Domaća zadaća iz kolegija Operacijska istraživanja 1. Zadaću izradili: Irma Obradovac i Marta Šerman

1. Grafička i simpleks metoda
rješavanja problema maksimuma i
minimuma kod linearnog
programiranja
Operacijska istraživanja 1
Marta Šerman
Irma Obradovac

2. Uvod
• Kroz ovu prezentaciju susrest demo se s
problemima maksimuma i minimuma kod
linearnog programiranja
• Problemi de se rješavati grafičkom ili simpleks
metodom
• Sva moguda rješenja trebaju se nadi u prvom
kvadrantu jer je zadano da su x i y vedi ili
jednaki nuli

3. Zadatak 1
Riješite problem linearnoga programiranja grafičkom i simpleks metodom,
ako je zadano:
max Z=5x+2y
2x+y≥6
x≤7
x-y≤5
x,y≥0
a) označite skup mogudih rješenja te ekstremne točke,
b) izračunajte vrijednost funkcije cilja,
c) interpretirajte rješenje dobiveno grafičkom metodom
d) interpretirajte vezu između grafičkog rješenja i iteracija simpleks postupka
prilikom rješavanja

4. Y
A(0,6)
D(7,2)
B(3,0)
C(5,0)
X

5. • a) Skup mogudih rješenja uokviren je crvenim
obrubom; ovo mogude rješenje ide u
beskonačnost
• Ekstremne točke su: A(0,6), B(3,0), C(5,0) i
D(7,2)
• b) Vrijednost funkcije cilja ne može se
izračunati jer je rješenje ovog zadatka
neodređeno
• c) Rješenje ovog zadatka je neodređeno

6. • d) U nastavku je prikazano rješavanje
problema maksimuma u linearnom
programiranju uz pomod simpleks metode.
• Kroz svaki korak (tablica) simpleks metode
dobivamo po jednu ekstremnu točku.
• Grafička metoda nam olakšava da provjerimo
jesmo li dobili dobre ekstremne točke kod
iterecija, prilikom rješavanja problema
simpleks metodom

7. Simpleks metoda-Tablica1
REDAK
Z
x
y
Y1
Y2
y3
C
0
1
-5
-2
0
0
0
0
1
0
-2
-1
1
0
0
-6
2
0
1
0
0
1
0
7
3
0
1
-1
0
0
1
5
• Na počeku funkciju cilja izjednačimo s nulom i dobivamo: Z-5x-2y=0
• Zatim u svako ograničenje dodamo po jednu pomodnu varijablu i dobivamo:
-2x-y+y1=-6
x+y2=7
x-y+y3=2
x,y,y1,y2,y3 ≥ 0
• Sada to uvrstimo u tablicu i dobivamo rješenje iznad.
• Uzimamo redak koji u konstanti ima minus(-), to je redak 1 te stupac s najvedom
negativnom vrijednosti u retku 0, a to je stupac x.
• Cilj nam je riješiti se minusa u konstanti te u stupcu x na mjestu -2 dobiti 1, a na
ostalim mjestima treba biti 0.

8. Početno bazično rješenje-Tablica2
REDAK
Z
x*
y
y1
Y2*
Y3*
C
0
1
0
0.5
-2.5
0
0
15
1
0
1
½
-1.5
0
0
3
2
0
0
- 1/2
½
1
0
4
3
0
0
- 3/2
½
0
1
2
• Redak 1 dobili smo na način da smo u Tablici1 redak 1 pomnožili s -1/2.
• Redak 2 dobili smo na način da smo redak 1 iz Tablice2 pomnožili s -1 i dodali retku 2 iz
Tablice1.
• Redak 3 dobili smo na način da smo redak 1 iz Tablice2 pomnožili s -1 i dodali retku 3 iz
Tablice1.
• Redak 0 dobili smo na način da smo redak 1 iz Tablice2 pomnožili s 5 i dodali retku 0 iz
Tablice1.
• Dobivamo prvu ekstremnu točku B(3,0) te vrijednost funkcije cilja Z=15 .
• Cilj nam je opet nadi stupac s najvedim negativnim brojem u retku 0, a to je stupac y1.
• Sada tražimo redak čija konstanta podijeljena s vrijednosti u stupcu y1 daje najmanji
pozitivni broj, a to je redak 3.
• Nadalje, na mjestu križanja stupca y1 i retka 3 želimo dobiti 1, a na ostalim mjestima u

