1) O documento discute a transformada de Laplace, que mapeia funções do tempo para funções complexas. A transformada de Laplace é usada para resolver problemas envolvendo equações diferenciais. 2) Exemplos mostram como calcular a transformada de Laplace de diferentes funções do tempo, como exponenciais, decaimento exponencial, impulsos de Dirac e funções trigonométricas. 3) Um teorema estabelece condições suficientes para a existência da transformada de Laplace, requerendo que a função seja seccionalmente contínua e de

1. Cálculo Avançado A - Transformadas de Laplace
1
CAPÍTULO V – A TRANSFORMADA DE LAPLACE
1. TRANSFORMADAS INTEGRAIS:
Quando uma função f(x), com x ∈ D, é definida em termos de uma função F(ξ), com ξ ∈ Ω,
através de uma relação integral do tipo
( ) ( ) ( ) ξξξ= òΩ
d,xKFxf , (1.1)
dizemos que f(x) é a transformada integral da função F( )ξ pelo kernel (núcleo) ),x(K ξ e usamos a
notação:
( )[ ]x;F)x(f ξℑ= . (1.2)
Devemos notar que o operador ℑ definido por (1.1) e (1.2) é linear, isto é, se
( )[ ] ( )xfx,F 11 =ξℑ , ( )[ ] ( )xfx,F 22 =ξℑ e 21 cec são constantes arbitrárias, então
( ) ( )[ ] ( ) ( )xfcxfcx,FcFcT 22112211 +=ξ+ξ . (1.3)
Para escolhas particulares do kernel usaremos símbolos especiais para o operador
transformada integral ℑ. Por exemplo:
1) Se Ω é toda a reta real e ( )
π
=ξ
ξ
2
e
.xK
xj
, dizemos que f(x) é a transformada (exponencial)
de Fourier de F( )ξ , ou
ℱ ( )[ ] ( ) ( ) ξξ==ξ ò
+∞
∞−
ξ
deFxfF xj
. (1.4)
2) Se Ω é toda a reta real e ( )
π
ξ
=ξ
2
)xsen(
.xK , dizemos que f(x) é a transformada seno de
Fourier de F( ),ξ ou
ℱ ( )[ ] ( ) ( ) ( )ò
+∞
∞−
ξξξ==ξ dxsinFxfFS . (1.5)
3) Se Ω é toda a reta real e ( )
π
ξ
=ξ
2
)xcos(
.xK , dizemos que f(x) é a transformada coseno de
Fourier de F( ),ξ ou

2. Cálculo Avançado A - Transformadas de Laplace
2
ℱ ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ξξξ==ξ ò
+∞
∞−
dxcosFxfFC . (1.6)
4) Se Ω é o semi eixo real positivo e ( )xJ),x(K ξξ=ξ ν , onde ( )xJ ξν denota a função de
Bessel de primeiro tipo e ordem ν, dizemos que f (x) é a transformada de Hankel de F( )ξ , ou
ℋ ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ξξξξ==ξ ò
+∞
ν dxJFxfF
0
. (1.7)
Ainda temos as transformadas de Laplace, onde x
e),x(K ξ−
=ξ e Ω é o semi-eixo real
positivo; a transformada de Mellin, onde ( ) 1
x,xK −ξ
=ξ e Ω é o semi-eixo real positivo, etc...
Geralmente, o problema no qual a transformada integral é aplicada pede a determinação da
função F( )ξ quando f(x) é uma função conhecida. Esta solução é encontrada através dos teoremas de
inversão, que são da forma,
( )[ ] ( ) ( ) ( )ò ξ=ξ=ℑ−
D
1
dx,xHxfFxf , (1.8)
onde ),x(H ξ denota o kernel da transformada integral inversa 1−
ℑ .
2. A TRANSFORMADA DE LAPLACE
Definição: Seja f(t) uma função real definida para .0t > Então a transformada de Laplace de
f(t), denotada por ℒ ( )[ ]tf é definida por:
ℒ ( )[ ] ( ) ( )dttfesFtf
0
st
ò
+∞ −
== , (2.1)
onde assumimos que s é um parâmetro complexo. Dizemos que a transformada de Laplace existe se a
integral (2.1) converge para algum valor de s, caso contrário esta transformada não existirá.
Observação: Em muitas aplicações a variável s pode ser restrita a valores reais.
Exemplos:
Encontre a transformada de Laplace das seguintes funções:
1. ( ) 1tf =
ℒ ( )[ ]=tf ℒ[ ] ( ) =úû
ù
êë
é
−−=−== +
∞→
∞−∞ −
ò
0jyxR
R
0
st
0
st
eelim
s
1
s
e
dte1

