1) O documento discute os diferentes conjuntos numéricos: naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais. 2) Inclui explicações sobre cada conjunto, seus símbolos e subconjuntos. 3) Também apresenta a reta numérica e como representar cada conjunto numérico nela, mostrando a ordem dos números.

1. COM O PROFESSOR CARLOS EDUARDO MORAES PIRES 5
CONJUNTOS
NUMÉRICOS
COPYRIGHT ® Prof. Carlos Eduardo M.Pires,2012
Edição I
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2. COM O PROFESSOR CARLOS EDUARDO MORAES PIRES 6
SUMÁRIO
1. Conjuntos Numéricos___________________________
3.1. Naturais
3.2. Inteiros
3.3. Racionais
3.4. Irracionais
3.5. Reais
2. Reta numérica________________________________ 16
6.1.1. Reta numérica natural
6.1.2. Reta numérica dos números inteiros
6.1.3. Reta numérica dos números racionais
6.1.4. Reta numérica dos números Irracionais
6.1.5. Reta numérica dos números Reais
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3. COM O PROFESSOR CARLOS EDUARDO MORAES PIRES 6
1 – CONJUNTOS NUMÉRICOS - Seu símbolo é IN.
- Vamos estudar Conjuntos Numéricos, - Todo número do Conjunto Natural será
que é o mesmo que Conjuntos de SEMPRE positivo.
números.
- Não precisa apresentar os números
- Conforme o tipo de números, ele recebe naturais com o sinal de + na frente
nomes diferentes : (+1,+2,+3 fica apenas 1,2,3 )
Naturais, Inteiros, Racionais ou - Não é necessário escrever IN+. Se
Fracionários, Irracionais e Reais. escrever só IN, já sabe que é positivo.
- Não existe IN- , porque não tem Naturais
1.1 - NATURAIS ( IN ) negativo.
São números a partir de zero, até o - N* é um subconjunto de N, que significa
infinito. todos os números de N, menos o Zero.
Ex: ( N* ( Asterisco ) = Números Naturais sem
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15... o Zero )
Antes de você estudar o conjunto dos
- Tem começo. Não tem fim. números inteiros, gostaria que você fosse
até as folhas “SIMETRIA” e “VALOR
- Você sabia que para representar um ABSOLUTO ou MÓDULO DE UM
conjunto como infinito usa-se reticências NÚMERO”.
?
- Se você não usar reticências (...), você 1.2 - INTEIROS ( Z )
erra a questão, porque limita o conjunto.
{ 0,1,2,3,4,5,6...} = Conjunto natural. - São os números Naturais mais os seus
{0,1,2,3,4,5,6} = Conjunto qualquer. simétricos.
( Você se lembra o que é simetria ? São
- Mas as reticências só representam algarismos iguais com valores diferentes.
infinito quando ela está no final dos É só inverter os seus sinais. Ex : O
elementos. simétrico de 5 é -5. De -4 é 4. De -2 é 2.
De 0 é 0 mesmo)
- Se tiver outro elemento depois dela, não
significa infinito, porque termina no último - Números Inteiros são os Naturais mais
elemento antes das chaves : os seus negativos.
{1,2,3,4,5,6,7,8,9...50}. - Ex: ... -9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-
1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9...
- Com as reticências eu quero dizer que
continua do 9 até chegar no 50. Logo, não - Você pode estar estranhando por que os
é infinito, porque esse conjunto tem fim. O números negativos estão em ordem
seu final é 50. decrescente. Veja em A RETA
NUMÉRICA.
- O menor número Natural é Zero ( 0 ).
- O conjunto dos números Inteiros não
- Não existe o maior número natural (é tem começo e nem fim.
infinito).
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4. COM O PROFESSOR CARLOS EDUARDO MORAES PIRES 7
- Reticências tanto para a esquerda - Para saber esta resposta, veja em
quanto para a direita. FRAÇÕES e DECIMAIS, e RETA
NUMÉRICA.
- Não existe menor número Inteiro, por
- O conjunto dos números racionais não
ser infinito.
tem começo nem fim.
- Não existe o maior número Inteiro ( é - Seu símbolo é ( Q ).
infinito ).
