O documento discute conceitos geométricos como pontos, retas, segmentos de retas, semirretas e planos. Em seguida, aborda polígonos, definindo-os e discutindo seus elementos, classificação, número de diagonais e soma dos ângulos internos. Por fim, foca em triângulos e quadriláteros, definindo seus tipos e propriedades.
2. Competências e Habilidades
Ao final da aula teremos aprendido:
Aplicar conhecimentos sobre elementos e propriedades dos
polígonos, número de diagonais, medida do ângulo internos e soma
dos ângulos internos .
Analisar figuras geométricas para identificar os triângulos e suas
propriedades.
Classificar os triângulos quanto aos ângulos e lados.
Identificar quadriláteros , sua diagonal e propriedades.
Reconhecer os tipos de quadriláteros entre paralelogramos e
trapézios não paralelogramos.
Classificar os quadriláteros quanto aos ângulos e lados.
3. Vamos relembrar: ponto reta e
plano
Representamos um
ponto graficamente
dessa forma:
Um ponto é nomeado
por letras maiúsculas
do nosso alfabeto.
A B
Ponto A Ponto B
Exemplos: uma
estrela, um grão de
areia, um furo de
agulha, ...
Reta é formada por
infinitos pontos que
estão alinhados.
Graficamente
representamos uma
reta assim:
Nomeamos uma reta
por letras minúsculas
do nosso alfabeto.
Reta r
Reta s
Exemplos: fio esticado,
lados de um quadro, ...
Plano é formado
por infinitos pontos.
Um plano pode ser
representado dessa
forma.
Um plano é indicado
por letras minúsculas
do alfabeto grego
como α (alfa), β (Beta)
Plano α Planoβ
Exemplos: a lousa
digital, a superfície de
uma mesa, ...
s
r
α β
4. Segmentos de Retas e
SemirretasSegmento de Reta
O segmento de reta é limitado por
dois pontos da reta. Observe:
A parte entre os pontos A e B é
chamado de segmento de reta.
Veja mais segmentos de reta:
Semirreta
A semirreta possui origem, mas é
ilimitada no outro sentido, isso é,
possui início, mas não tem fim.A B
G H
R
S
G
5. Matemática
PEJA II
BLOCO I
1) Ao ver os fios de um balanço, as varetas coloridas, as arestas de uma caixa de
sapatos, podemos dizer que é:
a) Semirreta
b) Segmento de reta
c) Plano
d) Ponto
VAMOS EXERCITAR!!!
7. Matemática
PEJA II
BLOCO I
.
5) Agora vamos fazer uma pergunta complexa. Se prepare!
Quantas semirretas possui essa figura?
a) 8
b) 9
c) 10
d) 11
A
B
C
D
E
F
G
H
OI
8. 8
Polígonos
Definição
Os polígonos são formados por segmentos de retas fechados. O encontro dos
segmentos é denominado vértice do polígono, e os segmentos de retas recebem o
nome de arestas.
As figuras a seguir são polígonos
As figuras a seguir não são polígonos
9. Polígonos
Elementos de um polígono
A
E B
CD
No polígono ABCDE ao lado temos
que:
•Os segmentos
são os lados do polígono;
•Os pontos A, B, C, D, E são os
vértices do polígono;
•Os segmentos
são as diagonais do polígono;
• são os ângulos
do polígono;
, , , ,AB BC CD DE EA
, , , ,AC AD BD BE CE
ˆ ˆˆ ˆ ˆABC, BCD,CDE, DEA, EAB
Definição
Os polígonos são formados por segmentos de retas fechados. O
encontro dos segmentos é denominado vértice do polígono, e os
segmentos de retas recebem o nome de arestas.
10. CLASSIFICAÇÃO QUANTO AOS ÂNGULOS:
Polígono convexo
Polígono côncavo
Todos os seus ângulos são convexos, menores que
1800 .
Tem pelo menos um ângulo côncavo, maior que
1800
(unindo quaisquer dos seus pontos, o segmento de reta
obtido está sempre contido no polígono)
(pelo menos dois dos seus pontos que unidos, formam
um segmento de reta que não está contido no polígono)
Ângulo
côncavo
Polígonos
11. Ângulo interno:
Ângulo formado pelas semi-retas com origem comum
num vértice do polígono e que contém dois lados
consecutivos do polígono.
(os ângulos assinalados a verde são os ângulos internos)
Ângulo externo:
Ângulo formado por um lado com o prolongamento de um lado consecutivo
(os ângulos assinalados a amarelo são os ângulos externos)
Polígonos
13. Número de Diagonais de um Polígono
Convexo
2
)3.(nn
d
Seja n o número de vértices;
Cada vértice faz ligação com todos os outros n vértices, menos com seus
adjacentes e ele próprio, ou seja, com (n – 3) vértices;
Como há n vértices, então podemos fazer n.(n – 3) ligações;
Porém, estaremos contabilizando duas vezes a mesma ligação, isto é,
diagonal. Por exemplo: A diagonal de vai do vértice A até o C é a mesma
que vai do C até o A.
Portanto:
A
C
Diagonal de um polígono é um segmento de reta que tem por extremidades
dois vértices não consecutivos do polígono.
14. Soma dos Ângulos Internos de
um Triângulo:
Soma dos ângulos internos de um triângulo é
sempre 180º
http://www2.mat.ufrgs.br/edumatec/atividades_diversas/teoremas_geometria/Objetos/GeometriaPlana.swf
15. Soma dos ângulos interno de um
polígono convexo
Todo polígono convexo pode ser decomposto em triângulos quando
traçamos as diagonais que partem de um único vértice.
Então, a soma dos ângulos internos depende do número de lados;
A quantidade de triângulos será sempre o números de lados menos 2;
Portanto:
O polígono tem 4
lados (que será o n)
e traçando a
diagonal dividi o
polígono em 2
triângulos
4 lados
2 triângulos (4 – 2)
O polígono tem 5 lados
(que será o n) e
traçando a diagonal
dividi o polígono em 3
triângulos
5 lados
3 triângulos (5 – 2)
O polígono tem 6 lados
(que será o n) e traçando a
diagonal dividi o polígono
em 4 triângulos
6 lados
4 triângulos (6 – 2)
S= 4 x 180º = 720º
º1802nS
16. Medida dos Ângulos Internos de Polígonos
Regulares Polígonos regulares tem todos os lados e ângulos de mesma
medidas;
Então, a medida de seu ângulo interno é a soma deles dividida pelo
número de lados:
n
S
ai
n
n
ai
1802
ou
Quanto mede o ângulo interno do
pentágono regular, cuja a soma dos
ângulos internos é 540º?
Resposta:
O heptágono possui 5 lados.
R: O ângulo interno mede 108º
5
900
ia
º108ia
Quanto mede o ângulo interno
do dodecágono ?
Resposta:
O dodecágono possui 12
lados.
12
180212
ia
150
12
1800
12
18010
ia
R: O ângulo interno mede
150º
17. Para exercitar
Polígono N.º de lados Exemplo N.º de triângulos
em que ficou
dividido
Soma dos
ângulos
internos de
um polígono
Triângulo 3 1
Quadrilátero 4
Pentágono 5
Hexágono 6
Heptágono …
... ... ... ... ...
Decágono ...
Pentadecágono
Polígono de n lados … n-2
7
10
n
2
3
4
5
8
Complete o quadro abaixo, utilizando o seu caderno
18. Triângulos
Triângulo é um polígono que tem três lados por três linhas rectas
que concorrem, duas a duas, em três pontos diferentes formando
três lados e três ângulos internos que somam 180°.
Os elementos de um triângulo são lados, vértices e ângulos internos.
A, B e C são os vértices.
e são os lados.
são os ângulos internos.
19. Classificação dos triângulos
Os triângulos podem ser classificados quanto à medida dos
seus lados e quanto à medida dos seus ângulos.
