Preparatório para o Colégio Naval

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Professor: Rômulo Garcia
Email: machadogarcia@gmail.com
Conteúdo Programático: Teoria dos Números – Exercícios e alguns conceitos importantes
Números Perfeitos
Um inteiro positivo n diz-se perfeito se e somente se é igual à soma de todos os seus divisores positivos, exceto o
divisor trivial n. A soma de todos os divisores positivos de n, com exceção do divisor n, é igual a s(n) – n e, portanto, n
é um número perfeito se e somente se a seguinte condição se verifica: n = s(n) – n ou s(n) = 2n.
Isto é, um inteiro positivo n é um número perfeito se e somente se a soma de todos os seus divisores positivos é igual ao
seu dobro (2n).
Assim, por exemplo, para n = 6 e n = 28, temos:
s(6) = 1 = 2 + 3 + 6 = 12 = 2.6 e s(28) = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28 = 56 = 2.28
de modo que os inteiros positivos 6 e 28 são ambos números perfeitos.
Teorema (de Euclides): Se 2k – 1 é primo (k > 1), então o inteiro positivo n = 2k – 1(2k – 1) é um número perfeito.
Teorema (de Euler): Se n é um número perfeito par, então n = 2k – 1(2k – 1) onde 2k – 1 é primo.
Exemplo: Mostrar que, se n é número perfeito par, então 8n + 1 é um quadrado perfeito.
Solução:
Pelo Teorema de Euler, se n é um número perfeito par n = 2k – 1(2k – 1), onde 2k – 1 é primo.
3 k–1 k
x = 8n + 1 = 2 [2 (2 – 1)] + 1 = 2 2k + 2
–2 k+2
+1=2 2(k + 1)
– 2.2k + 1 + 1 = (2k + 1 – 1)2
Números Multiperfeitos
Um inteiro positivo n diz-se um número multiperfeito de ordem k ou um k-número perfeito se e somente se a soma dos
divisores naturais de n for um múltiplo de k (k 3),ou seja, s(n) = kn, onde k 3 é um inteiro. Designa-se um número
multiperfeito de ordem k por Pk.
Assim, por exemplo, o inteiro positivo 30240 = 25.33.5.7 é um número multiperfeito de ordem 4 (ou um número P4),
2 6 1 34 1 5 2 1 7 2 1
pois, temos: s(30240 ) . . . 63 .40.6.8 120960 4.30240
2 1 3 1 5 1 7 1
Teorema (de Descartes) (mencionado em uma carta enviada a Mersenne em 15 novembro de 1638):
1o: Se n é um número P3 e não é divisível por 3, então 3n é um número P4.
2o: Se um número n é divisível por 3 mas não é divisível nem por 5 ou por 9, e se é um número P 3, então 45n é P4.
3o: Se um número n não é divisível por 3 e se 3n é um número P4k, então n é um número P3k.
Exemplo 6.17: Mostrar que nenhum inteiro da forma n = 2a.3b é um 3-número perfeito.
Solução:
Suponhamos, por absurdo, que exista um n = 2a.3b tal que s(n) = 3n = 2a.3b + 1
[(2a + 1 – 1)/(2 – 1)][(3b + 1 – 1)/(3 – 1)] = 2a.3b + 1 (2a + 1 – 1)(3b + 1 – 1) = 2a + 1.3b + 1
obviamente esta expressão não possui resposta., pois a expressão do lado direito da igualdade é estritamente maior que
a expressão do lado esquerdo.
Números Amigos
Dois inteiros positivo m e n dizem-se números amigos se e somente se a soma dos divisores positivos de m, exceto o
divisor m, é igual a n, e a soma dos divisores positivos de n, exceto o divisor n, é igual a m.
Em outras palavras, dois inteiros positivos m e n dizem-se amigos se e somente se s(m) – m = n e s(n) – n = m
ou seja, o que é equivalente a s(m) = m + n = s(n).

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Exemplo: Mostrar que os inteiros 220 e 284 são números amigos.
Solução:
220 = 22.5.11 s(220) – 220 = s(22).s(5).s(11) – 220 = 7.6.12 – 220 = 504 – 220 = 284
284 = 22.71 s(284) – 284 = s(22).s(71) – 284 = 7.72 – 284 = 504 – 284 = 220
Logo, por definição, os inteiros 220 e 284 são números amigos.