3. Cálculo Avançado A - Transformadas de Laplace
3
( )
s
1
1ysenjycoselim
s
1 Rx
R
=úû
ù
êë
é
−+−=
∞→
, se Re( ) 0s > , (2.2)
onde foi considerado que jyxs += .
2. ( ) ( )atHtf −=
ℒ ( )[ ] ( )
s
e
s
e
dtedtatHeatH
as
a
stst
0 a
st
−
+∞
−−∞+ ∞+−
=−==−=− ò ò , se Re( ) 0s > . (2.3)
3. ( ) ( )attf −δ=
ℒ ( )[ ] ( )ò
∞ −−
=−δ=−δ
0
asst
edtateat , se Re( ) 0s > . (2.4)
4. ( ) at
etf =
ℒ[ ] as
1
as
e
dtee
0
t)as(
0
t)as(at
−
=
−
−==
∞−−∞ −−
ò , se Re( ) as > . (2.5)
5. ( ) )atcos(tf =
ℒ[ ] 22
0
22
st
0
st
as
s
as
)atcos(a)atsen(s
edt)atcos(e)atcos(
+
=
+
−−
==
∞+
−∞+ −
ò , se Re( ) 0s > . (2.6)
6. 1pcom,t)t(f p
−>=
ℒ[ ] 1p0
pu
1p0
p
u
0
pstp
s
)1p(
duue
s
1
s
u
d
s
u
edttet
+
∞+ −
+
∞+ −∞+ − +Γ
==÷
ø
ö
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ
== òòò , (2.7)
(vide Eq. (1.1), seção 1 do Apêndice A) onde foi realizada a mudança de variável u = st, considerando
que s > 0 seja real.
Nos exemplos acima, fica claro que a transformada de Laplace converge numa certa região do
plano complexo. Uma das propriedades que caracterizam a transformada de Laplace é que esta região
é descrita pela equação Re(s) > a, onde a é uma constante real. Por outro lado, podem ocorrer funções
para as quais a transformada de Laplace não existe, isto é, a integral (2.1) diverge para todos os valores
de s. Assim, torna-se importante conhecer condições para a existência da transformada de Laplace de
uma certa função. Então, apresentaremos um teorema que estabelece a existência desta transformada

4. Cálculo Avançado A - Transformadas de Laplace
4
para uma classe de funções bastante ampla. Com este objetivo, inicialmente, definiremos funções
seccionalmente contínuas e funções de ordem exponencial.
Definição: Uma função f(t) é dita seccionalmente contínua ou contínua por partes num
intervalo a < t < b, se este intervalo pode ser subdividido em um número finito de intervalos nos quais
a função f(t) é contínua e possui limites finitos a direita e à esquerda.
Um exemplo de função seccionalmente contínua é mostrado graficamente na Fig. 2.1. Esta
função tem descontinuidades nos pontos .t,t,t,t 4321 Note que existem os limites à esquerda e à direita
nos pontos it , para i = 1,2,3 e 4 e, também, os limites à direita em a e à esquerda em b.
Figura 2.1: função contínua por partes.
Definição: Uma função real é dita de ordem exponencial γ (real), se existem M e T,
constantes reais positivas, tais que ( ) Mtfe t
<γ−
ou ( ) t
eMtf γ
< , para todo t > T.
Exemplos:
1. ( ) 2
ttf = é de ordem exponencial 3, por exemplo, pois t322
ett <= , para todo t > 0
2. ( )
3
t
etf = não é uma função de ordem exponencial pois
( ) ∞→∞→== γ−γ−γ−
tse,eeee
233 tttttt
. (2.8)
Em outras palavras, as funções de ordem exponencial não podem crescer, em valor absoluto,
mais que uma exponencial t
eM γ
, quando t cresce. Funções limitadas, tais como seno e coseno, são
sempre de ordem exponencial, bem como as funções polinomiais também o são.

5. Cálculo Avançado A - Transformadas de Laplace
5
Teorema: (Condições suficientes para a existência da transformada de Laplace) Se, para todo
real positivo T, f(t) é uma função seccionalmente contínua no intervalo finito 0 < t < N e é de ordem
exponencial γ , para t > N, então sua transformada de Laplace F(s) existe para todo s > γ .
Prova: Seja T um real positivo. Então,
( ) ( )dttfedttfedt)t(fe
T
tsT
0
ts
0
st
òòò
+∞ −−+∞ −
+= . (2.9)
Como f(t) é seccionalmente contínua no intervalo 0 < t < T, temos que a primeira integral no
lado direito da equação (2.8) existe. Como f(t) é de ordem exponencial γ, para t > T, também existe a
segunda integral, como podemos observar abaixo:
( ) ( ) ( )
γ−
=≤≤≤ γ∞+ −∞+ −∞+ −∞+ −
òòòò s
M
dteeMdttfedttfedttfe t
0
ts
0
ts
T
ts
T
ts
. (2.10)
Assim, a transformada de Laplace de f(t) existe, para todo s > γ .
Observação: Note que as condições do teorema são suficientes mas não necessárias para a
existência da transformada de Laplace, ou seja, se uma função não pertence ao grupo especificado ela
pode, ou não, possuir transformada de Laplace. Por exemplo, ( ) )ecos(et2tf
22
tt
= não é de ordem
exponencial, mas sua transformada de Laplace existe, pois:
,0)sRe(se,dt)esen(es1sen
dt)e(sines)e(sinedt)e(coset2e
2
2222
t
1
st
0
tst
0
tsttt
0
st
>+−=
=+=úû
ù
êë
é
ò
òò
∞ −
∞ −
+∞
−∞ −
(2.11)
onde foi utilizada integração por partes, considerando st
eu −
= e )e(senv
2
t
= . A integral que aparece
no lado direito da equação (2.11) existe, pois:
s
1
dtedt)e(sinedt)e(sine
0
st
0
tst
0
tst 22
=≤≤ òòò
∞ −∞ −∞ −
, se Re(s) > 0. (2.12)
3. A TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE:
Definição: Se a transformada de Laplace de uma função f(t) é F(s), isto é, se ℒ ( )[ ] ),s(Ftf =
então f(t) é chamada de transformada inversa de Laplace de F(s) e, simbolicamente, podemos escrever
f(t) = ℒ ( )[ ]sF1−
.