Classificação segundo a medida dos seus lados
Equilátero Tem
os três lados com a
mesma medida.
Isósceles Tem
dois lados com a
mesma medida.
Escaleno Tem os
três lados com
medidas diferentes.
BCABAC ABAC BCABAC
20. Classificação segundo a medida
dos seus ângulos
Acutângulo Os
três ângulos são
agudos, isto é,
medem menos de
90º.
Retângulo Tem
um ângulo reto, isto
é, um ângulo que
mede 90º.
Obtusângulo Tem
um ângulo obtuso,
isto é, um ângulo
que mede mais de
90º.
CAˆBBCˆACBˆA º90BCˆA º90BCˆA
22. Quadriláteros
Um quadrilátero é um polígono com quatro lados.
Exemplos
Elementos de um Quadrilátero
Vértices: A, B, C e D.
Lados: , CB,CD e DA
Diagonais: AC e BD
Ângulos internos ou ângulos do quadrilátero : ABCD: Â,^B,^C e ^D
23. Tipos de Quadriláteros
Existem quadriláteros convexos(não são atravessados pelo prolongamento
dos seus lados) e quadriláteros côncavos(são atravessados pelo
prolongamento de alguns dos seus lados).
Paralelogramos >> quatro
lados paralelos dois a dois
Trapézios>> dois lados paralelos e
dois não paralelos
Entre os Convexos podemos formar dois grupos: os paralelogramos e os
trapézios.
Quadrilátero
convexo
Quadrilátero
côncavo
24. Paralelogramos-ângulos e lados
São quadriláteros que têm os lados opostos paralelos e de mesma
medida.
Alguns paralelogramos têm nomes especiais:
Paralelogramo
obliquângulo
Ângulos e lados opostos
geometricamente iguais
Losango
Quatro lados geometricamente
iguais. Ângulos agudos e obtusos
opostos geometricamente iguais.
Retângulo Quatro ângulos retos. Lados
opostos geometricamente iguais.
Quadrado Quatro ângulos retos. Quatro lados
geometricamente iguais.
25. Paralelogramos- Propriedades
1-Os lados opostos de um paralelogramo têm o mesmo
comprimento.
A
D C
B
BCADeABDC
2-Os ângulos opostos de um paralelogramo têm a mesma medida.
A
D C
B
CBˆACDˆA
BCˆDBAˆD
e
3-As diagonais de um paralelogramo dividem-se ao meio.
A
D C
B
26. Paralelogramos- Diagonais
Entre os paralelogramos têm-se:
Quadrado Diagonais perpendiculares e com
o mesmo comprimento.
Retângulo Diagonais com o mesmo
comprimento.
Losango
Diagonais perpendiculares.
Paralelogramo
obliquângulo
Diagonais com comprimentos
diferentes.
27. Trapézios- ângulos e lados
São quadriláteros que têm dois lados paralelos e dois lados não
paralelos.
Alguns trapézios têm nomes especiais por causa de suas
características:
Trapézios escaleno são os trapézios que têm os lados não
paralelos diferentes.
Trapézios isósceles são os trapézios que têm os lados não
paralelos de mesma medida.
Trapézios retângulos são os trapézios que têm dois ângulos
retos.
28. Agora vamos ver o que
aprendemos? Utilize o seu
caderno1-Verifique se as sentenças abaixo são verdadeiras (V) ou falsas(F),
justifique as erradas:
a)Todo quadrado é um losango.( )
b)Todo quadrado é um retângulo. ( )
c)Todo retângulo é um paralelogramo. ( )
d)Todo losango é retângulo. ( )
2- Considere as seguintes afirmativas:
- Um quadrilátero convexo é um retângulo se os lados são opostos.
- Um quadrilátero que tem duas diagonais perpendiculares é um quadrado.
- Todo retângulo é um paralelogramo.
-Todo paralelogramo é um quadrilátero.
Marque a alternativa correta.
A)Só uma verdadeira
B)Duas são verdadeiras e duas são falsas.
C)Todas são verdadeiras.
D)Todas são falsas.