9. Tablica3
REDAK
Z
x*
y
y1
y2 *
y3
C
0
1
0
-7
0
0
5
25
1
0
1
-1
0
0
1
5
2
0
0
1
0
1
-1
2
3
0
0
-3
1
0
1/2
4
• Redak 3 dobili smo na način da smo u Tablici2 redak 3 podjeli s ½.
• Redak 2 dobili smo na način da smo u Tablici2 redak 3 pomnožili s -1 i dodali retku 2 u
Tablici2.
• Redak 1 dobili smo na način da smo retku1 iz Tablice2 pridodali redak3 iz Tablice2.
• Redak 0 dobili smo na način da smo u Tablici2 redak 3 pomnožili s 5 i dodali retku 0 u
Tablici2.
• Dobivamo drugu ekstremnu točku C(5,0) te vrijednost funkcije cilja Z=25 .
• Cilj nam je opet nadi stupac s najvedim negativnim brojem u retku 0 , a to je stupac y.
• Sada tražimo redak čija konstanta podijeljena s vrijednosti u stupcu y daje najmanji
pozitivni broj, a to je redak 2.
• Nadalje, na mjestu križanja stupca y i retka 2 želimo dobiti 1, a na ostalim mjestima u
stupcu y dobiti nule.

10. Tablica4
REDAK
Z
X*
Y*
Y1 *
y2
y3
C
0
1
0
0
0
7
-2
39
1
0
1
0
0
1
0
7
2
0
0
1
0
1
-1
2
3
0
0
0
1
3
-2.5
10
?
?
?
?
• Redak 2 dobili smo na način da smo prepisali redak 2 iz Tablice3.
• Redak 1 dobili smo na način da smo retku 1 iz Tablice3 pridodali redak 2 iz Tablice3.
• Redak 3 dobili smo na način da smo u Tablici3 redak 2 pomnožili s 3 i dodali retku 3 u
Tablici3.
• Redak 0 dobili smo na način da smo u Tablici3 redak 2 pomnožili sa 7 i dodali retku 0 u
Tablici3.
• Dobivamo tredu ekstremnu točku D(7,2) te vrijednost funkcije cilja Z=39 .
• Opet tražimo stupac s najvedim negativnim brojem u retku 0 i pronalazimo stupac y3,
ali dolazimo do problema jer ne postoji niti jedan broj u stupcu y3 koji bi kada bi
konstantu dijelili sa njim dao pozitivan broj. Time završavamo sa rješavanjem zadatka
simpleks metodom i dolazimo do zaključa da ovaj zadatak ima neograničeno mnogo
rješenja.

11. Zadatak 2
Riješite problem linearnoga programiranja grafičkom metodom, ako
je zadano:
min Z=1/3x+y
x+3y≥3
4x-3y≤27
2x+3y≤27
x+3≥0
y-5≤0
a) označite skup mogudih rješenja te ekstremne točke,
b) izračunajte vrijednost funkcije cilja,
c) interpretirajte rješenje.

12. y
B(6,5)
A(0,5)
C(9,3)
F(0,1)
E(3,0)
D(6.75,0)
x

14. Zadatak 3
Riješite problem linearnoga programiranja grafičkom
metodom, ako je zadano:
max Z=2x+2y
3x-2y≥6
3x+y≥3
x≤6
x,y≥0
a) označite skup mogudih rješenja te ekstremne točke,
b) izračunajte vrijednost funkcije cilja,
c) interpretirajte rješenje.

15. y
C(6,3)
A(2,0)
B(6,0)
X

16. • a) Skup mogudih rješenja je uokviren crnim
obrubom
• Ekstremne točke su: A(2,0), B(6,0) i C(6,3)
• b) maxZ=2*6+2*3=18
• c) Pošto x i y moraju biti vedi od nule, rješenje
se mora nadi u prvom kvadrantu.
• Točka u kojoj se nalazi maksimum funkcije je
točka C(6,3)

17. Zaključak
• Grafičkom metodom se brže rješava problem u
odnosu na simpleks metodu (vrijedi za
dvodimenzionalan prostor)
• Ona nam olakšava provjeru jesmo li dobili
dobre točke kroz iteracije kod simpleks
metode