- O conjunto Q tem subconjuntos :
- Seu símbolo é ( Z ). Q* = Números Racionais sem o Zero
Q+ = Números Racionais não negativos
- O conjunto Z tem subconjuntos : ou positivos incluindo o Zero.
Z * , Z- , Z+ , Z*- , Z*+ . Q- = Números Racionais não positivos ou
Z* = Números Inteiros sem o Zero. {... negativos incluindo o Zero.
-2,-1,1,2,...} Q*+ = Números Racionais positivos sem o
Z-= Números Inteiros não positivos ( inclui zero.
o Zero ) Q*- = Números Racionais negativos sem
{...-4,-3,-2,-1,0} o zero.
Z+= Números Inteiros não negativos (
inclui o Zero ). - Quem são os números Racionais :
{0,1,2,3,4,5...} 1) Todo número Natural.
Z*-= Números Inteiros só negativos sem o 2) Todo número Inteiro.
Zero. 3) Todo número fracionário ( toda fração )
{...-3,-2,-1} 4) Todo decimal exato.
Z*+ = Números Inteiros só positivos sem o 5) Todo decimal periódico.
Zero.
- Mas você não precisa decorar isso.
{1,2,3,4,5...}
Basta compreender o seguinte :
1) Todo o número que puder ser escrito
- Analise : Z é infinito para a direita e para
em forma de fração, é um número
a esquerda. Já Z+ é infinito só para a
Racional ou Fracionário. Exemplo: O
direita, e Z- para a esquerda. Z+ = IN
número Natural 2 pode ser escrito em
(naturais ).
forma de fração : 2/1 = 2.
O Inteiro também : -5 = -5/1.
A fração já está escrita em forma de
1.3 - RACIONAIS ( Q ) fração ( lógico ).
O número decimal exato é resultado de
São todos os números Inteiros, mais as uma fração : 2/4 = 0,5. Logo, 0,5 pode
frações ou decimais. ser escrito em forma de fração : 0,5 = 2/4.
Você sabe transformar um número
- Ex: ... -9,-8,-15/2,-7,-6,-16/3,-5,-4,-3,- decimal numa fração ? Veja em
2,-1,0,1/2,2,3,4,14/3,5,6,7,8,9... GERATRIZ DE UMA FRAÇÃO.
- Repare que além dos inteiros, foram Da mesma forma um decimal periódico
acrescidas algumas frações. também pode ser representado em forma
de fração, porque ele é o resultado de
- Por isso os Racionais são também uma fração. 3/9 = 0,333... = 3/9.
conhecidos como números Fracionários
- Mas porque a fração 14/3 está entre o 4 -Numa prova, viu que é fração, não tem
e o 5 ? No deveria estar depois do 14? erro, é um número Racional (Fracionário)
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5. COM O PROFESSOR CARLOS EDUARDO MORAES PIRES 8
1.4 - IRRACIONAIS - Raízes exatas são raízes cujo resultado
São todos os números que não podem não dá decimal. Dá número Inteiro.
ser escritos em forma de fração.
- Para saber, é só você resolver cada
-São decimais que não tem fim (infinitas), Raiz.
e que não são periódicas. (Veja Dízimas)
Ex: 0,14576435654... 0,4986452... - Você sabe resolver uma raiz quadrada ?
2,4656798345... 102,654323421... veja em RAÍZES, ou pegue uma
calculadora, aperte a tecla do número que
- Um irracional terá sempre reticências, você quer, e depois aperte a tecla √.
porque ele tem que ser infinito. Veja : Raiz Exata √ 9 = 9 / 9 é um
número Racional.
- Se não for infinito, não é irracional. É um Raiz não Exata √ 3 = 1,7320508...
decimal exato, sendo então Racional.
- O número Irracional mais famoso é o π (
- Observe que se você tentar me
pi ), que vale 3,141592...
responder um número irracional, você não
vai conseguir. Porque ele é infinito e não - Em resumo, Irracionais são todos os
se repete. No caso das dízimas números que não podem colocar em
periódicas, elas também são infinitas, forma de fração. Serão decimais infinitos
mas você consegue me responder, e não periódicos, mas às vezes aparecem
porque sabe que os números se repetirão em raízes não exatas.
sempre. Podemos dizer que ele é
irracional, porque você não consegue
raciocinar. 1.5 - REAIS
São todos os números existentes
- A representação dele pode ser seu
próprio nome “ Irracional “ , “ I “ ou “ Ir “, - Qualquer número racional, irracional,
dependendo do autor. Natural e inteiros são números reais.
