Geometría 1ºeso

GEOMETRÍA 1ºESO
IES JOSÉ ISBERT. DPTO.
MATEMÁTICAS

Ies José Isbert – Dpto. matemáticas 2
PUNTO, RECTA Y PLANO
• PUNTO
• El punto es la entidad básica de geometría. Carece de dimensiones, es decir no tiene largo, ni
ancho ni espesor. Es el lugar de la recta, del plano o del espacio al que es posible asignar una
posición.
• RECTA
• La recta se puede definir como la sucesión de puntos alineados en una misma dirección.
Tiene longitud, pero no tiene ni anchura ni espesor.
• SEMIRECTA
• Una semirecta es cada una de las dos partes en que queda dividida una recta por un punto.
Tiene principio, pero no fin.
• SEGMENTO
• Es la parte de una recta limitada por dos puntos, A y B. Se representa por AB.
•
• PLANO
• Es una superficie tal que una recta que tenga dos puntos comunes con ella está contenida
totalmente en la misma.

3
Punto
Recta
Plano
P
r
π
Segmento
A
B
Ies José Isbert – Dpto. matemáticas

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POSICIONES DE DOS RECTAS
• Dos rectas del plano pueden cortarse
o no en un punto común. Si es así se
llaman secantes.
• De todas las rectas secantes entre sí
un caso particular muy importante es
cuando forman un ángulo de 90º, en
cuyo caso se llaman perpendiculares.
• Si dos rectas no se cortan entre sí es
que son paralelas.
• Un caso particular de rectas paralelas
es cuando son coincidentes.
r
s
r
s
r
s
r=s

5
MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO
• Es la recta perpendicular a él y que
pasa por su punto medio.
• Construcción
• Desde los extremos del segmento AB
se trazan arcos del mismo radio, r.
• Dichos arcos se cortarán entre sí en
dos puntos.
• Uniendo dichos dos puntos de corte
tendremos la mediatriz del segmento.
r
r
A B

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• El ángulo es la región del plano limitado por dos rectas que se cortan.
• El vértice es el punto común de las dos rectas.
• Los lados de un ángulo son las semirrectas que lo forman.
• Los ángulos se miden en grados sexagesimales.
• Un grado es lo que mide el ángulo que resulta de dividir un ángulo cuyos lados son
perpendiculares, en 90 partes iguales y tomar una de ellas.
• Se representa por º.
• 1º = 60’ (minutos)
• 1’ = 60” (segundos)
0º
270º
180º
90º
360º
α
ÁNGULO EN EL PLANO

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• TRANSPORTADOR
• El transportador es un semicírculo graduado que se utiliza para medir ángulos. Está
graduado de grado e grado, y en ambos sentidos.
• Un ángulo es también la región del espacio limitada por dos planos que se cortan.
Una pared y el suelo de una habitación forman un ángulo de 90º.
α
MEDIDA DE ÁNGULOS

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EXPRESIÓN COMPLEJA E INCOMPLEJA
• EXPRESIÓN COMPLEJA E INCOMPLEJA DE ÁNGULOS
• Una medida de ángulos se puede escribir como expresión compleja cuando se
indican grados (º), minutos (‘) y segundos (“).
• Ejemplo: 2º 21’ 14”
• Una medida del ángulo se puede escribir como expresión incompleja cuando se
indica sólo en una unidad.
• Ejemplo: 2’24º
• Ejemplo: 214’
• Ejemplo: 1234”
• PASO DE EXPRESIÓN COMPLEJA A INCOMPLEJA Y VICEVERSA
• Se multiplica por 60, o se divide entre 60 según proceda.

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• Ejemplo_1
• Pasar 2º 32’ a segundos (“).
• 2º = 2 x 60 = 120’
• 120’ = 120 x 60 = 7200”
• 32’ = 32 x 60 = 1920”
• 7200” + 1920” = 9120”
• Luego 2º 32’ = 9120”
• Ejemplo_2
• Pasar 5º 3’ 12” a minutos (‘)
• 5º = 5 x 60 = 300’
• 3’ = 3’
• 12” = 12 / 60 = 0,2’
• 300’ + 3’ + 0,2’ = 303,20’
• Luego 5º 3’ 12” = 303,20’

10
• Ejemplo_3
• Pasar 324’ a grados (º), minutos (‘) y segundos (“).
• 324’ = 324 / 60 = 5,40º = 5º + 0,4º
• 0,4º = 0,4 x 60 = 24’
• Luego 324’ = 5º 24’
• Ejemplo_4
• Pasar 3,125º a grados (º), minutos (’) y segundos (“).
• 3,125º = 3º + 0,125º
• 0,125º = 0,125 x 60 = 7,5’
• 7,5’ = 7’ + 0,5’
• 0,5’ = 0,5 x 60 = 30”
• Luego 3,125º = 3º 7’ 30”