6. Cálculo Avançado A - Transformadas de Laplace
6
Por exemplo, se f(t) é uma função que, para t positivo, assume o valor um, a menos de um
conjunto de pontos isolados, então ℒ[ ]=1 ℒ ( )[ ]=tH ℒ ( )[ ]
s
1
tf = . Assim, ℒ )t(fou)t(Hou1
s
11
=ú
û
ù
ê
ë
é−
.
Observe que, como a transformada de Laplace só leva em consideração a parte da função definida para
t ≥ 0, então podemos afirmar que, neste intervalo, H(t) = 1. Além disto, a transformada de Laplace é
uma integral definida, logo “desconsidera” descontinuidades evitáveis. Do ponto de vista físico,
funções como f(t) são “anormais” e não devem ser consideradas, assim podemos encarar um como
sendo a transformada inversa de Laplace da função complexa .
s
1
)s(F = Neste sentido, a transformada
inversa de Laplace de uma função F(s) é única.
Existe uma fórmula para a inversão da transformada de Laplace de uma função F(s), com
Re(s) > α, definida pela integral de Mellin,
( ) ( )ò
∞+γ
∞−γπ
=
j
j
ts
dssFe
j2
l
tf , (3.1)
onde γ é um real qualquer tal que α>γ , a qual é uma fórmula bastante geral, mas que não será
empregada aqui, pois não estudamos a integração por resíduos. Esta fórmula origina muitos métodos
numéricos para determinar a transformada inversa de Laplace de uma função F(s). Um método
bastante simples e, portanto, muito usado é a inversão por quadratura de Gauss, que é a definida por:
÷
ø
ö
ç
è
æ
= å
=
t
s
F
t
s
A)t(f k
M
1k
k
k , (3.2)
onde kA e ks são parâmetros complexos tabelados (vide Stroud & Secrest, Gaussian Quadrature).
Neste estudo, nos restringiremos a inversão da transformada de Laplace através de métodos
que usem uma tabela. Para tanto, vamos usar as técnicas de decomposição em frações parciais (ou
diretamente os teoremas de Heaviside) e de completamento de quadrados, as quais serão vistas ao
longo do texto deste material.
4. PROPRIEDADES DAS TRANSFORMADAS DE LAPLACE:
Nas propriedades a seguir, assumiremos que todas as funções envolvidas obedecem o teorema
da existência, a não ser que se diga o contrário.
Propriedade 1: (LINEARIDADE) Se ℒ[f(t)] = F(s) e ℒ[g(t)] = G(s), então, para quaisquer a
e b constantes complexas,

7. Cálculo Avançado A - Transformadas de Laplace
7
ℒ ( ) ( )[ ] atgbtfa =+ ℒ ( )[ ] btf + ℒ ( )[ ] ( ) ( )sbGsaFtg += (4.1)
ou
ℒ ( ) ( )[ ] asGbsFa1
=+−
ℒ ( )[ ] bsF1
+−
ℒ ( )[ ] ( ) ( )tgbtfasG1
+=−
. (4.2)
Observação: Este resultado pode ser estendido facilmente para mais de duas funções.
Prova: direta da definição.
Exemplo 1: ℒ
úû
ù
êë
é −+− te5)t2(cos32t4 = 4ℒ 3]t[ 2
− ℒ[ ] 5)t2cos( + ℒ =−
]e[ t
1s
5
4s
s3
s
8
1s
1
4s
s3
s
!2
4
2323 +
+
+
−=
+
+
+
−= .
Exemplo 2: Encontre a transformada inversa de Laplace, f(t), de
)6s)(2s)(1s(
16s2s3
)s(F
2
−+−
+−
= .
Sabe-se que a função racional acima pode ser escrita como a soma de funções racionais mais
simples, da forma:
( )
)6s(
C
)2s(
B
)1s(
A
sF
−
+
+
+
−
= , (4.3)
ou, efetuando a soma destas frações,
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( )( )6s2s1s
2s1sC6s1sB6s2sA
sF
−+−
+−+−−+−+
= . (4.4)
Assim, igualando a expressão original da F(s) com a Eq. (4.4), obtemos que,
( )( ) ( )( ) ( )( )2s1sC6s1sB6s2sA16s2s3 2
+−+−−+−+=+− . (4.5)
Em princípio, poderíamos obter A, B e C, igualando os coeficientes das potências de s. No
entanto, este não seria o método mais rápido e eficiente, pois no caso, conduz a um sistema de três
equações e três incógnitas. É fácil observar que estas igualdades valem sempre, isto é, para todo o
valor de s. Assim, escolhendo valores para s que tornem nulos dois termos do lado direito da igualdade
(4.5), deveremos ter:
( )( )
15
17
Aou16236121A1s −=+−=−+Þ= ,
( )( )
3
4
Bou164126212B2s =++=−−−−Þ−=