- Há autores que expressam os Irracionais -Apenas os números que não existem não
como Q’. Que seria números Reais pertencem ao conjunto dos números
menos os Racionais, que só sobraria os Reais
Irracionais mesmo.
Q’ = Conjuntos Reais excluindo os - Não é um número Real as Raízes
Racionais ( Q ) = Irracionais. quadrada, quarta, sexta... de um número
negativo. Exemplos : √ -4, √ -8...
- Mas não é só em decimais que um
número irracional aparece. Ele pode
* Curiosidades: O adjetivo “real”
aparecer “disfarçado” em raiz quadrada,
começou a ser usado para distinguir
cúbica, etc. Veja :
esses números de números como √-1,
√ 3 , √ 5 , √ 2 , √ 7 , √ 8 ...
que era, antigamente, conhecido como
"irreais” ou "imaginários”.
- Assim como uma fração vira decimal
exato ou periódico, uma raiz quadrada
não exata vira um decimal irracional.
- Isso não vale para raízes exatas.
Raízes exatas não são irracionais. São
Racionais.
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6. COM O PROFESSOR CARLOS EDUARDO MORAES PIRES 9
2.3 - Qual é o maior número ?
2 – RETA NUMÉRICA - Para saber qual o número é maior, veja
a posição de ambos na Reta Numérica.
2.1 - Reta Numérica natural. - O número que estiver à direita será
- Trace uma reta : maior (já que é crescente para a direita).
- Dê um nome a esta reta (letra - Assim, quanto mais o número estiver à
minúscula) direita, maior será ele.
- Marque um ponto nela, que será o ponto - Veja que entre o 2 e o 10, o 2 está a
origem : esquerda e o 10 à direita. Logo o 10 é
- Dê um nome a esse ponto de origem : maior.
Ponto A. - No caso dos nº naturais não é muito
- Coloque uma régua em cima desta reta. difícil.Sem precisar ver na Reta Numérica,
- Coloque o zero da régua em cima do você já sabe que 10>2 (10 é maior que 2)
Ponto A. - Já quantos aos Números Inteiros
- A partir dai, marque 1 ponto em cima de Negativos é mais complicado :
cada centímetro até chegar no 15 cm. - Qual número é maior ? -2 ou -10 ?
- Tire a régua. Obs: agora o resultado não será -10.
- Os números de 0 em diante pertence a - Isso porque na Reta Numérica o -10
que conjunto numérico ? Naturais. está à esquerda e o -2 está a direita.
- Podemos dizer que esta reta numérica é - Logo, o maior número será aquele que
uma RETA NUMÉRICA NATURAL. estiver à direita na Reta Numérica.
- Lembre-se que a distância de um ponto - Jeito Mais Fácil : Para saber qual
para o outro deve ser a mesma. número é maior, é só ver :
- Nós deixamos um espaço de 1 cm, mas - Dois Números Positivos : Maior Valor
o espaço pode ser qualquer um, contando Absoluto.
que sejam sempre congruentes. - Dois Números Negativos : Menor Valor
- Embora tenha que ter o mesmo espaço Absoluto.
entre um e outro, ninguém vai ficar - Um Número Positivo e um Número
medindo os espaços. Por isso será Negativo : O número positivo.
normal você daqui para frente fazer e ver Exemplo para entender melhor :
retas numeradas com distâncias não - Suponhamos que seu pai queira te dar
exatas entre um número e outro. uma caderneta de poupança.
- Observe que o número começa no Zero, - Ele tem 3 contas, e manda você
e vai aumentando para o infinito : 0,1,2... escolher uma.
- Você pede para olhar os saldos de cada
2.2 - Reta Numérica Z. uma para ver qual conta tem mais valor.