11
• BISECTRIZ DE UN ÁNGULO
• Recta que partiendo del vértice cortan el
ángulo en dos iguales.
• BISECTRICES DE UN TRIÁNGULO
• Son tres, pues un triángulo tiene tres ángulos
interiores.
• Se cortan en un único punto llamado
INCENTRO, que es el centro de la
circunferencia inscrita (interior), tangente a los
tres lados.
Bisectriz
α
α/2
α/2

12
Construcción de la bisectriz

13
• ÁNGULOS
• Dos rectas perpendiculares forman un ángulo de 90º.
• Decimos entonces que forman un ángulo recto.
• Un ángulo es agudo si es menor de 90º
• Un ángulo es obtuso si es mayor de 90º
• Un ángulo es llano si su medida es de 180º.
• Un ángulo es completo si su medida es de 360º
• Un ángulo es convexo si su medida está entre 0º y 180º
• Un ángulo es cóncavo si medida está entre 180º y 360º
Clasificación

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• ÁNGULOS ENTRE SÍ
• Dos ángulos son COMPLEMENTARIOS si suman 90º.
• Dos ángulos son SUPLEMENTARIOS si suman 180º.
• Dos ángulos se llaman OPUESTOS POR EL VÉRTICE si tienen el vértice
común y los lados de uno son prolongación de los lados del otro.
Clasificación
α α
αβ
β
β
α + β = 90º
α + β = 180º
α = β

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• Un ángulo de 90º se llama ángulo …
• recto.
• agudo.
• obtuso.
• llano.
• Un ángulo de 75º , o de 135º, se llama ángulo …
• convexo.
• Un ángulo de 150º , o de 300º , se llama ángulo …
• Cóncavo.
• obtuso.
• agudo.
Ejemplos

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• Dos ángulos de 10º y 80º se llaman ángulos …
• complementarios.
• suplementarios.
• agudos.
• suplementarios.
• cóncavos.
• complementarios.
• Dos ángulos de iguales y convexos …
• No son obligatoriamente opuestos por el vértice.
Ejemplos

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SECANTE CORTA A RECTAS PARALELAS
• Los ángulos que se forman al cortar una
recta secante a dos rectas paralelas son
iguales o suplementarios.
• Ángulos internos
• Son el C, D, E y F
• Ángulos externos
• Son el A, B, G y H
• Ángulos alternos
• Son el C y E, el D y F, el A y G, y el B y H
• Ángulos correspondientes.
• Son el A y E, el B y F, el D y H, y el C y G
• Ángulos conjugados.
• Son el C y F, el D y E, el A y H, y el B y G.
A
E
C D
B
F
G H
t
r
s
A = C = E = G ,, B = D = F = H
A+D = B+C = F+G = E+H = 180º
A+B = C+D = E+F = G+H = 180º

18
ÁNGULOS DE LADOS PARALELOS
• Si dos ángulos tienen los lados paralelos y dirigidos en el mismo sentido, los ángulos son
iguales.
• Si dos ángulos tienen los lados paralelos y están dirigidos en sentido contrario, los ángulos
son iguales.
• Si dos ángulos tienen los lados paralelos y uno de ellos está dirigido en sentido contrario, los
ángulos son suplementarios.
α
α
α
α
α
180º - α

19
• La suma de los ángulos interiores de
un triángulo es de 180º.
• La suma de los ángulos interiores de
un polígono es:
• S=180º.(n – 2) , donde n es el
número de lados.
• EJEMPLOS
• Triángulo
• S=180º.(3 – 2)= 180º
• Cuadrilátero
• S=180º.(4 – 2)= 360º
• Pentágono
• S=180º.(5 – 2)= 540º
• Exágono
• S=180º.(6 – 2)= 720º
A = 60º
B = 80º
C = 40º
Ángulos interiores de un triángulo

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• Sea P un punto cualquiera de la superficie
de un polígono cualquiera.
• Desde el punto P trazamos rectas a cada
uno de los vértices del polígono.
• El polígono queda dividido en triángulos,
tantos como número de lados tenga.
• Los ángulos centrales de un polígono
suman siempre 360º.
• Los ángulos de cada triángulo en que se
descompone suman siempre 180º
Ángulos centrales de un polígono
P

21
POLÍGONOS
• POLÍGONO
• Un polígono es la región del plano limitada por una
línea poligonal cerrada.
• Un polígono es regular si tiene sus ángulos y lados
iguales. De lo contrario es irregular.
• regular de CINCO lados.
• ELEMENTOS DE UN POLÍGONO REGULAR
• Centro: punto interior que está a igual distancia de
todos los vértices.
• Radio: Segmento que une el centro con un vértice.
• El centro y el radio lo son también de la
circunferencia circunscrita.
Línea poligonal abierta
Línea poligonal cerrada
Polígono regular

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Tipos de polígonos
• SEGÚN EL NÚMERO DE LADOS
• Lados = 3
• TRIÁNGULOS
• Lados = 4
• CUADRILÁTEROS
• Lados = 5
• PENTÁGONOS
• Lados = 6
• HEXÁGONOS
• Lados = 7
• HEPTÁGONOS
• Lados = 8
• OCTÓGONO
• ETC.
• SEGÚN LOS ÁNGULOS INTERIORES
• Todos los ángulos interiores son convexos,
menores de 180º.
• POLÍGONO CONVEXO
• Algún ángulo interior es cóncavo, mayor de
180º.
• POLÍGONO CÁNCAVO

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TRIÁNGULOS
Polígono de 3 lados Polígono de 6 lados Polígono de infinitos lados
• DEFINICIÓN:
• Un triángulo (TRI-ángulo) es un polígono que presenta tres ángulos.
• Un polígono como mínimo presenta siempre tres ángulos y en
consecuencia tres lados.
• Un polígono presenta siempre el mismo número de vértices que de lados.

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Clasificación por sus lados:
ESCALENO ISÓSCELES EQUILATERO
3 lados desiguales 2 lados iguales 3 lados iguales
b = 4 a = 5
c = 6
b = 6
a = 6
c = 4
b = 4
a = 4
c = 4
CLASIFICACIÓN

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Clasificación por sus ángulos:
ACUTÁNGULO RECTÁNGULO OBTUSÁNGULO
Los tres ángulos agudos Un ángulo recto Un ángulo obtuso
A = 50º
< 90º
B = 60º
< 90º
C = 70º
< 90º
A = 50º B = 40º
C = 90º C = 20º
A = 40º B = 120º
> 90º

26
• MEDIATRICES.- Rectas perpendiculares a un lado y que pasan por el punto medio
de dicho lado.
• Corte único de las mediatrices: CIRCUNCENTRO, que es el centro de la
circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo.
• BISECTRICES.-Rectas que partiendo del vértice parten el ángulo en dos iguales.
• Corte único de bisectrices: INCENTRO, que es el centro de la circunferencia inscrita
(interior), tangente a los tres lados.
• ALTURAS.- Rectas perpendiculares a los lados y que parten del vértice opuesto a
cada uno de ellos.
• Corte único de alturas: ORTOCENTRO.
• MEDIANAS.- Rectas que van del vértice al punto medio del lado opuesto.
• Dividen el triángulo en dos regiones de igual área.
• Corte único de medianas: BARICENTRO, que es el centro de gravedad del triángulo
(Física).
RECTAS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO

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Mediatrices
B
MEDIATRICES: Rectas que cortan
perpendicularmente a cada lado de un
triángulo por su punto medio. Se
cortan en un punto llamado
Circuncentro, que es el centro de la
circunferencia circunscrita ( que pasa
por los tres vértices ).
A
C
a
c
b
C

28
Medianas
A
C
B
a
c
b
MEDIANAS: Rectas que van del vértice al punto medio del lado opuesto. Generan dos
triángulos de igual área. Se cortan en un único punto llamado Baricentro, que es el
centro de gravedad del triángulo.
G

29
Medianas
A
C
B
a
c
b
G
RELACCIÓN DE ÁREAS:
Una mediana cualquiera divide al triángulo en dos triángulos de igual área (cada uno
de ellos de área la mitad que el triángulo original).

30
Alturas
A
C
B
a
c
b
ALTURAS: Rectas perpendiculares a cada lado y que pasan por el vértice opuesto . Se
cortan en un punto llamado Ortocentro.
O

31
A B
C
O
Ejemplo: Hallar el ortocentro
del triángulo obtusángulo
de la figura

32
Bisectrices
A
C
B
a
c
b
BISECTRICES: Rectas que dividen en dos el ángulo correspondiente al vértice del que
parte. Se cortan en un punto llamado INCENTRO, que es el centro de la circunferencia
inscrita ( dentro del triángulo y tocando a sus lados ).
IA/2
A/2

