Origen, definición de los Logaritmos

2. HISTORIA DE LOS LOGARITMOS
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2 4 8 16 32 64 128 25
6
512 1024 204
8
409
6
•Los orígenes del descubrimiento, o
invención, de los logaritmos se remontan
hasta los estudios de Arquímedes referidos a
la comparación de las sucesiones aritméticas
con las geométricas.
•Para comprender tal comparación veamos,
por ejemplo, las siguientes dos sucesiones:
•Esta comparación de dos sucesiones vuelve a
aparecer en el siglo XVI en los trabajos de un
matemático alemán, el suavo Miguel Stifel
(1487-1567),
•Stífel entrega también la
primera tabla de sucesiones
(aún no se llamaban logaritmos)
que existe, aunque en forma muy
rudimentaria
Miguel (Michel) Stifel
(1487-1567),

3. John Napier (1550-1617)
 La invención de los logaritmos se debe al escocés John
Napier o Neper (1550-1617), que no era matemático de
profesión, sino aficionado a esta materia. Es en su obra
Mirifici logarithmorum canonis descriptio cuando
aparece por primera vez este concepto.
En la época de Neper, y hasta la invención de las
calculadoras, los logaritmos se obtenían mediante
cálculos complejos y los resultados se registraban en
tablas. Las primeras tablas de logaritmos decimales
fueron confeccionadas por Henry Briggs y tenían una
precisión de 10 cifras decimales, mucho mayor que la
necesaria para la mayoría de los problemas reales.
Los logaritmos se hallan presentes en numerosas
situaciones de la vida real y son una herramienta muy
utilizada en contextos científicos.
Veamos unos ejemplos:
 Los astrónomos dividen las estrellas, según su grado
de luminosidad, en astros de primera magnitud, de
segunda, de tercera, etc., asociándoles los términos de
una progresión aritmética: 1, 2, 3... Ahora bien, la
luminosidad física de las estrellas (no la adjudicada
por los astrónomos) varía siguiendo una progresión
geométrica, de razón 2,5: 2,5, 2,52, 2,53... Observamos
que la magnitud asociada a cada estrella por los
astrónomos coincide con el logaritmo de su
luminosidad física en base 2,5.
 En el testamento de Benjamin Franklin, famoso
científico, éste donaba 1.000 libras a los habitantes de
Boston, a condición de que se prestasen al 5% a
artesanos jóvenes. Según Franklin, al cabo de 100 años,
se habrían convertido en 131.000 libras.

4. Definición
 El Logarítmo de un número real positivo (x) en una base (b)
positivo y diferente de la unidad es el exponente real (y) al
que se debe elevar la base (b) para obtener una potencia
igual al número dado.Simbólicamente.
Donde:
 La base b tiene que ser positiva y distinta
de 1 .
 x tiene que ser un número positivo (x > 0).
 n puede ser cualquier número

5. EJEMPLOS
 Siendo b la base, x el número e y el logarítmo.
De la definición de logaritmo podemos deducir:
 log2 8 = 3 pues 2 3= 8.
 log √ 10 = 1/2 pues 10 1/2 = √ 10
 log1/216 = - 4 pues (1/2)-4 = 2 4 = 16
 log 121 = 0 pues (12)0 = 1
 log71/49 = -2 pues (7)- 2 = 1/49
 log10 = 1 pues (10)1= 10

6. SISTEMAS DE LOGARITMOS
Logaritmos Decimales :
 Se llaman logaritmos
decimales o vulgares a los
logaritmos que tienen por
base el número 10. Al ser
muy habituales es
frecuente no escribir la
base.
 Se representan por log (x).
Logaritmos Neperianos :
 Se llaman logaritmos
neperianos, naturales o
hiperbólicos a los
logaritmos que tienen por
base el número e.
 Se representan por ln (x) o
L(x).


7. PROPIEDAD FUNDAMENTAL
 Si a > 0, y b es cualquier real positivo, x e y reales
positivos, entonces :


.

8. PROPIEDADES GENERALES
 Los números negativos no tienen logaritmo en el
campo de los reales
 El logaritmo de su base es 1. Así logbb = 1 ya
que b1 = b.
 El logaritmo de 1 es cero independientemente de la
base). Así logb1 = 0 ya que b0 = 1.
 Si 0<A<1 entonces logbA es un logaritmo negativo

9. Identidades Logarítmicas
 El logaritmo de un producto en una base dada, es
igual a la suma de los logaritmos de los factores
en esa misma base.
 Ejemplo:
 log5 (25 . 5) = log525 + log55 =log5 (25 . 5) = 2 + 1 = 3
 log5125 = 3 pues53= 125

10. LOGARITMO DE UN COCIENTE
 El logaritmo de un cociente en una base dada, es
igual a la diferencia entre el logaritmo del
dividendo y el del divisor.
 log2(64: 16) = log264 - log216 = 6 - 4 = 2
log2 4 = 2
loga( m : n) = loga m – logan

11. LOGARITMO DE UNA POTENCIA
 El logaritmo de una potencia es igual al producto
del exponente por el logaritmo de la base.
 Ejemplos:
 a) log2 8 4 = 4 . log 2 8 =
 a) log2 4096 = 12 pues 212 = 4096
loga b n = n. log a b

12. Logaritmo de una raíz
 El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el
logaritmo del radicando y el índice de la raíz.
 Ejemplos:
 a) log2 √16

13. CAMBIO DE BASE

Ejemplo:
