Teoria Da Probabilidade

Resumo básico de Teoria da Probabilidade
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f) o número escolhido é par e múltiplo de 3;
1. Elementos do estudo das probabilidades: g) o número escolhido é ímpar e múltiplo de 7.

a) Experimento aleatório: Consideramos experimentos 1. Probabilidade:
aleatórios os fenômenos que apresentam resultados Considerando um espaço amostral S, não -vazio, e um
imprevisíveis quando repetidos, mesmo que as evento E, sendo , a probabilidade de ocorrer o evento E é
condições sejam semelhantes.
b) Espaço amostral: Espaço amostral é o conjunto de o números real , tal que: , sendo S um conjunto
todos os resultados possíveis de ocorrer num equiprovável, ou seja, todos os elementos têm a mesma
experimento aleatório. Esse conjunto será indicado pela quot;chancequot; de acontecer:
letra S. : número de elementos do evento E
c) Evento: Evento (E) é qualq uer subconjunto de um : número de elementos do espaço amostral S
espaço amostral S. Muitas vezes um evento pode ser
caracterizado por um fato. 4. Qual A probabilidade de ocorrer o número 5 no
· Evento certo: evento que possui os mesmos elementos lançamento de um dado?
do espaço amostral.
· Evento impossível: evento igual ao conjunto vazio. 5. Qual a probabilidade de se obter um número par no
· Evento simples: evento que possui um único elemento. lançamento de um dado?
· Evento complementar: se A é um evento de um espaço
amostral S, o evento complementar de A indicado por é 6. Um disco tem uma face branca e a outra azul. Se o
tal, que . disco for lançado 3 vezes, qual a probabilidade de a face
· Eventos mutuamente exclusivos: dois ou mais eventos azul ser sorteada pelo menos uma vez?
são mutuamente exclusivos quando a ocorrência de um
deles implica a não-ocorrência do outro. Se A e B são 7. Um casal planeja ter 3 filhos. Qual a probabilidade de
eventos mutuamente exclusivos, então . os 3 serem do mesmo sexo?
EXERCÍCIOS 8. (Unesp-SP) João lança um dado sem que Antonio
veja. João diz que o número mostrado pelo dado é par.
1. No lançamento simultâneo de 2 dados, considere as Qual a probabilidade de Antonio descobrir esse número?
faces voltadas para cima e determine:
a) espaço amostral S; 9. (Vunesp) Um baralho de 12 cartas tem 4 ase s.
b) evento : números cuja soma é igual a 5; Retiram-se 2 cartas, uma após a outra. Determine a
c) Evento : números iguais; probabilidade de a segunda ser um ás, sabendo que a
d) Evento : números cuja soma é um número par; primeira é um ás.
e) Evento : números ímpares nos 2 dados;
f) Evento : número 2 em pelo menos um dos dados;
10. (UFSCar-SP) Uma urna tem 10 bolas idênticas,
g) Evento : números cuja soma é menor que 12;
numeradas de 1 a 10. Se retirar mos uma bola da urna, a
h) Evento : números cuja soma é maior que 12;
probabilidade de não obter mos a bola número 7 é igual a
i) Evento : números divisores de 7 nos dois dados.
quanto?
2. Um casal planeja ter 3 filhos. Determine os eventos:
11. Determine a probabilidade de se obterem os eve ntos
a) os 3 são do sexo feminino;
a seguir, no lançamento si multâneo de 2 dados,
b) pelo menos 1 é do sexo masculino;
observadas as faces voltadas para cima:
c) os 3 do mesmo sexo.
a) números iguais.
b) números cuja soma é igual a 5.
3. Uma urna contém 20 bolinhas numeradas de 1 a 20. c) números cuja soma é ímpar.
Escolhe-se ao acaso uma bolinha e observa -se os eu d) números cuja soma é par.
número. Determine os seguintes eventos: e) números cuja soma é menor que 12.
a) o número escolhido é ímpar; f) números cuja soma é maior que 12.
b) o número escolhido é maior que 15; g) números primos nos 2 dados.
c) o número escolhido é múltiplo de 5;
d) o número escolhido é múltiplo de 2 e de 3;
12. Uma urna contém 2 bolas brancas e 5 bolas
e) o número escolhido é primo;
vermelhas. Retirando-se 2 bolas ao acaso e sem
reposição, calcule a probabilidade de:


a) as bolas serem de cores diferentes 19. De uma reunião participam 200 profissionais, sendo
b) as 2 bolas serem vermelhas. 60 médicos, 50 dentistas, 32 enfermeiras e os demais
nutricionistas. Escolhido ao acaso um elemento do
13. (Mauá-SP) Uma caixa contém 11 bolas numeradas grupo, qual a probabilidade de ele ser médico ou
de 1 a 11. Retirando-se uma delas ao acaso, observa -se dentista?
que ela tem um número ímpar. Determine a
probabilidade de esse número ser menor que 5. 3. Probabilidade Condicional:
Considerando os eventos A e B de um espaço amost ral
14. Uma bola é retirada de uma urna que contém bol as S, define-se como probabilidade condicional do evento
coloridas. Sabe-se que a probabilidade de ter sido A, tendo ocorrido o evento B e indicado por, a razão:
retirada uma bola vermelha é . Calcule a probabilidade
de ter sido retirada uma bola que não seja vermelha. 4. Multiplicação de Probabilidades:
A probabilidade de ocorrer é igual ao produto da
3. União de dois eventos: probabilidade de um deles pela probabilidade do outro
Considerando A e B dois eventos contidos em um em relação ao primeiro.
mesmo espaço amostral S, o número de elementos da Sendo: ou, então:
reunião de A com B é igual ao número de elementos do ou
evento A somado ao número de elementos do evento B,
subtraído do número de elemen tos da intersecção de A 5. Eventos independentes:
com B. Sendo o número de elementos do espaço Dois eventos A e B de um espaço amostral S são
amostral, vamos dividir os dois mem bros da equação por independentes quando ou .
afim de obter a probabilidade . Sendo os eventos A e B independentes, temos: (I) e (II)
Substituindo (II) em (I), obtemos:
Para eventos mutuamente exclusivos , a equação obtida
fica: EXERCÍCIOS

15. Uma urna contém 30 bolinhas numeradas de 1 a 30. 20. Lançando-se simultaneamente dois dados, qual a
Retirando-se ao acaso uma bolinha da urna, qual a probabilidade de se obter o número 1 no primeiro dado e
probabilidade de essa bolinha ter um número múltiplo de o número 3 no segundo dado?
4 ou de 3?
21. Uma urna A contém 3 bolas brancas, 4 pretas e 2
16. Jogando-se um dado, qual a probabilidade de se verdes. Uma urna B contém 5 bolas brancas, 2 pretas e 1
obter o número 3 ou um número ímpar? verde. Uma urna C contém 2 bolas brancas, 3 pretas e 4
verdes. Uma bola é retirada de cada uma. Qual é a
17. Consultadas 500 pessoas sobre as emissora s de TV probabilidade de as três bolas reti radas da primeira,
que habitualmente assistem, obteve -se o seguinte segunda e terceira urnas serem respectivam ente, branca,
resultado: 280 pessoas assistem ao canal A, 250 assistem preta e verde?
ao canal B e 70 assistem a outros canais, distintos de A e
B. Escolhida uma pessoa ao acaso, determine a 22. A probabilidade de que um aluno A resolva ce rto
probabilidade de que ela assista: problema é , a de que outro aluno B o resolva é e a de
a) ao canal A que um aluno C o resolva é . Calcule a probabilidade de
b) ao canal B que os três resolvam o problema.
c) ao canal A ou ao canal B
23. (Cesgranrio-RJ) Dois dados são lançados sobre uma
18. (PUCCAMP-SP) Num grupo, 50 pessoas pertencem mesa. Qual probabilidade de ambos os dados mostrarem
a um clube A, 70 pertencem a um clube B, 30 a um na face superior números ímpares?
clube C, 20 pertencem aos clubes A e B, 22 aos clubes A
e C, 18 aos clubes B e C e 10 pertencem aos 3 clubes. 24. (Unesp) Num grupo de 100 pessoas da zona rura l, 25
Escolhida ao acaso uma das pessoas presentes, qual a estão afetadas por uma parasitose intestinal A e 11 por
probabilidade de ela: uma parasitose intestinal B, não se verificando nenhum
a) pertencer aos 3 clubes caso de incidência conjunta de A e B. Duas pessoas
b) pertencer somente ao clube C desse grupo são escolhidas, aleatoriamente, uma após a
c) pertencer a pelo menos dois clubes outra. Determine a probabilidade de que, dessa dupla, a
d) não pertencer ao clube B primeira pessoa esteja afet ada por A e a segunda por B.


