40º 70° B A X P C mAB=140º

38. Calcular la medida del ángulo “x” Problema Nº 07 B A X P 130º Resolución

39. RESOLUCIÓN Medida del ángulo inscrito : En la circunferencia: 260º Por la propiedad del ángulo exterior formado por dos tangentes: X = 80º B A X P 130º C mAB = 260º mACB = 100º mACB + x = 100º 260º + mACB = 360º

40. Calcule el perímetro del triángulo ABC. Problema Nº 08 2 5 5 A B C Resolución

41. Teorema de Poncelet : a + b = 10 + 2(2) Luego el perímetro: (2p) = a + b + 10 = 14 + 10 (2p) = 24 RESOLUCIÓN a + b = 14 Reemplazando (1) en (2) (2p) = 14 + 10 2 5 5 A B C a b (1) (2)

42. PLANTEAMIENTO 80º Problema Nº 09 X Q R S P a a Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan la tangente PQ y la secante PRS de modo que los arcos SQ y SR sean congruentes. Si el arco QR mide 80º, calcular m  QPR . Resolución

43. 2a + 80º = 360º a = 140º Medida del ángulo exterior: X = 30º En la circunferencia: RESOLUCIÓN X Q R S 80º P a a

44. PLANTEAMIENTO Problema Nº 10 P Q R S 2 3 En un cuadrilátero ABCD m  Q = m  S = 90º se traza la diagonal PR. Los inradios de los triángulos PQR y PRS miden 3cm y 2cm respectivamente. Si el perímetro del cuadrilátero PQRS es 22cm. Calcule la longitud de PR Resolución

45. Teorema de Poncelet:  PQR  a + b = PR+2(3) a +b + c + d = 2PR + 10 PR = 6cm Dato: a + b + c + d = 22cm  PSR  c + d = PR+2(2) RESOLUCIÓN a b c d + 22 = 2PR + 10 P Q R S 2 3