Números Deficientes e Abundantes
Um inteiro positivo n diz-se um número deficiente se e somente se s(n) – n < n ou s(n) < 2n
e diz-se um número abundante se e somente se s(n) – n > n ou s(n) > 2n.
Assim, por exemplo, os inteiros 15 e 18 são respectivamente um número deficiente ou abundante, pois, temos:
s(15) = s(3.5) = s(3).s(5) = 4.6 = 24 < 2.15
s(18) = s(2.32) = s(2).s(32) = 3.13 = 39 > 2.18
Números Pseudoprimos
Já sabemos que, pelo Teorema de Fermat, se n é primo então n | 2 n – 2.
Números compostos n para os quais n | 2n – 2 são denominados pseudoprimos. Os pseudoprimos 2000 são 341 =
11.31,
561 = 3.11.17, 645 = 3.5.43, 1105 = 5.13.17, 1387 = 19.73, 1729 = 7.13.19, 1905 = 3.5.127.
Teorema: “Se n é um número ímpar pseudoprimo, então o número m = 2 n – 1 também é um número ímpar
pseudoprimo.”
Teorema Simples de Fermat
Teorema (de Fermat): “Se p é um primo e se p não divide o inteiro a, então ap – 1 1 (mod. p).”
Exemplo: Verificar o Teorema de Fermat com a = 3 e p = 7.
Solução:
O inteiro 7 é primo e 7 não divide 3. Temos: 37 – 1 = 36 = 729 e como 7 | (729 – 1), segue-se que
729 1 (mod. 7), isto é: 37 – 1 1 (mod. 7)
Função e Teorema de Euler
Função de Euler é uma função aritmética simbolizada por (n), definida para todo inteiro positivo n de tal modo que
(n) é igual ao número de inteiros positivos que não superam n e que são primos com n.
Exemplo: Se n = 30, então os inteiros positivos menores que 30 e primos com 30 são 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23 e 29, de
modo que (30) = 8.
Teorema: “Se o inteiro n > 1, então (n) = n – 1 se e somente se n é primo.”
Teorema: “Se n p1 1 p k 2 ...p k r é a decomposição canônica do inteiro positivo n > 1, então:
k
2 r
(n ) k
p1 1 k
p1 1 1
p k2 p k2 1
... p k r p kr 1
n 1 1 1 1 ... 1 1 .”
2 2 r r
p1 p2 pr
Exemplo: Calcular (7865).
Solução:
Sendo 7865 = 5.112.13, temos: (7865) = (5 – 1)(112 – 11)(13 – 1) = 4.110.12 = 5280.
(n )
Teorema (de Euler): “Se n é um inteiro positivo e se o mdc (a, n) = 1, então a 1 (mod. n).”

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Exemplo: Determine os dois últimos dígitos de 3121.
Solução:
I) (100) = (100)(1 – 1/2)(1 – 1/5) = (10)(4) = 40
II) Pelo Teorema de Euler: 3 (100) 1 (mod. 100) 340 1 (mod. 100) 3120 1 (mod. 100)
120 121
(3 ).3 3 (mod. 100) 3 3 (mod. 100)
III) Ou seja, os dois últimos dígitos (dezenas e unidades) de 3121 são 03
Exemplo: Quais os possíveis resultados para os restos quando n 100 é dividido por 125, quando n assume todos os valores
inteiros positivos.
Solução:
I) Se n = 5k 125 | n100 resto = 0
II) Se mdc (n, 125) = 1 temos que (125) = (53) = 53(1 – 1/5) (125) = 100
Assim, pelo Teorema de Euler, n100 1 (mod. 125) resto = 1
1) Resolver a equação y3 – x3 = 91, para x e y inteiros.
2) Prove que N 5125 1 é um número composto.
5 25 1
3) Determine (com prova) todos os pares de inteiros (x, y) satisfazendo a equação: 1 + 1996x + 1998y = xy
4) Sejam a, b, c, d, e, números naturais consecutivos tais que a + b + c + d + e é um cubo perfeito e b + c + d é um
quadrado perfeito. Achar o mínimo valor possível de c.