- Pegue a reta que você já numerou, e -A primeira : 142,00
faça o mesmo processo, só que desta vez A segunda :-613,50
para o lado esquerda ( o contrário ). A terceira : -974,11
- Qual você escolhe ? Acredito que você
- Os números naturais mais os seus
tenha escolhido o 142,00. Por quê ?
simétricos(opostos) pertencem ao
- Se fosse escolher por valor absoluto
conjunto numérico Inteiro.
(ignorando o sinal ), você escolheria o -
- Observe que o primeiro inteiro é infinito
974,11, que é maior que 142,00 e -
(não tem começo ).
613,50.
- Mas nesta reta,o 1º representado é o -
- Entretanto você levou em consideração
11.
o sinal (-). E você sabe que quanto maior
- A reta vai crescendo : -11,-10,-9,-8,-7...
for número com sinal negativo, maior será
- Percebeu que quanto mais o número
a sua dívida, e menos valor tem a conta.
cresce, menor fica o número absoluto ?
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7. COM O PROFESSOR CARLOS EDUARDO MORAES PIRES 10
- Assim, quanto maior for o número - Numeradores diferentes e
negativo, menor será o seu valor. denominadores iguais, maior fração será
a de numerador maior.
2.2 - Reta Numérica Q.
- É importante saber que entre os - Mas você não precisa decorar isso.
principais números que vimos até agora Basta você resolver a fração, e com o
(os inteiros) , existem números que não resultado (que será um decimal ou
são inteiros. São parte de um inteiro. número inteiro ) você verá qual é maior.
- Exemplo : Tinha 1 Real inteiro em uma Exemplo : 9/12 = 0,75 7/8 = 0,875.
nota. Queria dividir em 4, tive que trocar Logo, 0,875 é maior que 0,75.
por 4 moedas de 0,25. Cada moeda vale - Logo, maior fração será a maior decimal
1/4 do real. que a fração resultar.
- Sendo 1/4 um número que não é inteiro,
mas uma fração, em que posição deveria 2.4 - Reta Numérica Ir
ele estar colocado na reta numérica ?
- Muitos colocariam 1/4 depois do 1 e - Os irracionais na maioria das vezes
antes do 4. Mas está errado. aparecerão em decimais.
- Para saber em que posição ele deve - Pelos decimais você saberá onde ele
estar, você deve transformá-lo em deve ficar na reta numérica.
decimal ( ou seja, deve resolver essa Exemplo : π = 3,141592... Ele ficará na
divisão, já que 1/4 é a mesma coisa que reta depois do 3, antes do 4.
1:4 = 0,25. - Mas os Irracionais podem aparecer em
- Tendo o número 0,25, já podemos raízes : √ 3.
colocá-lo na reta. Logo, ele será maior - Neste caso, onde colocar essa raiz na
que 0 e menor que 1. Na reta, estará reta ? Isso mesmo. É só resolver e achar
entre o 0 e 1. o decimal que ela representa : √ 3 =
- Você pode não estar vendo, mas entre 1,7320508... Logo, fica depois do 1 e
um número e outro há infinitos números antes do 2.
racionais e irracionais.
2.5 - Reta Numérica R
- Se pedirem para representar uma fração - Daqui para frente você não vai ouvir
na reta numérica, você não deve falar de reta numérica dos números
representar com uma decimal. naturais, inteiros, racionais ou irracionais (
- Resumindo : Ache o decimal da fração a não ser em casos raríssimos ).
para saber onde colocá-la na reta. - Será mais comum você ver Reta
numérica dos números Reais, que
2.3 - Qual é a maior fração ? englobam todos os números.
- A maior fração será aquela que estiver à - Logo, na reta numérica dos números
esquerda na reta numérica. Reais estão todos os números que
existem.
- Mas para não ter que imaginar a reta, a - Ainda que seja representado na Reta
maior fração será o maior decimal. Numérica apenas os números que
interessarem no momento, você não pode
Ex : Qual é maior ? 9/12 ou 7/8 ? esquecer que antes, entre e depois de
Parece que 9/12 é maior que 7/8. Mas qualquer número representado nessa
não é. Reta existem infinitos números
escondidos, que não convém representá-
- Numeradores iguais e denominadores lo naquele momento.
diferentes, maior fração será o de menor
denominador.
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