33
CUADRILÁTEROS
• CUADRILÁTEROS
• Son polígonos de cuatro lados
• Pueden ser cóncavos o convexos
• CLASIFICACIÓN
• Por el paralelismo de sus lados
• PARALELOGRAMOS, lados paralelos dos a dos.
• Cuadrado. Tiene iguales los cuatro lados y los cuatro ángulos.
• Rectángulo. Tiene iguales los cuatro ángulos.
• Rombo. Tiene iguales los cuatro lados.
• Romboide. Tiene iguales dos a dos, los lados paralelos.
• TRAPECIOS, dos lados paralelos.
• Trapecio isósceles. Tiene iguales los lados no paralelos.
• Trapecio rectángulo. Tiene dos ángulos rectos.
• Trapecio escaleno. No tiene ángulos rectos, y son desiguales los lados no paralelos.
• TRAPEZIODES, no tienen lados paralelos.
• Son cuadriláteros que no tienen ningún par de lados paralelos.
• A destacar un caso particular, la cometa, que tiene sus lados iguales dos a dos, y sus
diagonales perpendiculares.

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CUADRILATEROS CONVEXOS
Cuadrado Rectángulo Rombo Romboide
Trapecios Trapezoides

35
PARALELOGRAMOS
• Un paralelogramo es un cuadrilátero que tiene los lados opuestos
paralelos dos a dos.
• Los paralelogramos tienen los lados opuestos iguales.
• Los paralelogramos tienen los ángulos opuestos iguales.
• Las diagonales se cortan en su punto medio.
• Las diagonales de un cuadrado son iguales.
• Las diagonales de un cuadrado son perpendiculares.
• Las diagonales de un rectángulo son iguales.
• Las diagonales de un rectángulo no son perpendiculares.
• Las diagonales de un rombo no son iguales.
• Las diagonales de un rombo son perpendiculares.
• Las diagonales de un romboide no son iguales.
• Las diagonales de un romboide no son perpendiculares.

36
• CUADRADO
• Cuadrilátero que tiene los cuatro lados y
ángulos iguales.
• Sus cuatro ángulos mide 90º.
• Diagonal: Recta que une dos vértices
opuestos.
• Sus diagonales son iguales:
• d=d’
• Sus diagonales forman un ángulo de 90º,
son perpendiculares.
• Dos lados contiguos con la diagonal
forman un triángulo rectángulo.
• Por Pitágoras:
• d=d’ = √( l2 + l2 ) = √2.l2 = l.√2
• El perímetro de un cuadrado vale cuatro
veces el lado:
• P=4.l
l
l
l
l d d’
d = l.√2
CUADRADO
P = 4.l

37
b
h
• RECTÁNGULO
• Cuadrilátero que tiene los cuatro lados
paralelos e iguales dos a dos.
• Los cuatro ángulos interiores son iguales y
miden 90º.
• Las diagonales son también iguales:
• d=d’.
• Las diagonales, al cortarse, no forman un
ángulo recto.
• Dos lados contiguos con la diagonal forman
un triángulo rectángulo.
• Por Pitágoras:
• d=d’ = √( b2 + h2 )
• El perímetro es el doble de la suma de su
largo y su ancho:
• P=2.b+2.h
d = √( b2 + h2 )
b
h
d’
d
RECTÁNGULO
P = 2.b + 2.h

38
• ROMBO
• Cuadrilátero que tiene los cuatro lados iguales y
• Sus ángulos son iguales dos a dos.
• Sus diagonales son siempre distintas.
• Sus diagonales son perpendiculares, se cortan
formando un ángulo de 90º.
• Un lado con las semidiagonales forman un
triángulo rectángulo.
• Por Pitágoras:
• l = √ [ (D/2)2 + (d/2)2 ]
l l
ll
D
d
ROMBO
d/2
D/2

39
• ROMBOIDE
• Cuadrilátero que los lados y ángulos iguales y
• Sus diagonales son distintas, cortándose en su
punto medio.
• Sus diagonales nunca forman un ángulo recto.
• La altura, el lado oblicuo y la proyección de dicho
lado, p, forman un triángulo rectángulo.
• Por Pitágoras:
• l = √ (h2 + p2)
• El perímetro es el doble de la suma de la
base más el lado oblícuo:
• P=2.b+2.l
b
l
l
h
b
d’
d
b
l
l
h
b
ROMBOIDE
p

40
CUADRILATEROS CONVEXOS
Trapecios Trapezoides

41
• Un trapecio es el cuadrilátero que tiene dos lados ( bases) paralelos, otros dos
lados no paralelos, y por altura la distancia entre bases. La base mayor se designa
por “B” y la base menor por “b”.
• Las diagonales pueden o no ser iguales o perpendiculares.
• Hay tres tipos de trapecios: Rectángulos, isósceles y escalenos.
• PROPIEDAD
• Si unimos dos trapecios, como en la figura, se forma un romboide.
TRAPECIOS
b
B
h
B
b
b
B
l l
’

