1. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
UNIDAD 4
FACTORIZACIÒN Y FRACCIONES ALGEBRAICAS
FACTORIZACION
Factorizar una expresión algebraica consiste en escribirla como un producto.
Cuando realizamos las multiplicaciones:
2 3 2
1. 2x(x – 3x + 2) = 2x – 6x + 4x
2
2. (x + 7)(x + 5) = x + 12x + 35
Vemos que las expresiones de la izquierda son los factores y las de la derecha son las expresiones
a factorizar, es decir, la factorización es el proceso inverso de la multiplicación.
CASOS DE FACTORIZACIÓN
1. FACTOR COMUN
1.1 Factor común monomio: Con este método buscamos el factor común de todos y cada uno
de los términos del monomio. Es decir, cuando tenemos una expresión de dos o más expresiones
algebraicas y se presenta un término común; se debe sacar como factor común.
Ejemplo 1: ¿cuál es el factor común monomio en 12x + 18y − 24z?
Entre los coeficientes es el 6, o sea, 6·2x + 6·3y − 6· 4z = 6(2x + 3y − 4z)
Ejemplo 2: ¿Cuál es el factor común monomio en: 5a2 − 15ab − 10ac?
El factor común entre los coeficientes es 5 y entre los factores literales es a (el de
menor grado), por lo tanto
5a2 − 15ab − 10ac = 5a·a − 5a·3b − 5a · 2c = 5a(a − 3b − 2c)
Ejemplo 3: ¿Cuál es el factor común en 6x2y − 30xy2 + 12x2y2 ?
El factor común es “6xy “porque
6x2y − 30xy2 + 12x2y2 = 6xy(x − 5y + 2xy)
1.2 Factor común polinomio: Es el polinomio que aparece en cada término de la expresión.
En este método se busca el factor común de todos y cada uno de los términos de un polinomio.
Pero el resultado será otro polinomio.
Ejemplo 1: 5x2(x − y) + 3x(x − y) + 7(x − y)
- Factor común "(x − y)", el otro factor será lo que queda del polinomio. (5x2 + 3x + 7)
Entonces se obtiene como resultado: (x − y) (5x2 + 3x +7)
Ejemplo 2: Factoriza 2a (m − 2n) − b (m − 2n) =
Existe un factor común que es (m − 2n) → 2a (m − 2n) − b (m - 2n) = (m − 2n) (2a − b)
1.3 Factor común por agrupación de términos: En este caso de factorización hacemos uso de
los dos métodos anteriores.
Ejemplo: 5x4y + 3x3y −9xy −15xy2:

2. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
Primero debemos agruparlo y factorizar los términos que agrupamos: seria así:
1º 5x4y − 15xy2 = 5xy (x3 − 3y)
2º 3x3y − 9xy = 3y (x3 −3y)
Y por último si unimos los dos factores comunes monomios quedaría así:
5xy (x3 −3y) +3y (x3 −3y): Después se aplica el factor común polinomio.
Entonces el resultado será el siguiente: (x3 −3y) (5xy +3y)
2. FACTORIZACION DE TRINOMIOS
2.1 Trinomio cuadrado perfecto
Para que un trinomio sea cuadrado perfecto: el primer y tercer término deben tener raíz cuadrada y
el segundo término debe ser el doble producto de las bases de los dichos términos.
Ejemplo:
Factorizar 9 x 2 − 30 x + 25
°
2
1° Halla la raíz principal del primer término 9x ; 3x · 3x
° 25 con el signo del segundo término; −5 · −5
2° Halla la raíz principal del tercer término
luego la factorización de 9 x − 30 x + 25 = ( 3 x − 5 )( 3 x − 5 ) = ( 3 x − 5 )
2 2
2.2 Trinomio cuadrado perfecto por adición o sustracción:
En este caso se intenta transformar una expresión (binomio o trinomio), en otra igual en la que se
pueda aplicar trinomio cuadrado perfecto.
Ejemplo: m 4 − 10m 2 n 2 + 9n 4
Resolviéndolo queda:
m 4 − 10m 2 n 2 + 9n 4 + 4m 2 n 2 − 4m 2 n 2
m 4 − 6m 2 n 2 + 9 n 4 − 4 m 2 n 2
(m 2
− 3n 2 ) − (2mn )
2 2
Aplicamos diferencia de cuadrados:
( m 2 − 3n 2 ) + ( 2mn )  ( m 2 − 3n 2 ) − ( 2mn ) 
  
2.3 Trinomio de la forma: x 2n + bx n + c
El trinomio de la forma x 2n + bx n + c se puede descomponer en dos factores binomiales mediante
el siguiente proceso:
Ejemplo 1:
Descomponer x2 + 6x + 5
°
1° Hallar dos factores que den el primer término x·x
°
2° Hallar los divisores del tercer término, seccionando aquellos cuya suma sea “6”

3. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
1 y 5 ó -1 y - 5
Pero la suma debe ser +6 luego serán ( x + 5)( x + 1)
⇒ x + 6 x + 5 = ( x + 5 )( x + 1)
2
Ejemplo 2:
Factorizar x + 4 x y − 12 y
4 2 2
4 2 2
1º Hallar dos factores del primer término, o sea x : x ·x
2º Hallar los divisores de 12y2, estos pueden ser: 6y · −2y ó −6y · 2y
4y · −3y ó −4y · 3y
12y · −y ó −12y · y
Pero la suma debe ser +4, luego servirán 6y y −2y, es decir:
x 4 + 4 x 2 y − 12 y 2 = ( x 2 + 6 y )( x 2 − 2 y )
2.4 Trinomio de la forma ax 2n + bx n + c
Ejemplo:
Factorizar 2 x − 11x + 5
2
1º El primer término se descompone en dos factores 2x · x
2º Se buscan los divisores del tercer término 5·1 ó -5 · -1
3º Parcialmente la factorización sería (2x + 5) (x + 1)
2
Pero no sirve pues da: 2x + 7x + 5
Se reemplaza por (2x - 1) (x - 5)
2
y en este caso nos da: 2x - 11x + 5
Por lo tanto, 2 x 2 − 11x + 5 = ( x − 5 )( 2 x − 1)
Vale aclarar que este no es el único método. En la presentación se aplica el método que sugiere
Baldor.
3. FACTORIZACION DE BINOMIOS
3.1 Diferencia de dos cuadrados:
Ejemplo:
Factorizar 9 x 2 − 16 y 2
Raíz cuadrada del primer término 9 x2 = 3x
Y raíz cuadrada del segundo término 16 y 2 = 4 y
Luego la factorización de 9 x 2 − 16 y 2 = ( 3x + 4 )( 3x − 4 )
3.2 Cubo perfecto de un binomio
Ejemplo:
Factorizar a 3 + 3 a 2 + 3a + 1

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Todos los signos de los términos son positivos
3
a 3 = a : Raíz cúbica del primer término del cuatrinomio.
3
1 = 1 : Raíz cúbica del cuarto término del cuatrinomio.
( )
3 a 2 (1) = 3a 2 Triplo del cuadrado de la raíz cúbica del primer término por la raíz cúbica del cuarto:
Igual al segundo término del cuatrinomio.
3(a )(1) = 3a Triplo de la raíz cúbica del primer término del cuatrinomio por el cuadrado de la raíz
cúbica
del cuarto término: igual al tercer término del cuatrinomio.
Por lo tanto:
a 3 + 3a 2 + 3a + 1 Desarrollo de un cubo perfecto de binomios.
a 3 + 3a 2 + 3a + 1 = (a + 1)
3
3.3 Suma o diferencia de cubos perfectos
3.3.1 Diferencia de cubos: a 3 − b3 = ( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 )
Ejemplo: 8 − x3 = ( 2 − x ) ( 4 + 2 x + x2 )
3.3. 2 Suma de cubos: a 3 + b 3 = ( a + b ) ( a 2 − ab + b 2 )
Ejemplo: 27 a 3 + 1 = ( 3a + 1) ( 9a 2 − 3a + 1)
FRACCIONES ALGEBRAICAS
DEFINICIONES
Fracción algebraica: es el cociente indicado de dos expresiones algebraicas, es decir de la forma
p( x)
donde el polinomio p(x) es el numerador y q(x) el denominador de la fracción algebraica, con
q( x)
q(x) ≠ 0.
Ejemplos:
x+5 8  3
(a) ( x ≠ 3) (b) x ≠ − 
x −3 2x + 3  2
2x − 3y 3x + 4
(c ) (d ) 2 ( x ≠ 4, x ≠ − 2)
7 x − 2x − 8
Simplificación de fracciones algebraicas
Simplificar una fracción algebraica es convertirla en una fracción equivalente reducida a su mínima
expresión, o sea, una fracción algebraica es reductible (se puede simplificar) si su numerador y su
denominador se pueden dividir por un mismo factor.