8. Cálculo Avançado A - Transformadas de Laplace
8
e
( )( )
5
14
Cou16623632616A6s =+×−×=+−Þ= .
Assim,
( )
( ) ( ) ( )6s
1
5
14
2s
1
3
4
1s
1
15
17
sF
−
+
+
+
−
−= . (4.6)
Esta técnica é denominada Separação em Frações Parciais. Agora, o cálculo da transformada inversa
de F(s) é simples, bastando para tanto, usar a linearidade (4.2) e a equação (2.5). Temos então que:
( ) t6t2t
e
5
14
e
3
4
e
15
17
tf ++−= −
. (4.7)
Não é difícil observar que este método sempre fornece resultados rápidos para a transformada
inversa de Laplace, desde que tenhamos F(s) como uma função racional, com o grau do numerador
menor que o grau do denominador e o denominador com raízes simples. Resumindo este
procedimento, tem-se o teorema de Heaviside:
Teorema de Heaviside: Seja uma função racional
( )
( )sQ
sP
, onde P(s) e Q(s) são polinômios,
com grau(P(s)) < grau(Q(s)) = N. Se todas as raízes ns de Q(s), com n = l, 2,..., N, são simples, então:
ℒ
( )
( )
ts
N
ln
n
1 neA
sQ
sP
å
=
−
=ú
û
ù
ê
ë
é
, (4.8)
onde
( ) ( ) ( )
( )n
n
n
ss
n
sQ
sP
sFsslimA
n ′
=−=
→
, (4.9)
sendo que ( )nsQ′ denota a derivada de Q(s), calculada na raiz ns .
Exemplo 3: Encontre a transformada inversa de Laplace, f(t), de F(s) =
1sss
1
23
+++
.
Podemos ver que ( ) ( ) ( ) )1s)(js(js1s)1s(1sss)s(Q 223
++−=++=+++= , ou seja, temos
três raízes distintas, 1s,js,js 32l −=−== . Assim, podemos usar o teorema de Heaviside,

9. Cálculo Avançado A - Transformadas de Laplace
9
considerando 1)s(P = e 1s2s3)s(Q 2
++=′ , ou seja,
4
j1
2)2(
j22
j22
1
)j(Q
)j(P
22
−−
=
+−
−−
=
+−
=
′
,
4
j1
2)2(
j22
j22
1
)j(Q
)j(P
22
+−
=
+−
+−
=
−−
=
−′
−
e
2
1
)1(Q
)1(P
=
−′
−
. Concluindo, temos que:
)tsen(
2
1
)tcos(
2
1
e
2
1
e
4
j1
e
4
j1
e
2
1
)t(f tjtjtt
+−=
−−
+
+−
+= −−−
, (4.10)
Na equação (4.10), usamos a expressão da exponencial complexa para transformar jt
e e jt
e−
em
sem(t) e cos(t). Observem que, após esta transformação, a função f(t) é uma função real (sem nenhum
termo imaginário). Este fato sempre ocorrerá na inversão da transformada de Laplace.
Propriedade 2: (PRIMEIRO TEOREMA DA TRANSLAÇÃO) Se ℒ ( )[ ] )s(Ftf = , então
ℒ ( )[ ] ( )asFtfe ta
−= (4.11)
ou
ℒ ( )[ ] ( )tfeasF at1
=−−
. (4.12)
Este resultado pode também ser chamado de propriedade do amortecimento, pois se a função
f(t) for “amortecida” pelo fator exponencial at
e−
, com a > 0, então a transformada de Laplace será
deslocada para a esquerda a unidades em relação a nova variável s.
Prova: ℒ ( )[ ] ( ) ( ) ( )òò
+∞ −−+∞ −
−===
0
tas
0
atstta
)as(Fdttfedttfeetfe .
Exemplo 4: Sabendo que ℒ[ ] ,
4s
s
)t2cos(
2
+
= calcule ℒ ])t2cos(e[ t−
.
ℒ [ ] ( ) 5s2s
1s
41s
1s
)t2cos(e
22
t1
++
+
=
++
+
=−−
. (4.13)
Exemplo 5: Calcule ℒ ú
û
ù
ê
ë
é
+−
−−
20s4s
4s6
2
1
.
ℒ ú
û
ù
ê
ë
é
+−
−−
20s4s
4s6
2
1
= ℒ
( )
( ) ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
+−
+−−
162s
82s6
2
1
= 6ℒ
( ) ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
+−
−−
162s
2s
2
1
+ 2ℒ
( ) ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
+−
−
162s
4
2
1
=
)t4(sine2)t4(cose6 t2t2
+= . (4.14)