25. (Unesp) Numa gaiola estão nove camundongos a) a probabilidade de se encontrar a chave certa d epois
rotulados 1, 2, 3, ..., 9. Selecio nando-se conjuntamente da primeira tentativa;
dois camundongos ao acaso (todos têm igual b) a probabilidade de se acertar na primeira t entativa;
probabilidade de escolha), qual a probabilidade de que c) a probabilidade de se acertar somente na última
na seleção ambos os camundongos tenham rótulo ímpar? tentativa.

6. Distribuição binomial: 33. Carolina lança um dado, observa a face superior e
telefona a Marcelo dizendo -lhe que o número mostrado
Considerando um experimento aleatório, observa-se a pelo dado é ímpar. Qual a proba bilidade de Marcelo
probabilidade de ocorrer um evento E (sucesso), assim acertar?
como o seu complementar E (insucesso), em n tentativas
independentes. A probabilidade de ocorrerem k sucessos 34. Na tentativa de melhorar o desempenho do
e fracassos é dada pelo termo geral do Binômio de transplante de determinado órgão hu mano, uma equipe
Newton . médica desenvolveu novo instrumental cirúrgico,
, sendo p a probabilidade de sucesso em cada te ntativa e obtendo um resultado positivo em 90% dos transplantes
a probabilidade de fracasso. efetuados. Determine a probabilidade de 5 transplantes
quot;Sucessoquot; e quot;fracassoquot; aqui apenas representam serem bem-sucedidos, caso esse procedim ento seja
ocorrências que se excluem e se complementam: realizado 6 vezes.
a) se ocorre um sucesso, não ocorre um fracasso, e vice -
versa. 35. Um vestibulando, ao olhar o relógio, perce beu que
b) Sucesso e fracasso cobrem todas as possibilidades, só restavam dez minutos para o término da prova. Diante
não há ocorrência diferente dessas. disso, resolveu responder, sem critério, as 5 questões que
ainda não tinham resolução. Considerando que cada
26. Um dado é lançado 5 vezes. Qual a probabilidade de questão tem 5 alternativas, sen do apenas uma delas
o número 2 aparecer 3 vezes? (3,2% aproximadamente) correta, qual a probabilidade de sse vestibulando acertar
3 dessa questões?
27. Se jogarmos 7 vezes uma moeda, qual a
probabilidade de obtermos coroa 5 vezes? (16,4% 36. (Cesgranrio) Três moedas são lançadas
aproximadamente) simultaneamente. Qual a probabilidade de se obter 2
caras e 1 coroa?
28. Dois times de futebol A e B disputam 6 partidas.
Qual a probabilidade de o time A ganhar 4 partidas? 37. Para animar uma festa, o anfitrião resolveu oferecer
(8,2% aproximadamente) um prêmio para quem, ao lançar 5 vezes uma moeda,
obtivesse coroa, exatamente 3 vezes. Qual a
29. Sabendo-se que a probabilidade de uma p essoa probabilidade de um candidato levar o prêmio, ca so
acertar um tiro no alvo é, qual a probabilidade de acertar participe apenas uma vez?
pelo menos um tiro em 4 tent ativas?
38. (Mack-SP) Jogando 5 vezes um dado honesto, qual a
30. (Cescem-SP) Qual é a maior probabilidade: de se probabilidade de ocorrer só três vezes o resultado 2?
obter 50% de caras no lançamento de 4 moedas ou 50%
de caras no lançamento de 40 moedas? 39. (FEI-SP) Um caçador treina tiro ao alvo usando uma
lâmpada como alvo. A probabilidade de acertar um tiro
31. (Vunesp-SP) Dois jogadores A e B vão lançar um na lâmpada é 20%. Sabendo -se que o caçador só possui
par de dados. Eles combinam que se a soma dos 5 balas, qual a probabilidade de atingir a lâmpada?
números dos dados for 5, A ganha; se essa soma for 8, B
é quem ganha. Os dados são lançados. Sabe -se que A 40. Uma prova teste, possui 10 questões com 5
não ganhou. Qual a probabilidade de B ter ganho? alternativas cada, com uma única cor-reta. Qual a
probabilidade de acertar 8 das 10 questões?
32. (Unicamp-SP) Ao se tentar abrir uma porta com um
chaveiro contendo várias cha ves parecidas, das quais EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
apenas uma destranca a referida porta, muitas pessoas
acreditam que é mínima a chance de se encontrar a 1. (UFPA) Numa lanchonete que vende cachorro -quente
chave certa na primeira tentativa, e chegam mesmo a são oferecidos ao freguês pimenta, cebola, mostarda e
dizer que essa chave só vai aparecer na última tentativa. molho de tomate como temperos adicio nais. Quantos
Para esclarecer essa questão, calcule, no caso de um tipos de cachorro quentes diferentes (pela adição ou não
chaveiro contendo 5 chaves: de algum tempero) podem ser vendidos?


2. (Fuvest-SP) Duas pessoas A e B arremessam moedas. · x+3 delas são verdes e numeradas seqüencialm ente de
Se A faz 2 arremessos e B faz 1, qual a probabilidade de 1 a x+3.
A obter o mesmo número de coroas que B? a) Qual o valor numérico de x?
b) Qual a probabilidade de ser retirada, ao acaso, uma
3. (Fuvest-SP) Seis pessoas A, B, C, D, E e F, vão bola azul ou uma bola com o número 12?
atravessar um rio em 3 barcos. Distribuindo -se ao acaso
as pessoas de modo que fiquem 2 em cada barco, qual a
probabilidade de A atravessar com B, C junto com D e E
junto com F?

4. (Fuvest-SP) Duas pessoas A e B, jogam dado
alternadamente, começando com A, até que uma delas
obtenha um 6; a primeira que obtiver o 6 ganha o jogo.
a) Qual a probabilidade de A ganhar na primeira jogada?
b) Qual a probabilidade de B ganhar na segunda jogada?
c) Calcule a probabilidade de A ganhar o jogo.

5. (Fuvest-SP) Escolhem-se ao acaso 2 números naturais
distintos, de 1 a 20. Qual a probabilidade de que o
produto dos números escolhidos seja ímpar?

6. De uma urna que contém 18 bolas, sendo 10 pretas e 8
vermelhas, retiramos 3 bolas, sem reposição. Qual é a
probabilidade de as primeiras serem pretas e a terceira
ser vermelha?

7. (Fuvest-SP) Uma urna contem 3 bolas: 1 verde, 1 azul
e 1 branca. Tira-se uma bola ao acaso, registra -se a cor e
coloca-se a bola de volta na urna. Repete -se essa
experiência mais 2 vezes. Qual a probabilidade de serem
registradas 3 cores distintas?

8. Fuvest-SP) Sorteiam-se 2 úmeros ao acaso entre 101 e
1000, inclusive, com reposição. Calcule a probabilidade
de que o algarismo das unidades do produto dos
números sorteados não seja zero.

9. (FEI-SP) Numa urna foram colocadas 30 bolas: 10
azuis numeradas de 1 a 10, 15 bolas brancas numeradas
de 1 a 15 e 5 bolas cinza numeradas de 1 a 5. Ao retirar -
se aleatoriamente uma bola, qual a probabilidade de se
obter uma bola par ou branca?

10. (Osec-SP) Lançando-se um dado 2 vezes, vamos
observar os pares ordenados de números das faces
superiores. Qual a probabilidade de ocorrência do
número 5 em pelo menos uma vez?

11. (Unicamp-SP) Uma urna contém 50 bolas qu e se
distinguem apenas pelas se guintes características:
· x delas são brancas e numeradas seqüencialmente com
os números naturais de 1 a x;
· x+1 delas são azuis e numeradas seqüencialmente com
os números naturais de 1 a x+1;
· x+2 delas são amarelas e numeradas seqü encialmente
com os números naturais de 1 a x+2;

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