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Una fracción después de simplificada se dice que es irreducible.
• Para simplificar una fracción cuyos términos sean monomios se dividen el numerador y el
denominador por sus factores comunes hasta lograr que la fracción sea irreducible.
• Para simplificar una fracción cuyos términos sean polinomios se descomponen en
factores los polinomios y se suprimen los factores comunes en el numerador y el
denominador hasta lograr que la fracción sea irreducible.
Ejemplos
Simplificar las siguientes fracciones algebraicas:
24a 3b 3 8a 2 ⋅ 3ab3 8a 2
(a) = =
21ab5 7b 2 ⋅ 3ab3 7b 2
x 2 − 7x + 12
(b)
x 2 − 16
Observa que podemos factorizar el numerador y denominador de la fracción dada, ya que:
x 2 − 7x + 12 = ( x − 4)( x − 3)
x 2 − 16 = ( x + 4)( x − 4)
Luego:
x 2 − 7 x + 12 ( x − 4)( x − 3) x−3
= =
x − 16
2
( x + 4)( x − 4) x+4
Mínimo común múltiplo de expresiones algebraicas
La operación de reducir las fracciones algebraicas al mínimo común denominador consiste en
convertirlas en fracciones equivalentes que tengan el mismo denominador y que éste sea el menor
posible.
Para encontrar el m.c.m. debemos, en primer lugar, factorizar cada uno de los polinomios en sus
factores primos y luego obtener el producto de los distintos factores primos, eligiendo en cada caso
el de mayor exponente
Ejemplo:
Reducir al mínimo común denominador
x 3 2x x+3
, 2 , ,
x + 5x + 6 x + 6x + 9
2
x + 3x + 2 x + 2
2
Al factorizar los denominadores obtenemos:
( x + 2)( x + 3) , ( x + 3)2 , ( x + 2)( x + 1) , ( x + 2) ; m.c.m. = ( x + 2)( x + 3) 2 ( x + 1)
OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS
En las operaciones con fracciones algebraicas se aplican las mismas reglas que se utilizan en
aritmética para el cálculo de fracciones numéricas.

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1. Suma y Resta
Reglas:
• Se simplifican las fracciones, si es posible.
• Se reducen las fracciones dadas al mínimo común denominador
• Se divide el denominador común entre cada uno de los denominadores y cada cociente lo
multiplicamos por su respectivo numerador.
• Se suman o restan los numeradores que resulten y se divide este resultado por el
denominador común.
• Se reducen términos semejantes en el numerador, si los hubiere.
• Se simplifica la fracción que resulte, si es posible.
Ejemplo:
5a − 9b 7 a − 2b 8a − 5b (5a − 9b) + (7 a − 2b) − (8a − 5b) 4a − 6b
+ − = =
2a − 3b 2a − 3b 2a − 3b 2a − 3b 2a − 3b
Luego, factorizando el numerador y simplificando, se obtiene:
2(2a − 3b)
=2
(2a − 3b)
5a − 9b 7 a − 2b 8a − 5b
Entonces: + + = 2
2a − 3b 2a − 3b 2a − 3b
2. Multiplicación
Reglas:
• Se descomponen en factores y se simplifican las fracciones, si es posible.
• Se halla el producto de las expresiones que queden en los numeradores y el producto
resultante se divide por el producto de las expresiones que queden en los denominadores.
Ejemplo:
m 2 − 5m + 6 m3 − m 7 m + 21
m −9
2
m + 2 m − 8m 7 m 2 − 7
3 2
Factoricemos y simplifiquemos
(m − 3)(m − 2) m(m 2 − 1) 7(m + 3)
⋅ ⋅ =
(m + 3)(m − 3) m(m + 2m − 8) 7(m 2 − 1)
2
(m − 3)(m − 2) m(m + 1)(m − 1) 7(m + 3) 1
⋅ ⋅ =
(m + 3)(m − 3) m(m + 4)(m − 2) 7(m + 1)(m − 1) m+4
Entonces:
m 2 − 5m + 6 m3 − m 7 m + 21 1
⋅ 3 ⋅ =
m −9
2
m + 2 m − 8m 7 m − 7
2 2
m+4

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3. División
Reglas:
• Se multiplica el dividendo por el divisor invertido
• Se descomponen en factores y se simplifican las fracciones, si es posible.
Ejemplo:
2x − 4 y 6 xy − 12 y 2 2 x − 4 y 15 x + 45 y
÷ = •
5 x + 15 y 15 x + 45 y 5 x + 15 y 6 xy − 12 y 2
Factoricemos y simplifiquemos
2( x − 2 y ) 15( x + 3 y ) 1
• =
5( x + 3 y ) 6 y ( x − 2 y ) y
2x − 4 y 6 xy − 12 y 2 1
Entonces: ÷ =
5 x + 15 y 15 x + 45 y y
4. Operaciones combinadas
Para resolver una expresión algebraica con distintas operaciones se realizan en primer lugar
aquellas indicadas dentro de los paréntesis. Si no los hay, las multiplicaciones y divisiones tienen
prioridad.
Ejemplo:
 3x − 3 y 6x − 6 y  x2 − y 2
 2 ÷  • 2
 x + 2 xy + y 2 x + 2 y  x − xy + y 2
2
Calculemos el cociente del paréntesis y luego multipliquemos.
3( x − y ) 2( x + y ) x2 − y2
• • 2
( x + y ) 2 6( x − y ) x − xy + y 2
Factoricemos y simplifiquemos
3( x − y ) 2( x + y ) ( x − y )( x + y ) x− y
• • 2 = 2
( x + y ) 6( x − y ) x − xy + y
2 2
x − xy + y 2
Entonces:
 3x − 3 y 6x − 6 y  x2 − y 2 x− y
 2 ÷  • 2 = 2
 x + 2 xy + y 2 x + 2 y  x − xy + y x − xy + y 2
2 2