10. Cálculo Avançado A - Transformadas de Laplace
10
O processo realizado na primeira igualdade da equação (4.14) acima é conhecido como completamento
de quadrados.
Exemplo 6: Mostre que ℒ
( ) )!1n(
et
as
1 at1n
n
1
−
=
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
−
−
−
, onde a é qualquer complexo e n é natural.
Usando a propriedade 2 acima e a equação (2.7) da seção 2 acima, obtemos que
ℒ
( )
at
n
1
e
as
1
=
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
−
−
ℒ
)n(
e
s
1 at
n
1
Γ
=ú
û
ù
ê
ë
é−
ℒ
)!1n(
et
s
)n( at1n
n
1
−
=ú
û
ù
ê
ë
éΓ −
−
, (4.15)
pois )!1n()n( −=Γ (vide propriedade 3, da seção 1, do Apêndice A).
Exemplo 7: Calcule a transformada inversa de Laplace da função ( ) 2/1
3s2)s(F −
+= .
ℒ
( )
2
1
3s2
1
2
1
1
=
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
+
−
ℒ 2/t3
2
1
1
e
2
1
2
3
s
1 −−
=
ú
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
ℒ
t2
e
2
1
t
2
e
s
1 t32/1t3
2/1
1
π
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
Γ
=ú
û
ù
ê
ë
é −−−
−
. (4.16)
Exemplo 8: Calcule a transformada inversa de Laplace de
( )3
2
1s
s
)s(F
−
= .
Usando a decomposição em frações parciais, a função F(s) é rescrita como:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )3
2
323
2
1s
C1sB1sA
1s
C
1s
B
1s
A
1s
s
−
+−+−
=
−
+
−
+
−
=
−
. (4.17)
Então, comparando os numeradores da equação (4.17), obtemos que A = 1, B = 2 e C = 1. Assim ,pela
linearidade da transformada inversa de Laplace e pelo exemplo 5 acima, concluímos que:
ℒ
( ) ÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
++=
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
−
−
2
t
t21e
1s
s 2
t
3
2
1
. (4.18)
Devemos observar que, neste caso, temos uma raiz tripla em s = 1. Assim, não podemos
aplicar o teorema de Heaviside neste problema. No entanto, abaixo apresentamos uma generalização
deste teorema para o caso de funções racionais cujo denominador tenha raízes múltiplas.
Teorema de Heaviside Generalizado: Consideremos a mesma situação do teorema de
Heaviside. Se 1s é uma raiz de Q(s) de multiplicidade m e as demais (n - m) raízes de Q(s) são simples
temos que:

11. Cálculo Avançado A - Transformadas de Laplace
11
( )
( ) åå
+==
−
+
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
−
=
n
1mk
ts
k
m
1k
km
kts k1 eA
!km
tA
etf , (4.19)
onde
( )
( ) ( ){ } m,...,3,2,1kpara,sFss
ds
d
!1k
1
limA m
11k
1k
ss
k
1
=−
−
=
−
−
→
, (4.20)
e
( ) ( ) n),...,2m(),1m(kpara,sFsslimA k
ss
k
k
++=−=
→
. (4.21)
Exemplo 9: Calcule ℒ
( ) ( )ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
+−
+−−
3s1s
19s9s2
2
2
1
.
Usando o teorema de Heaviside Generalizado, considerando que o denominador de F(s) tem
como raízes 1mcom,3se,2mcom,1s 21 =−=== , vemos que a transformada inversa de Laplace
desta função tem a forma:
f( )
( ) ( )
t3
3
22
2
12
lt
eA
!22
tA
!12
tA
et −
−−
+
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
−
+
−
= , (4.22)
onde:
( )
( )
( ) ( )
3
3s
19s9s2
lim
3s1s
19s9s2
1s
!11
1
limA
2
1s2
2
2
1s
1 =
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
+−
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+−
+−
−
−
=
→→
, (4.23)
( )
( )
( ) ( ) ( )
2
3s
)19s9s2()3s)(9s4(
lim
3s1s
19s9s2
1s
ds
d
!12
1
limA
2
2
1s2
2
2
1s
2 −=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
+−−+−
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+−
+−
−
−
=
→→
(4.24)
e
( )
( ) ( ) ( )
4
1s
19s9s2
lim
3s1s
19s9s2
3slimA
2
2
3s2
2
3s
3 =
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
−
+−
=
+−
+−
+=
−→−→
. (4.25)
Concluindo,
( ) ( ) t3t
e42t3etf −
+−= . (4.26)
Exemplo 10: Calcule ℒ
( ) ( ) ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
++
+−
22
1
2s1s
3s2
.

12. Cálculo Avançado A - Transformadas de Laplace
12
Como a função F(s) tem as raízes duplas 2se1s 21 −=−= , pelo teorema de Heaviside
Generalizado temos a solução:
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
−
+
−
+
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
−
+
−
=
−−
−
−−
−
!22
tB
!12
tB
e
!22
tA
!12
tA
etf
22
2
12
1t2
22
2
12
1t
, (4.27)
onde:
( )
( )
( ) ( ) ( )
1
2s
3s2
lim
2s1s
3s2
1s
!11
1
limA
21s22
2
1s
1 =
+
+
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
++
+
+
−
=
−→−→
, (4.28)
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
0
2s
2s23s22s2
lim
2s1s
3s2
1s
ds
d
!12
1
limA
4
2
1s22
2
1s
2 =
+
++−+
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
++
+
+
−
=
−→−→
, (4.29)
( )
( )
( ) ( ) ( )
1
1s
3s2
lim
2s1s
3s2
2s
!11
1
limB
22s22
2
2s
1 −=
+
+
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
++
+
+
−
=
−→−→
(4.30)
e
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
0
1s
1s23s21s2
lim
2s1s
3s2
2s
ds
d
!12
1
limB
4
2
2s22
2
2s
2 =
+
++−+
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
++
+
+
−
=
−→−→
. (4.31)
Concluindo,
( ) ( )t2t
eettf −−
−= . (4.32)
Exercício: Aplique o teorema generalizado de Heaviside no exemplo 8 acima.
Propriedade 3: (SEGUNDO TEOREMA DA TRANSLAÇÃO) Se ℒ ( )[ ] ( )sFtf = , então
ℒ ( )[ ] ( )sFe)at(Hatf as−
=−− (4.33)
onde a > 0 é um dado real, ou
ℒ ( ) ( ) ( )atfatH]sFe[ as1
−−=−−
. (4.34)
Prova: Considerando que a seja real positivo,
ℒ ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ==−=−−=−− òòò
∞ −−∞ −∞ −
duufedtatfedt)at(Hatfe)at(Hatf
0
aus
a
st
0
st