42
• TRAPECIO ISÓSCELES
• Es aquel en que los dos lados no
paralelos son IGUALES.
• Se podría decir que es la parte de un
triángulo isósceles que queda entre su
base y una recta paralela a dicha base.
• En el trapecio isósceles la
semidiferencia de las bases, la altura y
el lado oblicuo forman un triángulo
rectángulo.
• Por ello se puede determinar la altura
conociendo las bases y el lado
oblicuo; o también se puede
determinar el lado oblicuo
conociendo las bases y la altura.
b
B
l l
h
Por el Teorema de Pitágoras:
l = √ (h2 + [ ( B – b ) / 2 ]2 )
l = lado oblicuo = hipotenusa.
TRAPECIO ISÓSCELES

Apuntes Matemáticas 1º ESO 43
B
b En el triángulo rectángulo que
se resalta, por el Teorema de
Pitágoras:
l = √ ( h2 + ( B – b )2 )h
TRAPECIO RECTÁNGULO
• TRAPECIO RECTÁNGULO
• Es aquel en que uno de los lados no paralelos es perpendicular a las bases,
formando dos ángulos rectos.
• En él la diferencia de las bases, la altura y el lado oblicuo forman un triángulo
rectángulo.
l’=h
B – b
l
El perímetro es la suma de sus
cuatro lados:
P = B + b + h + l

• Es aquel cuadrilátero que no tiene ningún par de lados paralelos.
• Todo trapezoide se puede descomponer en cuatro triángulos, cuyos vértices serán
los extremos de cada lado y un punto interior, P, cualquiera del trapezoide.
• Un caso particular de trapezoide es la cometa, donde las diagonales son
perpendiculares (como el rombo o el cuadrado) y los lados iguales dos a dos. Ello
hace que se forme un triángulo rectángulo, y por consiguiente se pueda utilizar el
teorema de Pitágoras para su construcción.
TRAPEZOIDE
a
b
c
dP
La cometa

Teorema de Pitágoras.
• En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual
a la suma de cuadrados de los catetos.
• a2 = b2 + c2
a
b
c
Los triángulos sagrados de
los agrimensores egipcios ya
empleaban los triángulos de lados
3,4 y 5 y de 5,12 y 13 nudos para
hallar ángulos rectos.
Tres números enteros que
verifiquen el Teorema de Pitágoras se
dice que forman una terna
pitagórica.

Calculo de la hipotenusa
• En un triángulo rectángulo, los catetos miden
3 y 4 cm. Hallar la hipotenusa.
• Por el T. de Pitágoras: a2 = b2 + c2
• a2 = 32 + 42
• a2 = 9 + 16
• a2 = 25  Hipotensa a = √25 = 5 cm
• En un triángulo rectángulo, los catetos miden
5 y 12 cm. Hallar la hipotenusa.
• a2 = 52 + 122
• a2 = 25 + 144
• a2 = 160  Hipotensa a = √169 = 13 cm
a
b
c

Calculo de los catetos
• En un triángulo rectángulo un cateto mide 8 cm y la
hipotenusa mide 10 cm. Hallar el otro cateto.
• De donde: c2 = a2 – b2
• c2 = 102 – 82
• c2 = 100 – 64
• c2 = 36  Cateto c = √36 = 6 cm
• En un triángulo rectángulo un cateto mide 21 cm y
la hipotenusa mide 29 cm. Hallar el otro cateto.
• c2 = 292 – 212
• c2 = 841 – 441
• c2 = 400  Cateto c = √400 = 20 cm
a
b
c

Calculo de los catetos
• En un triángulo rectángulo un cateto mide 9 cm y la
hipotenusa mide 41 cm. Hallar el otro cateto.
• c2 = 412 – 92
• c2 = 1681 – 81
• c2 = 1600  Cateto c = √1600 = 40 cm
• En un triángulo rectángulo un cateto mide 35 cm y
la hipotenusa mide 37 cm. Hallar el otro cateto.
• c2 = 372 – 352
• c2 = 1369 – 1225
• c2 = 144  Cateto c = √144 = 12 cm
a
b
c