5) Iniciando de um certo inteiro positivo, é permitido fazer apenas uma operação: o dígito das unidades é separado e
multiplicado por 4, e então este valor é somado ao restante do número. Por exemplo, o número 1997 é transformado
para 7.4 + 199 = 227. A operação é feita repetidamente. Prove que se a seqüência de números obtida contem 1001,
então nenhum dos números na seqüência pode ser um número primo.
6) Qual é o maior divisor primo de 216 – 16?
a) 7
b) 11
c) 13
d) 17
e) 23
7) O menor inteiro positivo x para os quais 1260x = N3, onde N é um inteiro, é:
a) 1050
b) 1260
c) 7350
d) 44100
e) nda
8) Assuma que x2 – y2 = 63, com x, y N. Quantos valores distintos de x2 + y2 podem ser obtidos?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) nenhum dos anteriores
9) O menor número primo que divide 311 + 512 é:
a) 2
b) 3
c) 5

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d) 311 + 512
e) nda
10) Determine o maior natural n para o qual existe uma reordenação (a, b, c, d) de (3, 6, 9, 12) (isto é, {a, b, c, d} = {3,
n
6, 9, 12}) tal que o número 3a 6b9c12 d seja inteiro. Justifique sua resposta.
11) Determine o produto entre o mdc e o mmc de {12, 24, 72, 120, 288}
a) 8640 b) 17280 c) 34560 d) 11520 e) nda
12) Determinar a quantidade de pares de números naturais (a, b) que verificam simultaneamente as seguintes duas
condições: o máximo divisor comum entre a e b é igual ao produto dos 5 primeiros números naturais; o mínimo
múltiplo comum entre a e b é igual ao produto dos 15 primeiros números naturais. Ou seja, mdc (a, b) = 1.2.3.4.5 e
mmc (a, b) = 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.
13) Achar o inteiro positivo da forma 2.15m.7n e que admite 36 divisores positivos.
14) Um número natural N que é múltiplo de 83 é tal que N2 possui 63 divisores. Calcular N, sabendo que é o menor
número possível que cumpre tais condições.
15) Determine todos os inteiros positivos n que possuem exatamente 16 divisores inteiros positivos d1, d2, …, d16 tais
que 1 = d1 < d2 < … < d16 = n, d6 = 18 e d9 – d8 = 17.
16) Determinar todos os números inteiros n tais que (n + 98)/(n + 19) é um número inteiro.
17) Quantas soluções inteiras e positivas possui a equação 2x + 3y = 1997?
18) Assuma que m e n são inteiros tais que 5m + 6n = 100. Então, o maior valor possível de m.n é:
a) 60
b) 70
c) 80
d) 90
e) nda
19) Determinar o menor inteiro positivo que dividido por 8 e por 15 deixa os restos 6 e 13, respectivamente.
20) Exprimir 100 como soma de dois inteiros positivos de modo que o primeiro seja divisível por 7 e o segundo seja
divisível por 11.
21) Determinar as duas menores frações positivas que tenham 13 e 17 para denominadores e cuja soma seja igual a
305/221.
22) Demonstrar que, se a e b são inteiros positivos primos entre si, então a equação diofantina ax – by = c tem um
número infinito de soluções inteiras e positivas.
23) Um rapaz recebeu R$ 100,00 da sua mãe para comprar alguns itens A, preço R$ 13,00 alguns B, preço R$ 7,00 e
outros C, preço R$ 18,00, em um supermercado, mas esqueceu a quantidade exata de cada item, lembrando-se apenas
que não haveria troco. Encontre a probabilidade de que acerte o pedido de sua mãe.
Encontre o menor inteiro positivo a para o qual a equação 1001x + 770y = 106 + a tem solução inteira. Neste caso,
quantas soluções inteiras positivas (x > 0 e y > 0) existem?
24) Uma das soluções inteiras e positivas da equação 19x + 97y = 1997 é, evidentemente, (x0,y0) = (100,1). Além desse,
há apenas mais um par de números inteiros e positivos, (x1, y1), satisfazendo a equação. O valor de x1 + y1 é:

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a) 23
b) 52
c) 54
d) 101
e) 1997
25) Quantos são os pares (x, y) de inteiros positivos que satisfazem a equação 2x + 3y = 101 ?
a) 13
b) 14
c) 15
d) 16
e) 17
26) Quantos pares de inteiros (n, k) possuem a propriedade que 1 = 3n + 5k?
a) 0
b) 7
c) 8
d) 15
e) infinitos
27) Se x e y são inteiros positivos tais que 13x + 4y = 1000, então x + y vale:
a) 10
b) 12
c) 14
d) 16
e) 18
28) Demonstrar que 270 + 370 é divisível por 13.
29) Mostre que 22225555 + 55552222 é divisível por 7.
30) Mostrar que 1110 1 (mod. 100)
31) Determine o dígito das centenas de 21999 + 22000 + 22001.
32) Mostre que o número N 760 1998 201998 1910 1998 652 1998 é divisível por 1998.
9 14
33) Achar os dois últimos algarismos de 9 9 e de 14 14 .
34) Achar o algarismo das unidades de 7355.
35) Calcular o resto da divisão por 8 de 436543 x 793767.
36) Achar o resto da divisão de (1237156 + 34)28 por 111.
37) Determine os três últimos dígitos de 79999.
38) Demostrar que para todo n natural verifica-se: 32n 2 2 6n 1
0 (mod. 11).
39) Prove que 3636 + 4141 é divisível por 77.
40) Prove que 2015 – 1 é divisível por 11.31.61.
41) Prove que:
a) 1919 + 6969 é divisível por 44;
b) 270 + 370 é divisível por 13.

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42) Prove que o número 55k + 1 + 45k + 2 + 35k é divisível por 11, para todo número natural k.
43) Prove que se um inteiro n é primo com 10, a 101a potência de n termina com os mesmo 3 dígitos de n. Por exemplo,
1233101 termina com os dígitos 233, e 37101 termina com os dígitos 037.
44) Prove que 21997.1996 – 1 é divisível por 19972.
45) Prove que 2147 – 1 é divisível por 343.
46) Prove que para todo inteiro n, n30 – n14 – n18 + n2 é divisível por 46410.
47) Mostrar que 2340 1 (mod. 341)
48) Se n é inteiro não divisível por 5, demonstre que ao dividir n 4 – 1991 por 5, o resto é zero.
49) Mostrar:
a) 561 | (2561 – 2); b) 561 | (3561 – 3).
50) Usando o Teorema de Fermat, achar o algarismo das unidades de 3 100.
51) Achar o algarismo das unidades de 7355.
52) Achar o resto quando 314162 é dividido por 163.
53) Mostre que 1981 | (441980 – 441776)
54) Qual é o resto quando 13 + 23 + 33 + 43 + … + 19903 é dividido por 7?
55) Calcule o resto da divisão de 22002 por 101.
56) Determine o resto das divisões de:
a) 41234 por 3
b) 20100 por 17
c) 2000.22000 – 1 por 3
57) Entre o resto da divisão de 520 por 26.
58) Mostre que (8355 + 6)18 – 1 é divisível por 112.
59) Encontre os dois últimos dígitos de:
a) 71000
b) 22000
c) 5600 + 19200
d) 72000 . 2300
60) Prove que, para todo n natural, 37n + 2 + 16n + 1 + 23n é divisível por 7.

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Solução de várias questões:
1) Análise inicial:
Podemos decompor y3 – x3 da forma: y3 – x3 = (y – x)(y2 + xy + x2) = 91 = 7.13
Como y2 + xy + x2 é uma equação de segundo grau em y, que possui < 0, então y2 + xy + x2 > 0
Assim, podemos ter as seguintes situações:
(y – x) (y2 + xy + x2) =
1 91 91
91 1 91
13 7 91
7 13 91
Assim, analisando cada situação:
1) y – x = 1
y2 + xy + x2 = 91 (y – x)2 + 3xy = 91 1 + 3xy = 91 xy = 30 e y = x + 1
x = 5 e y = 6 ou x = – 6 e y = – 5
2) y – x = 91
y2 + xy + x2 = 1 xy = – 2760 e y = x + 91 não existem inteiros x e y
3) y – x = 7
y2 + xy + x2 = 13 xy = – 12 e y = x + 7 x = – 3 e y = 4 ou x = – 4 e y = 3
4) y – x = 13
y2 + xy + x2 = 7 xy = – 53 e y = x + 13 não existem inteiros x e y
2) Inicialmente notemos que fazendo x = 525 temos N x 5 1 = x4 + x3 + x2 + x + 1.
x 1
Então:
N = x4 + x3 + x2 + x + 1
N = (x2 + 3x + 1)2 – 5x(x + 1)2 [( x 2 3x 1) 5x (x 1)][( x 2 3x 1) 5x (x 1)] .
Como x = 5 temos: N = [(5 + 3.5 + 1) – 5 (5 + 1)][(550 + 3.525 + 1) + 513(525 + 1)], ou seja, N é a multiplicação
25 50 25 13 25
de dois inteiros maiores que 1, implicando que N é composto.
3) Podemos escrever a equação da seguinte forma:
xy – 1996x – 1998y = 1 (x – 1996)(y – 1998) – 1996.1998 = 1 (x – 1996)(x – 1998) = 1 + 1996.1998
(x – 1996)(x – 1998) = 1 + (1997 – 1)(1997 + 1) = 1 + 19972 – 1 (x – 1996)(x – 1998) = 19972
Assim temos as possibilidades:
i) x – 1996 = 1997 e y – 1998 = 1997 x = 3993 e y = 3995
ii) x – 1996 = – 1997 e y – 1998 = – 1997 x=–1 e y=1
2
iii) x – 1996 = 1997 e y – 1998 = 1 x = 19972 – 1996 e y = 1999
2
iv) x – 1996 = – 1997 e y – 1998 = – 1 x = 1996 – 19972 e y = 1997
v) x – 1996 = 1 e y – 1998 = 19972 x = 1997 e y = 19972 + 1998
vi) x – 1996 = – 1 e y – 1998 = – 1997 2
x = 1996 e y = 1998 – 19972
4) Podemos escrever os números da seguinte forma: c – 2, c – 1, c, c + 1, c + 2
Assim, temos que a + b + c + d + e = 5c = x3 e b + c + d = 3c = y2 3x3 = 5y2 5|x e 3|y
2 3 2
x = 5x1 e y = 3y1 5 x1 = 3y1 3 | x1 e 5 | y1 x1 = 3x2 e y1 = 5y2 32x23 = y22
x2 = 1 e y2 = 3 x1 = 3 e y1 = 15 x = 15 e y = 45
Como 5c = x3 5c = 33.53 c = 33.52
5) Se n = 10a + b, sendo b é dígito das unidades, então a operação transforma n para n’ = a + 4b.
Notemos que 10n’ = 10a + 40b = (10a + b) + 39b n = 10n’ – 39b n = 10.n’ – 3.13.b.
Assim, se n é divisível por 13 então n’ é divisível por 13, reciprocamente, se n’ é divisível por 13, n também é divisível
por 13.
Desta forma, se a seqüência contem 1001 = 13.77, então todo termo da seqüência deve ser divisível por 13.

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Ou seja, se existe um número primo na seqüência, então este número deve ser 13.
Note que o número 13 não pode vir antes de 1001 porque a operação transforma 13 para 4.3 + 1 = 13, implicando que
todo termo subsequente de 13 na seqüência é igual a 13.
Por outro lado, 13 não pode vir depois de 1001 pois a operação transforma 1001 para 4.1 + 100 = 104, e depois 4.4 +
10 = 26, e depois 4.6 + 2 = 26, e assim todo termo depois de 26 é igual a 26.
Concluímos, portanto, que se a seqüência contem 1001, então não contem 13, implicando que não existe nenhum
número primo na seqüência.
10) Temos:
3a 6 b 9c 12 d 2b 2d
3a b 2c d
.
Para (a, b, c, d) dados, o maior n possível é mdc{b 2d, a b 2c d} b 2d. Note que b + 2d é máximo (com b e
d elementos distintos de {3, 6, 9, 12}) quando d = 12 e b = 9. Neste caso, b + 2d = 33, e a + b + 2c + d = 21 + a + 2c.
Tomando a = 6 e c = 3, temos também a + b + 2c + d = 33, que é obviamente o maior valor possível para n, obtido para
(a, b, c, d) = (6, 9, 3, 12).
13) Sendo x = 2.3m.5m.7n temos que d(x) = 2.(m + 1)2(n + 1)
Como d(x)= 36 (m + 1)2(n + 1) = 2.32 m=2 e n=1 x = 2.152.7 x = 210
14) Como d(n2) = 63 = (8 + 1)(6 + 1) = (20 + 1)(2 + 1) = (62 + 1) = (2 + 1)(2 + 1)(6 + 1), podemos ter as seguintes
possibilidades:
n2 = (83)6.28 ou n2 = (83)2.(2)20 ou n2 = (83)62 ou n2 = 26.32.832
Assim, o menor valor de n é n = 23.3.83
15) I) d(n) = 16 = 24 = (1 + 1)4 = (3 + 1).(3 + 1) = (3 + 1)(1 + 1)(1 + 1)
Assim o números n pode ser das formas:
i) n = a.b.c.d, com a, b, c e d primos.
Entretanto, d6 = 18 = 2.32, implicando que 32 divide n, que é impossível para esta caso.
ii) n = a3.b3, a e b primos, a > b.
Como um divisor é d6 = 2.32, temos que a = 2 e b = 3, implicando que n = 23.33 = 216:
Conferindo os divisores temos: a1 = 1, a2 = 2, a3 = 3, a4 = 4, a5 = 6, a6 = 8 que é impossível.
iii) n = a3.b.c, com a, b e c primos:
Como um divisor é d6 = 2.32, temos que a = 3 e b = 2. Assim, temos n = 2.33.c
Escrevendo os divisores de n temos:
1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54, c, 2c, 3c, 6c, 9c, 18c, 27c, 54c
Notemos que para 18 ser o d6, então c deve ser maior que 18, e primo com 2 e 3.
I) 19 c 26: 1, 2, 3, 6, 9, 18, c, 27, 2c, 54, 3c, 6c, 9c, 18c, 27c, 54c
Assim, d9 – d8 = 17 2c – 27 = 17 2c = 44 c = 22, impossível pois 22 é múltiplo de 2.
II) 28 c 53: 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, c, 54, 2c, 3c, 6c, 9c, 18c, 27c, 54c
Assim, d9 – d8 = 17 54 – c = 17 c = 37 n = 2.33.37 n = 1998.
III) c 55: 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54, c, 2c, 3c, 6c, 9c, 18c, 27c, 54c
Assim, d9 – d8 = 17 c – 54 = 17 c = 71 n = 2.33.71 n = 3834.
16) Como (n + 98)/(n + 19) = 1 + 79/(n + 19) então este valor vai ser inteiro se n + 19 dividir 79, que vai acontecer ara
os casos:
i) n + 19 = 79 n = 60 ii) n + 19 = – 79 n = 98 iii) n + 19 = 1 n = – 18 iv) n + 19 = – 1 n=–
20
17) Seja a equação diofantina 2x + 3y = 1997. Como d = mdc (2, 3) = 1 d | 1997 existe solução para a
equação diofantina.
Como x0 = 1000 e y0 = – 1 é uma solução, pois (2)(1000) + (3)(– 1) = 2000 – 3 = 1997, então todas as soluções são
dadas por:
x = x0 + (b/d)t y = y0 – (a/d)t x = 1000 + 3t y = – 1 – 2t
Assim, y será positivo somente para valores negativos de t t – 1.

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Desta forma: 1000 + 3t > 0 3t > – 1000 t – 333.
Assim, temos: – 333 t – 1, que corresponde a 333 soluções inteiras e positivas.
18) Como mdc (5, 6) = 1, e m0 = 20 e n0 = 0 é uma solução, temos que todas as soluções são dadas por:
m = 20 + 6t e n = – 5t
Assim, m.n = (20 + 6t)(– 5t) m.n = – 30t2 – 100t 30t2 + 100t + m.n = 0
m.nmax = – (10000)/(4(– 30)) m.nmax = 83,33333
que não é inteiro, mais já dá uma dica do maior valor inteiro de m.n, pois m.n 83.
Para que t seja inteiro, devemos ter o discriminante igual a um quadrado perfeito:
1002 – 120mn = x2 1002 – x2 = 120mn (100 – x)(100 + x) = 120mn
Podemos ter x = 20 120mnmax = 10000 – 400 = 9600 mnmax = 80
Conferindo: 30t2 + 100t + 80 = 0 3t2 + 10t + 8 = 0 (3t + 4)(t + 2) = 0 t = – 2.
28) I) 26 = 64 = 65 – 1 = 5.13 – 1 26 – 1 (mod. 13) (26)11 (– 1)11 (mod. 13) 266 – 1 (mod. 13)
(266)24 (– 1)24 (mod. 13) 270 – 16 (mod. 13) 270 – 3 (mod. 13)
3 3
II) 3 = 27 = 26 + 1 = 2.13 + 1 3 1 (mod. 13) (33)23 (1)23 (mod. 13) 369 1 (mod. 13)
(369)3 1.3 (mod. 13) 370 3 (mod. 13)
III) Somando as duas congruências temos 270 + 370 – 3 + 3 (mod. 13) 270 + 370 0 (mod. 13)
Outra solução: 22 + 32 0 (mod. 13) 22 – 32 (mod. 13) (22)35 (– 32)35 (mod. 13)
70
2 70
– 3 (mod. 13) 70
2 +3 70
0 (mod. 13)
29) I) 2222 3 (mod. 7) 22225555 35555 (mod. 7) 33 – 1 (mod. 7) (33)1851 (– 1)1851 (mod. 7)
35553 – 1 (mod. 7) 35553.32 (– 1).32 (mod. 7) 35555 – 9 (mod. 7) 22225555 – 9 (mod. 7)
2222 2222 3 3 740
II) 5555 4 (mod. 7) 5555 4 (mod. 7) 4 1 (mod. 7) (4 ) (1)740 (mod. 7)
42220 1 (mod. 7) 42220.42 1.42 (mod. 7) 42222 16 (mod. 7) 55552222 16 (mod. 7)
5555 2222
Somando as duas congruências: 2222 + 5555 – 9 +16 (mod. 7) 22225555 + 55552222 7 (mod. 7)
Ou seja, 7 | 22225555 + 55552222
30) 1110 – 1 = (11 – 1)(119 + 118 + 117 + ... + 112 + 11 + 1) 1110 – 1 = 10.(119 + 118 + 117 + ... + 112 + 11 + 1)
9 8 7 2
Basta provar que (11 + 11 + 11 + ... + 11 + 11 + 1) é divisível por 10.
11 1 (mod. 10) 1 11 112 113 114 ... 118 119 1 (mod. 10)
Somando temos: 119 + 118 + 117 + ... + 112 + 11 + 1 1 + 1 + 1 + ... + 1 (mod. 10)
119 + 118 + 117 + ... + 112 + 11 + 1 10 (mod. 10) 119 + 118 + 117 + ... + 112 + 11 + 1 0 (mod. 10)
31) Notemos que 21999 + 22000 + 22001 = 21999(1 + 2 + 4) = 21999.7
210 = 1024 210 24 (mod. 100) 220 76 (mod. 100) (220)99 (76)99 (mod. 100) 21980 76 (mod.
100)
(210)(21980) (24)(76) (mod. 100) 21990 24 (mod. 100) (29)(21990) (512)(24) (mod. 100)
1999 1999
2 88 (mod. 100) 2 .7 16 (mod. 100)
Desde modo concluímos que os dois últimos dígitos de 2 1999.7 são 16. Como 21999.7 é divisível por 8, e um número é
divisível por 8 se e somente se o número formado pelos seus três últimos algarismos é divisível por 8, os últimos 3
dígitos de 21999.7 podem ser 216, 416, 616 ou 816, ou seja, o algarismo das centenas é par.
32) Notemos inicialmente que 1998 = 2.33.37
760 – 20 = 740 = 22.5.37 760 20 (mod. 2.37) 7601998 201998 (mod. 2.37) 7601998 – 201998 0 (mod.
2.37)
1910 – 652 = 1258 = 2.17.37 1910 652 (mod. 2.37) 19101998 6521998 (mod. 2.37)
1998
1910 – 6521998
0 (mod. 2.37)
Assim: 7601998 – 201998 + 19101998 – 6521998 0 (mod. 2.37) 2.37 | 7601998 – 201998 + 19101998 – 6521998
2 3
760 – 652 = 108 = 2 .3 760 652 (mod. 3 )3
760 1998
6521998 (mod. 33) 7601998 – 6521998 0 (mod.
33)

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1910 – 20 = 1890 = 2.33.5.7 1910 20 (mod. 33) 19101998 201998 (mod. 33) 19101998 – 201998 0
(mod. 33)
Assim: 7601998 – 201998 + 19101998 – 6521998 0 (mod. 33) 33 | 7601998 – 201998 + 19101998 – 6521998
Como 2.37 | 7601998 – 201998 + 19101998 – 6521998 e 33 | 7601998 – 201998 + 19101998 – 6521998
2.33.37 | 7601998 – 201998 + 19101998 – 6521998 1998 | 7601998 – 201998 + 19101998 – 6521998
43) Se mdc (n, 10) = 1 podemos aplicar o Teorema de Euler:
(1000) = 400 n400 1 (mod. 1000) n400 – 1 = 1000k (n200 – 1)(n200 + 1) = 1000k
200 100 100
(n + 1)(n – 1)(n + 1) = 1000k
(10) = 4 n4 1 (mod. 10) n200 1 (mod. 10) n200 + 1 2 (mod. 10)
Analogamente: n 100 1 (mod. 10) n100 + 1 2 (mod. 10)
Desde que (n + 1)(n – 1)(n + 1) = 1000k e n 100 + 1 e n 200 + 1 não são divisíveis por 1000, temos que n 100 – 1
200 100 100
é divisível por 1000.
Deste modo n100 – 1 0 (mod. 1000) n100 1 (mod. 100) n101 n (mod. 1000) n101 termina com os
mesmos 3 dígitos de n.
44) Como mdc (2, 19972) = 1 podemos aplicar o Teorema de Euler.
Desde que (19972) = 19972(1 – 1/997) = 1996.1997 2 (n) 1 (mod. n) 21996.1997 1 (mod. 19972)
46) Notemos inicialmente que X = n 30 – n14 – n18 + n2 = n2(n12 – 1)(n16 – 1) e que 46410 = 2.3.5.7.13.17.
É suficiente mostrar que p divide n30 – n14 – n18 + n2 para p = 2, 3, 5, 7, 13 e 17.
Como n2 ou n12 – 1 é par, então 2 | X. (1)
Se p divide n, a conclusão é direta, para p = 2, 3, 5, 7, 13 ou 17.
Se mdc (n, p) = 1, pelo Teorema de Fermat temos que np – 1 1 (mod. p).
Assim: n12 1 (mod. 13) e n16 1 (mod. 17) 13.17 | (n12 – 1)(n16 – 1) 13.17 | X (2)
Como n – n – n + n = n (n – 1)(n – 1) = n (n – 1)(n6 + 1)(n4 – 1)(n4 + 1)(n8 + 1).
30 14 18 2 2 12 16 2 6
Analogamente, sendo mdc (n, p) = 1, temos pelo Teorema de Fermat: n6 1 (mod. 7) e n4 1 (mod. 5)
Deste modo 5.7 | (n4 – 1)(n6 – 1) 5.7 | X (3)
Finalmente, notemos que n – n – n + n2 = n2(n12 – 1)(n16 – 1) = n2(n3 – 1)(n3 + 1)(n6 + 1)(n4 – 1)(n4 + 1)(n8 + 1).
30 14 18
Pelo Teorema de Fermat n 2 1 (mod. 3) 3 | (n2 – 1) 3 | X (4)
De (1), (2), (3) e (4) concluímos que 2.3.5.7.13.17 | n – n – n18 + n2.
30 14
47) Notemos que: 341 = 11.31 e 210 = 1024 = 31.33 + 1 = 11.93 + 1, o que implica:
210 1 (mod. 31) e 210 1 (mod. 11) 231 = 2(210)3 2.13 2 (mod. 11)
Os inteiros 11 e 31 são primos, de modo que, pelo teorema acima temos:
211.31 2 (mod. 11.31) ou 2341 2 (mod. 341), ou seja, cancelando o fator comum 2: 2340 1 (mod. 341)
48) Como mdc (n, 5) = 1, pelo Teorema de Fermat temos que n 4 1 (mod. 5) (1)
Como 1991 1 (mod. 5) – 1991 – 1 (mod. 5) (2)
4
Somando (1) e (2) temos que n – 1991 0 (mod. 5)