13. Cálculo Avançado A - Transformadas de Laplace
13
( ) ( )sFeduufee as
0
suas −∞ −−
== ò , (4.35)
onde foi feita a mudança de variável u = t - a.
Exemplo 11: Sabendo que ℒ[ ] ,
s
!3
t
4
3
= calcule ℒ ( )( ) ]2t.2tH[ 3
−− .
Pela propriedade 3 acima, ℒ ( )( ) 4
s2
3
s
e6
]2t.2tH[
−
=−− .
Exemplo 12: ℒ ÷
ø
ö
ç
è
æ π
−÷
ø
ö
ç
è
æ π
−=
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
+
π−
−
3
tsin
3
tH
1s
e
2
3/s
1
.
Exemplo 13: Calcule a transformada inversa de Laplace da função
( )
13s4s
4s3e
)s(F
2
s3
+−
−
=
−
.
È importante ressaltar que para aplicar a decomposição em frações parciais (ou o teorema de
Heaviside), a função F(s) deve ser racional. Portanto, o primeiro passo a ser executado neste problema
é o uso da propriedade 3. Assim,
ℒ
( )
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
+−
−−
−
13s4s
4s3e
2
s3
1
=ℒ )3t(H
13s4s
4s3
3tt
2
1
−ú
û
ù
ê
ë
é
+−
−
−=
−
. (4.36)
Agora, para resolver a transformada inversa de Laplace que aparece no lado direito da equação (4.36),
poderemos usar a decomposição em frações parciais. No entanto, as raízes do polinômio do
denominador da função racional são complexas, o que dificulta um pouco os cálculos envolvidos
(estes cálculos ficam como exercício). Assim, é mais conveniente aplicar o completamento de
quadrados no denominador desta função, ou seja,
ℒ =ú
û
ù
ê
ë
é
+−
−−
13s4s
4s3
2
1
ℒ ÷
ø
ö
ç
è
æ
+=
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
+−
+−−
)t3sen(
3
2
)t3cos(3e
9)2s(
2)2s(3 t2
2
1
, (4.37)
sendo que, na última igualdade da Eq. (4.37), utilizamos a propriedade 2. Concluindo,
ℒ [ ] )3t(H))3t(3sen(
3
2
))3t(3cos(3e)s(F )3t(21
−÷
ø
ö
ç
è
æ
−+−= −−
. (4.38)
Propriedade 4: (MUDANÇA DE ESCALA) Se ℒ ( )[ ] ( )sFtf = então ℒ ( )[ ] ÷
ø
ö
ç
è
æ
=
a
s
F
a
1
atf .
Observação: A prova desta propriedade fica como exercício.

14. Cálculo Avançado A - Transformadas de Laplace
14
Exemplo 14: Sabendo que ℒ ( )[ ]
1s
1
tsen
2
+
= , encontre ℒ[ ])t3sen( .
Pela propriedade 4 acima, ℒ[ ]
( ) 9s
3
13/s
1
3
1
)t3sen(
22
+
=
+
= .
Propriedade 5: (MULTIPLICAÇÃO POR T) Se ℒ ( )[ ] )s(Ftf = , então, para todo n natural,
ℒ ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )( )sF1s
ds
Fd
1tft nn
n
n
nn
−=−= . (4.39)
Prova: Sabendo que ( )ò
∞ −
=
0
st
dttfe)s(F , esta prova é obtida usando-se o Princípio da
Indução sobre n. Na base de indução (n = 1), usamos a regra de Leibnitz para diferenciação, ou seja,
( ) [ ] ( ) ( )( ) −=−=
∂
∂
= òòò
∞+ −−∞+∞+ −
0
stst
00
st
dttftedttfe
s
dttfe
ds
d
ℒ ( )[ ]tft , (4.40)
isto é, ℒ ( )[ ] ( )sF
ds
d
tft −= , o que comprova a validade da equação (4.39) para n = 1.
No passo de indução, vamos supor então que a Eq. (4.39) é valida para n = k, e vamos mostrar
sua validade para n = k+1. Assim,
ℒ ( ) =+
]tft[ 1k
ℒ ( )( )[ ] ds
d
tftt k
−= ℒ ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )s
ds
Fd
1s
ds
Fd
1
ds
d
tft
1k
1k
1k
k
k
kk
+
+
+
−=−−= , (4.41)
o que demonstra esta propriedade.
Exemplo 15: Se ℒ[ ] 2s
1
e t2
−
= , então, pela propriedade 5 acima, temos que
ℒ[ ] ( )2
t2
2s
1
2s
1
ds
d
te
−
=÷
ø
ö
ç
è
æ
−
−= (4.42)
e
ℒ[ ] ( )32
2
t22
2s
2
2s
1
ds
d
et
−
=÷
ø
ö
ç
è
æ
−
= . (4.43)
Exemplo 16: Calcule a transformada de Laplace de
ïî
ï
í
ì
≥
<≤
= −
4tse,te
4t0se,0
)t(f t3
.