49
Reconocimiento de triángulos
• Sea un triángulo de lados a, b y c, donde a es el lado mayor.
• Si a2 = b2 + c2  El triángulo es RECTÁNGULO.
• Tiene un ángulo recto (90º) opuesto al lado a.
• Si a2 < b2 + c2  El triángulo es ACUTÁNGULO.
• Los tres ángulos son menores de 90º.
• Si a2 > b2 + c2  El triángulo es OBTUSÁNGULO.
• Tiene un ángulo obtuso, mayor de 90º, el opuesto al lado a.
a a a
b
c
b
c
b
c
A=90º
A<90º
A>90º

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• Ejercicios
• 1.- ¿Qué tipo de triángulo es aquel cuyos lados miden 7, 5 y 10 cm respectivamente?.
• Resolución
• El mayor, 10, deberá ser la hipotenusa si es un triángulo rectángulo.
• Como a2 = b2 + c2  102 = 72 + 52  100 = 49 + 25  100 = 74  100 > 74
• Como 100 > 74 es un triángulo obtusángulo.
• Resolución
• Como a2 = b2 + c2  612 = 602 + 112  3721 = 3600 + 121 
• Efectivamente 3721 = 3721, luego es un triángulo rectángulo.
• Resolución
• Como a2 = b2 + c2  122 = 112 + 102  144 = 121 + 100  144 = 221  144 < 121
• Como 144 < 121 es un triángulo acutángulo.

• Ejemplo_1
• Al construir un marco para una ventana
rectangular, un carpintero mide el largo y la
diagonal, que le dan 8 dm y 10 dm
respectivamente. ¿Qué tiene que medir el
alto para que el marco esté bien hecho?.
• Como la ventana ha de ser un rectángulo, se
debe cumplir el Teorema de Pitágoras:
• a2 = b2 + c2  102 = 82 + h2 
• h2 = 100 – 64 
• h2 = 36  h = 6 dm debe medir.
• La otra solución de la ecuación, h = - 6 cm
• Es imposible porque sólo hay longitudes
positivas.
Problemas de Pitágoras
10 cm
h
8 cm

• Ejemplo_2
• Una escalera mide 13 m de larga. La
colocamos inclinada sobre una pared, de
modo su base está separada 5 m de la pared.
• ¿Qué altura alcanza la escalera en estas
condiciones?.
• Como pared y el suelo forman un ángulo de
90º, podemos aplicar el Teorema de
Pitágoras:
• a2 = b2 + c2  132 = 52 + h2 
• 169 = 25 + h2 
• h2 = 169 – 25 = 144
• h = √144 = 12 m alcanza la escalera.
• La otra solución, - 12 m , no vale.
Problemas de Pitágoras
13 m
h
5 m

PARALELOGRAMOS

• CUADRADO
• Perímetro: Suma de sus lados
• P = l+l+l+l = 4.l
• El perímetro de un cuadrado es igual a 4
veces su lado.
• Diagonal: Recta que une dos vértices
opuestos.
• d=d’ = √( l2 + l2 ) = √2.l2 = l.√2
• Área: Medida de la superficie que rodean
sus lados.
• A = l.l = l2
• El área de un cuadrado es igual al lado al
cuadrado.
l
l
l
l d
d’
P = 4.l
d = l.√2
A = l2
EL CUADRADO

• Ejemplo 1
• Hallar la diagonal de un cuadrado de 15 cm de lado.
• d= l.√2 = 15.√2 m.
• Ejemplo 2
• Hallar el lado de un cuadrado cuya diagonal mide √2 cm.
• d= l.√2  √2 = l.√2  Aplicando la Regla del Producto:
• √2 / √2 = l
• l = 1 cm
• Ejemplo 3
• Hallar el área de un cuadrado cuya diagonal mide 5. √2 cm.
• d= l.√2  5.√2 = l.√2  Aplicando la Regla del Producto:
• 5.√2 / √2 = l  5 = l
• l = 5 cm
• Y ahora ya se puede calcular el área al conocer el valor del lado:
• A = l2 = 52 = 25

• Ejemplo_4
• Hallar el lado, el perímetro y la diagonal de un cuadrado sabiendo que su área
vale 49 cm2
• Calculamos el lado al tener el área:
• A = l2  l = √A = √49 = 7 cm
• Calculamos la diagonal al conocer el lado:
• d = l.√2  d = 7.√2 cm
• Calculamos el perímetro:
• P = 4.l = 4.7 = 28 cm
• Ejemplo_5
• Hallar el lado, el área y la diagonal de un cuadrado sabiendo que su perímetro
mide 20 cm
• Calculamos el lado para poder hallar el área y la diagonal:
• P = 4.l  l = P / 4 = 20 / 4 = 5 cm
• A = l2  A = 52 = 25 cm2
• d = l.√2  d = 5.√2 cm
P = 4.l
d = l.√2
A = l2

b
h
P = 2.b+2.h
d = √( b2 + h2 )
A = b.h
b
h
d’
d
EL RECTÁNGULO
• RECTÁNGULO
• Perímetro: Suma de sus lados
• P = b+h+b+h = 2.b+2.h = 2.(b+h)
• El perímetro de un rectángulo es el doble de la
suma del largo más el alto.
• Diagonal: Recta que une dos vértices opuestos.
• d=d’ = √( b2 + h2 )
• Área: Medida de la superficie que rodean sus
lados.
• A = b.h
• El área de un rectángulo es el producto de su
largo por su alto.