15. Cálculo Avançado A - Transformadas de Laplace
15
Usando a função de Heaviside (vide Apêndice A, seção 2), a função f(t) acima é rescrita como
)4t(Hte)t(f t3
−= −
. Para calcular sua transformada de Laplace podemos usar as propriedades 2, 3 ou
5, desde que tomemos certos cuidados. Por uma questão de simplicidade, aconselha-se usar, sempre
que possível, primeiramente a propriedade 2, depois a 3 e, por último a 5. Assim,
ℒ[ ]=)t(f ℒ[ ] s4
3ss
e{)4t(H)44t( −
+=
=−+− ℒ[ ] =
þ
ý
ü
î
í
ì
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+=+
++
−
+=
3ss
2
s4
3ss s
4
s
1
e}4t
2
)3s(4
)3s(
)3s(41
e
+
++
= +−
. (4.44)
Propriedade 6: (FUNÇÕES PERIÓDICAS) Se f(t) é uma função periódica com período T,
isto é, f (t + T) = f(t), para todo t ≥ 0, então
ℒ ( )[ ]
( )
sT
T
0
st
e1
dttfe
tf
−
−
−
=
ò
. (4.45)
Prova: Se f(t) é uma função periódica com período T, então, onde n é um número inteiro,
temos que ( ) ( ) ( ) ( ) KK =+==+=+= nTtfT2tfTtftf . Assim, obtemos que:
( ) ( ) ( ) K+++= òòòò
−−−+∞ −
dt)t(fedttfedttfedttfe
T3
T2
stT2
T
stT
0
st
0
st
, (4.46)
então, fazendo mudança de variável nas integrais da Eq. (4.46), resulta:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K+++++= òòòò
+−+−−+∞ − T
0
T2tsT
0
TtsT
0
st
0
st
dtT2tfedtTtfedttfedttfe . (4.47)
Usando a periodicidade da função f(t) e lembrando que å
+∞
=
−
=
0n
n
x1
1
x , se 1x < , obtemos:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
,
e1
dttfe
dt)t(fee
dttfeedttfeedttfedttfe
sT
T
0
st
T
0
st
0k
ksT
T
0
stsT2T
0
stsTT
0
st
0
st
−
−
−
∞+
=
−
−−−−−+∞ −
−
==
=+++=
ò
òå
òòòò K
(4.48)
como queríamos demonstrar.
Exemplo 17: Determine F(s) = ℒ ( )[ ]tf , onde

16. Cálculo Avançado A - Transformadas de Laplace
16
( ) ( ) ( ) 0ttodopara,tf2tfe
2t1se,1
1t0se,1
tf ≥=+
î
í
ì
<≤−
<≤
= . (4.49)
Usando a propriedade 6 acima, obtemos que:
( ) ( ) ( )
( )
.
2
s
tgh
s
1
)ee(s
ee
e
e
)e1(s
e1
)e1)(e1(s
)e1(
)e1(s
ee21
e1s
eee1
e1
dtedte
e1
dttfe
)s(F
2/s2/s
2/s2/s
2/s
2/s
s
s
ss
2s
s2
s2s
s2
s2ss
s2
1
0
2
1
stst
s2
2
0
st
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
+
−
=⋅
+
−
=
−+
−
=
=
−
+−
=
−
−−−
=
−
−
=
−
=
−
−
−
−
−−
−
−
−−
−
−−−
−
−−
−
−
ò òò
(4.50)
Propriedade 7: (DIVISÃO POR T) Se ℒ ( )[ ] ( )sFtf = e existe o limite
t
)t(f
lim
0t→
, então
ℒ
( ) ( )duuF
t
tf
sò
∞+
=ú
û
ù
ê
ë
é
. (4.51)
Exemplo 18: Como 1
t
)tsen(
lim
0t
=
→
, temos que
ℒ ò
∞+ −
÷
ø
ö
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
+
=úû
ù
êë
é
s
1
2 s
1
tgou
s
1
arctg
1u
du
t
)tsen(
. (4.52)
Propriedade 8: (TRANSFORMADA DE LAPLACE DE DERIVADAS) Se ℒ ( )[ ] ( )sFtf = ,
com )t(f ′ continua por partes, então ℒ ( )[ ] ( ) ( )0fsFstf −=′ .
Prova: ℒ ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) s0fdttfesetfdttfetf
0
st
0
st
0
st
+−=+=′=′ òò
∞+ −
+∞
−∞+ −
ℒ ( )[ ]tf .
Propriedade 9 (DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR) Se ℒ ( )[ ] ( )sFtf = e )t(f ′ é contínua
por partes, então
ℒ ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )0f0fs0fs0fssFstf 1n2n2n1nn)n( −−−−
−−−′−−= K . (4.53)
Prova: A demonstração é obtida pelo Princípio Indução Matemática sobre n, ficando esta
prova como exercício.
Exemplo 19: Se ℒ[ ]
9s
s
)t3cos(
2
+
= , calcule ℒ[ ])t3sen( .
Usando a linearidade e a propriedade 8 acima, temos que

17. Cálculo Avançado A - Transformadas de Laplace
17
ℒ[ ]
3
1
)t3sen( −= ℒ ( )
9s
3
9s
9ss
3
1
1
9s
s
s
3
1
)t3cos(
dt
d
22
22
2
+
=
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
+
−−
−=ú
û
ù
ê
ë
é
−
+
−=ú
û
ù
ê
ë
é
. (4.54)
Propriedade 10: (TRANSFORMADA DE LAPLACE DE INTEGRAIS) Se ℒ ( )[ ] ( )sFtf = ,
então ℒ ( ) ( )
s
sF
duuf
t
0
=úû
ù
êë
é
ò .
Exemplo 20: ℒ
( )4ss
2
du)u2sen(
2
t
0 +
=úû
ù
êë
é
ò .
Propriedade 11: (COMPORTAMENTO DE F(s) QUANDO +∞→s ) Se ℒ ( )[ ] ( )sFtf = ,
então 0)s(Flim
s
=
+∞→
.
Propriedade 12: (TEOREMA DO VALOR INICIAL) Se ℒ ( )[ ] ( )sFtf = , então
)s(sFlim)t(flim
s0t +∞→→
= . (4.55)
Prova: Pela definição e propriedade 8, temos que ℒ ( )[ ] ( ) ( ) ( )0fsFsdttfetf
0
st
−=′=′ ò
+∞ −
.
Assim, temos que:
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )úû
ù
êë
é
−úû
ù
êë
é
=−úû
ù
êë
é
=−=′
→+∞→+∞→+∞→
∞+ −
+∞→
ò tflimsFslim0fsFslim0fsFslimdttfelim
0tsss0
st
s
, (4.56)
ou seja, ( ) ( )úû
ù
êë
é
−úû
ù
êë
é
=
→+∞→
tflimsFslim0
0ts
, o que demonstra esta propriedade.
Propriedade 13 (TEOREMA DO VALOR FINAL) Se ℒ ( )[ ] ( )sFtf = , então
)s(sFlim)t(flim
0st →+∞→
= . (4.57)
Prova: Pela definição e propriedade 8, temos que ℒ ( )[ ] ( ) ( ) ( )0fsFsdttfetf
0
st
−=′=′ ò
+∞ −
.
Assim,
( ) ( ) ( )0fsFslimdttfelim
0s0
st
0s
−úû
ù
êë
é
=′
→
∞+ −
→
ò . (4.58)
Mas, por outro lado,

18. Cálculo Avançado A - Transformadas de Laplace
18
( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }
( ) ( ).0fRflim
0fRflimdttflimdttfdttfelim
R
R
R
0R00
st
0s
−úû
ù
êë
é
=
=−=′=′=′
+∞→
+∞→+∞→
+∞+∞ −
→
òòò
(4.59)
Portanto, das equações (4.58) e (4.59), obtemos a fórmula (4.57), provando a propriedade 13.
5. TEOREMA DA CONVOLUÇÃO:
Muitas vezes, para resolver Equações Diferenciais pela aplicação da transformada de Laplace,
precisamos inverter funções do tipo [F(s).G(s)]. Para tanto, vamos definir a Convolução entre duas
funções f(t) e g(t).
Definição: A convolução de duas funções f(t) e g(t), denotada por gf ∗ , é definida por:
( ) ( )ò ττ−τ=∗
t
0
dtgf)t(g)t(f . (5.1)
Observa-se que gf ∗ é uma função de t e, é fácil mostrar que, ( ) ( ) )t(fg)t(gf ∗=∗ , para todo
t real positivo.
Teorema da Convolução: Se ℒ ( )[ ] )s(Ftf = e ℒ ( )[ ] )s(Gtg = , então:
ℒ ( )[ ] ( ) ( )sG.sF)t(g*f = (5.2)
ou, simplesmente,
ℒ ( ) ( )[ ] ( ) )t(gfsG.sF1
∗=−
. (5.3)
Exemplo 1: Prove que ( )ò =−
t
0
)tsen(
2
t
duutcos)usen( .
Considerando F(s) = ℒ[ ]
1s
1
)tsen(
2
+
= e G(s) = ℒ[ ]
1s
s
)tcos(
2
+
= , obtemos do teorema da
Convolução que:
( ) =−ò
t
0
duutcos)usen( ℒ ( ) ( )[ ]=−
sG.sF1
ℒ
( ) ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
+
−
22
1
1s
s
(5.4)
e obtemos, das propriedades 1 e 5 da seção anterior, que

19. Cálculo Avançado A - Transformadas de Laplace
19
ℒ
2
1
)tsen(t
2
1
=ú
û
ù
ê
ë
é
ℒ[ ] ( )
( ) ( )22222
1
1s
s
1s
s2
2
1
1s
1
ds
d
1
2
1
)tsen(t
+
=
+
−
−=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+
−= −
, (5.5)
o que comprova a afirmação acima.
Exemplo 2: Calcule a transformada inversa de
( )22
1ss
1
)s(F
+
= .
Sabe-se que ℒ t
s
1
2
1
=ú
û
ù
ê
ë
é−
e ℒ
( )
t
2
1
et
1s
1 −−
=
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
+
. Assim,
ℒ
( )
=ú
û
ù
ê
ë
é
+
−
22
1
1ss
1
ℒ
( )
( )òò =−=−=∗=
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
+
−−−− t
0
u2t
0
ut
22
1
dueuutdueu)ut(ett
1s
1
s
1
( )( ) ( )( ) ( )( ) 2te)2t(e2eu2teuut tt
0
uuu2
−++=−−+−−+−−= −−−− , (5.6)
sendo que no cálculo da integral acima, foi utilizada duas vezes a técnica de integração por partes.
Observação: Para inverter a transformada de Laplace acima, seria mais simples usar os
teoremas de Heaviside.
Para mais exemplos resolvidos ver os livros Transformadas de Laplace, coleção Schaum, de
Murray Spiegel, ou Moderna Introdução às Equações Diferenciais, coleção Schaum, de Richard
Bronson.