• Ejemplo 1
• Hallar la diagonal de un rectángulo de lados 3 y 4 cm.
• Por Pitágoras:
• d= √( b2 + h2 ) = √( 32 + 42 ) = √25 = 5 cm
• Ejemplo_2
• En un rectángulo la base mide 5 cm y la diagonal mide 13 cm. Hallar el
perímetro y el área.
• Necesitamos conocer la altura.
• Por Pitágoras:
• d2 = b2 + h2  h2 = d2 – b2
• h2 = 132 – 52 = 169 – 25 = 144
• h = √144 = 12 cm
• Hallamos el perímetro al conocer la base y la altura:
• P= 2.b+2.h = 2.5+2.12 = 10+24 = 34 cm
• Hallamos el área al conocer la base y la altura:
• A= b.h = 5.12 = 60 cm2

• Ejemplo_3
• En un rectángulo el perímetro mide 12 cm y la base mide doble que la altura. Hallar
el área y la diagonal.
• P = 2.b + 2.h
• A = b.h
• Dato conocido: b=2.h
• En la ecuación del perímetro:
• P = 2.(2.h) + 2h = 4.h + 2.h = 6.h
• 12 = 6.h  h = 12 / 6 = 2 cm
• Como b=2.h  b = 2.2 = 4 cm
• A=b.h = 4.2 = 8 cm2
• Y por último calculamos la diagonal:
• d2 = b2 + h2 = 42 + 22 = 16 + 4 = 20
• d = √20 = √4.5 = 2.√5 cm
b
h
d’
d

• Ejemplo_5
• En un rectángulo el perímetro mide 82 cm y la base mide 20 cm. Hallar la diagonal
y el área.
• Necesitamos conocer la altura.
• P=2.b+2.h
• 82 = 2.20 + 2.h  82 = 40 + 2.h  Hay que despejar la altura, h
• Aplicamos la Regla de la Suma: 82 – 40 = 2.h  42 = 2.h
• Aplicamos la Regla del Producto: 42 / 2 = h  21 = h
• Luego tenemos: h = 21 cm.
• La diagonal, aplicando el T. de Pitágoras, al conocer los dos catetos será:
• d2 = b2 + h2
• d2 = 202 + 212 = 400 + 441 = 841 cm2
• d = √841 = 29 cm
• El área valdrá:
• A=b.h
• A = 20.21 = 420 cm2

CIRCUNFERENCIA
• CIRCUNFERENCIA
• Una circunferencia es una línea curva, cerrada y plana
cuyos puntos están a la misma distancia (equidistan)
de un punto interior llamado centro.
• ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA
• Centro:
• Punto interior tal que la distancia del mismo a
cualquier punto de la circunferencia es la misma.
• Radio:
• Segmento que une el centro con cualquier punto de
la circunferencia.
• Diámetro:
• Segmento que, pasando por el centro, une dos
puntos de la circunferencia.
• El diámetro es el doble del radio.
O
R
D
A
P
B

@ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º ESO 62
CIRCUNFERENCIA
• ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA
• Cuerda:
• Segmento que une dos puntos de la circunferencia.
• El diámetro es la mayor de las cuerdas.
• Arco:
• Parte de la circunferencia comprendida
• entre dos puntos.
• Semicircunferencia:
• Media circunferencia. Cada una de las
• partes en que un diámetro divide a una circunferencia.
• LONGITUD DE UNA CIRCUNFERENCIA
• Es su perímetro.
• L = 2.π.r
Arco
A
B
Cuerda
Semicircunferencia
Diámetro
O

CÍRCULO Y SECTOR CIRCULAR
r
r
r
• CÍRCULO
• Es la parte del plano limitada por una
circunferencia.
• El centro y el radio del círculo son el centro y
el radio de la circunferencia.
• Área: A = π.r2
• SECTOR CIRCULAR
• Es la parte del círculo comprendida entre dos
radios y el arco correspondiente.
O
O

• CORONA CIRCULAR
• Es la superficie plana que se encuentra
entre dos círculos concéntricos ( de mismo
centro).
• El círculo mayor de radio R.
• El círculo menor de radio r.
• SEGMENTO CIRCULAR
• Es la parte del plano comprendida entre
una cuerda y el arco de circunferencia
correspondiente.
r
R
CORONA CIRCULAR
r
r
A
B
Arco
Cuerda

Ángulo central
• ÁNGULO CENTRAL
• El ángulo central de una circunferencia es
el que tiene el vértice en el centro.
• En la figura grande el ángulo central, α, es
de 60º. El arco correspondiente AB es
también de 60º , aunque en longitud mide
5 cm.
• En la figura pequeña el ángulo central, α,
es de 60º. El arco correspondiente AB es
también de 60º , pero en longitud mide 2
cm.
•
• Dos arcos pueden tener la misma medida
angular (en º sexagesimales), pero distintas
longitudes ( en metros).
α
α
A
B
A
B

Ángulo inscrito
• ÁNGULO INSCRITO
• Un ángulo inscrito en una
circunferencia es el que tiene su
vértice en la circunferencia y sus lados
son secantes.
• La medida de un ángulo inscrito es la
mitad del ángulo central
correspondiente.
• En la figura, el ángulo inscrito ABD
vale 30º, pues el ángulo central
correspondiente AOD vale 60º.
• Lo mismo vale el ángulo inscrito ACD,
o sea 30º, al tener el mismo ángulo
central.
• En una circunferencia pues hay
infinitos ángulos inscritos que tienen
el mismo valor.
A
C
OB
D

Ángulo inscrito en una semicircunferencia
• Ángulo inscrito en una
semicircunferencia
• El ángulo CAB abarca un arco de 180º
(parte de abajo, invisible, de la
circunferencia).
• Por lo tanto, al ser el ángulo inscrito la
mitad, resulta ser de 90º siempre. O
C
A
B
90º
180º
A’

• Poliedros
• Son cuerpos sólidos limitados por polígonos.
• En todos ellos se cumple el TEOREMA DE EULER:
• CARAS + VERTICES = ARISTAS + 2
POLIEDROS

POLIEDROS REGULARES
• Un poliedro es regular si todas sus caras son polígonos regulares e iguales y en
todos sus vértices concurren el mismo número de caras o de aristas.
• Hay cinco:
• Tetraedro, formado por cuatro triángulos equiláteros.
• Cubo, formado por seis cuadrados.
• Octaedro, formado por ocho triángulos equiláteros.
• Dodecaedro, formado por doce pentágonos.
• Icosaedro, formado por veinte triángulos equiláteros.
•
Se les conoce con el nombre de sólidos platónicos en honor a Platón.
• Platón asigna el fuego al tetraedro , la tierra al cubo , el aire al octaedro , el agua
al icosaedro y el universo al dodecaedro.
•
• Son especialmente importantes por sus propiedades, belleza y presencia en la vida
real.

TETRAEDRO
• Tiene 4 caras iguales.
• Cada cara es un triángulo
equilátero.
• Presenta 4 vértices, y en cada
vértice se forma un ángulo
triedro.
• Tiene 6 aristas, y por tanto en
cada arista confluyen dos
semiplanos, habiendo seis
ángulos diedros.
• Se cumple el Teorema de
Euler:
• C+V = A+ 2
• 4+4=6+2

Apuntes Matemáticas 1º ESO 71Ies José Isbert – Dpto. matemáticas

HEXAEDRO O CUBO
• Cada cara es un cuadrado
• Presenta 8 vértices, y en
cada vértice se forma un
ángulo triedro.
• Tiene 12 aristas, y por tanto
en arista confluyen dos
semiplanos, habiendo doce
ángulos diedros.
Euler:
• C+V = A+ 2
• 6+8=12+2

OCTOEDRO
equilátero.
tetraedro.
arista confluyen dos
semiplanos, habiendo doce
ángulos diedros.
• Se cumple el Teorema de Euler:
• C+V = A+ 2
• 8+6=12+2

DODECAEDRO
• Cada cara es un pentágono.
triedro.
• 12 caras x 5 lados/cara: 3
caras/vértices= 20 vértices
arista confluyen dos
semiplanos, habiendo treinta
ángulos diedros.
Euler:
• C+V = A+ 2
• 12+20=30+2

ICOSAEDRO
equilátero.
pentadiedro.
• 20 caras x 3 lados/cara: 5
caras/vértices= 12 vértices
arista confluyen dos semiplanos,
habiendo treinta ángulos diedros.
• Se cumple el Teorema de Euler:
• C+V = A+ 2
• 20+12=30+2

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